Математические тесты в системах компьютерной математики учебного назначения
Рассмотрено понятие математического теста, определены его типы и изучены алгоритмические аспекты разработки модулей тестирования процедурных знаний в системах компьютерной математики учебного назначения. The concept of mathematical test is considered, the types of mathematical tests are defined and...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Управляющие системы и машины |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83010 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Математические тесты в системах компьютерной математики учебного назначения / М.С. Львов // Управляющие системы и машины. — 2011. — № 6. — С. 60-67. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859658892607225856 |
|---|---|
| author | Львов, М.С. |
| author_facet | Львов, М.С. |
| citation_txt | Математические тесты в системах компьютерной математики учебного назначения / М.С. Львов // Управляющие системы и машины. — 2011. — № 6. — С. 60-67. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Управляющие системы и машины |
| description | Рассмотрено понятие математического теста, определены его типы и изучены алгоритмические аспекты разработки модулей тестирования процедурных знаний в системах компьютерной математики учебного назначения.
The concept of mathematical test is considered, the types of mathematical tests are defined and the algorithmic aspects of the development of the modules of testing the procedural knowledge’s in the systems of computer mathematics of educational purpose are considered.
Розглянуто поняття математичного тесту, визначено його типи та вивчено алгоритмічні аспекти розробки модулів тестування процедурних знань у системах комп’ютерної математики навчального призначення.
|
| first_indexed | 2025-11-30T09:37:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
60 УСиМ, 2011, № 6
Информационные и коммуникационные среды
УДК 681.3: 658.56.
М.С. Львов
Математические тесты в системах компьютерной математики учебного назначения
Рассмотрено понятие математического теста, определены его типы и изучены алгоритмические аспекты разработки модулей
тестирования процедурных знаний в системах компьютерной математики учебного назначения.
The concept of mathematical test is considered, the types of mathematical tests are defined and the algorithmic aspects of the development of
the modules of testing the procedural knowledge’s in the systems of computer mathematics of educational purpose are considered.
Розглянуто поняття математичного тесту, визначено його типи та вивчено алгоритмічні аспекти розробки модулів тестування
процедурних знань у системах комп’ютерної математики навчального призначення.
Введение. Процесс обучения точным дисцип-
линам включает в себя не только лекции, но и
активные формы обучения: практические заня-
тия, лабораторные работы, производственную
практику и т.д. Таким образом, контролировать
необходимо не только декларативные знания,
но и процедурные знания – знания методов ре-
шения задач. Технологии контроля процедурных
знаний исследованы и разработаны еще недо-
статочно. Математические тесты, о которых
будет идти речь, предназначены для контроля
процедурных знаний. Таким образом, пробле-
ма исследования актуальна. Предположительно
система тестирования, содержащая математи-
ческие тесты, реализована в модуле Среда тес-
тирования системы компьютерной математики
учебного назначения (СКМУН) [1–5].
Проблему исследования статьи можно сфор-
мулировать как исследование функциональных
требований, математических моделей и алго-
ритмов построения системы тестирования
процедурных знаний в СКМУН.
Формальное определение предметной об-
ласти
Предметную область (онтологию) СКМУН
представляют структурно-логические схемы
(СЛС). Эти онтологии представлены трехуров-
невой иерархией «специальность» – «дисципли-
на» – «учебный модуль».
Ключевые слова: компьютерная математика, информа-
ционные системы учебного назначения, математические
тесты.
Наш подход заключается в том, что система
тестовых заданий должна быть единой в рам-
ках учебной дисциплины, а еще лучше – в рам-
ках специальности. Однако ее разработка осу-
ществляется поэтапно. Таким образом, в онто-
логии определяется:
Учебный модуль (УМ) – минимальная пред-
метная область, для которой необходима разра-
ботка системы тестовых заданий как единого эта-
па работ построения общей системы тестиро-
вания.
Логически необходимая последователь-
ность расширений системы тестовых заданий
как этапов этих работ.
Модель учебного модуля математической
дисциплины
Сигнатура УМ. Математические теории, из-
лагаемые в УМ, используют, как правило, но-
вые математические символы. Например, модуль
Тригонометрия вводит символы тригонометри-
ческих и обратных тригонометрических функ-
ций, символ константы . Список этих символов
составляет собственную сигнатуру УМ. Пред-
мет изучения – формальные определения и со-
держательные интерпретации символов сигна-
туры. Методы проектирования сигнатур опи-
саны в [6, 7].
Математические модели УМ. Каждый учеб-
ный модуль определяется списком математичес-
ких объектов (моделей), являющихся предме-
том изучения. В модуле Тригонометрия – это
формальные определения тригонометрическо-
го выражения, тождества, уравнения. В модуле
УСиМ, 2011, № 6 61
Электричество изучаются модели электроста-
тического поля, участка цепи постоянного то-
ка, электрической схемы постоянного тока.
Элементарные преобразования моделей УМ.
В УМ определены так называемые элементар-
ные операции – преобразования (ЭП) матема-
тических объектов этого модуля. ЭП определя-
ется аргументами и результатами. Например,
собственные ЭП для модуля Дифференциаль-
ное исчисление определяется правилами диф-
ференцирования и таблицей производных эле-
ментарных функций. Методы проектирования
элементарных преобразований описаны в [2, 8].
Модели учебных задач УМ. Основной предмет
изучения УМ математической дисциплины –
учебные задачи, перечень типов которых опре-
делен учебной программой дисциплины. Фор-
мулировка учебной задачи использует одну или
несколько базовых математических моделей, объ-
единенных соотношениями. Это – модель учеб-
ной задачи. Формальные определения стандарт-
ных задач включают модель задачи M(x1, , xn),
условие задачи (x1, , xn) и вопрос ),...,(
1 mjj xxQ :
Дано M (x1, , xn), причем (x1, , xn). Най-
ти ),...,(
1 mjj xxQ .
Например, задача «Построить касательную
L к графику F функции
x
x
y
1
в точке A с
абсциссой xA = 1» представлена в виде модели
, ,P M Q , где
'
( ( ) & ( , ) &
& ( ( )( )),
A A
A A A
M F y f x A x y
L y y f x x x
(1)
1
( ( ) ) & ( 1)A
x
f x x
x
,
Q = L .
Модель задачи использует базовые модели
графика функции y = f (x), точки A(xA, yA) и ка-
сательной к графику функции L(y – yA = f (xA)
(x – xA)). Эти модели объединены соотноше-
ниями ( ) ( 1) / & ( 1)Af x x x x , определен-
ными в условии задачи.
Точные определения математических объек-
тов и учебных задач задаются в формальных
спецификациях каждого конкретного учебного
модуля.
Область применения моделей УМ. Анализ СЛС
таких математических дисциплин, как школь-
ная алгебра, математический анализ, линейная
алгебра, теория обычных дифференциальных
уравнений, некоторых дисциплин прикладной
математики, показал, что все они удовлетво-
ряют этой схеме. Соответствующая СКМУН, а
следовательно, и система тестирования, может
строиться как единая система, основанная на
понятии алгебраического объекта (AO) и эле-
ментарных алгебраических преобразований.
В статье рассматриваются проблемы постро-
ения систем тестирования алгебраических учеб-
ных модулей. Системы тестирования, основан-
ные на результатах этого исследования, реали-
зованы в СКМУН «Терм» [10]. Специфические
проблемы, возникающие при реализации сис-
тем тестирования в других предметных облас-
тях, – предмет дальнейших исследований.
Тестовые задания в учебных модулях
Классом тестовых заданий называется класс
учебных задач P = < M, , Q >, в котором опре-
делена модель M(x1, , xn), зависящая от пе-
ременных x1, , xn, множество условий, задан-
ное конечным набором логических формул
= < 1, , k > и конечным набором вопро-
сов Q = < Q1, , Qm >. Конкретное тестовое за-
дание – элемент класса P = < M, , Q > имеет
вид Pij = < M, i, Qj >.
Замечание. Когда речь идет о тестах, вопро-
сы к задачам принято называть ответами.
Пример 1. Квадратные уравнения с целыми
коэффициентами
}0{),,,( 2 cbxaxxcbaM , 321 ,, , где
1 = (a = 1)&(b Int)&(c Int)&(b2 – 4ac > 0),
2 = (a Int)&(b Int)&(c Int)&(b2
– 4ac = 0),
3 = (a = c)&(b Int)& (b2
– 4ac = 0),
. xQ
Этот класс тестовых заданий определяет за-
дания типа Решить квадратное уравнение с це-
лыми коэффициентами. Первая серия класса (с
условием 1) задает приведенные квадратные
уравнения с двумя корнями, вторая серия – квад-
ратные уравнения с равными корнями, а третья –
квадратные уравнения, где коэффициенты a и
c равны.
62 УСиМ, 2011, № 6
Модели учебных задач могут содержать не
только выражения с буквенными коэффициен-
тами, но и формальные определения элементов
моделей. Модель M примера 1 можно обобщить
определением X Var, где { , ,..., }.Var a b z Тогда
}(&}0{),,,( 2 VarXcbXaXXcbaM .
Пусть = (X { u, v, w, x, y, z }). Тогда Ф1, Ф2,
Ф3 можно доопределить
11 &: , 22 &: , 33 &: .
Класс тестовых заданий P = < M, 1, Q2 > ин-
терпретируется как Поиск суммы квадратов кор-
ней приведенного квадратного уравнения с целы-
ми коэффициентами. Конкретное тестовое за-
дание – элемент этого класса формулируется как
квадратное уравнение au2 – 5u + 3, причем a = 1,
25 – 12a > 0. Найти 2
2
2
1 uu .
Описания и алгоритмы генерации тесто-
вых заданий
В принципе существует два подхода к ре-
шению задачи генерации конкретных тестовых
заданий. Во-первых, можно хранить серии од-
нотипных тестовых заданий в базе данных. Во-
вторых, реализовать в виде системных проце-
дур алгоритмы автоматической генерации од-
нотипных тестовых заданий. Каждый из этих
подходов имеет свои преимущества и недос-
татки. В первом случае необходимо тратить
много времени на наполнение базы данных, и
тестовые задания могут повторяться. Во вто-
ром случае время тратится на реализацию ал-
горитмов автоматической генерации, но каж-
дое тестовое задание индивидуально. Взве-
шенный подход заключается в том, чтобы:
на основе алгоритмического анализа модел-
ей и задач каждой конкретной предметной об-
ласти для каждого достаточно широкого класса
тестовых заданий разрабатывать единую общую
модель этого класса, а также модели и алгорит-
мы генерации условий и ответов к этой модели;
разработать общие CASE-технологии опи-
сания подклассов тестовых заданий на основе
единой общей модели пользователями СКМУН;
разработать общие механизмы хранения и
вызова алгоритмов генерации конкретных тес-
товых заданий.
Описание модели тестового задания содер-
жит описание типа математического объекта и
типов его параметров. Авторы ограничились
следующими типами алгебраических объектов:
Атомарные АО: числа, логические значения,
переменные.
Числа: полукольцо Nat, кольцо Int, поле Rat.
Логические значения: Bool = (False, True).
Переменные: малые и большие латинские
буквы и эти буквы с (натуральными) индексами.
Множество переменных обозначим через Var .
Выражения: термы от атомарных АО в сиг-
натуре алгебраических операций модуля . В
иерархии алгебраических учебных модулей сиг-
натуры АО расширяются. В алгебре изучают-
ся: линейные выражения, мономы, целые выра-
жения, рациональные, радикальные и модуль-
ные выражения.
Атомарные предикаты: A = B, A B, A < B,
A > B, A B, A B. В иерархии алгебраических
учебных модулей сигнатуры предикатов АО
расширяются. В алгебре также изучаются: урав-
нения, неравенства, тождества.
Логические алгебраические объекты – конъ-
юнкции и дизъюнкции атомарных предикатов
(в алгебраической терминологии – системы и
совокупности). Кроме того, в алгебре изучают-
ся системы уравнений и неравенств.
Тестовые задания-шаблоны. Выражение
F(x1, , xm; a1, , ak) в сигнатуре SD данной
предметной области SD назовем выражением-
шаблоном (Expression Template).
Переменные x1, , xm назовем метаперемен-
ными. Общей областью значений метаперемен-
ных является множество Var (xj Var). Пере-
менные a1, , ak назовем параметрами. Область
значений параметров – числовые множества
(aj Num).
Пример 2. a1x1 + a2x2 – выражение-шаблон.
Конкретные экземпляры этого шаблона: 2a + 3x,
–2/3u + 5x, и т.д. Если F(x1, , xm; a1, , ak) –
выражение-шаблон, то
1 1
1 1
,..., ,...,
,... ,... 1 1( ,..., ; ,..., )m m
m k
v v c c
x x a a m kSub Sub F x x a a
=F(u1, , um; c1, , ck), xj Var, aj Num
назовем специализацией (или частным случа-
ем, или экземпляром) F(x1, , xm; a1, , ak).
УСиМ, 2011, № 6 63
Выражения-шаблоны обозначают как общий
вид модели, так и общий вид ответа тестового
задания. Таким образом, основа определения
тестового задания T – пара < FTask, FAns >, где
FTask, FAns – выражения-шаблоны, определен-
ные над общими списками метапеременных и
параметров и обозначающие соответственно
модель и ответ тестового задания (вопрос со-
ответствующей задачи). Обозначим эти списки
через Xvar, ACoef. Тогда
),(),,(),( varvarvar CoefAnsCoefTaskCoef AXFAXFAXT .
В тестах на эквивалентные преобразования
выражений FTask = SDFAns, где «= SD » обозначает
семантическое равенство в области SD.
Пример 3. Тест на перемножение степеней.
T(x, y; m1, n1, m2, n2) =
1 1 2 2 1 2 1 2, .m n m n m m n nx y x y x y
Кроме сигнатуры предметной области, в оп-
ределении шаблона тестового задания исполь-
зуется системная функция Val(F), определен-
ная на множестве выражений данной предмет-
ной области. Системный интерпретатор функ-
ции Val(F) вычисляет специальную канониче-
скую форму выражения F. Функция Val(F), как
будет показано ниже, используется в алгорит-
мах генерации и проверки тестового задания.
Пример 4. Тест на приведение подобных.
Шаблон условия тестового задания FTask = (a1x1 +
+ a2x2 + a3x3 + a4x4) при специализации метапере-
менных x1, x2, x3 , x4 {u, v} задает линейное вы-
ражение от u, v. Ответ – приведенное линейное
выражение c1u + c2v. Условие x1, x2, x3 , x4 {u, v}
интерпретируется подстановкой случайным об-
разом вместо каждой метапеременной xj одной
из переменных u, v. Поскольку значения c1, c2 оп-
ределить невозможно, ответ описан в виде FAns =
= Val(a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x3) или FAns = Val(FTask).
Такая ситуация является общей: в тестах на
вычисление значений, упрощение или приве-
дение к стандартному виду выражений шаблон
имеет вид < FTask, Val(FTask) >.
Пример 5. Тест на факторизацию. В простом
частном случае шаблон тестового задания имеет
вид T = < acxy + adx + bcy + bd, (ax + b)(cy + d) >,
a, b, c, d Int, x, y Var. В общем виде этот тест
можно описать шаблоном T = < Val(F G), F G >.
Описания переменных и коэффициентов.
Область значений метапеременных – множество
Var. Описание метапеременных удовлетворяет
синтаксическим правилам:
:: . |VarDescription VarList VarType
; .VarDescription VarList VarType
VarList – список переменных через запятую.
:: | [ ] | |
{ } | .
VarType Var VarID VarID VarID
VarSet VarType VarType
Var – базовое множество переменных;
VarID – одна буква (возможно, с индексом);
[VarIDVarID] – отрезок типа Var. Началь-
ное и конечное значения отрезка – либо разные
буквы без индексов, либо разные буквы с од-
ним и тем же индексом, либо одна и та же бук-
ва с разными индексами.
{VarSet}– множество переменных, перечис-
ляемых через запятую.
VarType VarType – объединение двух опи-
саний типов.
Переменные VarList (т.е. левой части опреде-
ления) – это метапеременные. Переменные, вхо-
дящие только в VarType, – экземпляры. В шаб-
лоне могут использоваться как метаперемен-
ные, так и экземпляры переменных. Например:
X, Y Var – метапеременные, определенные
в Var.
A,B,C [ad] [uz] – метапеременные,
принимающие значения a,b,c,d,u,v,w,x,y,z.
A [ad]; B [uz]. Метапеременные A и
В имеют разные области определений.
F = ax + by + c; a,b,c [AR]. a,b,c – мета-
переменные, x, y – экземпляры переменных.
1 2 3 4 5 6, , , , , { , }; , [ ]a a a a a a u v u v a z – мета-
переменные, принимающие значения u и v, ко-
торые в свою очередь принимают в качестве
значений малые латинские буквы.
Общие области значений параметров – алгеб-
ры Nat Int Rat. Описания параметров типов
Nat, Int удовлетворяют тем же синтаксическим
правилам с соответствующей интерпретацией.
Значения типа Rat определяются через отрез-
ки значений их числителей и знаменателей:
r Rat, Num(r) [MinNum, MaxNum],
Den(r) [MinDen, MaxDen]
64 УСиМ, 2011, № 6
с ограничениями по умолчанию:
MinNum MaxNum, MinDen MaxDen, Num(r)
Int, Den(r) Nat, GCD(Num(r), Den(r)) = 1.
Описания переменных шаблонов использу-
ются в процедуре генерации экземпляров тес-
тов. В простейшем случае процедура GetTest
имеет спецификацию
TaskTest := GetTest(TemplateTest T),
где T =< FTask, FAns > .
Описание и использование условий в шаб-
лонах. В общем случае в структуру шаблона
тестового задания включается шаблон условия
, а шаблон FAns может содержать несколько
дизъюнктивных членов: FAns = FAns_1 FAns_k.
Рассмотрим пример:
Пример 6. Применить формулу сокращен-
ного умножения: T = < (a + b)2, a2 + 2ab + b2
>.
Пусть пользователь описал следующие шаб-
лоны этого тестового задания:
T1 = < (X + Y)2, a2 X2 + 2 a X Y +y2
>,
T2 = < (a X + b)2, a2 X2 + 2 a b X +b2
>,
T3 = < (a X + b Y)2, a2
X2+ 2 a b X Y+b2
Y2
>,
T4 = < (a Xm
+ b Yn)2, a2m
X2m+ 2 am
bn
Xm
Yn+b2n
Y2n
>.
Здесь X, Y– метапеременные, a,b,m,n – пара-
метры. Использование условий приводит и к со-
кращению числа шаблонов, и к расширению
класса тестовых заданий. Так, задание T4 в соче-
тании с условиями a = 1, b = 1, m = 0 m = 1,
n = 0 n = 1 описывает все классы тестовых
заданий с шаблонами T1, T2, T3. Описание усло-
вий следует синтаксису
;,|;:: CondListCondCondCondList
:: | &
&( ) | ( );
Cond AtomCond AtomCond
Cond AtomCond Cond
VarIDVarIDConstVarIDAtomCond |:: .
В описании условия мы ограничились усло-
виями типа простейших равенств. Однако эти
определения можно расширять. В рассматри-
ваемом примере условие имеет вид
)10,10,1,1( nnmmbaCond .
Семантика описания условия состоит в сле-
дующем:
каждое атомарное условие разбивает мно-
жество тестов на два класса: класс случаев, в ко-
торых оно выполняется, и класс случаев, в ко-
торых оно не выполняется. Соответствующее
значение генерируется случайным образом из
диапазона значений, определенных описаниями
параметров: VarID := Const VarID := Random();
через запятую перечисляются независимые
условия, всевозможные сочетания которых оп-
ределяют все частные случаи;
конъюнкция объединяет независимые усло-
вия, описывающие один и тот же частный случай;
дизъюнкция объединяет зависимые усло-
вия, каждое из которых определяет разные ча-
стные случаи.
Алгоритм генерации тестов в каждом своем
вызове возвращает один частный случай. По-
этому условие приводится к каноническому ви-
ду Cond = 1 + 2 ++N, где j определяет
лишь один тест. Алгоритм приведения Cond
рассмотрим на нашем примере: введем логиче-
ские переменные, соответствующие атомарным
условиям:
A = (a = 1), B = (b = 1), M0 = (m = 0),
M1 = (m = 1), N0 = (n = 0), N1 = (n = 1),
Тогда всевозможные варианты тестов опи-
сываются полиномом Жегалкина
G = (A + 1)(B + 1)(M0 + M1 + 1)(N0 + N1 + 1),
каждый моном которого описывает один тест.
Поэтому алгоритм приведения Cond к канони-
ческому виду заключается в построении стан-
дартного вида полинома G:
G = ABM0N0 + ABM0N1 ++ A + B +
+ M0 + M1 + N0 + N1 + 1.
Представление множества тестов данного
шаблона полиномом G используется в класси-
фикации тестов по степени их вычислительной
сложности. Сложность данного теста определя-
ется степенью (количеством логических пере-
менных) монома: чем меньше степень, тем слож-
нее вариант теста. Наиболее простые тесты в
нашем примере – тесты ABM0N0, ASM0N1,
ABM1N0, ASM1N1. Самый сложный тест – это
первый, в котором все параметры генерируют-
ся случайным образом.
Для управления вычислительной сложностью
тестов в процедуре тестирования нужно постро-
ить гистограмму распределения тестов данно-
УСиМ, 2011, № 6 65
го шаблона по их сложности. С этой целью
рассмотрим производящую функцию шаблона
gT(x), построенную по условию Cond: g(x) =
= G(x, , x) [11–12]. Подставим в G вместо
всех логических переменных переменную x:
g(x) = (x + 1)(x + 1)(x + x + 1)(x + x + 1) = (x + 1)2
(2x + 1)2. Тогда распределение множества тес-
тов шаблона T равно вектору коэффициентов
g(x) :
g(x) = 4x4 + 12x3 + 13x2 + 6x + 1.
Т а б л и ц а 1. Гистограмма распределения сложностей тес-
тов в тестовом шаблоне T4
Сложность i 1 2 3 4 5
Кол-во тестов Ni 4 12 13 6 1
Функцию G представим в виде G = G1 + G2 +
+ G3 + G4 + G5 , где полином Gi определяет все
тесты одной сложности i. Пусть pi – заданная
вероятность генерации теста сложности i. То-
гда выбор одного из полиномов G1, G2, G3, G4,
G5 проводится с вероятностью pi, а выбор кон-
кретного теста из Gi – с вероятностью 1/Ni.
Для упрощения шаблона T при условии U(Mij),
определенном мономом Mij полинома Gi, ис-
пользуется системная функция Red, возвраща-
ющая упрощенный шаблон Tij: Tij := Red(T, Mij).
В нашем примере для частного случая ABM0
получаем
2 2 2
4 ( ) , 2m n m m m n m nT aX bY a X a b X Y
2 2
0; ( ) ( 1& 1& 0)n nb Y U ABM a b m .
Подставим эти значения в T4:
' 0 2 2 0 2 0
4
0 0 2 2
(1 1 ) , 1
2 1 1 1 .
n
n n n n
T X Y X
X Y Y
Функция Red упрощает '
4T до шаблона
nnn YYYT 22''
4 21,)1( . Осталось при-
менить процедуру подстановки конктретного
значения метапеременной Y.
В общем случае функция CetTest имеет спе-
цификацию
TaskTestConditionstTemplateTeGetTest ),(: .
Семантика процедуры CetTest (T, Cond), ге-
нерирующей экземпляр тестового задания, оп-
ределенного шаблоном и условием:
выбрать случайным образом, в соответст-
вии с заданным распределением вероятностей,
частный случай – множество Gi условий шаб-
лона T;
из Gi выбрать случайным образом моном
Mij;
вычислить шаблон Tij = Red(T & Mij), упро-
стив T по условию Mij;
выбрать случайным образом и подставить
в Tij вместо каждой метапеременной xj одну из
объектных переменных, перечисленных в опи-
сании метапеременных;
выбрать случайным образом и подставить
в полученный шаблон Tij вместо каждого па-
раметра aj одно из его значений, перечислен-
ных в описании параметров;
в полученном экземпляре вычислить функ-
цию Val во всех ее вхождениях;
возвратить результат в виде P = < FTask, FAns >.
Типы и алгоритм проверки математиче-
ских тестовых заданий
В соответствии с определением УМ матема-
тические тесты можно классифицировать как
тесты:
на знание элементарных преобразований;
на знание методов решения учебных задач;
на составление математических моделей.
Тесты на знания элементарных преобра-
зований. Решая тест, пользователь самостоятель-
но выполняет предложенное в тесте элементар-
ное преобразование. Дидактическая цель – фор-
мирование навыков правильного выполнения ЭП,
необходимых для решения учебных задач. Тес-
ты этого класса не должны быть слишком слож-
ными. Ученик должен выполнить все вычисле-
ния «в уме», записав сразу правильный ответ.
Большинство ЭП выражений эквивалентны
в данной предметной области. Поэтому и тес-
ты часто носят двухсторонний характер.
Пример 7. Тест на знание тригонометриче-
ской формулы:
– Применить формулу синуса суммы
T = <Sin(2x+y), Sin(2x) Cos(y) + Cos(2x) Sin(y)>.
– Применить формулу синуса суммы
T = <Sin(2x) Cos(y) + Cos(2x) Sin(y), Sin(2x+y)>.
Тесты на знания методов решения учеб-
ных задач содержат задания, для решения ко-
66 УСиМ, 2011, № 6
торых нужно использовать несколько разных
элементарных преобразований.
Пример 8. Упростить выражение
)2(),()( 44 xCosxSinxCosT .
Если системная функция Val решает эту за-
дачу (т.е. правильно упрощает выражения), тес-
товое задание можно записать в виде
)(),()( 44 TaskValxSinxCosT .
Пример 9. Вычислить значение выражения
при данных значениях переменных
ETaskVal
b
ba
baba
ET ,(,
4
2 22
.
Тесты этого класса имеют, как правило, боль-
шую вычислительную сложность, чем тесты на
элементарные преобразования. Поэтому учету
подлежит количество шагов, выполненных
пользователем в процессе выполнения теста.
Тесты на составление математических
моделей содержат текстовые условия учебных
задач, решение которых включает дидактиче-
ски важный этап составления математической
модели задачи.
Пример 10. Составить модель задачи:
Задание Ответ
Поезд на середине пути между стан-
циями A и B задержался на 15 мин.
Чтобы прибыть на станцию B вовре-
мя, машинист увеличил скорость дви-
жения на 10 км/час. Найти скорость
поезда v, если расстояние между стан-
циями составляет 210 км.
105 15 105 210
60 10V V V
Шаблон ответа – уравнение
2 60
S t
V
2( )
S S
V v V
, а в шаблоне условия данные
обозначены параметрами. Единственная мета-
переменная V обязательно указывается в ус-
ловии. Шаблон ответа связывает уравнением
переменные vtVS ,,, . Это означает, что в тес-
тах типа Решить задачу, шаблоном ответа мо-
жет быть не только V, но и любая из остальных
переменных.
Задача автоматической проверки тесто-
вых заданий. Пусть ),...,(
1 kjjAns xxF – шаблон
ответа, Cond(x1, , xn) – условие. Для проверки
правильности ответа система вычисляет ответ
),...,(
1 kjjAns uuf , являющийся результатом под-
становки в ),...,(
1 kjjAns xxF значений метаперемен-
ных и параметров (процедура GetTest). Пусть
далее qAns(y1, , yl) – ответ пользователя. Прин-
ципиальное отличие правильности ответа поль-
зователя на математический тест от синтакси-
ческой правильности ответа на тест с констру-
ируемым условием заключается в следующем:
Ответ на тест с конструируемым услови-
ем проверяется синтаксическим равенством
),...,(),...,( 11 lAnsjjAns yyquuf
k
.
Ответ на математический тест проверяется
семантическим равенством, т.е. некоторой экви-
валентностью ),...,(~),...,( 11 lAnsjjAns yyquuf
k
. Это
означает, что правильный ответ может быть пред-
ставлен несколькими формулами. Например,
Sin(2x + y) = Sin(2x) Cos(y) + Cos(2x) Sin(y),
Sin(2x + y) = Sin(y) Cos(2x) + Cos(y) Sin(2x),
Sin(2x + y) = Sin(x + y) Sin(x) + Cos(x + y) Cos(x).
Поскольку аргумент yx 2 может быть пред-
ставлен в виде суммы бесконечным числом спо-
собов и в ответе можно менять местами сомно-
жители и слагаемые, количество правильных
ответов бесконечно.
При проверке правильности ответа следу-
ет отличать неправильный ответ от ответа, пред-
ставляющего правильный, но промежуточный
результат решения. Например: Составить
приведенное квадратное уравнение с корнями
(x1 = 4)&(x2 = –3). Промежуточный результат
может иметь вид
x2 – (4 + (–3)) x + 4 (–3) = 0,
x2 – (4 –3)x – 12 = 0.
В тестах на составление моделей правиль-
ный ответ пользователя может отличаться от
ответа системы несколькими дополнительными
переменными. Например, в тесте на построе-
ние модели (пример 10).
Ответ системы:
VVV
fAns
210
10
105
60
15105
.
Ответ пользователя:
УСиМ, 2011, № 6 67
1
2
1 2 1
105
105
10
0, 25 2
Ans
t
V
q t
V
t t t
.
Эти отличия делают задачу проверки пра-
вильности ответа нетривиальной. Для ее реше-
ния используются несколько системных функ-
ций, каждая из которых представляет один из
вариантов реализации отношения эквивалент-
ности fAns qAns.
EquNum(f, g) – выражения f и g равны с
точностью до формы записи числовых коэф-
фициентов.
EquCom(f, g) – выражения f и g равны с
точностью до коммутативности (перестановок
сомножителей и слагаемых).
EquAcc(f, g) – выражения f и g равны с
точностью до ассоциативности (расстановок
скобок в произведениях и суммах).
EquVar(f, g, V) – редукция (проекция) ло-
гического выражения g на множество пере-
менных {V} равна логическому выражению f. В
последнем пункте (варианты ответа к примеру
10) функция Val генерирует решение системы
уравнений, представленной пользователем. Пол-
ный ответ – логическое выражение g(t1, t2, V) =
0
1 1 2( &t t t 0 0
2 & )t V V . Редукция g на мно-
жество {V} есть выражение V = V
0.
Можно считать, что fAns представлено в ка-
нонической форме относительно функции Val:
Val(fAns) = fAns. Тогда алгоритм проверки ответа
заключается в следующем:
– если Equ(fAns, g), то возвратить сигнал «Пра-
вильно», иначе
– если Equ(fAns, Val(g)), то возвратить сигнал
«Промежуточный результат», иначе
– возвратить сигнал «Неправильно».
Здесь функция Equ(f, g) представляет собой
конъюнкцию нескольких функций (все пункты).
Например: Equ(f, g)=EquNum(f, g)&EquCom(f, g)
проверяет правильность ответа с точностью до
форм представления чисел и коммутативности.
Заключение. Системы тестирования, осно-
ванные на результатах этого исследования, реа-
лизованы в СКМУН «ТерМ» [10]. Эксперимент
показал эффективность и перспективность дан-
ного подхода при условии, что реализация сис-
темы тестирования удовлетворяет требованиям
стандарта IMS. Специфические проблемы, воз-
никающие при реализации систем тестирова-
ния в других предметных областях, – предмет
дальнейших исследований.
1. Львов М.C. Основные принципы построения педа-
гогических программных средств поддержки прак-
тических занятий // УСиМ. – 2006. – № 6. – С. 70–75.
2. Львов М.С. Проектирование логического вывода как
пошагового решения задач в математических сис-
темах учебного назначения // Там же. – 2008. – № 1. –
С. 25–32.
3. Львов М.C. Концепция информационной поддерж-
ки учебного процесса и ее реализация в педагоги-
ческих программных средах // Там же. – 2009. –
№ 2. – С. 52–57, 72.
4. Львов М.С. Концепция, архитектура и функциональ-
ность гибкой распределенной программной среды
учебного назначения для средней школы. Рабочее
место методиста // Там же. – 2009. – № 6. – С. 71–78.
5. Львов М.С. Распределенные программные среды учеб-
ного назначения. Подсистема управления учебным
процессом // Там же. – 2010. – № 1. – С. 66–71.
6. Львов М.С. Синтез інтерпретаторів алгебраїчних опе-
рацій в розширеннях багатосортних алгебр // Вісн.
Харьк. нац. ун-ту. (Серія «Математичне моделюван-
ня. Інформаійні технології. Автоматизовані системи
управління»). – 2009. – № 847. – С. 221–238.
7. Львов М.С. Тригонометричні обчислення в матема-
тичних системах навчального призначення // Зб. на-
ук. пр. Харківського ун-ту Повітряних Сил. – Харків:
ХУПС, 2010. – 1(23). – С. 132–136.
8. Львов М.С. Математичні моделі та методи підтри-
мки ходу розв’язання навчальних задач з аналітич-
ної геометрії // Искуственный интеллект. – 2010. –
№ 1. – С. 86–92.
9. Львов М.С. Методы генерации учебных примеров
программ с нетривиальными полиномиальными инва-
риантами // Восточно-Европейский журнал передо-
вых технологий. Математика и кибернетика – фун-
даментальные и прикладные аспекты. 2010. – № 2/4
(44). – С. 28–30.
10. Львов М.С., Львова Н.М. Вивчаємо алгебру з ком.п’ю-
тером: Навч. посібник. – К.: Шкільний світ, 2008. –
127 с.
Поступила 01.05.2011
Тел. для справок: (0552) 32-6781, 43-2315 (Херсон)
E-mail: lvov@ksu.ks.ua
© М.С. Львов, 2011
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/ETI <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>
/FRA <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>
/GRE <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>
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
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA <FEFF005500740069006c0069007a007a006100720065002000710075006500730074006500200069006d0070006f007300740061007a0069006f006e00690020007000650072002000630072006500610072006500200064006f00630075006d0065006e00740069002000410064006f00620065002000500044004600200070006900f900200061006400610074007400690020006100200075006e00610020007000720065007300740061006d0070006100200064006900200061006c007400610020007100750061006c0069007400e0002e0020004900200064006f00630075006d0065006e007400690020005000440046002000630072006500610074006900200070006f00730073006f006e006f0020006500730073006500720065002000610070006500720074006900200063006f006e0020004100630072006f00620061007400200065002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200065002000760065007200730069006f006e006900200073007500630063006500730073006900760065002e>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <FEFF005500740069006c0069007a00610163006900200061006300650073007400650020007300650074010300720069002000700065006e007400720075002000610020006300720065006100200064006f00630075006d0065006e00740065002000410064006f006200650020005000440046002000610064006500630076006100740065002000700065006e0074007200750020007400690070010300720069007200650061002000700072006500700072006500730073002000640065002000630061006c006900740061007400650020007300750070006500720069006f006100720103002e002000200044006f00630075006d0065006e00740065006c00650020005000440046002000630072006500610074006500200070006f00740020006600690020006400650073006300680069007300650020006300750020004100630072006f006200610074002c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020015f00690020007600650072007300690075006e0069006c006500200075006c0074006500720069006f006100720065002e>
/RUS <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>
/SKY <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>
/SLV <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-83010 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0130-5395 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T09:37:24Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Львов, М.С. 2015-06-12T15:01:14Z 2015-06-12T15:01:14Z 2011 Математические тесты в системах компьютерной математики учебного назначения / М.С. Львов // Управляющие системы и машины. — 2011. — № 6. — С. 60-67. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0130-5395 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83010 681.3: 658.56 Рассмотрено понятие математического теста, определены его типы и изучены алгоритмические аспекты разработки модулей тестирования процедурных знаний в системах компьютерной математики учебного назначения. The concept of mathematical test is considered, the types of mathematical tests are defined and the algorithmic aspects of the development of the modules of testing the procedural knowledge’s in the systems of computer mathematics of educational purpose are considered. Розглянуто поняття математичного тесту, визначено його типи та вивчено алгоритмічні аспекти розробки модулів тестування процедурних знань у системах комп’ютерної математики навчального призначення. ru Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України Управляющие системы и машины Информационные и коммуникационные среды Математические тесты в системах компьютерной математики учебного назначения Mathematical Tests in the Systems of Computer Mathematics of Educational Purpose Математичні тести в системах комп’ютерної математики учбового призначення Article published earlier |
| spellingShingle | Математические тесты в системах компьютерной математики учебного назначения Львов, М.С. Информационные и коммуникационные среды |
| title | Математические тесты в системах компьютерной математики учебного назначения |
| title_alt | Mathematical Tests in the Systems of Computer Mathematics of Educational Purpose Математичні тести в системах комп’ютерної математики учбового призначення |
| title_full | Математические тесты в системах компьютерной математики учебного назначения |
| title_fullStr | Математические тесты в системах компьютерной математики учебного назначения |
| title_full_unstemmed | Математические тесты в системах компьютерной математики учебного назначения |
| title_short | Математические тесты в системах компьютерной математики учебного назначения |
| title_sort | математические тесты в системах компьютерной математики учебного назначения |
| topic | Информационные и коммуникационные среды |
| topic_facet | Информационные и коммуникационные среды |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83010 |
| work_keys_str_mv | AT lʹvovms matematičeskietestyvsistemahkompʹûternoimatematikiučebnogonaznačeniâ AT lʹvovms mathematicaltestsinthesystemsofcomputermathematicsofeducationalpurpose AT lʹvovms matematičnítestivsistemahkompûternoímatematikiučbovogopriznačennâ |