Моделювання процесу очищення води фільтром-освітлювачем із шаром завислого осаду
Сформирована и проанализирована математическая модель очистки воды в осветителе со слоем зависшего осадка с учетом влияния дозы реагента и необратимой коагуляции примесных частиц. Построен алгоритм численно-асимптотического приближения решения соответствующей модельной малой нелинейной пространствен...
Saved in:
| Published in: | Проблемы машиностроения |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81026 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Моделювання процесу очищення води фільтром-освітлювачем із шаром завислого осаду / А.Я. Бомба, А.П. Сафоник // Проблемы машиностроения. — 2014. — Т. 17, № 4. — С. 36-43. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-81026 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бомба, А.Я. Сафоник, А.П. 2015-04-30T13:28:04Z 2015-04-30T13:28:04Z 2014 Моделювання процесу очищення води фільтром-освітлювачем із шаром завислого осаду / А.Я. Бомба, А.П. Сафоник // Проблемы машиностроения. — 2014. — Т. 17, № 4. — С. 36-43. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81026 519.63:532.5 Сформирована и проанализирована математическая модель очистки воды в осветителе со слоем зависшего осадка с учетом влияния дозы реагента и необратимой коагуляции примесных частиц. Построен алгоритм численно-асимптотического приближения решения соответствующей модельной малой нелинейной пространственной задачи для системы дифференциальных уравнений типа «конвекция-диффузия-массообмен». На этой основе проведен компьютерный эксперимент. Сформовано та проаналізовано математичну модель очищення води у фільтрі-освітлювачі з урахуванням впливу дози реагенту та незворотної коагуляції домішкових частинок. Побудовано алгоритм числово-асимптотичного наближення розв’язку відповідної модельної малонелінійної просторової задачі для системи диференціальних рівнянь типу «конвекція-дифузія-масообмін». На цій основі проведено комп'ютерний експеримент. in this work the mathematical model of water treatment is formed and analysed in the illuminator with the layer of hanging up sediment taking into account influence of dose of reagent and irreversible coagulation of impurity particles. The algorithm of the numericalasymptotic approaching of decision of corresponding model small nonlinear spatial problem was built for systems of differential equations as "convection-diffusion-mass transfer." On this basis, a computer experiment is conducted. uk Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України Проблемы машиностроения Прикладная математика Моделювання процесу очищення води фільтром-освітлювачем із шаром завислого осаду Modelling the water treatment process with the clarification filter with the layer of hanging up sediment Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Моделювання процесу очищення води фільтром-освітлювачем із шаром завислого осаду |
| spellingShingle |
Моделювання процесу очищення води фільтром-освітлювачем із шаром завислого осаду Бомба, А.Я. Сафоник, А.П. Прикладная математика |
| title_short |
Моделювання процесу очищення води фільтром-освітлювачем із шаром завислого осаду |
| title_full |
Моделювання процесу очищення води фільтром-освітлювачем із шаром завислого осаду |
| title_fullStr |
Моделювання процесу очищення води фільтром-освітлювачем із шаром завислого осаду |
| title_full_unstemmed |
Моделювання процесу очищення води фільтром-освітлювачем із шаром завислого осаду |
| title_sort |
моделювання процесу очищення води фільтром-освітлювачем із шаром завислого осаду |
| author |
Бомба, А.Я. Сафоник, А.П. |
| author_facet |
Бомба, А.Я. Сафоник, А.П. |
| topic |
Прикладная математика |
| topic_facet |
Прикладная математика |
| publishDate |
2014 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Проблемы машиностроения |
| publisher |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Modelling the water treatment process with the clarification filter with the layer of hanging up sediment |
| description |
Сформирована и проанализирована математическая модель очистки воды в осветителе со слоем зависшего осадка с учетом влияния дозы реагента и необратимой коагуляции примесных частиц. Построен алгоритм численно-асимптотического приближения решения соответствующей модельной малой нелинейной пространственной задачи для системы дифференциальных уравнений типа «конвекция-диффузия-массообмен». На этой основе проведен компьютерный эксперимент.
Сформовано та проаналізовано математичну модель очищення води у фільтрі-освітлювачі з урахуванням впливу дози реагенту та незворотної коагуляції домішкових частинок. Побудовано алгоритм числово-асимптотичного наближення розв’язку відповідної модельної малонелінійної просторової задачі для системи диференціальних рівнянь типу «конвекція-дифузія-масообмін». На цій основі проведено комп'ютерний експеримент.
in this work the mathematical model of water treatment is formed and analysed in the illuminator with the layer of hanging up sediment taking into account influence of dose of reagent and irreversible coagulation of impurity particles. The algorithm of the numericalasymptotic approaching of decision of corresponding model small nonlinear spatial problem was built for systems of differential equations as "convection-diffusion-mass transfer." On this basis, a computer experiment is conducted.
|
| issn |
0131-2928 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81026 |
| citation_txt |
Моделювання процесу очищення води фільтром-освітлювачем із шаром завислого осаду / А.Я. Бомба, А.П. Сафоник // Проблемы машиностроения. — 2014. — Т. 17, № 4. — С. 36-43. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT bombaaâ modelûvannâprocesuočiŝennâvodifílʹtromosvítlûvačemízšaromzavislogoosadu AT safonikap modelûvannâprocesuočiŝennâvodifílʹtromosvítlûvačemízšaromzavislogoosadu AT bombaaâ modellingthewatertreatmentprocesswiththeclarificationfilterwiththelayerofhangingupsediment AT safonikap modellingthewatertreatmentprocesswiththeclarificationfilterwiththelayerofhangingupsediment |
| first_indexed |
2025-11-26T09:34:24Z |
| last_indexed |
2025-11-26T09:34:24Z |
| _version_ |
1850619574195585024 |
| fulltext |
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 4 36
1 А. Я. Бомба, д-р. техн. наук
2 А. П. Сафоник, канд. техн. наук
1 Рівненський державний
гуманітарний університет
е-mail: abomba@ukr.net
2 Національний університет
водного господарства та
природокористування
м. Рівне, е-mail: safonik@ukr.net
Ключові слова: модель освітлення води, за-
дача з запізненням, просторова модель, асим-
птотичний розв’язок, конвекція-дифузія-
масообмін, збурення
УДК 519.63:532.5
МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСУ
ОЧИЩЕННЯ ВОДИ ФІЛЬТРОМ-
ОСВІТЛЮВАЧЕМ ІЗ ШАРОМ
ЗАВИСЛОГО ОСАДУ
Сформовано та проаналізовано математичну модель очи-
щення води у фільтрі-освітлювачі з урахуванням впливу дози
реагенту та незворотної коагуляції домішкових частинок.
Побудовано алгоритм числово-асимптотичного наближення
розв’язку відповідної модельної малонелінійної просторової
задачі для системи диференціальних рівнянь типу «конвекція-
дифузія-масообмін». На цій основі проведено комп'ютерний
експеримент.
Вступ
При підготовці питної води з природних джерел централізованого водопостачання викорис-
товується система, що складається з освітлювачів і фільтруючих пристроїв. Ці пристрої компактно
об’єднані в установці з плаваючим фільтруючим завантаженням, яка показала позитивні результати.
Максимальний ступінь очищення природної води залежить, як відомо, від дози реагенту.
В роботі [1] для установки, що поєднує процеси освітлення води і фільтрування, виконаної за
патентом [2], отримані моделі очищення природної води як в освітлювачі, так і в фільтрі. Для фільтра
враховано вплив дози реагенту, а для освітлювача такого обліку немає. У [2] відсутній кількісний
аналіз впливу дози реагенту (коагулянту) на роботу освітлювача. Автор вважає, що отриманий крите-
рій сепарації справедливий «при нормальних умовах роботи освітлювача: при правильному безпере-
бійному дозуванні коагулянту, при відсутності розбивання пластівців коагульованої суспензії і час-
тих, різких коливань продуктивності освітлювача і температури води ».
При очищенні води колоїдно-дисперсною системою процес розділення рідкої і твердої фаз ін-
тенсифікується за рахунок укрупнення домішкових частинок у агрегати за допомогою реагентних і
безреагентних методів. До перших належать методи введення у воду, що очищується, флокулянтів,
окислювачів, регуляторів pH, мінеральних замутнювачів. До других – перемішування води, обробле-
ної коагулянтами; різноманітні способи введення коагулянтів у воду; суміщення коагуляції коагулян-
тами, що гідролізуються, з фізичними методами коагуляції – обробки води у магнітному і електрич-
ному полях, іонізуючим опромінюванням, ультразвуком тощо. Накопичено колосальний експеримен-
тальний матеріал з цих питань. Проте його достовірність часто викликає сумніви. На необхідність
дуже обережного підходу до експериментального фонду звертав увагу, зокрема, Е. Д. Бабенков:
«Притягуючи у вибірковому порядку експериментальний матеріал, що стосується окремих питань
коагуляції можна обґрунтувати чи спростувати фактично будь-що, навіть теоретичні уявлення, які
суперечать одне одному», [3, с. 112.]Вищесказане свідчить про необхідність розвитку теорії процесів
очищення води з єдиних позицій на більш високому математичному рівні, ніж це прийнято в колоїд-
ній хімії, оскільки, очевидно, в загальному випадку складні процеси не можуть бути достатньо адек-
ватно описані елементарними методами [4–10].
Виходячи з вищесказаного метою даної роботи є формування та аналіз математичної моделі
очищення природної води в фільтрі-освітлювачі з урахуванням впливу дози реагенту та незворотної
коагуляції домішкових частинок.
Математична модель
Розглянемо криволінійний шестигранний фільтр Gz = ABCDA*B*C*D* (рис. 1), обмежений гла-
дкими, ортогональними між собою в кутових точках і ребрах, еквіпотенціальними поверхнями ABCD =
= {(x, y, z) : f1(x, y, z) = 0} = {(x, y, z) : z = f1
*(x, y)}, A*B*C*D* = {(x, y, z) : f2(x, y, z) = 0} = {(x, y, z) : z =
= f2
*(x, y)} (де f1(x, y, f1
*(x, y)) = 0, f2(x, y, f2
*(x, y)) = 0) та поверхнями течії ADD*A* = {z : f3(x, y, z) = 0},
© А. Я. Бомба, А. П. Сафоник 2014
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 4 37
BCC*B* = {z : f4(x, y, z) = 0}, ABB*A* = {z : f5(x, y, z) = 0}, CDD*C* = {z : f6(x, y, z) = 0}, (рис. 1, б), як ге-
ометричну інтерпретацію фільтра-освітлювача із шаром завислого осаду (рис. 1, а) [7].
Припускаємо [4, 5], що частинки забруднення домішок речовини можуть переходити з одного
стану в інший (процеси захоплення-відриву, сорбції-десорбції), при цьому концентрації забруднення
впливають на характеристики відповідного середовища. Відповідний процес фільтрування, як уза-
гальнення [6], опишемо такою модельною задачею:
( )( )( ) ( )
( )( )( )
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
∞×=∈Δ+∇⋅−−−=
∂
∂
−+−−∇⋅−−=
∂
∂
Δ+∇⋅−−−=
∂
+−∂
),,0(),,(,)τ,(β
),,(ε1ρ)τ,(α
,τ,γε1
*
1
ZU
C
GGzyxUDUvtMP
t
U
yxfzCaPgPvtMU
t
P
CDCvtMP
t
CCaP
rr
rr
rr
(1)
),(* tMCC ABCD = , ),(* tMPP ABCD = , ),(* tMUU ABCD = ,
0=
∂
∂
∗∗CCDDn
C
r , ,0
**
=
∂
∂
∗∗∗∗∗∗ ∪∪∪ DCDCAABBBBCCAADDn
C
r
0=
∂
∂
∗∗CCDDn
P
r , ,0
**
=
∂
∂
∗∗∗∗∗∗ ∪∪∪ DCDCAABBBBCCAADDn
P
r
0=
∂
∂
∗∗CCDDn
U
r , ,0
**
=
∂
∂
∗∗∗∗∗∗ ∪∪∪ DCDCAABBBBCCAADDn
U
r
),~,,,()~,,,( 0
0 tzyxCtzyxC = )~,,,()~,,,( 0
0 tzyxPtzyxP = ,
)~,,,()~,,,( 0
0 tzyxUtzyxU = , 0~τ,0 ≤≤−≤≤ tLx ; (2)
φ)κ( ∇= Pv
r
, 0=⋅∇ v
r
, (3)
*φφ =ABCD , *φφ
****
=DCBA , (4)
де C(M, t), P(M, t), U(M, t) – відповідно концентрації домішок, пластівців та речовин для створення
пластівців у фільтраційній течії [7] у внутрішній точці (x, y, z) області завантаження в момент часу t;
a) б)
Рис. 1. Схематичне зображення фільтра-освітлювача:
а) – поперечний переріз фільтра; б) – відповідна просторова фізична область Gz (1 – подача вихідної води,
2 – розподільна сиистема, 3 – пінополістирольна засипка, 4 – утримуюча решітка, 5 – надфільтровий простір,
6 – відвід чистої води)
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 4 38
∇
r
– оператор Гамільтона; ∇⋅∇=Δ
rr
– оператор Лапласа; γ – коефіцієнт, що характеризує захоплення
забруднених частинок пластівцями; α, β – відповідно коефіцієнти, що характеризують кількість реа-
генту для утворення пластівців та пластівців утворених реагентом за одиницю часу; g – прискорення
вільного падіння; ρ – густина; a – коефіцієнт трансформації (забруднень у пластівці); DC, DU – кое-
фіцієнти дифузії, де 10,10,ε,ε ≤<≤<== UCUUCC bbbDbD ; ε – малі параметри; τ > 0 – запізнення.
Відмітимо, що функції ),(* tMC , ),(* tMP , ),(* tMU , ),(),,(),,( 0
0
0
0
0
0 tMUtMPtMC є достатньо глад-
кими і узгодженими в кутових точках області їх задання. Крім цього вважаємо, що функції
),(),,( 0
0
0
0 tMPtMC ),(0
0 tMU при t = –τ та t = 0 задовольняють умови, які забезпечують необхідну для
проведення подальших викладок гладкість розв’язку C = C(M, t), P = P(M, t), U = U(M, t),
( , )U U M t= цієї задачі при t = τn (n = 1, 2, …); M – біжуча точка відповідної поверхні; ϕ – фільтра-
ційний потенціал ( ∞<≤≤< *
* φφφ0 ); ),,( zyx vvvv
r
– вектор швидкості фільтрації ( )ε|| >>> ∗vv
r
; n
r
–
зовнішня нормаль до відповідної поверхні.
Приймемо, що задача (3), (4) на просторове конформне відображення zGGw a
( }η0,ψ0,φφφ:)ηψ,φ,({ *
*
*
* QQwGw <<<<<<== — відповідна Gz область комплексного потен-
ціалу) при деякому усередненому значенні κ є розв’язана, зокрема, побудовано динамічну сітку та
поле швидкості v
r
, обчислено фільтраційну витрату Q = *
*QQ [4, 5]. Тоді, здійснивши заміну змінних
x = x(ϕ, ψ, η), y = y(ϕ, ψ, η), z = z(ϕ, ψ, η) у системі (1) та умовах (2), приходимо до відповідної задачі
для області Gw × (0, ∞) (див., наприклад, [5])
( )( )( )
( )( )( )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−−=
∂
∂
−+−−
∂
∂
−=
∂
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−−=
∂
+−∂
,
ηψηψφ
ε
φ
β
,φφε1ρ
φ
α
,
ηψηψφ
ε
φ
γε1
212
2
22
2
12
2
22
*
2
212
2
22
2
12
2
22
ududububuvduvp
t
u
capgpvu
t
p
cdcdcbcbcvdcvpc
t
ccap
uuuuu
ccccc
(5)
),ηψ,(),ηψ,,φ( ** tctc = , 0),ηψ,,φ( * =φ tc ,
0),,ψφ,(),0,ψφ,(),η,,φ(),η,0,φ( ηηψψ ==== ∗
∗ tQctctQctc ,
),ηψ,(),ηψ,,φ( ** tptp = , 0),ηψ,,φ( *
φ =tp ,
0),,ψφ,(),0,ψφ,(),η,,φ(),η,0,φ( ηηψψ ==== ∗
∗ tQptptQptp ,
),ηψ,(),ηψ,,φ( ** tutu = , 0),ηψ,,φ( *
φ =tu ,
0),,ψφ,(),0,ψφ,(),η,,φ(),η,0,φ( ηηψψ ==== ∗
∗ tQututQutu ,
)ηψ,φ,()0,ηψ,φ,( 0
0cc = , )ηψ,φ,()0,ηψ,φ,( 0
0ρ=ρ , )ηψ,φ,()0,ηψ,φ,( 0
0uu = , (6)
де )),ηψ,φ,(),ηψ,φ,(),ηψ,φ,((),ηψ,φ,( tzyxCtcc == ,
)),ηψ,φ,(),ηψ,φ,(),ηψ,φ,((),ηψ,ρ(φ,ρ tzyxPt == ,
)),ηψ,φ,(),ηψ,φ,(),ηψ,φ,((),ηψ,φ,( tzyxUtuu == .
Асимптотика розв’язку
Задачу (5)–(6) (із запізненням τ) зведемо до послідовності задач без запізнення (на часових
проміжках [(n – 1)τ, nτ], n = 1, 2, …) [5]
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 4 39
( )( )( )
( )( )( )
),0,ηψ,,φ()0,ηψ,,φ(
),τ,ηψ,,φ()τ,ηψ,,φ(),ηψ,,φ(
),,ηψ,()τ,ηψ,,φ(
),0,ηψ,,φ()0,ηψ,,φ(
),τ,ηψ,,φ()τ,ηψ,,φ(),ηψ,,φ(
),,ηψ,()τη,ψ,,φ(
),0,ηψ,,φ()0,ηψ,,φ(
),τ,ηψ,,φ()τ,ηψ,,φ(),ηψ,,φ(
),η,ψ,()τ,ηψ,,φ(
,
ηψηψφ
ε
φ
β
,φφε1ρ
φ
α
,
ηψηψφ
ε
φ
γε1
*
0
0*
]0[
*
]1[
*
][
*
**
][
*
0
0*
]0[
*
]1[
*
][
*τ
**
][
*
0
0*
]0[
*
]1[
*
][
*τ
**
][
][
2
][
12
][2
22
][2
12
][2
2
][
2
τ
][
*
][][
][
2
][
][
2
][
12
][2
22
][2
12
][2
2
][
2
ττ
][][][
uu
tututu
tutu
pp
tptptp
tptp
cc
tctctc
tctc
ududububuvduvp
t
u
capgpvu
t
p
cdcdcbcbcvd
cvcp
t
ccap
nn
n
n
nn
n
n
nn
n
n
n
u
n
u
n
u
n
u
n
u
n
n
n
nn
n
n
n
n
c
n
c
n
c
n
c
n
c
n
nn
nnn
=
−=−=
=−
=
−=−=
=−
=
−=−=
=−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−−=
∂
∂
−+−−
∂
∂
−=
∂
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
+
∂
∂
−−=
∂
+−∂
−
τ
−
−
τ
(7)
Розв’язок задачі (7) з точністю O(εn) шукаємо у вигляді асимптотичних рядів [4, 5]
+++++= ∑∑∑∑
+
====
1
0
[n]2
0
[n]
0
[n]
1
[n][n]
0
[n] ~
εεεε
n
j
j
j
n
j
j
j
n
j
j
j
n
j
j
j ПППccc
(
[n]
1
0
[n]2
1
0
[n]2
1
0
[n]2 εε
~~
ε c
n
j
j
j
n
j
j
j
n
j
j
j RППП ++++ ∑∑∑
+
=
+
=
+
=
)))
,
+++++= ∑∑∑∑
+
====
1
0
[n]2
0
[n]
0
[n]
1
[n][n]
0
[n] ~
εεεε
n
j
j
j
n
j
j
i
n
j
j
j
n
j
j
j PPPppp
(
[n]
1
0
[n]2
1
0
[n]2
1
0
[n]2 εε
~~
ε p
n
j
j
j
n
j
j
j
n
j
j
j RPPP ++++ ∑∑∑
+
=
+
=
+
=
)))
, (8)
+++++= ∑∑∑∑
+
====
1
0
[n]2
0
[n]
0
[n]
1
[n][n]
0
[n] ~
εεεε
n
j
j
j
n
j
j
i
n
j
j
j
n
j
j
j UUUuuu
(
[n]
1
0
[n]2
1
0
[n]2
1
0
[n]2 εε
~~
ε u
n
j
j
j
n
j
j
j
n
j
j
j RUUU ++++ ∑∑∑
+
=
+
=
+
=
)))
,
де )ε,η,ψ,φ,(),ε,η,ψ,φ,(),ε,η,ψ,φ,( [n][n][n] tRtRtR upc – залишкові члени; ),ηψ,φ,([n] tc j , ),ηψ,φ,([n] tp j ,
),ηψ,φ,([n] tu j – члени регулярної частини асимптотики (j = 0, 1, …, n); ),ηψ,ξ,([n] tП j , ),ηψ,ξ,([n] tPj ,
),ηψ,ξ,([n] tU j – функції типу примежового шару в околі на часових проміжках *φ=φ (поправки на
виході з фільтра) (j = 0, 1, 2); ),ηψ,,ξ([n] tП j
((
, ),ηψ,,ξ([n] tPj
((
, ),ηψ,,ξ([n] tU j
((
– в околі *φφ = (поправки на
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 4 40
вході у фільтр) (j = 0, 1, 2), а функції ),η,ψ~φ,(
~[n] tП j , ( )[n] φ,ψ,η,jП t% %% % , ),η~ψ,φ,([n] tП j
)
, ),η
~~ψ,φ,([n] tП j
))
,
),η,ψ~φ,(
~
tPj , ),η,ψ
~~φ,(
~~
tPj , ),η~ψ,φ,( tPj
)
, ),η
~~ψ,φ,( tPj
))
, ),η,ψ~φ,(
~
tU j , ),η,ψ
~~φ,(
~~
tPj , ),η~ψ,φ,([n] tPj
)
,
),η
~~ψ,φ,([n] tPj
))
(j = 0, 1, 2, 3) – в околах ψ = 0, ψ = Q*, η = 0, η = Q* (поправки на бічних стінках фільтра),
відповідно; ( ) ( ) εφφ=ξ,εφφ=ξ *
* −−
(
, ( ) εψψ~ * −= Q , εψ=ψ
~~ , ( ) εηη~ * −= Q , εη=η
~~ .
Аналогічно [5], в результаті підстановки (8) в (7), застосування стандартної «процедури
прирівнювання», та розв’язання відповідних проміжних задач маємо
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<−−
≥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
=
−
∫
∗
,,]γexp[)ηψ,),ηψ,,((
,,
)ηψ,,φ~(
φ~γexp)η,ψ,(
ττ
10
0
φ
φ
2
ττ
*[n]
0
fttcptffc
ft
v
dcpftc
c
nn
nn
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
<
−+
−+
−
≥
+−
=
∫
∫
−
−
−
−
−
,,
)ηψ,),ηψ,,((
),ηψ,),ηψ,,((
,,
)ηψ,,(
))ηψ,,(,ηψ,,(
τ)1(
),ηψ,φ,(λ
1[n]
1[n]
λ
φ
φ
),ηψ,,(λ
2
[n]
λ
[n]
21
0
21
ftdse
tfsfc
stfsfC
e
ftdse
sv
tfsfsC
e
c
t
n
s
j
j
tsj
j
cc
cc
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<−
≥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
−
∫
,,]αexp[)ηψ,),ηψ,,((
,,
)ηψ,,φ~(
φ~αexp),ηψ,(
τ
10
0
φ
φ
2
τ
*[n]
0 *
fttutffp
ft
v
duftp
p
n
n
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
<−+−
≥
+−
=
∫
∫
−
−−
−
,,),ηψ,),ηψ,,((
,,
)ηψ,,(
))ηψ,,(,ηψ,,(
τ)1(
)η,ψ,φ,(λ1[n]λ
φ
φ
),ηψ,,(λ
2
[n]
λ
[n]
21
0
21
ftdsestfsfPe
ftdse
sv
tfsfsP
e
p
t
n
s
j
tsj
j
pp
pp
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<−−
≥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
=
−
∫
∗
,,]βexp[)ηψ,),ηψ,,((
,,
)ηψ,,φ~(
φ~βexp),ηψ,(
τ
10
0
φ
φ
2
τ
*[n]
0
fttptffu
ft
v
dpftu
u
n
n
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
<−+−
≥
+−
=
∫
∫
−
−−
−
,,),ηψ,),ηψ,,((
,,
)ηψ,,(
))ηψ,,(,ηψ,,(
τ)1(
),ηψ,φ,(λ1[n]λ
φ
φ
),ηψ,,(λ
2
[n]
λ
[n]
21
0
21
ftdsestfsfUe
ftdse
sv
tfsfsU
e
u
t
n
s
j
tsj
j
де
t
c
t
c
a
t
p
c
n
j
n
j
n
j
j ∂
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
= −−−
][
1
][
1
][
1[n] , (j = 2, 3, …, n),
[n]
1
[n]
1
[n]
2
[n]
12
[n]2
22
[n]2
12
[n]2
2[n] γ
ηψηψφ
),ηψ,φ,( −−−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= jj
j
c
j
c
j
c
j
c
j
cij cp
c
d
c
d
c
b
c
b
c
vdtC ,
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 4 41
ds
sv
ftfscftfsp
t jj
c ∫
−+−+
−= −−
φ
φ
2
[n]
1
[n]
1
1
0
)ηψ,,(
))ηψ,,φ~(,ηψ,,())ηψ,,φ~(,ηψ,,(
γ),ηψ,φ,(λ ,
∫
−
−
−
−
−
−
−+
−+−+
−=
t
n j
jj
c sd
tftfc
stfsfcstfsfp
t
τ)1(
1[n]
1[n]
1
1[n]
1
2
~
)ηψ,),ηψ,,)ηψ,φ,(~((
)~,ηψ,),ηψ,,)ηψ,φ,(~(()~,ηψ,),ηψ,,)ηψ,φ,(~((
γ),ηψ,φ,(λ ,
( ) )φφ(ρα),ηψ,φ,( *
][
1
][
1
][
1
[n]
1
[n] −+−= −−−−
n
j
n
j
n
jjj ccapgutP ,
ds
sv
ftfsu
t j
p ∫
−+
= −
φ
φ
2
1
1
0
)ηψ,,(
))ηψ,,φ~(,ηψ,,(
α),ηψ,φ,(λ ,
∫
−
−
− −+=
t
n
jp sdstfsfut
τ)1(
1[n]
12
~)~η,ψ,),ηψ,,)ηψ,φ,(~((α),ηψ,φ,(λ ,
[n]
1
[n]
2
[n]
12
[n]2
22
[n]2
12
[n]2
2[n] β
ηψηψφ
),ηψ,φ,( −−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= j
j
u
j
u
j
u
j
u
j
uij p
u
d
u
d
u
b
u
b
u
vdtC ,
ds
sv
ftfsp
t j
u ∫
−+
−= −
φ
φ
2
[n]
1
1
0
)ηψ,,(
))ηψ,,φ~(,ηψ,,(
β),ηψ,φ,(λ ,
∫
−
−
− −+−=
t
n
ju sdstfsfpt
τ)1(
1[n]
12
~)~,ηψ,),ηψ,,)ηψ,φ,(~((β),ηψ,φ,(λ ,
∫=
φ
φ
2
0
)η,ψ,(
)η,ψφ,(
sv
dsf – час проходження відповідною частинкою шляху від точки
∗∗∈ AABBzyx ))η,ψ,φ(),η,ψ,φ(),η,ψ,φ(( *** до точки z))η,ψφ,(),η,ψφ,(),η,ψφ,(( Gzyx ∈ уздовж від-
повідної лінії течії (як перетину деяких двох поверхонь ,ψ0,ψ),,ψ( *Qzyx ≤≤= η),,η( =zyx ,
*η0 Q≤≤ ); f –1 – функція, обернена до f відносно змінної ϕ (відзначимо, що така функція існує, оскіль-
ки v2(φ, ψ, η) – неперервно диференційовна, обмежена, додатно визначена функція).
Функції ),ηψ,ξ,([n] tП j , ),ηψ,ξ,([n] tPj , ),ηψ,ξ,([n] tU j , ),ηψ,,ξ([n] tП j
((
, ),ηψ,,ξ([n] tPj
((
, ),ηψ,,ξ([n] tU j
((
,
),η,ψ~φ,(
~[n] tП j , ),η,ψ
~~φ,(
~~[n] tП j , ),η~ψ,φ,([n] tП j
)
, ),η
~~ψ,φ,([n] tП j
))
, ( )φ,ψ,η,jP t% % , ),η,ψ
~~φ,(
~~
tPj , ),η~ψ,φ,( tPj
)
,
),η
~~ψ,φ,( tPj
))
, ),η,ψ~φ,(
~
tU j , ),η,ψ
~~φ,(
~~
tPj , ),η~ψ,φ,([n] tPj
)
знаходяться аналогічно [5]. Оцінка залишкових
членів проводиться аналогічно [5].
Результати числових розрахунків
Наведемо результати числового експерименту при )φexp(100)ηψ,φ,( 20
0 −=c мг/л,
100),ηψ,(* =tc мг/л, 0)ηψ,φ,(0
0 =p мг/л, 0),ηψ,(* =tp мг/л, 100)ηψ,φ,(0
0 =u мг/л, 0),ηψ,(* =tu мг/л,
γ = 1/10, α = ¼, ε = 0,01. Для такого фільтра характерна значна просторовість засипки, «монотонність
звуження» в напрямку від входу до виходу фільтра (вибір саме такої форми «підказує» практика) та
взаємна ортогональність граней уздовж ребер і в кутових точках (це суттєве для спрощення процедури
побудови просторового конформного відображення). На основі [5] побудовано розрахункову динамічну сіт-
ку в Gz: ( )[ ] nizyx i *
*
*
df
φφφφ),,φ( −+== , i = 0, 1, …, n, ( ) ,ψ),,ψ(
df
mjQzyx j ∗== j = 0, 1, …, m,
( ) lkQzyx k
∗==
df
η),,η( , k = 0, 1, …, l для φ * = 0, φ * = 6000, κ = 1, n = 30, m = 16, l = 16 (параметри n, m і
l вибирали з умови найбільшої подібності побудованої сітки до кубічної), знайдено фільтраційну ви-
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 4 42
трату Q = 0,341, обчислено величини швидкості фільтрації |v| та функцій di0(φ, ψ, η) (i = 1, 2). При цьо-
му нев’язки розрахованих конструкцій не перевищують 0,001 [5].
На рис. 2–4 зображено розподіли c, p і u при t0 = 0,1, t0 = 0,3, t0 = 0,5, t0 = 0,7 год.
Як бачимо, концентрація домішок та коагулянтів вздовж фільтра-освітлювача з часом спадає,
що підтверджує загальновідомий факт. Розподіл же концентрації пластівців (див. рис. 3) на початку
фільтра стрімко зростає, до досягнення деякого стану «насичення», після чого починає спадати. Це
пояснюється тим, що саме в перших шарах фільтра під дією коагулянтів, відбувається реакція ство-
рення пластівців.
Висновки
Сформовано та проаналізовано математичну модель очищення води в освітлювачі з ураху-
ванням впливу дози реагенту та незворотної коагуляції домішкових частинок. Побудовано алгоритм
числово-асимптотичного наближення розв’язку відповідної модельної малонелінійної просторової
задачі для системи диференціальних рівнянь типу «конвекція-дифузія-масообмін». Отримано розра-
хункові залежності концентрацій домішок, пластівців та речовин для створення пластівців у фільтра-
ційній течії з метою інженерного прогнозування залежності між затратами на виробництво фільтра-
освітлювача та ступенем ефективності його роботи. В перспективі передбачається узагальнення по-
будованої моделі з метою оптимізації основних її параметрів.
Література
1. Филипчук, В. Л. Рационализация технологических схем
очистки металсодержащих многокомпонентних сточ-
них вод промышленных предприятий / В. Л. Филипчук
// Химия и технология воды. – 2002. – Т. 24, № 6. –
C. 567–577.
2. Долина, Л. Ф. Современная техника и технологии для
очистки сточных вод от солей тяжелых металлов /
Л. Ф. Долина. – Днепропетровск: Континент, 2008.–
254 с.
3. Бабенков, Е. Д. Очистка воды коагулянтами / Е. Д. Ба-
бенков. – М.: Наука, 1977. – 355 с.
4. Бомба, А. Я. Нелінійні сингулярно-збурені задачі типу
«конвекція–дифузія» / А. Я. Бомба, С. В. Барановський,
І. М. Присяжнюк. – Рівне: Нац. ун-т водн. госп-ва та
природокористування, 2008. – 252 с.
5. Нелінійні задачі типу фільтрація-конвекція-дифузія-
масообмін за умов неповних даних / А. Я. Бомба,
Рис. 2. Розподіл концентрації домішок c
в різні моменти часу
Рис. 3. Розподіл концентрації пластівців p
в різні моменти часу
Рис. 4. Розподіл концентрації речовини для
створення пластівців u в різні моменти часу
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 4 43
В. І. Гаврилюк, А. П. Сафоник, О. А. Фурсачик. – Рівне: Нац. ун-т. водн. госп-ва та природокористування,
2011. – 276 с.
6. Бомба, А. Я. Комп’ютерне моделювання процесу освітлення води на прояснювачах із шаром завислого оса-
ду / А.Я. Бомба, В.М. Сівак, А.П. Сафоник // Вісник НУВГП: Зб. наук. пр. – Вип. 4 (40). Ч. 2. – Рівне:
НУВГП. – 2007. – С. 365–372.
7. Запольський, А. К. Водопостачання, водовідведення та якість води / А. К. Запольський. – К.: Вища шк., 2005.
– 671 с.
8. Cussler, E. L. Diffusion mass transfer in fluid systems / E. L. Cussler. – Cambridge University Press, 2009. – 631 p.
9. Numerical identification of parameters for a strongly degenerate convection-diffusion problem modelling
centrifugation of flocculated suspensions / S. Berres, R. Burger, A. Coronel, M. Sep'ulveda // Appl. Numer. Math. –
2005. – № 52. – Р. 311–337.
10. Berres, S. Modeling and simulations of polydisperse suspensions / S. Berres // Doctoral Thesis, University of
Stuttgart, 2006.
Поступила в редакию 21.06.14
А. В. Горошко,
канд. техн. наук
В. П. Ройзман,
д-р. техн. наук
Хмельницький
національний
університет,
м. Хмельницький,
e-mail:
iftomm@ukr.net
Ключові слова: допуски,
параметричний синтез,
працездатність, обернена
задача
УДК 681.5.015.63
ПАРАМЕТРИЧНИЙ СИНТЕЗ ДОПУСКІВ ЯК
МНОЖИННА ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ
ПРАЦЕЗДАТНОСТІ СКЛАДНИХ ТЕХНІЧНИХ
СИСТЕМ
Розглянутий сучасний стан проблеми параметричного синтезу допусків. Запро-
поновані формалізація і розв’язання задачі параметричного синтезу допусків як
оберненої задачі забезпечення працездатності складних технічних систем з вико-
ристанням сучасних підходів до розв’язку обернених задач загалом і параметрич-
ного синтезу зокрема. Для побудови області працездатності технічної системи
запропоновано розв’язувати задачу обґрунтованого вписування поля допусків у
вигляді гіперпаралелепіпеда в область працездатності за допомогою критерію
вартості. Показано, що для уточнення апроксимації області працездатності
полем допусків ефективним є використання нерегулярних сіток та методу пара-
метричного синтезу за критерієм запасу працездатності.
1. Вступ
Будь-яку складну технічну систему можна подати як систему з n вхідними параметрами xi,
i = 1, 2, …, n і m вихідними параметрами Yi, i = 1, 2, …, m. Тоді система характеризується вектором
вхідних x = (x1, x2, …, xn)T і вектором вихідних Y = (Y1, Y2, …, Ym)T параметрів.
Створення будь-якої нової машини, механізму, технологічної, медично-біологічної та інших
систем і процесів починається із задання технічних умов на вихідні параметри, які називають умова-
ми працездатності. Ці умови виражаються у вигляді номінальних значень вихідних параметрів
Y0 = (Y01, Y02, …, Y0m)T і допусків на їх значення як
Y0i – δi ≤ Y0i ≤ Y0i + δi, i = 1, 2, …, m, (1)
або лише як нерівності типу
[yi] ≤ Yi ≤ [Yi], i = 1, 2, …, m. (2)
Умови працездатності утворюють область допустимих значень Dy, геометричним відобра-
женням якої у прямокутній декартовій системі координат простору вихідних параметрів Rm є ортого-
нальний паралелепіпед допусків Dy = {y ∈ Rm | [yi] ≤ Yi ≤ [Yi], i = 1, 2, …, m}.
Часто обмеження встановлюються і на вхідні параметри системи, наприклад, типу
[xi] ≤ Xi ≤ [Xi], i = 1, 2, …, n. (3)
© А. В. Горошко, В. П. Ройзман, 2014
|