Существование согласованного k-аддитивного продолжения мер в теории возможностей
Рассмотрено существование согласованного продолжения мер возможности и необходимости. Доказано существование продолжения обобщенного отрицания и согласованного продолжения меры возможности и необходимости с алгебры множеств на минимальную сигма-алгебру. The existence of the consistent extension of m...
Saved in:
| Published in: | Управляющие системы и машины |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/82771 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Существование согласованного k-аддитивного продолжения мер в теории возможностей/ А.С. Бычков, Е.Б. Иванов // Управляющие системы и машины. — 2009. — № 6. — С. 35-41. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859613917167222784 |
|---|---|
| author | Бычков, А.С. Иванов, Е.Б. |
| author_facet | Бычков, А.С. Иванов, Е.Б. |
| citation_txt | Существование согласованного k-аддитивного продолжения мер в теории возможностей/ А.С. Бычков, Е.Б. Иванов // Управляющие системы и машины. — 2009. — № 6. — С. 35-41. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Управляющие системы и машины |
| description | Рассмотрено существование согласованного продолжения мер возможности и необходимости. Доказано существование продолжения обобщенного отрицания и согласованного продолжения меры возможности и необходимости с алгебры множеств на минимальную сигма-алгебру.
The existence of the consistent extension of measures of the possibility and the necessity is considered. The existence of the continuation of the generalised k-additive negation and of the coordinated continuation of the measure of the possibility and necessity from the set algebra to the minimal sigma-algebra is proved.
Розглянуто існування узгодженого продовження мір можливості і необхідності. Доведено існування продовження узагальненого заперечення та узгодженого продовження міри можливості і необхідності з алгебри множин на мінімальну сигмаалгебру.
|
| first_indexed | 2025-11-28T17:07:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
УСиМ, 2009, № 6 35
УДК 519.21, 519.713
А.С. Бычков, Е.В. Иванов
Существование согласованного -аддитивного продолжения мер
в теории возможностей
Рассмотрено существование согласованного продолжения мер возможности и необходимости. Доказано существование про-
должения обобщенного отрицания и согласованного продолжения меры возможности и необходимости с алгебры множеств
на минимальную сигма-алгебру.
The existence of the consistent extension of measures of the possibility and the necessity is considered. The existence of the continua-
tion of the generalised k-additive negation and of the coordinated continuation of the measure of the possibility and necessity from the
set algebra to the minimal sigma-algebra is proved.
Розглянуто існування узгодженого продовження мір можливості і необхідності. Доведено існування продовження узагальне-
ного заперечення та узгодженого продовження міри можливості і необхідності з алгебри множин на мінімальну сигма-
алгебру.
Введение. Теория возможностей, предложенная
Л. Заде [1], – удобный математический форма-
лизм для описания субъективных суждений и
неопределенной неточной информации. В даль-
нейшем эту теорию развивали разные школы
математиков, отметим [1–3].Один из фундамен-
тальных результатов теории возможностей –
теорема о продолжении меры возможности из
одного класса событий на более широкий класс
событий. Дуальной к ней является теорема о
продолжении меры необходимости. В то же
время можно считать, что возможность и не-
обходимость связаны соотношением типа «от-
рицание возможности дополнения события яв-
ляется утверждением о необходимости собы-
тия». В связи с этим возникает необходимость
в исследовании условий существования про-
должения пары подобным образом связанных
мер возможности и необходимости.
Цель статьи – получение условий существо-
вания согласованного продолжения мер воз-
можности и необходимости из алгебры собы-
тий на порожденную ею сигма-алгебру.
Основной результат
Пусть Х – не пустое множество (элементар-
ные события), А – класс подмножеств Х, кото-
рый содержит , Х (составные события).
Пусть обозначает кардинальное число и
0 .
Ключевые слова: нечеткая логика, теория возможно-
стей, мера возможности, мера необходимости, -аддитив-
ное продолжение мер.
Введем некоторые определения.
Определение 1. -аддитивная мера возмож-
ности на А определяется как функция :P LA ,
удовлетворяющая условию
sup ,t t
t Tt T
P A P A
если { | }tA t T – семейство множеств из А та-
кие, что T , t
t T
A
A .
Определение 2. -внешняя мера возможно-
сти, построенная по -аддитивной мере воз-
можности Р на А, определяется равенством
*
{ | }
2 : ( ) inf sup ( )
t
X
tE t T t T
B P B P E
,
где инфимум берется по системам }|{ TtEt под-
множеств А, для которых T и t
t T
A B
.
Определение 3. -мультипликативная мера
необходимости на А определяется как функ-
ция :N LA , которая удовлетворяет условию
inf ( )t t
t T
t T
N A N A
,
если { | }tA t T – семейство множеств из А та-
кие, что T , t
t T
A
A .
Определение 4. -внутренняя мера необхо-
димости, построенная по -мультипликатив-
ной мере необходимости N на А, определяется
равенством
*
{ | }
2 : ( ) sup inf ( )
t
X
tt TE t T
B N B N E
,
36 УСиМ, 2009, № 6
где супремум берется по системам }|{ TtEt
подмножеств А, для которых T и t
t T
A B
.
Определение 5. -обобщенное отрицание на
А определяется как функция θ : A A , кото-
рая удовлетворяет условиям:
если { | }tA t T – семейство множеств из
А, T , t
t T
A
A , то θ( )t
t T
A
A и выпол-
няется равенство
Tt
t
Tt
t AA
)(θθ .
AAA ))(θ(θ:A .
Определение 6. Мера возможности Р назы-
вается нормированной, если ( ) 1, ( ) 0P X P .
Мера необходимости N называется нормиро-
ванной, если 0)(,1)( NXN .
В дальнейшем все меры возможности и не-
обходимости будут считаться нормированными.
Определение 7. Р-моделью теории возмож-
ностей назовем тройку ( , , )X PA , где P – -ад-
дитивная мера возможности на А для некото-
рого 0 .
Определение 8. PN-моделью теории возмож-
ностей назовем четверку ( , , , )X P NA , где P
является -аддитивной мерой возможности на
А, N – -мультипликативной мерой необхо-
димости на А для некоторого 0 .
Определение 9. PN-модель называется со-
гласованной, если существует обобщенное от-
рицание θ и непрерывная убывающая биекция
]1,0[]1,0[:θ N
L такие, что : (θ( ))A P A A
))(( ANN
L .
Согласованная PN-модель сопоставляет ка-
ждому событию значения возможности и необ-
ходимости, причем эти значения связаны с по-
мощью обобщенного отрицания.
Отрицание не всегда является дополнением.
P-модель предоставляет формализацию лишь
понятию возможности и может рассматривать-
ся как упрощение PN-модели.
Обозначим буквой А класс подмножеств Х,
замкнутый относительно конечных объедине-
ний и пересечений, содержащий и Х.
Введем обозначения:
O {{ }: , , }A t t t
t T
E E t T A E
A ,
O {{ }: , , }B t t t
t T
E E t T B E
A .
Лемма 1. Внешняя мера возможности )(* P –
монотонная, т.е. для XBA , таких, что
BA будем иметь )()( ** BPAP .
Доказательство. Множества BA OO , явля-
ются множествами внешних покрытий A и B
соответственно. Тогда BA OO . Отсюда сле-
дует, что )()( ** BPAP .
Лемма 2. Если P – к-мера возможности на
A , *P – к-внешняя мера возможности, по-
строенная по P , то для произвольного множе-
ства AB выполняется )()(* APAP .
Доказательство. Выберем семейство {E t} та-
ким образом, чтобы T = {1}, E1 = A. Получим, что
Tt
tEA
, и соответственно,
)(supinf
}{
t
TtOE
EP
At
P(A).
Таким образом )()(* APAP .
По определению точной нижней грани для
0 , { }, :t tE t T E A такое, что
ε)()()(sup *
APEPEP
Tt
tt
Tt
.
Поскольку
Tt
t
Tt
t EAEAA
)()( ,
тогда
))(()(
Tt
tEAPAP
)(sup t
Tt
EAP
)(sup t
Tt
EP
, при AΑ .
Теорема 1. Пусть P – -аддитивная мера воз-
можности на A , *P – -внешняя мера возмож-
ности, построенная по мере возможности P.
Тогда *P – -аддитивная мера возможности на
булеане X, являющаяся продолжением меры P.
Доказательство. *P – продолжение P по
лемме 2. Покажем -аддитивность *P на бу-
леане X , т.е. покажем выполнение равенства
)(sup)( **
t
TtTt
t APAP
для ,T t
XAT t : .
УСиМ, 2009, № 6 37
Сначала докажем выполнение неравенства
)(sup)( **
t
TtTt
t APAP
.
Для множества t
t T
A
имеем
)(supinf)(
}{
*
t
TtE
Tt
t APAP
Tt
.
Соответственно, для каждого из множеств
tA выполняется
)(supinf)(
}{
*
tp
TpOE
t EAP
tAtp
. (1)
Семейство множеств {Ejk} является одним из
внешних покрытий множества t
t T
A
, причем
его мощность не превышает 2 . Так как
нижняя грань множества не больше любого
его члена, то выполняется неравенство:
).(supsup)(sup
)(supinf)(
}{
*
tp
TpTt
tp
Tp
Tt
t
TtE
Tt
t
EPEP
APAP
Tt
(2)
Из (1) следует, что для каждого Tt можно
подобрать такое внешнее покрытие TptpE }{ ,
для которого выполняется ε)(sup)(*
tp
Tp
t EPAP .
Подставив это выражение в (2), получаем, что
ε)(sup **
t
TtTt
t APAP . Однако может быть
как угодно малым положительным числом, оче-
видно, тогда
)(sup **
t
TtTt
t APAP
.
Докажем неравенство:
)(sup)( **
t
TtTt
t APAP
. (3)
Из монотонности -внешней возможности и
включения Ts s
Tt
t AA
следует, что
)(**
s
Tt
t APAP
, откуда, переходя к супре-
муму, получим неравенство (3).
Таким образом, )(APAP t
TtTt
t
** sup
. Итак,
)(* P – по определению, мера возможности,
что и доказывает теорему.
Следствие. Пусть Р – -аддитивная мера
возможности на A ; B – класс подмножеств
X такой, что BA ; *P – -внешняя мера воз-
можности, построенная по мере возможности
Р. Тогда *P
B
– -аддитивная мера возможно-
сти на B , которая является продолжением ме-
ры P . В дальнейшем будем её называть стан-
дартным -продолжением P из A на B .
Аналогично можно доказать продолжаемость
меры необходимости.
Теорема 2. Пусть N – -мультипликатив-
ная мера необходимости на A , *N – -внут-
ренняя мера необходимости, построенная по
N . Тогда *N – -мультипликативная мера не-
обходимости на булеане X , которая является
продолжением N .
Следствие. Пусть N – -мультипликатив-
ная мера необходимости на A ; B – класс под-
множеств X такой, что А B. *N – -внутрен-
няя мера необходимости, построенная по N .
Тогда *N
B
– -мультипликативная мера необ-
ходимости на B , являющаяся продолжением
N . В дальнейшем будем называть ее стан-
дартным -продолжением N из A на B .
Лемма 3 (Транзитивность продолжений).
Пусть Р – -аддитивная мера возможности на
A ; B и C – классы подмножеств X , замкну-
тые относительно конечных объединений и
пересечений, для которых выполняется А B
C и пусть Q – стандартное -продолжение
P из A на B , R – стандартное -продолжение
Q из B на C , H – стандартное -продолже-
ние P из A на C . Тогда RH .
Доказательство. Будем обозначать через Et
подмножества A, tF – подмножества B. Пусть
AC :
38 УСиМ, 2009, № 6
( ) inf{sup ( ) | { , } , }t t t
t T t T
R A Q F F t T F A
=
= *
{ , }:
inf sup ( )
tFt
tF t T A t T
P F
.
По теореме о продолжении и из монотонно-
сти внешней меры имеем
)(AR *
{ , }:
inf
tF
t Tt
tF t T A
P F
*( ) ( )P A H A .
С другой стороны, учитывая, что А B, по-
лучаем:
{ , }:
( ) inf sup ( )
tFt
tF t T A t T
R A Q F
{ , }:
inf sup ( )
tEt
tE t T A t T
Q E
=
=
{ , }:
inf sup ( ) ( )
tEt
tE t T A t T
P E H A
.
Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть B – класс подмножеств X ,
замкнутый относительно -объединений и пе-
ресечений (как и A ) А B. Пусть на A зада-
но -аддитивную меру возможности P , -
мультипликативную меру необходимости N и
-обобщенное отрицание . Пусть существует
продолжение до -обобщенного отрицания
1 на B и существует функция :N
L L L – не-
прерывная и строго убывающая биекция, та-
кая, что : ( ( )) ( ( ))N
LA P A N A A . Пусть P1,
N1 – стандартные -продолжения соответствен-
но P и N из A на B. Тогда A B : P1(1(A)) =
1( ( ))N
L N A .
Доказательство. Имеем
1 1( ( ( )))N
L N A =
=
1{ , }: ( )
sup inf ( )N
L
t t
tt TE t T E A
N E
=
=
1{ , }: ( )
inf sup ( ( ))N
L t
t tE t T E A t T
N E
=
=
1 ( ){ , }:
inf sup ( ( ))
t
N
L t
EtE t T A t T
N E
= (замена
)(θ tt EF ) =
{ , }:
inf sup ( ( ( )))
t
N
L t
FtF t T A t T
N F
=
=
{ , }:
inf sup ( )
t
t
FtF t T A t T
P F
= 1( )P A .
Лемма доказана.
Согласно лемме 4, для существования со-
гласованного продолжения мер возможности и
необходимости, достаточно существования про-
должения обобщенного отрицания. Исследуем
условия возможности такого продолжения.
Назовем 0 –обобщенное отрицание для удоб-
ства -обобщенным отрицанием.
Лемма 5. Пусть А – алгебра подмножеств Х.
Функция ΑΑ:θ является -обобщенным от-
рицанием на А тогда и только тогда, когда
функция θ удовлетворяет условиям:
,A B A : )( , )()( AA ;
)()()( BABA ;
A A AA ))(( ;
)()(lim AAn для произвольной после-
довательности An A такой, что lim An = A A.
Доказательство. Докажем необходимость.
, : ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( ))
( ) ( ) ( ),
A B A B A B
A B A B A B
A
),()())()((
))()(()()(
BABA
BABABA
).()())()((
))()(()()(
BABA
BABABA
Тогда
);()()()(
)()(
BABA
BABBA
;)()(
))(()()(
XX
XX
;)()(
))(()()(
XXX
XX
).()(
)(\)()()()(
))(\)(()()()(
AA
AAAA
AAXXAA
Таким образом, выполняется первое свой-
ство. Второе следует из равенства
AAAAA ))(())(())(())(( .
Пусть Cn A, lim Cn = . Тогда для произ-
вольной подпоследовательности
knC такой, что
1
kn
k
C
, имеем:
УСиМ, 2009, № 6 39
,)()(
11
11
k
nn
k
k
n
k
n
kk
kk
CC
CC
т.е. нет точек, которые бы принадлежали бес-
конечно многим множествам последовательно-
сти (Cn). Отсюда следует, что lim (Cn) = .
Пусть lim nA A , , nA A A . Тогда )\lim( AAn
)\lim( nAA , и поэтому )\(lim AAn
= lim ( \ )nA A . Тогда последовательность
)\(\)()\( nn AAAAA =
)()\(
))\(\)\((
nnn
nn
AAAAA
AAAAA
)()\(
))\(\)\((
nnn
nn
AAAAA
AAAAA
является сходящейся и )()(lim AAn . Необ-
ходимость доказана.
Докажем достаточность. Пусть A, B A.
Тогда
).()())()((
)()(
BABA
BABA
Пусть nA – последовательность элементов А
и
1
n
n
A A
A .
Тогда
1
n
n k
k
B A
– тоже последовательность
элементов А.
Однако lim nB A , из чего следует
.)()(lim
lim)(lim)(
11
1
n
n
n
k
k
n
k
kn
AA
ABA
Поэтому
)()()()()(
111
AAAAA
n
n
n
n
n
n
.
Таким образом, для выполняется первое
условие из определения обобщенного отрица-
ния. Инволютивность следует из равенства
AAAAA ))(())(())(())(( .
Лемма доказана.
Лемма 6. Пусть является -обобщенным
отрицанием на алгебре множеств А и .
Тогда система множеств В = { lim nA | ( )nA –схо-
дящаяся последовательность элементов А}, яв-
ляется алгеброй множеств и существует продол-
жение до -обобщенного отрицания 1 на В.
Доказательство. Обозначим последователь-
ности элементов А как ,n nA B . Тогда из того,
что A nAA lim0 , B nBB lim0 следует, что
0 0 lim( nA B A )nB B , 0 lim( )nA A B ,
X B и, таким образом, В является алгеброй
множеств (расширением А).
Пусть lim limn nA B . По предыдущей лем-
ме, последовательности )( nA и )( nB сходят-
ся и )(lim)(lim nn BA .
Таким образом, функция 1, определенная
как )(lim)(lim1 nn AA , является определен-
ной на В, причем 1 – продолжение , по-
скольку A AAAA ),()(lim)(lim1 .
Покажем, что она является дополнением
-обобщенного отрицания, т.е. удовлетворяет
условиям леммы 5. Имеем:
))(lim()lim(lim 11 nnnn BABA
))()(lim( nn BA
)(lim)(lim)(lim)(lim 11 nnnn BABA ;
)(lim)(lim)lim( 11 nnn AAA
1lim ( ) (lim )n nA A ;
))((lim))(lim( 111 nn AA
lim ( ( )) limn nA A ;
пусть ,m nC – элементы А, ,lim lim m nm n
C ,
и предположим, что )(limlim ,nm
nm
Cz .
Тогда существует последовательность ин-
дексов km такая, что для всех k выполняется
)(lim ,nm
n k
Cz . Отсюда следует, что сущест-
вует последовательность kN такая, что для
kn N выполняется )( ,nmk
Cz , а поэтому
k
k
Nnk
nmCz
,1
, )( – счетное пересечение, откуда
40 УСиМ, 2009, № 6
k
k
Nnk
nmC
,1
, и получили, что : ( kt k n N
, )
km nt C . Отсюда следует, что k t
,lim
km n
n
C , учитывая, что последовательность
,km nC является сходящейся для произвольного
k, получаем, что для всех k имеет место
,lim
km nn
t C , т.е. получили противоречие
, ,lim lim lim limm n m n
m n m n
C C .
Таким образом, выполняется
)(limlim ,nm
nm
C .
Рассмотрим , ,m n pA C – элементы А такие,
что ,lim lim limm n mm n
A C . Тогда
))\(\)\((limlim
)(limlim
,,
,
nmmmmnm
nm
nm
nm
ACCCA
A
))\(\)()\((limlim ,, nmmmmnm
nm
ACCCA .
Поскольку
, ,lim lim( \ ) lim lim( \ )m n m m m nm n m n
A C C A ,
исходя из доказанного, получаем
)\(limlim)\(limlim ,, nmm
nm
mnm
nm
ACCA .
Тогда выполняется
))\(\)()\((limlim ,, nmmmmnm
nm
ACCCA
).(lim)\(limlim\)(lim
)\(limlim
,
,
mnmm
nm
m
mnm
nm
CACC
CA
.
Из последнего свойства и следует непре-
рывность 1.
Лемма доказана.
Теорема 3. Пусть на алгебре множеств А
задано -обобщенное отрицание . Тогда су-
ществует продолжение до -обобщенного
отрицания * на S – -алгебру, порожденную
алгеброй А.
Доказательство (По трансфинитной индук-
ции). Пусть On – класс порядковых чисел. Оп-
ределим функцию ( ) : 2XOn A следующим
образом:
(0) A A ;
для 0 положим )(A – расширение
)( 0A , построенное как в лемме 5, если име-
ет предшественника 0;
)()( AA , если не имеет предше-
ственника.
Заметим, что )()( AA и
)(A является алгеброй подмножеств Х.
Поскольку Х является множеством, то
)1()()()(: ****** AAAA , т.е.
)( *A замкнута относительно взятия предела
последовательности, а поскольку она содержит
А, то содержит и монотонный класс, порож-
денный А, и соответственно -алгебру, порож-
денную А.
Определим продолжение функции на
каждую алгебру )(A .
Для 0 положим 0 .
Предположим, что определено .
Тогда:
если имеет предшественника 0, то опре-
делим как продолжение
0
, построенное в
лемме 5.
если не имеет предшественника, то на за-
данном множестве A A() таком, что A A(),
< , определим (A) = v(A). Очевидно (A)
определена однозначно.
Таким образом, искомое продолжение су-
ществует.
Теорема доказана.
Структуру полностью аддитивного обобщен-
ного отрицания описывает следующая теорема
(в предположении справедливости аксиомы
выбора).
Теорема 4. Пусть – полностью аддитив-
ная инволюция на булеане X , |X|>1.
Тогда существует разбиение X на множе-
ства M, N, K и биекция NMf : такая, что
).()(
)()(:
1 NAfMAf
KAAXA
УСиМ, 2009, № 6 41
Доказательство. Пусть },|}{{ XzzS
)(1
1 SS . Так как 1X , то 1S . Возьмем
}{})({)(:1 ztASA
At
для некоторого
z A . Если 1A , то среди })({t есть одина-
ковые, что противоречит биективности , по-
этому A S и 1S S . Поскольку 1 , то
1S S и сужение на S является биекцией.
Согласно аксиоме выбора, возьмем из каж-
дого множества класса {{ , }| , , ,x y x y X x y
({ }) { }}x y по элементу и образуем множе-
ство M; положим MKXN \\ , ({ })f z z .
Тогда
).()()(
)()()()(
1 NAfMAfKA
NAMAKAA
Теорема доказана.
Рассмотрим PN – модель ),,,( NPX A , где
А – алгебра множеств. Пусть В – алгебра мно-
жеств, которая является расширением А.
Определение 10. Если меры P и N согласо-
ваны посредством обобщенного отрицания ,
то пару функций 11 , NP назовем согласован-
ным продолжением мер P и N из А на В, если
1P – продолжение P до меры возможности на
В, 1N – продолжение N до меры необходимо-
сти на В и, кроме того, существует продолже-
ние до обобщенного отрицания 1 на В такое,
что меры 1P и 1N – согласованы обобщенным
отрицанием 1.
Теорема 5. Пусть на алгебре множеств A
задано -аддитивную меру возможности P и
-мультипликативную меру необходимости N,
которые согласованы -обобщенным отрица-
нием . Тогда существует согласованное -ад-
дитивное продолжение мер P и N из A на -
алгебру, порожденную алгеброй A .
Доказательство. Поскольку 0 , то по
теореме 3 существует продолжение обобщен-
ного отрицания до обобщенного отрицания
* на -алгебру, порожденную алгеброй A .
Далее существование согласованного про-
должения мер P и N на -алгебру, порож-
денную алгеброй A , следует непосредственно
из леммы 4.
Теорема доказана.
Заключение. В статье изучен вопрос суще-
ствования согласованного продолжения мер
возможности и необходимости из алгебры со-
бытий на порожденную ею сигма-алгебру. До-
казано (теорема 5), что -аддитивное согласо-
ванное продолжение -аддитивных мер суще-
ствует для произвольного кардинального числа
0 .
Работа выполнена при поддержке Государ-
ственного фонда фундаментальных исследова-
ний; проект № Ф.28.1/003.
1. Пытьев Ю.П. Возможность. Элементы теории и
применение – М.: УРСС, 2000, – 190 с.
2. Бичков О.С., Колесніков К.С. Побудова (PN)-моделі
теорії можливостей // Вісник Київського університе-
ту, Сер.: фіз.-мат. науки. – 2007. – № 1. – С. 134–138.
3. Бычков А.С. Об одном развитии теории возможно-
стей // Кибернетика и системный анализ. – 2007. –
№ 5. – С. 67–72.
4. Zadeh L.A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possi-
bility // Fuzzy Sets and Systems. – 1978. – N 1. –
P. 3–28.
5. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Прило-
жения к представлению знаний в информатике. –
М.: Радио и связь, 1990. – 288 с.
Поступила 02.03.2009
Тел. для справок: (044) 259-0530, 450-3212, 463-8760, (Киев)
E-mail: bychkovtk@gmail.com; ivanov.eugen@gmail.com
© А.С. Бычков, Е.В. Иванов, 2009
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <FEFF005400610074006f0020006e006100730074006100760065006e00ed00200070006f0075017e0069006a007400650020006b0020007600790074007600e101590065006e00ed00200064006f006b0075006d0065006e0074016f002000410064006f006200650020005000440046002c0020006b00740065007200e90020007300650020006e0065006a006c00e90070006500200068006f006400ed002000700072006f0020006b00760061006c00690074006e00ed0020007400690073006b00200061002000700072006500700072006500730073002e002000200056007900740076006f01590065006e00e900200064006f006b0075006d0065006e007400790020005000440046002000620075006400650020006d006f017e006e00e90020006f007400650076015900ed007400200076002000700072006f006700720061006d0065006300680020004100630072006f00620061007400200061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000610020006e006f0076011b006a016100ed00630068002e>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/ETI <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>
/FRA <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>
/GRE <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>
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
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <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>
/RUS <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>
/SKY <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>
/SLV <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>
/SUO <FEFF004b00e40079007400e40020006e00e40069007400e4002000610073006500740075006b007300690061002c0020006b0075006e0020006c0075006f00740020006c00e400680069006e006e00e4002000760061006100740069007600610061006e0020007000610069006e006100740075006b00730065006e002000760061006c006d0069007300740065006c00750074007900f6006800f6006e00200073006f00700069007600690061002000410064006f0062006500200050004400460020002d0064006f006b0075006d0065006e007400740065006a0061002e0020004c0075006f0064007500740020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069007400200076006f0069006400610061006e0020006100760061007400610020004100630072006f0062006100740069006c006c00610020006a0061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030003a006c006c00610020006a006100200075007500640065006d006d0069006c006c0061002e>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-82771 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0130-5395 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T17:07:18Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бычков, А.С. Иванов, Е.Б. 2015-06-08T19:57:37Z 2015-06-08T19:57:37Z 2009 Существование согласованного k-аддитивного продолжения мер в теории возможностей/ А.С. Бычков, Е.Б. Иванов // Управляющие системы и машины. — 2009. — № 6. — С. 35-41. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0130-5395 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/82771 519.21, 519.713 Рассмотрено существование согласованного продолжения мер возможности и необходимости. Доказано существование продолжения обобщенного отрицания и согласованного продолжения меры возможности и необходимости с алгебры множеств на минимальную сигма-алгебру. The existence of the consistent extension of measures of the possibility and the necessity is considered. The existence of the continuation of the generalised k-additive negation and of the coordinated continuation of the measure of the possibility and necessity from the set algebra to the minimal sigma-algebra is proved. Розглянуто існування узгодженого продовження мір можливості і необхідності. Доведено існування продовження узагальненого заперечення та узгодженого продовження міри можливості і необхідності з алгебри множин на мінімальну сигмаалгебру. Работа выполнена при поддержке Государственного фонда фундаментальных исследований; проект № Ф.28.1/003. ru Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України Управляющие системы и машины Новые методы в информатике Существование согласованного k-аддитивного продолжения мер в теории возможностей Article published earlier |
| spellingShingle | Существование согласованного k-аддитивного продолжения мер в теории возможностей Бычков, А.С. Иванов, Е.Б. Новые методы в информатике |
| title | Существование согласованного k-аддитивного продолжения мер в теории возможностей |
| title_full | Существование согласованного k-аддитивного продолжения мер в теории возможностей |
| title_fullStr | Существование согласованного k-аддитивного продолжения мер в теории возможностей |
| title_full_unstemmed | Существование согласованного k-аддитивного продолжения мер в теории возможностей |
| title_short | Существование согласованного k-аддитивного продолжения мер в теории возможностей |
| title_sort | существование согласованного k-аддитивного продолжения мер в теории возможностей |
| topic | Новые методы в информатике |
| topic_facet | Новые методы в информатике |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/82771 |
| work_keys_str_mv | AT byčkovas suŝestvovaniesoglasovannogokadditivnogoprodolženiâmervteoriivozmožnostei AT ivanoveb suŝestvovaniesoglasovannogokadditivnogoprodolženiâmervteoriivozmožnostei |