Методы оценки риска в задачах выбора эффективного портфеля ценных бумаг. Принятие решений из конечного множества альтернатив
Рассмотрена задача формирования эффективного портфеля активов ценных бумаг в многокритериальной постановке и в условиях системы ограничений. Некоторые частные критерии эффективности и ограничения определены в виде вероятностей получения объемов прибыли не ниже заданного установленного уровня. Предло...
Saved in:
| Published in: | Управляющие системы и машины |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/82849 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Методы оценки риска в задачах выбора эффективного портфеля ценных бумаг. Принятие решений из конечного множества альтернатив / Ю.А. Зак // Управляющие системы и машины. — 2010. — № 4. — С. 84-92. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859654645512667136 |
|---|---|
| author | Зак, Ю.А. |
| author_facet | Зак, Ю.А. |
| citation_txt | Методы оценки риска в задачах выбора эффективного портфеля ценных бумаг. Принятие решений из конечного множества альтернатив / Ю.А. Зак // Управляющие системы и машины. — 2010. — № 4. — С. 84-92. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Управляющие системы и машины |
| description | Рассмотрена задача формирования эффективного портфеля активов ценных бумаг в многокритериальной постановке и в условиях системы ограничений. Некоторые частные критерии эффективности и ограничения определены в виде вероятностей получения объемов прибыли не ниже заданного установленного уровня. Предложены методы решения сформулированных задач в условиях выбора наиболее эффективного решения из конечного множества альтернатив.
A problem of forming an efficient portfolio of securities is considered in a multiobgective formulation and in terms of a system of constraints. Some particular performance criteria and limitations specified in the form of the probability of obtaining some capital gains are not below a specified set level. The methods for solving the formulated problems in conditions of selecting the most efficient solution from a set of alternatives are suggested.
Розглянуто задачу формування ефективного портфеля активів цінних паперів у багатокритеріальній постановці та за умов системи обмежень. Певні критерії ефективності та обмеження визначені як імовірності отримання обсягів прибутків не менше заданого встановленого рівня. Запропоновано методи розв’язання сформульованих задач в умовах вибору найбільш ефективного розв’язання з кінцевої множини альтернатив.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:38:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
84 УСиМ, 2010, № 4
Экономико-математическое моделирование
УДК 08.00.10/ 01.01.05
Ю.А. Зак
Методы оценки риска в задачах выбора эффективного портфеля ценных бумаг.
Принятие решений из конечного множества альтернатив
Рассмотрена задача формирования эффективного портфеля активов ценных бумаг в многокритериальной постановке и в усло-
виях системы ограничений. Некоторые частные критерии эффективности и ограничения определены в виде вероятностей по-
лучения объемов прибыли не ниже заданного установленного уровня. Предложены методы решения сформулированных задач
в условиях выбора наиболее эффективного решения из конечного множества альтернатив.
A problem of forming an efficient portfolio of securities is considered in a multiobgective formulation and in terms of a system of con-
straints. Some particular performance criteria and limitations specified in the form of the probability of obtaining some capital gains are
not below a specified set level. The methods for solving the formulated problems in conditions of selecting the most efficient solution
from a set of alternatives are suggested.
Розглянуто задачу формування ефективного портфеля активів цінних паперів у багатокритеріальній постановці та за умов си-
стеми обмежень. Певні критерії ефективності та обмеження визначені як імовірності отримання обсягів прибутків не менше
заданого встановленого рівня. Запропоновано методи розв’язання сформульованих задач в умовах вибору найбільш ефектив-
ного розв’язання з кінцевої множини альтернатив.
Введение. Во всех инвестиционных проектах,
например, покупке акций, никогда не существу-
ет некоторого твердо установленного (детерми-
нированного) процента ожидаемого объема при-
были по каждому из возможных источников
вложений капитала. Наряду с достаточно вы-
сокой вероятностью получения определенных
объемов прибыли E всегда существует риск ли-
бо не получить ожидаемой прибыли, либо да-
же понести определенные потери. Этот риск
связан с внешнеэкономическими и социологи-
ческими факторами, политическими события-
ми, эффективностью работы компаний, конъ-
юнктурой рынка и др. Поведение многих фак-
торов, оказывающих на это влияние, априори
неизвестны. Поэтому проценты ожидаемой при-
были или потерь по каждому из направлений
инвестиций на перспективу могут рассматри-
ваться как случайные переменные с заданными
математическими ожиданиями и моментами рас-
пределения более высоких порядков. Между
этими случайными величинами, как правило,
существуют определенные корреляционные за-
висимости, так как на результаты работы всех
Ключевые слова: эффективный портфель активов
ценных бумаг, вероятностные ограничения, многокритери-
альная оптимизация, конечное множество альтернатив.
компаний оказывают влияние общие внешне-
экономические, социологические и политичес-
кие факторы, компании зачастую связаны друг
с другом хозяйственными связями, общими ис-
точниками поставок и сбыта.
Существенно ниже вероятность того, что эко-
номические результаты работы всех (или сразу
нескольких из выбранного множества компа-
ний) будут отрицательны. Поэтому неудачное
вложение в одно из направлений инвестиций
может быть успешно компенсировано высокой
эффективностью вложения в другие направле-
ния. С целью уменьшения вероятности риска и
сокращения возможных объемов потерь эконо-
мические рекомендации и известные в литера-
туре математические модели рекомендуют фор-
мировать так называемый Portfolie – т.е. опти-
мальный портфель инвестиций (акций), а зна-
чит распределить весь свой объем инвестиций
на несколько слабо коррелированных друг с дру-
гом направлений с целью достижения желае-
мого соотношения объемов ожидаемой прибы-
ли и уровнем допускаемого риска потерь. Та-
кие подходы рассматривались многими авто-
рами (модели Markowitz, Asset Pricing Model
von Sharpe und Lintner и др.). Классическая мо-
дель формирования портфеля активов на фон-
УСиМ, 2010, № 4 85
довом рынке (модель Марковица–Тобина) сво-
дится, как известно [1, 2], к решению двухкри-
териальной оптимизационной задачи. Риск порт-
феля оценивается по известным формулам тео-
рии вероятности через вариации и ковариации
этих активов. Эффективные Portfolie должны
обеспечить максимальную величину математи-
ческого ожидания прибыли при минимуме ди-
сперсии отклонений от данного значения. Как
правило, не существует таких Portfolie, которые
при высоком математическом ожидании при-
были обеспечивают минимальные проценты
риска. Поэтому при формировании оптималь-
ных Portfolie должны использоваться опреде-
ленные схемы компромисса.
Доминирующее определение риска как дис-
персии доходности объясняется простотой это-
го измерителя и в какой-то степени традицией.
Адекватность такого измерителя риска зачас-
тую подвергается сомнению [6]. Основными из
них являются следующие:
дисперсия характеризует все отклонения
доходности от своего математического ожида-
ния, в то время как с термином «риск» для ин-
вестора связаны только неблагоприятные для
него отрицательные отклонения;
дисперсия не раскрывает распределение
(структуру) отклонений, т.е. одна ценная бума-
га с преобладанием положительных отклоне-
ний может иметь такую же дисперсию, как дру-
гая ценная бумага с преобладанием отрицатель-
ных отклонений от математического ожидания
прибыли. При этом от инвестора будет скрыт
больший риск потерь при покупке второй из
них;
значения математического ожидания и ди-
сперсии прибыли не дают инвестору полной
информации в понятных для него показателях
о распределении вероятности ожидаемых объ-
емов прибыли и возможных потерь, т.е. о сте-
пени риска при принятии решений.
В работах [3–9] рассматриваются следую-
щие альтернативные измерители риска. В ка-
честве таких показателей используются мате-
матическое ожидание величины отрицательных
отклонений, вероятность получения дохода мень-
ше ожидаемого значения, а также величины мо-
ментов отклонений более высоких порядков.
В статье предлагаются математические мо-
дели позволяющие устранить некоторые из от-
меченных выше для инвестора неопределенно-
стей. Задача формирования эффективного порт-
феля активов ценных бумаг рассматривается в
многокритериальной постановке и в условиях
системы ограничений, в которой некоторые ча-
стные критерии эффективности и ограничения
определены в виде вероятностей получения объ-
емов прибыли не ниже заданного установлен-
ного уровня и вероятностей того, что величи-
ны потерь инвестора более заданной установ-
ленной величины не превысят некоторых до-
пустимых значений лицом, принимающим ре-
шение. Предлагаются методы решения сформу-
лированных задач в условиях выбора наиболее
эффективного решения из конечного множе-
ства альтернатив. Предлагаемые математиче-
ские модели и алгоритмы иллюстрируются чи-
словым примером.
Постановка и математическая модель за-
дачи
Рассмотрим задачу в более формальной по-
становке.
Весь объем инвестиций A может быть рас-
пределен по K направлениям (источникам фи-
нансирования). Пусть k – доля общего объе-
ма, направленная в k-й источник вложения ак-
тивов, где
1
1
K
k
k
, 0 1k , Kk ,..,1 . (1)
Тогда объем инвестиций, предлагаемый в k-е
направление, равен Ak = k A.
Для каждого направления известны km – ма-
тематическое ожидание объема возможной при-
были на единицу вложенного капитала, 2
k kV –
дисперсия доли ожидаемой прибыли.
Пусть также известны коэффициенты кор-
реляции случайных величин 0 1kl , где
2 2,kk k ll l , , 1,.., .k l K
При данном распределении инвестиций ма-
тематического ожидания дисперсия возможной
86 УСиМ, 2010, № 4
прибыли сформированного Portfolie определя-
ется выражением
K
k
kk AmEM
1
)( , (2)
2
1 1
( ) ( )
K K
k l kl k l
k l
E V E A A
. (3)
На рисунке показано множество возможных
Portfolie в система координат 2( ) ( )V E E и
)(EM (кривая CDEFP ). Точка C – определяет
план инвестиций с минимальной долей риска,
точка F – Portfolie с максимальным математи-
ческим ожиданием возможной прибыли, одна-
ко риск при этом максимален. Кривая CDEF –
это множество эффективных Portfolie – неко-
торый аналог множества Парето, т.е. для лю-
бой точки этой кривой увеличение математи-
ческого ожидания объема полученной прибы-
ли может быть достигнуто увеличением доли
риска получения потерь. Область простран-
ства, лежащая ниже кривой CDEF , не пред-
ставляет особого интереса. Это связано с тем,
что для любой из точек этой области сущест-
вуют решения, позволяющие либо увеличить ма-
тематическое ожидание объема полученной при-
были при данном или даже меньшем уровне
риска, либо сократить риск (дисперсию) при
том же или более высоком уровне ожидаемой
прибыли.
V(E)
M(E)
C
D
E
F
P
All PortfolieAll Portfolie
D
C
P
F
E
M(E)
V(E)
Множество всех возможных Portfolie
Представляют интерес также моменты бо-
лее высоких порядков случайной величины сум-
марного объема ожидаемой прибыли, опреде-
ляемого Portfolie,
3
3
( )
( )
( )
E M E
S E M
E
, (4)
который выявляет характер отклонений от ма-
тематического ожидания. Если S(E) > 0, то в
распределении преобладают отклонения вверх
от величины M (E), если S(E) < 0, то преобла-
дают отклонения вниз от математического ожи-
дания, S(E) = 0 – распределение симметрично.
Наличие больших отклонений от величины
математического ожидания (как вверх, так и
вниз, если они намного существеннее, чем сла-
бые отклонения) характеризуется четвертым мо-
ментом распределения
4
4
( )
( )
( )
E M E
R E M
E
. (5)
Для нормального распределения R(E) = 3,
при R(E) > 3 существует большая вероятность
значительных по величине отклонений.
В строгой многокритериальной постановке
задача выбора оптимального Portfolie представ-
ляется в виде:
1
1
,..., ,...,
1
max
k K
K
k k
k
F A m
, (6)
1
2
2 ,..., ,...,
1
min
k K
K
k k l l kl
k
F A
. (7)
В большинстве публикаций и в практичес-
ких приложениях решение задачи осуществля-
ется с помощью линейной свертки критериев
1
3
,..., ,...,
1
2
1
max
,
k K
K
k k
k
K
k k l l kl
k
F A m
A
(8)
где 0, 2 0,3 – некоторый весовой коэффи-
циент.
Для лица, принимающего решение, в ряде
случаев значение дисперсии распределения объ-
ема ожидаемой прибыли недостаточно ясно рас-
крывает картину степени его возможного рис-
ка. Было бы понятнее, если бы риск инвести-
ций был проиллюстрирован некоторой систе-
мой вероятностных показателей типа
УСиМ, 2010, № 4 87
qBEp , 1,...,n , (9)
gDEp , 1,...,v . (10)
Таким образом, вероятность того, что поте-
ри будут не выше некоторой заранее установ-
ленной величины B, должны быть больше зна-
чения q, а вероятности того, что прибыль бу-
дет больше или равна некоторой установлен-
ной величины D, должна быть не меньше зна-
чения g.
Для конкретных значений распределения
инвестиций, т.е. для выбранных значений k,
k = 1, , K, значения вероятностей p{E B} и
p{E D} определяются методами имитацион-
ного моделирования. Если существует несколь-
ко относительно независимых друг от друга ис-
точников инвестирования, случайные величи-
ны показателей которых слабо коррелированы,
то, в соответствии с предельной теоремой тео-
рии вероятностей, с достаточной степенью точ-
ности закон распределения суммы прибылей
от нескольких источников финансирования мо-
жет быть аппроксимирован нормальным зако-
ном распределения с математическим ожидани-
ем и дисперсией, определяемыми выражения-
ми (2) и (3). Значения вероятностей p{E B} и
p{E D} в этом случае могут быть легко вы-
числены для любых значений k, определяе-
мых выражением (1).
Следовательно, в качестве альтернативной
постановки задачи выбора оптимального Port-
folie распределения объема инвестиций может
быть предложена математическая модель мно-
гокритериальной оптимизации вида
1 2
1
, ,..., ,..., 1
[ ]max
k K
K
k k
k
m A
; (11)
1 2
2
, ,..., ,..., 1 1
[ ][ ]min
k K
K K
k l kl k l
k l
A A
; (12)
1 2
3 1 2, ,..., ,...,
min , ,..., ,..., ,
k K
k Kp E B
1,...,n ; (14)
1 2
4 1 2
, ,..., ,...,
( , ,..., ,..., )max
k K
w k Kp E D
,
1,...,v . (15)
Для фиксированных значений вероятностей t,
t = 1, , T, и w, w = 1, , W, обеспечить
1 2
5 1 2
, ,..., ,...,
: ( , ,..., ,..., )max
k K
t t k K t tB p E B
,
t = 1, , T; (16)
1 2
6 1 2
, ,..., ,...,
: ( , ,..., ,..., )max
k K
w w k K w wD p E D
,
w = 1, , W. (17)
Таким образом, критерии 5t, t = 1, , T, ми-
нимизируют значение потерь или невысоких по-
казателей достигаемой прибыли, которые при
формируемом Portfolie могут наступить с ве-
роятностью, не выше заданной t, а 6w, w =
= 1, , W, – максимизируют пороговое значе-
ние прибыли, получение которой гарантирует-
ся с вероятностью не ниже заданной w.
Задача выбора оптимального портфеля ин-
вестиций может быть сформулирована также в
виде многокритериальной задачи в условиях си-
стемы вероятностных ограничений, устанавли-
вающих более жесткие требования на кривую
распределения объема ожидаемой прибыли.
В качестве схемы компромисса решения
сформулированной многокритериальной зада-
чи о формировании оптимального Portfolie рас-
смотрим математическую модель с двумя кри-
териями оптимальности (2) и (3), наложив на
остальные показатели некоторые пороговые ог-
раничения вида
1
1 2( , ,..., ,..., )k Kp E D P ,
= 1, , v; (18)
2
1 2( , ,..., ,..., )k Kp E B P
= 1, , n; (19)
1 3
1 2: ( , ,..., ,..., )w w k K w wD S p E D P ,
w = 1, , W; (20)
2 4
1 2: ( , ,..., ,..., )t t k K t tB S p E B P ,
t = 1, , T. (21)
Применяя линейную свертку критериев (2)
и (3) в виде (8), приходим к решению задачи
многоэкстремальной математического програм-
мирования относительно переменных 0 k 1,
k = 1, , K, в условиях ограничений (1), (18)–
(21).
88 УСиМ, 2010, № 4
Выбор наиболее эффективного решения из
конечного множества альтернатив
Рассматриваются методы решения задачи
(1)–(4) в условиях, когда выбор необходимо
осуществить из конечного числа Rl, l = 1, , L,
альтернатив.
Отсев неперспективных альтернатив
Для каждой из альтернатив определим зна-
чения левых частей ограничений (18)–(21), ко-
торые для дальнейшего упрощения изложения
обозначим ili vRXf )|( , i = 1, , m, и всех рас-
сматриваемых локальных критериев эффектив-
ности (11)–(17) –
1 2( | ) ( , ,...., ,...., | )s l s k K lA R R ,
s = 1, , S, l = 1, , L.
Среди всего множества рассматриваемых
альтернатив Rl, l = 1, , L, оставляем только
такие l = 1, , L1 L, которые удовлетворяют
всем ограничениям задачи (18)–(21). Обозна-
чим подмножество допустимых и рассматри-
ваемых в дальнейшем альтернатив .
Без ограничения общности можно рас-
сматривать все локальные критерии эффектив-
ности как максимизирующие критерии, т.е.
1 2( , ,...., ,..., ) maxs k K , Ss ,...1 .
При этом выражения для минимизирующих
критериев рассматриваются со знаком « – ».
Правило доминирования 1
Если для двух альтернатив Al и Aq справед-
ливы условия
( | ) ( | )s l s qA R A R , Ss ,...1 , l , q ,
то альтернатива Al ≻ Aq, т.е альтернатива Al
доминирует над альтернативой Aq и альтерна-
тива Aq может быть отброшена как неперспек-
тивная.
Оставшееся после исключения из рассмотре-
ния подмножество альтернатив ~ и состав-
ляет множество Парето. Среди этого подмноже-
ства альтернатив и проводится в дальнейшем
поиск наиболее эффективной альтернативы.
Правило доминирования 2
Если найдется некоторая альтернатива R ,
что для всех остальных qR , q , выполня-
ются условия
( | ) ( | )s s qA R A R , Ss ,...1 ,
то получено решение задачи и R является ре-
шением задачи, т.е. наиболее эффективной из
всего множества альтернатив.
В противном случае среди допустимого под-
множества альтернатив ~ , образующих мно-
жество Парето, находится наиболее эффектив-
ная, которая обеспечивает максимальное зна-
чение некоторого компромиссного критерия оп-
тимальности, учитывающего предпочтения ин-
вестора среди множества рассматриваемых ло-
кальных критериев.
Введение комплексного критерия эффек-
тивности и наиболее эффективной альтер-
нативы
Для формирования компромиссного крите-
рия эффективности в виде линейной свертки
локальных критериев выполняем следующий
объем вычислений:
Среди подмножества допустимых альтер-
натив определим
21 ,
( ) max ( | )s s l
l L
l
A A R
,
21 ,
( ) min ( | )s s ll L
l
A A R
,
s = 1, , S.
Здесь L2 – количество альтернатив в под-
множестве ~ .
Выполним нормировку локальных крите-
риев оптимальности каждой из допустимых
альтернатив, например, в соответствии с вы-
ражениями
( | ) ( )
( | )
( ) ( )
s l s
s l
s s
A R A
A R
A A
, ~
l , Ss ,...1 .
При таком виде нормировки значения
( | )s lA R для всех альтернатив лежат в пределах
0 ( | ) 1.0s lA R .
Значение обобщенного компромиссного кри-
терия эффективности выбираем в виде линей-
ной свертки локальных нормированных крите-
риев в виде
1
( | ) ( | )
S
l s s l
s
F A R A R
,
где 0 1s , Ss ,...1 ,
1
1
S
s
s
, – весовые ко-
эффициенты, значение которых выбирает ин-
УСиМ, 2010, № 4 89
вестор и эксперты на основе предпочтений кон-
кретной прикладной задачи.
Для каждой альтернативы вычисляется зна-
чение выбранного компромиссного критерия
эффективности )|( lRAF . В качестве наиболее
эффективной альтернативы выбирается такая,
значение компромиссного критерия эффектив-
ности для которой достигает максимального
значения
1
max ( | ) max ( | )
S
l s s l
l l
s
F A R A R
.
Выбор эффективного решения сформулиро-
ванных задач может осуществляться как из ко-
нечного множества альтернатив, так и как ре-
зультат решения многоэкстремальной задачи
математического программирования, в кото-
рой вектор переменных задачи может прини-
мать как конечное множество, так и бесконечноe
множество значений, принадлежащих n-мер-
ному параллелепипеду 0 1k , Kk ,..,1 .
Иллюстративный пример
Рассмотрим следующую постановку задачи
оптимального распределения денежных средств
в различные проекты с целью получения через
определенный период времени наилучшего по-
казателя эффективности, которая по своей ма-
тематической формулировке несколько отли-
чается от рассматриваемых в литературе по-
становок задач Portfolie или Risikomanagement.
Инвестор может вложить в сумме А = 1 млн €
в каждый из четырех проектов. Первый проект –
это срочный вклад денежных средств в банк с
гарантированной прибылью g1 = 5%, p1 = 1,0,
от вложенных средств в год. Проекты 2–4 свя-
заны с некоторым риском потерь вложенных
средств, но могут принести значительно боль-
ший процент прибыли. Возможные доли при-
были по второму проекту и вероятности их по-
лучения сведены в табл. 1.
Возможные доли прибыли по проектам 3 и
4 приведены в табл. 2.
Вероятности различных исходов по проек-
там 3 и 4 взаимозависимы и представлены двух-
мерным дискретным распределением вероят-
ностей, приведенным в табл. 3.
Выбор требуется осуществить из 12-ти воз-
можных альтернатив Rl, l = 1, , 12, lR вложе-
ния средств в различные проекты, показатели
которых сведены в табл. 4.
В качестве ограничений приемлемости аль-
тернатив рассматриваются следующие.
Вероятность того, что объем прибыли будет
больше или равен 50000 €, должна быть не мень-
ше 0,65, и вероятность того, что будет отрица-
тельная прибыль, т.е. убытки, должна быть мень-
ше или равна 0,1. Значит
1( ) : {( | ) 50000} 0,65l lR p E R ,
2 ( ) : {( | ) 0} 0,1l lR p E R , 12,...,1l .
В качестве частных критериев эффективности
рассматриваются следующие три показателя:
– максимум математического ожидания по-
лучения прибыли
)|(max)|(
121
1 l
l
REmREf
;
– максимальное значение вероятности того,
что объем прибыли будет больше или равен
80 тыс. €,
}80000)|{(max)|(
121
2
l
l
REpREf ;
– минимальное значение вероятности того,
что вложение средств в проекты принесет убыт-
ки (отрицательное значение прибыли),
}0)|{(min)|(
121
3
l
l
REpREf .
Значение комплексного компромиссного кри-
терия эффективности определим в виде
1 1
1 12
2 2 3 3
( | ) max[ ( | )
( | ) ( | )].
s
s
s s
F E R E R
E R E R
В качестве примера в приложении 1 приведе-
ны расчетные формулы вычисления всех веро-
ятностных показателей для 1-й альтернативы.
Математическое ожидание полученной при-
были для альтернативы 1 определяется выра-
жением
7
1 2
1 1 1 2 2
15 6
3 4
1 3 1 4 34
1 1
{ | }
( ) 63230.i j ij
i j
m E R A A g p
A g A g p
90 УСиМ, 2010, № 4
Значения всех показателей, определяющих
правые части ограничений, и частных крите-
риев эффективности для каждой из альтерна-
тив, сведены в табл. 5.
Альтернативы 2 (так как 2{( | ) 50000}p E R
0,6385 0,65 ), 4 (так как 4{( | ) 50000}p E R
0,6378 0,65 ), 6 (так как 6{( | ) 0}p E R
0,15 0,1 ), 9 (так как 9{( | ) 0} 0,1095p E R
0,1 ) и 12 (так как 12{( | ) 0} 0,15 0,1p E R )
исключаются из дальнейшего рассмотрения как
неудовлетворяющие системе предусмотренных
ограничений.
В результате попарного сравнения оставших-
ся альтернатив приходим к следующим заключе-
ниям:
◊ сравнивая значения частных критериев эф-
фективности 5-й и 8-й альтернативы, так как
0,06 < 0,0735, 0,4177 > 0,2816, 66600 > 61720 и,
следовательно, альтернатива 5 превосходит аль-
тернативу 8 по всем показателям, альтернатива
8 может быть отброшена как неперспективная;
◊ аналогично при сравнении альтернатив 5
и 10 – 0,06 < 0,09, 0,4177 > 0,4, 66600 > 64660 и
альтернатива 10 может быть отброшена как
неперспективная;
Т а б л и ц а 1. Возможные доли прибыли по второму проекту и вероятности их получения
Возможные варианты получения прибыли или потерь
(в долях от объемов вложенных в проект средств) при вложении денежных средств во 2-й проект
Варианты 1 2 3 4 5 6 7
Доля прибыли (потерь) 1
2g =–0,05 2
2g =–0,03 1
23g = 0,01 4
2g = 0,05 5
2g = 0,08 6
2g = 0,1 7
2g = 0,15
Вероятность 1
2p =0,06 2
2p = 0,09 3
2p = 0,12 4
2p = 0,13 5
2p = 0,2 6
2p = 0,2 7
2p = 0,15
Т а б л и ц а 2. Возможные доли прибыли по проектам 3 и 4
Проекты Ожидаемые объемы прибыли или убытков (в долях от объемов вложенных в проект средств)
3 1
3g =–0,05 2
3g =
0,01 3
3g =
0,05 4
3g =
0,08 5
3g =
0,12 6
3g =
0,16
4 1
4g =–0,06 2
4g =
0,02 3
4g =0,06 4
4g =
0,12 5
4g =
0,18 –
Т а б л и ц а 3. Вероятности различных исходов по проектам 3 и 4
Двухмерное распределение вероятностей различных исходов
по 3-му и 4-му проекту вложений денежных средств
Проекты вло-
жений денеж-
ных средств 1
(–0,05*A)
2
(0,01*A)
3
(0,05*A)
4
(0,08*A)
5
(0,12*A)
6
(0,18*A)
1 (–0,6*A) 11
34p =
0,03 12
34p =
0,04 13
34p =
0,02 14
34p =
0,03 15
34p =
0,02 16
34p =
0,01
2 (0,2*A) 21
34p =
0,04 22
34p =
0,04 23
34p =
0,03 24
34p =
0,02 25
34p =
0,04 26
34p =
0,03
3 (0,6*A) 31
34p =
0,05 32
34p =
0,03 33
34p =
0,04 34
34p =
0,02 35
34p =
0,06 36
34p =
0,05
4 (0,12*A) 41
34p =
0,02 42
34p =
0,03 43
34p =
0,03 44
34p =
0,05 45
34p =
0,04 46
34p =
0,06
5 (0,18*A) 51
34p =
0,01 52
34p =
0,02 53
34p =
0,03 54
34p =
0,03 55
34p =
0,03 56
34p =
0,05
Т а б л и ц а 4. Альтернативы вложений средств в различные проекты
Объемы вложений в различные проекты (в €) Альтернативы
вложений в проекты 1 2 3 4
1 200000 500000 100000 200000
2 300000 200000 400000 100000
3 400000 300000 100000 200000
4 100000 400000 250000 250000
5 – 600000 100000 300000
6 400000 600000 – –
7 250000 250000 250000 250000
8 300000 400000 300000 –
9 100000 600000 200000 100000
10 200000 – 500000 300000
11 100000 500000 – 400000
12 – 900000 100000
УСиМ, 2010, № 4 91
◊ аналогично при сравнении альтернатив 5
и 11 – 0,06 < 0,0705, 0,4177 > 0,2985, 66600 >
> 65030 и альтернатива 11 может быть отбро-
шена как неперспективная.
Для дальнейшего рассмотрения остаются 4
следующие альтернативы: 1, 3, 5, 7; значения
частных критериев эффективности сведены в
табл. 6.
Нормировку частных критериев эффектив-
ности выполним в соответствии с выражениями
{1,3,5,7}
( | ) min ( | )i s i s
s
E R E R
{1,3,5,7}{1,3,5,7}
( | )
,
max ( | ) min ( | )
i s
i s i s
ss
E R
E R E R
3,2,1i ; 7,5,3,1s .
Нормированные значения частных критери-
ев эффективности перспективных альтернатив
и значения их комплексных показателей эф-
фективности, вычисленные по формуле
1 2
3
( | ) 0,5 ( | ) 0,15 ( | )
0,35 ( | ), 1, 3, 5, 7,
s s s
s
F E R E R E R
E R s
сведены в табл. 7.
Как показали результаты расчетов, наиболее
предпочтительной оказалась 5-я альтернатива,
которая, хотя и связана с наибольшим риском
получения убытков, по комплексному показа-
телю эффективности существенно превосхо-
дит все остальные альтернативы.
Заключение. При формировании эффектив-
ного портфеля активов ценных бумаг для лица,
принимающего решение, в ряде случаев значе-
ние дисперсии распределения объема ожидае-
мой прибыли недостаточно ясно раскрывает кар-
тину степени его возможного риска. Формули-
руемые в работе система ограничений и ло-
кальных критериев эффективности в виде ве-
роятностей получения объемов прибыли (не
ниже заданного установленного уровня) и ве-
роятности потерь (не более заданной установ-
Т а б л и ц а 5. Показатели эффективности по каждой из альтернатив
Показатели эффективности по каждой из альтернатив Альтернативы
вложений в проекты {( | ) 50000}sp E R {( | ) 0}sp E R {( | ) 80000}sp E R {( | }sm E R
1 0,67 0,0534 0,3535 63230
2 0,6385 0,0339 0,3395 62220
3 0,6579 0,0069 0,3125 60150
4 0,6378 0,0339 0,3518 65350
5 0,6596 0,06 0,3518 66600
6 0,73 0,15 0,4 59300
7 0,6682 0,0213 0,2576 63025
8 0,687 0,0735 0,2816 61720
9 0,6605 0,105795 0,3959 64800
10 0,82 0,09 0,4 64660
11 0,6825 0,0705 0,2985 65030
12 0,6897 0,15 0,508 65790
Т а б л и ц а 6. Значения частных критериев эффективности перспективных альтернатив
Значения частных критериев эффективности №
п.п.
№ альтернативы
{( | }sm E R {( | ) 80000}sp E R {( | ) 0}sp E R
1 1 63220 0,3535 0,0534
2 3 62220 0,3395 0,0339
3 5 66600 0,4177 0,06
4 7 63025 0,2576 0,0213
Т а б л и ц а 7. Значения комплексных показателей эффективности перспективных альтернатив
Нормированные значения частных критериев эффективности №
п.п
№ альтернативы
{( | }sm E R 80000p G {( | ) 0}sp E R
Значения комплексных
показателей эффективности
1 1 0,2283 0,599 0,823 –0,08405
2 3 0 0,5116 0,3256 –0,3792
3 5 1,0 1,0 1,0 +0,3
4 7 0,183 0 0 –0,09195
92 УСиМ, 2010, № 4
ленной инвестором величины) позволяют бо-
лее объективно оценить эффективность прини-
маемого инвестором решения. Предложены ме-
тоды решения сформулированных многоэкс-
тремальных задач в условиях выбора наиболее
эффективного решения из конечного множест-
ва альтернатив. Разработанные математические
модели и алгоритмы проиллюстрированы чи-
словым примером.
Приложение 1
Расчетные формулы вычисления вероятностных по-
казателей для 1-й альтернативы.
1
3 36
1 1 2 34 1 2 34
6
45 46 55 56 4 15 16 2
34 34 34 34 2 34 34 34
4
6 6 6 6
3 4 5 5 1
34 34 34 2 34
3 2 2 3
6 6 6 6
2 3 4 5
34 34 34 34
2 2 1 1
{( | ) 50000} [ (
) (
) (
)
k ij
j
j
j j j j
j j j j
j j j j
j j j j
p E R p p p p p p
p p p p p p p p
p p p p p
p p p p
6 5 6 5 6
6 1 7
2 34 34 2 34
2 2 1 2 1
( ) ] 0,67,j ij ij
j i j i j
p p p p p
т.е.
1
3 36
1 1 2 34 1 2 34
45 46 55 56 4 15 16 24
34 34 34 34 2 34 34 34
25 26 33 35 36 42 43 44
34 34 34 34 34 34 34 34
45 46 52 53 54 55 56
34 34 34 34 34 34 34
{( | ) 50000} [ (
) (
)] 0,67,
k ijp E R p p p p p p
p p p p p p p p
p p p p p p p p
p p p p p p p
где
1 1 2 34
1
1 1 2 2 3 3 4 4
:{ ; , 1,2,..,7; , 1,2,..,5,
1,2,..,6 |( ) 50000};
ij
k k i i j j
p p p i j
A g A g A g A g
;
2
1 11 12 13
1 1 2 34 1 2 34 34 34
14 21 22 23 31 32 41 42 51
34 34 34 34 34 34 34 34 34
2 11 12 14 21 31 3 11
2 34 34 34 34 34 2 34
{( | ) 0} [ (
)
( ) ] 0,0534,
k ijp E R p p p p p p p p
p p p p p p p p p
p p p p p p p p
где
2 1 2 34
1
1 1 2 2 3 3 4 4
:{ ; , 1,2,..,7; , 1, 2,..,5,
1, 2,..,6 |( ) 0};
ij
k k i i j j
p p p i j
A g A g A g A g
;
3
4 56
1 1 2 34 1 2 34
5 15 26 35 36 45 46 54 56
2 34 34 34 34 34 34 34 34
6 16 25 26 34 35 36 44 45
2 34 34 34 34 34 34 34 34
6 6 5 6
46 7 1 2
34 2 34 34 34
2 2 3 1
{( | ) 80000} [
( )
(
) ( ]
k ij
j j ij
j j i j
p E R p p p p p p
p p p p p p p p p
p p p p p p p p p
p p p p p
0,3535,
где
3 1 2 34
1
1 1 2 2 3 3 4 4
:{ ; , 1, 2,..,7; , 1, 2,..,5,
1, 2,..,6 |( ) 80000}.
ij
k k i i j j
p p p i j
A g A g A g A g
1. Markowitz H.M. Portfolio Selection // The Journal of
Finance. – 1952. – 7 (1). – P. 77–91.
2. Markowitz H.M. The Elimination Form of the Inverse
and Its Application to Linear Programming // Mana-
gement Science. – 1957.– 3 (3). –P. 255–269.
3. Markowitz H.M., E. van Dijk. Single-Period Mean-Vari-
ance Analysis in a Changing World // Financial Ana-
lysts J. – 2003. – 59 (2). – P. 30–44.
4. Markowitz, H.M. Market Efficiency: A Theoretical Di-
stinction and So What? // Ibid. – 2005. – 61 (5). – P. 17–30.
5. Huang Chi-Fu. Foundations for Financial Economics
// Elsevier Sci. Publ. Co. – 1988. – 276 p.
6. Шведов А.С. Теория эффективных портфелей цен-
ных бумаг. – М.: Изд-во ГУ ВШЭ, 1999. – 451 с.
7. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый
рынок: расчет и риск. – М.: Инфра-М, 1994. – ХХ с.
8. Уильям Ф. Шарп, Гордон Дж. Александер, Джеф-
фри В. Бейли. Инвестиции. – 1887. – Там же, 1997. –
217 с.
9. Ковалев В.В. Введение в финансовый менеджмент. –
М.: Финансы и статистика, 2003. – 768 с.
Поступила 12..03.2010
Тел. для справок: +49/(0)241-543255 (Aachen, Deutschland)
E-mail: yuriy_zack@hotmail.com
Сайт: www.optimorum.de
© Ю.А. Зак, 2010
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/ETI <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>
/FRA <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>
/GRE <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>
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
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA <FEFF005500740069006c0069007a007a006100720065002000710075006500730074006500200069006d0070006f007300740061007a0069006f006e00690020007000650072002000630072006500610072006500200064006f00630075006d0065006e00740069002000410064006f00620065002000500044004600200070006900f900200061006400610074007400690020006100200075006e00610020007000720065007300740061006d0070006100200064006900200061006c007400610020007100750061006c0069007400e0002e0020004900200064006f00630075006d0065006e007400690020005000440046002000630072006500610074006900200070006f00730073006f006e006f0020006500730073006500720065002000610070006500720074006900200063006f006e0020004100630072006f00620061007400200065002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200065002000760065007200730069006f006e006900200073007500630063006500730073006900760065002e>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <FEFF004200720075006b00200064006900730073006500200069006e006e007300740069006c006c0069006e00670065006e0065002000740069006c002000e50020006f0070007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065007200200073006f006d00200065007200200062006500730074002000650067006e0065007400200066006f00720020006600f80072007400720079006b006b0073007500740073006b00720069006600740020006100760020006800f800790020006b00760061006c0069007400650074002e0020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065006e00650020006b0061006e002000e50070006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c00650072002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200065006c006c00650072002000730065006e006500720065002e>
/POL <FEFF0055007300740061007700690065006e0069006100200064006f002000740077006f0072007a0065006e0069006100200064006f006b0075006d0065006e007400f300770020005000440046002000700072007a0065007a006e00610063007a006f006e00790063006800200064006f002000770079006400720075006b00f30077002000770020007700790073006f006b00690065006a0020006a0061006b006f015b00630069002e002000200044006f006b0075006d0065006e0074007900200050004400460020006d006f017c006e00610020006f007400770069006500720061010700200077002000700072006f006700720061006d006900650020004100630072006f00620061007400200069002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000690020006e006f00770073007a0079006d002e>
/PTB <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>
/RUM <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>
/RUS <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>
/SKY <FEFF0054006900650074006f0020006e006100730074006100760065006e0069006100200070006f0075017e0069007400650020006e00610020007600790074007600e100720061006e0069006500200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002000410064006f006200650020005000440046002c0020006b0074006f007200e90020007300610020006e0061006a006c0065007001610069006500200068006f0064006900610020006e00610020006b00760061006c00690074006e00fa00200074006c0061010d00200061002000700072006500700072006500730073002e00200056007900740076006f00720065006e00e900200064006f006b0075006d0065006e007400790020005000440046002000620075006400650020006d006f017e006e00e90020006f00740076006f00720069016500200076002000700072006f006700720061006d006f006300680020004100630072006f00620061007400200061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000610020006e006f0076016100ed00630068002e>
/SLV <FEFF005400650020006e006100730074006100760069007400760065002000750070006f0072006100620069007400650020007a00610020007500730074007600610072006a0061006e006a006500200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002000410064006f006200650020005000440046002c0020006b006900200073006f0020006e0061006a007000720069006d00650072006e0065006a016100690020007a00610020006b0061006b006f0076006f00730074006e006f0020007400690073006b0061006e006a00650020007300200070007200690070007200610076006f0020006e00610020007400690073006b002e00200020005500730074007600610072006a0065006e006500200064006f006b0075006d0065006e0074006500200050004400460020006a00650020006d006f0067006f010d00650020006f0064007000720065007400690020007a0020004100630072006f00620061007400200069006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200069006e0020006e006f00760065006a01610069006d002e>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-82849 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0130-5395 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:38:16Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Зак, Ю.А. 2015-06-10T17:53:48Z 2015-06-10T17:53:48Z 2010 Методы оценки риска в задачах выбора эффективного портфеля ценных бумаг. Принятие решений из конечного множества альтернатив / Ю.А. Зак // Управляющие системы и машины. — 2010. — № 4. — С. 84-92. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0130-5395 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/82849 08.00.10/ 01.01.05 Рассмотрена задача формирования эффективного портфеля активов ценных бумаг в многокритериальной постановке и в условиях системы ограничений. Некоторые частные критерии эффективности и ограничения определены в виде вероятностей получения объемов прибыли не ниже заданного установленного уровня. Предложены методы решения сформулированных задач в условиях выбора наиболее эффективного решения из конечного множества альтернатив. A problem of forming an efficient portfolio of securities is considered in a multiobgective formulation and in terms of a system of constraints. Some particular performance criteria and limitations specified in the form of the probability of obtaining some capital gains are not below a specified set level. The methods for solving the formulated problems in conditions of selecting the most efficient solution from a set of alternatives are suggested. Розглянуто задачу формування ефективного портфеля активів цінних паперів у багатокритеріальній постановці та за умов системи обмежень. Певні критерії ефективності та обмеження визначені як імовірності отримання обсягів прибутків не менше заданого встановленого рівня. Запропоновано методи розв’язання сформульованих задач в умовах вибору найбільш ефективного розв’язання з кінцевої множини альтернатив. ru Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України Управляющие системы и машины Экономико-математическое моделирование Методы оценки риска в задачах выбора эффективного портфеля ценных бумаг. Принятие решений из конечного множества альтернатив The Methods of Risk Assessment in the Tasks of the Selection of the Efficient Portfolio Securities and the Decision-Making of End Set of Alternatives Методи оцінки ризику в задачах вибору ефективного портфеля цінних паперів. Прийняття рішень з кінцевої множини альтернатив Article published earlier |
| spellingShingle | Методы оценки риска в задачах выбора эффективного портфеля ценных бумаг. Принятие решений из конечного множества альтернатив Зак, Ю.А. Экономико-математическое моделирование |
| title | Методы оценки риска в задачах выбора эффективного портфеля ценных бумаг. Принятие решений из конечного множества альтернатив |
| title_alt | The Methods of Risk Assessment in the Tasks of the Selection of the Efficient Portfolio Securities and the Decision-Making of End Set of Alternatives Методи оцінки ризику в задачах вибору ефективного портфеля цінних паперів. Прийняття рішень з кінцевої множини альтернатив |
| title_full | Методы оценки риска в задачах выбора эффективного портфеля ценных бумаг. Принятие решений из конечного множества альтернатив |
| title_fullStr | Методы оценки риска в задачах выбора эффективного портфеля ценных бумаг. Принятие решений из конечного множества альтернатив |
| title_full_unstemmed | Методы оценки риска в задачах выбора эффективного портфеля ценных бумаг. Принятие решений из конечного множества альтернатив |
| title_short | Методы оценки риска в задачах выбора эффективного портфеля ценных бумаг. Принятие решений из конечного множества альтернатив |
| title_sort | методы оценки риска в задачах выбора эффективного портфеля ценных бумаг. принятие решений из конечного множества альтернатив |
| topic | Экономико-математическое моделирование |
| topic_facet | Экономико-математическое моделирование |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/82849 |
| work_keys_str_mv | AT zakûa metodyocenkiriskavzadačahvyboraéffektivnogoportfelâcennyhbumagprinâtierešeniiizkonečnogomnožestvaalʹternativ AT zakûa themethodsofriskassessmentinthetasksoftheselectionoftheefficientportfoliosecuritiesandthedecisionmakingofendsetofalternatives AT zakûa metodiocínkirizikuvzadačahviboruefektivnogoportfelâcínnihpaperívpriinâttâríšenʹzkíncevoímnožinialʹternativ |