Исследование на ЭВМ плоского колеса, контактируемого с полуплоскостью
Определение контактных напряжений представляет собой серьезную инженерную задачу. Применение ЭВМ позволило существенно расширить круг решаемых контактных задач, особенно в статической постановке. Следует отметить, что существующие программные комплексы по расчету конструкций с использованием ЭВМ им...
Збережено в:
| Дата: | 2004 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
2004
|
| Назва видання: | Вопросы атомной науки и техники |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81245 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Исследование на ЭВМ плоского колеса, контактируемого с полуплоскостью / Н.Х. Раковская // Вопросы атомной науки и техники. — 2004. — № 6. — С. 158-163. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-81245 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-812452025-02-23T20:18:06Z Исследование на ЭВМ плоского колеса, контактируемого с полуплоскостью Дослідження на ЕОМ плоского колеса, що контактує з півплощиною The computer analysis of the flat wheel Раковская, Н.Х. Физика и технология конструкционных материалов Определение контактных напряжений представляет собой серьезную инженерную задачу. Применение ЭВМ позволило существенно расширить круг решаемых контактных задач, особенно в статической постановке. Следует отметить, что существующие программные комплексы по расчету конструкций с использованием ЭВМ имеют зачастую весьма ограниченный графический интерфейс. В результате значительная часть появляющейся информации оказывается неиспользованной. Визначення контактних напружень уявляє серйозну інженерну задачу. Застосування ЕОМ дозволило суттєво розширити коло контактних задач, особливо в статичній постановці. Слід відзначити, що існуючі програмні комплекси з розрахунку конструкцій з використанням ЕОМ, мають частіше дуже обмежений графічний інтерфейс. У результаті значна частина інформації, що з’являється, виявляється невикористаною. To determine points of contact pressures is a grave engineering problem. The usage of a computer to solve this problem allowed to significantly broaden the specter of problems of contact in the static aspect. We have to make a point that sets of programs, which enable us to design structures using computers possess a limited graphic interface. As a result the major part of information finds no application. 2004 Article Исследование на ЭВМ плоского колеса, контактируемого с полуплоскостью / Н.Х. Раковская // Вопросы атомной науки и техники. — 2004. — № 6. — С. 158-163. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1562-6016 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81245 624.07 ru Вопросы атомной науки и техники application/pdf Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Физика и технология конструкционных материалов Физика и технология конструкционных материалов |
| spellingShingle |
Физика и технология конструкционных материалов Физика и технология конструкционных материалов Раковская, Н.Х. Исследование на ЭВМ плоского колеса, контактируемого с полуплоскостью Вопросы атомной науки и техники |
| description |
Определение контактных напряжений представляет собой серьезную инженерную задачу. Применение
ЭВМ позволило существенно расширить круг решаемых контактных задач, особенно в статической постановке. Следует отметить, что существующие программные комплексы по расчету конструкций с использованием ЭВМ имеют зачастую весьма ограниченный графический интерфейс. В результате значительная
часть появляющейся информации оказывается неиспользованной. |
| format |
Article |
| author |
Раковская, Н.Х. |
| author_facet |
Раковская, Н.Х. |
| author_sort |
Раковская, Н.Х. |
| title |
Исследование на ЭВМ плоского колеса, контактируемого с полуплоскостью |
| title_short |
Исследование на ЭВМ плоского колеса, контактируемого с полуплоскостью |
| title_full |
Исследование на ЭВМ плоского колеса, контактируемого с полуплоскостью |
| title_fullStr |
Исследование на ЭВМ плоского колеса, контактируемого с полуплоскостью |
| title_full_unstemmed |
Исследование на ЭВМ плоского колеса, контактируемого с полуплоскостью |
| title_sort |
исследование на эвм плоского колеса, контактируемого с полуплоскостью |
| publisher |
Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України |
| publishDate |
2004 |
| topic_facet |
Физика и технология конструкционных материалов |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81245 |
| citation_txt |
Исследование на ЭВМ плоского колеса, контактируемого с полуплоскостью / Н.Х. Раковская // Вопросы атомной науки и техники. — 2004. — № 6. — С. 158-163. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Вопросы атомной науки и техники |
| work_keys_str_mv |
AT rakovskaânh issledovanienaévmploskogokolesakontaktiruemogospoluploskostʹû AT rakovskaânh doslídžennânaeomploskogokolesaŝokontaktuêzpívploŝinoû AT rakovskaânh thecomputeranalysisoftheflatwheel |
| first_indexed |
2025-11-25T03:55:23Z |
| last_indexed |
2025-11-25T03:55:23Z |
| _version_ |
1849733074035671040 |
| fulltext |
УДК 624.07
ИССЛЕДОВАНИЕ НА ЭВМ ПЛОСКОГО КОЛЕСА,
КОНТАКТИРУЕМОГО С ПОЛУПЛОСКОСТЬЮ
Н. Х. Раковская
Международный славянский университет
61045, г. Харьков, Украина, ул. Отакара Яроша, 9-А
Определение контактных напряжений представляет собой серьезную инженерную задачу. Применение
ЭВМ позволило существенно расширить круг решаемых контактных задач, особенно в статической поста-
новке. Следует отметить, что существующие программные комплексы по расчету конструкций с использо-
ванием ЭВМ имеют зачастую весьма ограниченный графический интерфейс. В результате значительная
часть появляющейся информации оказывается неиспользованной.
Представляет интерес получение аналитического
решения задачи при использовании которого в соче-
тании со специализированными программами по
преобразованию аналитических выражений в графи-
ческие получаем трехмерные графики контактных
напряжений, обладающих большой степенью ин-
формативности.
Для построения аналитического решения, опре-
деляющего напряжения в плоских контактирующих
телах, можно использовать формулы [1, 2, 3] для
расчета, на границы которых действуют локальные
контактные нагрузки.
Это подтверждается и работой автора по иссле-
дованию на ЭВМ плоского колеса, контактируемого
с полуплоскостью. Эпюры напряжений с высокой
точностью совпадают в плоском колесе и полуплос-
кости вблизи зоны контакта.
В случае действия на границу полуплоскости
нормальной к границе сосредоточенной силы Р на
основе данных, приведенных в [3], запишем напря-
жения в полуплоскости в следующем виде:
2
1 2
11 4
3
2
22 4
2
1 2
12 4
2ˆ ;
2ˆ ;
2ˆ .
p
p
p
P x x
r
P x
r
P x x
r
⋅σ = − π
σ = −
π
⋅ σ = −
π
(1)
Располагая формулами для напряжений от сосре-
доточенной силы Р, действующей по нормали к гра-
нице полуплоскости (1), и используя принцип
суперпозиции, справедливый для линейных систем,
запишем напряжения для произвольной точки М
упругой полуплоскости от действия контактной
(нормально) нагрузки ( )1nq x (рис. 1).
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
1 2
11 1 2 4
3
2
2 1 2 4
2
1 2
12 1 2 4
2, ;
2, ;
2, ,
a
n
a
a
n
a
a
n
a
q x x d
x x
r
q x dx x
r
q x x d
x x
r
−
−
−
η − η ⋅ η
σ = −
π
η η σ = − π
η − η ⋅ η σ = − π
∫
∫
∫
(2)
где
( ) 22 2
1 2 .r x x= − η + (3)
Внешнюю контактную нагрузку запишем в виде
(3)
( ) 1
1 0 1 ,
axq x q
a
= −
(4)
где
( )
( )2
0 2
8 1; ,
2 1
PRPEq a
EbRb
− µ= =
ππ − µ
(5)
b — толщина диска.
Для дальнейших расчетов более удобным пред-
ставляется переход к безразмерной величине внеш-
ней нагрузки. Для этого достаточно обе части равен-
ства (4) разделить на среднее значение внешней на-
грузки
0 ...ср
Рq
ab
= (6)
В результате относительная нагрузка ( )1q x%
окажется равной (при R = 0,5 м; b = 0,1 м;
E = 2·1011 Н/м2)
( )
2
1
1 1,2732395 1 .xq x
a
= ⋅ −
% (7)
ВОПРОСЫ АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 2004. № 6.
Серия: Вакуум, чистые материалы, сверхпроводники (14), с. 158-163.
158
Рис. 1. Основные обозначения, используемые при определении напряжений в плоском контакте вблизи зоны
действия контактной нагрузки ( )1nq x
Располагая зависимостями (2) и (7), получаем
формулы для проведения расчетов:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
1 2 1 2 1 211
3
1 2 1 2 222
2
1 2 1 2 1 212
2, , , ;
2, , , ;
2, , , ,
a
p
a
a
p
a
a
p
a
x x F x x x x d
x x F x x x d
x x F x x x x d
−
−
−
σ = − η ⋅ − η η
π
σ = − η ⋅ η π
σ = − η ⋅ − η η π
∫
∫
∫
%
%
%
(8)
где
( )
( )
2
1 2 22 2
1 2
1,2732395 1
, , .aF x x
x x
η − η =
− η +
(9)
Графики относительных контактных напряжений
11 22 12,иp p pσ σ σ% % % приводятся на рис. 2 и 3.
Для установления области с наиболее вероятным
возникновением пластических деформаций восполь-
зуемся эквивалентными напряжениями по Губеру—
Мизесу—Хенку, которые в случае плоского напря-
женного состояния принимают вид:
2 2 2 2
11 11 22 22 12
4 3 ,
2
p p p p p p
эквσ = σ − σ ⋅ σ + σ + σ% % % % % % (10)
причем p
ijσ% — определяется выражениями (8).
График относительных эквивалентных нагруже-
ний p
эквσ% (рис. 4) подобно относительным нор-
мальным напряжениям, носит ярко выраженный ло-
кальный характер.
Если принять, что сила трения Т связана с нор-
мальной силой Р соотношением
,T f P= ⋅ (11) (11)
где f — коэффициент трения, то в этом случае от дей-
ствия касательной силы Т в полуплоскости, согласно
[3], будут возникать напряжения ˆ T
ijσ , определяемые
выражениями
3
1
11 4
2
1 2
22 4
2
1 2
12 4
2ˆ ;
2ˆ ;
2ˆ ,
T
T
T
P xf
r
P x xf
r
P x xf
r
σ = − π
σ = −
π
σ = −
π
(12)
где
24 2 2
1 2 .r x x = +
Располагая напряжениями, возникающими от
действия сосредоточенной силы трения (12), и ис-
пользуя принцип суперпозиции, получаем выраже-
ния для компонентов напряжений от нагрузки
( )1
Tq x :
159
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
1
11 1 2 4
2
1 2
1 222 4
2
1 2
1 212 4
2, ;
2, ;
2, ,
a T
T
a
a T
p
a
a T
p
a
q x d
x x
r
q x x d
x x
r
q x x d
x x
r
−
−
−
η − η η
σ = −
π
η − η η σ = − π
η − η η σ = − π
∫
∫
∫
%
%
%
(13)
где
( )
224 2
1 2 .r x x = − η + (14)
Рис. 2. Трехмерные графики относительных напря-
жений 11
pσ% и 22
pσ% вблизи зоны действия кон-
тактной нагрузки
Рис. 4. Трех- и двухмерные графики относительных
эквивалентных напряжений по Губеру—Мизесу—
Хенки вблизи зоны действия контактных напряже-
ний
Для определения распределенной нагрузки
( )1
Tq x воспользуемся законом распределения
нормальной нагрузки ( )nq x (4), (5) и (7) и в ре-
зультате получим
( )
2
1
0 1T xq x fq
a
= −
или
( ) ( ) 2
1 1
1 1,2732395 1 .
2
T
T q x xq x
ab a
= = −
% (15)
Подставляя (15) в (13), получим следующие вы-
ражения для относительных напряжений
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
11 1 2 1 2 1
2
22 1 2 1 2 1 2
2
12 1 2 1 2 1 2
2, , , ;
2, , , ;
2, , , ,
a
T
a
a
T
a
a
T
a
x x f F x x x d
x x f F x x x x d
x x f F x x x x d
−
−
−
σ = − η − η η
π
σ = − η − η η π
σ = − η − η η π
∫
∫
∫
%
%
%
(16)
где
160
Рис. 3. Трехмерные графики относительных напряже-
ний 12
pσ% вблизи зоны действия контактной нагрузки
( )
( )
2
1 2 22
1 2
1,2732395 1
, , .aF x x
x x
η − η =
− η +
(17)
На основе формул (16), (17) были построены
трехмерные графики относительных напряжений
T
ijσ% , вызванные относительной касательной кон-
тактной нагрузкой (15) (рис. 5).
Рис. 5. Трехмерные графики безразмерных напря-
жений T
ijσ% , вызванные касательной контактной
нагрузкой
На практике в контакте действуют кроме относи-
тельных нормальных контактных нагрузок ( )1
Pq x%
еще и относительные касательные контактные на-
грузки ( )1
Tq x% , т.е.
( ) ( ) ( )1 1 1 .P Tq x q x q xΣ = +% % % (18)
Возникающие при этом в плоском контакте сум-
марные напряжения определяются по формулам:
( ), , 1,2 .P T
ij ij ij i jΣσ = σ + σ =% % % (19)
Рис. 6. Трехмерные графики безразмерных суммар-
ных нормальных 11 22,Σ Σσ σ% % и касательных напря-
жений 12
Σσ% в зоне контакта
161
Воспользовавшись полученными ранее формула-
ми для P
ijσ% и T
ijσ% (8), (9) и (16), (17), приходим к
следующим выражениям для компонентов относи-
тельных суммарных напряжений:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 3
11 1 2 1 2 1
3 2
22 1 2 2 1 2
22
12 1 2 1 2 1 2
2 , , ;
2 , , ;
2 , , ,
a
a
a
a
a
a
F x x x x f x d
F x x x f x x d
F x x x x f x x d
Σ
−
Σ
−
Σ
−
σ = − η ⋅ − η + − η η π
σ = − η ⋅ + − η η π
σ = − η ⋅ − η + − η η π
∫
∫
∫
%
%
%
(20)
где
( )
( )
2
1 2 22 2
1 2
1,2732395 1
, , .aF x x
x x
η − η =
− η +
(21)
На основе формул (20) и (21) были построены (с
использованием ЭВМ) трехмерные графики для
всех относительных контактных напряжений. Ре-
зультаты построенных графиков приводятся на
рис.6.
Для установления областей с наиболее вероят-
ным возникновением пластических деформаций
воспользуемся эквивалентным напряжением по Гу-
беру—Мизесу—Хенки, которое применительно к
рассматриваемому случаю имеет вид:
2 2 2
11 11 22 22 12
4 3 ,
2экв
Σ Σ Σ Σ Σ Σσ = σ − σ σ + σ + σ% % % % % % (22)
где ij
Σσ% — определяются по формулам (20) и (21).
На основе формул (22), (20) и (21) был построен
(с использованием ЭВМ) трехмерный график для
экв
Σσ% (рис. 7).
Располагая графиками относительных контакт-
ных напряжений и относительных эквивалентных
напряжений по Губеру—Мизесу—Хенки, период к
размерным напряжениям осуществляется по форму-
лам
, ,
, ,
;
2
.
2
P T P T
ij ij
P T P T
экв экв
P
ab
P
ab
σ = σ
σ = σ
% %
% %
.
Рис. 7. Трехмерный график безразмерного суммарного эквивалентного контактного напря-
жения экв
Σσ% по Губеру—Мизесу—Хенки
162
ВЫВОДЫ
С помощью ЭВМ и метода конечных элементов
подтверждена отмечаемая в ряде работ автора воз-
можность использования формул для определения
напряжений в полуплоскости для установления
напряжений в плоских контактируемых телах.
Получены зависимости, позволяющие опреде-
лить напряжения в плоском колесе в зоне контакта
от действия распределенных нормальных, касатель-
ных и суммарных контактных нагрузок, а также эк-
вивалентные напряжения по Губеру—Мизесу—
Хенки.
На основе специализированных программ, поз-
воляющих осуществлять преобразование аналитиче-
ских выражений в графические образы, были полу-
чены 3-мерные графики для всех компонентов
напряжений в зоне контакта от действия распреде-
ленных нормальных, касательных и суммарных кон-
тактных нагрузок, а также эквивалентные напряже-
ния по Губеру—Мизесу—Хенки.
Анализ полученных результатов позволил сде-
лать следующие выводы:
- высокие значения контактных напряжений в
зоне контакта носят ярко выраженный ло-
кальный характер;
- от действия нормальной контактной нагруз-
ки максимальные нормальные и касательные
напряжения располагаются на некотором
расстоянии от контактной поверхности в
глубине контактируемого тела;
- поскольку касательные контактные нагрузки
были в расчетах приняты на порядок ниже,
чем нормальные нагрузки, то в связи с этим
они слабо влияли как на суммарные контакт-
ные напряжения, так и на эквивалентные
напряжения по Губеру-Мизесу-Хенки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ю.Н.Работников. Механика деформируемого
твердого тела. М.: «Наука», ГРФМЛ, 1979, 744
с.
2. В.Г.Зубчанинов. Основы теории упругости и
пластичности. М.: «Высшая школа», 1990,
368 с.
3. С.П.Тимошенко, Дж. Гудьер. Теория упругости.
М.: «Наука», ГРФМЛ, 1979, 560 с.
(23)
.
ДОСЛІДЖЕННЯ НА ЕОМ ПЛОСКОГО КОЛЕСА,
ЩО КОНТАКТУЄ З ПІВПЛОЩИНОЮ
Н. Х. Раковська
Визначення контактних напружень уявляє серйозну інженерну задачу. Застосування ЕОМ дозволило
суттєво розширити коло контактних задач, особливо в статичній постановці. Слід відзначити, що існуючі
програмні комплекси з розрахунку конструкцій з використанням ЕОМ, мають частіше дуже обмежений
графічний інтерфейс. У результаті значна частина інформації, що з’являється, виявляється невикористаною.
THE COMPUTER ANALYSIS OF THE FLAT WHEEL
N.Ch. Rakovskaya
To determine points of contact pressures is a grave engineering problem. The usage of a computer to solve this
problem allowed to significantly broaden the specter of problems of contact in the static aspect. We have to make a
point that sets of programs, which enable us to design structures using computers possess a limited graphic interface.
As a result the major part of information finds no application.
163
КОНТАКТИРУЕМОГО С ПОЛУПЛОСКОСТЬЮ
Н. Х. Раковская
Н. Х. Раковська
N.Ch. Rakovskaya
|