Параметричний синтез допусків як множинна обернена задача забезпечення працездатності складних технічних систем
Рассмотрено современное состояние проблемы параметрического синтеза допусков сложных технических систем. Предложена формализация параметрического синтеза допусков как обратной задачи обеспечения работоспособности сложных технических систем. Решение этой задачи должно осуществляться с использованием...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы машиностроения |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81027 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Параметричний синтез допусків як множинна обернена задача забезпечення працездатності складних технічних систем / А.В. Горошко, В.П. Ройзман // Проблемы машиностроения. — 2014. — Т. 17, № 4. — С. 43-50. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860063948232982528 |
|---|---|
| author | Горошко, А.В. Ройзман, В.П. |
| author_facet | Горошко, А.В. Ройзман, В.П. |
| citation_txt | Параметричний синтез допусків як множинна обернена задача забезпечення працездатності складних технічних систем / А.В. Горошко, В.П. Ройзман // Проблемы машиностроения. — 2014. — Т. 17, № 4. — С. 43-50. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы машиностроения |
| description | Рассмотрено современное состояние проблемы параметрического синтеза допусков сложных технических систем. Предложена формализация параметрического синтеза допусков как обратной задачи обеспечения работоспособности сложных технических систем. Решение этой задачи должно осуществляться с использованием современных подходов к решению обратных задач в целом и параметрического синтеза в частности. Предложено представлять поля допусков в виде гиперпараллелепипедов. Для построения области работоспособности технической системы предложено решать задачу обоснованного вписывания поля допусков в виде гиперпараллелепипеда в область работоспособности с помощью критерия стоимости, решая задачу векторной оптимизации при наличии ограничений. Показано, что для уточнения аппроксимации области работоспособности полем допусков эффективно использование нерегулярных сеток как модифицированного метода матричных испытаний и метода параметрического синтеза по критерию запаса работоспособности.
Розглянутий сучасний стан проблеми параметричного синтезу допусків. Запропоновані формалізація і розв’язання задачі параметричного синтезу допусків як оберненої задачі забезпечення працездатності складних технічних систем з використанням сучасних підходів до розв’язку обернених задач загалом і параметричного синтезу зокрема. Для побудови області працездатності технічної системи запропоновано розв’язувати задачу обґрунтованого вписування поля допусків у вигляді гіперпаралелепіпеда в область працездатності за допомогою критерію вартості. Показано, що для уточнення апроксимації області працездатності полем допусків ефективним є використання нерегулярних сіток та методу параметричного синтезу за критерієм запасу працездатності.
The paper considers the current state of the problem of parametric tolerances synthesis for complex technical systems. A formalization of parametric synthesis of tolerances as the inverse ensure efficiency of complex technical systems. This task should be carried out with the use of modern approaches to the solution of inverse problems in general and the particular parametric synthesis. Requested to provide tolerances as hyper parallelepiped. To construct the field of technical efficiency of the system suggested to solve the problem of incorporating sound tolerances as hyper parallelepiped to performance using criterion value, solving vector optimization problems with constraints. It is shown that the approximation to clarify the area of efficiency field tolerances effectively use irregular grids as a modification of the method of matrix test and parametric synthesis method according to the criterion of efficiency of stock.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:06:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 4 43
В. І. Гаврилюк, А. П. Сафоник, О. А. Фурсачик. – Рівне: Нац. ун-т. водн. госп-ва та природокористування,
2011. – 276 с.
6. Бомба, А. Я. Комп’ютерне моделювання процесу освітлення води на прояснювачах із шаром завислого оса-
ду / А.Я. Бомба, В.М. Сівак, А.П. Сафоник // Вісник НУВГП: Зб. наук. пр. – Вип. 4 (40). Ч. 2. – Рівне:
НУВГП. – 2007. – С. 365–372.
7. Запольський, А. К. Водопостачання, водовідведення та якість води / А. К. Запольський. – К.: Вища шк., 2005.
– 671 с.
8. Cussler, E. L. Diffusion mass transfer in fluid systems / E. L. Cussler. – Cambridge University Press, 2009. – 631 p.
9. Numerical identification of parameters for a strongly degenerate convection-diffusion problem modelling
centrifugation of flocculated suspensions / S. Berres, R. Burger, A. Coronel, M. Sep'ulveda // Appl. Numer. Math. –
2005. – № 52. – Р. 311–337.
10. Berres, S. Modeling and simulations of polydisperse suspensions / S. Berres // Doctoral Thesis, University of
Stuttgart, 2006.
Поступила в редакию 21.06.14
А. В. Горошко,
канд. техн. наук
В. П. Ройзман,
д-р. техн. наук
Хмельницький
національний
університет,
м. Хмельницький,
e-mail:
iftomm@ukr.net
Ключові слова: допуски,
параметричний синтез,
працездатність, обернена
задача
УДК 681.5.015.63
ПАРАМЕТРИЧНИЙ СИНТЕЗ ДОПУСКІВ ЯК
МНОЖИННА ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ
ПРАЦЕЗДАТНОСТІ СКЛАДНИХ ТЕХНІЧНИХ
СИСТЕМ
Розглянутий сучасний стан проблеми параметричного синтезу допусків. Запро-
поновані формалізація і розв’язання задачі параметричного синтезу допусків як
оберненої задачі забезпечення працездатності складних технічних систем з вико-
ристанням сучасних підходів до розв’язку обернених задач загалом і параметрич-
ного синтезу зокрема. Для побудови області працездатності технічної системи
запропоновано розв’язувати задачу обґрунтованого вписування поля допусків у
вигляді гіперпаралелепіпеда в область працездатності за допомогою критерію
вартості. Показано, що для уточнення апроксимації області працездатності
полем допусків ефективним є використання нерегулярних сіток та методу пара-
метричного синтезу за критерієм запасу працездатності.
1. Вступ
Будь-яку складну технічну систему можна подати як систему з n вхідними параметрами xi,
i = 1, 2, …, n і m вихідними параметрами Yi, i = 1, 2, …, m. Тоді система характеризується вектором
вхідних x = (x1, x2, …, xn)T і вектором вихідних Y = (Y1, Y2, …, Ym)T параметрів.
Створення будь-якої нової машини, механізму, технологічної, медично-біологічної та інших
систем і процесів починається із задання технічних умов на вихідні параметри, які називають умова-
ми працездатності. Ці умови виражаються у вигляді номінальних значень вихідних параметрів
Y0 = (Y01, Y02, …, Y0m)T і допусків на їх значення як
Y0i – δi ≤ Y0i ≤ Y0i + δi, i = 1, 2, …, m, (1)
або лише як нерівності типу
[yi] ≤ Yi ≤ [Yi], i = 1, 2, …, m. (2)
Умови працездатності утворюють область допустимих значень Dy, геометричним відобра-
женням якої у прямокутній декартовій системі координат простору вихідних параметрів Rm є ортого-
нальний паралелепіпед допусків Dy = {y ∈ Rm | [yi] ≤ Yi ≤ [Yi], i = 1, 2, …, m}.
Часто обмеження встановлюються і на вхідні параметри системи, наприклад, типу
[xi] ≤ Xi ≤ [Xi], i = 1, 2, …, n. (3)
© А. В. Горошко, В. П. Ройзман, 2014
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 4 44
Ці допуски в прямокутній декартовій системі координат простору вхідних параметрів Rn
утворюють ортогональний паралелепіпед допусків Bd = {x ∈ Rn | [xi] ≤ Xi ≤ [Xi], i = 1, 2, …, n}, який
ще називають брусом допусків [1].
Далі перед розробниками стоїть задача спроектувати, сконструювати, виготовити і довести
об’єкт, який виконує задані функції, щоб його вихідні параметри відповідали б умовам працездатно-
сті, чим буде забезпечений необхідний рівень якості. Іншими словами, необхідно знайти область
працездатності Dx = {x ∈ Rn}, тобто множину точок простору вхідних параметрів досліджуваної си-
стеми Rn, в яких виконуються умови працездатності.
Задача побудови області працездатності, вибору номінальних значень вхідних параметрів
x0 = (x01, x02, …, x0n)T і допусків на них називається задачею параметричного синтезу [2, 3]. Відомі на
сьогодні методи параметричного синтезу, описані, наприклад, в роботах [1–6], для генерування точок
простору вхідних параметрів Rn і перевірці їх належності до області працездатності Dx використову-
ють метод Монте-Карло. Але навіть використовуючи найсучасніші комп’ютери такий підхід викли-
кає значні труднощі через відсутність інформації про закономірності випадкових процесів варіації
параметрів і величезний обсяг необхідних при цьому обчислень для розв’язання таких задач зі стоха-
стичними критеріями. Тому на сьогодні розвиток теорії параметричного синтезу ведеться в сторону
пошуку методів і алгоритмів зменшення необхідних обчислень, таких, як ефективний вибір розміру
сітки представлення області працездатності [1] або розпаралелювання обчислень на багатопроцесор-
них комп’ютерах [5]. Заслуговує також на увагу метод, розроблений у роботі [7], але його застосу-
вання обмежене припущенням про нормальний закон розподілу допусків.
В даній роботі пропонується формалізувати і розв’язати задачу параметричного синтезу до-
пусків як обернену задачу забезпечення працездатності технічних систем. Розв’язання даної складної
задачі має здійснюватись з використанням сучасних підходів до розв’язання обернених задач і пара-
метричного синтезу.
2. Постановка задачі параметричного синтезу допусків
Нехай в загальному випадку зв’язок між вихідними і вхідними характеристиками технічної
системи задається системою функціональних залежностей
Yi = f(x1, x2, …, xn), i = 1, 2, …, m, x ∈ Rn, y ∈ Rm. (4)
Задача параметричного синтезу полягає у виборі номінальних вхідних параметрів
x0 = (x01, x02, …, x0n)T, які забезпечують максимум імовірності умов працездатності протягом заданого
часу
x0 = arg minP{X(x0, t) ∈ Dx, ∀t ∈ [0, T]}, (5)
де X(x0, t) – випадковий процес зміни вхідних параметрів, t – момент часу, T – максимальна трива-
лість експлуатації технічної системи [1, 5].
Труднощі розв’язання задачі (5) полягають у тому, що закони зміни X(x0, t) невідомі, інфор-
мація про область Dx є також невідомою, отже перевірка X(x0, t) ∈ Dx є неможливою. Тому цю пере-
вірку замінюють на перевірку умов працездатності (2) шляхом обчислення вихідних параметрів (4)
по кожному окремо взятому вектору вхідних параметрів [1,5,6]. Для моделювання використовують
метод Монте-Карло. В такому вигляді задача є прямою.
В даній роботі ставиться задача визначення області Dx шляхом розв’язання множинної обер-
неної задачі, тобто необхідно знайти таку область Dx, для якої виконується ∀x ∈ Dx, Y = Y(X),
∀Y ∈ Dy. Іншими словами, необхідно знайти область Dx, x ∈ Rn, яка є відображенням області Dy,
y ∈ Rm. При цьому функціональні залежності типу (4) можуть бути як детермінованими, так і стохас-
тичними. Термін «множинна» обернена задача підкреслює, що її розв’язання передбачає визначення
множини значень (області) в просторі вхідних параметрів. Цією обставиною вона відрізняється від
традиційно розв’язуваних в багатьох галузях техніки точкових обернених задач, в яких за наперед
відомим вектором параметрів на виході визначається лише один вектор первинних факторів чи (або)
параметрів.
Початковим етапом розв’язання такої оберненої задачі є створення ефективних математичних
моделей з уточненими коефіцієнтами, приведеними до конкретної моделі, і подолання труднощів,
пов’язаних із некоректністю оберненої задачі, стохастичністю даних, що підставляються у модель та
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 4 45
ін. Відмітимо, що обернене відображення точки y ∈ Rm в точку x ∈ Rn не завжди однозначне: одному
і тому ж значенню набору вихідних параметрів можуть відповідати декілька різних векторів вхідних
параметрів, тому без застосування спеціальних ефективних методів розв’язання обернених задач не-
можливо отримати достовірні результати. Шляхи вирішення комплексу перелічених проблем і труд-
нощів виходять за межі цієї статті і описані у інших роботах авторів, наприклад у [8, 9].
Встановлені і уточнені залежності між вихідними і вхідними характеристиками (4) об’єкта
дозволяють записати систему нерівностей, розв’язання якої і становить основну мету поставленої за-
дачі. Для цього слід вибрати значення [yi] і [Yi], i = 1, 2, …, m, що регламентують якість роботи
об’єкта, або безпосередньо із ТУ, або з міркувань забезпечення тих чи інших властивостей даного
об’єкта або його елементів. Крім того, необхідно по можливості із виробничих, фізичних та інших
міркувань вказати найширші межі множин можливих значень вхідних параметрів (3). В результаті
система функціональних обмежень буде мати вигляд
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∈=≤≤
∈=≤≤
.,,,2,1],[][
,,,2,1],[),...,,(][ 21
n
jjj
m
ilii
xnjXXx
ymiYxxxfy
R
R
K
K
(6)
Для деяких первинних факторів необхідно враховувати такі можливості їх практичної реалі-
зації, як, наприклад, цілочисельність значень. В цьому випадку складають додаткові обмеження типу
xi = 1, 2, …, L.
Область працездатності Dx, Dx ⊆ Bd є відображенням у просторі вхідних параметрів Rn гіпер-
паралелепіпеда Dy, утвореного умовами працездатності (2), причому Dx має довільну невідому конфі-
гурацію і орієнтацію. Безпосередній пошук всіх точок області Dx викликає неабиякі труднощі. Одним
із способів наближеного визначення області Dx є її апроксимація полем допусків Kx, що являє собою
гіперпаралелепіпед допусків.
3. Одержання поля допусків у вигляді гіперпаралелепіпеда
Через природність обмеження значень вхідних параметрів досліджуваного об’єкта в загаль-
ному випадку двосторонніми межами пропонується розв’язок задачі шукати у вигляді області Kx,
утвореної нерівностями типу
xi min ≤ xi ≤ xi max, i = 1, 2, …, n. (7)
Геометрично це означає вписування в криволінійну область n-вимірного простору вхідних
параметрів Rn, що визначається системою нерівностей (3), n-вимірного паралелепіпеда Kx, утвореного
(7). Така задача, взагалі кажучи, має неєдиний розв’язок, оскільки таких паралелепіпедів у вказану
область може бути вписано незліченна безліч. При цьому кожен такий паралелепіпед може бути по-
вністю визначений заданням номінальної точки x0 = {x10, x20, …, xn0}, яка завідомо лежить у шуканій
області, і, в загальному випадку, набором значень нижніх і верхніх відхилень первинних факторів від
їх номінальних значень Δ = {δ1, δ2, …,δ2n}
xi0 – δ2i–1 ≤ xi0 ≤ xi0 + δ2i–1, i = 1, 2, …, n.
При цьому номінальна точка може лежати всередині або на границі поля допуску, і мають мі-
сце співвідношення
⎩
⎨
⎧
=−=δ
−=δ −
.,,2,1,][
][
02
012
nixx
xx
iii
iii
K
В запропонованому методі описана задача ставиться як задача вписування в область Dx гіпер-
паралелепіпеда Kx, що має максимальний об’єм. Здавалося б, що якщо поле допусків Kx, обмежене
об’ємом гіперпаралелепіпеда, утвореного (7), лежить всередині області працездатності Dx, то процес
проектування успішно завершений і виріб можна передавати у виробництво. Але оскільки визначені
на стадії проектування допуски в подальшому використовуються як критерії відбракування на конт-
рольних операціях при виготовленні виробів, то вони будуть визначати ефективність процесу вироб-
ництва. Отримання прийнятних допусків не забезпечує найкращої ефективності процесу виготовлен-
ня спроектованого виробу і вимагає оптимізації допусків на вхідні параметри системи. На жаль, на
сьогоднішній день відсутні методи розв’язання задач оптимізації допусків, а окремі спроби створення
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 4 46
таких методів носять частковий характер і не можуть
бути використані при проектуванні широкого кола скла-
дних об’єктів [4].
В роботі [4] запропонований узагальнений метод
оптимізації допусків, що дозволяє при певних умовах
обґрунтовано проводити заміну Dx на Kx.
4. Заміна області працездатності на поле допусків
Розглянемо двопараметричний випадок, схема-
тично поданий на рис. 1, де показано дві області: об-
ласть працездатності Dx і деякий гіперпаралелепіпед Kx,
що використовується як критерій для бракування
об’єктів з параметрами x. У цьому випадку утворюються
два типи областей: Dx\Kx і Kx\Dx, що характеризують
втрати. Перший тип втрат – це бракування потенційно придатних, оскільки їх характеристики x ∈ Dx,
але xKx ∉ . Другий тип втрат – це пропуск потенційного браку, оскільки x ∈ Kx, але x ∉ Dx. Змінюю-
чи границі поля допусків Kx таким чином, щоб зменшити втрати першого типу, ми збільшуємо втрати
другого типу, а при зменшенні другого типу втрат – збільшуємо перший. Отже, простий розв’язок
задачі як задачі вписування Kx у область Dx не можна визнати задовільним, оскільки навіть незначне
збільшення втрат Kx\Dx може суттєво скорочувати втрати Dx\Kx (рис. 2). Тому задачу призначення
допусків слід шукати як задачу пошуку компромісу між двома видами втрат [4].
Кількісні характеристики втрат по аналогії з помилками першого і другого роду (пропуск цілі
і хибна тривога) можуть бути описані з використанням теорії імовірностей. Оскільки аналітичний
опис границі області Dx і функції розподілу густини імовірностей p(x) невідомі, імовірності втрат α і
β можуть бути отримані за допомогою методу статистичних випробувань – методу Монте-Карло. Це
означає, що набір точок N в просторі Rn можна розкласифікувати і поставити кожній точці у відпові-
дність ознаку «придатний» чи «непридатний». Оцінка α (імовірність того, що потенційно придатний
об’єкт буде відбракований) може бути отримана з виразу
xxx DKD NN \=α . Оцінка β (імовірність того,
що буде пропущений потенційно непридатний за параметрами об’єкт) може бути визначена як
xxx KDK NN \=β . Поставивши полю допусків Kx у відповідність α і β, можна сформулювати і
розв’язати задачу призначення ефективних допусків [4].
Такий метод має недоліки, пов’язані, по-перше, з необхідністю застосування методу Монте-
Карло у всіх досліджуваних областях простору Rn, а, по-друге, з призначенням рівня значущості по-
милок α і β, який для багатопараметричних моделей не має зрозумілого змісту.
На відміну від цього підходу авторами запропоновано формалізувати і розв’язати задачу об-
ґрунтованого вписування Kx у область Dx за допомогою критерію вартості.
5. Оптимізація допусків за допомогою критерію вартості
Далеко не кожен розв’язок сформульованої задачі може бути практично реалізований через
різноманітні конструктивні, технологічні або економічні
міркування. Ці міркування можуть бути аналітично сфо-
рмульовані у вигляді деяких критеріїв оптимальності
(цільові функції) економічного, виробничого або іншого
змісту. Обрані цільові функції мають містити як аргуме-
нти відхилення первинних факторів від їх номінальних
значень
Fi = Fi(δ1, δ2, …,δ2l), i = 1, 2, …, q, F ∈ Rq, δ ∈ R2n.
Очевидно, що зі всіх вказаних раніше паралеле-
піпедів найбільш прийнятними для практичної реалізації
в реальному об’єкті є ті, на які такі критерії можуть бути
оптимізовані. Можливі різні критерії оптимізації допус-
Рис. 1. Утворення втрат при заміні Dx на Kx
Рис. 2. Можливість скорочення втрат Dx\Kx
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 4 47
ків. Основним з них є мінімізована функція вартості. Неприйнятність такого критерію при
розв’язанні більшості практичних задач пояснюється тим, що для його запису необхідно попередньо
встановлювати залежність вартості формування кожного з первинних факторів від можливих текучих
значень допусків.
З цієї причини пропонується змінити вимогу мінімальної вартості виготовлення виробу в пев-
ному сенсі рівносильною вимогою максимізації всіх допусків. В цьому випадку як часткові критерії
оптимальності будемо розглядати допуски на значення первинних факторів, взяті зі знаком мінус
Fi = –δi → min, i = 1, 2, …,2n, (8)
для того, щоб досягти одноманітності при постановці задачі.
Отже, ми звели поставлену задачу забезпечення заданого рівня якості шляхом параметрично-
го синтезу допусків на вхідні параметри системи до задачі багатокритеріальної (векторної) оптиміза-
ції, в якій вимагається визначити такі максимальні відхилення вхідних параметрів від заданих номі-
нальних значень, при яких в області (7) виконується система обмежень (6).
Сформулювавши техніко-економічні міркування у вигляді критеріїв оптимальності в загаль-
ному випадку вигляду (8), приходимо до необхідності розв’язання задачі багатокритеріальної оптимі-
зації за наявності обмежень (6). Відомо декілька різних підходів до розв’язання таких задач: введення
узагальнюючого критерію, функціонально залежного від всіх часткових критеріїв [10]; багатокрокова
оптимізація з окремими критеріями на кожному етапі при введенні обмежень на інші критерії [11];
оптимізація з одночасним урахуванням всієї безлічі критеріїв [12]. Будь-який з них може бути вико-
ристаний в залежності від сутності розв’язуваної практичної задачі, виду цільових функцій і т.д. Кон-
кретний метод оптимізації також вибирається стосовно розв’язуваної задачі із числа невідомих і до-
статньо детально розроблених алгоритмів. Ці питання не входять в область дослідження даної робо-
ти. Авторами при розв’язанні практичних задач було використано введення одного узагальнюючого
критерію оптимальності, що отримується шляхом згортки часткових критеріїв (скаляризація), а зада-
ча умовної оптимізації зводилась до задачі безумовної оптимізації методу штрафних функцій. Як ме-
тод однокритеріальної безумовної оптимізації був використаний адаптований алгоритм прямого по-
шуку [13]. При цьому вагові коефіцієнти ci згортки типу min
2
1
→δ−= ∑
=
n
i
iicF , що визначаються, на-
приклад, за методом Сааті [14], мають чіткий зрозумілий зміст.
Не обмежуючи сутності, можна відмітити, що всі алгоритми однокритеріальної безумовної
оптимізації при наявності штрафів в цільовій функції зводяться до руху з обмеженим кроком від точ-
ки, яка завідомо лежить у шуканій області, за деяким оптимальним з погляду заданого критерію на-
прямом з постійною перевіркою виконання обмежень і визначень значень функції штрафу. Оскільки
в розглянутій задачі аргументами цільової функції є відхилення первинних факторів від їх номіналь-
них значень і перевірку обмежень (2) необхідно здійснювати в областях, визначених цими відхилен-
нями і заданою номінальною точкою, то такі алгоритми зводяться до побудови областей в просторі
первинних факторів, що оптимальним чином розширюються, в яких забезпечується виконання сис-
тем обмежень (1) і (2).
Необхідно відмітити, що часто немалі труднощі при реалізації такого алгоритму викликає пе-
ревірка виконання обмежень (2) в областях, побудова яких виконується на кожному кроці ітераційно-
го процесу оптимізації. Для такої перевірки поки що не вдається відшукати універсальний прийом,
однак можна привести деякі міркування з цього приводу. В тих випадках, коли частинні похідні по
всіх координатах xi, i = 1, 2, …, n правих частин (4) зберігають знак, достатньо перевірити виконання
умов (2) в вершинах паралелепіпеда. Якщо ж ці похідні змінюють знаки, то слід спробувати розбити
дані області на підобласті, в яких знаки похідних зберігаються. Однак це не завжди можливо здійсни-
ти. З цієї причини інколи зручніше залучити один із методів випадкової перевірки на множині, рів-
номірно розподіленій в області послідовності точок, що використовують для своєї реалізації методи
статистичних випробувань, з обчисленням значень правих частин (4) для кожного сполучення випад-
кових реалізацій первинних факторів.
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 4 48
6. Уточнення допусків модифікованим методом матричних випробувань
Серед існуючих методів побудови області працездатності Dx можна виділити побудову впи-
саних і описаних гіперпаралелепіпедів, еліпсоїдів [15], а також побудови комбінацій різноманітних
фігур, наприклад множини ортогональних паралелепіпедів, які не перетинаються, що отримані шля-
хом накладання n -вимірної сітки на область пошуку в просторі вхідних параметрів [1].
В основі методу, описаного в роботі [1], лежить ідея матричних випробувань, коли область (3)
допустимих значень вхідних параметрів квантується по кожній координатній осі i параметра на li
однакових відрізків з вибором точки-представника кожного кванта (наприклад, центру), в результаті
чого отримують n-вимірну стіку з ∏
=
=
n
i
xlR
1
несумісних ситуацій дискретної зміни параметрів.
Квантування інтервалу допустимих значень кожного параметра розсікає паралелепіпед допу-
сків Bd гіперплощинами, перпендикулярними кожній з осей параметрів. В результаті квантування і
формування сітки на паралелепіпеді допусків маємо також множину n -вимірних паралелепіпедів, що
не перетинаються:
nkkkB ,...,, 21
, k = 1, 2, …, n, а їх об’єднання UU U
1
1
2
2
21
1 1 1
,...,,...
l
k
l
k
l
k
kkkd
n
n
n
BB
= = =
= .
В геометричному центрі кожного такого паралелепіпеда вибирається точка-представник, яка є
дискретною реалізацією вектора x вхідних параметрів системи. Якщо при значенні вхідних парамет-
рів в точці-представнику паралелепіпеда
nkkkB ,...,, 21
вихідні параметри y задовольняють умови праце-
здатності (2), то вважається, що у всіх точках цього паралелепіпеда вихідні параметри задовольняють
умови працездатності.
Для зберігання інформації про сіткове подання області працездатності виникають дві
пов’язані між собою проблеми, подолання кожної з яких може бути здійснено на шкоду іншій. Одні-
єю з основних характеристик наближеного сіткового подання області працездатності, очевидно, є то-
чність наближення. Іншою стороною проблеми є обсяг інформації для зберігання щодо елементів сіт-
ки. Отже, потребує розв’язання оптимізаційна задача щодо вибору оптимальних значень розміру сіт-
ки.
Один із шляхів подолання цих проблем описаний в роботі [16], де пропонується алгоритм по-
будови нерегулярної сітки для апроксимації області Dx, що базується на додатковій деталізації елеме-
нтів регулярної сітки попереднього рівня. Запропонований алгоритм багаторівневої двійкової деталі-
зації виконується спільно з генерацією точок методом Монте-Карло на всій області Bd побудови пер-
винної сітки. Критерієм необхідності деталізації вважається наявність хоча б двох випадкових точок
методу Монте-Карло, що потрапили в один термінальний елемент сітки.
В даній роботі пропонується використати метод побудови області працездатності з викорис-
танням нерегулярних сіток для уточнення апроксимації області Dx полем допусків у вигляді гіперпа-
ралелепіпеда Kx. Зокрема, після вписування гіперпаралелепіпеда у область Dx необхідно накласти ре-
гулярну сітку на його грані і розширюватись, застосовуючи вищеописаний метод нерегулярних сіток.
Визначені таким чином додаткові області Dx\Kx допусків разом з областю гіперпаралелепіпеда Kx бу-
дуть значно точніше апроксимувати область працездатності Dx.
7. Застосування критеріїв запасу працездатності
В роботі [5] для розв’язання задачі параметричного синтезу у випадку відсутності інформації
про стохастичні закономірності варіацій параметрів застосовується критерій запасу працездатності.
При цьому розрізняють запас працездатності двох типів. Перший – на рівні вхідних параметрів до-
зволяє оцінити ступінь віддаленості вектору вхідних параметрів від границь області працездатності, а
отже, і межі можливих варіацій параметрів (допусків), при яких не порушуються умови працездатно-
сті. Задача оптимального параметричного синтезу в цьому випадку зводиться до пошуку таких точок
в середині області працездатності Dx (вибір таких номіналів параметрів), які знаходяться на максима-
льній в сенсі вибраного критерію відстані від її границь.
Запас працездатності другого типу є мірою віддаленості вектора вихідних параметрів y від за-
даних умовами працездатності границь області Dy. При цьому розв’язання задачі оптимального вибо-
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 4 49
ру вхідних параметрів за критерієм запасу працездатності зводиться до пошуку вектора вхідних па-
раметрів, який доставляє мінімум узагальненому показнику
x
xx }]{min[arg0 Y , де ( ) ( )( )
∑
= ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+−
=
m
j
b
jj
jjj
j
j
yy
yyy
aY
1 minmax
maxmin 2)(2 x
x , (9)
де yj – значення j-ї вихідної характеристики, aj – додатний ваговий коефіцієнт, bj – додатне ціле парне
число. Значення Y(x) ∈ [–1, 1] ∀{yj ∈ Dy | [yi] ≤ Yi ≤ [Yi], i = 1, 2, …, m}. Показник Y(x) має властивість
набувати малі значення в тих випадках, коли всі вихідні обмеження виконані, і різко зростати, якщо
хоча б одне обмеження порушено.
Для достатньо складних багатопараметричних систем процес розв’язання оптимізаційної за-
дачі (9) виявляється вкрай трудомістким. Тому на відміну від роботи [5], в даній роботі пропонується
застосовувати метод параметричного синтезу за критерієм запасу працездатності для уточнення
розв’язків, отриманих після апроксимації Dx гіперпаралелепіпедом Kx. В такій постановці уточненню
підлягають лише точки області Dx\Kx.
8. Висновки
Основні труднощі відомих методів розв’язання задачі параметричного синтезу пов’язані з ге-
неруванням точок простору вхідних параметрів і перевірці їх належності до області працездатності,
відсутністю інформації про закономірності випадкових процесів варіації параметрів і величезним об-
сягом необхідних при цьому обчислень для розв’язання таких задач зі стохастичними критеріями.
Запропоновано формалізацію і розв’язок задачі параметричного синтезу допусків як оберне-
ної задачі забезпечення працездатності технічних систем. Розв’язання даної складної задачі має здій-
снюватись з використанням сучасних підходів до розв’язання обернених задач загалом і параметрич-
ного синтезу зокрема.
Для побудови області працездатності складної технічної системи запропоновано розв’язувати
задачу обґрунтованого вписування поля допусків у вигляді гіперпаралелепіпеда в область працездат-
ності за допомогою критерію вартості. Для уточнення апроксимації області працездатності полем до-
пусків запропоновано використання методу побудови області працездатності з використанням нере-
гулярних сіток та метод параметричного синтезу за критерієм запасу працездатності.
Література
1. Назаров, Д. А. Алгоритм построения области работоспособности с детализированным квантованием области
поиска / Д. А. Назаров // Надежность и качество: Тр. междунар. симп. – 2009. – Т. 2. – C. 18–22.
2. Абрамов, О. В. Параметрический синтез стохастических систем с учетом требований надежности / О. В. Аб-
рамов. – М.: Наука, 1992. – 176 с.
3. Антушев, Г. С. Методы параметрического синтеза сложных технических систем / Г. С. Антушев. – М.: Нау-
ка, 1989. – 89 с.
4. Иншаков, А. Н. Допусковый анализ при проектировании сложных технических систем [Электронный ре-
сурс] : Наука в образовании: Электронное научное издание / А. Н. Иншаков, С. А. Иншаков // Эл № ФС 77-
48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408. Режим доступа к журналу:
http://www.technomag.edu.ru/doc/45563.html.
5. Абрамов, О. В. Оптимальный параметрический синтез по критерию запаса работоспособности / О. В. Абра-
мов, Я. В. Катуева, Д. А. Назаров // Пробл. управления. – 2007. – №. 6. – С. 64–69.
6. Диго, Г. Б. Поиск оптимальных значений внутренних параметров технической системы по критерию запаса
работоспособности / Г. Б. Диго, Н. Б. Диго // Надежность и качество: Тр. междунар. симп. – 2009. – C. 52–54.
7. Шило, Г. Н. Расчет нормальных допусков с учетом отклонений коэффициентов внешних воздействий /
Г. Н. Шило, Д. А. Коваленко, Н. П. Гапоненко //Технология и конструирование в электрон. аппаратуре. –
2009. – С. 15–18.
8. Royzman, V. Multiple inverse problem / V. Royzman, A. Goroshko // J. Vibroengineering. – 2012. – Vol. 14, № 3. –
P. 1417–1424.
9. Methods for testing and optimizing composite ceramics-compound joints by solving inverse problems of mechanics
/ A. V. Goroshko, V. P. Royzman, A. Bubulis, K. Juzėnas // J. Vibroengineering. – 2014. – Vol. 16, № 5. – P. 2178–
2187.
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 4 50
10. Богданович, З. П. Принятие сложных многокритериальных решений в экономических системах / З. П. Бо-
гданович, А. И. Юхименко. – К.: АН УССР. Ин-т кибернетики, 1971. – 11 с. – (Препр./АН УССР; Институт
кибернетики; № 31).
11. Гуткин, Л. С. О синтезе радиосхем по нескольким показателям качества / Л. С. Гуткин. – М.: Радиотехника.
– 1972. – № 9. – С. 62–65.
12. Соболь, И. М. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями / И. М. Соболь, Р. Б. Стат-
ников. – М.: Наука, 1981. – 110 с.
13. Создание программы оптимизации для решения задач нелинейного математического программирования:
Отчет по хоз. теме № 615 / ГГУ. Рук И. Н. Калинин. – Горький, 1980. – 100 с.
14. Saaty, T. L. A scaling method for priorities in hierarchical structures / T. L. Saaty // J. Math. Psych. – 1977. –
Vol. 15, №. 3. – Р. 234–281.
15. Диго, Г. Б. Использование эллипсоидов для описания области работоспособности / Г. Б. Диго, Н. Б. Диго //
Информатика и системы управления. – 2008. – № 1 (15). – С. 22–28.
16. Назаров, Д. А. Двоичная многоуровневая детализация элементов сеточного представления области работо-
способности / Д. А. Назаров // Надежность и качество: Тр. междунар. симп. – 2010. – Т. 1. – С. 337–341.
Поступила в редакию 23.08.14
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-81027 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0131-2928 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:06:23Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Горошко, А.В. Ройзман, В.П. 2015-04-30T13:29:37Z 2015-04-30T13:29:37Z 2014 Параметричний синтез допусків як множинна обернена задача забезпечення працездатності складних технічних систем / А.В. Горошко, В.П. Ройзман // Проблемы машиностроения. — 2014. — Т. 17, № 4. — С. 43-50. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81027 681.5.015.63 Рассмотрено современное состояние проблемы параметрического синтеза допусков сложных технических систем. Предложена формализация параметрического синтеза допусков как обратной задачи обеспечения работоспособности сложных технических систем. Решение этой задачи должно осуществляться с использованием современных подходов к решению обратных задач в целом и параметрического синтеза в частности. Предложено представлять поля допусков в виде гиперпараллелепипедов. Для построения области работоспособности технической системы предложено решать задачу обоснованного вписывания поля допусков в виде гиперпараллелепипеда в область работоспособности с помощью критерия стоимости, решая задачу векторной оптимизации при наличии ограничений. Показано, что для уточнения аппроксимации области работоспособности полем допусков эффективно использование нерегулярных сеток как модифицированного метода матричных испытаний и метода параметрического синтеза по критерию запаса работоспособности. Розглянутий сучасний стан проблеми параметричного синтезу допусків. Запропоновані формалізація і розв’язання задачі параметричного синтезу допусків як оберненої задачі забезпечення працездатності складних технічних систем з використанням сучасних підходів до розв’язку обернених задач загалом і параметричного синтезу зокрема. Для побудови області працездатності технічної системи запропоновано розв’язувати задачу обґрунтованого вписування поля допусків у вигляді гіперпаралелепіпеда в область працездатності за допомогою критерію вартості. Показано, що для уточнення апроксимації області працездатності полем допусків ефективним є використання нерегулярних сіток та методу параметричного синтезу за критерієм запасу працездатності. The paper considers the current state of the problem of parametric tolerances synthesis for complex technical systems. A formalization of parametric synthesis of tolerances as the inverse ensure efficiency of complex technical systems. This task should be carried out with the use of modern approaches to the solution of inverse problems in general and the particular parametric synthesis. Requested to provide tolerances as hyper parallelepiped. To construct the field of technical efficiency of the system suggested to solve the problem of incorporating sound tolerances as hyper parallelepiped to performance using criterion value, solving vector optimization problems with constraints. It is shown that the approximation to clarify the area of efficiency field tolerances effectively use irregular grids as a modification of the method of matrix test and parametric synthesis method according to the criterion of efficiency of stock. uk Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України Проблемы машиностроения Прикладная математика Параметричний синтез допусків як множинна обернена задача забезпечення працездатності складних технічних систем Parametric tolerance synthesis as multiple inverse problem of providing complex engineering system operability Article published earlier |
| spellingShingle | Параметричний синтез допусків як множинна обернена задача забезпечення працездатності складних технічних систем Горошко, А.В. Ройзман, В.П. Прикладная математика |
| title | Параметричний синтез допусків як множинна обернена задача забезпечення працездатності складних технічних систем |
| title_alt | Parametric tolerance synthesis as multiple inverse problem of providing complex engineering system operability |
| title_full | Параметричний синтез допусків як множинна обернена задача забезпечення працездатності складних технічних систем |
| title_fullStr | Параметричний синтез допусків як множинна обернена задача забезпечення працездатності складних технічних систем |
| title_full_unstemmed | Параметричний синтез допусків як множинна обернена задача забезпечення працездатності складних технічних систем |
| title_short | Параметричний синтез допусків як множинна обернена задача забезпечення працездатності складних технічних систем |
| title_sort | параметричний синтез допусків як множинна обернена задача забезпечення працездатності складних технічних систем |
| topic | Прикладная математика |
| topic_facet | Прикладная математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81027 |
| work_keys_str_mv | AT goroškoav parametričniisintezdopuskívâkmnožinnaobernenazadačazabezpečennâpracezdatnostískladnihtehníčnihsistem AT roizmanvp parametričniisintezdopuskívâkmnožinnaobernenazadačazabezpečennâpracezdatnostískladnihtehníčnihsistem AT goroškoav parametrictolerancesynthesisasmultipleinverseproblemofprovidingcomplexengineeringsystemoperability AT roizmanvp parametrictolerancesynthesisasmultipleinverseproblemofprovidingcomplexengineeringsystemoperability |