Параметризация DM -распределения

Параметризация DM -распределения

Представлены методики определения параметров DM -распределения для самых разнообразных схем и условийиспытаний. В частности, представлены максимально правдоподобные оценки и моментные оценки параметров при полныхиспытаниях, максимально правдоподобные оценки при цензурированных испытаниях. Предложены...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Date:2007
Main Author: Стрельников, В.П.
Format: Article
Language:Russian
Published: Інститут проблем математичних машин і систем НАН України 2007
Subjects:
Якість, надійність і сертифікація обчислювальної техніки і програмного забезпечення
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/811
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Параметризация DM -распределения / Стрельников В. П. // Математические машины и системы. – 2007. – № 2. – С. 117 –124.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-811
record_format dspace
spelling Стрельников, В.П.
2008-06-27T14:20:24Z
2008-06-27T14:20:24Z
2007
Параметризация DM -распределения / Стрельников В. П. // Математические машины и системы. – 2007. – № 2. – С. 117 –124.
1028-9763
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/811
621.391.175
Представлены методики определения параметров DM -распределения для самых разнообразных схем и условийиспытаний. В частности, представлены максимально правдоподобные оценки и моментные оценки параметров при полныхиспытаниях, максимально правдоподобные оценки при цензурированных испытаниях. Предложены оценки параметровDM -распределения при единичных отказах. Библиогр.: 6 назв.
Представлено методики визначення параметрів DM -розподілу для найрізноманітніших схем і умов випробувань. Зокрема,представлені максимально правдоподібні оцінки і моментні оцінки параметрів при повних іспитах, максимальноправдоподібні оцінки при цензурованих випробуваннях. Запропоновані оцінки параметрів DM -розподілу при одиничнихвідмовах. Бібліогр.: 6 назв.
Techniques of definition of DM -distribution parameters for the diversified circuits and test specifications are submitted. Inparticular, maximum plausible estimations and estimations of parameters are submitted at full tests, maximum plausible estimationsat censorial tests. Estimations of parameters DM -distribution are offered also at unit failures. Refs.: 6 titles.
ru
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
Якість, надійність і сертифікація обчислювальної техніки і програмного забезпечення
Параметризация DM -распределения
Параметризація DM -розподілу
Definition of parameters DM -distribution
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Параметризация DM -распределения
spellingShingle Параметризация DM -распределения
Стрельников, В.П.
Якість, надійність і сертифікація обчислювальної техніки і програмного забезпечення
title_short Параметризация DM -распределения
title_full Параметризация DM -распределения
title_fullStr Параметризация DM -распределения
title_full_unstemmed Параметризация DM -распределения
title_sort параметризация dm -распределения
author Стрельников, В.П.
author_facet Стрельников, В.П.
topic Якість, надійність і сертифікація обчислювальної техніки і програмного забезпечення
topic_facet Якість, надійність і сертифікація обчислювальної техніки і програмного забезпечення
publishDate 2007
language Russian
publisher Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
format Article
title_alt Параметризація DM -розподілу
Definition of parameters DM -distribution
description Представлены методики определения параметров DM -распределения для самых разнообразных схем и условийиспытаний. В частности, представлены максимально правдоподобные оценки и моментные оценки параметров при полныхиспытаниях, максимально правдоподобные оценки при цензурированных испытаниях. Предложены оценки параметровDM -распределения при единичных отказах. Библиогр.: 6 назв. Представлено методики визначення параметрів DM -розподілу для найрізноманітніших схем і умов випробувань. Зокрема,представлені максимально правдоподібні оцінки і моментні оцінки параметрів при повних іспитах, максимальноправдоподібні оцінки при цензурованих випробуваннях. Запропоновані оцінки параметрів DM -розподілу при одиничнихвідмовах. Бібліогр.: 6 назв. Techniques of definition of DM -distribution parameters for the diversified circuits and test specifications are submitted. Inparticular, maximum plausible estimations and estimations of parameters are submitted at full tests, maximum plausible estimationsat censorial tests. Estimations of parameters DM -distribution are offered also at unit failures. Refs.: 6 titles.
issn 1028-9763
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/811
citation_txt Параметризация DM -распределения / Стрельников В. П. // Математические машины и системы. – 2007. – № 2. – С. 117 –124.
work_keys_str_mv AT strelʹnikovvp parametrizaciâdmraspredeleniâ
AT strelʹnikovvp parametrizacíâdmrozpodílu
AT strelʹnikovvp definitionofparametersdmdistribution
first_indexed 2025-11-25T22:51:41Z
last_indexed 2025-11-25T22:51:41Z
_version_ 1850575178516398080
fulltext ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2007, № 2 117 УДК 621.391.175 В.П. СТРЕЛЬНИКОВ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ DM -РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Аbstract: Techniques of definition of DM -distribution parameters for the diversified circuits and test specifications are submitted. In particular, maximum plausible estimations and estimations of parameters are submitted at full tests, maximum plausible estimations at censorial tests. Estimations of parameters DM -distribution are offered also at unit failures. Key words: failure, distribution function, maximum likelihood estimations. Анотація: Представлено методики визначення параметрів DM -розподілу для найрізноманітніших схем і умов випробувань. Зокрема, представлені максимально правдоподібні оцінки і моментні оцінки параметрів при повних іспитах, максимально правдоподібні оцінки при цензурованих випробуваннях. Запропоновані оцінки параметрів DM -розподілу при одиничних відмовах. Ключові слова: відмова, функція розподілу, максимально правдоподібні оцінки. Аннотация: Представлены методики определения параметров DM -распределения для самых разнообразных схем и условий испытаний. В частности, представлены максимально правдоподобные оценки и моментные оценки параметров при полных испытаниях, максимально правдоподобные оценки при цензурированных испытаниях. Предложены оценки параметров DM -распределения при единичных отказах. Ключевые слова: отказ, функция распределения наработки, максимально правдоподобные оценки параметров. 1. Введение Методология установления количественных показателей надежности объектов на основании статистических данных об отказах при испытаниях или в процессе эксплуатации предусматривает принятие той или иной теоретической модели отказов (функции распределения наработки до отказа или на отказ) и определение параметров этой функции распределения. Если установлена функция распределения и определены параметры этой функции, тогда вычисляются все необходимые показатели надежности этих объектов (средняя наработка до отказа или на отказ, гамма-процентная наработка, вероятность безотказной работы за заданное время наработки, остаточный ресурс и др.). В данной ситуации чрезвычайно важной представляется задача оценивания параметров принятой функции распределения, определяющего точность прогнозирования показателей надежности, особенно в условиях ограниченной статистики отказов. В настоящей работе представлены разнообразные оценки параметров DM -распределения, рекомендуемого стандартами [1, 2] в качестве теоретической модели распределения наработки до отказа. 2. Оценивание параметров DM-распределения на основе статистических данных об отказах при плане полных испытаний (план [NUN]) Максимально правдоподобные оценки параметров Наиболее распространенным и эффективным с теоретической точки зрения методом определения выборочной оценки параметров распределения является метод наибольшего правдоподобия. Данный метод, как известно, обладает важными достоинствами: он всегда приводит к состоятельным оценкам, имеющим наименьшую возможную дисперсию и наилучшим образом использующим всю информацию о неизвестном параметре, содержащуюся в выборке. ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2007, № 2 118 Максимально правдоподобные оценки параметров распределения в случаях полных испытаний получают из выражения функции максимального правдоподобия: ∏ = = N i iM tfL 1 ,),;( νµ где Nttt ...,,, 21 – наработки до отказа ( N – число образцов, поставленных на испытание); ),;( νµiM tf – плотность вероятностей исследуемой функции распределения ( DM - распределения). Плотность DM -распределения: ),;( νµtfM = ( )         −−+ t t tt t µν µ µπν µ 2 2 2 exp 22 )( . (1) Плотности (1) соответствует интегральная функция DM -распределения: ),;( νµtDM         −Φ= t t µν µ , (2) где ( )⋅Φ – функция нормированного нормального распределения. Произведем необходимые математические преобразования с целью получения выражений уравнений системы (из двух уравнений), на основании которой вычисляются максимально правдоподобные оценки параметров DM -распределения. ( ) ( ) =                 − − + = ∑ = N i i i ii i t t tt t L 1 2 2 2 exp 22 lnln µν µ πµν µ ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ = = = − −−−−+= N i N i N i i i iii t t tt N Nt 1 1 1 2 2 2 22ln 2 lnln µν µπµνµ . (3) Определяем частную производную от функции правдоподобия (3) по первому параметру ( µ ): ( )( ) ∑ ∑ ∑+−− + =∑ ∑         +− −− + = ∂ ∂ = = == = N i N i N i i ii N i N i i ii i t t N tt ttN t L 1 1 1 222 1 1 22 2 11 2 1 2 1 22 1ln µννµµµν µµ µµµ . Произведя некоторые преобразования, получаем первое уравнение системы для определения максимально правдоподобных оценок в следующем виде: 0212122 =+−−Θ −− SG µνµµν , где ( ) 1 1 12 − = −       +=Θ ∑ N i itN µ ; 1 1 1 − = −      = ∑ N i itNG ; ∑ = = N i itN S 1 1 . Определяем частную производную от функции правдоподобия (3) по второму параметру (ν ): ( ) ∑         +−+−∑ = − +−= ∂ ∂ == N i i i N i i i t t N t tNL 1 333 1 3 2 2ln µννν µ νµν µ νν . ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2007, № 2 119 Произведя некоторые преобразования, получаем второе уравнение системы для определения максимально правдоподобных оценок в следующем виде: .02 12 =−−+ − µ µν S G Таким образом, максимально правдоподобные оценки определяются из решения следующей системы уравнений: 2 2 1 2 1 2 2 1 1 0 ; 2 0 . G S G S ν µ µ µν ν µ µ − − − −  Θ − − + =  + − − = % %% % % % % % (4) Решение последней системы можно получить таким образом. Из второго уравнения определяют выражение для параметра формы .2~~~ 112 −+= −− SG µµν Произведя замену 2~ν в первом уравнении, получают следующее квадратное уравнение относительно параметра µ~ : ( ) .02~2~ 2 =+Θ+Θ+− GSGGµµ Единственное решение последнего уравнения при условии SG << µ~ приводит к выражению максимально правдоподобной оценки параметра µ~ . Таким образом, максимально правдоподобные оценки параметров DM -распределения, вытекающие из решения системы уравнений (4), имеют следующий вид: ( ) ;~ 2/122 Θ+−−Θ+= SGGGµ (5) ( ) 2/111 2~~~ −+= −− SG µµν . (6) В работе [3] предложена упрощенная состоятельная оценка параметра масштаба DM- распределения типа ( ) .~ 2/1SG=µ (7) Последняя оценка параметра масштаба DM -распределения (7) может успешно использоваться совместно с оценкой параметра формы (6) DM -распределения. Заметим, что при достаточно большом N (более 100) оценки (5) и (7) практически совпадают. Моментные оценки параметров Иногда удобно пользоваться моментными оценками параметров, которые вычисляются в результате приравнивания оценок выборочных моментов с соответствующими теоретическими моментами исследуемых распределений. Как показывает практика, при достаточно большом N (более 100) моментные и максимально правдоподобные оценки параметров исследуемых распределений практически совпадают. Моментные оценки параметров DM -распределения: ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2007, № 2 120 DSS DS 34 5 2 2 ++ −=µs ; (8) ( ) 2/1 2 22 5 32         − −++ = DS SDDSS νs . (9) где обозначено: S – выборочное среднее; ( )∑ = − − = N i i St N D 1 2 )1( 1 – выборочная дисперсия. 3. Оценивание параметров DM-распределения на основе статистических данных об отказах при усеченной выборке Максимально правдоподобные оценки параметров DM -распределения в случаях усеченных испытаний (в общем случае для многократно цензурированной выборки) получают из выражения [ ]∏ ∏ = − = −= r i rN j jiM DMtfL 1 1 ),;(1),;( νµτνµ , (10) где rttt ...,,, 21 – наработки до отказа; rN −τττ ,...,, 21 – наработки неотказавших образцов ( N – число образцов, поставленных на испытание). В связи с достаточно сложными выражениями частных производных функции максимального правдоподобия приводим несколько подробно последовательность получения выражений для уравнений системы, из которой определяются максимально правдоподобные оценки параметров DM -распределения в условиях многократно цензурированной выборки. Логарифмируем функцию (10): ( )[ ] ( )[ ]∑∑ − == −+= rN j j r i iM DMtfL 11 ,;1ln,;lnln νµτνµ . Берем частную производную от последнего выражения по параметру µ и определяем первое уравнение системы. = ∂ ∂ µ Lln [ ]( ) ∑∑ − == − ∂∂ − ∂ ∂ rN j j j r i iM tDM tDMtf 11 ),;(1 /),;(),;(ln νµ µνµ µ νµ ; [ ]( ) ∑ ∑ ∑∑ = = == +−− + = ∂ ∂ r i r i r i i ii r i iM t t r t tf 1 1 1 222 1 2 11 2 1 2 1),;(ln µννµµµ νµ ; ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∞− ∞−∞− ∞− ∞− −+−= = ∂ ∂ = ∂ ∂ j jj j j t t MM t t NN t Mj dttf t dttftdttftdttf dt tftDM .),;( 1 2 1 ),;( 2 1 ),;( 4 1 ),;( 4 1 ),;(),;( 2222 νµ ν νµ µν νµ µ νµ µ µ νµ µ νµ После соответствующих подстановок получаем ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2007, № 2 121 = ∂ ∂ µ Lln , ),;(1 2244 ),;( 2 11 2 1 2 1 1 2 1 22 1 2 1 1 1 1 222 ∑∑ ∑ ∑ − = − = = =               − −+− −+−− + rN j j DM j DM j DN jj r i r i r i i ii DM mmmDN t t r t νµτ νµνµµ νµτ µννµµ где )(tfN – плотность DN -распределения; ∫ ∞− = j tdtftm N DN j τ ;)(1 ∫ ∞− = j tdtftm M DM j τ ;)(1 ∫ ∞− − = j dttf t m M DM j τ )( 1 1 ; ( ) +         − Φ= j j jDN τµν µτ νµτ ,;         + −Φ      j j τµν µτ ν 2 2 exp ; ( ) .,;         − Φ= j j jDM τµν µτ νµτ Аналогично вышеприведенной процедуре берем частную производную от функции правдоподобия по параметру ν и определяем второе уравнение системы. [ ]( ) ∑∑ − == − ∂∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ rN j j j r i iM tDM tDMtfL 11 ),;(1 /),;(),;(lnln νµ ννµ ν νµ ν ; [ ]( ) ; 211),;(ln 1 1 33 1 3∑ ∑∑ = == −++−= ∂ ∂ r i r i i i r i iM r t t rtf νµνν µ νν νµ .),;( 1 ),;( 1 ),;( )2( ),;(),;( 333 2 ∫∫ ∫ ∫ ∞−∞− ∞− ∞− +++−= = ∂ ∂ = ∂ ∂ jj j j t M t t MM t Mj dttf t dttftdttf dt tftDM νµ ν µνµ µν νµ ν ν ν νµ ν νµ После соответствующих подстановок получаем . ),;(1 1 ),;()2( 1211ln 1 11 2 3 1 1 33 3 ∑∑ ∑ − = − = =             − +++− −−++−= ∂ ∂ rN j j DM j DM jjr i r i i i DM mmDM r t t rL νµτ µ µνµτν ννµνν µ νν Выполнив некоторые простые преобразования, получаем следующую систему уравнений для определения максимально правдоподобных оценок параметров DM -распределения в условиях многократно цензурированной выборки: ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2007, № 2 122 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                =               − −−+ −−−+ =               − +−− ++−− ∑ ∑ − = − − − = − − ,0 ,;1 ,;2 1 2 )11( ;0 ,;1 2 ,; 21 2 1 1 1 2 ~ 1 ~ 12 1 1 1 1 22 ~ 1 ~ 122 rN j j DM jDM jj rN j j DM jDM j DN j j r DM m mDM r m m DM m m m DN r m m K νµτ µ µνµτν µ µ ν νµτ µ µ µ ν νµτν µ µ µνν где ∑ ∑ = = − == r i r i i i tr mt r m 1 1 ~ 1 ~ 1 ; 11 ; 1 ∑ = + = r i i r tr K 1 11 µ . Решение последней системы уравнений представляет последовательную итерационную процедуру. В качестве начальных значений вычисляемых параметров можно рекомендовать ( ) 2/1~ 1 ~ 10 / −= mmµ ; ( ) 2/1 0 ~ 1 ~ 100 2/ −+= − µµν mm . При планах испытаний [NUr] или [NUT], то есть при однократном усечении выборки, максимально правдоподобные оценки параметров DM -распределения вычисляют, решая систему уравнений, которая представляет собой частный случай системы уравнений (11). В частности, r – число отказов до момента усечения за время испытаний по плану [NUr]. Если реализуется план испытаний [NUT], тогда r d= , где d – число отказов при плане [NUT] (при этом dr tt = ): ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )          =         −−+ − −−−−+ =         +−− − −++−− −− −− ,0,;2 ,;1 2 )12( ;0 2 ,; 2,;1 2 1 1 2~ 1 ~ 12 1 1 1 22 ~ 1 ~ 122 µ µνµν νµ µ µ ν µ µ µ ννµν νµ µ µ µνν DM rDM rr r DM rDM r DN r r r r m mtDM tDMr rN m m m m m tDN tDMr rN m m K где основные обозначения прежние, ( ) +         −Φ= r r r t t tDN µν µνµ,;         +−Φ      r r t t µν µ ν 2 2 exp ; ( )         −Φ= r r r t t tDM µν µνµ,; ; ∫ ∞− = rt N DN r tdtftm ;)(1 ∫ ∞− = rt M DM r tdtftm ;)(1 ∫ ∞− − = rt M DM r dttf t m )( 1 1 . 4. Оценивание параметров DM-распределения при единичных отказах На практике наиболее распространенной ситуацией представляется возможным получение информации о нескольких отказах (порядка 5–10), объем статистики которой не позволяет с требуемой точностью оценить оба параметра DM -распределения. В связи с тем, что DM - ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2007, № 2 123 распределение представляет собой вероятностно-физическую модель отказов, параметры которой имеют конкретную физическую интерпретацию, в частности, параметр формы ν этого распределения практически совпадает с коэффициентом вариации наработки до отказа, с одной стороны, и равен коэффициенту вариации процесса деградации, приводящего к отказу, с другой стороны. Это открывает возможность оценить данный параметр априори на основании многочисленных рекомендаций в стандартах [1, 2, 4] и других публикаций [5, 6]. Если известно, априорное значение параметра формы ν , состоятельной оценкой которого может являться коэффициент вариации процесса деградации или же известно значение коэффициента вариации распределения отказов аналогов, то параметр масштаба µ DM - распределения можно оценить при единичном отказе, используя метод квантилей, по следующей формуле:         +−+= 4 1 2 1 2222 1 1 1 1 F F F U U U t ν ν ν µ&&& . (13) где 1t – наработка до первого отказа из N испытуемых объектов; N F 1 1 = – эмпирическая вероятность первого отказа. При нескольких отказах точечную оценку параметра масштаба µ DM -распределения вычисляют по формуле         +−+= ∑ = 4 1 2 1 1 2222 1 i i i F F F i r i U U U t r ν ν ν µ&&& , (14) где iF – вероятность i -го отказа ( N i Fi = ). Анализируя известные результаты, можно заметить, что первые отказы приводят к большим погрешностям в оценке параметра масштаба DM -распределения. Какой бы то ни было закономерности при этом не обнаружено, так что оценки µ&&& , полученные по первым единичным отказам, могут быть как завышенными, так и заниженными по отношению к реальному значению. Оценки µ&&& , полученные методом квантилей, можно усреднять, вводя весовой коэффициент, который усиливает значимость более поздних отказов. В таком случае выражение для точечной оценки параметра масштаба DM -распределения при нескольких отказах ( r ) будет иметь вид         +−+⋅= ∑ ∑ = = 4 1 2 1 1 2222 1 1 i i i F F F i r i r i U U U ti i ν ν ν µ&&& . (15) 5. Заключение В настоящей работе представлены методики определения параметров DM -распределения для самых разнообразных схем и условий испытаний (наблюдений). В частности, представлены ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2007, № 2 124 максимально правдоподобные оценки и моментные оценки параметров при полных испытаниях (план [NUN]), максимально правдоподобные оценки при многократно цензурированных испытаниях (планы испытаний [NRr], [NRT]), а также при однократно цензурированных испытаниях [NUr], [NUT]. Предложены также оценки параметров DM -распределения при единичных отказах. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. ГОСТ 27.005-97. Надёжность в технике. Модели отказов. Основные положения. – Введ. 01.01.99. – 45 с. 2. ДСТУ 2862-94. Надёжность техники. Методы расчета надежности. Общие требования.– Введ. 01.01.96.-40 с. 3. Birnbaum Z.W., Saunders S.C. A new family of life distribution // J. Appl. Prob. – 1969. – N 6. – P. 319–347. 4. ДСТУ 3004-95. Надежность техники. Методы оценки показателей надежности по экспериментальным данным. – Введ.01.01.96. – 122 с. 5. Погребинский С.Б., Стрельников В.П. Проектирование и надёжность многопроцессорных ЭВМ. – М.: Радио и связь, 1988. – 168 с. 6. Стрельников В.П., Федухин А.В. Оценка и прогнозирование надежности электронных элементов и систем. – К.: Логос, 2002. – 486 с.

Similar Items