О механизмах образования самоподобных структур в неравновесной сплошной среде
В рамках общей теории диссипативных структур рассмотрены нелинейные механизмы, ведущие к образованию многомасштабных самоподобных структур в неравновесных диссипативных средах. Такие структуры возникают в результате каскада неустойчивостей модуляционного типа. В работе сформулированы общие условия р...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Вопросы атомной науки и техники |
|---|---|
| Дата: | 2000 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | English |
| Опубліковано: |
Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
2000
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81677 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О механизмах образования самоподобных структур в неравновесной сплошной среде / В.М. Куклин, А.В. Киричок, O.В. Куклина // Вопросы атомной науки и техники. — 2000. — № 1. — С. 222-224. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-81677 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Куклин, В.М. Киричок, А.В. Куклина, O.В. 2015-05-19T08:47:45Z 2015-05-19T08:47:45Z 2000 О механизмах образования самоподобных структур в неравновесной сплошной среде / В.М. Куклин, А.В. Киричок, O.В. Куклина // Вопросы атомной науки и техники. — 2000. — № 1. — С. 222-224. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1562-6016 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81677 533.9 В рамках общей теории диссипативных структур рассмотрены нелинейные механизмы, ведущие к образованию многомасштабных самоподобных структур в неравновесных диссипативных средах. Такие структуры возникают в результате каскада неустойчивостей модуляционного типа. В работе сформулированы общие условия реализации самоподобных структур. en Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України Вопросы атомной науки и техники Нелинейные процессы О механизмах образования самоподобных структур в неравновесной сплошной среде Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О механизмах образования самоподобных структур в неравновесной сплошной среде |
| spellingShingle |
О механизмах образования самоподобных структур в неравновесной сплошной среде Куклин, В.М. Киричок, А.В. Куклина, O.В. Нелинейные процессы |
| title_short |
О механизмах образования самоподобных структур в неравновесной сплошной среде |
| title_full |
О механизмах образования самоподобных структур в неравновесной сплошной среде |
| title_fullStr |
О механизмах образования самоподобных структур в неравновесной сплошной среде |
| title_full_unstemmed |
О механизмах образования самоподобных структур в неравновесной сплошной среде |
| title_sort |
о механизмах образования самоподобных структур в неравновесной сплошной среде |
| author |
Куклин, В.М. Киричок, А.В. Куклина, O.В. |
| author_facet |
Куклин, В.М. Киричок, А.В. Куклина, O.В. |
| topic |
Нелинейные процессы |
| topic_facet |
Нелинейные процессы |
| publishDate |
2000 |
| language |
English |
| container_title |
Вопросы атомной науки и техники |
| publisher |
Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України |
| format |
Article |
| description |
В рамках общей теории диссипативных структур рассмотрены нелинейные механизмы, ведущие к образованию многомасштабных самоподобных структур в неравновесных диссипативных средах. Такие структуры возникают в результате каскада неустойчивостей модуляционного типа. В работе сформулированы общие условия реализации самоподобных структур.
|
| issn |
1562-6016 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81677 |
| citation_txt |
О механизмах образования самоподобных структур в неравновесной сплошной среде / В.М. Куклин, А.В. Киричок, O.В. Куклина // Вопросы атомной науки и техники. — 2000. — № 1. — С. 222-224. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kuklinvm omehanizmahobrazovaniâsamopodobnyhstrukturvneravnovesnoisplošnoisrede AT kiričokav omehanizmahobrazovaniâsamopodobnyhstrukturvneravnovesnoisplošnoisrede AT kuklinaov omehanizmahobrazovaniâsamopodobnyhstrukturvneravnovesnoisplošnoisrede |
| first_indexed |
2025-11-25T14:08:22Z |
| last_indexed |
2025-11-25T14:08:22Z |
| _version_ |
1850516565917696000 |
| fulltext |
ВОПРОСЫ АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ 2000. №1.
Серия: Плазменная электроника и новые методы ускорения (2), с. 222-224.
222
УДК 533.9
О МЕХАНИЗМАХ ОБРАЗОВАНИЯ САМОПОДОБНЫХ СТРУКТУР
В НЕРАВНОВЕСНОЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
В.М. Куклин, А.В. Киричок, O.В. Куклина
Харьковский национальный университет, физико-технический факультет, Харьков,
Украина
В рамках общей теории диссипативных структур рассмотрены нелинейные механизмы, ведущие к
образованию многомасштабных самоподобных структур в неравновесных диссипативных средах. Такие
структуры возникают в результате каскада неустойчивостей модуляционного типа. В работе сформули-
рованы общие условия реализации самоподобных структур.
1. Причины формирования пространственных
структур
В природе часто наблюдаются диссипативные
структуры разной степени сложности, существование
которых поддерживается потоками энергии от внеш-
них источников к каналам ее потерь, таким, напри-
мер, как диссипация и излучение. Подобные структу-
ры обусловлены в основном неравновесностью, дис-
сипативными механизмами и нелинейностью и слабо
зависят от дисперсионных характеристик среды. Как
правило, высокая структурная четкость реализуется
именно при слабой надпороговости неравновесных
систем и сред, т.е. при небольшом превышении ин-
кремента процесса, полученного при отсутствии дис-
сипации и потерь энергии над декрементом поглоще-
ния энергии возмущений в отсутствии неравновесно-
сти.
Любая пространственная периодическая (или ква-
зипериодическая) структура при своем формировании
в слабонадпороговой неравновесной диссипативной
сплошной среде имеет своей причиной некоторый
процесс - первичную неустойчивость, - которая обла-
дает определенным инкрементом (обратным харак-
терным временем развития) и насыщающей нелиней-
ностью [1-6]. Процесс формирования периодической
пространственной структуры насыщается, и лишь
затем происходит сужение спектра возмущений плот-
ности из-за нелинейного механизма конкуренции
возмущений [7, 8], так как процессы перекачки по
спектру энергии возмущений оказываются в рассмат-
риваемых нами условиях подавленными. И лишь по-
том, при достижении амплитудой структуры доста-
точно больших значений, возникает вторичная неус-
тойчивость, которая порождает распределенные де-
фекты (обычно в виде модуляции амплитуды первич-
ной структуры), являющиеся, в свою очередь, круп-
номасштабной структурой, подобной первичной. Эти
вторичные неустойчивости обычно появляются на
заключительной стадии процесса формирования пер-
вичной структуры, несколько искажая её. Это дает
основания считать их возникновение вынужденным
нарушением симметрии, а сами нарушения – распре-
деленными дефектами основной структуры [7].
Относительная слабость вторичного процесса
приводит к тому, что отвечающая ему вторичная не-
устойчивость имеет узкую спектральную ширину
вблизи волновых чисел первичной структуры. Подоб-
ные процессы обычно реализуются в средах с погло-
щением или с потерями на излучение энергии, где вне
узкого интервала волновых чисел (пространственных
масштабов) возмущения эффективно подавляются. В
этом смысле возникающие весьма регулярные струк-
туры можно считать диссипативными.
В средах с наиболее характерной кубической не-
линейностью такие вторичные процессы носят харак-
тер модуляционных неустойчивостей резистивного
или диссипативного типа. Анализ развития и насы-
щения таких неустойчивостей существенно облегча-
ется из-за наличия малого параметра – отношения
амплитуд вторичной структуры (модуляции) к ам-
плитуде первичной. Особо следует обратить внима-
ние на процессы сужения спектров как основной пер-
вичной структуры, так и её модуляции, которая явля-
ет собой подобную первичной структуру, только
большего масштаба.
Формирование крупномасштабной структуры –
модуляции основной структуры, – таким образом,
является скорее общим правилом, чем исключением в
тех случаях, когда первичный процесс и вторичная
неустойчивость развиваются в узких интервалах в
пространстве волновых чисел, а рост возмущений вне
этих интервалов сильно подавлен. Другими словами,
имеют место малые превышения над порогами как
первичной ,так и вторичной неустойчивостей, что
позволяет ввести в рассмотрение характерные числа
iR (i = 1, 2) – параметры порядка, определить их кри-
тические значения cr, iR , а затем показать, что обрат-
ные времена развития первичного и вторичного про-
цессов, а также амплитуды основной структуры и её
огибающей выражаются через соответствующие над-
пороговости cr, cr,( )i i i iR R Rε = − (подробнее см. [7, 9]).
2. Об описании эволюции самоподобных
структур
Обычно эволюционное уравнение в средах с пре-
имущественной кубической нелинейностью, описы-
вающее формирование пространственных структур
может принимать вид:
ˆ ( )aL a a
t
∂≡ + ε =
∂
k
k k kk
223
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
, , , , , ,
( )
[ ] ,
d d d a a a
V S f
= δ − − − ×
× + α +
∫∫∫ k k k
k k k k k k k k k
k k k k k k k
(1)
где ak – Фурье-образ возмущений (например, элек-
тронной плотности). Матричные элементы взаимо-
действия пространственных мод
1 2 3, , ,Vk k k k и
1 2 3, , ,Sk k k k
определяются видом взаимодействия возмущений в
системе и отвечают за формирование основной мел-
комасштабной структуры и её модуляции – распреде-
ленного дефекта (при малых α) соответственно. Кста-
ти, в случае уравнения Гинзбурга-Ландау V и Sα –
это реальная и мнимая часть полного матричного
элемента соответственно.
Отметим, что во многих обсуждаемых случаях
(см., например, [10]) возникновение структур проис-
ходило с флуктуационного уровня и начальные воз-
мущения были весьма малы в сравнении с амплиту-
дами развитых структур, хотя возможны и процессы
формирования структур при конечном уровне ампли-
туд пространственных мод.
Величина ( )ε k имеет локальные максимумы вбли-
зи 0i=k k (i = 1, 2,…) и быстро убывает при удалении
от этих точек, причем, если волновые векторы k за-
метно отличаются от 0ik , то 0( ) 0iε <k , что определя-
ет сильное подавление таких возмущений, например,
за счет эффектов выноса энергии из области взаимо-
действия [10].
Однако этого мало для формирования пространст-
венной структуры. Выбор системой ориентации про-
исходит за счет наличия у функций ~ V и S (или у со-
ответствующего интеграла – потенциала Ляпунова,
если последний существует) локальных минимумов в
этих направлениях (точнее, для определенной ориен-
тации связанных групп обратных векторов структуры
– решетки). Таким образом, величины
1
0| |i
−k отвечают минимумам потенциала взаимодей-
ствия отдельных элементов структуры – атомов, а
0max ( )ik Vε - плотность возбуждений или плотность
пространственной структуры [9,10].
Оператор L̂k определяет выбор вида спектра в k-
пространстве, и задается типом неравновесности и
диссипативными процессами. По существу, этот ли-
нейный оператор задает характерные значения длин
волновых векторов (обратных характерному размеру)
среды. Собственные значения оператора и длины соб-
ственных волновых векторов определим как 0( )iε k и
0| |ik соответственно.
Нелинейные слагаемые, пропорциональные V и S
соответственно, позволяют учесть основные нелиней-
ные взаимодействия. По существу, практически не
изменяя характерных равновесных размеров (и, тем
самым, длин собственных векторов 0| |ik ), нелиней-
ное слагаемое, пропорциональное V , определяет их
ориентацию, т.е. формирует пространственную пе-
риодическую структуру – решетку.
В процессе формирования первичной структуры
происходит значительное сужение спектральной ши-
рины возмущений вблизи основных векторов решетки
0ik вплоть до возникновения линейчатого спектра,
механизм формирования которого обсуждается в ра-
ботах [8, 9]. Это и определяет ярко выраженную про-
странственную четкость первичной структуры.
Когда формирование первичной структуры почти
закончено и спектральные амплитуды развитой по-
верхностной структуры достигают величин 1 minVε ,
где 1 0( )iε = ε k , влияние на эволюцию системы более
слабого физического механизма, обусловленного на-
личием дополнительного взаимодействия (~ S), воз-
растает. При достижении интенсивности первичной
структурой некоторых критических значений возни-
кает вторичная неустойчивость модуляционного типа.
Очевидно, в таком случае должны существовать зави-
сящие от 2| |ak некоторые характерные числа R (па-
раметры порядка) и их критические (пороговые) зна-
чения crR . Величина превышения над порогом (над-
пороговость) вторичной неустойчивости
2 2max 2cr 2cr( )R R Rε = − (где 2maxR – величина, соответ-
ствующая стационарному состоянию при 0α = ) оп-
ределяет не только характерные времена развития
вторичного процесса, а также интенсивность и про-
странственные масштабы модуляции первичной
структуры. При 2 1ε ! максимальные преимущества
будут иметь пространственные возмущения с векто-
рами *
i=k k , располагающимися вблизи векторов
первичной мелкомасштабной структуры – решетки
0ik , причем *
0 0 2| |i i i− εk k k " .
Отметим, что расположение в пространстве вол-
новых чисел (так называемом, обратном пространст-
ве) всех максимумов вторичной неустойчивости в
окрестности каждого из векторов основной решетки
геометрически подобно расположению всей системы
собственных волновых векторов основной решетки с
коэффициентом подобия 2ε , что приводит к обратно-
му данному коэффициенту подобия ( 1
2
−ε ) в реальном
пространстве для первичной и вторичной структур
(см., например, [11]). Амплитуда модуляции первич-
ной структуры также оказывается пропорциональной
2ε , причем механизм сужения спектральных линий
вторичной неустойчивости подобен тому, который
формировал практически линейчатый спектр первич-
ной неустойчивости. Так что и в этом случае можно
говорить о высокой пространственной четкости вто-
ричной структуры – модуляции первичной структуры.
Можно ввести параметр, определяющий дефектность
первичной – основной структуры – решетки, т.е., от-
ношение интенсивности модуляции к интенсивности
основной структуры
*
0
2
2
| |
| |
i
i
a
a
β =
∑
∑
k
k
, (2)
224
которое оказывается также пропорциональным ε
(подробнее см. [7]).
Очевидно, линейчатый спектр первичной и вто-
ричной структур также способен привести к неустой-
чивости последних. В этом случае дальнейший сцена-
рий развития подобен рассмотренному выше, и ре-
зультатом следующей ещё более слабой неустойчиво-
сти каскада нестабильности будет еще более крупно-
масштабная модуляция структуры, представляющая, в
свою очередь, очередную структуру. Если умножить
плотность возмущений, соответствующих каждой из
структур, на объем её элементарной ячейки, то полу-
чим величину, которая практически не изменяется со
временем.
3. Об условиях реализации самоподобных
структур
Итак, для реализации самоподобной пространст-
венной структуры необходимо выполнение следую-
щих условий.
1. Слабое превышение над порогом линей-
ной неустойчивости в окрестности воз-
мущений с определенным абсолютным
значением волнового вектора, при этом
вне этой окрестности амплитуды всех
возмущений быстро затухают.
2. Нелинейные взаимодействия возмущений
– пространственных мод, описываются
матричными элементами, имеющими ло-
кальные минимумы вблизи фиксирован-
ного набора волновых чисел в данной ок-
рестности линейной неустойчивости.
3. Нелинейные слагаемые можно разделить
на те, которые насыщают (ограничивают)
развитие неустойчивости и те, которые
приводят в режиме, близком к насыщению
первичной структуры с линейчатым про-
странственным спектром, к появлению
вторичной неустойчивости.
Важно отметить, что именно сужение спектраль-
ных линий вблизи основных волновых векторов пер-
вичной решетки вплоть до формирования линейчато-
го спектра весьма важный процесс, обусловленный 1)
слабой надпороговостью и значительным поглощени-
ем энергии возмущений вне интервала линейной не-
устойчивости и 2) влиянием насыщающей нелиней-
ности, приводящей к конкуренции мод внутри спек-
тральных линий и уменьшению для большинства
возмущений их эффективных инкрементов до нуля с
последующим превращением их в декременты (под-
робнее об этом см., например, [8, 12]).
Именно наличие этого механизма формирования
узких спектральных линий первичной неустойчиво-
сти приводит к усилению вторичного процесса – мо-
дуляции первичной структуры. Спектр модуляцион-
ной неустойчивости превращается также в линейча-
тый, что усиливает следующую уже третичную неус-
тойчивость, которая приводит к еще более крупно-
масштабной модуляции развитой структуры. В про-
странстве волновых векторов формируется самопо-
добная структура со все уменьшающимся масштабом,
которая может в определенном смысле рассматри-
ваться как фрактал. В реальном пространстве с разви-
тием последовательных неустойчивостей каскада не-
стабильности происходит увеличение масштаба воз-
никающих структур.
Литература
1. G. Nicolis and I. Prigogin, Self-organization in Non-
equilibrium Systems// Dissipative Structures to Order
Through Fluctuations. Willey, New York, 1977.
2. H. Haken, Ed., Dynamics of Synergetics Systems:
Proc. Springer-Verlag, Berlin, 1987.
3. V.I. Krinsky Ed., Self-Organization Autowaves and
Structures far from Equilibrium. Springer-Verlag,
Berlin, 1984.
4. M.C. Cross, P.C. Hohenberg// Rev. Mod. Phys.,
1994, vol. 65, № 3, p.851.
5. A.V. Getling// Uspekhi Fiz. Nauk (Russia), 1991,
vol.161, N1, p.1-80.
6. A.C.Newell, ''Envelope equations'', in lectures in Ap-
plied Mathematics, 1974, 15. (American Mathemati-
cal Society, Providence, RI) 157.
7. V.M. Kuklin and. A.V. Kirichok// Physica Scripta,
1995, vol. 52, №.11, p. 492-497.
8. A.V. Kirichok, V.M. Kuklin// Physics and Chemistry
of the Earth Part A ., 1999, №6, р. 533-538.
9. А.В. Киричок, В.М. Куклин, В.И. Лапшин// Вест-
ник ХНУ, 1999, №3.
10. B.A. Malomed, A.A. Nepomnjashij and M.P. Tribel-
sky // ZhETF (Soviet), 1989, vol.96 , p.684.
11. A.V. Kirichok, V.M. Kuklin, I.P. Panchenko. On the
Possibility of the Dynamo Mechanism in the unstable
convective Medium// Doklady Acad. Nauk.
(Ukraine), 1997, № 4, p. 87-92.
12. V.M. Kuklin and I.P. Panchenko, Plasma Physics
Reports, 1994, vol. 20, №.9, p. 813-823.
ÓÄÊ 533.9
Î ÌÅÕÀÍÈÇÌÀÕ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÑÀÌÎÏÎÄÎÁÍÛÕ ÑÒÐÓÊÒÓÐ
 ÍÅÐÀÂÍÎÂÅÑÍÎÉ ÑÏËÎØÍÎÉ ÑÐÅÄÅ
1. Ïðè÷èíû ôîðìèðîâàíèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ ñòðóêòóð
2. Îá îïèñàíèè ýâîëþöèè ñàìîïîäîáíûõ ñòðóêòóð
3. Îá óñëîâèÿõ ðåàëèçàöèè ñàìîïîäîáíûõ ñòðóêòóð
Ëèòåðàòóðà
|