Расчетная модель трещинообразования в круговом нагреваемом диске
Разработана расчетная модель, в рамках которой возможно описание трещинообразования в круговом диске под действием температурных напряжений. Полагается, что температурное поле в круговом диске имеет осевую симметрию, а упругие характеристики и коэффициент линейного температурного расширения материал...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы машиностроения |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
2015
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81037 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Расчетная модель трещинообразования в круговом нагреваемом диске / Н.М. Калантарлы // Проблемы машиностроения. — 2015. — Т. 18, № 1. — С. 30-39. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859595556162109440 |
|---|---|
| author | Калантарлы, Н.М. |
| author_facet | Калантарлы, Н.М. |
| citation_txt | Расчетная модель трещинообразования в круговом нагреваемом диске / Н.М. Калантарлы // Проблемы машиностроения. — 2015. — Т. 18, № 1. — С. 30-39. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы машиностроения |
| description | Разработана расчетная модель, в рамках которой возможно описание трещинообразования в круговом диске под действием температурных напряжений. Полагается, что температурное поле в круговом диске имеет осевую симметрию, а упругие характеристики и коэффициент линейного температурного расширения материала не зависят от температуры. Получены соотношения для определения критического значения интенсивности теплового воздействия, при котором в круговом диске произойдет трещинообразование. С помощью разработанной расчетной модели можно на стадии проектирования оценивать гарантированный ресурс нагреваемого диска, устанавливать допустимый уровень интенсивности теплового воздействия, выбирать материал диска с требуемыми характеристиками трещиностойкости.
Розроблено розрахункову модель, в рамках якої можливо описати тріщиноутворення в круговому дискові під дією температурних напружень. Вважається, що температурне поле в круговому дискові має осьову симетрію, а пружні характеристики та коефіцієнт лінійного температурного розширення матеріалу не залежать від температури. Отримано співвідношення для визначення критичного значення інтенсивності теплової дії, за якої в круговому дискові відбудеться тріщиноутворення.
A computational model describing the cracking in the circular disk under the influence of thermal stresses is developed. It is assumed that the temperature field in the circular disk has an axial symmetry, and the elastic characteristics and the coefficient of linear thermal expansion of the material do not depend on temperature. The limit equilibrium analysis of the zone of weakened interparticle bonds is performed on the basis of criterion of limit traction of the bonds. Relations for determining the critical value of the heat effect intensity at which in the circular disk occurs cracking are obtained.
|
| first_indexed | 2025-11-27T21:09:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 1 30
Н. М. Калантарлы,
канд. физ.-мат. наук
Институт математики
и механики
НАН Азербайджана
Азербайджан, г. Баку,
e-mail: nailyak1975@gmail.com
Ключові слова: круговий диск, темпе-
ратурне поле, зона ослаблених між-
часткових зв’язків, зусилля в зв’язках,
тріщиноутворення.
УДК 539.375
РАСЧЕТНАЯ МОДЕЛЬ
ТРЕЩИНООБРАЗОВАНИЯ В КРУГОВОМ
НАГРЕВАЕМОМ ДИСКЕ
Розроблено розрахункову модель, в рамках якої можливо описати
тріщиноутворення в круговому дискові під дією температурних на-
пружень. Вважається, що температурне поле в круговому дискові
має осьову симетрію, а пружні характеристики та коефіцієнт
лінійного температурного розширення матеріалу не залежать від
температури. Отримано співвідношення для визначення критичного
значення інтенсивності теплової дії, за якої в круговому дискові
відбудеться тріщиноутворення.
Постановка задачи
Во многих машинах и механизмах диски испытывают воздействие тепловой нагрузки. Это
обстоятельство придает разработке расчетной модели трещинообразования в круговом нагреваемом
диске особую важность.
Рассмотрим круглый диск, свободный при нулевой температуре от напряжений (рис. 1). Под
влиянием тепловой нагрузки в процессе эксплуатации в материале диска будет возникать зона пред-
разрушения (прослойка перенапряженного материала). Будем моделировать зону предразрушения
как область ослабленных межчастичных связей материала диска. Задачу о трещинообразовании в
круговом диске рассматриваем как квазистатическую в постановке плоского напряженного состоя-
ния. Считается, что температурное поле в нагреваемом диске имеет осевую симметрию. Упругие по-
стоянные и коэффициент линейного температурного расширения материала диска от температуры не
зависят.
Пусть по мере нагружения диска тепловой нагрузкой в материале возникает произвольно раз-
мещенная прямолинейная зона предразрушения. Обозначим ее длину через 2l1. В центре зоны пред-
разрушения разместим начало локальной системы координат x1O1y1 таким образом, чтобы ось x1 сов-
падала с линией ослабленной зоны и образовывала угол α1 с осью x (θ = 0) (рис. 1). Взаимодействие
берегов зоны предразрушения будем представлять
как связи между берегами ослабленной зоны с за-
данной диаграммой деформирования. Считается, что
закон деформирования межчастичных связей мате-
риала круглого диска задан. В общем случае этот
закон нелинейный [1–3]. Размеры области предраз-
рушения, как и физическая природа связей между
берегами ослабленной зоны, зависят от вида мате-
риала нагреваемого диска.
Задачу о напряженно-деформированном со-
стоянии кругового диска, в котором имеется про-
слойка перенапряженного материала, можно [4] све-
сти к задаче о напряженно-деформированном со-
стоянии в идеально упругом теле, которое ослаблено
разрезом с взаимодействующими между собой по
некоторому закону поверхностями. Тогда прежде
всего следует выяснить зависимость сил сцепления
от перемещений (раскрытия берегов зоны предраз-
рушения) в той части диска, где имеют место силы
межчастичного взаимодействия (притяжения) между
© Н. Г. Гармаш, 2015
y
x O
R
2ℓ1
x1
y1
α1 O1
Рис. 1. Расчетная схема задачи
о трещинообразовании в диске
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 1 31
берегами. Далее требуется оценить напряженное состояние вблизи ослабленной зоны с учетом внеш-
ней нагрузки и сил сцепления и определить зависимости критических нагрузок, при которых в мате-
риале диска появится трещина. В общем случае решение такой задачи наталкивается на большие ма-
тематические трудности.
Моделировать зону предразрушения возможно явным приложением к поверхностям зоны сил
сцепления, сдерживающих ее раскрытие. В рассматриваемом случае трещинообразование в круговом
диске представляет собой процесс перехода зоны предразрушения в зону разорванных связей между
поверхностями материала.
При радиальном распределении температуры T = T(r) нетрудно найти частное решение урав-
нений равновесия и совместности деформаций в виде
,)()(1
2
232
,0,)(
2
232
0
2
0
0
0
2
0
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−ρρρα
μ+λ
μ+λ
μ=σ
=τρρρ
α
μ+λ
μ+λ
μ−=σ
∫
∫
θ
θ
r
r
r
r
rTdT
r
dT
r
(1)
где α – коэффициент линейного температурного расширения материала; λ и μ – постоянные Ламе
материала диска.
При воздействии температурных напряжений в круговом диске в связях, соединяющих берега
зон предразрушения, будут возникать нормальное )( 11
xqy и касательное )( 111
xq yx усилия. Величины
этих напряжений )( 11
xqy и )( 111
xq yx и размер l1 зоны предразрушения заранее неизвестны и подлежат
определению.
Основные соотношения поставленной задачи должны быть дополнены уравнением, связы-
вающим раскрытие берегов зоны предразрушения и усилия в связях. Это уравнение, без потери общ-
ности, можно представить в виде
( ) ( ) ( ))()(),()0,()0,()0,()0,( 111111111111 111
xiqxqxxuxuixvxv yxy −σΠ=−−− −+−+ , (2)
где функция ),( 11 σΠ x представляет собой эффективную податливость связей, зависящую от натяже-
ния связей; 22
1 111 yxy qq +=σ – модуль вектора усилий в связях; )( 11
−+ − vv – нормальная и )( 11
−+ − uu –
касательная составляющие раскрытия берегов зоны предразрушения. При постоянном значении
функции Π имеем в соотношении (2) линейный закон деформирования.
Для определения значения интенсивности тепловой нагрузки, при которой происходит заро-
ждение трещины в диске, нужно постановку задачи дополнить критерием (условием) появления тре-
щины (разрыва межчастичных связей материала). Используем критерий критического раскрытия бе-
регов зоны предразрушения
( ) ( ) cuuivv δ=−−− −+−+
1111 , (3)
где δc – характеристика сопротивления материала диска трещинообразованию, определяется опыт-
ным путем [1].
Это дополнительное условие позволяет установить параметры нагреваемого кругового диска,
при которых происходит трещинообразование в диске.
Считается, что зона предразрушения ориентирована в направлении максимальных растяги-
вающих напряжений, возникающих в круговом диске. Берега зоны предразрушения взаимодействуют
между собой так, что это взаимодействие (связи между берегами) сдерживает зарождение трещины.
Под действием тепловой нагрузки на диск в связях, соединяющих берега зоны предразрушения, бу-
дут возникать нормальные )( 11
xqy и касательные )( 111
xq yx усилия, смыкающие берега зоны предраз-
рушения. Таким образом, к берегам зоны предразрушения будут приложены сжимающие нормальные
и касательные напряжения, численно равные )( 11
xqy и )( 111
xq yx , соответственно. Значения этих на-
пряжений заранее неизвестны и подлежат определению.
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 1 32
Граничные условия в рассматриваемой задаче о зарождении трещины в нагреваемом диске
имеют следующий вид:
,||0при)()(
,на0
11111 111111
l≤=+=τ+σ
Γ=τ+σ θ
xyxiqxqi
i
yxyyxy
rr (4)
где i – мнимая единица; Γ – граница круга (диска).
Метод решения
Представим искомое напряженное состояние в диске в виде
,,, 101010
θθθθθθ τ+τ=τσ+σ=σσ+σ=σ rrrrrr (5)
где компоненты напряжений 0
rσ , 0
θσ и 0
θτr определяются согласно формулам (1).
Для определения введенных составляющих напряжений 1
rσ , 1
θσ , 1
θτr удовлетворяющих урав-
нениям плоской задачи теории вне зоны предразрушения на основании (4), (5), приходим к краевой
задаче
,на)(11 Γ=τ+σ θ tFi rr (6)
,||0при)()()( 1111111
11
111111
l≤=++=τ+σ xyxiqxqxfi yxyyxy (7)
Выражения для функций F(t) и f1(x1) легко находятся на основании предыдущих соотношений
и формул Колосова–Мусхелишвили [5].
Краевые условия (6)– (7) с помощью формул Колосова–Мусхелишвили [5] можно записать в
виде граничной задачи для отыскания комплексных потенциалов Φ(z) и Ψ(z) в следующем виде:
( ) )()()(')()( 2 τ=τΨ+τΦτ−τΦ+τΦ θ Fe i , (8)
111
)()()(')()( 1 yxy iqqtfttttt −+=Ψ+Φ+Φ+Φ , (9)
где τ = Rexp(iθ); t – аффикс точек берегов зоны предразрушения.
Комплексные потенциалы Φ(z) и Ψ(z), дающие решение граничной задачи (8)–(9), запишеим
так:
)()()(),()()( 1010 zzzzzz Ψ+Ψ=ΨΦ+Φ=Φ . (10)
Здесь комплексные функции Φ1(z) и Ψ1(z) ищем в виде
( )
,)()(
2
)(
,)(
2
1)(
1
1
11
1
1
12
1
1
1
1
2
1
1
1
1
∫
∫
−
αα−
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−π
=Ψ
−π
=Φ
l
l
l
l
dttg
zt
eT
zt
tgez
zt
dttgz
ii
(11)
где 0
11
1 zteT i += α ; ( )0
11
1 zzez i −= α− ; g1(t) – искомая функция, характеризующая раскрытие (длину свя-
зи) при переходе через линию зоны предразрушения
( ) ( )[ ])0,()0,()0,()0,(
1
2)( 11111111
1
11 xvxvixuxu
xкi
xg −+−+ −+−
∂
∂
+
μ
= .
Неизвестная функция g1(t) и комплексные потенциалы Φ0(z) и Ψ0(z) должны быть определены
из граничных условий на контуре Γ (r = R) и берегах зоны предразрушения. Используя представления
(10)–(11), для определения комплексных функций Φ0(z) и Ψ0(z) граничные условия (8) представим
как
[ ] ( ))()()()()(')()( 2100
2
00 θ−θ−θ=τΨ+τΦτ−τΦ+τΦ θ− iffFe i , (12)
где [ ])()(')()()()( 11
2
1121 τΨ+τΦτ−τΦ+τΦ=θ−θ θ− ieiff .
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 1 33
Для решения граничной задачи (12) относительно комплексных потенциалов Φ0(z) и Ψ0(z) ис-
пользуем метод Н. И. Мусхелишвили [5]. После некоторых преобразований получаем
( )
( )
( ) ( )
.
2
11)(
2
1)(),('111)(1
)(
1
334)(
12
1)(
,
2
11
2
1
)(
1
2
2
)(
2
1
1
1
2
1)(
0000002002
3
1
1
11
2
111
2
1
2
12
1
3
1
0
12
1
11
2
1
11
1
0
11
1
1
1
1
1
1
τ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
τ
−
−τ
τ
π
=ΦΦ−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛Φ+Φ+
+
⎥
⎥
⎦
⎤
−
⎟
⎠
⎞−⎜
⎝
⎛ +−++
⎢
⎢
⎣
⎡
−π
=Ψ
τ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
τ
−
−τ
τ
π
+
+
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+−
−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−π
=Φ
∫
∫
∫
∫
Γ
α−
−
α
Γ
α−
−
α
d
z
F
i
zz
zzz
z
z
dttg
Tz
eTTTTzTTzTztg
Tz
Tez
d
z
F
i
dttge
Tz
TzTzTtgeT
Tzi
z
ii
ii
l
l
l
l
(13)
Теперь, удовлетворяя граничным условиям (9) на берегах зоны предразрушения аналитиче-
скими функциями (10), (11), (13), после некоторых преобразований, получим комплексное сингуляр-
ное интегральное уравнение относительно неизвестной функции g1(x1)
[ ] [ ] ,||)()()()()(),()(),( 111011111111 111
1
1
l
l
l
≤+−+π=+∫
−
xxfxiqxqxfdttgxtStgxtR yxy (14)
Здесь [ ])()(')()()( 100100110010010 xxxxxxf Ψ+Φ+Φ+Φ−= , )('111)(1)( 0000200200 z
zzz
z
z
z Φ−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛Φ+Φ=Ψ ,
( )
( ) ( )( )
( ) ,
1
4312
1
2
12
1
2
),(
3
11
11111
2
11112
2
11
111
2
1
11
2
11
11
2
11
1
1
111
⎥
⎥
⎦
⎤
−
+−++−
+
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
+−
+
−
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
−
=
α−
αα−α
XT
TTXTXTTTXe
XT
TXTX
TX
TXe
XT
e
XT
extR
i
iii
( ) ( )
( )
( ) ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
+
−
+−
+
−
−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
α−α−
α−
α−
2
11
2
11
2
1
2
11
111
2
1
11
1
2
12
2
11
11
11
1
11
2
12
1
2
),(
11
1
1
XT
eTXT
TX
TXTX
XT
XTee
XT
XT
XT
extS
ii
i
i
;
0
111
1 zexX i += α .
Для внутренней зоны предразрушения к сингулярному интегральному уравнению (14) с
ядром Коши необходимо добавить равенство
∫
−
=
1
1
0)(1
l
l
dttg . (15)
Это равенство вытекает из однозначности смещений при обходе контура зоны ослабленных
межчастичных связей материала (предразрушения).
Для левой части соотношения (2) имеем
( ) ( ) ∫
−
−+−+
μ
+
−=−−υ−υ
1
1
1111111 )(
2
1
x
dxxgкuui
l
. (16)
С учетом (16) соотношение (2) принимает следующий вид:
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 1 34
( ))()(),()(
2
1
1111111 111
1
1
xiqxqxdxxgк
yxy
x
−σΠ=
μ
+
− ∫
−l
. (17)
Если представить неизвестную функцию g1(x1), а также нагрузочную функцию f0(x1) и f1(x1)
как
)()()(),()()(),()()( 111111101010111111 xixxfxixxfxiuxvxg τ+σ=τ−σ=−= ,
то из одного комплексного сингулярного интегрального уравнения (14) после отделения действи-
тельных и мнимых частей получим для определения v1(x1) и u1(x1) два действительных интегральных
уравнений.
Аналогичные действия проделаем и с дополнительным условием (15), в результате находим
∫∫
−−
==
1
1
1
1
0)(,0)( 11
l
l
l
l
dttudttv . (18)
Теперь, аналогичные действия проделаем с условием (17), в результате получим
)(),()(
2
1)(),()(
2
1
111111111111 11
1
1
1
1
1
xqxdxxuкxqxdxxvк
yx
x
y
x
σΠ=
μ
+
−σΠ=
μ
+
− ∫∫
−− ll
. (19)
В силу того, что напряжения в нагреваемом диске всюду ограничены, решение сингулярного
интегрального уравнения ищется в классе всюду ограниченных функций.
Используя процедуру алгебраизации [6–8], вместо каждого сингулярного интегрального
уравнения при дополнительном условии (18) получаем конечную алгебраическую систему, состоя-
щую из M уравнений, относительно приближенных значений искомых функций v1(tm) и u1(tm)
(m = 1, 2, …, M) в узловых точках соответственно.
В правые части этих систем входят неизвестные значения )( 11
xqy , )( 111
xq yx , соответственно, в
узловых точках. Требуя выполнения условий (19) в узловых точках tm (m = 1, 2, …, M), получим еще
две системы из М уравнений каждая для определения значений )(
1 my tq и )(
11 myx tq
( )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
σΠ=
π
μ
+
−
σΠ=+
π
μ
+
−
σΠ=
π
μ
+
−
∑
=
),(),()(
2
1
.........................................................................
)(),()()(
2
1
)(),()(
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2122111
1
11111
1
MyM
M
m
m
y
y
tqttv
M
к
tqttvtv
M
к
tqttv
M
к
l
l
l
(20)
( )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
σΠ=
π
μ
+
−
σΠ=+
π
μ
+
−
σΠ=
π
μ
+
−
∑
=
).(),()(
2
1
.........................................................................
)(),()()(
2
1
)(),()(
2
1
11
11
11
1
1
1
1
2122111
1
11111
1
MyxM
M
m
m
yx
yx
tqttu
M
к
tqttutu
M
к
tqttu
M
к
l
l
l
(21)
Полученные алгебраические системы уравнений (заменяющие два действительных инте-
гральных уравнения и два условия (19)) оказались связанными и должны решаться совместно.
Полученные алгебраические системы уравнений не являются пока замкнутыми, поскольку не
хватает двух уравнений, выражающих условия разрешимости интегрального уравнения в классе всю-
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 1 35
ду ограниченных функций. Записывая эти условия ограниченности напряжений в вершинах зоны
предразрушения
,0
4
12ctg)()1(,0
4
12tg)()1(
,0
4
12ctg)()1(,0
4
12tg)()1(
1
1
1
1
1
1
1
1
∑∑
∑∑
==
+
==
+
=π
−
−=π
−
−
=π
−
−=π
−
−
M
m
m
m
M
m
m
mM
M
m
m
m
M
m
m
mM
M
mtu
M
mtu
M
mtv
M
mtv
(22)
получим две замкнутые конечные алгебраические системы.
Из-за неизвестного размера зоны предразрушения даже при линейно-упругих связях системы
алгебраических уравнений оказались нелинейными. Для их решения использовали метод последова-
тельных приближений. Решаем объединенную систему при некоторых определенных значениях ∗
1l
относительно неизвестных v1(tm), u1(tm), )(
1 my tq , )(
11 myx tq . Значение ∗
1l и найденные величины v1(tm),
u1(tm), )(
1 my tq , )(
11 myx tq подставляются в неиспользованные уравнения объединенной системы. Взя-
тое значение параметра ∗
1l и соответствующие им значения v1(tm), u1(tm), )(
1 my tq , )(
11 myx tq не будут,
вообще говоря, удовлетворять уравнениям (22). Поэтому, подбирая значения параметра ∗
1l , будем
многократно повторять вычисления до тех пор, пока уравнения (22) объединенной системы не будут
удовлетворяться с заданной точностью. Объединенная система уравнений в каждом приближении
решалась методом Гаусса с выбором главного элемента для различных значений М (М = 20; 30).
В случае нелинейного закона деформирования связей для нахождения усилий в зоне предраз-
рушения использовали также итерационный метод, подобный методу упругих решений
А. А. Ильюшина [9]. Полагается, что закон деформирования межчастичных связей в зоне предразру-
шения является линейным при ( ) ( ) *11111 ViuuV ≤υ−υ−−= −+−+ .
Первый шаг итерационного процесса расчета состоит в решении системы разрешающих
уравнений для линейно-упругих межчастичных связей. Следующие итерации выполняются только в
случае, если на части зоны предразрушения выполняется равенство V1 > V*. Для таких итераций ре-
шается система разрешающих уравнений в каждом приближении для квазихрупких связей (сил сцеп-
ления) с эффективной податливостью, переменной вдоль зоны предразрушения и зависящей от вели-
чины модуля вектора усилий в связях, полученного на предыдущем шаге расчета. Расчет эффектив-
ной податливости проводится подобно нахождению секущего модуля в методе переменных парамет-
ров упругости [10]. Принято, что процесс последовательных приближений заканчивается, как только
усилия в зоне предразрушения, полученные на двух последовательных шагах, мало отличаются друг
от друга.
Нелинейная часть кривой деформирования связей представлялась в форме билинейной зави-
симости, восходящий участок которой соответствовал упругому деформированию связей
(0 < V1(x1) < V*) с максимальным натяжением связей. При V1(x1) > V* закон деформирования описы-
вался нелинейной зависимостью, определяемой двумя точками (V*, σ*) и (δc, σc), причем при σc ≥ σ*
имеем возрастающую линейную зависимость (линейное упрочнение, соответствующее упругопла-
стической деформации связей).
Состоянию предельного равновесия зоны предразрушения соответствует условие [11]
0
1
0 =
∂
Π∂
−
l
, (23)
где П0 – потенциальная энергия деформации.
Левая часть уравнения (23), как известно, состоит из двух слагаемых, первая из которых
представляет скорость высвобождения энергии деформации при образовании новой поверхности зо-
ны предразрушения, а второе слагаемое определяет скорость потребления энергии деформации свя-
зями.
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 1 36
Состоянию предельного равновесия диска с зоной предразрушения соответствует выполнение
условия
Gb(l1) = Gn(l1). (24)
Энергетическое условие (24) является необходимым, но недостаточным для состояния пре-
дельного равновесия зоны предразрушения в круговом нагреваемом диске. Для определения пре-
дельного равновесия зоны предразрушения необходимо введение дополнительного критического ус-
ловия. В качестве такового принимаем условие критического раскрытия берегов зоны предразруше-
ния (3).
Считается, что разрыв связей на берегах зоны предразрушения (x1 = x01) происходит при вы-
полнении условия
[ ] [ ] cxxxuxu δ=υ−υ+− −+−+
22
)0,()0,()0,()0,( 011011011011 , (25)
где δc – предельная длина связи.
Совместное решение уравнений (20), (21), (24), (25) позволяет при заданных характеристиках
связей определить критическую величину интенсивности теплового воздействия и размер зоны пред-
разрушения для состояния предельного равновесия. Скорость потребления энергии деформации
Gn(l1), полученная из этого решения, считается энергетической характеристикой сопротивления раз-
рушению, т. е.
Gc = Gn(l1).
Используя предельные величины δc и Gc, можно выделить различные режимы равновесия зо-
ны предразрушения и зарождения трещины при монотонном нагружении. Так, например, при выпол-
нении условий
Gb(l1) ≥ Gc, V1(x01) < δc
происходит продвижение вершины зоны предразрушения без разрыва связей, т.е. в этом случае тре-
щина не зарождается. Этот этап роста зоны предразрушения можно интерпретировать как процесс
приспособляемости заданному уровню тепловой нагрузки, действующему на круговой диск.
Рост вершины зоны предразрушения с одновременным разрывом связей на берегах ослаблен-
ной зоны будет происходить при выполнении условий
Gb(l1) ≥ Gc, V1(x01) ≥ δc.
При выполнении условий
Gb(l1) < Gc, V1(x01) ≥ δc
происходит разрыв межчастичных связей без продвижения вершины зоны предразрушения, т.е. в
этом случае зарождается трещина и размер зоны предразрушения, где имеется связь между берегами,
уменьшается.
Если же будут выполняться условия
Gb(l1) < Gc, V1(x01) < δc,
то положение вершины зоны предразрушения не будет изменяться и трещина не будет зарождаться.
Таким образом, анализ показывает, что величина интенсивности теплового воздействия и
критические параметры δc, Gc определяют характер разрушения (зарождения трещины).
Рассмотрим два различных режима нагрева круглого диска. Будем использовать следующие
обозначения:
lk = Rl0k, T(Rx) = T0u(x),
где T0 – некоторая характерная температура, показывающая интенсивность теплового воздействия на
круговой диск.
1) Рассмотрим случай, когда постоянная скорость роста температуры внешней границы диска
является заданной. Начальные и граничные условия задачи имеют вид
T|t = 0 = 0, T|r = R = Vt (26)
где t – время нагрева.
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 1 37
Чтобы установить распределение температуры в круглом диске, решается краевая задача для
уравнения теории теплопроводности при начальном и граничном условиях (26)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
⋅+
∂
∂
∂=
∂
∂
r
T
rr
Ta
t
T 1
2
2
. (27)
Здесь a – коэффициент температуропроводности материала диска.
Поле температур в этом случае определяется функцией
τα−
∞
=
∗∗
∗
∗
∑ α′α
ρα
−
ρ−
−τ=ρ
2)(
1 0
3
0
2
)()(
)(2
4
1)( ke
J
Ju
k kk
k ,
где 2R
at
=τ – безразмерное время; J0 – функция Бесселя нулевого порядка; ∗αk (k = 1, 2, …) – после-
довательность ее нулей.
В этом случае характерная температура
a
VRT
2
0 = ; параметр 02
23 T∗α
μ+λ
μ+λ
=β является без-
размерной скоростью нагрева.
Функция f(x) в правой части сингулярного интегрального уравнения (14) для такого режима
нагрева диска будет
)()(
)(
)()(
2
16
31)(
1
3
1
0
11
2
∗∗
τα−∞
=
∗
∗
∗
∗
∗
αα
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
α−
α
α
+
α
α
+
−
=
∗
∑
kkk
k
k
k
k
k
J
exJ
x
xJJxxf
k
.
2) На внешней границе диска задан постоянный поток тепла. Начальное и граничное условия
имеют вид
T|t = 0 = 0, Q
r
T
Rr
=
∂
∂
λ
=
∗ , (28)
где λ* – теплопроводность материала диска; Q – внешний поток тепла.
Решение задачи теории теплопроводности (27) при заданных начальных и граничных услови-
ях (28) определяется функцией
∑
∞
=
τα−
∗∗
∗
∗
αα
ρα
−
−ρ
+τ=ρ
1
)(
0
2
0
2
2
)()(
)(
4
122)(
k kk
k ke
J
Ju ,
где ∗αk (k = 1, 2, …) – последовательность нулей функции Бесселя J1(ρ).
Характерная температура в этом случае
∗λ
=
QRT0 ; параметр β характеризует скорость подвода
тепла.
Функция f(x) в уравнении (14) для данного режима нагрева принимает вид:
)()(
)()(2
8
31)(
0
2
)(
1
1
0
2 2
∗∗
α−∞
=
∗
∗
∗
αα
τ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
α
α
−α+
−
=
∗
∑
kkk k
k
k J
e
x
xJxJxxf
k
.
Аналогичным образом можно рассмотреть другие режимы нагрева кругового диска.
Расчеты проводились для ряда фиксированных значений безразмерного времени τ от 10–2 до
1. Результаты расчетов приведены на рис. 2–4. На рис. 2 представлены графики зависимости длины
зоны предразрушения l1/R от интенсивности теплового воздействия β (скорости нагрева) для различ-
ных моментов времени для α1 = 45°. На рис. 3 представлена зависимость распределения усилий
∗σ
1yq вдоль зоны предразрушения для τ = 0,05. Кривая 1 относится к случаю линейно-упругих свя-
зей, а кривая 2 – для билинейного закона деформирования связей. При этом использовались безраз-
мерные координаты x* = x1/l1.
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 1 38
На рис. 4 представлены зависимости критической интенсивности теплового воздействия βc от
безразмерной длины зоны предразрушения в различные моменты времени.
При проектировании элементов машин и механизмов в виде кругового диска его параметры
надо подбирать таким образом, чтобы максимальная интенсивность теплового воздействия не пре-
вышала критического значения, вызывающего трещинообразование в диске. Это условие можно
представить в виде
βmax ≤ βc,
где βmax – максимальная интенсивность теплового воздействия в круговом диске.
Выводы
Предложена эффективная схема расчета трещинообразования в круговом нагретом диске. С
помощью разработанной расчетной модели на стадии проектирования можно оценивать гарантиро-
ванный ресурс нагретого диска, устанавливать допустимый уровень интенсивности теплового воз-
действия, выбирать материал диска с требуемыми характеристиками трещиностойкости.
τ=0,01
10 102 103 104 105 106
τ=0,2
τ=0,05
β
0,100
0,075
0,050
0,025
0
l1/R.
τ=1
Рис. 2. Зависимость длины зоны предразрушения l1/R от интенсивности теплового воздействия β
∗σ
1yq
1
6,00
4,00
2,00
x*
–1,0 –0,5 0 0,5 1,0
2
Рис. 3. Распределения нормальных qy1/β усилий в зоне предразрушения
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 18, № 1 39
Литература
1. Панасюк, В. В. Механика квазихрупкого разрушения материалов / В. В. Панасюк. – Киев: Наук. думка,
1991. – 416 с.
2. Rusinko, A. Plasticity and Creep of Metals / A. Rusinko, K. Rusinko. Berlin: Springer Verlag, 2011. – 436 p.
3. The special issue: Cohesive models // Eng. Fract. Mech. – 2003. – Vol. 70, № 14. – P. 1741–1987.
4. Мирсалимов, В. М. К решению задачи механики контактного разрушения о зарождении и развитии трещины
со связями между берегами во втулке фрикционной пары / В. М. Мирсалимов // Прикл. математика и меха-
ника. – 2007. – Т. 71, вып. 1. – С. 132–151.
5. Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н. И. Мусхелишвили.
– М.: Наука, 1966. – 707 с.
6. Панасюк, В. В. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках / В. В. Панасюк,
М. П. Саврук, А. П. Дацышин. – Киев: Наук. думка, 1976. – 443 с.
7. Мирсалимов, В. М. Неодномерные упругопластические задачи / В. М. Мирсалимов. – М.: Наука, 1987. –
256 с.
8. Ladopoulas, E. G. Singular integral equations: Linear and non-linear theory and its Applications in Science and En-
gineering / E. G. Ladopoulas. – Berlin: Springer Verlag, 2000. – 376 p.
9. Ильюшин, А. А. Пластичность / А. А. Ильюшин. – М.; Л.: Гостехиздат, 1948. – 376 с.
10. Биргер, И. А. Расчет конструкций с учетом пластичности и ползучести / И. А. Биргер // Изв. АН СССР. Ме-
ханика – 1965. – № 2. – С. 113–119.
11. Черепанов, Г. П. Механика хрупкого разрушения / Г. П. Черепанов. – М.: Наука, 1974. – 640 с.
Поступила в редакцию 13.12.14
105
104
103
102
10 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
l1/R
τ = 0,05
βc
τ = 0,01
τ = 0,1
Рис. 4. Зависимость критической интенсивности теплового
воздействия от безразмерной длины зоны предразрушения
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-81037 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0131-2928 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T21:09:17Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Калантарлы, Н.М. 2015-04-30T15:34:34Z 2015-04-30T15:34:34Z 2015 Расчетная модель трещинообразования в круговом нагреваемом диске / Н.М. Калантарлы // Проблемы машиностроения. — 2015. — Т. 18, № 1. — С. 30-39. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81037 539.375 Разработана расчетная модель, в рамках которой возможно описание трещинообразования в круговом диске под действием температурных напряжений. Полагается, что температурное поле в круговом диске имеет осевую симметрию, а упругие характеристики и коэффициент линейного температурного расширения материала не зависят от температуры. Получены соотношения для определения критического значения интенсивности теплового воздействия, при котором в круговом диске произойдет трещинообразование. С помощью разработанной расчетной модели можно на стадии проектирования оценивать гарантированный ресурс нагреваемого диска, устанавливать допустимый уровень интенсивности теплового воздействия, выбирать материал диска с требуемыми характеристиками трещиностойкости. Розроблено розрахункову модель, в рамках якої можливо описати тріщиноутворення в круговому дискові під дією температурних напружень. Вважається, що температурне поле в круговому дискові має осьову симетрію, а пружні характеристики та коефіцієнт лінійного температурного розширення матеріалу не залежать від температури. Отримано співвідношення для визначення критичного значення інтенсивності теплової дії, за якої в круговому дискові відбудеться тріщиноутворення. A computational model describing the cracking in the circular disk under the influence of thermal stresses is developed. It is assumed that the temperature field in the circular disk has an axial symmetry, and the elastic characteristics and the coefficient of linear thermal expansion of the material do not depend on temperature. The limit equilibrium analysis of the zone of weakened interparticle bonds is performed on the basis of criterion of limit traction of the bonds. Relations for determining the critical value of the heat effect intensity at which in the circular disk occurs cracking are obtained. ru Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України Проблемы машиностроения Динамика и прочность машин Расчетная модель трещинообразования в круговом нагреваемом диске Computational model of cracking in circular heated disk Article published earlier |
| spellingShingle | Расчетная модель трещинообразования в круговом нагреваемом диске Калантарлы, Н.М. Динамика и прочность машин |
| title | Расчетная модель трещинообразования в круговом нагреваемом диске |
| title_alt | Computational model of cracking in circular heated disk |
| title_full | Расчетная модель трещинообразования в круговом нагреваемом диске |
| title_fullStr | Расчетная модель трещинообразования в круговом нагреваемом диске |
| title_full_unstemmed | Расчетная модель трещинообразования в круговом нагреваемом диске |
| title_short | Расчетная модель трещинообразования в круговом нагреваемом диске |
| title_sort | расчетная модель трещинообразования в круговом нагреваемом диске |
| topic | Динамика и прочность машин |
| topic_facet | Динамика и прочность машин |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81037 |
| work_keys_str_mv | AT kalantarlynm rasčetnaâmodelʹtreŝinoobrazovaniâvkrugovomnagrevaemomdiske AT kalantarlynm computationalmodelofcrackingincircularheateddisk |