Теория дробления объектов с фрактальной поверхностью

В работе предложена теория фрагментации объектов под внешними воздействиями. Учтено, что поверхность фрагментов, появляющихся в результате разрушения объектов, может быть фрактальной. Получены универсальные асимптотики функции распределения фрагментов по размерам в крупномасштабной области и проведе...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Вопросы атомной науки и техники
Date:	2000
Main Authors:	Куклина, О.В., Тур, А.В., Яновский, В.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України 2000
Subjects:	Нелинейные процессы
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81675
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Теория дробления объектов с фрактальной поверхностью / О.В. Куклина, А.В. Тур, В.В. Яновский // Вопросы атомной науки и техники. — 2000. — № 1. — С. 238-242. — Бібліогр.: 34 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860258820037541889
author	Куклина, О.В. Тур, А.В. Яновский, В.В.
author_facet	Куклина, О.В. Тур, А.В. Яновский, В.В.
citation_txt	Теория дробления объектов с фрактальной поверхностью / О.В. Куклина, А.В. Тур, В.В. Яновский // Вопросы атомной науки и техники. — 2000. — № 1. — С. 238-242. — Бібліогр.: 34 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Вопросы атомной науки и техники
description	В работе предложена теория фрагментации объектов под внешними воздействиями. Учтено, что поверхность фрагментов, появляющихся в результате разрушения объектов, может быть фрактальной. Получены универсальные асимптотики функции распределения фрагментов по размерам в крупномасштабной области и проведен численный анализ выхода в асимптотические режимы. Обсуждаются экспериментальные данные, которые демонстрируют хорошее согласие с теоретическими результатами.
first_indexed	2025-12-07T18:52:55Z
format	Article
fulltext	ВОПРОСЫ АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ 2000. №1. Серия: Плазменная электроника и новые методы ускорения (2), с. 238-242. 238 УДК 533.9 ТЕОРИЯ ДРОБЛЕНИЯ ОБЪЕКТОВ С ФРАКТАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ О.В.Куклина1, А.В.Тур2, В.В.Яновский3 1Харьковский национальный университет, физический факультет, Харьков, Украина 2Center D’etude Spatiale Des Rayonnement, TOULOUSE, CEDEX 4. 3Институт монокристаллов, Национальная академия наук Украины, Харьков В работе предложена теория фрагментации объектов под внешними воздействиями. Учтено, что по- верхность фрагментов, появляющихся в результате разрушения объектов, может быть фрактальной. По- лучены универсальные асимптотики функции распределения фрагментов по размерам в крупномасштаб- ной области и проведен численный анализ выхода в асимптотические режимы. Обсуждаются экспери- ментальные данные, которые демонстрируют хорошее согласие с теоретическими результатами. 1. Введение Впервые постановка вопроса о фрагментации была стимулирована исследованием турбулентности, под влиянием хорошо известного механизма дробления вихрей, в работе [1]. И хотя эта работа не привела к построению теории дробления, основанной на физи- чески ясных принципах, она предопределила один из возможных путей развития такой теории. Особенно важной она оказалась для исследования перемежае- мости в теории турбулентности. Известно большое число физических явлений, относящихся к процессам фрагментации. Например, формирование мелкодис- персных систем под внешним воздействием, в част- ности, формирование поверхностного слоя (реголита) малых планет, образование и статистические свойства метеоритов [2, 3, 4] и астероидов [5], входящих в со- став астероидного пояса, прессование порошков, раз- рушение жидких капель [7, 6], разрушение скал [8, 9]. Во всех физических процессах фрагментация связана с внешними воздействиями на исходный фрагмент или среду, состоящую из фрагментов, приводящими к разрушению фрагментов на более мелкие фрагменты. Процесс дробления продолжается пока не будет из- расходована подведенная извне энергия. Дробление возобновиться, если возобновить внешнее воздейст- вие на эту среду. Существует несколько возможных способов опи- сания процессов дробления. Один из них, используе- мый в работе Колмогорова [1], основан на общих предположениях о вероятностях распада зерен на N - частей и доказательстве предельной теоремы о функ- ции распределения по размерам. Этот путь приводит к нормально логарифмическому закону. Однако этот вывод базировался на равновероятности распада на N - частей независимо от размера зерна и ряде других математических ограничениях, практически не учи- тывающих коллективный характер дробления, а также физических условий, приводящих к разрушению зе- рен. Обобщение этой теоремы на случай вероятностей распада, зависящих от размеров зерен, отсутствует к настоящему времени. Другой путь возникает при взгляде на процесс дробления, как обратный процессу слипания, т.е. коа- гуляции (см. например [10]). Тогда появляется воз- можность описания процесса дробления с помощью кинетического уравнения со "столкновительным" членом, описывающим дробление зерен. Именно на таком пути и был достигнут значительный прогресс. Используя линейные интегральные кинетические уравнения, описывающие распады со временем фраг- ментов на заданное число частей, были построены сначала простые модели каскадных процессов [11, 12, 13] и проанализированы их решения в зависимости от различных способов выбора правил деления и вероят- ностей распадов. Особенно детально были исследова- ны одномерные модели с распадами фрагментов на две части при постоянных вероятностях распадов и различные модификации этих моделей [14, 15, 16, 17, 18]. Были построены интересные обобщения этих мо- делей на многомерный случай [19, 20]. Предложены и проанализированы обобщения на нелинейные кине- тические уравнения [21]. Введены модели с "заморо- женными" фрагментами, не участвующими в после- дующем дроблении [22]. Основная физическая сложность таких подходов связана с обоснованием выбора вероятностей и пра- вил распада зерен в коллективной среде. Следует от- метить, что попытки вычисления этих вероятностей из термодинамических соображений (если они вооб- ще применимы) требуют достаточно детального ана- лиза сильно взаимодействующих зерен, например, под внешней нагрузкой. Вычисление даже локальных сил, действующих на некоторое зерно в такой среде, трудно осуществимо. С другой стороны, высокая чув- ствительность решений кинетического уравнения к заданию вероятностей распада означает, по сути, эк- вивалентность задания вероятностей распада заданию вида функции распределения. Поэтому этот путь в силу отсутствия физических принципов, определяю- щих вероятности распада, трудно признать физиче- ским основанием для теории дробления. Существуют также подходы к теории фрагмента- ции - вычисления функции распределения по разме- 239 рам из энтропийных принципов с использованием как энтропии Шенона, так и Тсалиса [23, 24, 25]. В работе используется другой кинетический под- ход к теории дробления [26], обобщенный на случай, когда поверхность разлома зерен фрактальна. По со- временным представлениям это наиболее часто реа- лизуемый в природе случай [27]. В качестве характе- ристики таких поверхностей в работе используется фрактальная размерность FD [28]. 2. Описание процесса фрагментации Прежде чем перейти к обсуждению фрагментации, задержимся на важном элементе теории - определе- нии понятия фрагмента или зерна. Существует два свойства, позволяющих говорить о некотором физи- ческом или математическом объекте, как о фрагменте. Во-первых, этот объект должен иметь конечную внутреннюю меру. В качестве таковой удобно пред- ставлять массу или объем. Во-вторых, он должен об- ладать границей, мера которой, также должна быть определена. В качестве меры границы можно пони- мать площадь поверхности фрагмента. Присутствие обоих этих свойств одинаково важно. Действительно, легко представить себе фрагменты одинакового объе- ма и с разными площадями поверхностей, как и на- оборот. Граница границы всегда нуль, и поэтому нет необходимости в ведении других геометрических мер для фрагмента. Наличие этих двух геометрических мер и есть центральным принципом теории фрагмен- тации. С физической точки зрения, возможно сущест- вование и других уже не геометрических мер, харак- теризующих внутреннее состояние фрагмента. В про- цессе разрушения отдельного фрагмента на некоторое число более мелких фрагментов возможны два типа физического поведения: 1) когда внутренние состоя- ния фрагментов не меняются, 2)когда претерпевают изменения и внутренние состояния фрагментов. Все существующие теории фрагментации ограничиваются естественным предположением об отсутствии изме- нения внутренних состояний фрагментов в процессе дробления. Такое предположение обосновано как простотой, так и реализуемостью этого случая в большом числе физических систем. Далее ограничим- ся также этим приближением. Две геометрические меры фрагментов при наличии не слишком больших отклонений в формах фрагментов не являются абсо- лютно произвольными и связаны, по крайней мере статистически, определенным соотношением. При этом существует выбор, какой параметр, характери- зующий фрагмент, выбрать в качестве независимого. Это может быть одна из мер, например, масса фраг- мента, или характерный размер фрагмента. Интуи- тивно ясно, что размер фрагмента определяет как его объем, так и его площадь поверхности. Именно по- следний выбор, возможно, не самый удобный, но бо- лее традиционный и будет использован в работе. Следующее замечание касается роли времени в теории фрагментации. Хотя процессы фрагментации развиваются со временем, с физической точки зрения более естественно рассматривать в качестве времени энергию, затраченную на разрушение. Действительно процесс фрагментации развивается под внешним воз- действием, при прекращении которого прекращается и разрушение фрагментов, хотя течение времени не прекращается. В определенном смысле связать фраг- ментацию со временем можно благодаря пересчету энергии, затраченной на разрушение, на соответст- вующий временной интервал. Однако более естест- венно использовать именно энергию в качестве физи- ческого "времени", в котором развивается процесс фрагментации. В работе изучается фрагментация трехмерных зе- рен и в этом смысле ее можно отнести к многомерной теории фрагментации. Основное предположение, ис- пользуемое для этого, сводится к гипотезе о слабом различии форм фрагментов. Это означает, что возни- кающие при фрагментации фрагменты имеют близкие характерные масштабы по всем направлениям, или более точно, статистически подобны. Другими слова- ми при фрагментации одновременно в реализациях не присутствуют фрагменты, близкие к кубическим или сферическим формам с "иглоподобными" фрагмента- ми, имеющими сильную анизотропию размеров в раз- личных направлениях. Разумеется, случай анизотроп- ных фрагментов при подобии их форм легко учесть, выбирая в качестве характерного масштаб, например максимальный. Такое предположения кажется естест- венным, хотя возможно и потребуется его уточнение для некоторых специальных физических систем. Итак, рассмотрим эволюцию зерен при дроблении в среде, состоящей из большого числа зерен. Кон- кретный механизм разрушения на данном этапе не- существенен. Важно только, что дробление происхо- дит в результате подвода энергии извне (например, за счет внешней нагрузки, удара и т.п.). Введем огруб- ленное описание свойств такой среды, используя функцию распределения ( )ERf , в пространстве раз- меров зерен. Функция распределения ( )ERf , опреде- ляет число зерен в среде ( ) dRERfdN ,= с характер- ными размерами в интервале ( )dRRR +, после вло- жения в среду энергии E , затраченной на разрушение зерен. Более детально обсуждаются общие свойства фрагментов, т. е. рассматривается наиболее общий случай, когда возникающие в процессе фрагментации зерна обладают фрактальной поверхностью. В качест- ве основной характеристики фрактальной поверхно- сти зерен используется её фрактальная размерность FD (в частности, случай гладких поверхностей соот- ветствует 2=FD ). Устанавливается связь между ра- диусом фрагмента R , его объемом и поверхностью. Предложенная теория дробления основывается на использовании законов сохранения, заведомо спра- ведливых для процессов разрушения (или фрагмента- ции) в системах самой различной природы. Это закон сохранения вещества при дроблении и баланс между притоком энергии извне и энергией, затрачиваемой на образование новой поверхности (поверхности разло- 240 мов) зерен. Роль второго закона сохранения (баланса энергии) фундаментальна, так как этот закон неявно доопределяет неизвестную скорость дробления зерен. Из этих законов сохранения получена система урав- нений, описывающая эволюцию функции распреде- ления зерен по размерам с изменением вложенной в систему энергии. Эта система уравнений решается методом введения лагранжевых переменных, в дан- ном описании это переменные ( )ER ,0 . Полученное решение полностью описывает эволюцию функции распределения зерен по размерам в зависимости от затраченной на разрушение энергии E , однако с точ- ностью до двух неизвестных начальных функций ( )00 Rf и ( )00 Rγ : ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 0 00 000 7 0 00 3 3 1 , − −                   ∂ ∂ −−+× ×= R R RDR E R R RfERf F FD γ γ (1) где ( )ERf , - функция распределения фрагментов в лагранжевых переменных. Входящая в выражение (1) функция ( )00 Rf является первоначальным распреде- лением фрагментов по размерам до начала дробления, а ( )00 Rγ определяет начальную скорость дробления фрагментов. Произвол в выборе ( )00 Rγ имеет глубо- кую физическую природу. Причина этого связана с существованием различных механизмов дробления или, точнее, типов материалов, которые могут разру- шаться по различным сценариям. Эти сценарии опре- деляются более частными отличиями в структуре дробящихся материалов. На эти процессы влияет много различных факторов, например, различия в прочности материалов, в их дефектной структуре, кристаллической и поликристаллической, и много других. Поэтому общая теория должна содержать не- который произвол, позволяющий при его фиксации выбирать различные сценарии дробления, например, характерное число образуемых при разрушении фрагментов. Именно такая свобода в выборе частных сценариев становится допустимой благодаря вхожде- нию неопределенной функции ( )00 Rγ . Существуют некоторые общие естественные огра- ничения на ( )00 Rγ , позволяющие сделать качествен- ные выводы о характере ее поведения. Прежде всего, естественное требование ( ) 000 =γ (невозможность разрушения зерен нулевого размера). В силу положи- тельной определенности ( )00 Rγ (отсутствие слипа- ния), она - монотонно возрастающая функция в об- ласти малых масштабов 0R . В крупномасштабной области ( )00 Rγ - монотонно убывающая функция. К этому выводу можно прийти, исходя, например, из энергетических соображений. Действительно, разру- шение крупных зерен требует больших затрат энергии в силу больших поверхностей разломов, образующих- ся при их разрушении. 3. Универсальные асимптотики функции распределения в крупномасштабной области Детальный анализ функции распределения по раз- мерам требует знания функции ( )00 Rγ . В принципе, это означает необходимость построения более де- тальной теории, уже основанной на конкретных меха- низмах разрушения с учетом структурных свойств разрушаемых материалов, или проведение экспери- ментальных исследований этой функции. Однако описанный выше качественный характер поведения ( )00 Rγ позволяет сделать важные выводы об асим- птотических свойствах функции распределения по размерам в крупномасштабной области. Далее, рас- смотрим более близкие к реальным распределения зерен по размерам. В частности, в таких системах обычно существует такой размер max0R , зерен с раз- мером больше которого в среде нет. В силу описанно- го выше поведения ( )00 Rγ окрестность max0R явля- ется наиболее медленно эволюционирующей. Кроме этого, с увеличением E малая окрестность max0R расширяется, захватывая все большую часть масшта- бов. Количественно такое расширение определяется значением производной ( )max00 R ′ γ . В этом и состоит основная причина формирования нетривиальных асимптотик функции распределения в крупномас- штабной области. При этом возникают два качественно различных физических режима. 1) Первый случай соответствует медленной эво- люции максимального масштаба с E и условие его реализации ( ) max0 /max 0 0 0 0max00 RRR RR =∂ ∂ >> γ γ . (2) Далее будем называть этот случай эволюционным. Легко доказать, что при выполнении условия (23) асимптотика функции распределения в главном по- рядке примет следующий вид ( ) ( ) ( ) ( )( ) 4 1 0 max00max0 4 max0 max00 ~ 3max0 3 1 , − −                 −+ ′ −× ×≈ R FDR E RR R R RfERf γ γ . (3) Следует отметить, что при выполнении условия 13 max00 )3( >>  − RE F D γ численный коэффициент 241 в асимптотическом законе (3) стабилизируется и те- ряет зависимость от энергии E . 2) Другой предельный случай реализуется при вы- полнении условия ( ) max0 /max 0 0 0 0max00 RRR RR =∂ ∂ << γ γ . (4) Условно будем называть его не эволюционным случаем. Основанием для этого служит малость ( )max00 Rγ , которая и определяет скорость изменения максимального масштаба с увеличением E . Асимпто- тический вид функции распределения в крупномас- штабной области в главном порядке также легко по- лучить ( ) ( ) ( ) 7 1 max00max0 7 max0 max00 ~ 3 1 , − − × × −             ′ − ≈ FD FD RRR E R R RfERf γ . (5) Зависимость численного коэффициента от E в этом режиме сохраняется на всех этапах эволюции в отли- чие от предыдущего случая. Таким образом, в крупномасштабной области при дроблении возникают два типа универсальных асим- птотических режима. Особенно интересно подчерк- нуть, что в случае, когда крупный масштаб дробится, степень асимптотики не зависит от фрактальной раз- мерности поверхностей разлома объектов и является универсальной для всех типов разрушаемых материа- лов. В не эволюционном случае показатель степени асимптотического закона (5) зависит от фрактальной размерности поверхности зерен и поэтому характер поведения в области крупных зерен отличается для различных типов материалов. Ширина области, в ко- торой наблюдаются такие асимптотические законы, расширяется с увеличением вкладываемой энергии E, идущей на дробление зерен. 4. Заключение В заключение обсудим некоторые эксперимен- тальные наблюдения, связанные с процессом фраг- ментации. Прежде всего, следует отметить, что полу- ченные асимптотики функции распределения по раз- мерам фрагментов могут быть легко переформулиро- ваны в терминах функции распределения по массам фрагментов. В некоторых экспериментах измеряются именно такие функции распределения. Такая пере- формулировка соответствует просто замене перемен- ных 3~ Rm . Полученные асимптотики принимают в этих переменных следующий вид: 2~),( −mEmf , (6) 3 9 ~),( FD mEmf − − . (7) Первая соответствует эволюционному случаю, вто- рая - не эволюционному случаю. Иногда используются и интегральные функции ( ) ( ) dmEmfEmP m ∫= ∞ ,, , естественно, асимптотики для которых легко полу- чить из приведенных выше формул (6) и (5). Одним из установленных экспериментально фактов, имею- щих отношение к процессам фрагментации, являются данные, полученные на дробильных установках, ко- торые используются в технологических целях. Экспе- риментально доказано, что после нескольких сотен часов работы дробильных машин формируется рас- пределение фрагментов по размерам ( ) 4~, −RERf [30, 2], хорошо известное в технике как "закон дроб- ления". Протекающие в них процессы подобраны так, чтобы разрушать крупномасштабные фрагменты, и, следовательно, соответствуют эволюционному слу- чаю. С этой точки зрения, предсказания теории нахо- дятся в хорошем согласии с экспериментальными на- блюдениями. Другим примером, который соответствует этому случаю, служит формирование распределения метео- ритов по размерам (см. [2, 3, 4]). Экспериментально установлено, что ( ) ν−RRf ~ , где 9.04 ±=ν . В этой работе для определения показателя ν использовались данные по наблюдениям и находкам упавших метео- ритов. Распределение астероидов по размерам также хорошо согласуется с законом ( ) 4~, −RERf [5]. Априори кажется очевидным реализуемость имен- но эволюционного случая в процессе дробления ме- теоритов и астероидов. Действительно, основной ме- ханизм разрушения связан со столкновениями круп- ных фрагментов. При столкновении крупных метео- ритов их разрушение очевидно. Однако вероятность столкновения двух крупных метеоритов мала. А столкновение крупного метеорита с мелкими метео- ритами может не приводить к их разрушению. Поэто- му требуются более детальные теоретические иссле- дования для выяснения того, какой из двух вариантов реализуется в действительности. Если реализуется не эволюционный случай (5), распределение метеоритов по размерам должно иметь более высокую степень чем 4, ( ) )7( ~, FD RERf −− , и быть ближе к 5 при не очень больших значениях размерности 2≅FD . Экс- периментальные измерения показателя степени ν для метеоритов сталкиваются с большими техническими трудностями. Большая погрешность в его измерении препятствует определению из экспериментальных данных, какой из предложенных случаев реализуется в природе. Интересно отметить, что случай, соответ- ствующий ( ) 4~, −RERf или (6), наблюдается во многих с физической точки зрения, совершенно раз- ных системах. Например, он характерен для распре- деления городов по числу жителей или фирм по числу служащих (данные соответствуют интегральной функции ( ) m mP 1 ~ ) [31, 32, 33]. Большое число при- меров наблюдения этого степенного закона для раз- 242 личных систем приведено в [34]. Возможно, что появ- ление такой асимптотики, основанное на общих зако- нах сохранения, и объясняет его широкую распро- страненность в различных физических процессах. Литература 1. А.Н.Колмогоров //ДАН СССР, 1941, т.31, с.99. 2. G.S.Hawkins// Astron. J., 1960, vol.65, №5, p.318. 3. G.S.Hawkins //Astron. J., 1959, vol.64, p.450. 4. H.Brown //J. of Geophys. Res., 1960, vol. 65, №6, p.1679. 5. G.P.Kuiper, Y.Fumita, T.Gehrels, I.Groeneveld, J.Kent, G.Van Biesbroeck, C.J.Van Houten // Astrophys. J. Supplement, 1958, vol.32, №3, p.289. 6. B.L.Holian, E.D. McGrady // Phys.Rev. Lett., 1988, vol.60, p.1355. 7. R.Shinnar // J. Fluid Mech., 1961 vol.10, p.259. 8. J.J.Gilvarry // J.Appl.Phys., 1961, vol.32, p.391. 9. L.Austin, K.Shoji, V.Bhatio, K.Savage, R.Klimpel //Ind. Eng. Chem. Process Des. Dev., 1976, vol.15, p.187. 10. K.Binder// Phys. Rev., 1977, vol.B15, p.4425. 11. E.W.Montroll, R.Simba //J.Chem.Phys., 1940, vol.8, p.721. 12. A.Cherlesby// Proc.R.Soc. London Ser.A ,1954, vol.224, p.120. 13. R.M.Ziff, E.D.McGrady// J.Phys.A, 1985, vol.18, p.3027. 14. G.J.Rodgers, M.K.Hassan//Phys.A 1996,vol.223, p.19. 15. Z.Tavassoli, A.E.Shirvani// arXiv:cond-mat/0003092. 16. G.J.Rodgers, M.K.Hassan// Phys.Rev.E, 1994, vol.50, p.3458. 17. A.F.Filipov// Theor.Prob.Appl.(USSR) 1961, vol.6, p.275. 18. T.A.Bak, K.Bak// Acta. Chem. Scand.,1959, vol 13, p.1997. 19. P.L.Krapivsky, E.Ben-Naim// Phys.Rev.E.,1994, vol. 50, p.3502. 20. .P.Sinyh, M.K.Hassan// Phys.Rev.E, 1996, vol.53, p.3134. 21. Z.Cheng, S.Redner// Phys.Rev.Lett., 1988, vol.60, p.2450. 22. P.L.Krapivsky, I.Grosse, E.Ben-Naim// Phys.Rev.E, 2000, vol.61, p.R993. 23. X.Li, R.S.Tankin// Combust. Sci. and Tech., 1987, vol.56, p.65. 24. R.Englman, N.Rivier, Z.Jaeger// Phil.Mag., 1987, vol.56, p.751. 25. O.Solongo-Costa, A.H.Rodriguez, G.J.Rodgers //arXiv: cond-mat/0002339. 26. Р.З.Сагдеев, В.В.Яновский, А.В.Тур //ДАН СССР, 1987, т.294, с.1105. 27. R.S.Sayles, T.R.Tomas //Nature, 1978, vol.271, p.431. 28. Е.Федер, Фракталы. М: "Мир", 1991. 29. В.Ю.Гончар, А.В.Тур, В.В.Яновский, Кинетика случайных фракталов// Проблемы твердого тела. Киев: "Наука", 1991, с.118-129. 30. A.Gaudin, Principles of Mineral Dressing, McGraw- Hill Book Company, Inc., New York, 1944. 31. C.Д.Хайтун, Наукометрия. М: "Наука", 1983. 32. И.Разумнова// Наука и жизнь, 1990, №5, c.3. 33. G.K.Zipf, Human Behavior and the Principle of Least Effort (Addison-Wesley, Cambridge, 1949). 34. Б.А.Трубников// Природа, 1993, №11, c.3. 1 1. Ââåäåíèå Ëèòåðàòóðà
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-81675
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1562-6016
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T18:52:55Z
publishDate	2000
publisher	Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
record_format	dspace
spelling	Куклина, О.В. Тур, А.В. Яновский, В.В. 2015-05-19T08:44:24Z 2015-05-19T08:44:24Z 2000 Теория дробления объектов с фрактальной поверхностью / О.В. Куклина, А.В. Тур, В.В. Яновский // Вопросы атомной науки и техники. — 2000. — № 1. — С. 238-242. — Бібліогр.: 34 назв. — рос. 1562-6016 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81675 533.9 В работе предложена теория фрагментации объектов под внешними воздействиями. Учтено, что поверхность фрагментов, появляющихся в результате разрушения объектов, может быть фрактальной. Получены универсальные асимптотики функции распределения фрагментов по размерам в крупномасштабной области и проведен численный анализ выхода в асимптотические режимы. Обсуждаются экспериментальные данные, которые демонстрируют хорошее согласие с теоретическими результатами. ru Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України Вопросы атомной науки и техники Нелинейные процессы Теория дробления объектов с фрактальной поверхностью Article published earlier
spellingShingle	Теория дробления объектов с фрактальной поверхностью Куклина, О.В. Тур, А.В. Яновский, В.В. Нелинейные процессы
title	Теория дробления объектов с фрактальной поверхностью
title_full	Теория дробления объектов с фрактальной поверхностью
title_fullStr	Теория дробления объектов с фрактальной поверхностью
title_full_unstemmed	Теория дробления объектов с фрактальной поверхностью
title_short	Теория дробления объектов с фрактальной поверхностью
title_sort	теория дробления объектов с фрактальной поверхностью
topic	Нелинейные процессы
topic_facet	Нелинейные процессы
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81675
work_keys_str_mv	AT kuklinaov teoriâdrobleniâobʺektovsfraktalʹnoipoverhnostʹû AT turav teoriâdrobleniâobʺektovsfraktalʹnoipoverhnostʹû AT ânovskiivv teoriâdrobleniâobʺektovsfraktalʹnoipoverhnostʹû

Теория дробления объектов с фрактальной поверхностью

Institution

Similar Items