Розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень

Рассмотрены аппаратные и программные средства для решения задач с повышенной точностью вычислений. Разработано устройство с поддержкой 128-битной арифметики с плавающей точкой, позволяющее решать плохо обусловленные системы линейных алгебраических уравнений. Hardware and software means for solving t...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Управляющие системы и машины
Дата:	2011
Автори:	Опанасенко, В.М., Хіміч, О.М., Лісовий, О.М., Чистякова, Т.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України 2011
Теми:	Новые методы в информатике
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/82905
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень / В.М. Опанасенко, О.М. Хіміч, О.М. Лісовий, Т.В. Чистякова // Управляющие системы и машины. — 2011. — № 1. — С. 9-18. — Бібліогр.: 8 назв. — укр., рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860096581486772224
author	Опанасенко, В.М. Хіміч, О.М. Лісовий, О.М. Чистякова, Т.В.
author_facet	Опанасенко, В.М. Хіміч, О.М. Лісовий, О.М. Чистякова, Т.В.
citation_txt	Розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень / В.М. Опанасенко, О.М. Хіміч, О.М. Лісовий, Т.В. Чистякова // Управляющие системы и машины. — 2011. — № 1. — С. 9-18. — Бібліогр.: 8 назв. — укр., рос.
collection	DSpace DC
container_title	Управляющие системы и машины
description	Рассмотрены аппаратные и программные средства для решения задач с повышенной точностью вычислений. Разработано устройство с поддержкой 128-битной арифметики с плавающей точкой, позволяющее решать плохо обусловленные системы линейных алгебраических уравнений. Hardware and software means for solving the tasks with the increased precision are considered. A computing device with support of 128-bit arithmetic’s with a floating point is developed which makes it possible to solve ill-conditioned systems of linear algebraic equations. Розглянуто апаратні та програмні засоби для розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень. Розроблено пристрій з підтримкою 128-бітної арифметики з плаваючою точкою, який дає можливість розв’язувати погано обумовлені системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
first_indexed	2025-12-07T17:26:16Z
format	Article
fulltext	УСиМ, 2011, № 1 9 Новые методы в информатике УДК 004.31 В.М. Опанасенко, О.М. Хіміч, О.М. Лісовий, Т.В. Чистякова Розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень Рассмотрены аппаратные и программные средства для решения задач с повышенной точностью вычислений. Разработано уст- ройство с поддержкой 128-битной арифметики с плавающей точкой, позволяющее решать плохо обусловленные системы ли- нейных алгебраических уравнений. Hardware and software means for solving the tasks with the increased precision are considered. A computing device with support of 128-bit arithmetic’s with a floating point is developed which makes it possible to solve ill-conditioned systems of linear algebraic equations. Розглянуто апаратні та програмні засоби для розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень. Розроблено пристрій з під- тримкою 128-бітної арифметики з плаваючою точкою, який дає можливість розв’язувати погано обумовлені системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Актуальність використання засобів з під- вищеною точністю обчислень Однією із задач, яка набула актуальності з середини минулого століття є забезпечення достатньої точності обчислень на комп’ютері. Розв’язанням цієї задачі було збільшення роз- рядності даних. В процесорах серії Ельбрус було закладено підтримку 128-бітної арифметики. У компанії IBM дослідження підтримки арифметики з під- вищеною точністю здійснювались із 1969 року і були впроваджені у системах серії IBM S/390 VM. В 90-ті роки процесори стали масовим продуктом, і найбільшого розвитку набули ком- п’ютери загального призначення (персональ- ні), в яких акцент робився не на обчислення високої точності, що й спричинило зупинку роз- витку 128-бітної арифметики. Оптимальною було обрано розрядність 80 біт, що сьогодні маємо в переважній більшості процесорів, у яких розрядність співпроцесора з плаваючою точкою дорівнює 80 біт. Це можна пояснити тим, що ринок насамперед орієнтований на бі- знес-процеси, мультимедійні застосування, де такої розрядності обчислень достатньо. Нині у світі апаратну підтримку 128-бітних обчислень мають лише декілька компаній, та- кі, як IBM на базі операційної системи AIX, Hewlett-Packard на базі операційної системи HP- UX, AMD-64 сімейства 10h (процесори Phenom з мікропрограмною підтримкою) [1], Sun Micro- systems процесорна архітектура SPARC-V9 [2]. Деякі операційні системи, серед яких Solaris, IBM мають програмно реалізовану підтримку 128-бітної арифметики з плаваючою точкою. Сьогодні розрядності бракує як на робочих станціях науковців, так і на більшості супер- комп’ютерів із кластерною архітектурою, які використовують стандартні масові процесори. Для задач, які потребують обчислення з під- вищеною точністю (128 біт та більше), відомі задачі аеродинаміки, розрахунки міцності, про- ектування конструкцій в авіабудуванні, оброб- ка результатів тощо. Розв’язання задач з оцінкою вірогідності має декілька шляхів, які можна розділити на апа- ратні та програмні. До апаратних належать: комп’ютерні засоби на базі процесорів з під- тримкою FPU 128 біт; комп’ютерні засоби на базі процесорів IBM POWER6 з підтримкою де- сяткового FPU 128 біт (DFP); комп’ютерні за- соби, які використовують арифметичні пристрої з розрядністю обчислень 128 біт або більше і під’єднуються до комп’ютера в одну з станда- ртних шин (PCI, PCI-e та ін.), такі пристрої можуть бути розроблені на реконфігуровних платах на базі програмовних логічних інтеграль- них схем (ПЛІС). До програмних належать: ви- користання сучасних пакетів математичних об- числень, які підтримують символьну арифме- тику (Maple, Matlab та ін.); використання в програмуванні бібліотек, які дозволяють про- грамно забезпечити обчислення з довільно за- даними форматами (бібліотеки MPFR, GMP [3]). 10 УСиМ, 2011, № 1 Кожний з шляхів має свої переваги й недо- ліки. Зазначимо деякі вагомі нюанси: висока вартість серверів IBM POWER6; суттєві накла- дні витрати для програмних підходів. Вагомою перевагою використання пристроїв на рекон- фігуровних платах на базі ПЛІС є можливість реалізації як двійкової, так і десяткової ариф- метики й інших нестандартних підходів, у то- му числі з використанням нестандартних фор- матів, при цьому розрядність даних може бути 128 біт і більше. Розв’язання систем лінійних рівнянь з підвищеною точністю Як випливає з [4], можливість отримання достовірного розв’язку (псевдорозв’язку) зада- чі залежить від узгодження математичних мо- жливостей комп’ютерів (розрядність, архітек- тура) з математичними властивостями комп’ю- терної задачі (обумовленість, коректність). Отже, уточнити комп’ютерне розв’язання за- дачі, знаючи обумовленість матриці системи, очевидно можна, розв’язуючи систему з під- вищеною розрядністю. В цьому випадку є прин- ципова можливість досягти будь-якої заданої точності комп’ютерного розв’язку. Для прогнозу довжини мантиси машинного слова, що забезпечує задану точність для сумі- сних систем можна користуватися наступним емпіричним правилом, яке випливає з оцінок [5]: кількість правильних десяткових значущих цифр в комп’ютерному розв’язанні приблизно дорівнює µ – α, де µ – кількість цифр в десят- ковому представленні мантиси числа з плава- ючою точкою, α – десятковий порядок числа обумовленості матриці. Прикладом є задача розв’язання погано обу- мовлених СЛАР (сис- тема лінійних алгеб- раїчних рівнянь), ос- кільки, аналізуючи її число обумовленості, можна орієнтуватися, який формат з плава- ючою точкою (ФПТ) необхідно використовувати для її розв’язан- ня [4]. Розв’язання СЛАР на комп’ютерній техніці виконується за допомогою прямих та ітерацій- них методів [4]. Прямі методи (Гауса, LU-роз- винення, Холецького та ін.) дають можливість при обчисленні на ідеальному комп’ютері (об- числення та представлення даних без похибок) отримати розв’язок задачі за скінчене число арифметичних операцій. Ітераційні методи (ме- тод простої ітерації, Якобі, Зейделя та ін.) або методи послідовних наближень дають можли- вість отримати наближений розв’язок, що збі- гається з розв’язанням задачі за необмеженої кількості ітерацій. Одним з важливих факторів вибору методу розв’язання конкретної задачі є обчислювальна ефективність методу. Оскільки операція дода- вання виконується набагато швидше операції множення та ділення, обчислювальна ефектив- ність методу залежатиме від кількості операцій множення та ділення. Метод Гауса – один з ефективних методів розв’язання СЛАР з не виродженими матри- цями загального виду. Для успішного викорис- тання алгоритму необхідно, щоб вхідні коефі- цієнти були відмінні від нуля, крім того, бли- зькість їх до нуля може приводити до великої похибки розв’язків. Кількість арифметичних дій прямого ходу складає ≈ 2/3n3, зворотного ≈ n2. Постановка задачі Як приклад розглянемо СЛАР (1) з числом обумовленості 3,55868727582796E16. Велике число обумовленості вказує на те, що система є машинно вироджена на ФПТ (Single, Double, Extended), тому для отримання достовірного роз- в’язку не може використовуватися класична комп’ютерна арифметика з плаваючою точкою. Програмні підходи розв’язання СЛАР Сьогодні як засоби символьного розв’язу- вання прикладних задач використовуються па- 0,1348531574394464 0,1878970588235294 0,1909117647058824 0,1779264705882353 0,1878970588235294 0,262 0,265 0,247 0,1909117647058824 0,265 0,281 0,266 0,1779264705882353 0,247 0,266 0,255 A             (1) 0,3516 6,6621621621616067387980644904305721680306582395535693148021009406498559 0,4887 -4,0168918918907235069521662982454772875597817375029634690486974968172690 , 0,5105 -1,665 0,4818 E E b x                . 5405405399700518940186397842413923540740755057489287588615690542966 9,7972972973027970725749406963011572355973793127221791796299285555055572 E E              УСиМ, 2011, № 1 11 кети Maple, MatLab, MathCad та ін. Дані про- грамні продукти мають широкі можливості для форматування математичних текстів, прове- дення різних розрахунків, експериментів, сим- вольних обчислень і т.ін. Проте не можна не відзначити, що ці середовища є замкнутими, тобто немає можливостей використання доку- ментів із цих середовищ у традиційних систе- мах програмування таких, як Delphi, С++, Basic. Використання пакету Maple. Особли- вістю використання символьної арифметики є відсутність похибки введення вхідних кое- фіцієнтів в систему, окрім тих випадків, коли користувач обмежує їх самовільно. Однак по- хибка обчислень наявна, і для її зменшення потрібно збільшувати кількість десяткових цифр оброблювальних даних: для Maple це параметр Digits. Для розв’язання СЛАР (1) розглянемо зале- жність точності обчислень від параметра Digits (табл. 1). Т а б л и ц я 1. Похибки обчислення СЛАР (1) за допомогою пакету Maple Digits Середньоквадратична похибка, порівняння з еталоном 16 101 20 10–4 30 10–13 50 10–33 70 10–53 Аналіз середньоквадратичної похибки роз- в’язань для Digits 16 та Digits 20 взагалі не га- рантує результату, що є наслідком поганої обу- мовленості матриці СЛАР, яка розв’язується. Для Digits 30 гарантовано отримуємо 13 десят- кових цифр, використання Digits 70 гарантує 53 десяткових цифри. Переваги використання символьної арифме- тики виявляються в можливості виконання над- звичайно точних обчислень. Одним, проте ва- гомим, недоліком символьної арифметики є час, затрачений на розв’язування задачі відносно кла- сичної комп’ютерної арифметики значно збіль- шується. Використання бібліотеки MPFR. Ця біблі- отека заслуговує на особливу увагу, оскільки про- граміст, який користується нею, створює влас- ний формат з плаваючою точкою, вказуючи роз- рядність порядку числа та його мантису. Отже можна створити формати, не описані в сучас- них стандартах, проте які виконують класичні арифметичні операції з плаваючою точкою. Розглянемо залежність точності обчислень від ширини мантиси (табл. 2). Коректні десят- кові знаки в розв’язках виділені напівжирним шрифтом. Відзначимо, що збільшуючи ширину манти- си вдвічі, кількість коректних десяткових зна- ків розв’язків збільшується вдвічі майже ліній- но. Ширина мантиси 512 біт – далеко не межа, є можливість використовувати 1024, 2048 і бі- льше. Наприклад, використовуючи ширину ман- тиси 40980 біт, кількість коректних десяткових знаків розв’язків дорівнюватиме 12320. Звичай- но, час, затрачений для таких обчислень відно- сно класичної комп’ютерної арифметики, зна- чно збільшується. Т а б л и ц я 2. Результати та похибки розв’язання СЛАР (1) за допомогою MPFR Результат Похибка Параметр precision (ширина мантиси) 128 біт Х1 = 6,6621621621616067387981784272624219630009705819599066713848634080363808× 1012 Х2 = –4,0168918918907235069522349954529161335077159939636629536717504773690734× 1012 Х3 = –1,6655405405399700518940471239922038446691827554383941547341135835935688× 1012 Х4 = 9,7972972973027970725751082504656422558394110540814752187237235414585256× 1012 10–22 Параметр precision (ширина мантиси) 256 біт Х1 = 6,6621621621616067387980644904305721680306582395535693148021001531195230× 1012 Х2 = –4,0168918918907235069521662982454772875597817375029634690486970219828036× 1012 Х3 = –1,6655405405399700518940186397842413923540740755057489287588613721717134× 1012 Х4 = 9,7972972973027970725749406963011572355973793127221791796299273973727147× 1012 10–62 Параметр precision (ширина мантиси) 512 біт Х1 = 6,6621621621616067387980644904305721680306582395535693148021009406498559× 1012 Х2 = –4,0168918918907235069521662982454772875597817375029634690486974968172690× 1012 Х3 = –1,6655405405399700518940186397842413923540740755057489287588615690542966× 1012 Х4 = 9,7972972973027970725749406963011572355973793127221791796299285555055572× 1012 10–137 12 УСиМ, 2011, № 1 Окрім розглянутих програмних підходів, є можливість використовувати емулятори DFPU, які дозволяють з урахуванням формату даних, відмінного від двійкового, та більш складних обчислень отримувати точніші результати від- носно FPU такої ж розрядності. Емулятор Deci- mal Floating-Point Math Library фірми Intel [6] підтримує формати decimal32, decimal64, та decimal128 (32, 64, 128 бітні варіанти). Перевагою десяткового ФПТ відносно двій- кового є більший діапазон представлення чи- сел, тобто деяка множина задач, яка під час об- числень на двійкових ФПТ приводила до Nan- результату, на десяткових ФПТ може бути роз- в’язана. Іншою перевагою є можливість вико- ристовувати арифметику в десятковому фор- маті на будь-якому персональному комп’ютері платформ х86, х64. Апаратна реалізація для розв’язання СЛАР на базі ПЛІС Для розв’язання СЛАР методом Гауса роз- роблено пристрої (рис. 1) для наступних фор- матів даних: Single, Double, Extended, Quadruple [6], де БК – блок керування, ПЗП – програмо- ваний запам’ятовуючий пристрій, ОЗП – опе- ративно-запам’ятовуючий пристрій, БОД – блок обробки даних [7], PCI-e – шина PCI-е, CE – chip enable (сигнал початку роботи). P C I- e P C I- e A B A B СЕ Рис. 1. Загальна блок-схема пристрою Для кожного з форматів даних всі складові частини схеми окрім ПЗП, повинні мати відпо- відну розрядність: для Quadruple – 128 розряд- ні, для Double – 64 розрядні і т.д. ПЗП – це па- м'ять, в якій зберігається запрограмований ме- тод Гауса, однакова для всіх форматів і про- грамується на етапі формування ПЗП за допо- могою Core Generator. Для розв’язання СЛАР четвертого порядку достатній об’єм 256 слів по 20 біт. Формат команд, які зберігаються в ПЗП, наведено на рис. 2. Для розв’язання сис- тем більших порядків, окрім збільшення об’є- му ПЗП, буде збільшуватися ширина команди, оскільки збільшиться об’єм ОЗП, а отже і поля для їх адресації. Блок ОЗП – пам'ять, яка є бу- фером при пересиланні даних з комп’ютера в пристрій та навпаки. БК відповідає за переми- кання ОЗП з роботи в зовнішньому режимі на роботу у внутрішньому режимі та навпаки, а також за керування роботою всіх блоків при- строю. Рис. 2. Формат команди Як приклад, використовується моделююча плата XC4VFX100 фірми PLDA з ПЛІС Virtex 4 FX100-ff11, яка під’єднується до комп’ютера через шину PCI-е. Об’єм ОЗП дорівнює 256 слів, а його шири- на відповідає ширині формату даних. Блоки ОЗП А та В використовуються для зберігання початкових коефіцієнтів, результатів, та про- міжних даних під час обчислень. БОД має три необхідні для методу Гауса арифметичні вузли (додавання–віднімання, множення, ділення) відповідної розрядності. Функціонування БК складається з трьох етапів:  запис вхідних коефіцієнтів з ОЗП в ОЗП А та ОЗП В;  виконання програми, що описує метод Га- уса;  запис результату з ОЗП В, в ОЗП; форму- ється сигнал, що символізує закінчення вико- нання мікропрограми, ОЗП перевмикається на роботу з контролером PCI-e. Функціонування пристрою також склада- ється з трьох етапів: УСиМ, 2011, № 1 13  запис коефіцієнтів СЛАР в ОЗП по шині PCI-e;  в комірку ОЗП за адресою 160 записується значення «F», що слугує сигналом початку ро- боти ПК, ОЗП перевмикається на роботу з ОЗП А та ОЗП В;  зчитування результатів з ОЗП по шині PCI-e. Тестування пристроїв відбувається на етапах розробки окремих блоків, а також пристрою в цілому. Для тестування використовується сис- тема моделювання ModelSim XE 6,0d [8], яка дозволяє виконати верифікацію на всіх етапах проектування. Отримані апаратно-часові харак- теристики пристроїв наведено у табл. 3. Т а б л и ц я 3. Апаратно-часові характеристики пристроїв на Virtex 4 FX100-ff11 Формати даних Використані ресурси Double Quadruple Кількість Slices 2335 (4%) 5007 (11%) Кількість DSP48 13 (8%) 49 (30%) Кількість RAMB16 11 (4%) 13 (4%) Період Clk, нс 8 64 Розв’язана СЛАР (1). Після проведення об- числень з відповідними коефіцієнтами A та b пристроєм, отримуємо наступні результати (табл. 4). Зауважимо, що обробка даних з викорис- танням форматів Single та Double не дає корек- тних розв’язків, а Extended гарантує лише дві перші цифри розв’язків. Розв’язання на Quad- ruple гарантує 17 десяткових цифр (ширина ман- тиси в форматі Quadruple 113 біт). Отже для розв’язання СЛАР (1) є наступні шляхи обчислень: використання символьної арифметики з заданою великою точністю об- числень (більше 60 десяткових знаків), вико- ристання комп’ютерних систем з апаратною підтримкою (FPU, DFPU 128 біт), використан- ня пристроїв на реконфігуровних платах та про- грамних емуляторів широкоформатних обчис- лень з плаваючою точкою (128 біт та більше). Вплив типу округлення в арифметичних компонентах на кінцевий результат Тип округлення в арифметичних компонен- тах впливає на точність результатів. В арифметичних компонентах використову- ється два типи округлення:  якщо старший біт частини вектору, що пе- ревищує розрядну сітку, має значення «1», то виконується запис «1» в молодший біт мантиси;  якщо старший біт частини вектору, що пе- ревищує розрядну сітку, має значення «1», то виконується додавання «1» до мантиси. В табл. 5 наведено значення розв’язків з рі- зними типами округлення. Висновки. При розв’язанні СЛАР класич- ним комп’ютерним способом отримані розв’яз- ки не завжди зберігають машинну суть, тому коректне розв’язання СЛАР може бути вико- нане за допомогою програмно-алгоритмічних та апаратних засобів. Для розв’язання задач з підвищеною точніс- тю розроблено пристрої на базі ПЛІС. Апро- бація цього підходу показала, що збільшення Т а б л и ц я 4. Результати розв’язку СЛАР апаратним шляхом Формат Пристрій, що використовує розроблені арифметичні блоки Пристрій, що використовує IP-Core фірми Xilinx Si ng le x1=–64153,664062500000000000 x2= 38681,507812500000000000 x3= 16039,548828125000000000 x4=–9434,2568359375000000000 x1=–27856,2812500000000 x2= 16796,2792968750000 x3= 6965,29150390625000 x4=–4096,46044921875000 D ou bl e x1= 2264503194623,36000000000000000 x2=–1365362220253,90000000000000000 x3=–566125798647,227000000000000000 x4= 333015175637,347000000000000000 x1= 3343472363451,5000000 x2=–2015917160209,6700000 x3=–835868090854,30700000 x4= 491687112298,69300000 E xt en de d x1= 6655584185991,900460000000000000 x2=–4012925759200,165400000000000000 x3=–1663896046497,543230000000000000 x4= 978762380293,5580170000000000000 x1= 6657982426662,6836300 x2=–4014371757251,6669800 x3=–1664495606665,2391300 x4= 979115062745,14385500 Q ua dr up le x1=6662162162161,6067166007879779302717040186 x2=–4016891891890,723493568514283355878205310 x3=–1665540540539,970046344699511658272177594 x4=979729729730,27970399318870014412337350964 Відсутні арифметичні блоки 14 УСиМ, 2011, № 1 двійкової розрядності може забезпечити досто- вірність розв’язку. В арифметичних компо- нентах доцільно використовувати округлення другого типу. Універсальність розробленої схеми пристро- їв дозволить використовувати її для розв’язан- ня задач більшої розмірності та більш широких форматів даних, які можуть бути стандартизо- вані або довільні. Отож для розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень доцільно використовувати один з розглянутих засобів. Вибір засобу зале- жатиме від поставленої задачі та вимог до точ- ності результату. 1. Family 10h AMD Phenom Processor Product Data Sheet. – http://www.amd.com. 2. http://www.sun.com 3. http://www.mpfr.org 4. Химич А.Н., Молчанов И.Н., Попов А.В. Параллель- ные алгоритмы решения задач вычислительной ма- тематики – К.: Наук. думка, 2008. – 248 с. 5. Николаевская Е.А., Чистякова Т.В. Программно-ал- горитмические методы повышения точности ком- пьютерных решений // Кибернетика и системный анализ. – 2009. – № 6. – С. 172–176. 6. IEEE 754R Decimal Floating-Point Arithmetic. – http:// www.intel.com/technology/itj/2007/ v11i1/s2-decimal/1- sidebar.htm 7. Опанасенко В.М., Лісовий О.М. Реалізація пробле- мно-орієнтованих цифрових пристроїв на криста- лах FPGA // Радіоелектронні і комп’ютерні систе- ми. – 2009. – № 5. – С. 176–183. 8. ModelSim Xilinx. User’s Manual. Version 6.0. – http:// www.xilinx.com Поступила 26.12.2010 Тел. для справок: (044) 530-7091, 424-8257, 402-9341, 503-7677 (Киев) E-mail: vlopanas@ukr.net, opanasenko@incyb.kiev.ua, dept150@insyg.kiev.ua, Lan-Sasha@yandex.ru © В.Н. Опанасенко, А.Н. Химич, А.Н. Лисовый, Т.В. Чистякова, 2011  В.Н. Опанасенко, А.Н. Химич, А.Н. Лисовый, Т.В. Чистякова Решение задач с повышенной точностью вычислений Актуальность использования средств с повышен- ной точностью вычислений Одна из задач, ставшая актуальной с середины про- шлого столетия – обеспечение достаточной точности вы- числений на компьютере. Результат решения этой зада- чи – увеличение разрядности обрабатываемых данных. В процессорах серии Эльбрус была заложена под- держка 128-битной арифметики. В компании IBM ис- следования поддержки арифметики с повышенной точ- ностью велись с 1969 года и были внедрены в системах серии IBM S/390 VM. В 90-х годах процессоры стали массовым продуктом и самое широкое развитие начали приобретать компьютеры общего назначения (персо- нальные), в которых не акцентируется на вычислениях с высокой точностью, что и послужило причиной оста- новки развития 128-битной арифметики. Оптимальной была определена разрядность сопроцессора с плаваю- щей точкой 80 бит, что и наблюдается в подавляющем большинстве процессоров в настоящее время. Это мож- но объяснить тем, что рынок прежде всего ориентиро- ван на бизнес-процессы и мультимедийные приложения, где такой разрядности вычислений вполне достаточно. Сегодня аппаратную поддержку 128-битных вычисле- ний имеют лишь несколько компаний, таких, как IBM – на базе операционной системы AIX, Hewlett-Packard – на базе операционной системы HP-UX, AMD-64 семейства 10h (процессоры Phenom с микропрограммной под- держкой) [1], Sun Microsystems – процессорная архитек- тура SPARC-V9 [2]. Некоторые операционные системы, среди которых Solaris, IBM, имеют программно-реализо- Т а б л и ц я 5. Вплив типу округлення в арифметичних компонентах Формат Округлення першого типу Округлення другого типу Q ua dr up le x1= 402983C9F3C87C66D471DD94C71D8BDC (6662162162161,60671660078797793027170401) x2= C028D3A0B508595C9B6FEFD14DA782CC (–4016891891890,7234935685142833558782053) x3= C02783C9F3C87BF854F50E16B806BFB4 (–1665540540539,9700463446995116582721775) x4= 4026C838E291848F355C9E9CB5B70D1A (979729729730,279703993188700144123373509) x1= 402983C9F3C87C66D4894D6545FEACA7 (6662162162161,60672218855060570521637962) x2= C028D3A0B508595C9B8C32E3501156C2 (–4016891891890,7234969376064559848065667) x3= C02783C9F3C87BF8550C7DE736E7E52D (–1665540540539,9700477416401686022620328) x4= 4026C838E291848F35783137A55685D6 (979729729730,27970481491849834650706856) УСиМ, 2011, № 1 15 ванную поддержку 128-битной арифметики с плаваю- щей точкой. В настоящее время недостаток точности ощущается как на рабочих станциях научных работников, так и на большинстве суперкомпьютеров с кластерной архитек- турой, которые используют стандартные процессоры об- щего назначения. Среди задач, требующих вычислений с повышенной точностью (128 бит и больше), известны задачи аэродинамики, расчеты прочности, проектирова- ние конструкций в авиастроении, обработка результатов и др. Проблема решения задач с оценкой достоверности имеет несколько путей решения, которые можно разде- лить на аппаратные и программные. К аппаратным от- носятся: компьютерные средства на базе процессоров с поддержкой FPU 128 бит; компьютерные средства на базе процессоров IBM POWER6 с поддержкой десятичного FPU 128 бит (DFP); компьютерные средства, использу- ющие арифметические устройства с разрядностью вы- числений 128 бит или больше и подключаются к ком- пьютеру через одну из стандартных шин (PCI, PCI-e или др.), такие устройства могут быть разработаны на осно- ве реконфигурируемых плат на базе программируемых логических интегральных схем (ПЛИС). К программ- ным принадлежат: пакеты математических вычислений, поддерживающие символьную арифметику (Maple, Matlab и др.); библиотеки, позволяющие программно обеспе- чить вычисления с произвольно заданными форматами (библиотеки MPFR, GMP [3] и др.). Каждый подход имеет свои преимущества и недос- татки. Отметим некоторые весомые нюансы: высокая сто- имость серверов IBM POWER6; существенные наклад- ные затраты для программных подходов; преимущество использования устройств на реконфигурируемых платах на базе ПЛИС состоит в возможности реализации как двоичной, так и десятичной арифметики и других не- стандартных подходов, в том числе с использованием нестандартных форматов, при этом разрядность данных может быть 128 бит и больше. Решение систем линейных алгебраических урав- нений с повышенной точностью Как следует из [4], возможность получения досто- верного решения задачи зависит от согласования мате- матических возможностей компьютеров (разрядность, архитектура) с математическими свойствами компью- терной задачи (обусловленность, корректность). Таким образом, уточнить компьютерное решение за- дачи, зная обусловленность матрицы системы, очевид- но, можно путем решения системы с повышенной раз- рядностью. В этом случае появляется принципиальная возможность достичь любой заданной точности компь- ютерного решения. Для прогноза длины мантиссы машинного слова, обес- печивающего заданную точность для совместных сис- тем, можно использовать следующее эмпирическое пра- вило, которое следует из оценок [4]: количество коррект- ных десятичных значащих цифр в компьютерном реше- нии приблизительно равняется  – , где  – количест- во цифр в десятичном представлении мантиссы числа с плавающей точкой,  – десятичный порядок числа обу- словленности матрицы. Рассмотрим задачу решения плохо обусловленной СЛАУ (система линейных алгебраических уравнений), анализируя ее число обусловленности; при этом можно ориентироваться на выбор формата с плавающей точкой (ФПТ), который необходимо использовать для ее реше- ния [5]. Решение СЛАУ на компьютерной технике выполня- ется с помощью прямых и итерационных методов [4]. Прямые методы (Гаусса, Lu-разложения, Халецкого и др.) дают возможность, при вычислении на идеальном ком- пьютере (вычисление и представление данных без по- грешностей), получить решение задачи за конечное чис- ло арифметических операций. Итерационные методы (ме- тод простой итерации, Якобе, Зейделя и др.) или методы последовательных приближений дают возможность по- лучить приближенное решение, совпадающее с решени- ем задачи при неограниченном количестве итераций. Одним из важных факторов выбора того или другого метода при решении конкретной задачи есть вычислитель- ная эффективность метода. Поскольку операция сложения выполняется гораздо быстрее операций умножения и деления, вычислительная эффективность метода будет зависеть от количества операций умножения и деления. Метод Гаусса – один из эффективных методов реше- ния СЛАУ с невырожденными матрицами общего вида. Для успешного использования алгоритма необходимо, чтобы входные коэффициенты были отличны от нуля, кроме того, близость их к нулю может приводить к боль- шой погрешности решений. Количество арифметичес- ких действий прямого хода составляет (2/3)n3, обрат- ного  n2. Постановка задачи В качестве примера, рассмотрим СЛАУ (1) с числом обусловленности 3,55868727582796E16. Большое число обусловленности указывает на то, что система есть ма- шинно-выродженной на ФПТ (Single, Double, Extended), поэтому для получения достоверного решения не может быть использована классическая компьютерная арифмети- ка с плавающей точкой. 0,1348531574394464 0,1878970588235294 0,1909117647058824 0,1779264705882353 0,1878970588235294 0,262 0,265 0,247 0,1909117647058824 0,265 0,281 0,266 0,1779264705882353 0,247 0,266 0,255 A             (1) 0,3516 6,6621621621616067387980644904305721680306582395535693148021009406498559 0,4887 -4,0168918918907235069521662982454772875597817375029634690486974968172690 , 0,5105 -1,665 0,4818 Е Е b x                . 5405405399700518940186397842413923540740755057489287588615690542966 9,7972972973027970725749406963011572355973793127221791796299285555055572 Е Е              Как эталон решения системы (1) будем использовать числовое решение системы, полученное с использова- нием мантиссы шириной 512 бит. 16 УСиМ, 2011, № 1 Программные подходы решения СЛАУ В настоящее время в качестве средства символьного решения прикладных задач используются пакеты Maple, Matlab, Mathcad и др. Эти программные продукты име- ют большие возможности для форматирования матема- тических текстов, различных расчетов, экспериментов, символьных вычислений и др. Однако нельзя не отме- тить, что эти средства – замкнутые, т.е. нет возможности использования их совместно с традиционными система- ми программирования, такими, как Delphi, С++, Basic. Использование пакета Maple. Особенность исполь- зования символьной арифметики – отсутствие погреш- ности введения входных коэффициентов в систему, кро- ме тех случаев, когда пользователь ограничивает их при- нудительно. Однако погрешность вычислений наблюда- ется, и для ее снижения необходимо увеличивать коли- чество десятичных цифр в обрабатываемых данных: для Maple это параметр Digits. Для решения СЛАУ (1) рассмотрим зависимость точности вычислений от параметра Digits (табл. 1). Т а б л и ц а 1. Погрешности вычисления СЛАУ (1) с помо- щью пакету Maple Digits Среднеквадратичная погрешность, сравнение с эталоном 16 101 20 10–4 30 10–13 50 10–33 70 10–53 При анализе среднеквадратичной погрешности ре- шений при Digits 16 и Digits 20 результат некорректен – это следствие плохой обусловленности матрицы решае- мой СЛАУ. Для Digits 30 гарантированно получаем 13 десятичных цифр, использование Digits 70 гарантирует уже 53 десятичных цифры. Преимущество использования символьной арифметики проявляется в возможности выполнения чрезвычайно точных вычислений. Существенный недостаток символь- ной арифметики состоит в большом времени решения задачи, которое по отношению к классической компью- терной арифметике значительно увеличено. Использование библиотеки MPFR. Данная библиоте- ка заслуживает особого внимания, так как программист, использующий ее, создает собственный формат с плава- ющей точкой, указывая разрядность порядка числа и его мантиссы. Таким образом, можно создавать форматы, не описанные в современных стандартах, однако выпол- нять классические арифметические операции с плаваю- щей точкой. Рассмотрим зависимость точности вычислений от ши- рины мантиссы (табл. 2). Корректные десятичные знаки в решениях выделены полужирным шрифтом. Отметим, что, увеличивая ширину мантиссы вдвое, ко- личество корректных десятичных знаков решений уве- личивается вдвое почти линейно. Ширина мантиссы 512 бит – далеко не предел, есть возможность использовать 1024, 2048 и больше. Например, используя ширину ман- тиссы 40980 бит, количество корректных десятичных знаков решений будет равно 12320. Временные затраты для таких вычислений, по отношению к классической ком- пьютерной арифметике, значительно увеличиваются. Кроме рассмотренных программных подходов, суще- ствуют эмуляторы DFPU, позволяющие с учетом фор- мата данных, отличного от двоичного, выполнять и бо- лее сложные вычисления, получая более точные резуль- таты по отношению к FPU такой же разрядности. Эму- лятор Decimal Floating-Point Math Library фирмы Intel [6] поддерживает форматы decimal32, decimal64 и decimal128 (32, 64, 128 битные варианты соответственно) Преимуществом десятичного ФПТ по отношению к двоичному состоит в большем диапазоне представления чисел, т.е. некоторое множество задач, приводившее в процессе вычислений на двоичных ФПТ к Nan-Резуль- тату, на десятичных ФПТ может быть разрешено. Дру- гое преимущество эмуляторов DFPU – возможность использовать их на любом компьютере платформ х86, х64. Т а б л и ц а 2. Результаты и погрешности решения СЛАУ (1) с помощью MPFR Результат Погрешность параметр precision (ширина мантиссы) 128 бит Х1 = 6,6621621621616067387981784272624219630009705819599066713848634080363808× 1012 Х2 = –4,0168918918907235069522349954529161335077159939636629536717504773690734× 1012 Х3 = –1,6655405405399700518940471239922038446691827554383941547341135835935688× 1012 Х4 = 9,7972972973027970725751082504656422558394110540814752187237235414585256× 1012 10–22 параметр precision (ширина мантиссы) 256 бит Х1 = 6,6621621621616067387980644904305721680306582395535693148021001531195230× 1012 Х2 = –4,0168918918907235069521662982454772875597817375029634690486970219828036× 1012 Х3 = –1,6655405405399700518940186397842413923540740755057489287588613721717134× 1012 Х4 = 9,7972972973027970725749406963011572355973793127221791796299273973727147× 1012 10–62 параметр precision (ширина мантиссы) 512 бит Х1 = 6,6621621621616067387980644904305721680306582395535693148021009406498559× 1012 Х2 = –4,0168918918907235069521662982454772875597817375029634690486974968172690× 1012 Х3 = –1,6655405405399700518940186397842413923540740755057489287588615690542966× 1012 Х4 = 9,7972972973027970725749406963011572355973793127221791796299285555055572× 1012 10–137 УСиМ, 2011, № 1 17 Аппаратная реализация для решения СЛАУ на базе ПЛИС Для решения СЛАУ методом Гаусса разработаны устройства (обобщенная блок-схема приведена на рис. 1) для следующих форматов данных: Single, Double, Ex- tended, Quadruple [6], где УУ – устройство управления, ПЗУ – программирующее запоминающее устройство, ОЗУ – оперативно-запоминающее устройство, БОД – блок обработки данных [7], PCI-e – шина PCI Express, CE – chip enable (сигнал начала работы). Рис. 1. Обобщенная блок-схема устройства Для каждого из форматов данных все составные ко- мпоненты схемы, кроме ПЗУ, должны иметь соответ- ствующую разрядность: для Quadruple – 128 разрядов, для Double – 64 разряда и т.д. В ПЗУ хранится запро- граммированный алгоритм решения СЛАУ методом Гаус- са. Микропрограмма, одинаковая для всех форматов, программируется на этапе формирования ПЗУ с помо- щью Core Generator. Для решения СЛАУ четвертого порядка необходим объем памяти 256 слов по 20 бит. Формат команды, которая хранится в ПЗУ, приведен на рис. 2. Для решения систем больших порядков, кроме увеличения объема ПЗУ, будет увеличиваться ширина команды, так как увеличится объем ОЗУ, а потому и поля для их адресации. Блок памяти ОЗУ есть буфером при пересылке данных из компьютера в устройство и наоборот. УУ отвечает за переключение режима работы ОЗУ (из работы во внешнем режиме на работу во внут- реннем режиме и наоборот), а также управляет работой всех блоков устройства. Рис. 2. Формат команды В качестве примера использована моделирующая плата XC4VFX100 фирмы PLDA с кристаллом ПЛИС типа Virtex 4 FX100-ff11, которая подключается к ком- пьютеру через шину PCI-е. Объем ОЗУ равен 256 словам, а его ширина соответ- ствует ширине формата данных. Блоки ОЗУ А, В ис- пользуются для хранения начальных коэффициентов, результатов и промежуточных данных при вычислении. Блок БОД имеет три необходимых для метода Гаусса арифметические ядра (сложение–вычитание, умножение, деление) соответствующей разрядности. Функциониро- вание УУ включает в себя три этапа:  запись входных коэффициентов из ОЗУ в ОЗУ А и ОЗУ В;  выполнение микропрограммы, описывающей ме- тод Гаусса;  запись результата из ОЗУ В в ОЗУ; формируется сигнал, символизирующий окончание выполнения мик- ропрограммы, ОЗУ переключается на работу с контрол- лером PCI-e. Функционирование устройства состоит также из трех этапов:  запись коэффициентов СЛАУ в ОЗУ по шине PCI-e;  в ячейку ОЗУ по адресу 160 записываются значе- ния F, что служит сигналом начала работы УУ, при этом ОЗУ переключается на работу из ОЗУ А и ОЗУ В;  считывание результатов из ОЗУ по шине PCI-e. Тестирование устройства происходит на этапах разра- ботки отдельных блоков, а также устройства в целом. Для тестирования используется система моделирования Modelsim XE 6,0d [8], которая позволяет выполнить ве- рификацию на всех этапах проектирования. Полученные аппаратно-временные характеристики устройства при- ведены в табл. 3. Т а б л и ц а 3. Аппаратно-временные характеристики уст- ройств на Virtex 4 FX100-ff11 Форматы данных Использованные ресурсы Double Quadruple Количество Slices 2335 (4%) 5007 (11%) Количество DSP48 13 (8%) 49 (30%) Количество RAMB16 11 (4%) 13 (4%) Период Clk, нс 8 64 Решение СЛАУ (1). После вычислений с соответ- ствующими коэффициентами A и b, получим следую- щие результаты (табл. 4). Отметим, что обработка данных, использующая фор- маты Single и Double не дает корректных решений, а Extended гарантирует только две первые цифры реше- ний. Решение на Quadruple гарантирует 17 десятичных цифр (ширина мантиссы в формате Quadruple 113 бит). Итак, для решения СЛАУ (1) имеются следующие пути: использование символьной арифметики с заданной большой точностью вычислений (больше 60 десятичных знаков); использование компьютерных систем с аппа- ратной поддержкой (FPU, DFPU 128 бит); использова- ние устройств на основе реконфигурированных плат и 18 УСиМ, 2011, № 1 программных эмуляторов широкоформатных вычисле- ний с плавающей точкой (128 бит и больше). Влияние типа округления в арифметических ком- понентах на конечный результат Тип округления в арифметических компонентах вли- яет на точность результатов. В арифметических компонентах используется два типа округления:  если старший бит части вектора, который не по- мещается в разрядную сетку, имеет значение «1», то выполняется запись «1» в младший бит мантиссы;  если старший бит части вектора, который не по- мещается в разрядную сетку, имеет значение «1», то к мантиссе добавляется «1» младшего бита. В табл. 5 приведены значения решений СЛАУ с разными типа- ми округления. Заключение. При решении СЛАУ классическим компьютер- ным путем полученные решения не всегда сохраняют машинную суть, поэтому корректное реше- ние СЛАУ может быть получено с помощью программно-алгорит- мических и аппаратных средств. Для решения задач с повы- шенной точностью разработаны устройства на базе ПЛИС. Апро- бация этого подхода показала, что увеличение двоичной разряд- ности может обеспечить досто- верность решения СЛАУ. В арифметических компонентах целесообразно использо- вать округление второго типа. Универсальность разработанной схемы устройств по- зволит использовать ее в случае необходимости для ре- шения задач большей размерности и более широких форматов данных, которые могут быть стандартизиро- ваны или заданы произвольно. Таким образом, для решения задач с повышенной точностью вычислений целесообразно использовать одно из рассмотренных средств. Выбор средства будет зави- сеть от поставленной задачи и требований к точности результата.  Т а б л и ц а 4. Результаты решения СЛАУ аппаратным путем Фор- мат Устройство, использующее разработанные арифметические блоки Устройство, использующее IP-Core фирмы Xilinx Si ng le x1 =–64153,664062500000000000 x2 = 38681,507812500000000000 x3 = 16039,548828125000000000 x4 = –9434,2568359375000000000 x1=–27856,2812500000000 x2= 16796,2792968750000 x3= 6965,29150390625000 x4=–4096,46044921875000 D ou bl e x1 = 2264503194623,36000000000000000 x2 = –1365362220253,90000000000000000 x3 = –566125798647,227000000000000000 x4 = 333015175637,347000000000000000 x1= 3343472363451,5000000 x2=–2015917160209,6700000 x3=–835868090854,30700000 x4= 491687112298,69300000 E xt en de d x1 = 6655584185991,900460000000000000 x2 = –4012925759200,165400000000000000 x3 = –1663896046497,543230000000000000 x4= 978762380293,5580170000000000000 x1= 6657982426662,6836300 x2=–4014371757251,6669800 x3=–1664495606665,2391300 x4= 979115062745,14385500 Q ua dr up le x1 = 6662162162161,6067166007879779302717040186 x2 = –4016891891890,723493568514283355878205310 x3 = –1665540540539,970046344699511658272177594 x4 = 979729729730,27970399318870014412337350964 Отсутствуют арифметичес- кие блоки Т а б л и ц а 5. Влияние типа округления в арифметических компонентах Формат Округление первого типа Округление второго типа Q ua dr up le x1 = 402983C9F3C87C66D471DD94C71D8BDC (6662162162161,60671660078797793027170401) x2 = C028D3A0B508595C9B6FEFD14DA782CC (–4016891891890,7234935685142833558782053) x3 = C02783C9F3C87BF854F50E16B806BFB4 (–1665540540539,9700463446995116582721775) x4 = 4026C838E291848F355C9E9CB5B70D1A (979729729730,279703993188700144123373509) x1 = 402983C9F3C87C66D4894D6545FEACA7 (6662162162161,60672218855060570521637962) x2 = C028D3A0B508595C9B8C32E3501156C2 (-4016891891890,7234969376064559848065667) x3 = C02783C9F3C87BF8550C7DE736E7E52D (-1665540540539,9700477416401686022620328) x4 = 4026C838E291848F35783137A55685D6 (979729729730,27970481491849834650706856) << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments true /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <FEFF00560065007200770065006e00640065006e0020005300690065002000640069006500730065002000450069006e007300740065006c006c0075006e00670065006e0020007a0075006d002000450072007300740065006c006c0065006e00200076006f006e002000410064006f006200650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e00740065006e002c00200076006f006e002000640065006e0065006e002000530069006500200068006f006300680077006500720074006900670065002000500072006500700072006500730073002d0044007200750063006b0065002000650072007a0065007500670065006e0020006d00f60063006800740065006e002e002000450072007300740065006c006c007400650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e007400650020006b00f6006e006e0065006e0020006d006900740020004100630072006f00620061007400200075006e0064002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006f0064006500720020006800f600680065007200200067006500f600660066006e00650074002000770065007200640065006e002e> /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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a stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA <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> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /RUS <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> /SKY <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> /SLV <FEFF005400650020006e006100730074006100760069007400760065002000750070006f0072006100620069007400650020007a00610020007500730074007600610072006a0061006e006a006500200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002000410064006f006200650020005000440046002c0020006b006900200073006f0020006e0061006a007000720069006d00650072006e0065006a016100690020007a00610020006b0061006b006f0076006f00730074006e006f0020007400690073006b0061006e006a00650020007300200070007200690070007200610076006f0020006e00610020007400690073006b002e00200020005500730074007600610072006a0065006e006500200064006f006b0075006d0065006e0074006500200050004400460020006a00650020006d006f0067006f010d00650020006f0064007000720065007400690020007a0020004100630072006f00620061007400200069006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200069006e0020006e006f00760065006a01610069006d002e> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <FEFF04120438043a043e0440043804410442043e043204430439044204350020044604560020043f043004400430043c043504420440043800200434043b044f0020044104420432043e04400435043d043d044f00200434043e043a0443043c0435043d044204560432002000410064006f006200650020005000440046002c0020044f043a04560020043d04300439043a04400430044904350020043f045604340445043e0434044f0442044c00200434043b044f0020043204380441043e043a043e044f043a04560441043d043e0433043e0020043f0435044004350434043404400443043a043e0432043e0433043e0020043404400443043a0443002e00200020042104420432043e04400435043d045600200434043e043a0443043c0435043d0442043800200050004400460020043c043e0436043d04300020043204560434043a0440043804420438002004430020004100630072006f006200610074002004420430002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002004300431043e0020043f04560437043d04560448043e04570020043204350440044104560457002e> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-82905
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0130-5395
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T17:26:16Z
publishDate	2011
publisher	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
record_format	dspace
spelling	Опанасенко, В.М. Хіміч, О.М. Лісовий, О.М. Чистякова, Т.В. 2015-06-11T17:54:44Z 2015-06-11T17:54:44Z 2011 Розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень / В.М. Опанасенко, О.М. Хіміч, О.М. Лісовий, Т.В. Чистякова // Управляющие системы и машины. — 2011. — № 1. — С. 9-18. — Бібліогр.: 8 назв. — укр., рос. 0130-5395 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/82905 004.31 Рассмотрены аппаратные и программные средства для решения задач с повышенной точностью вычислений. Разработано устройство с поддержкой 128-битной арифметики с плавающей точкой, позволяющее решать плохо обусловленные системы линейных алгебраических уравнений. Hardware and software means for solving the tasks with the increased precision are considered. A computing device with support of 128-bit arithmetic’s with a floating point is developed which makes it possible to solve ill-conditioned systems of linear algebraic equations. Розглянуто апаратні та програмні засоби для розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень. Розроблено пристрій з підтримкою 128-бітної арифметики з плаваючою точкою, який дає можливість розв’язувати погано обумовлені системи лінійних алгебраїчних рівнянь. uk ru Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України Управляющие системы и машины Новые методы в информатике Розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень Solving the Tasks with the Increased Precision Решение задач с повышенной точностью вычислений Article published earlier
spellingShingle	Розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень Опанасенко, В.М. Хіміч, О.М. Лісовий, О.М. Чистякова, Т.В. Новые методы в информатике
title	Розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень
title_alt	Solving the Tasks with the Increased Precision Решение задач с повышенной точностью вычислений
title_full	Розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень
title_fullStr	Розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень
title_full_unstemmed	Розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень
title_short	Розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень
title_sort	розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень
topic	Новые методы в информатике
topic_facet	Новые методы в информатике
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/82905
work_keys_str_mv	AT opanasenkovm rozvâzannâzadačzpídviŝenoûtočnístûobčislenʹ AT hímíčom rozvâzannâzadačzpídviŝenoûtočnístûobčislenʹ AT lísoviiom rozvâzannâzadačzpídviŝenoûtočnístûobčislenʹ AT čistâkovatv rozvâzannâzadačzpídviŝenoûtočnístûobčislenʹ AT opanasenkovm solvingthetaskswiththeincreasedprecision AT hímíčom solvingthetaskswiththeincreasedprecision AT lísoviiom solvingthetaskswiththeincreasedprecision AT čistâkovatv solvingthetaskswiththeincreasedprecision AT opanasenkovm rešeniezadačspovyšennoitočnostʹûvyčislenii AT hímíčom rešeniezadačspovyšennoitočnostʹûvyčislenii AT lísoviiom rešeniezadačspovyšennoitočnostʹûvyčislenii AT čistâkovatv rešeniezadačspovyšennoitočnostʹûvyčislenii

Розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень

Репозитарії

Схожі ресурси