Динамика систем при вторичных резонансах с низкочастотным возмущением

Исследована динамика гамильтоновых систем с двумя степенями свободы при наличии слабого низкочастотного периодического возмущения. В нулевом приближении по величине возмущения степени свободы рассматриваемой системы изолированы. В первом приближении эти степени свободы резонансно связаны. Показано,...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Вопросы атомной науки и техники
Datum:	2000
1. Verfasser:	Буц, В.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russisch
Veröffentlicht:	Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України 2000
Schlagworte:	Нелинейные процессы
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81671
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Динамика систем при вторичных резонансах с низкочастотным возмущением / В.А. Буц // Вопросы атомной науки и техники. — 2000. — № 1. — С. 209-211. — Бібліогр.: 1 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859762083129720832
author	Буц, В.А.
author_facet	Буц, В.А.
citation_txt	Динамика систем при вторичных резонансах с низкочастотным возмущением / В.А. Буц // Вопросы атомной науки и техники. — 2000. — № 1. — С. 209-211. — Бібліогр.: 1 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Вопросы атомной науки и техники
description	Исследована динамика гамильтоновых систем с двумя степенями свободы при наличии слабого низкочастотного периодического возмущения. В нулевом приближении по величине возмущения степени свободы рассматриваемой системы изолированы. В первом приближении эти степени свободы резонансно связаны. Показано, что наличие низкочастотного возмущения, которое действует на такую связанную систему, приводит к возникновению стохастической неустойчивости. Кроме того, показано, что низкочастотное возмущение может приводить к развитию параметрической неустойчивости. Показано, что при наличии возмущения, зависящего от времени, корректный анализ даже малых колебаний требует учета нелинейных характеристик системы
first_indexed	2025-12-02T04:05:59Z
format	Article
fulltext	ВОПРОСЫ АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ 2000. №1. Серия: Плазменная электроника и новые методы ускорения (2), с. 209-211. 209 УДК 621.396.67 ДИНАМИКА СИСТЕМ ПРИ ВТОРИЧНЫХ РЕЗОНАНСАХ С НИЗКОЧАСТОТНЫМ ВОЗМУЩЕНИЕМ В.А. Буц Национальный Научный Центр “Харьковский физико-технический институт” 61108, Харьков, Украина Исследована динамика гамильтоновых систем с двумя степенями свободы при наличии слабого низкочастотного периодического возмущения. В нулевом приближении по величине возмущения степени свободы рассматриваемой системы изолированы. В первом приближении эти степени свободы резонансно связаны. Показано, что наличие низкочастотного возмущения, которое действует на такую связанную систему, приводит к возникновению стохастической неустойчивости. Кроме того, показано, что низкочастотное возмущение может приводить к развитию параметрической неустойчивости. Показано, что при наличии возмущения, зависящего от времени, корректный анализ даже малых колебаний требует учета нелинейных характеристик системы Известно, что вторичные резонансы могут играть существенную роль в динамике гамильтоновых систем только при достаточно большой величине возмущения (смотри, например, [1]). Действительно, если величина возмущения мала ( ε << 1 ), то величина эффектов, связанных со вторичными резонансами, малы (например, ширина вторичных нелинейных резонансов) и пропорциональны ( )1 1/ / !ε . Ниже мы покажем, что при наличии низкочастотного возмущения вторичные резонансы с ним могут играть значительно более существенную роль. Постановка задачи и общие уравнения Рассмотрим динамику системы с двумя степенями свободы, которая имеет следующий гамильтониан: H H J H J t= + ⋅0 1( ) ( , , ) ! ! ! ε θ . (1) Будем считать, что возмущение периодично по угловой переменной и представляется в виде ряда : ( )H hk m J t in k m 1 = ⋅∑ , ( , ) exp , ! ! !θ , где ! ! n k m⋅ = +θ θ θ1 2 . Пусть между невозмущенными системами существуют резонансные соотношения s s1 1 2 2⋅ = ⋅ω ω , где sk -- целые числа, ω ∂ ∂ k H Jk= 0 / . Следуя резонансной теории возмущений для перехода к новым каноническим переменным, воспользуемся следующей производящей функцией ( )W I s s I I( , ) ! ! θ θ θ θ= − +1 1 2 2 1 2 2 . (2) Обратим внимание, что производящая функция явно не зависит от времени. Используя эту функцию, получим следующее выражение для нового гамильтониана H I H I hk m k m I t( , ) ( ) , , ( , ) ! ! ! ! Ψ = + ⋅ ∑0 ε ⋅ + ⋅ +       ⋅               exp i k s k s s m 1 1 2 1 2Ψ Ψ . (3) Здесь ! ! I , Ψ -- новые канонические переменные. Причем, новая угловая переменная Ψ1 1 1 2 2= −s sθ θ является медленно меняющейся. Угловая переменная Ψ2 2= θ остается быстрой. Усредним гамильтониан (3) по быстрой угловой переменной. Будем считать при этом, что коэффициенты в ряду разложения возмущения обладают следующей симметрией h k m hk m− = −, , , то есть возмущение действительно. Тогда усредненный гамильтониан приобретет вид: H H I h ms ms m = + ⋅ −∑ ⋅0 1 2 ( ) , ! ε ( )⋅ ⋅2 1cos mΨ . (4) Динамика систем без вырождения Пусть ! I0 -- значения действий, при которых условие резонансов выполняется точно. Разложим члены в (4) в малой окрестности этих действий. Ограничиваясь только главными членами, входящими в (4), получим следующее простое выражение для гамильтониана ( )H H I I I h s s I t = ⋅ ⋅ + + ⋅ − ⋅           ∂ ∂ ε 2 0 1 2 0 1 2 2 2 1 2 0 1 ! ! ∆ Ψ , ( , ) cos . (5) Здесь учтено, что I2 является интегралом. Поэтому ∆I I I= −1 10 . Гамильтониан (5) представляет собой стандартный гамильтониан, в котором коэффициенты зависят от времени. Динамика системы, которая имеет гамильтониан (5) описывается следующим уравнением математического маятника: 210 "" sinΨ Ψ1 2 1 0+ ⋅ =ωB , (6) где ω ε ∂ ∂B h s s I t H I I 2 2 1 2 0 2 0 1 2 0 = − ⋅ − ⋅           , ( , ) ! ! . Выберем для определенности и простоты зависимость коэффициентов возмущения от времени в виде ( )h h I t h h s s = + ⋅ ≡ − ( ) cos ; , ! 0 1 1 2 µ Ω . При этом уравнение (6) можно представить в виде ( ) ( )[ ]"" sin sin sinΨ Ψ Ψ Ω Ψ Ω+ = + + − µ τ τ 2 1 1 , (7) где Ψ Ψ Ω Ω≡ = =1 1; ; /τ ω ωBt B . Динамика системы, которая описывается уравнением (7), характеризуется тремя нелинейными резонансами. Полуширина основного из них равна 2 ( ∆Ψ" = 2 ), двух других - 2 µ . Расстояние между этими нелинейными резонансами равно Ω1 . Отсюда следует, что при выполнении условия ( )Ω1 2 1< + µ динамика системы становится хаотической. Из этого условия, в частности, следует, что если частота внешнего низкочастотного возмущения порядка или меньше частоты биения связанной системы (баунс - частоты), то динамика возмущенной системы будет всегда хаотической при любых значениях амплитуды возмущения.. Нужно, конечно, помнить, что характеристики этого хаотического движения, такие, например, как коэффициент диффузии, будут существенно зависеть от величины возмущения. Обратим внимание еще на одну важную особенность динамики малых колебаний возмущенной системы. Как видно из уравнения (6), при малых амплитудах колебаний оно описывает динамику линейного маятника. Если частота возмущения такова, что выполняются условия параметрического резонанса Ω = 2ωB , то внешнее низкочастотное возмущение вызовет параметрическую неустойчивость. Амплитуды колебаний при этом будут экспоненциально нарастать с инкрементом ~ µ . Динамика систем с вырождением Выше мы рассмотрели невырожденный случай, то есть случай, когда вторая производная от невозмущенного гамильтониана не равна нулю. Этот случай соответствует случаю зависимости невозмущенной частоты от величины действия. Рассмотрим теперь динамику системы, обладающей вырождением. Для такой системы ( )∂ ∂2 0 2 0 0H I I /     = . В этих условиях, как известно, под действием малого возмущения одинаково мало меняются как величина действия, так и угловая переменная. Разложим выражение для гамильтониана (4) в малой окрестности тех точек, которые соответствуют стационарным точкам в отсутствии явной зависимости от времени. При этом будем производить разложение не только по переменной действия, но и по угловой переменной. Получаемый при этом гамильтониан соответствует гамильтониану линейного маятника. Уравнения движения этого маятника удобно записать в виде " ( ) ; " ( )ϕ ϕ= ⋅ = ⋅A t j j B t , (8) где ϕ ≡ −Ψ Ψ0 - малое отклонение угловой пере- менной от стационарного состояния; j I I≡ −1 10 - малое отклонение переменной действия от значения, которое соответствует точному резонансу; A h I h s s I= + ⋅ −    ∂ ∂ ∂ ∂2 00 1 2 2 2 1 2 1 2 , / ; B h s s = − 2 1 2, . Из (8), в частности, следует, что если отношение коэффициентов A и B не зависит от времени ( A B const c/ = ≡ ), то система (8) имеет дополнительный интеграл - ϕ 2 2− ⋅ =c j const . . В этом случае система (8) полностью интегрируется. Параметрические неустойчивости в ней не развиваются. Если же отношение коэффициентов A и B зависит от времени, то система (8) эквивалентна обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка с меняющимися во времени коэффициентами: ( )"" " "" /z AB A A A A z+ − + + ⋅ =   2 2 2 0 , (9) где z A= Ψ / . Из уравнения (9) видно, что при определенных значениях параметров возмущения возможна параметрическая неустойчивость. Связанные линейные осцилляторы Важным примером вырожденных систем являются линейные системы. В качестве примера такой системы рассмотрим систему, представляющую собой два связанных между собой линейных осциллятора. Гамильтониан такой системы имеет вид [ ] [ ] [ ] H ak pk bk qk k k t pk k t qk k c t p p d t q q = ⋅ ⋅ + ⋅ = ∑ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ∑ + + ⋅⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ε α β ε ( ) ( ) ( ) ( ) . (10) Первая сумма в (10) описывает систему двух независимых осцилляторов. Вторая сумма описывает малое возмущение этих независимых осцилляторов. Третье слагаемое в (10) описывает малую связь между осцилляторами. Перейдем от канонических переменных !p и !q к новым каноническим переменным - действиям ! J и углам! θ . Для такого перехода воспользуемся следующей производящей функцией 211 W Ri qi ctg i i = ⋅ ⋅ ⋅ = ∑ 1 2 2 1 2 θ , где R i bi ai= . Чтобы связь между линейными осцилляторами была эффективной необходимо, чтобы их невозмущенные частоты совпадали. Поэтому ниже мы будем считать, что выполнены условия (условия резонанса) a b a b1 1 2 2 2⋅ = ⋅ = ω . Гамильтониан (10) в переменных действия - угол будет иметь вид гамильтониана (1). Производя в этом гамильтониане те же действия, которые мы проводили выше при переходе от гамильтониана (1) к усредненному гамильтониану (4), получим ( ) ( ) ( ) ( ) H I I R R I I R R I I I c b b d b b = ⋅ + ⋅ ⋅ + + + − ⋅ ⋅ + + + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅                 ω ε α β α β ε ω ω 2 4 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 / / cos .Ψ (11) Легко увидеть, что соответствующая ему система обыкновенных дифференциальных уравнений типа (8) такова, что отношение ее коэффициентов A и B не зависит от времени ( A B const c/ = ≡ ). Таким образом, система связанных линейных осцилляторов, которая описывается гамильтонианом (10) приобретает под действием возмущения, зависящего от времени, сложную временную динамику. Однако, в ней не могут реализоваться условия для параметрической неустойчивости под действием внешнего низкочастотного возмущения. Следует иметь в виду, что описание системы с помощью линейной аппроксимации в большинстве случаев оправдывается только малостью изучаемых отклонений. При достаточно больших отклонениях на динамику системы начинают существенное влияние оказывать нелинейные особенности этой системы. Однако, как видно из проведенного выше анализа движения системы связанных линейных осцилляторов и сравнения этой динамики с динамикой малых отклонений нелинейной системы (смотри формулы (8) и (9)), факт малости анализируемых отклонений может оказаться недостаточным, чтобы систему можно было анализировать в линейном приближении. Действительно, как мы видели выше, в общем случае отношение коэффициентов A и B зависит от времени . В этом случае динамика даже малых колебаний связанных нелинейных осцилляторов может существенно отличаться от динамики, которая следует из анализа динамики линейных осцилляторов. Действительно, уравнение (9) описывает динамику малых отклонений нелинейной системы. Это уравнение линейное. Однако оно содержит существенные члены, которые порождены нелинейностью системы. В частности, решениями уравнения (9) при соответствующих параметрах могут быть параметрически нарастающие функции. Таких решений мы не получим, если при анализе динамики связанных осцилляторов будем сразу исходить из гамильтониана (10). Литература 1. А. Лихтенберг, М. Либерман Регулярная и стохастическая динамика. Москва, «Мир», 1984
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-81671
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1562-6016
language	Russian
last_indexed	2025-12-02T04:05:59Z
publishDate	2000
publisher	Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
record_format	dspace
spelling	Буц, В.А. 2015-05-19T08:39:59Z 2015-05-19T08:39:59Z 2000 Динамика систем при вторичных резонансах с низкочастотным возмущением / В.А. Буц // Вопросы атомной науки и техники. — 2000. — № 1. — С. 209-211. — Бібліогр.: 1 назв. — рос. 1562-6016 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81671 621.396.67 Исследована динамика гамильтоновых систем с двумя степенями свободы при наличии слабого низкочастотного периодического возмущения. В нулевом приближении по величине возмущения степени свободы рассматриваемой системы изолированы. В первом приближении эти степени свободы резонансно связаны. Показано, что наличие низкочастотного возмущения, которое действует на такую связанную систему, приводит к возникновению стохастической неустойчивости. Кроме того, показано, что низкочастотное возмущение может приводить к развитию параметрической неустойчивости. Показано, что при наличии возмущения, зависящего от времени, корректный анализ даже малых колебаний требует учета нелинейных характеристик системы ru Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України Вопросы атомной науки и техники Нелинейные процессы Динамика систем при вторичных резонансах с низкочастотным возмущением Article published earlier
spellingShingle	Динамика систем при вторичных резонансах с низкочастотным возмущением Буц, В.А. Нелинейные процессы
title	Динамика систем при вторичных резонансах с низкочастотным возмущением
title_full	Динамика систем при вторичных резонансах с низкочастотным возмущением
title_fullStr	Динамика систем при вторичных резонансах с низкочастотным возмущением
title_full_unstemmed	Динамика систем при вторичных резонансах с низкочастотным возмущением
title_short	Динамика систем при вторичных резонансах с низкочастотным возмущением
title_sort	динамика систем при вторичных резонансах с низкочастотным возмущением
topic	Нелинейные процессы
topic_facet	Нелинейные процессы
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81671
work_keys_str_mv	AT bucva dinamikasistemprivtoričnyhrezonansahsnizkočastotnymvozmuŝeniem

Динамика систем при вторичных резонансах с низкочастотным возмущением

Institution

Ähnliche Einträge