Оптимальная функция смещений точек внешнего контура втулки контактной пары с учетом температурных напряжений и шероховатого внутреннего контура
На основе модели шероховатой поверхности трения и принципа равнопрочности проведен теоретический анализ по определению функции смещений точек наружного контура втулки контактной пары с учетом перепада температуры в деталях контактной пары. Используется расчетная силовая схема, наиболее близко отвеча...
Saved in:
| Published in: | Проблемы машиностроения |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81024 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Оптимальная функция смещений точек внешнего контура втулки контактной пары с учетом температурных напряжений и шероховатого внутреннего контура / П.Э. Ахундова // Проблемы машиностроения. — 2014. — Т. 17, № 4. — С. 22-30. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860069956338581504 |
|---|---|
| author | Ахундова, П.Э. |
| author_facet | Ахундова, П.Э. |
| citation_txt | Оптимальная функция смещений точек внешнего контура втулки контактной пары с учетом температурных напряжений и шероховатого внутреннего контура / П.Э. Ахундова // Проблемы машиностроения. — 2014. — Т. 17, № 4. — С. 22-30. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы машиностроения |
| description | На основе модели шероховатой поверхности трения и принципа равнопрочности проведен теоретический анализ по определению функции смещений точек наружного контура втулки контактной пары с учетом перепада температуры в деталях контактной пары. Используется расчетная силовая схема, наиболее близко отвечающая физической сущности действительного нагружения. Согласно этой схеме в местах контакта вала и втулки действуют распределенные нормальные нагрузки и соответствующие им заранее неизвестные силы трения, возникающие в процессе работы. Силы трения подлежат определению из решения задачи о контактном взаимодействии вала и втулки, с учетом шероховатости реальной поверхности трения, теплообразования при трении и износа поверхности деталей контактной пары. Проведена минимизация напряженного состояния втулки контактной пары с помощью принципа равнопрочности. Найденная функция смещений точек внешнего контура втулки обеспечивает повышение несущей способности втулки контактной пары. В качестве примера рассмотрен расчет для контактной пары применительно к скважинным штанговым нефтяным насосам.
На основі моделі шорсткої поверхні тертя та принципу рівноміцності проведено теоретичний аналіз із визначення функції зміщення точок зовнішнього контуру втулки контактної пари з урахуванням перепаду температури в деталях контактної пари, Використовується розрахункова силова схема , що найбільш точно відповідає фізичній суті дійсного навантаження. Проведено мінімізацію напруженого стану втулки контактної пари за допомогою принципу рівноміцності. Знайдена функція зміщення точок зовнішнього контуру втулки забезпечує підвищення несучої здатності втулки контактної пари. Як приклад розглянуто розрахунок для контактної пари стосовно свердловинних штангових нафтових насосів.
Based on the model of friction rough surface and the equal strength principle theoretical analysis on the definition of displacement function of external contour points of contact pair hub carried out taking account the temperature difference in the details of the contact pair. Force calculation scheme most corresponds to physical nature of actual loading is used. According to this scheme, in the place of shaft and bushing contact the normal distributed loads and the corresponding to loads friction forces act. The friction forces are arising in work process and not known in advance. The friction forces to be determined from the solution of the problem of shaft and bushing contact interaction, taking into account the roughness of real friction surface, frictional heat generation and surface wear of the contact pair parts. The minimization of the stress state of the contact pair bushing is carried out by using of the equal strength principle. The obtained displacement function of external contour points of the bushing provides increase of load bearing capacity of the bushing contact pair. As an example the calculation of the contact pair applied to downhole sucker rod oil pump is considered.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:09:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 4 22
за распределения контактных давлений при варьировании различных параметров в более широком
диапазоне.
Литература
1. Галин, Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости / Л. А. Галин. – М.: Наука, 1980. – 303 с.
2. Попов, Г. Я. Контактные задачи для линейно-деформируемого основания / Г. Я. Попов. – Киев, Одесса: Ви-
ща шк., 1982. – 168 с.
3. Анализ контактного взаимодействия гладких и шероховатых тел методом граничных элементов: модели и
разрешающие уравнения / Н.Н. Ткачук, И.Я. Мовшович, Н.А. Ткачук и др. – КШП. ОМД. – М.: ООО «Тисо
Принт», 2014. – № 3 – С. 3–10.
4. Анализ контактного взаимодействия гладких и шероховатых тел методом граничных элементов: модели и
разрешающие уравнения / Н. Н. Ткачук, И. Я. Мовшович, Н. А. Ткачук и др. – КШП. ОМД. – М.: ООО «Тисо
Принт», 2014. – № 4 – С. 3–8.
5. Крауч, С. Методы граничных элементов в механике твердого тела / С. Крауч, А. Старфилд. – М.: Мир, 1987.
– 328 с.
6. Ткачук, Н. Н. Анализ контактного взаимодействия сложнопрофильных элементов машиностроительных
конструкций с кинематически сопряженными поверхностями: Дис. … канд. техн. наук. – Харьков, 2011. – 203 с.
7. Джонсон, К. Механика контактного взаимодействия / К. Джонсон. – М.: Мир, 1989. – 509 с.
Поступила в редакию 10.11.14
П. Э. Ахундова,
канд. физ-мат. наук
Институт математики
и механики
НАН Азербайджана,
Азербайджан, г. Баку,
e-mail: sopromat_v@mail.ru
Ключові слова: контактна пара,
втулка, вал, шорстка поверхня
тертя, температура, мінімізація
напруженого стану втулки.
УДК 539.3
ОПТИМАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ СМЕЩЕНИЙ
ТОЧЕК ВНЕШНЕГО КОНТУРА ВТУЛКИ
КОНТАКТНОЙ ПАРЫ С УЧЕТОМ
ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И
ШЕРОХОВАТОГО ВНУТРЕННЕГО КОНТУРА
На основі моделі шорсткої поверхні тертя та принципу рівноміцності
проведено теоретичний аналіз із визначення функції зміщення точок зов-
нішнього контуру втулки контактної пари з урахуванням перепаду тем-
ператури в деталях контактної пари, Використовується розрахункова
силова схема , що найбільш точно відповідає фізичній суті дійсного нава-
нтаження. Проведено мінімізацію напруженого стану втулки контакт-
ної пари за допомогою принципу рівноміцності. Знайдена функція зміщен-
ня точок зовнішнього контуру втулки забезпечує підвищення несучої зда-
тності втулки контактної пари. Як приклад розглянуто розрахунок для
контактної пари стосовно свердловинних штангових нафтових насосів.
Введение
Одними из наиболее ответственных узлов машин, определяющих надежность и долговеч-
ность эксплуатации машин и оборудования, являются контактные (кинематические) пары, которые
входят в состав нефтепромыслового оборудования, многих транспортных машин. Как известно, ре-
сурс работы контактной пары в значительной степени определяется работоспособностью втулки,
распределением напряжений в зонах взаимодействия деталей контактной пары. В связи с этим на со-
временном этапе развития техники важное значение имеет оптимальное проектирование деталей кон-
тактных пар. Задачи теории оптимального проектирования заключаются в определении характери-
стик изделия таким образом, чтобы оно при действии заданных нагрузок в определенном смысле яв-
лялось наилучшим из всех изделий рассматриваемого типа.
© П. Э. Ахундова, 2014
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 4 23
Постановка задачи
Рассмотрим напряженно-деформиро-
ванное состояние втулки контактной пары
при действии нормальной и касательной к
внутреннему контуру нагрузок. Полагаем,
что внутренний контур втулки близок к кру-
говому. Как известно, реальная поверхность
втулки никогда не бывает абсолютно глад-
кой, а всегда имеет микро- или макроскопи-
ческие неровности технологического харак-
тера, образующие шероховатость. Несмотря
на исключительно малые размеры неровно-
стей, они оказывают существенное влияние
на разнообразные эксплуатационные свойст-
ва контактной пары [1]. Считается, что втул-
ка контактной пары на внешнем контуре
имеет некоторые смещения. Функция этих
смещений заранее неизвестна и подлежит
определению в процессе решения задачи оп-
тимизации из дополнительного условия. Ре-
жимы работы контактной пары, в которой
могут возникать остаточные деформации,
приняты недопустимыми. К внутренней шероховатой поверхности втулки на некотором неизвестном
заранее участке прижимается вал.
Принято, что выполняются условия плоской деформации. Обозначим через E, μ и E0, μ0 мо-
дуль Юнга и коэффициент Пуассона материала втулки и вала соответственно. Отнесем втулку кон-
тактной пары к полярной системе координат rθ, выбрав начало координат в центре концентрических
окружностей L0 и L с радиусами R0 и R соответственно (рис. 1).
Рассмотрим некоторую реализацию шероховатой внутренней поверхности втулки. Предста-
вим границу внутреннего контура L0' в следующем виде:
ρ = R0 + δ(θ), δ(θ) = εH(θ),
где ε = Rmax/R0 – малый параметр, Rmax – наибольшая высота неровности внутренней поверхности
втулки контактной пары.
С помощью обработки данных по профилограммам обработанной поверхности втулки нахо-
дятся коэффициенты ряда Фурье для функции H(θ)
( )∑
∞
=
θ+θ=θ
0
00 sincos)(
k
kk kbkaH ,
описывающие каждый внутренний профиль обработанной поверхности втулки.
Внешний контур вала близок к круговому и может быть представлен в виде
)()( 101 θε+′=θρ HR , ( )∑
∞
=
θ+θ=θ
0
11
1 sincos)(
k
kk kbkaH . Считается, что износ втулки и вала имеет абра-
зивный характер.
Условие, связывающие перемещения втулки и вала, имеет [2, 3] вид
v1 + v2 = δ(θ), θ1 ≤ θ ≤ θ2, (1)
где δ(θ) – осадка точек поверхности втулки и вала, определяемая формой внутренней поверхности
втулки и вала, а также величиной прижимающей силы Р; (θ2 –θ1) – величина угла (площадки) контак-
та.
В зоне контакта, кроме нормальных давлений, действует касательное напряжение τrθ, связан-
ное с контактным давлением p(θ, t) по закону Амонтона–Кулона
Рис. 1. Расчетная схема задачи
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 4 24
τrθ(θ, t) = fp(θ, t),
где f – коэффициент трения пары «втулка–вал».
В процессе работы контактной пары на внутренней поверхности втулки на площадке контак-
та с валом действует поверхностный источник тепла, вызванный внешним трением. В результате та-
кого взаимодействия происходит повышение температуры втулки и вала.
Общее количество тепла в единицу времени пропорционально мощности сил трения, а коли-
чество тепла, выделяемое в точке зоны контакта с координатой θ, будет
Q(θ, t) = Vfp(θ, t),
где V – средняя за период скорость перемещения вала относительно втулки.
Общее количество тепла Q(θ, t) будет расходоваться следующим образом: поток тепла во
втулку Qb(θ, t) и аналогичный поток Q1(θ, t) тепла на повышение температуры вала, т. е. Q = Qb + Q1.
Так как частота движения вала достаточно велика, рассматриваем задачу как стационарную.
В этом случае температура втулки T(r, θ) удовлетворяет дифференциальному уравнению теории теп-
лопроводности
ΔT = 0
и граничным условиям
при r = ρ(θ) ( ) )(121
θ−=−α−
∂
∂
λ bcTT QTTA
n
TA ; (2)
при r = R2 ( ) 002
0 =−α+
∂
∂
λ cTT
n
T . (3)
Здесь λ – коэффициент теплопроводности втулки; Δ – оператор Лапласа; α1 – коэффициент теплоот-
дачи с внутренней поверхности втулки; α2 – коэффициент теплоотдачи с наружной цилиндрической
поверхности втулки с внешней средой с температурой Tс; n – нормаль к контуру втулки; AT1 – тепло-
поглощающая поверхность; AT2 – охлаждающая поверхность.
Для перемещений точек поверхности трения втулки имеем v1 = v1e + v1r + v1w, где v1e – термо-
упругие перемещения точек контактной поверхности втулки; v1r, v1w – перемещения, вызванные смя-
тием микровыступов и износом поверхности втулки соответственно. Аналогично, для перемещений
контактной поверхности вала будем иметь v2 = v2e + v2r + v2w.
Скорость изменения перемещений поверхности при износе втулки и вала будет [4]
),( tpK
dt
dv
bk
kw θ= (k = 1, 2), (4)
где Kb1, Kb2 – коэффициенты изнашивания материала втулки и вала соответственно.
Граничные условия задачи термоупругости для втулки в процессе работы контактной пары
будут иметь следующий вид
)(θ−=σ pb
n ; )(θ−=τ fpb
nt на площадке контакта; (5)
0=σb
n ; 0=τb
nt вне площадки контакта;
)(θ=− θ givv bb
r при r = R. (6)
Здесь vr, vθ – соответственно радиальная и касательная составляющие вектора перемещений точек
контура L; σr, σθ, τrθ – компоненты тензора напряжений; g(θ) – искомая функция перемещений точек
наружного контура втулки.
Аналогично ставится задача термоупругости для определения перемещений поверхности
плунжера
ΔT1 = 0;
при r = ρ1(θ) )(1
1
2 θ−=
∂
∂
λ Q
n
T на контактной площадке;
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 4 25
( ) 01
1
2 =−α+
∂
∂
λ cTT
n
T вне площадки контакта;
при r = ρ1(θ) σn = –p(θ); τnt = –fp(θ) на контактной площадке;
σn = 0; τnt = 0 вне площадки контакта.
Здесь для интенсивности поверхностного источника тепла в зоне трения имеем Q1(θ) = αт.п.2fp(θ), αт.п.
– коэффициент разделения теплового потока для вала.
Величины θ1 и θ2, являющиеся концами участка соприкосновения вала с втулкой, неизвестны
заранее. Для их нахождения используем условие [5], выражающее, что давление p(θ) непрерывно пе-
реходит в нуль, когда точка θ выходит за участок соприкасания
p(θ1) = 0; p(θ2) = 0. (7)
Метод решения
Температуру, напряжения и перемещения во втулке и вале ищем в виде разложений по мало-
му параметру, в которых пренебрегаем для упрощения членами, содержащими ε степени выше пер-
вой. Каждое из приближений удовлетворяет системе дифференциальных уравнений плоской термо-
упругости. Значения температуры, компонент тензора напряжений и вектора перемещений при
r = ρ(θ) (аналогично и при r = ρ1(θ)) получим, разлагая в ряд выражения для температуры, напряже-
ний и перемещений в окрестности r = R0. Используя метод возмущений и граничные условия (2), (3),
(5), (6) приходим к последовательности краевых задач плоской теории термоупругости для втулки
для нулевого приближения
)()0()0(
1
)0(
21
θ−=α−
∂
∂
λ btT QtA
r
tA при r = R0;
0)0(
02
)0(
0
0 =α+
∂
∂
λ t
r
t при r = R;
)()0()0( θ−=σ pb
r , )()0()0( θ−=τ θ fpb
r на площадке контакта
при r = R0 (8)
0)0( =σb
r , 0)0( =τ θ
b
r вне площадки контакта
)()0()0()0( θ=− θ givv bb
r при r = R; (9)
для первого приближения
)()1(
0
)1(
1
)1(
21
θ−=α−
∂
∂
λ QtA
r
tA tT при r = R0
0)1(
02
)1(
0
0 =α+
∂
∂
λ t
r
t при r = R
)()1()1( θ−=σ pNb
r , )()1()1( θ−=τ θ fpTb
r на площадке контакта
при r = R0
Nb
r =σ )1( , Tb
r =τ θ
)1( вне площадки контакта;
)()1()1()1( θ=− θ givv bb
r .
Здесь
)()()(
)0(
12
)0(2
)1()1(
0 21
θ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
α−
∂
∂
λ+θ−=θ H
r
tA
r
tAQQ tTb ;
θ
θ
⋅τ+
∂
σ∂
θ−= θ d
dH
Rr
HN b
r
b
r )(12)(
0
)0(
)0(
;
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 4 26
( )
r
H
d
dH
R
T
b
rb
r
b
∂
τ∂
θ−
θ
θ
σ−σ= θ
θ
)0(
0
)0()0( )()(1 ;
tс = T – Tc – избыточная температура для втулки.
Аналогично находим граничные условия задачи термоупругости для вала в каждом прибли-
жении.
Решение краевых задач теории теплопроводности в каждом приближении ищутся методом
разделения переменных. Окончательно, распределение избыточной температуры для втулки в каж-
дом приближении находим в следующем виде:
( ) ( ) θ++θ+++= ∑∑
∞
=
−
∞
=
− krArAkrCrCrCCt
k
kkkk
k
kkkk sincosln
1
)(
20
)(
10
1
)(
20
)(
102010
)0( ;
( ) ( ) θ++θ+++= ∑∑
∞
=
−
∞
=
− krArAkrCrCrCCt
k
kkkk
k
kkk sincosln
1
)(
21
)(
11
1
21
)(
112111
)1( .
Постоянные C10, C20, )(
10
kC , )(
20
kC , )(
10
kA , )(
20
kA определяются из граничных условий задачи тео-
рии теплопроводности в нулевом приближении. Соответственно коэффициенты C11, C21, )(
11
kC , )(
21
kC ,
)(
11
kA , )(
21
kA находятся из краевых условий задачи теории теплопроводности в первом приближении.
Из-за громоздкости формулы для этих величин не приводятся.
Для решения задачи термоупругости в каждом приближении используем термоупругий по-
тенциал перемещений [6].
В рассматриваемой задаче термоупругий потенциал перемещений в нулевом и первом при-
ближениях определяется решением следующих дифференциальных уравнений:
)0()0(
1
1 tF α
μ−
μ+
=Δ ; )1()1(
1
1 tF α
μ−
μ+
=Δ . (10)
Ищем решение уравнения (10) в нулевом приближении в виде
[ ]∑
∞
=
θ+θ=
0
*)0()0()0( sin)(cos)(
n
nn nrfnrfF .
Для функций ( )rfn
)0( , ( )rfn
*)0( получаем обыкновенные дифференциальные уравнения, реше-
ние которых находим методом вариации постоянных. После определения термоупругого потенциала
перемещений в нулевом приближении для втулки с помощью формул [6] вычисляем соответствую-
щие термоупругому потенциалу напряжения )0(b
rσ , )0(b
θσ , )0(b
rθτ и перемещения )0(b
rv , )0(bvθ во втулке.
Найденные напряжения и перемещения для втулки не будут удовлетворять краевым условиям
(8)–(9). Таким образом, необходимо для втулки найти второе напряженно-деформированное состоя-
ние )0(b
rσ , )0(b
θσ , )0(b
rθτ , )0(b
rv , )0(bvθ , такое, чтобы выполнялись краевые условия (8)–(9).
Следовательно, для определения второго напряженно-деформированного состояния имеем
граничные условия:
при r = R0
( ) )0()0()0( b
r
b
r p σ−θ−=σ , ( ) )0()0()0( b
r
b
r fp θθ τ−θ−=τ на площадке контакта; (11)
)0()0( b
r
b
r σ−=σ , )0()0( b
r
b
r θθ τ−=τ вне площадки контакта;
при r = R ( ) )()0()0()0()0()0( θ=−+− θθ gvivviv bb
r
bb
r . (12)
Краевые условия задачи (11)–(12) с помощью формул Колосова–Мусхелишвили [5] можно
записать в виде граничной задачи для отыскания двух комплексных потенциалов )()0( zbΦ и )()0( zbΨ
для втулки.
Комплексные потенциалы ищем в виде разложений [5]
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 4 27
∑
∞
−∞=
=Φ
k
k
kb zaz)()0( ; ∑
∞
−∞=
=Ψ
k
k
kb zbz)()0( . (13)
Требуя, чтобы комплексные потенциалы (13) удовлетворяли граничным условиям задачи (11)
– (12), получаем бесконечные системы уравнений относительно коэффициентов ak, bk. Решение этих
систем не представляет особых трудностей (см. в [5] § 59).
Полученные системы линейных уравнений относительно ak, bk позволяют при заданной функ-
ции смещений в точках внешнего контура
∑
∞
−∞=
θ′ =τ
k
ikHO
k eAg )()0(
найти напряженно-деформированное состояние втулки контактной пары в нулевом приближе-
нии. С помощью комплексных потенциалов (13), формул Колосова–Мусхелишвили и интегрирова-
ния кинетического уравнения изнашивания (4) материала втулки в нулевом приближении находится
перемещение )0(
1v контактной поверхности втулки. Аналогично рассматривается задача термоупруго-
сти для вала. Используя решение задачи термоупругости для вала и кинетическое уравнение изнаши-
вания материала вала в нулевом приближении, находим перемещение )0(
2v контактной поверхности
вала. Найденные величины )0(
1v и )0(
2v подставляются в основное контактное уравнение (1) в нулевом
приближении. Для алгебраизации основного контактного уравнения в нулевом приближении иско-
мые функции контактного давления ищутся в виде разложений
L+θ+θ=θ )()(),( 0
1
0
0
)0( tpptp ; (14)
( )∑
∞
=
θβ+θα+α=θ
1
99
0
0
0 sincos)(
k
kk kkp ;
( )∑
∞
=
θβ+θα+α=θ
1
111
0
0
1 sincos)(
k
kk kkp ;
……………………………………….
Подставляя соотношения (14) в основное контактное уравнение в нулевом приближении, на-
ходим функциональные уравнения для последовательного определения )(0
0 θp , )(0
1 θp и т. д. Для по-
строения алгебраической системы относительно αk, βk приравниваем коэффициенты при одинаковых
тригонометрических функциях в левой и правой частях функционального уравнения контактной за-
дачи. В результате получим бесконечную алгебраическую систему относительно 0
kα (k = 0, 1, 2, …) и
0
kβ (k = 1, 2, …) и 1
kα , 1
kβ и т.д.
Из-за неизвестных величин θ1 и θ2 система уравнений оказывается нелинейной. Для опреде-
ления величин θ1 и θ2 ( ...1
2
0
11 +εθ+θ=θ ; ...1
2
0
22 +εθ+θ=θ ) имеем условие (7) Это уравнение можно
представить в виде 0)( 0
1
)0( =θp , 0)( 0
2
)0( =θp для нулевого приближения и 0)( 1
1
)1( =θp , 0)( 1
2
)1( =θp
для первого приближения. Зная решение задачи для нулевого приближения, перейдем к решению
задачи в первом приближении. Используя комплексные потенциалы )()0( zbΦ , )()0( zbΨ и формулы
Колосова–Мусхелишвили [5], найдем компоненты напряжений )0(b
rσ , )0(b
θσ , )0(b
rθτ при r = R0. Зная
напряжения )0()0()0( b
r
b
r
b
r σ+σ=σ , )0()0()0( bbb
θθθ σ+σ=σ , )0()0()0( b
r
b
r
b
r θθθ τ+τ=τ , находим при r = R0 функции N
и Т.
Дальнейший ход решения задачи аналогичен нулевому приближению. В результате получим
системы линейных уравнений относительно коэффициентов )1(
ka , )1(
kb . При этом используется сле-
дующее разложение:
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 4 28
∑
∞
−∞=
θ′ =τ
k
ikH
k eAg )1()1( )( .
Как и в нулевом приближении, полученные системы уравнений позволяют выразить ко-
эффициенты )1(
ka , )1(
kb через коэффициенты )1(H
kA функции смещений в точках внешнего контура
втулки в первом приближении.
Зная функцию смещений, можно найти напряженно-деформированное состояние во
втулке контактной пары. Общее напряженное состояние во втулке находится по формулам
...)1()0( +εσ+σ=σ b
r
b
rr ; ...)1()0( +εσ+σ=σ θθθ
bb ; ...)1()0( +ετ+τ=τ θθθ
b
r
b
rr .
Аналогично решается задача термоупругости для вала в первом приближении. Алгебраизация
основного контактного уравнения контактной задачи в первом приближении проводится таким же
образом, как и в нулевом приближении. Для этого неизвестные функции контактного давления ищут-
ся в виде
...)()(),( 1
1
1
0
)1( +θ+θ=θ ptptp ;
( )∑
∞
=
θβ+θα+α=θ
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0 sin,cos,,)(
k
kk kkp ;
( )∑
∞
=
θβ+θα+α=θ
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1 sin,cos,,)(
k
kk kkp .
В результате получаем бесконечные линейные алгебраические системы относительно 1
0,0α ,
1
01kα , 1
01kβ (k = 1, 2, …) и 1
1 ,kα , 1
1 ,kβ (k = 1, 2, …).
Рассмотрим задачу оптимального проектирования. Требуется определить функцию сме-
щений в точках внешнего контура втулки.
В поставленной задаче коэффициенты HO
kA , )1(H
kA соответственно в каждом приближении
подлежат определению в процессе решения задачи оптимизации. Используя полученное реше-
ние задачи термоупругости, найдем нормальное тангенциальное напряжение σθ в поверхностном
слое контура r = ρ(θ) втулки с точностью до величин первого порядка относительно малого па-
раметра ε
( )
0
0
)1(
)0(
)0(
Rr
Rrr
H
r
=
θ
θ
=θρ=θ ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
σ+θ
∂
σ∂
ε+σ=σ .
Функция σθ при r = ρ(θ) представляет собой функцию полярного угла. Компоненты напряже-
ний )0(
θσ и )1(
θσ на контуре |τ| = R0 находятся по соотношениям
)0()0()0( bb
θθθ σ+σ=σ ; )1()1()1( bb
θθθ σ+σ=σ .
Здесь )0(b
θσ , )1(b
θσ определяются с помощью термоупругого потенциала соответственно в нулевом и
первом приближениях: )0(b
θσ , )1(b
θσ находятся с помощью формул Колосова–Мусхелишвили [5] соот-
ветственно в нулевом и первом приближениях.
Напряжения )0(b
θσ , )1(b
θσ зависят соответственно от коэффициентов ak, )1(
ka . Коэффициенты ka
зависят от величин HO
kA ряда Фурье искомой функции )()0( τ′g смещений в нулевом приближении. Со-
ответственно коэффициенты )1(
ka зависят от величин )1(H
kA ряда Фурье искомой функции )()1( τ′g сме-
щений в первом приближении.
Для построения недостающих уравнений, позволяющих определить искомые коэффициенты
HO
kA , )1(H
kA , требуем, чтобы обеспечивалась минимизация напряжений во внутреннем контуре втул-
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 4 29
ки. Снижение концентрации напряжений во внутреннем контуре втулки контактной пары осуществ-
ляем путем минимизации критерия
( )[ ]∑
=
θ →σ−θσ
M
i
i
1
2 min . (15)
Здесь σ – оптимальное значение нормального тангенциального напряжения во внутреннем
поверхностном слое втулки, подлежажее определению в процессе решения задачи оптимизации.
Учитывая, что σ зависит от малого параметра, критерий минимизации (15) представим в сле-
дующем виде:
[ ]∑
=
θ →σ−θσ
M
i
i
1
2)0()0( min)( ;
[ ]∑
=
∗
θ →σ−θσ
M
i
i
1
2)1( min)( ,
где )1(
)0(
)()( θ
∗
θ σ+θ
∂
σ∂
=θσ H
r
r при r = R0.
Обозначим
[ ]∑
=
θ σ−θσ=
M
i
iU
1
2)0()0()0( )( , [ ]∑
=
∗
θ σ−θσ=
M
i
iU
1
2)1()1( )( .
Функции U(0) и U ( l ) представляют собой функции, зависящие от управляющих переменных
)0(σ , HO
kA и )1(σ , )1(H
kA соответственно.
Согласно методу наименьших квадратов, наилучшими коэффициентами )0(σ , HO
kA и )1(σ ,
)1(H
kA считаются те, для которых функции U(0) и U ( l ) соответственно будут принимать минимальные
значения. Используя необходимое условие экстремума функции нескольких переменных, получаем
бесконечные линейные системы уравнений для определения величин )0(σ , HO
kA (k = 0, 1, 2, …) и )1(σ ,
)1(H
kA
0)0(
)0(
=
σ∂
∂U , 0
)0(
=
∂
∂
HO
kA
U
(k = 0, 1, 2, …); (16)
0)1(
)1(
=
σ∂
∂U , 0)1(
)1(
=
∂
∂
H
kA
U
(k = 0, 1, 2, …). (17)
Системы уравнений упрощаются, так как функции )()0( HO
kAθσ и )( )1(H
kA∗
θσ линейны относи-
тельно параметров HO
kA , )1(H
kA соответственно. Система уравнений (16), (17) совместно с получен-
ными алгебраическими системами задачи теории упругости в нулевом и первом приближениях по-
зволяет определить оптимальные смещения точек внешнего контура втулки, напряженно-деформиро-
ванное состояние, а также оптимальное значение нормального тангенциального напряжения во внут-
реннем контуре втулки.
Напомним, что контактное давление p(θ) = p(0)(θ) + εp(1)(θ) + …, также зависит от искомой
функции перемещений точек внешнего контура и заданной шероховатости внутренней поверхности.
Поэтому при расчетах оптимальной функции перемещений к упомянутым алгебраическим системам
добавляются основные разрешающие уравнения контактной задачи.
Анализ результатов моделирования
Для численной реализации изложенного метода проведены расчеты методами редукции, по-
следовательных приближений [7] и Гаусса выбором главного элемента в каждом приближении.
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 4 30
В рассматриваемой задаче имеется много свободных параметров. Это различные теплофизи-
ческие и механические характеристики материалов, параметры качества поверхности внутреннего
контура втулки, геометрические размеры втулки. В связи с этим для примера расчета был принят
скважинный штанговый нефтяной насос исполнения НН2С-57-30-12. Каждая из бесконечных систем
урезалась до пяти уравнений. Величина М принималась равной 72. Результаты расчетов коэффициен-
тов разложения функции перемещений g(θ) приведены в таблице для гладкого контура (первая стро-
ка) и шероховатого внутреннего контура, описываемого стационарной случайной функцией с нуле-
вым средним значением и известной дисперсией.
Следует отметить, что можно было значение σ заранее выбирать из условия обеспечения не-
сущей способности узла трения. Как показывают расчеты, в этом случае суммы квадратов отклоне-
ний оказываются более значительными. С помощью определения неизвестного оптимального значе-
ния σ уменьшается сумма квадратов отклонений, т. е. результаты поиска оказываются более уточ-
ненными.
Значения коэффициентов Фурье функции перемещений точек наружного контура втулки
НA0 НA1 НA2 НA 1− НA 2−
0,0129⋅10–3 0,097⋅10–3 –0,069⋅10–3 0,057⋅10–3 0,028⋅10–3
0,0157⋅10–3 0,118⋅10–3 –0,086⋅10–3 0,068⋅10–3 0,034⋅10–3
Предлагаемый метод минимизации напряженного состояния втулки контактной пары может
быть распространен на другие конструкции узла трения.
Выводы
Показано, что с помощью выбора функции перемещений точек наружного контура втулки
контактной пары можно управлять (минимизировать) распределением напряженного состояния во
втулке. Это повысит работоспособность пары «втулка–вал».
Литература
1. Хусу, А. П. Шероховатость поверхностей (теоретико-вероятностный подход) / А. П. Хусу, Ю. Р. Виттенберг,
В. А. Пальмов. – М.: Наука, 1975. – 344 с.
2. Галин, Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязоупругости / Л. А. Галин. – М.: Наука, 1980. – 304 с.
3. Горячева, И. Г. Механика фрикционного взаимодействия / И. Г. Горячева. – М.: Наука, 2001. – 478 с.
4. Горячева, И. Г. Контактные задачи в трибологии / И. Г. Горячева, М. Н. Добычин. – М.: Машиностроение,
1988. – 256 с.
5. Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задач и математической теории упругости / Н. И. Мусхелишвили.
М.: Наука, 1966, – 707 с.
6. Паркус, Г. Неустановившиеся температурные напряжения / Г. Паркус. – М.: Физматлит, 1963. – 252 с.
7. Мирсалимов, В. М. Неодномерные упругопластичные задачи / В. М. Мирсалимов. – М.: Наука, 1987. – 256 с.
Поступила в редакию 11.10.14
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-81024 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0131-2928 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:09:51Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ахундова, П.Э. 2015-04-30T13:24:53Z 2015-04-30T13:24:53Z 2014 Оптимальная функция смещений точек внешнего контура втулки контактной пары с учетом температурных напряжений и шероховатого внутреннего контура / П.Э. Ахундова // Проблемы машиностроения. — 2014. — Т. 17, № 4. — С. 22-30. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81024 539.3 На основе модели шероховатой поверхности трения и принципа равнопрочности проведен теоретический анализ по определению функции смещений точек наружного контура втулки контактной пары с учетом перепада температуры в деталях контактной пары. Используется расчетная силовая схема, наиболее близко отвечающая физической сущности действительного нагружения. Согласно этой схеме в местах контакта вала и втулки действуют распределенные нормальные нагрузки и соответствующие им заранее неизвестные силы трения, возникающие в процессе работы. Силы трения подлежат определению из решения задачи о контактном взаимодействии вала и втулки, с учетом шероховатости реальной поверхности трения, теплообразования при трении и износа поверхности деталей контактной пары. Проведена минимизация напряженного состояния втулки контактной пары с помощью принципа равнопрочности. Найденная функция смещений точек внешнего контура втулки обеспечивает повышение несущей способности втулки контактной пары. В качестве примера рассмотрен расчет для контактной пары применительно к скважинным штанговым нефтяным насосам. На основі моделі шорсткої поверхні тертя та принципу рівноміцності проведено теоретичний аналіз із визначення функції зміщення точок зовнішнього контуру втулки контактної пари з урахуванням перепаду температури в деталях контактної пари, Використовується розрахункова силова схема , що найбільш точно відповідає фізичній суті дійсного навантаження. Проведено мінімізацію напруженого стану втулки контактної пари за допомогою принципу рівноміцності. Знайдена функція зміщення точок зовнішнього контуру втулки забезпечує підвищення несучої здатності втулки контактної пари. Як приклад розглянуто розрахунок для контактної пари стосовно свердловинних штангових нафтових насосів. Based on the model of friction rough surface and the equal strength principle theoretical analysis on the definition of displacement function of external contour points of contact pair hub carried out taking account the temperature difference in the details of the contact pair. Force calculation scheme most corresponds to physical nature of actual loading is used. According to this scheme, in the place of shaft and bushing contact the normal distributed loads and the corresponding to loads friction forces act. The friction forces are arising in work process and not known in advance. The friction forces to be determined from the solution of the problem of shaft and bushing contact interaction, taking into account the roughness of real friction surface, frictional heat generation and surface wear of the contact pair parts. The minimization of the stress state of the contact pair bushing is carried out by using of the equal strength principle. The obtained displacement function of external contour points of the bushing provides increase of load bearing capacity of the bushing contact pair. As an example the calculation of the contact pair applied to downhole sucker rod oil pump is considered. ru Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України Проблемы машиностроения Динамика и прочность машин Оптимальная функция смещений точек внешнего контура втулки контактной пары с учетом температурных напряжений и шероховатого внутреннего контура Optimum displacement function of external contour points of contact pair hub taking into account the thermal stresses and roughness inner contour Article published earlier |
| spellingShingle | Оптимальная функция смещений точек внешнего контура втулки контактной пары с учетом температурных напряжений и шероховатого внутреннего контура Ахундова, П.Э. Динамика и прочность машин |
| title | Оптимальная функция смещений точек внешнего контура втулки контактной пары с учетом температурных напряжений и шероховатого внутреннего контура |
| title_alt | Optimum displacement function of external contour points of contact pair hub taking into account the thermal stresses and roughness inner contour |
| title_full | Оптимальная функция смещений точек внешнего контура втулки контактной пары с учетом температурных напряжений и шероховатого внутреннего контура |
| title_fullStr | Оптимальная функция смещений точек внешнего контура втулки контактной пары с учетом температурных напряжений и шероховатого внутреннего контура |
| title_full_unstemmed | Оптимальная функция смещений точек внешнего контура втулки контактной пары с учетом температурных напряжений и шероховатого внутреннего контура |
| title_short | Оптимальная функция смещений точек внешнего контура втулки контактной пары с учетом температурных напряжений и шероховатого внутреннего контура |
| title_sort | оптимальная функция смещений точек внешнего контура втулки контактной пары с учетом температурных напряжений и шероховатого внутреннего контура |
| topic | Динамика и прочность машин |
| topic_facet | Динамика и прочность машин |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81024 |
| work_keys_str_mv | AT ahundovapé optimalʹnaâfunkciâsmeŝeniitočekvnešnegokonturavtulkikontaktnoiparysučetomtemperaturnyhnaprâženiiišerohovatogovnutrennegokontura AT ahundovapé optimumdisplacementfunctionofexternalcontourpointsofcontactpairhubtakingintoaccountthethermalstressesandroughnessinnercontour |