Теория нелинейных ленгмюровских волн
Найдены аналитические решения уравнений, описывающие установившиеся одномерные нелинейные ленгмюровские волны в холодной бесстолкновительной плазме с неподвижными ионами в отсутствие магнитного поля. Полученные формулы определяют все характеристики исследуемых периодических волн: частоту, длину волн...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Вопросы атомной науки и техники |
|---|---|
| Datum: | 2006 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
2006
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81086 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Теория нелинейных ленгмюровских волн / Г.Н. Кичигин // Вопросы атомной науки и техники. — 2006. — № 5. — С. 59-63. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859776597354086400 |
|---|---|
| author | Кичигин, Г.Н. |
| author_facet | Кичигин, Г.Н. |
| citation_txt | Теория нелинейных ленгмюровских волн / Г.Н. Кичигин // Вопросы атомной науки и техники. — 2006. — № 5. — С. 59-63. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Вопросы атомной науки и техники |
| description | Найдены аналитические решения уравнений, описывающие установившиеся одномерные нелинейные ленгмюровские волны в холодной бесстолкновительной плазме с неподвижными ионами в отсутствие магнитного поля. Полученные формулы определяют все характеристики исследуемых периодических волн: частоту, длину волны и профиль потенциала.
Знайдені аналітичні розв’язки рівнянь, що описують сталі одновимірні нелінійні ленгмюрівські хвилі у
холодній беззіткневій плазмі з нерухомими іонами у відсутності магнітного поля. Отримані формули
визначають всі характеристики досліджених періодичних хвиль: частоту, довжину хвилі та профіль
потенціалу.
The analytical solutions of equations which describe the stationary one-dimensional nonlinear Langmuir waves
into cold collisionless plasmas at immobile ions without a magnetic field have been found. The obtained formulae
determine all characteristics of investigated periodical waves: a frequency, a wave length and potential profile.
|
| first_indexed | 2025-12-02T09:00:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЛЕНГМЮРОВСКИХ ВОЛН
Г.Н. Кичигин
Институт солнечно-земной физики СО РАН, Иркутск, Россия
E-mail: king@iszf.irk.ru
Найдены аналитические решения уравнений, описывающие установившиеся одномерные нелинейные
ленгмюровские волны в холодной бесстолкновительной плазме с неподвижными ионами в отсутствие магнит-
ного поля. Полученные формулы определяют все характеристики исследуемых периодических волн: частоту,
длину волны и профиль потенциала.
PACS: 52.35.-g
1. ВВЕДЕНИЕ
В последнее время особенно интенсивно иссле-
дуются возникающие за счет разделения зарядов в
плазме волны большой амплитуды (см., например,
основательный обзор [1] и цитируемую там литера-
туру). Эти нелинейные волны формируются за счет
воздействия на плотную плазму либо ультрареляти-
вистских пучков частиц, либо мощного лазерного
излучения. Впервые основополагающие результаты
при исследовании нелинейных волн были получены
в работах [2-4], где рассматривались установившие-
ся одномерные волны в безграничной плазме, состо-
ящей из электронов, которые считались холодными,
и ионов, которые предполагались бесконечно тяже-
лыми и неподвижными. Позднее аналогичные ре-
зультаты для ленгмюровских волн были независимо
получены в работе [5]. В работах [2-5] для нелиней-
ных ленгмюровских волн получены приближенные
асимптотические формулы для амплитуды электри-
ческого поля и частоты волн как функции предель-
ной скорости электронов в волне. Величина этой
скорости не определена, так как является неизвест-
ной константой, и по этой причине полученные в [2-
5] результаты фактически дают совсем мало инфор-
мации о свойствах волн. В настоящей работе, ис-
пользуя исходные уравнения работ [2-5], мы нашли
их аналитические решения. Мы показали, что про-
филь и амплитуда потенциала, длина волны (часто-
та) нелинейных волн зависят от двух параметров: 1)
фазовой скорости, 2) амплитуды электрического
поля волн.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Так же, как и в работах [2-5], рассмотрим плазму
с холодными электронами и неподвижными ионами
одного сорта в отсутствие внешнего магнитного по-
ля. Для одномерной задачи предположим, что волна
распространяется в направлении оси x со скоростью
u. В такой постановке все переменные зависят от
координаты x и времени t. Приведем используемые
в [2-5] уравнения:
=
∂
∂
x
E
4π e(n0 − n), (1)
0)( =
∂
∂+
∂
∂ nv
xt
n
, (2)
eE
x
pv
t
p
−=
∂
∂
+
∂
∂
=e
x∂
ϕ∂
. (3)
Здесь E, ϕ – электрическое поле и потенциал; n0
– плотность ионов; e, n, v, p – абсолютная величина
заряда, плотность, скорость и импульс электронов,
соответственно. Для импульса используется реляти-
вистская формула: p =mvγe, где γe=(1– βe
2)–1/2, βe=v/c,
m – масса покоя электрона (с – скорость света). К
уравнениям (1)-(3) присоединим еще уравнение для
полной энергии электрона mc2γe:
mc2 eEvv ee xt
−=
+
∂
∂
∂
∂ γγ . (4)
Обозначив плазменную частоту электронов через
ωp=(4πe2n0 /m)1/2, перейдем в уравнениях (1)-(4) к но-
вым безразмерным переменным ξ=(x–ut) ωp/c, ψ=e
ϕ /(mc2). После такого перехода все переменные за-
дачи будут функцией только безразмерной величи-
ны ξ. Используя следующее из (2) соотношение n0u
= n(u –v), из уравнений (1), (3)-(4) получим законы
сохранения
E2 + 8πn0 mc2 (γe –1) = E0
2, (5)
γe – 1 = ββeγe + ψ . (6)
Здесь β = u/c, E0 – амплитуда электрического
поля, которую принимает поле волны в точках, где
n=n0, v=0, γe=1, ψ=0. Закон сохранения (5) совпада-
ет с тем, который получен в работах [2-5]. Соотно-
шение (6), в котором фигурирует потенциал волн,
по непонятным причинам не было учтено в работах
[2-5], а ведь именно оно позволяет решить задачу до
конца, как это показано ниже.
Подставим в соотношение (5) величину γe, выра-
женную с помощью (6) через потенциал ψ, закон
сохранения (5) можно записать в виде
V(ψ,γ ) = ε − E 2/2=
=γ 2 (1+ψ ) − 1 – βγ 1)1( 22 −+ ψγ , (7)
где введены обозначения: γ = (1–β 2)–1/2 – параметр,
связанный со скоростью волны, E =– dψ/dξ – без-
размерная величина электрического поля, ε
=E0
2/2=(dψ/dξ)0
2 /2 = E0
2/(8πnomc2) – параметр, свя-
занный с амплитудой электрического поля волн.
Функция V(ψ,γ) играет роль эффективного потенци-
ала для рассматриваемой задачи, причем величина ε
– это энергия воображаемой частицы с массой, рав-
ной единице. Обратим внимание на то, что появле-
ние в задаче параметра γ=(1–β 2)–1/2 свидетельствует
___________________________________________________________
ВОПРОСЫ АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 2006. № 5.
Серия: Плазменная электроника и новые методы ускорения (5), с.59-62.
59
о том, что искомые решения в виде периодических
волн потенциала возможны только при условии u ≤
с. Как мы покажем ниже, такие решения существу-
ют и, следовательно, описываемые этими решения-
ми волны должны иметь фазовую скорость не
больше скорости света.
Нетрудно видеть, что функция V(ψ,γ) определе-
на в ограниченной области значений переменной ψ,
а именно на отрезке – (1– 1/γ) ≤ ψ ≤ ∞. Введем
обозначение ψ_* = – (1– 1/γ). Из (7) следует, что
при ψ=ψ_* величина ε имеет максимальное значе-
ние: εm= γ − 1. Отсюда следует общеизвестный ре-
зультат [1]: при заданной фазовой скорости волны,
т.е. при заданной величине параметра γ, решение
рассматриваемой задачи существует только для не-
линейных волн, имеющих амплитуду электрическо-
го поля меньше или равной предельной величины,
которая равна Em = [8πnomc2(γ–1)]1/2. Как известно
[6], нелинейная ленгмюровская волна формируется
как результат конкуренции нелинейного укручения
и дисперсионного расплывания некоторого началь-
ного возмущения, поэтому существование предель-
ной амплитуды можно объяснить тем, что при ам-
плитуде волны, больше предельной Em, дисперсия
не может остановить нелинейное укручение и волна
“опрокидывается”. В связи с этим величину Em часто
называют релятивистским полем опрокидывания.
Для того, чтобы отразить тот факт, что величина ам-
плитуды электрического поля E0 для заданной ве-
личины скорости u (или γ) не может быть больше
Em, представим параметр ε в виде
ε=E0
2/(8πnomc2)= θ (γ-1), где θ =ε /εm = (E0/Em)2≤ 1.
3. ПРОФИЛЬ ВОЛН
Из (7) следует, что профиль потенциала волны –
это периодическая структура, имеющая положитель-
ный размах потенциала ψ+ и отрицательный – ψ_,
величины которых определяются из уравнения −ε
V(ψ,γ) = 0:
ψ+ = ε + β εε 22 + , ψ_ = ε – β εε 22 + . (8)
Определим амплитуды ψ+, ψ_ при различных
значениях параметров θ и γ. Для нелинейных волн
при θ = 1, т.е. для волн, имеющих предельную ве-
личину электрического поля ε = εm= γ − 1, размах
колебаний потенциала определяется формулами
ψ_* = 1/γ – 1, ψ+*= 2γ – 1/γ – 1. (9)
Из (9) следует, что для волн с релятивистским
фактором γ >>1, амплитуды ψ_* ≈–1, ψ+* ≈2γ, т.е.
для релятивистских волн с предельной амплитудой
электрического поля отрицательный размах колеба-
ний потенциала ψ_* примерно постоянен и по мо-
дулю чуть меньше единицы, а амплитуда положи-
тельного размаха ψ+* пропорциональна величине
параметра γ.
Для волн, распространяющихся с малой скоро-
стью, т.е. при β << 1, γ ≈ 1 из (9) получим
ψ+* ≈ 3β 2/2 , ψ_* ≈ – β 2/2. (10)
В предельном случае, когда параметр ε бесконеч-
но мал, т.е. для малых колебаний в яме, из (8) полу-
чим ψ+ ≈ β ε2 +ε, ψ_ ≈ – β ε2 +ε. Отсюда для
волн, движущихся с малой скоростью (β << 1) и
имеющих амплитуду близкую к предельной (θ ≈ 1)
и, следовательно, для малых величин параметра ε≈β
2/2<<1, амплитуды ψ+, ψ_ выражаются формулами
(10). Для волн же, движущихся с релятивистскими
скоростями (β ≈1), но имеющих бесконечно малую
амплитуду (θ <<1) при ε<<1, отрицательная и поло-
жительная амплитуды колебаний потенциала при-
близительно равны:
ψ_ ≈ – ψ+ ≈ ε2 . (11)
Амплитуды ψ+, ψ_ равны и в случае, когда ε
<<1, θ<< 1, β << 1:
ψ_ ≈ – ψ+ ≈ θ β 2. (12)
Для величины параметра ε ≈1 из (8) получим:
ψ+≈1+β 3 , ψ_≈1–β 3 .
Теперь рассмотрим наиболее интересный для
практических приложений случай, когда параметр ε
велик: ε>>1. Так как ε = θ (γ − 1), а θ ≤ 1, то усло-
вие ε >>1 означает, что γ >> 1, β ≈ 1, θγ >>1, сле-
довательно, из (8) получим
ψ+ ≈ 2ε, ψ_≈ ψ_* ≈ − 1. (13)
Мы видим, что при ε>>1 отношение ψ+/|ψ_|≈2ε,
т.е. положительный размах колебаний потенциала по
величине существенно больше отрицательного.
Из проведенного выше анализа соотношений
между амплитудами ψ+ и |ψ_| мы отметим следую-
щую особенность: волны, для которых ε > 1, а также
волны с предельной амплитудой электрического
поля (θ =1) имеют величину положительного разма-
ха колебаний ψ+ всегда больше величины |ψ_|.
Перейдем к исследованию профиля нелинейных
волн. Мы найдем зависимость потенциала волн от
координаты аналитически из соотношения
ξ = ∫
−ε )]([2 γψ,
ψ
V
d
, (14)
полученного с помощью формулы (7). Из (14) вид-
но, что зависимость ψ = ψ (ξ) можно установить,
если вычислить или оценить входящий в (14)
неопределенный интеграл. Мы это сделаем в разных
предельных случаях. Сначала рассмотрим колеба-
ния плазмы с амплитудой, много меньшей предель-
ной (θ <<1), при ε<<1. Учитывая справедливые в
этом случае формулы (11)-(12), будем считать, что |
ψ | < β <1. Представляя функцию V(ψ,γ ) в виде
V(ψ,γ ) = γ 2(ψ + β 2 – β 2 22221 / βψψ / β ++ )
_______________________________________________________________
ВОПРОСЫ АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 2006. № 5.
Серия: Плазменная электроника и новые методы ускорения (5), с.60-63.
60
и заменяя радикал степенным рядом, члены которо-
го содержат величину ψ /β <1, получим с точностью
до квадратичных членов:
V(ψ,γ) ≈ ψ 2 /(2β 2). (15)
С учетом (15), из формулы (14) в этом случае
имеем ξ =Const + β ⋅ arcSin[ψ/(β ε2 )], откуда вид-
но, что на пространственном размере, равном длине
волны, профиль волны синусоидальный:
ψ (ξ) = β ε2 Sin(ξ /β). (16)
(В формуле (16) мы положили, что потенциал ψ
= 0 в точке ξ= 0). Итак, если θ <<1, при ε<<1 про-
филь нелинейной волны на пространственном раз-
мере, равном длине волны, имеет форму, близкую к
синусоиде.
В случае больших значений параметра ε(ε>>1)
амплитуды ψ+, |ψ_| сильно различаются по величи-
не, поэтому профили положительного и отрицатель-
ного размахов потенциала рассмотрим отдельно.
Так как положительный и отрицательный профили
симметричны относительно максимума потенциала,
то везде ниже мы будем полагать, что ψ =|ψmax | при
значении координаты ξ=0. Найдем сначала профиль
потенциала волн при ψ > 0. Так как амплитуда по-
ложительного скачка в этом случае велика: ψ+=2ε
>>1, будем искать зависимость потенциала от коор-
динаты, полагая ψ >1. Считая, что (1+ψ)>>1/γ2, в
формуле (7) для функции V(ψ,γ ) представим ради-
кал в виде степенного ряда и в результате получим
V(ψ,γ ) ≈ ψ /2. Подставим эту зависимость для V(ψ,
γ ) при ψ > 0 в формулу (14) и после интегрирова-
ния придем к результату: ξ = 2 ψ−ε2 , откуда сле-
дует, что ψ = 2ε – ξ2/4. Следовательно, электриче-
ское поле в этом случае линейно зависит от коорди-
наты: E=–ξ/2. Введем обозначение для про-
странственной длины ξ+ = 2 ε2 , на которой потен-
циал изменяется от нуля до амплитудного значения
ψ+. (Как видно из приведенной ниже формулы для
длины волны λ при ε >> 1 величина 2ξ+ приближен-
но равна длине волны (обезразмеренной на величи-
ну u/ωp): 2ξ+ ≈ λ/(u/ωp)). Если обе части выражения
ψ=2ε – ξ2/4 поделить на ψ+ = 2ε и ввести обозначе-
ния Y =ψ /ψ+, τ = ξ /ξ+, то получим универсальное
соотношение между новыми переменными для по-
тенциала Y и координаты τ:
Y = 1 – τ 2. (17)
Итак, для ε >>1 мы получили параболическую
зависимость положительной части потенциала от
координаты.
Найдем зависимость от координаты отрицатель-
ной части потенциала волн для ε >>1. При ψ < 0,
абсолютное значение потенциала |ψ | < β ≤ 1, поэто-
му можно в этом случае воспользоваться для функ-
ции V(ψ,γ) выражением (15) и тогда из формулы
(14) получим ξ = β arc Sin[ψ/(β ε2 )] + Const. Так
как β≈1 и ψ/ ε2 <<1, следовательно, ξ≈ψ/ ε2
+Const. Обозначив пространственный размер ξ_= 1/
ε2 , на котором потенциал изменяется от нуля до
амплитудного значения и, полагая согласно форму-
ле (13) ψ_≈ψ_* ≈ –1, получим, что при ε >>1 отри-
цательная часть потенциала волны имеет пилообраз-
ную зависимость от координаты:
ψ ≈ ψ_(1– |ξ|/ξ_), (18)
а электрическое поле, следовательно, имеет прямо-
угольную форму. Мы видим, что для ε >> 1 размер
ξ_ очень мал, а отношение пространственных
масштабов ξ+/ ξ_ велико: ξ+ / ξ_≈ 2ψ+ /|ψ _| ≈ 4ε. Та-
ким образом, мы приходим к следующим общим
выводам: 1) форма профиля отрицательной части
потенциала нелинейных волн – это либо косинус,
либо пила, либо кривые, лежащие между ними;
2) форма положительной части – преимущественно
косинус и парабола, визуально мало различимые на
пространственном отрезке 2ξ+ .
4. ЧАСТОТА ВОЛН
Для рассматриваемых нами нелинейных ленгмю-
ровских волн мы подробно рассмотрим зависимость
частоты волн от параметров θ и γ. Если частота вол-
ны ω известна, то длину волны λ легко найти, так
как λ и ω связаны простым соотношением λ=2πu/ω.
С помощью (7) для частоты волны получим форму-
лу ω = ω (ε)= ωp π β 2 ∕ J(ε,γ), где J(ε,γ) – это ин-
теграл J(ε,γ) = ∫
+
−
ψ
ψ γψ−
ψ
ε ),(V
d
, в котором функ-
ция V(ψ,γ ) определяется формулой (7), а величины
потенциалов ψ_, ψ+ – формулами (8). С помощью
эйлеровой подстановки
1)1( 22 −+ ψγ =x2 – γ (1+ψ) интеграл J(ε,γ) можно
привести к виду
∫
−−
−
=
−a
b bxxa
dxxx
))((
)(
2222
22
)(
2 γ) ,J(ε
β−1γγ
,
где пределы интегрирования определяются из формул
a2 = γ (1+β )(1+ε+ εε 22 + ),
b2 = γ (1+β )(1+ε − εε 22 + ).
J(ε ,γ) выражается через полный эллиптический ин-
теграл второго рода E(k):
J(ε,γ ) = 2 2 aβ [γ (1− β )]1/2 E(k),
где k = [1− (1 + ε − εε 22 + )2]1/2. Таким образом,
для частоты нелинейных волн получим формулу:
ω (θ, γ ) /ωp =
=[1+θ(γ−1)− )1(2)1( 22 −+− γγ θθ ]1/2(π/2)/E(k), (19)
где ωp = (4πe2n0 /m)1/2. Величина эллиптического ин-
теграла E(k), входящего в формулу (19), изменяется
в пределах от π/2 до 1, поэтому влияние E(k) на ве-
___________________________________________________________
ВОПРОСЫ АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 2006. № 5.
Серия: Плазменная электроника и новые методы ускорения (5), с.59-62.
61
личину ω(θ,γ) не столь уж существенно. Из доста-
точно простой формулы (19) следует очень важный
вывод: частота нелинейных ленгмюровских волн
контролируется двумя независимыми параметрами:
θ = (E0 / Em)2 и γ = (1 – u2 /c2)–1/2, первый из которых
определяется квадратом отношения амплитуды
электрического поля волны к предельно возможной,
а второй – скоростью волны u. Из формулы (19) для
нерелятивистских волн, т.е. при β =0, следует ре-
зультат, впервые полученный в [2]: частота волн не
зависит ни от скорости, ни от амплитуды. Частота
нелинейных слаборелятивистских (γ ≤2) и реляти-
вистских (γ >>1) волн всегда меньше плазменной
частоты ωp и уменьшается как с ростом скорости,
так и с ростом амплитуды волн.
Если следить за зависимостью частоты волн от
скорости, то для волн, распространяющихся с малы-
ми скоростями (β << 1), из (20) получим
ω (θ, β) ≈ ωp (1 – 3β 2 θ/16).
Частота волн в этом случае мало отличается от
ωp, а длина волны λ ≈ 2πu/ωp. Как мы видели выше
(формула (16)), профиль волны в этом случае близок
к синусоидальному.
Когда величина ε = θ (γ − 1) становится больше
единицы, значение эллиптического интеграла E(k)
мало отличается от единицы. Для релятивистских
волн (γ >>1), когда параметр θ не слишком мал, так
что произведение θγ >>1, частота определится вы-
ражением
ω (θ,γ ) ≈ ωp π /(2 ε2 ) ≈ ωp π /(2 θγ2 ), (20)
а длина волны выразится формулой λ =4u θγ2 /ωp.
Как мы видим, частота и длина волны в этом
случае одинаково зависят от параметров θ и γ.
Проследим зависимость частоты ленгмюровских
волн от параметра θ. Для волн, амплитуда которых
равна предельно возможной (θ =1), получим совсем
простую формулу для частоты:
ω (β ) = ωp (π/2) [(1 – β )/(1 + β )]1/4 /E(k),
где k= [2β/(1+β)]1/2. В противоположном случае,
когда амплитуда волн бесконечно мала по сравне-
нию с предельно возможной, полагая θ → 0 и счи-
тая, что величина ε = θ(γ−1)<<1, для частоты и про-
странственного периода ленгмюровских волн полу-
чим формулы: ω = ωp , λ =2πu/ωp. Таким образом,
при ε << 1 и θ → 0 как профиль потенциала, так и
формулы для ω и λ точно такие же, как и в линей-
ной теории для плазменных колебаний в холодной
плазме [6]. Однако необходимо отметить, что если в
случае линейных плазменных колебаний фазовая
скорость u формально может быть любой – в преде-
лах от нуля и до бесконечности, то для нелинейных
ленгмюровских волн бесконечно малой амплитуды
их фазовая скорость ограничена скоростью света, а
длина волны не может быть больше величины 2πc/
ωp. В этом отличие точного решения для нелиней-
ных волн бесконечно малой амплитуды от решений,
полученных в линейном приближении для ленгмю-
ровских волн в холодной плазме. В заключение от-
метим, что, согласно [7], приведенными в данной
работе результатами, полученными в приближении
бесконечно тяжелых и неподвижных ионов, можно
пользоваться только при следующем условии: пара-
метр ε = θ (γ −1) по порядку величины не должен
превышать величины μ, пропорциональной отноше-
нию массы ионов плазмы к массе электронов.
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ
В данной работе получены два основных новых
результата, определяющих все свойства установив-
шихся нелинейных ленгмюровских волн:
1. Частота нелинейных ленгмюровских волн опре-
деляется простым аналитическим выражением (19).
2. Потенциал нелинейной волны представляет со-
бой периодическую структуру. Для θ<<1 при ε<<1
профиль ленгмюровских волн на пространственном
размере, равном длине волны, имеет синусоидальную
форму (16). Для значений ε >>1 профиль положи-
тельной части имеет преимущественно параболиче-
скую зависимость от координаты (17), а отрицатель-
ная часть потенциала имеет форму пилы (18).
ЛИТЕРАТУРА
1. В.А. Балакирев, В.И. Карась, И.В. Карась //
Физика плазмы. 2002, т.28. №2, с.144.
2. А.И. Ахиезер, Г.Я. Любарский // ДАН. 1951,
т.80, №2, с.193.
3. А.И. Ахиезер, Р.В. Половин // ДАН. 1955,
т.102, с.919.
4. А.И. Ахиезер, Р.В. Половин // ЖЭТФ. 1956,
т.30, с.915.
5. A. Cavalier // Nuovo Cimento. 1962, v.23, p.440.
6. Л.А. Арцимович, Р.З. Сагдеев. Физика плазмы
для физиков. М.: «Атомиздат», 1979, с.320.
7. Г.Н. Кичигин // Физика плазмы. 2003, т.29,
№2, с.172.
THEORY OF NONLINEAR LANGMUIR WAVES
G.N. Kichigin
The analytical solutions of equations which describe the stationary one-dimensional nonlinear Langmuir waves
into cold collisionless plasmas at immobile ions without a magnetic field have been found. The obtained formulae
determine all characteristics of investigated periodical waves: a frequency, a wave length and potential profile.
ТЕОРІЯ НЕЛІНІЙНИХ ЛЕНГМЮРІВСЬКИХ ХВИЛЬ
Г.М. Кичигін
_______________________________________________________________
ВОПРОСЫ АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 2006. № 5.
Серия: Плазменная электроника и новые методы ускорения (5), с.60-63.
62
Знайдені аналітичні розв’язки рівнянь, що описують сталі одновимірні нелінійні ленгмюрівські хвилі у
холодній беззіткневій плазмі з нерухомими іонами у відсутності магнітного поля. Отримані формули
визначають всі характеристики досліджених періодичних хвиль: частоту, довжину хвилі та профіль
потенціалу.
___________________________________________________________
ВОПРОСЫ АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 2006. № 5.
Серия: Плазменная электроника и новые методы ускорения (5), с.59-62.
63
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-81086 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-6016 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T09:00:53Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кичигин, Г.Н. 2015-05-04T12:05:55Z 2015-05-04T12:05:55Z 2006 Теория нелинейных ленгмюровских волн / Г.Н. Кичигин // Вопросы атомной науки и техники. — 2006. — № 5. — С. 59-63. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1562-6016 PACS: 52.35.-g https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81086 Найдены аналитические решения уравнений, описывающие установившиеся одномерные нелинейные ленгмюровские волны в холодной бесстолкновительной плазме с неподвижными ионами в отсутствие магнитного поля. Полученные формулы определяют все характеристики исследуемых периодических волн: частоту, длину волны и профиль потенциала. Знайдені аналітичні розв’язки рівнянь, що описують сталі одновимірні нелінійні ленгмюрівські хвилі у холодній беззіткневій плазмі з нерухомими іонами у відсутності магнітного поля. Отримані формули визначають всі характеристики досліджених періодичних хвиль: частоту, довжину хвилі та профіль потенціалу. The analytical solutions of equations which describe the stationary one-dimensional nonlinear Langmuir waves into cold collisionless plasmas at immobile ions without a magnetic field have been found. The obtained formulae determine all characteristics of investigated periodical waves: a frequency, a wave length and potential profile. ru Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України Вопросы атомной науки и техники Релятивистская и нерелятивистская плазменная СВЧ-электроника Теория нелинейных ленгмюровских волн Теорія нелінійних ленгмюрівських хвиль Theory of nonlinear langmuir waves Article published earlier |
| spellingShingle | Теория нелинейных ленгмюровских волн Кичигин, Г.Н. Релятивистская и нерелятивистская плазменная СВЧ-электроника |
| title | Теория нелинейных ленгмюровских волн |
| title_alt | Теорія нелінійних ленгмюрівських хвиль Theory of nonlinear langmuir waves |
| title_full | Теория нелинейных ленгмюровских волн |
| title_fullStr | Теория нелинейных ленгмюровских волн |
| title_full_unstemmed | Теория нелинейных ленгмюровских волн |
| title_short | Теория нелинейных ленгмюровских волн |
| title_sort | теория нелинейных ленгмюровских волн |
| topic | Релятивистская и нерелятивистская плазменная СВЧ-электроника |
| topic_facet | Релятивистская и нерелятивистская плазменная СВЧ-электроника |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81086 |
| work_keys_str_mv | AT kičigingn teoriânelineinyhlengmûrovskihvoln AT kičigingn teoríânelíníinihlengmûrívsʹkihhvilʹ AT kičigingn theoryofnonlinearlangmuirwaves |