Обобщение процедуры клиппирования в задачах оптимизации в дискретном пространстве

Исследована возможность применения процедуры клиппирования в задаче оптимизации квадратичного функционала E=(x,Ax). Показано, что непосредственное применение процедуры клиппирования не дает особого выигрыша в ускорении работы алгоритма при поиске глобального минимума. Предложена модификация проце...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2009
Main Authors:	Крыжановский, М.В., Мальсагов, М.Ю.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України 2009
Subjects:	Нейросетевые и нечеткие системы
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8176
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Обобщение процедуры клиппирования в задачах оптимизации в дискретном пространстве / М.В. Крыжановский, М.Ю. Мальсагов // Штучний інтелект. — 2009. — № 4. — С. 496-503. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859724745889546240
author	Крыжановский, М.В. Мальсагов, М.Ю.
author_facet	Крыжановский, М.В. Мальсагов, М.Ю.
citation_txt	Обобщение процедуры клиппирования в задачах оптимизации в дискретном пространстве / М.В. Крыжановский, М.Ю. Мальсагов // Штучний інтелект. — 2009. — № 4. — С. 496-503. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
collection	DSpace DC
description	Исследована возможность применения процедуры клиппирования в задаче оптимизации квадратичного функционала E=(x,Ax). Показано, что непосредственное применение процедуры клиппирования не дает особого выигрыша в ускорении работы алгоритма при поиске глобального минимума. Предложена модификация процедуры клиппирования с параметром q (число градаций). Показано, что с увеличением q вероятность совпадения направления градиентов E(x) и его клиппированного аналога Ec(x)=(x,Cx) возрастает до 1. Досліджено можливість застосування процедури кліпування в задачі оптимізації квадратичного функ- ционала E=(x,Ax). Показано, що безпосереднє застосування процедури кліпування не дає особливого виграшу в прискоренні роботи алгоритму при пошуку глобального мінімуму. Запропоновано модифікацію процедури кліпування з параметром q (число градацій). Показано, що зі збільшенням q можливість спів- падання напрямку градієнтів E(x) та його кліпованого аналога Ec(x)=(x,Cx) зростає до 1. Capability of using clipping procedure for problem of optimization quadratic functional E=(x,Ax) was researched. It is shown application of clipping procedure doesn’t give special benefit in acceleration of global minima search algorithm. Modification of clipping procedure with parameter q (the number of gradation) was suggested. It is shown probability of conjunction of gradients directions E(x) and its clipped analogue E(x)=(x,Cx) raise to 1 with increasing of q.
first_indexed	2025-12-01T11:03:26Z
format	Article
fulltext	«Искусственный интеллект» 4’2009 496 9К В УДК 681.3 М.В. Крыжановский, М.Ю. Мальсагов ЦОНТ НИИ системных исследований РАН, г. Москва, Российская Федерация iont.niisi@gmail.com Обобщение процедуры клиппирования в задачах оптимизации в дискретном пространстве* Исследована возможность применения процедуры клиппирования в задаче оптимизации квадратичного функционала  Axx,E . Показано, что непосредственное применение процедуры клиппирования не дает особого выигрыша в ускорении работы алгоритма при поиске глобального минимума. Предложена модификация процедуры клиппирования с параметром q (число градаций). Показано, что с увеличением q вероятность совпадения направления градиентов  xE и его клиппированного аналога    Cxx,xEC возрастает до 1. Введение Впервые замена матрицы A на клиппированную матрицу C исследовалась в задачах распознавания образов [1], [2]. Были получены аналитические оценки емкости нейросетевой памяти и ее распознающей способности. Эти исследования были про- должены в [3-5], основные результаты которых приведены ниже: – уменьшение энергии  xEC клиппированной сети Хопфилда при переходе из одного состояния в другое сопровождается уменьшением энергии  xE исходной сети; – быстродействие алгоритма, основанного на использовании клиппированной матри- цы, в 40 раз превышает быстродействие алгоритма, основанного на использовании нейронной сети Хопфилда; – приблизительно во столько же раз уменьшаются требования к оперативной памяти. На основе этого в [6], [7] было предложено использование процедуры клиппи- рования при решении задач оптимизации. В работе предложен модифицированный алгоритм клиппирования, позволяющий ускорить поиск глобального минимума. Применение традиционной процедуры клиппирования Поиск глобального минимума квадратичного функционала  Axx,E в дискрет- ном бинарном пространстве заключается в многократном применении стандартной Хопфилдовой процедуры оптимизации, т.е. проведении серии «спусков» по энергети- ческой поверхности  xE из начальных состояний  1x в конечные  4x , переходы    41 xx  . Отбор наиболее глубокого минимума проводится в ходе серии спусков. При использовании клиппированного функционала процесс поиска разбивается на 2 этапа, переходы      321 xxx  . Найденные на 1-м этапе, локальные минимумы  2x функционала  xEC становятся исходными стартовыми при минимизации функ- ционала  xE на 2-м. * Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 09-07-00159-а Обобщение процедуры клиппирования в задачах оптимизации… «Штучний інтелект» 4’2009 497 9К Для определения эффективности такого подхода было проведено компьютер- ное моделирование, в ходе которого генерировалась матрица A размерности 100 со случайным равномерным распределением элементов и вычислялся ее клиппиро- ванный аналог – матрица C . Для каждой конфигурации нейронной сети проводи- лось 200 000 стартов из состояний, задаваемых вектором ,x компоненты которого генерировались случайным образом. В ходе эксперимента для каждого «спуска» опре- делялся объем вычислений и фиксировалась энергия локального минимума. На рис. 1 представлены результаты сравнения двух методов оптимизации – стандартного и с применением клиппирования. По оси абсцисс отложена «энергия»   00 EEE  , где 0E – энергия глобального минимума, E – энергия полученного локального минимума функционала  Axx,E . По оси ординат отложена плотность вероятности нахождения минимума. Кривая 1 – отображает распределение по «энергиям»  исходных стартовых состояний  1x . Кривая 2 – характеризует распределение состояний  2x , полученных при оптимизации клиппированного функционала  xEC , т.е. переходы    21 xx  . Кривая 3 – определяет распределение    32 xx  после коррекции состояний сетью Хопфилда на втором этапе. Кривая 4 – соответствует распределению по «энергии»  при переходах    41 xx  используя сеть Хопфилда. Из рис. 1 видно, что использование клиппированной сети действительно смещает распределение состояний по «энергиям»  на 0,7 по сравнению с исходным  1x . Несмотря на такой сдвиг, объем вычислений уменьшился незначительно. Конечное распределение с использованием двухэтапного алгоритма близко к распределению с использованием стандартной нейронной сети Хопфилда. Одинаковы и вероятности попадания в глобальный минимум, равные 0,006 . Для увеличения скорости работы 2-этапного алгоритма поиска более глубоких минимумов и был предложен модифи- цированный алгоритм клиппирования. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 "Энергия", ε П ло тн ос ть в ер оя тн ос ти н ах ож де ни я м ин им ум а 1 2 3 4 Рисунок 1 – Сравнение двух методов оптимизации: на основе сети Хопфилда и метода, использующего клиппированную сеть Крыжановский М.В., Мальсагов М.Ю. «Искусственный интеллект» 4’2009 498 9К Применение модифицированной процедуры клиппирования при поиске глобального минимума Модификация процедуры клиппирования заключается в следующем. Каждому элементу матрицы связей A нейронной сети Хопфилда сопоставляется элемент матрицы C по формуле:       ikikik AqroundA q C    21sgn 21 1 , (1) где q – число градаций, больше нуля. Функция sgn дает знак числа, а функция round производит округление до ближайшего целого. Будем анализировать корреляцию градиентов AH и CH , т.е. исходного функцио- нала  xE и клиппированного  xEC , которые имеют вид: xAH A  , (2) xBxAxCHC   . (3) Величина  121  q характеризует степень огрубления. Второе слагаемое в (3) характеризует остаток, получаемый от огрубления элементов .A B – матрица с рав- номерным случайным распределением элементов в диапазоне  1;1 , а каждая ком- понента вектора  xB, ведет себя как случайная величина, имеющая Гауссово рас- пределение  1N . Вычислим вероятность совпадения направления полей P , т.е. совпадение по знаку каких-то компонент векторов AH и CH :  0Pr  CA HHP . (4) Элементы исходной матрицы A равномерно распределены с нулевым средним a и дисперсией  a2 . С учетом выражений (2) и (3) можно показать, что математическое ожидание и дисперсия величин AH и CH описываются выражениями: 0,AH     anH A 22   ; (5) 0,CH       AC HH 222 1   ; (6)  СAC HHH 2 . (7) С учетом выражений (5) – (7) коэффициент корреляции  градиентов AH и CH будет равен:     2 2 11       CA CACA HH HHHH . (8) Минимально достигаемое значение 0,944  соответствует 1q и 31 . В свою очередь, вероятность совпадения направления полей P определяется как:            CACA CA CA dHdHHHfExp HH HH              0 0 22 , 12 1 1 10Pr  , (9) где   22 )()()( 2 )( ,                              C CC C CC A AA A AA CA H HH H HH H HH H HHHHf    . Обобщение процедуры клиппирования в задачах оптимизации… «Штучний інтелект» 4’2009 499 9К Вычисление этого двойного интеграла возможно только численно. Результаты расчета приведены на рис. 2 . 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 Коэффициент корреляции, ρ Ве ро ят но ст ь со вп ад ен ия г ра ди ен то в, P Рисунок 2 – Вероятность совпадения градиентов клиппированного и исходного функционалов в зависимости от коэффициента корреляции На основании вычислений формулы (9) вероятность совпадения градиентов можно приближенно оценить по формуле (10), справедливой при значениях коэффи- циента корреляции , близких к 1:   2 2 31  P . (10) Из приведенного на рис. 2 графика, формул (9) и (10) следует, что локальные градиенты исходного и клиппированного функционалов с большой вероятностью совпадают  0,894P  . С ростом числа градаций q (уменьшение  ) эта вероятность возрастает и стремится к 1. Поскольку процесс оптимизации заключается в после- довательном перевороте всех N спинов модели Хопфилда, то становится очевидным, что с ростом размерности задачи  1N асимптотически стремится к нулю вероят- ность того, что в процессе оптимизации функционала энергия E повысится. Модифицированный метод, q = 1 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 100 0 200 400 600 800 1000 1200 Размерность сети Pr (H AH C> 0) , % 97,5% 97,1% 89,2%1 2 3 Стандартный метод клиппирования 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 100 0 200 400 600 800 1000 1200 Размерность сети Pr (H A H C >0 ), % 94,5% 93,8% 83,5%1 2 3 Рисунок 3 – Вероятность совпадения градиентов при использовании обычной (слева) и модифицированной (справа) процедуры клиппирования Крыжановский М.В., Мальсагов М.Ю. «Искусственный интеллект» 4’2009 500 9К Для проверки полученных результатов было проведено компьютерное моделиро- вание. На рис. 3 представлены экспериментальные данные о вероятности совпадений градиентов AH и CH в случае применения обычной процедуры клиппирования (слева) и его модификации при 1q (справа). Для этого случайным образом выбиралась точка 1x (кривая 1), из которой сеть Хопфилда с клиппированной матрицей межсвязей C конвергировала в ближайший локальный минимум 2x (кривая 2). Точка минимума 3x получена после коррекции состояний стандартной сетью Хопфилда (кривая 3). В этих точках 321 ,, xxx определялось соответствие направлений векторов AH и CH . По оси ординат отложена размерность сети, для которой проводились измерения. Полученные результаты экспериментов точно согласуются с теорией. Так, изме- ренная экспериментально вероятность совпадения градиентов для модифицирован- ного метода при 1q дает 0,892P  (справа, кривая 1), в то же время расчетное значение составляет 0,896P  . Сопоставление экспериментальных данных на этих же рисунках показывает пре- имущество модифицированного метода клиппирования. 1. В случайно выбранных точках старта вероятность совпадения для модифи- цированного метода составляет 0,892P  , в то время как для исходного – 0,835P  . 2. В точках минимума клиппированной сети вероятность слева составляет 0,938P  , справа – 0,971P  . 3. Соответственно в точках минимума стандартной сети слева получаем 0,945P  , а справа – 0,975P  . Полученные результаты не зависят от размерности сети. На рис. 4 показано соотношение между «энергиями» минимумов клиппированной сети и стандартной сети Хопфилда для различных значений параметра q . Для этого выбиралась случайным образом точка 0 ,x из которой сеть Хопфилда с матрицей меж- связей  qC конвергировала в ближайший локальный минимум mx . Рассчитывались значения  mxE и клиппированного  mC xE функционалов и далее приведенные значе- ния «энергий»  . Видно, что с увеличением параметра q область пропорциональной зависимости становится все больше, ее граница становится ближе к началу координат. Это означает, что с ростом параметра q область соответствия «глубже клиппированный минимум – глубже минимум стандартной сети» все больше приближается к глобальному минимуму. 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 "Энергия" клиппированной сети "Э не рг ия " се ти Х оп ф ил да q=15 q=8 q=4 q=2 Clip Рисунок 4 – Соотношение между «энергиями» минимумов клиппированной сети и стандартной сетью Хопфилда для различных значений параметра q Обобщение процедуры клиппирования в задачах оптимизации… «Штучний інтелект» 4’2009 501 9К На рис. 5 представлены распределения состояний по энергии для разного числа градаций, полученные после первого этапа оптимизации (процедура q -клиппирования). Видно, что с увеличением величины q распределение смещается влево, тем самым при- ближая нас к глобальному минимуму и уменьшая путь, который необходимо проделать стандартной сети Хопфилда на 2-м этапе. Стоит отметить, что модификация процедуры клиппирования не изменила вероятности нахождения глобального минимума. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 "Энергия", ε Р ас пр ед ел ен ие с ос то ян ий п о эн ер ги ям q=15 q=8 q=4 q=2 Clip Рисунок 5 – Распределение состояний по энергии для разного числа градаций Применение модифицированного алгоритма клиппирования Основной объем вычислений при расчетах нейронной сети Хопфилда приходится на вычисление градиентов, т.е. на операции умножения матрицы на вектор. Для матриц высокой размерности 43 1010~ N используется 10-байтное представление чисел для получения необходимой точности вычислений. Представление матрицы межсвязей нейронной сети с помощью чисел укороченной разрядности позволяет ускорить вычи- слительный процесс. Так, если сложение 2-х 10-байтных чисел требует 1-го такта про- цессорного времени, то для сложения 2-х десятимерных векторов, компоненты которых 1-байтные числа, потребуется времени меньше 1 такта. Кроме того, загрузка операндов из памяти в регистры процессора также требует времени, сопоставимого со временем выполнения операции. Поэтому «эффективное» время выполнения 1-байтовой опера- ции в ~15 раз меньше, чем 10-байтовой. Идея модификации заключается в применении целых чисел в одно- и двухбайт- овом представлении для матричных элементов. Соответственно этому и был построен алгоритм спуска по «энергетической поверхности», который состоит из 3-х этапов, когда локальный минимум, полученный на текущем этапе, являлся начальным прибли- жением для следующего этапа. На первом и втором этапах использовалась модифи- кация клиппирования с числом градаций 642 q на 1-м (однобайтные операции) и 255q на 2-м (двухбайтные операции). Для коррекции состояний на третьем этапе использовалась стандартная сеть Хопфилда. Ускорение вычислительного процесса зависит от числа градаций  1 ,q выбран- ного на первом этапе. На втором этапе число q может быть выбрано максимально большим 2048q . Крыжановский М.В., Мальсагов М.Ю. «Искусственный интеллект» 4’2009 502 9К Для определения оптимального значения  1q на 1-м этапе и соответственно вели- чины ускорения алгоритма  был проделан вычислительный эксперимент. На каждом этапе оптимизации функционала определялось число итераций при попадании в локаль- ный минимум, которое пропорционально объему вычислений. При этом фиксировалось количество шагов при «спуске» с использованием исходной сети Хопфилда. Результаты вычислительного эксперимента приведены на рис. 6 и в табл. 1. Ускорение  работы алгоритма определяется формулой (11): )()2()1( )( 102 15 HL H III I   , (11) где )(HI – количество итераций, используя стандартный метод Хопфилда; )1(I – количество итераций на первом этапе (однобайтная арифметика); )2(I – количество итераций на втором этапе (двухбайтные вычисления); )(HLI – количество итераций на этапе коррекции алгоритма стандартным методом Хопфилда. На рис. 6 приведено соотношение между числом итераций, затрачиваемых на раз- ных этапах модифицированного алгоритма клиппирования по отношению к числу ите- раций, затрачиваемых стандартным методом. 1024N Видно, что на первом этапе 1/ )()1( HII . Это соотношение не зависит от выбора  1q , количество итераций на 2-м и 3-м этапах зависит от значения величины градаций на 1-м этапе: (2) ( )/ 0,3HI I  , а ( ) ( )/ 0,05HL HI I  . Количество итераций на 2-м этапе не зависит от величины градаций. Быстродействие алгоритма зависит от выбора параметра  1 ,q применяемого на первом этапе. При увеличении числа градаций на 2-м этапе число шагов на этапе коррекции положения минимума исходной нейронной сетью сокращается до 1. Поэто- му на втором этапе должно быть выбрано   20482 q и 3-й этап коррекции может оказаться ненужным. Таблица 1 – Ускорения алгоритма по сравнению со стандартным методом Хопфилда в зависимости от значений параметра  1q Размерность сети N = 256 Число градаций, q Ускорение алгоритма, θ 2 3,3 4 4,3 8 7,9 12 10,3 15 11,2 32 6,4 64 3 Рисунок 6 – Количество шагов на каждом этапе алгоритма в зависимости от размерности матрицы нейронных связей A коррекция двухбайтные однобайтные Обобщение процедуры клиппирования в задачах оптимизации… «Штучний інтелект» 4’2009 503 9К В табл. 1 приведены результаты ускорения алгоритма по сравнению со стандарт- ным методом Хопфилда в зависимости от значений параметра  1q . Результаты полу- чены на матрице размерности 256N и   2552 q (наихудший вариант). Видно, что оптимум функции  q более 10 раз достигается при   15101 q . Для расчета величины ускорения алгоритма по формуле (11) использовались данные, приведенные на рис. 6. Заключение Вероятность нахождения глобального минимума не зависит от числа градаций и та же, что и при использовании сети Хопфилда. Модификация процедуры клиппирования матрицы нейронных связей позволя- ет ускорить вычислительный процесс более чем в 10 раз. Найдены оптимальные значения числа градаций на каждом этапе работы алго- ритма:   121 q ,   20482 q . Результаты подтверждены для матриц размерности 1024064 N . Литература 1. Van Hemmen J.L. Nonlinear neural networks near saturation / J.L. van Hemmen // Physical Review A. – 1987. – № 36. – Р. 1959-1962. 2. Kintzel W. Models od Neural Networks I / W. Kintzel, M. Opper // Physics of Neural Networks / eds. E. Domany, J.L. van Hemmen, K. Schulten. – Springer, 1995. – Р.170. 3. Widrow B. Adaptive switching circuits / B. Widrow, M.E.Jr. Hoff // IRE Western Electric Show and Convention Record. – 1960. – Part 4. – Р. 96-104. 4. Алиева Д.И. Модель Хопфилда малых размеров с клиппированными связями / Д.И. Алиева, В.М. Крыжановский // Искусственный интеллект. – 2006. – № 3. – С. 240-248. 5. Крыжановский В.М. Клиппирование модели Хопфилда малых размеров / В.М. Крыжановский, Д.И. Симкина // Вестник компьютерных и информационных технологий. – 2007. – № 10. – С. 27-31 6. Крыжановский Б.В. О возможности применения процедуры клиппирования в задачах оптими- зации / Б.В. Крыжановский, В.М. Крыжановский // IX Всероссийская научно-техническая конфе- ренция «Нейроинформатика-2007». – М. : МИФИ, 2007. – Т. 1. – С. 197-205. 7. Крыжановский Б.В. Применение процедуры клиппирования в задачах бинарной минимизации квадратичного функционала / Б.В. Крыжановский, В.М. Крыжановский, А.Л. Микаэлян // ДАН- 2007. – 2007. – Т. 413, № 6. – С.730-733. М.В. Крижановський, М.Ю. Мальсагов Узагальнення процедури кліпування у задачах оптимізації у дискретному просторі Досліджено можливість застосування процедури кліпування в задачі оптимізації квадратичного функ- ционала  Axx,E . Показано, що безпосереднє застосування процедури кліпування не дає особливого виграшу в прискоренні роботи алгоритму при пошуку глобального мінімуму. Запропоновано модифікацію процедури кліпування з параметром q (число градацій). Показано, що зі збільшенням q можливість спів- падання напрямку градієнтів  xE та його кліпованого аналога    Cxx,xEC зростає до 1. M.V. Kryzhanovsky, M.U. Malsagov Generalization of Clipping Procedure for Optimization Problems in Discrete Space Capability of using clipping procedure for problem of optimization quadratic functional  Axx,E was researched. It is shown application of clipping procedure doesn’t give special benefit in acceleration of global minima search algorithm. Modification of clipping procedure with parameter q (the number of gradation) was suggested. It is shown probability of conjunction of gradients directions  xE and its clipped analogue    Cxx,xEC raise to 1 with increasing of q . Статья поступила в редакцию 20.05.2009.
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8176
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1561-5359
language	Russian
last_indexed	2025-12-01T11:03:26Z
publishDate	2009
publisher	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
record_format	dspace
spelling	Крыжановский, М.В. Мальсагов, М.Ю. 2010-05-14T08:52:13Z 2010-05-14T08:52:13Z 2009 Обобщение процедуры клиппирования в задачах оптимизации в дискретном пространстве / М.В. Крыжановский, М.Ю. Мальсагов // Штучний інтелект. — 2009. — № 4. — С. 496-503. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8176 681.3 Исследована возможность применения процедуры клиппирования в задаче оптимизации квадратичного функционала E=(x,Ax). Показано, что непосредственное применение процедуры клиппирования не дает особого выигрыша в ускорении работы алгоритма при поиске глобального минимума. Предложена модификация процедуры клиппирования с параметром q (число градаций). Показано, что с увеличением q вероятность совпадения направления градиентов E(x) и его клиппированного аналога Ec(x)=(x,Cx) возрастает до 1. Досліджено можливість застосування процедури кліпування в задачі оптимізації квадратичного функ- ционала E=(x,Ax). Показано, що безпосереднє застосування процедури кліпування не дає особливого виграшу в прискоренні роботи алгоритму при пошуку глобального мінімуму. Запропоновано модифікацію процедури кліпування з параметром q (число градацій). Показано, що зі збільшенням q можливість спів- падання напрямку градієнтів E(x) та його кліпованого аналога Ec(x)=(x,Cx) зростає до 1. Capability of using clipping procedure for problem of optimization quadratic functional E=(x,Ax) was researched. It is shown application of clipping procedure doesn’t give special benefit in acceleration of global minima search algorithm. Modification of clipping procedure with parameter q (the number of gradation) was suggested. It is shown probability of conjunction of gradients directions E(x) and its clipped analogue E(x)=(x,Cx) raise to 1 with increasing of q. Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 09-07-00159-а ru Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Нейросетевые и нечеткие системы Обобщение процедуры клиппирования в задачах оптимизации в дискретном пространстве Узагальнення процедури кліпування у задачах оптимізації у дискретному просторі Generalization of Clipping Procedure for Optimization Problems in Discrete Space Article published earlier
spellingShingle	Обобщение процедуры клиппирования в задачах оптимизации в дискретном пространстве Крыжановский, М.В. Мальсагов, М.Ю. Нейросетевые и нечеткие системы
title	Обобщение процедуры клиппирования в задачах оптимизации в дискретном пространстве
title_alt	Узагальнення процедури кліпування у задачах оптимізації у дискретному просторі Generalization of Clipping Procedure for Optimization Problems in Discrete Space
title_full	Обобщение процедуры клиппирования в задачах оптимизации в дискретном пространстве
title_fullStr	Обобщение процедуры клиппирования в задачах оптимизации в дискретном пространстве
title_full_unstemmed	Обобщение процедуры клиппирования в задачах оптимизации в дискретном пространстве
title_short	Обобщение процедуры клиппирования в задачах оптимизации в дискретном пространстве
title_sort	обобщение процедуры клиппирования в задачах оптимизации в дискретном пространстве
topic	Нейросетевые и нечеткие системы
topic_facet	Нейросетевые и нечеткие системы
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8176
work_keys_str_mv	AT kryžanovskiimv obobŝenieproceduryklippirovaniâvzadačahoptimizaciivdiskretnomprostranstve AT malʹsagovmû obobŝenieproceduryklippirovaniâvzadačahoptimizaciivdiskretnomprostranstve AT kryžanovskiimv uzagalʹnennâproceduriklípuvannâuzadačahoptimízacííudiskretnomuprostorí AT malʹsagovmû uzagalʹnennâproceduriklípuvannâuzadačahoptimízacííudiskretnomuprostorí AT kryžanovskiimv generalizationofclippingprocedureforoptimizationproblemsindiscretespace AT malʹsagovmû generalizationofclippingprocedureforoptimizationproblemsindiscretespace

Обобщение процедуры клиппирования в задачах оптимизации в дискретном пространстве

Institution

Similar Items