Кинетика релаксации неравновесного решеточного газа
Исходя из основного кинетического уравнения, записанного для вероятности заполнения атомами водорода междоузлий в подрешетке металла в модели решеточного газа, было получено уравнение, описывающее релаксацию неравновесной концентрации внедренных атомов водорода. Полученное уравнение является модифиц...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Вопросы атомной науки и техники |
|---|---|
| Дата: | 2002 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
2002
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/82608 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Кинетика релаксации неравновесного решеточного газа / И.В. Лепин // Вопросы атомной науки и техники. — 2002. — № 6. — С. 47-52. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-82608 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Лепин, И.В. 2015-06-03T10:01:16Z 2015-06-03T10:01:16Z 2002 Кинетика релаксации неравновесного решеточного газа / И.В. Лепин // Вопросы атомной науки и техники. — 2002. — № 6. — С. 47-52. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1562-6016 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/82608 УДК 539.219.3:669.788 Исходя из основного кинетического уравнения, записанного для вероятности заполнения атомами водорода междоузлий в подрешетке металла в модели решеточного газа, было получено уравнение, описывающее релаксацию неравновесной концентрации внедренных атомов водорода. Полученное уравнение является модифицированным уравнением диффузии. Отличие от стандартного уравнения диффузии заключается в наличии нелинейных членов по избыточной концентрации атомов водорода. Ввиду самоподобия процесса релаксации к однородному равновесному состоянию для анализа полученного уравнения применен метод ренормализационной группы (РГ). Найдены неподвижные точки уравнения и соответствующие им динамические индексы в двумерном и трехмерном случаях. Виходячи з основного кінетичного рівняння, записаного для імовірності заповнення атомами водню міжвузлій у підрешітці металу у моделі решіткового газу, було отримане рівняння, що описує релаксацію нерівновагої концентрації впроваджених атомів водню. Отримане рівняння є модифікованим рівнянням дифузії. Відмінність від стандартного рівняння дифузії полягає в наявності нелінійних членів по надлишковій концентрації атомів водню. Через самоподобу процесу релаксації до однорідного рівноважного стану для аналізу отриманого рівняння застосований метод ренормалізаційної групи (РГ). Знайдено нерухомі точки рівняння і відповідні їм динамічні індекси у двомірному і тримірному випадках. Proceeding from basic kinetic of the equation which has been written down for probability of filling by atoms of hydrogen intercenters in sublattice of metal in model of lattice gas, the equation describing of relaxation of nonequilibrium concentration of introduced atoms of hydrogen was received. The received equation is the modified diffusion equation. The difference from the standard diffusion equation consists available of non-linear members on superfluous concentration of atoms of hydrogen. In view of self-similarity of relaxation process to a homogeneous equilibrium status for the analysis of the received equation the method of renormalization group (РГ) is applied. The motionless points of the equation and dynamic indexes, appropriate to them, two-dimensional and three-dimensional cases are found. ru Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України Вопросы атомной науки и техники Физика радиационных повреждений и явлений в твердых телах Кинетика релаксации неравновесного решеточного газа Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Кинетика релаксации неравновесного решеточного газа |
| spellingShingle |
Кинетика релаксации неравновесного решеточного газа Лепин, И.В. Физика радиационных повреждений и явлений в твердых телах |
| title_short |
Кинетика релаксации неравновесного решеточного газа |
| title_full |
Кинетика релаксации неравновесного решеточного газа |
| title_fullStr |
Кинетика релаксации неравновесного решеточного газа |
| title_full_unstemmed |
Кинетика релаксации неравновесного решеточного газа |
| title_sort |
кинетика релаксации неравновесного решеточного газа |
| author |
Лепин, И.В. |
| author_facet |
Лепин, И.В. |
| topic |
Физика радиационных повреждений и явлений в твердых телах |
| topic_facet |
Физика радиационных повреждений и явлений в твердых телах |
| publishDate |
2002 |
| language |
Russian |
| container_title |
Вопросы атомной науки и техники |
| publisher |
Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України |
| format |
Article |
| description |
Исходя из основного кинетического уравнения, записанного для вероятности заполнения атомами водорода междоузлий в подрешетке металла в модели решеточного газа, было получено уравнение, описывающее релаксацию неравновесной концентрации внедренных атомов водорода. Полученное уравнение является модифицированным уравнением диффузии. Отличие от стандартного уравнения диффузии заключается в наличии нелинейных членов по избыточной концентрации атомов водорода. Ввиду самоподобия процесса релаксации к однородному равновесному состоянию для анализа полученного уравнения применен метод ренормализационной группы (РГ). Найдены неподвижные точки уравнения и соответствующие им динамические индексы в двумерном и трехмерном случаях.
Виходячи з основного кінетичного рівняння, записаного для імовірності заповнення атомами водню міжвузлій у підрешітці металу у моделі решіткового газу, було отримане рівняння, що описує релаксацію нерівновагої концентрації впроваджених атомів водню. Отримане рівняння є модифікованим рівнянням дифузії. Відмінність від стандартного рівняння дифузії полягає в наявності нелінійних членів по надлишковій концентрації атомів водню. Через самоподобу процесу релаксації до однорідного рівноважного стану для аналізу отриманого рівняння застосований метод ренормалізаційної групи (РГ). Знайдено нерухомі точки рівняння і відповідні їм динамічні індекси у двомірному і тримірному випадках.
Proceeding from basic kinetic of the equation which has been written down for probability of filling by atoms of hydrogen intercenters in sublattice of metal in model of lattice gas, the equation describing of relaxation of nonequilibrium concentration of introduced atoms of hydrogen was received. The received equation is the modified diffusion equation. The difference from the standard diffusion equation consists available of non-linear members on superfluous concentration of atoms of hydrogen. In view of self-similarity of relaxation process to a homogeneous equilibrium status for the analysis of the received equation the method of renormalization group (РГ) is applied. The motionless points of the equation and dynamic indexes, appropriate to them, two-dimensional and three-dimensional cases are found.
|
| issn |
1562-6016 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/82608 |
| citation_txt |
Кинетика релаксации неравновесного решеточного газа / И.В. Лепин // Вопросы атомной науки и техники. — 2002. — № 6. — С. 47-52. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT lepiniv kinetikarelaksaciineravnovesnogorešetočnogogaza |
| first_indexed |
2025-11-26T06:07:31Z |
| last_indexed |
2025-11-26T06:07:31Z |
| _version_ |
1850611923515604992 |
| fulltext |
УДК 539.219.3:669.788
КИНЕТИКА РЕЛАКСАЦИИ НЕРАВНОВЕСНОГО
РЕШЕТОЧНОГО ГАЗА
И.В.Лепин
ИФТТМТ ННЦ ХФТИ, г.Харьков, Украина
Виходячи з основного кінетичного рівняння, записаного для імовірності заповнення атомами водню міжвузлій у підрешітці
металу у моделі решіткового газу, було отримане рівняння, що описує релаксацію нерівновагої концентрації впроваджених
атомів водню. Отримане рівняння є модифікованим рівнянням дифузії. Відмінність від стандартного рівняння дифузії полягає в
наявності нелінійних членів по надлишковій концентрації атомів водню. Через самоподобу процесу релаксації до однорідного
рівноважного стану для аналізу отриманого рівняння застосований метод ренормалізаційної групи (РГ). Знайдено нерухомі
точки рівняння і відповідні їм динамічні індекси у двомірному і тримірному випадках. Стійкій нерухомій точці відповідає
динамічний індекс ωΔ =2, а характерні розміри неоднорідностей змінюються з часом за законом 2
11
tt(t)L ∝∝ ωΔ .
Исходя из основного кинетического уравнения, записанного для вероятности заполнения атомами водорода междоузлий в
подрешетке металла в модели решеточного газа, было получено уравнение, описывающее релаксацию неравновесной концен-
трации внедренных атомов водорода. Полученное уравнение является модифицированным уравнением диффузии. Отличие от
стандартного уравнения диффузии заключается в наличии нелинейных членов по избыточной концентрации атомов водорода.
Ввиду самоподобия процесса релаксации к однородному равновесному состоянию для анализа полученного уравнения при-
менен метод ренормализационной группы (РГ). Найдены неподвижные точки уравнения и соответствующие им динамические
индексы в двумерном и трехмерном случаях. Устойчивой неподвижной точке соответствует динамический индекс ωΔ =2, а ха-
рактерные размеры неоднородностей изменяются со временем по закону 2
11
tt(t)L ∝∝ ωΔ .
Proceeding from basic kinetic of the equation which has been written down for probability of filling by atoms of hydrogen intercen-
ters in sublattice of metal in model of lattice gas, the equation describing of relaxation of nonequilibrium concentration of introduced
atoms of hydrogen was received. The received equation is the modified diffusion equation. The difference from the standard diffusion
equation consists available of non-linear members on superfluous concentration of atoms of hydrogen. In view of self-similarity of relax-
ation process to a homogeneous equilibrium status for the analysis of the received equation the method of renormalization group (РГ) is
applied. The motionless points of the equation and dynamic indexes, appropriate to them, two-dimensional and three-dimensional cases
are found. To a steady motionless point there corresponds (meets) a dynamic index=2, and the characteristic sizes of nongomogeneties
change in due course under the law 2
11
tt(t)L ∝∝ ωΔ .
1.ВВЕДЕНИЕ
Модель решеточного газа тесно связана с моде-
лью Изинга [1], может описывать фазовый переход
жидкость-пар, но самое непосредственное отноше-
ние имеет к сплавам внедрения, металлическая
структура которых допускает возможность образо-
вания различного вида междоузлий (например, тет-
ра- и октаэдрических), в которых при соответствую-
щих условиях могут располагаться атомы легких
элементов. Примерами таких систем могут служить
нестехиометрические карбиды титана TiCx [2], а так-
же многочисленные металлические сплавы внедре-
ния водорода ZrHx, PdHx, TiHx и т.д. [3,4]. Эти мате-
риалы в настоящее время находят широкое при-
менение в атомной энергетике [5], металлургии [6] и
при создании материалов с новыми свойствами [7].
Обычно при создании таких систем металл поме-
щают в среду водорода под определенным давлени-
ем; при этом в матрице металла создается неодно-
родное распределение концентрации водорода, ко-
торое со временем стремится к своему равновесно-
му однородному состоянию. Так при насыщении
палладия водородом вначале на поверхности метал-
ла образуется β-фаза, богатая водородом. Затем
происходит диффузия водорода из поверхностного
слоя в глубь металла и образуется α-фаза, содержа-
щая меньшее количество водорода, чем β-фаза [3,4].
Исследование процессов релаксации неравновесных
систем к однородному равновесному состоянию, а
также процессов расслоения и упорядочения в ме-
таллических сплавах имеет большое значение. Ин-
терес к этой проблеме определяется тем, что она
связана как с фундаментальными аспектами нерав-
новесной статистической физики, так и с важностью
практического применения в материаловедении и
металлургии, так как многие свойства сплавов (элек-
тропроводность, прочность, теплоемкость) зависят
от степени неравновесности. Поэтому большое зна-
чение имеет изучение кинетики и выяснение зако-
нов релаксации к однородному равновесному состо-
янию.
В этой работе мы будем исследовать кинетику
релаксации в сплавах внедрения при асимптотиче-
ски больших временах на основе модели решеточно-
го газа.
2. ВЫВОД КИНЕТИЧЕСКОГО
УРАВНЕНИЯ
Будем рассматривать следующую модель реше-
точного газа. Представим d-мерное пространство,
которое разбито на отдельные ячейки равного
объема. В центре каждой ячейки может располагать-
ся атом. Взаимодействие между атомами возможно
_____________________________________________________
ВОПРОСЫ АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 2002. №6. 47
Серия: Физика радиационных повреждений и радиационное материаловедение (82), с.47-52.
только в том случае, если они расположены в сосед-
них ячейках. Потенциал взаимодействия запишем в
виде:
+=′
=′∞
=
случаях,других всех во ,
o,
,
)',(
0
UU a
(1)
где ′, – радиус-векторы ячеек, а – вектор транс-
ляции.
В качестве исходного кинетического уравнения
будем использовать уравнение баланса для
вероятностей заполнения ячеек. Вероятность Рℓ
заполнения атомом ячейки с радиус-вектором ℓ как
функция времени удовлетворяет уравнению
непрерывности или основному кинетическому
уравнению [8]:
(t),h,P)P(1
WP)P(1W
t
P
+⋅′−×
×∑
′
∑
′ ′−′⋅−⋅′=
∂
∂
(2)
где hℓ (t) – случайная сила, характеризующая тепло-
вые флуктуации в системе, а Wℓ′ℓ – вероятность
перехода атома в единицу времени из ячейки ℓ′ в
ячейку ℓ. Смысл уравнения (2) прозрачен – первый
член в правой части описывает приход атома из
ячейки ℓ′ в ячейку ℓ при условии, что она свободна;
второй – уход. Будем считать, что Wℓℓ′ отлична от
нуля только для переходов между ближайшими со-
седями. Эта величина зависит от характера окруже-
ния ячеек ℓ и ℓ′ атомами, поэтому вероятность пере-
хода зависит от конфигурации системы. Будем ис-
пользовать простейшее предположение о структуре
Wℓ′ℓ ; она является функцией заполнения только бли-
жайших к ℓ и ℓ′ ячеек решетки:
∑ −= ++′′
a
aa ))P(PW(W ε (3)
В (3) суммирование производится по бли-
жайшим ячейкам; а – радиус-вектор ближайших со-
седей. Величина ε зависит от потенциала взаимодей-
ствия Uo и имеет вид ε = Uo / Т, где Т – температура.
При малом значении потенциала взаимодействия
или больших температурах, когда выполняется
условие ε<< 1, вероятность перехода Wℓℓ′ может
быть разложена в ряд Тейлора по степеням ε:
...)P(P
W
2
1 )P(PWWW
2
a
aa
2
a
2aa1
ε
ε
o
+
∑ −×
×∑ +−⋅+=
++′
++′′
(4)
Если система находится вблизи равновесия, то
вероятность заполнения узла Рℓ может быть
представлена в виде:
)m(1cP +⋅= , (5)
где с – концентрация, а mℓ – малая по величине и
медленно меняющаяся функция координаты ℓ и вре-
мени t, mℓ – это локальная избыточная или недоста-
точная концентрация по сравнению со средней с.
В (4) ограничимся первыми двумя членами и раз-
ложим в ряд величины aP + и aP +′ :
∑ ∑ +⋅⋅
∂∂
∂
+⋅
∂
∂
+=
≠
+
α βα
βα
α
α
α
aa
P
2!
1a
P
PP
2
a
β
∑ +⋅
∂
∂
+
α
...aP
2!
1 2
2
2
α
α
(6)
Использование конечного числа членов ряда
оправдано, так как в соответствии с (5)
. ..
l
P
l
P
P
2
l
2
l
l >
∂
∂
>
∂
∂
>
αα
Подставляя (4), (5) и (6) в основное
кинетическое уравнение (2), можно прийти, проведя
несложные вычисления, к следующему уравнению
для величины m:
t),h(r,mmbmD
t
m 3
0
2
00 +++=
∂
∂ ΔΔΔ g (7)
где:
.∑=β
β=
−=
−⋅=
−⋅+β=
α
α
εα
α
α
α
2
01
2
0
0
000
a2
1
VW Z2
c3
1g
2c)(1c2
1b
c)(1cVWD
(8)
В (8) V0 – это объем системы, Z – координационное
число – количество ближайших соседей.
Уравнение (7) представляет собой несколько мо-
дифицированное уравнение диффузии.
3. РЕНОРМГРУППОВОЙ АНАЛИЗ КИ-
НЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Многие физические процессы протекают само-
подобным, автомодельным образом. Это прежде
всего относится к поведению систем, в которых воз-
можен фазовый переход в критической точке [9].
Пусть некоторый физический процесс характеризу-
ется величиной с(х,t) как функцией координат и вре-
мени. Тогда он является сомоподобным или
масштабно-инвариантным, если существует следую-
щее масштабное преобразование [10]:
t)c(x,λ)λt ;λc(x cΔtΔxΔ ⋅=⋅⋅ , (9)
где λ – масштабный множитель, а Δx, Δt, и
Δc – соответствующие масштабные размерности.
Решение этого функционального уравнения есть
[11]:
)
t
xF(tt)c(x,
tΔ
xΔ
tΔ
cΔ
⋅= , (10)
где F – некоторая функция, зависящая только от от-
ношения
tΔ
xΔ
t
x
.
Например, процесс диффузии является самоподоб-
ным, так как его решение
)4Dt
xexp()πDt 4
1(t)c(x,
2
2
3
−= ⋅ удовлетворяет (10) с
масштабными размерностями Δс = -3, Δt = 2, и Δх = 1.
Мы будем предполагать, что уравнение (7), полу-
ченное в предыдущем разделе, описывает само-
подобный динамический процесс. Поэтому для его
анализа можно применить метод ренормализацион-
ной группы (РГ) [12, 13].
В уравнении (7) перейдем к Фурье-представлению
полей избыточной концентрации и случайной силы:
48
.∫ ∫ ⋅⋅=
∫ ∫ ⋅⋅=
−
−
tixki
d
tixki
d
e),kh(
)(2
dk
2
dt)h(x,
e),km(
)(2
kd
2
dt)m(x,
ω
ω
ω
ππ
ω
ω
ππ
ω
(11)
В (11) интегрирование по частоте производится в
интервале ]- ∞; + ∞[ , по волновым векторам по зоне
Бриллюэна, заменяемой единичной сферой радиуса
ko ~ 2π/a.
Уравнение (7) в Фурье-представлении имеет вид
(в дальнейшем будем писать для краткости знак Σ
вместо знака ∫):
),,kk(k
),m(k),m(k) (k,Gkg-
),km(k),m(k
) (k,Gkb)h(k,)(k,G ) m(k,
2121
212k1k
2211
02
0
11
11k
11
02
0
0
ωωω
ωωω
ωωω
ωωωω
ωω
ω
−−−−×
∑ ×⋅⋅
−−−⋅∑×
×−⋅=
m
(12)
где функция линейного отклика
[ ] 12
0
0 kDiω) ω(k,G −+−= , а среднее значение и корре-
лятор случайной силы определены следующим об-
разом [9]:
.,021,02k1kБ2211 T2k),(k),h(k
0) h(k,
ωωδδωω
ω
++ ⋅⋅=⋅
=
(13)
Cогласно РГ-методу весь интервал волновых
векторов разделим на две части:
0 ≤ k ≤ kλ или λk0 < k ≤ k0, где k0 –абсолютное значе-
ние вектора обратной решетки, λ – параметр обреза-
ния (λ<1, но 1- λ <<1). В соответствии с таким разби-
ением волновых векторов Фурье-компоненты поля
избыточной концентрации представимы в виде:
≤<
≤≤=
>
<
.00
0
kkk ), (k,m
kk0 ), (k,m) m(k,
λω
λωω (14)
Подставляя (14) в уравнение (12), получим два урав-
нения для длинно- и коротковолновых гармоник
m(kω):
,∑
−−∑∑ −⋅×
×∑ −⋅−=
>
⋅
<
⋅
>
⋅
>
⋅
>
⋅
<
⋅
<<
<
⋅
<
⋅
<
mmmGk3g-
GkgmmGkb mmm
GkgmmGkbhGm
02
0
2
0
02
0
02
0
02
0
0
0
(15)
.
2
∑
−∑−∑−
∑ ∑ −⋅⋅−⋅−=
>⋅<⋅<⋅
>⋅<⋅>⋅<⋅
>>>⋅>⋅>⋅>
mmmGk3g-
mmGkbmmGkb
mmmGkgmmGkbhGm
02
0
02
0
02
0
02
0
02
0
0
(16)
Аргументы в уравнениях (15) и (16) соответствуют
аргументам в уравнении (12).
Подставляя уравнение (16) в (15) и заменяя в (16)
произведения m>·m> корреляционной функцией в
нулевом приближении )ω,k(m) ω(k,mC 0 ′′⋅= >> ,
исключим из кинетического уравнения (15) ампли-
туды коротковолновых гармоник избыточной кон-
центрации ) ω(k,m > . Далее воспользуемся флуктуа-
ционно-диссипативной теоремой ФДТ [11], связыва-
ющей корреляционную функцию с мнимой частью
функции линейного отклика
) ω(k,ImGω
T2k) ω(k,C 0Б0 = и являющейся следстви-
ем коррелятора (13). После этой процедуры из урав-
нения (15) получается уравнение, имеющее ту же
структуру, что и исходное кинетическое уравнение
(12), но с перенормированной функцией линейного
отклика и коэффициентами b и g:
),,kkm(k
' ),m(k),m(k) (k,Gkg-
),km(k)' ,m(k
) (k,Gkb)h(k,)(k,G ) m(k,
2121
2211
02
1
1111
02
1
0
ωωω
ωωω
ωωω
ωωωω
−−−−×
∑ ×⋅⋅
−−−⋅∑×
×−⋅=
~
~~
(17)
где:
[ ] 12
1
0 kDi) (k,G −+−= ωω ~
304
2
001 Ф4gФ6bDD +−=
]Ф18gФ4b[1bb 402
2
001 −+= ⋅ (18)
].Ф18gФ24b[1gg 402
2
001 −+= ⋅
∑⋅=
11k
4
11
04
1Б2 ),(kGkT2kФ
ω
ω
∑⋅=
1ω1k
2
11
0
Б3 )ω,(kGT2kФ (19)
.∑⋅=
11k
2
11
0
11
02
1Б4 ),(kG),(kGkT2kФ
ω
ωω
Знак ∑ ' в уравнении (17) означает суммирование
(интегрирование) по волновым векторам в интерва-
ле [0; λk0]. Суммирование (интегрирование) в (19)
необходимо выполнить по 1ω в интервале
]- ∞; + ∞[, а по k1 в интервале [λk0 ; k0 ]. Суммы (19)
вычисляются элементарно и равны:
),(1
2D
1Ф
);(1
2D
1Ф );(1
D
1Ф
3
0
2
2
0
4
0
3
λΨ
λΨλΨ
−⋅=
−⋅=−⋅=
где 2d
0dd
Б kO
(2
Тk −⋅⋅=
π)
Ψ ; площадь поверхности еди-
ничной d-мерной сферы
)2
dГ(
2πO
2
d
d = ; Г – гамма
функция. На этом заканчивается первый этап преоб-
разований ренормгруппы.
Далее следуя РГ-методу, произведем масштабное
преобразование волновых векторов 1λkk −⋅=′ , при
этом масштабное преобразование частоты
ωΔλωω −⋅=′ . Масштабное преобразование полей
определим следующим образом:
).ωλλωλω ωΔ ′′⋅=⋅′⋅′= ,km() (Z);km() m(k, 1 (20)
).,kh() (Z);kh() h(k, 2 ωλλωλω ωΔ ′′⋅=⋅′⋅′= (21)
Масштабный множитель Z2(λ) определим из следую-
щих соображений:
.),kh(),kh() (Z
);kh();kh(
),h(k) h(k,
11
2
2
1
11
ωωλ
λωλλωλ
ωω
ωω ΔΔ
′′⋅′′=
=⋅′⋅′⋅⋅′⋅′
=⋅
(22)
49
C другой стороны, согласно определению корреля-
тора (13) имеем:
.ωωλλ
ωωδδλλ
ωωλδλδ
ωωδδωω
ω
ω
ω
Δ
Δ
Δ
),kh(),kh(
)()(kТ2k
))(())(k(Т2k
)()(kТ2k),h(k) h(k,
11
d
1
d
Б
1Б
1Б11
′′⋅′′⋅=
=+⋅+⋅=
=+⋅+⋅=
=+⋅+⋅=⋅
⋅
−−
⋅
−−
1
1
1
k
k
k
(23)
При выводе (23) было использовано свойство δ-
функции δ(αх) = 1/α·δ(х). Из сравнения (22) и (23)
имеем:
.2
d
2 ) (Z
ωΔ
λλ
+
−
= (24)
После масштабного преобразования кинетическое
уравнение (12) приводится к виду:
,∑ ′−′−′′−′−′⋅′′⋅′′×
∑
×⋅⋅⋅′′⋅′
−′−′′−′⋅′′×
×⋅⋅⋅′′⋅′⋅
−′′⋅′′⋅=′′⋅
+
+
),kkkm(),km(),km(
) (Z),k(Gkg
),kkm(),km(
) (Z),k(Gkb
),kh(),k(G) (Z),km() (Z
2121221 1
3
1
22d2
1
2
1
1111
2
1
d2
1
2
1
121
ωωωωω
λλλω
ωωω
λλλω
ωωλωλ
ωΔ
ωΔ
(25)
где
[ ]
[ ] .
1
1
2ωΔ2ωΔ
1
1
22ωΔ
1
Dkλωiλ
Dkλλωi)ω,k(G
−−−
−
⋅′⋅+′−=
=⋅′⋅+⋅′−=′′
В уравнении (25) каждое суммирование по волново-
му вектору дает множитель dλ , а по частоте ωΔλ .
Для того, чтобы уравнение (25) обладало точно
такой же структурой, что и исходное уравнение (12),
то есть было инвариантным относительно двух эта-
пов РГ-преобразований, необходимо выполнение
условия 1λ
)( λZ
) ( λZ ωΔ
1
2 =⋅ −
, которое определяет
масштабное преобразование поля ) ωm(k, :
.2
3d
1 ) (Z
ωΔ
λλ
+−
= (26)
При этом коэффициенты b и g, входящие в уравне-
ние, и коэффициент D, определяющий функцию от-
клика, преобразуются следующим образом:
].
~
~
~
4Ф18gФ24b[1g
gg
]Ф18gФ4b[1b
bb
]Ф
D
4gФ
D
6b[1DDD
02
2
00
2d2
1
3d2d2
1
402
2
00
2
3d
2
1
2
3d
d2
1
3
0
0
4
0
2
0
0
2
1
2
1
−+×
×=⋅−⋅=
−+×
×=⋅
−
⋅=
+−=⋅=
−+−++
−
+
+
+
⋅
−−
ΔωΔωωΔ
ωΔωΔ
ωΔωΔ
λλλ
λλλ
λλ
(27)
Многократно повторяя процедуру РГ-преобразова-
ний, а также с учетом вычисленных сумм Ф2, Ф3, Ф4,
приходим к следующим рекурентным соотношени-
ям для коэффициентов:
)].(1
D
9g)(1
D
12b[1gg
)](1
D
9g)(1
D
2b[1bb
)](1
D
4g)(1
D
3b[1DD
2
n
n
3
n
2
n
n
2-d2
1n
2
n
n
3
n
2
n
n
2
3d2
1n
2
n
n
3
n
2
n
n
2
1n
λΨλΨλ
λΨλΨλ
λΨλΨλ
ωΔ
Δ
ωΔ
ω
−⋅−−⋅+⋅=
−⋅−−⋅+⋅=
−⋅+−⋅−⋅=
+
+
−+
+
−
+
(28)
Система (28) должна исследоваться на неподвижные
точки для коэффициентов, их устойчивость; при
этом каждой неподвижной точке соответствует свой
динамический индекс Δω , определяющий кинетику
системы.
4. НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ
И ДИНАМИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ
Рассмотрим случай
∞→n
nlimD =D*=const. Обращая
внимание на то, что в системе (28) коэффициенты
входят в комбинациях 3
n
2
n
D
b
и 2
n
n
D
g
, перейдем к новым
переменным 3
n
2
n
n D
Ψbx = и 2
n
n
n D
Ψgy = . Тогда из систе-
мы (28) получаем:
[ ]
[ ].)(117y)(118x1yy
)(130y)(113x1xx
nn
2d
n1n
nn
2d
n1n
λλλ
λλλ
−−−+⋅⋅=
−−−+⋅⋅=
−
+
−
+ (29)
При этом первое уравнение системы (28) дает следу-
ющее значение для динамического индекса :
∗∗
−+= y4x32Δω . (30)
В системе (29) от дискретных переменных удоб-
но перейти к непрерывным переменным в пределе
(1-λ) → 0 , что облегчит нахождение неподвижных
точек и определение их устойчивости:
[ ]
[ ] . 17y18xd2y
.
y
30y13xd2x
.
x
−+−⋅=
−+−⋅=
(31)
Точка над переменными обозначает дифферен-
цирование по (1-λ). Прежде всего нас интересуют
неподвижные точки или точки равновесия системы
(31) и соответствующие им динамические индексы.
Существует тривиальная неподвижная точка А:
0yx ==
∗∗ , ей соответствует динамический индекс ωΔ
=2, а также две нетривиальные точки В:
)2d(
17
42
17
d2;0 −+=−==
∗∗
ωΔ ; yx и С:
).2d(
13
320;
13
2d −+==−=
∗∗
ωΔ ; yx
Размерность пространства d = 2 (квази-двумер-
ный случай) является для системы (31) особой раз-
мерностью: при d=2 существует единственная три-
виальная точка А, при d>2 происходит бифуркация
и от тривиальной точки А отщепляются две нетри-
виальные точки В и С.
Исследование устойчивости неподвижных точек
А,В и С проведем стандартным образом [14]. Систе-
50
ма (31) представляет собой систему нелинейных
дифференциальных уравнений в двумерном фазо-
вом пространстве. Ее можно записать в компактном
виде: ,)X(ΩX
= где y)(x,X ≡
– вектор в про-
странстве двух величин, а )X(Ω
– векторное поле с
компонентами, равными правым частям системы
(31).
Матрица Якоби векторного поля
X
ΩA
∂
∂= для си-
стемы (31) имеет вид:
ˆ .
+
−+−
=
34y-18xd-2 18y
30x- 30y 26xd2
A
(32)
Пусть XΔ
– малое отклонение от i - той непо-
движной точки, тогда изменение XΔ
можно опреде-
лить из уравнения:
XΔ
= 1Â XΔ
, (33)
где в уравнении (33) матрица 1Â – это уже не функ-
циональная, а числовая матрица, полученная из (32)
подстановкой в нее численного значения ί-той непо-
движной точки )y;x(X
∗∗∗
=
.
Собственные значения матрицы 1Â и будут
определять устойчивость неподвижной точки.
Спектр собственных значений квадквадратной мат-
рицы порядка n совпадает с множеством корней ал-
гебраического уравнения n-степени:
0)1Adet( 1 =− ˆˆ λ , (34)
где 1̂ - единичная матрица.
В двумерном случае уравнение (34) имеет вид:
0AdetASp 11
2 =+⋅− ˆˆλλ . (35)
Вычисленные собственные значения λk(k=1,2)
для неподвижных точек следующие:
2)).(d13
52;dC(и 2)-d
2);(d17
13B( d);2A(
212
121
−=−==
−=−==
λλλ
λλλ
Видно, что для размерности пространства d>2
собственные значения для точки А – вещественные
отрицательные числа, следовательно, точка А –
устойчивый узел. Аналогично точки В и С – неу-
стойчивые узлы.
Качественный портрет для неподвижных точек и
фазовых траекторий в трехмерном случае (d=3)
изображен на рисунке.
Качественный фазовый портрет для системы (31)
в трехмерном случае
Здесь ОА – сепаратриса, разделяющая два режи-
ма движения на фазовой плоскости.
Таким образом, существует единственная устой-
чивая неподвижная точка 0)yxA( ==
∗∗ , которой со-
ответствует динамический индекс 2Δω = (при этом
уравнение (7) вырождается в тривиальное уравнение
диффузии). Фурье-компонента поля избыточной
концентрации ω)m(k, согласно (20) и (10) с учетом
(26) имеет вид:
ω)m(k, = )
k
ωF(k 2
2
6d
⋅
− +
, (36)
а средний размер неоднородностей изменяется со
временем по закону 2
1
tL ∝ .
Формально существует еще одна нетривиальная воз-
можность. Из (8) следует, что при средней концен-
трации с = 0,5 коэффициент b0 в уравнении (7), а
следовательно, и х в системе (31) изначально равны
нулю. Тогда существует такое отношение потенциа-
ла взаимодействия и температуры T
U0ε = , при кото-
ром: 17
d2y
D
c
3
1
D
gy
2
2
2
0 −==−==
∗
ΨαΨ , и система с
самого начала оказывается в неподвижной точке В,
которая характеризуется нетривиальной динамикой
с 2,23617
42ωΔ =+= , при этом 2,236
1
tL ∝ (d=3). Одна-
ко физически очевидно, что концентрация с = 0,5
ничем не выделена, и учет в уравнении (7) членов
более высокого порядка ∝ ∆m4, ∆m5 и т. д. выведет
систему из неподвижной точки В.
По своему смыслу метод ренормгруппы позволя-
ет исследовать поведение системы только при асим-
птотически больших временах. На начальных и про-
межуточных временах релаксации нелинейные чле-
ны в уравнении (7) ∆m2 и ∆m3 могут быть весьма су-
щественны и определять другие законы релаксации,
для нахождения которых необходимо либо искать
точное решение уравнения (7), либо использовать
другие приближенные методы его решения.
Подход, развитый в этой работе, может быть по-
лезен для анализа кинетики внедренных атомов не-
металла в металлической подрешетке при достаточ-
но высоких температурах, когда легкий элемент об-
разует однофазную область выше кривой сосуще-
ствования фаз. В системах NbHx, PdHx при закалке
(резком понижении температуры) происходит рас-
слоение типа спинодального распада на области,
обогащенные и обедненные водородом [3]. Данный
подход, oснованный на разложении (4) по малому
параметру T
U 0ε = не позволяет исследовать кинети-
ку таких процессов, характерных для более низких
температур и описываемых законами кинетики заро-
дышеобразования Лифшица-Слезова 3
1
tL ∝ [15] или
спинодального распада 4
1
tL ∝ [16].
51
ЛИТЕРАТУРА
1. T.D.Lee, C.N.Yang //Phys. Rev., 1952, 87, с.410.
2. И.С. Латергаус. Автореф. дис. канд. физ.-мат.
наук. Ташкент, 1986.
3. Водород в металлах. /Под. ред. Г.Алефельда и
И.Фелькля. М.: «Мир», 1981, т.1.
4. Н.А. Галактионова. Водород в металлах. М.:
«Металлургия», 1967.
5. А.С.Займовский, А.В.Никулина, Н.Г.Решетни-
ков. Циркониевые сплавы в атомной энергети-
ке. М.: «Энергоиздат», 1981.
6. В.К.Носов, Б.А.Колачев. Водородное пластифи-
цирование при горячей деформации титановых
сплавов. М.: «Металлургия», 1986.
7. Б.А.Колачев //Металловедение и термическая
обработка металлов. 1999, №3, с.3.
8. А.Исихара. Статистическая физика. М.:
«Мир», 1973.
9. Ш.Ма. Современная теория критических явле-
ний. М.: «Мир», 1980.
10. Г.И.Барренблатт. Подобие, автомодельность,
промежуточная асимптотика. М.: «Гидро-
метеоиздат», 1982.
11. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Статистическая
физика. М.: «Наука», 1976.
12. И.В.Лепин, В.С.Пресман, А.Ш.Махмудов
//ФММ.. 1990, № 10, 31.
13. И.В.Лепин //Технология приборостроения. 1999,
№1, с.47.
14. А.Лихтенберг, М.Либерман. Регулярная и сто-
хастическая механика. М.: «Мир», 1984.
15. И.М.Лифшиц, В.В.Слезов //ЖЭТФ. 1958, т.35,
№2, с.479.
16. К.Биндер. Кинетика расслоения фаз. /В кн.: Си-
нергетика. М.: «Мир», 1984.
52
КИНЕТИКА РЕЛАКСАЦИИ НЕРАВНОВЕСНОГО
РЕШЕТОЧНОГО ГАЗА
Подставляя (14) в уравнение (12), получим два уравнения для длинно- и коротковолновых гармоник m(kω):
ЛИТЕРАТУРА
|