Математические модели и алгоритмы оптимального распределения грузопотоков доставки товаров в сети объединенных в концерн супермаркетов и специализированных магазинов

Предложены математические модели оптимальной доставки товаров в сети объединенных в концерн или компанию супермаркетов, универсамов или специализированных магазинов. Mathematical model of the optimal delivery of the goods in the network united in the same group or company, supermarkets, department s...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Управляющие системы и машины
Date:	2011
Main Author:	Зак, Ю.А.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України 2011
Subjects:	Информационные и коммуникационные среды
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83012
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Математические модели и алгоритмы оптимального распределения грузопотоков доставки товаров в сети объединенных в концерн супермаркетов и специализированных магазинов / Ю.А. Зак // Управляющие системы и машины. — 2011. — № 6. — С. 72-82. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859730094642167808
author	Зак, Ю.А.
author_facet	Зак, Ю.А.
citation_txt	Математические модели и алгоритмы оптимального распределения грузопотоков доставки товаров в сети объединенных в концерн супермаркетов и специализированных магазинов / Ю.А. Зак // Управляющие системы и машины. — 2011. — № 6. — С. 72-82. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Управляющие системы и машины
description	Предложены математические модели оптимальной доставки товаров в сети объединенных в концерн или компанию супермаркетов, универсамов или специализированных магазинов. Mathematical model of the optimal delivery of the goods in the network united in the same group or company, supermarkets, department stores or specialty shops. Запропоновано математичні моделі оптимальної доставки товарів у мережу об’єднаних у концерн або компанію супермаркетів, універсамів або спеціалізованих магазинів.
first_indexed	2025-12-01T13:04:00Z
format	Article
fulltext	72 УСиМ, 2011, № 6 УДК 519.2/339.9 Ю.А. Зак Математические модели и алгоритмы оптимального распределения грузопотоков доставки товаров в сети объединенных в концерн супермаркетов и специализированных магазинов Предложены математические модели оптимальной доставки товаров в сети объединенных в концерн или компанию супер- маркетов, универсамов или специализированных магазинов. Mathematical model of the optimal delivery of the goods in the network united in the same group or company, supermarkets, depart- ment stores or specialty shops. Запропоновано математичні моделі оптимальної доставки товарів у мережу об’єднаних у концерн або компанію супермарке- тів, універсамів або спеціалізованих магазинів. Введение. Организация доставки товаров в сети объединенных в концерн или компанию супер- маркетов, универсамов или специализированных магазинов связана с большими финансовыми за- тратами, привлечением значительных объемов материальных и трудовых ресурсов, требует чет- кой координации усилий всех звеньев управлен- ческого аппарата и современной системы ме- неджмента. Такие концерны внутри страны или крупного региона могут объединять от несколь- ких сотен до тысячи магазинов, расположенных на значительных расстояниях друг от друга, не- сколько десятков крупных региональных скла- дов, через которые происходит снабжение мага- зинов данного региона. Ассортимент продавае- мых в магазинах товаров может достигать сотен и даже нескольких тысяч наименований. Дого- воры на поставки товаров заключаются с постав- щиками и производителями продукции, распо- ложенными в различных регионах страны или даже за ее пределами. Количество таких по- ставщиков также может достигать нескольких тысяч. Доставка товаров по звеньям сети может осу- ществляться как автомобильным, так авиацион- ным и железнодорожным транспортом. Функ- ции затрат в зависимости от объемов перево- зок по каждой из представленной дуге сети раз- личны и зависят от расстояний, видов исполь- зуемого транспорта, состояния сети дорог, осо- Ключевые слова: распределение грузопотоков в сети, целочисленное нелинейное программирование, деком- позиция, метод ветвей и границ. бенностей местности и региона. Хранение, при- ем и отгрузка товаров со складов связаны так- же с определенными затратами, которые в за- висимости от технической оснащенности склад- ских помещений, организации работ и квалифи- кации обслуживающего персонала в различных регионах страны существенно отличаются друг от друга. Кроме того, на возможные объемы хранения и распределения товаров по торго- вым центрам также накладываются определен- ные ограничения. Рассматриваемая трехуровневая сеть постав- ки товаров состоит из очень большого количе- ства узлов и дуг. Следовательно, задача распре- деления грузовых потоков в сети содержит сот- ни тысяч переменных. Эффективное решение сформулированной проблемы может принести значительный экономический эффект, исчисляе- мый десятками и даже сотнями миллионов руб- лей в год. Изменяющиеся во времени фактичес- кие потребности потребителей, изменения в но- менклатуре поставляемых товаров, предложе- ния поставщиков и связанные с этим изменения в необходимых объемах перевозок требуют опе- ративного решения сформулированной задачи, что накладывает дополнительные ограничения на эффективность используемых алгоритмов. С учетом всех ограничений рассматриваемая задача может быть сформулирована как NP-пол- ная задача нелинейного целочисленного про- граммирования очень большой размерности, точные методы решения которой связаны с большим объемом вычислений. Автору извест- но лишь незначительное количество публика- УСиМ, 2011, № 6 73 ций по вопросам построения математических моделей и алгоритмов решения задач оптималь- ного распределения грузовых потоков в сетях, учитывающие реальные ограничения, связан- ные с поставкой и хранением товаров. Предла- гаются приближенные методы и эвристические алгоритмы решения задачи, основанные на рас- пределении потоков в сети [1–3]. К недостат- кам этих методов можно отнести отсутствие оценок, насколько полученное приближенное решение задачи на каждом шаге отличается от нижней границы оптимального решения, что затрудняет выбор момента остановки итератив- ного процесса. Кроме того, предлагаемые ме- тоды обладают некоторыми недостатками, свя- занными с организацией параллельных вычис- лений. В статье предлагаются несколько математи- ческих моделей рассматриваемой проблемы, изучаются специфические свойства задачи, по- зволяющие вычислить точные и грубые оцен- ки значения критерия оптимальности на раз- личных этапах решения, осуществить процесс декомпозиции и представить процесс решения задачи в виде некоторого итеративного про- цесса решения двух задач меньшего размера и более простой структуры. Каждая из этих за- дач решается разработанной автором некото- рой модификацией метода «ветвей и границ», учитывающей конкретные специфические осо- бенности общей проблемы. Постановка и математическая модель за- дачи Рассматривается задача оптимального рас- пределения грузовых потоков в 3-х уровневой сети, включающей следующие виды узлов:  производители и оптовые поставщики раз- личных видов товаров (ПТ);  региональные склады (РС), куда поступа- ют товары от поставщиков и с которых произ- водится поставка товаров в торговые центры;  торговые центры (ТЦ). Введем следующие обозначения: },...,,,...,2,1{ ~ KkKk  – множество ПТ; },...,,...,2,1{ ~ NiIi  – множество различных ви- дов товаров, продаваемых торговым концерном; kJ ~ – подмножество видов товаров, произво- димых и (или) поставляемых k-м ПТ; s S  {1,2,..., ,..., }s S – множество РС; {1,t T  2,..., }T – множество ТЦ; t ib , Ii ~ , Tt ~ , – количество i-го вида товара, которое необхо- димо поставить t-му ТЦ. Как правило, поставки товаров от ПТ в РС и из РС в ТЦ осуществляются партиями, мини- мальные размеры которых соответственно рав- ны iksg и t isg . Объемы принимаемых и обрабатываемых грузов каждым РС ограничены некоторыми пре- дельными значениями sQ , Ss ~  . Следователь- но, справедливы ограничения β k ik iks s k K i J D Q      , t ik is s t T i I D Q       Ss ~  , (1) где βik – переводной коэффициент, с помощью которого необходимые площади или объемы работ для хранения и выполнения погрузочно- разгрузочных операций с товарами различных видов переводятся в одни те же единицы изме- рения; iksD , t isD – соответственно суммарные поставки i-го вида товара от k-го ПТ в s-й РС и из s-го РС в t-й ТЦ. Возможности поставщиков по каждому ви- ду товаров также могут быть ограничены не- которыми предельными значениями ikH , т.е. ik Ss iks HD   ~ , Ii ~ , Kk ~ . (2) Вычислим суммарные количества каждого вида товаров, которые должны быть поставле- ны различными поставщиками ТЦ концерна    Tt t ii bB , Ii ~ . (3) Условиями задачи могут накладываться до- полнительные ограничения, что все поставки товаров в каждый ТЦ t должны осуществлять- ся только из единственного РС s. Пусть заданы некоторые функции определе- ния затрат по перевозке товаров (в зависимо- сти от объемов поставок товаров (величины b)) по каждой из дуг ),( sk , ),( ts транспортной се- ти или хранения и обслуживания потоков гру- зов на каждом из РС, которые могут иметь вид 74 УСиМ, 2011, № 6 0 1 α , 0, ( ) 0,const, d b if b f b      0 2 φ( ), 0, ( ) 0,const, d b if b f b      (4) 1 1 1 3 1 0, 0, α , 0 , ( ) ...... α , ,R R R R if b d b if b b f b d b if b b b            1 1 1 4 1 0, 0, ( ), 0 , ( ) ...... ( ), .R R R R if b d b if b b f b d b if b b b              (5) Здесь ( )b , ( )r b , Rr ,...,1 , – некоторые неубывающие функции своих аргументов. Следовательно, могут быть определены сле- дующие величины: – стоимости перевозки различных объемов грузов    kJi iksks DD ~ из k-го ПТ в s-й РС и объе- мов грузов    Ji t is t s DD ~ из s-го РС в t-й ТЦ       ,,, ,),( sks sksksij ks QDif QDifDf c , Ii ~ , Ss ~  ; )( t s t s t s Dfc  , Ss ~  , Tt ~ ; (6) – стоимости затрат на хранение и обслужи- вание потоков грузов на каждом из РС max , : max , , . t s s ks s k K t T t ks s s k K t T c f D D D D Q s S                                  (7) Введем следующие целочисленные перемен- ные iksx и t isy . – переменная 0iksx определяет количество партий товара i-го вида в объеме iksg , постав- ляемого из k-го ПТ в s-й РС, – переменная 0t isy определяет количество партий товара i-го вида в объеме t isg , которое поставляется из s-го РС в t-й ТЦ. На выбор значений целочисленных перемен- ных накладываются следующие ограничения: – суммарные объемы поставок каждого ви- да товаров на каждый РС от различных ПТ не должны быть меньше чем объемы доставки это- го вида товаров различным ТЦ t is Tt t is Kk iksiks ygxg    ~~ , Ii ~ , Ss ~  , (8) и не должны превышать значений возможно- сти поставщиков ik Ss Kk iksiks Hxg   ~ ~ , Ii ~ , Kk ~ ; (9) – объемы принимаемых и (или) обрабаты- ваемых грузов каждым РС не должны превы- шать их предельных значений sQ , Ss ~  , max β , β , k t t ik iks iks i is is s k K i J t T i I g x g y Q                 (10) Ss ~  ; – объемы поставок каждого i-го вида това- ров в каждый ТЦ не должен быть меньше ус- тановленного заказами количества t ib t i Ss t is t is byg   ~ , Ii ~ , Tt . (11) Введем вспомогательные переменные       ,0,0 ,0,1 iks iks iks xif xif z       .0,0 ,0,1 t is t ist is yif yif z (12) Если предусмотрены ограничения, что каж- дый ТЦ должен получать все товары только от одного РС, а каждый ПТ должен поставлять свои товары только в один РС, то эти ограни- чения могут быть записаны в виде нелинейных неравенств на целочисленные переменные t isy и iksx и булевы переменные t isz и iksz следующе- го вида    Ss iksz ~ 1, Ii ~ , Kk ~ ;    kJi iksz ~ 1, Kk ~ , Ss ~  . (13)    Ss t isz ~ 1, Ii ~ , Tt ~ ;    Ii t isz ~ 1, Ss ~  , Tt ~ . (14) УСиМ, 2011, № 6 75 В качестве критерия оптимальности выбира- ется функционал минимизации суммарных за- трат на перевозку товара по всем дугам транс- портной сети и обслуживание региональных складов. (λ ) max[ ; ] λ . k k iks is iks iks k K i J s S t t s iks iks is is k K i J t T i Is S t t t s is is is t T i Is S F f g x f g x g y f g y                                            (15) Здесь и в дальнейшем is – некоторый коэф- фициент, учитывающий различные удельные стоимости перевозки продуктов. Следовательно, сформулированная задача оп- тимального распределения транспортных пото- ков сводится к решению задачи нелинейного целочисленного программирования очень боль- шого размера. Методы декомпозиции и приближенные методы решения общей проблемы Решение описанной выше задачи может быть представлено в виде последовательного реше- ния нескольких частных задач существенно меньшей размерности и более простой струк- туры. Рассмотрим следующие частные крите- рии оптимальности: – минимизация суммарных затрат на по- ставки товаров в РС от различных ПТ 1 (λ ) min k iks is iks iks k K i J s S E f g x         ; (16) – минимизация суммарных затрат на по- ставки товаров из РС в различные ТЦ min ~ ~~ 2           Tt Ii t is t is Ss s ygfE ; (17) – минимизация двух составляющих суммар- ных затрат на поставки товаров в РС от раз- личных ПТ и на содержание РС 3 (λ ) min ; k k iks is iks iks k K i J s S s iks iks k K i Js S E f g x f g x                         (18) – минимизация двух составляющих суммар- ных затрат на поставки товаров из РС в раз- личные ТЦ и на содержание РС 4 λ min . t t s is is t T i Is S t t t s is is is t T i Is S E f g y f g y                             (19) Сформулируем следующие задачи. Задача 1. Определить (16) в условиях огра- ничений на целочисленные переменные iksx (9), (12), (13), а также ограничений вида    Tt t i Kk iksiks Dxg ~~ , Ii ~ , (20) β k ik iks iks s k K i J g x Q      , Ss ~  . (21) Задача 2. Минимизировать (17) в условиях ограничений на целочисленные переменные t isy (12), (14), а также ограничений вида t i t is Tt t is Dyg  ~ , Ii ~ , Tt ; (22) β t t i is is s t T i I g y Q      , Ss . (23) В результате решения задачи 1 будут опре- делены объемы поставок различных видов то- варов от каждого поставщика в каждый из РС (т.е. значения целочисленных переменных xiks) и, следовательно, рассчитаны объемы поставок всех видов товаров на каждый из РС 1 β k is i iks iks k J G g x     , Ii ~ , Ss ~  , (24) причем s Ii is QG  ~ 1 , Ss ~  . Следовательно, может быть решена и сфор- мулирована задача 2-го этапа вида. Задача 3. Минимизировать критерий опти- мальности (19) в условиях ограничений на це- лочисленные переменные t isy (12), (14), (23), а также ограничений на поставки различного вида товаров с каждого РС вида 1β t t i is is is t T g y G    , Ii ~ , Ss , (25) где значения 1 isG определяются согласно (24). В результате решения задачи 2 будут опре- делены объемы поставок различных видов то- варов с каждого РС в различные торговые цен- тры (т.е. значения целочисленных переменных t isy ) и, следовательно, рассчитаны требуемые 76 УСиМ, 2011, № 6 объемы поставок всех видов товаров в каждый из РС для обеспечения этой возможности по- ставок.    Tt t is t isis ygG ~ 2 , Ii ~ , Ss , (26) причем s Ii is QG  ~ 2 , Ss ~  . Следовательно, может быть решена и сфор- мулирована другая задача 2-го этапа вида. Задача 4. Минимизировать функционал (18) в условиях ограничений на целочисленные пе- ременные xiks (9), (12), 13), а также ограниче- ния, связанные с объемами поставок различ- ных видов товаров на каждый РС вида 2 ~ is Ik iksiks Gxg k   , Ii , Ss ~  , (27) где значения 2 isG определяются по формулам (26). Последовательное решение задач 1, 4 и (или) задач 2, 3 обеспечит получение допустимых и достаточно эффективных приближенных реше- ний общей задачи. Пусть 1 1E и 2 1E – соответ- ственно значения критериев оптимальности в решении задач 1 и 4, а 1 2E и 2 2E – задач 2 и 3. Если 2 1 1 2 2 2 1 1 EEEE  , то в качестве прибли- женного решения общей проблемы выбирается решение пары задач 1, 4. Если 1 2 1 1 2 2E E E   2 1E , то в качестве приближенного решения общей проблемы выбирается решение пары задач 2, 3. Свойства допустимых и оптимальных ре- шений задачи Пусть 1 0, 0, ψ( ) γ , 0, if b b a b if b      – некоторая ми- норанта функции )(bf , т.е. ψ( ) ( )b f b Bb . Обозначим isP – выбранный на данном шаге объем товаров i-го вида, поставляемый в РС. Положим ˆ i iB B , ˆ s sQ Q , ˆ ik ikH H , ˆ t t i iD D и K̂ K  , Î I  , Ŝ S  , T̂ T  , а также 1ξ ( ) 0lE  , 3,2,1l . Для каждой пары индексов ),( ik , где ˆk K , ˆi I выполним алгоритмы А1, А2 и А3. Алгоритм А1. 1. Найдем * ˆψ ( ) min{ψ ( ) \| ˆ ˆ ˆmin( , )}, . iks iks iks iisiks k K iks iks s ik P g x B g x Q H i I        (28) * 1 1 1 1ξ ( ) ξ ( ) ψ ( )isiks E E P   . (29) а) Если * ˆ is iP B  , то полагаем ˆ ˆ /I I i и пе- реходим к другой паре индексов. Если Î  , то алгоритм заканчивает рабо- ту. Если Î  , то полагаем ˆ ˆ isi iB B P    , вы- бираем следующую пару индексов из скорректи- рованного подмножества индексов ˆi I , ˆk K . б) Если kiskisi HgP   , то полагаем ˆ ˆ /K K k . Если K̂  и Î   , то алгоритм заканчивает работу с сообщением, что задача не содержит допустимых решений. В противном случае для скорректированного подмножества индексов ˆi I , ˆk K и значения ˆ iB выполняем п.1 ал- горитма и вычисления (28), (29). в) Если sskisi QgP *  , то полагаем ˆ ˆ i i isB B P  , ˆ ˆ isik ik H H P  , ˆ ˆ /S S s . Если Ŝ  , а Î   , то алгоритм заканчивает свою работу с сооб- щением, что задача не имеет допустимых ре- шений, положив 1 1ξ ( )E   . В противном слу- чае выполняем п.1 алгоритма и вычисления (28), (29). В результате выполнения алгоритма А1 для каждой пары индексов Ii ~ , Kk ~ , значение 1ξ( )E определит грубую нижнюю границу ве- личины суммарных затрат на транспортировку товаров из ПТ в РС. Для каждой пары индексов ˆ ˆ( , ) ( , )i t I T , вы- полним следующий алгоритм А2. Алгоритм А2. В начале работы алгоритма полагаем 1 2ξ ( )E  = 0; Î I  , T̂ T  , Ŝ S  ; 0t isP , ˆt t i ib b , (i, t) = ( , )I T   ; ˆ s sQ Q , Ss ~  ; 1 2ξ ( ) 0E  . 1. Найдем * ˆ ˆ ˆψ ( ) min{ψ ( ) \| }t t t t t t t t is is is i is is sis is s S P g y b g y Q     , ˆi I , ˆt T . (30) УСиМ, 2011, № 6 77 Вычислим * 1 2 1 2ξ ( ) ξ ( ) ψ ( )t t t t is is is isE E P g y   . (31) а) Если * ˆt t t t is is is iP g y b  , то полагаем ˆ ˆ( , )I T  ˆ ˆ( / , / )I i T t , и переходим к другой паре индек- сов. Если множество пар индексов ˆ ˆ( , )I T  , то алгоритм заканчивает работу, и значение 1 2ξ ( )E – нижняя граница суммы минимальных затрат на поставку товаров из РС в ТЦ. б) Если * ˆt t t si is isP g y Q  , то полагаем ˆ t ib  ˆ t t i ib P  , t siss PQQ  , ˆ ˆ /S S s . Если Ŝ  , и при этом ˆ ˆ( , )I T   , то алгоритм заканчивает работу с сообщением, что задача не содержит допустимых решений, положив 1 2ξ ( )E   . В противном случае переходим к п.1 и снова вы- полняем вычисления (30), (31) для следующей пары индексов. Значение 1 2ξ ( )E определит грубую нижнюю границу величины суммарных затрат на транс- портировку товаров из РС в ТЦ. Для каждого индекса ˆs S выполним алго- ритм А3. Алгоритм А3. Положим Ŝ S  , Î I  ; 0isP , ˆi I , ˆs S ; 1 3ξ ( ) 0E  . 1. Определим ˆ ˆ ˆψ ( ) min minψ (λ *min{ , })is is i sis is i Is S P B Q   , (32) ˆi I , ˆs S . 1 3 1 3ξ ( ) ξ ( ) ψ ( )is isE E P  . (33) а) Если isi BP  , то полагаем ˆ ˆ /I I i . Если Î  , то алгоритм заканчивает свою работу. В противном случае снова переходим к п.1. б) Если ssi QP  , то полагаем ˆ ˆ /S S s , Bi = i isB P  . Если Ŝ  , а Î   , то алгоритм заканчивает работу с сообщением, что задача не содержит допустимых решений, положив 1 3ξ ( )E   . Если Ŝ   и Î   , то снова пере- ходим к п.1. Значение 1(E3) определит грубую ниж- нюю границу величины суммарных затрат на хранение, перегрузки и обслуживание това- ров в РС. Следовательно, значение 1 1 1 1 2 1 3ξ ( ) ξ ( ) ξ ( ) ξ ( )E E E E   (34) определит грубую границу значения минималь- ных суммарных затрат на транспортировку, хра- нение и обслуживание на региональных скла- дах товаров. Вычисление более точной оценки нижней границы минимальных суммарных затрат свя- зано с решением следующих ниже задач цело- численного линейного программирования. Задача В1. 1 1) ( ) min k iks iks iks k K i J E f g x         (35) в условиях ограничений ik Ss iksiks Hxg   ~ , Ii ~ , Kk ~ ; (36) β k ik iks iks s k K i J g x Q      , Ss ~  ; (37) i Kk Ss iksiks Bxg    ~ ~ , Ii ~ . (38) Задача В2. 2 2ξ ( ) ( ) mint t t is is is i I s S E f g y       (39) в условиях ограничений t i Ss t is t is byg   ~ , Ii ~ , Tt ~ ; (40) β t t i is is s i I g y Q    , Ss ~  . (41) Задача В3. 3 3ξ ( ) (λ ) minis is is i Is S E f x      (42) в условиях ограничений i Ss is Bx   ~ , Ii ~ ; (43) βi is s i S x Q    , Ss ~  . (44) Если выполняются ограничения, что каж- дый ПТ поставляет свои товары только в один РС, то в задачах В1 и В3 должны быть преду- смотрены ограничения (12), (13). Если выпол- няются ограничения, что каждый ТЦ должен получать все товары только из одного РС, то в задаче В2 должны быть предусмотрены огра- ничения (12), (14). 78 УСиМ, 2011, № 6 Более точная оценка суммы минимальных за- трат определяется выражением 2 2 1 2 2 2 3ξ ( ) ξ ( ) ξ ( ) ξ ( )E E E E   , где 2 1ξ ( ) ξ ( )E E . (45) Положим ˆ ik ikH H , ˆ i iB B , Ii ~ , Kk ~ ; ˆ s sQ Q , ˆt t is isb b , Ss ~  , Tt ; а также II ~ 1  , SS ~ 1  , KK ~ 1  , TT ~ 1  и для пар индексов – ) ~ , ~ (),( 11 KIKI  , ) ~ , ~ (),( 11 TITI  . Для каждой тройки индексов ),,( ski опреде- лим значения ( ) min min ψ ( ) ψ ( )t iks iks iks is iks is iks t Ts S c f g g g        , 1Ii , 1Kk  , 1Ss , (46) а для каждой тройки ),,( tsi – значения ( ) min min ψ ( ) ψ ( )t t t t t is is is iks is is is k Ks S c f g g g        , 1Ii , 1Ss , 1Tt  . (47) Найдем iks Ss iks cc 1 1 min   , 1Kk  , 1Ii , (48) iks SsKk iks Kk sik ccC 11 1 1 11 minminminmin   , ),(),(\|{minmin 11 min 11 22 skskcC iks SsKk sik   }, 1Ii ; (49) t is Ss t il cc 1 1 min   , 1Ii , 1Tt  ; (50) t is SsIi t lj cC 11 11 minminmin,   , )},(),(\|{minmin 11 min, 11 22 ljsicC t is SsIi t lj   , 1Tt  . (51) Вычислим 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 {max( ) \| ( ) 1 ˆˆ ˆmin( , , )}, ; ik s ik s ik s ik s ik s ik s x i s ik ik s D g x g x B Q H i I      (52) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 {max( ) \| [( 1) ˆ ˆ& β ]}, . t j l t t t t t j l j l j l j l j l y t t t t t j j l j l j l j l j l l R g y g y b g y g y Q t T        (53) Рассмотрим алгоритмы Р1 и Р2, позволяю- щие вычислить более точное значение нижней границы функции цели в оптимальном реше- нии. В алгоритмах Р1 и Р2 положим II ~ 1  , KK ~ 1  , ) ~ , ~ (),( 11 KIKI  , 11 SS  ; ˆ ik ikH H , ),(),( 11 KIki  ; ˆ i iB B , 1Ii ; ˆ s sQ Q , 1Ss . Начальные значения нижней границы положим 3 4ξ ( ) ξ ( ) 0E E  . Алгоритм Р1. Ш а г 1. Выполнив вычисления (46), (48), (49), определим ][max minmin1 1122 1 1 siksik Iii CC   . (54) Для индекса 1 1 Ii  определим значение 11 1 ski D по формуле (52). Значение 3ξ ( )E определяем 1 1 1 1 1 1 3 3ξ ( ) ξ ( ) ( ) i k s i k s E E f D  . (55) Переходим к шагу 2. Ш а г 2. Полагаем 1 1 1 1 1 1 1 ˆ ˆ i k i k i k s H H D  , 1 ˆ i B  1 1 1 1 ˆ i i k s B D  , 1 1 1 1 1 1 1 1 ˆ ˆ s s i k s i k s Q Q D  . Если 1 1 ˆ 0 i k H  , то полагаем 1 1 1 1( , ) [( , ) /I K I K 1 1/( , ) ]i k . Если подмножество пар индексов ),( 11 KI , 1̂I   , то алгоритм завершает ра- боту с сообщением об отсутствии допустимых решений, положив 3ξ ( )E   . Если 1 ˆ 0 i B  , то полагаем 1 1 1 1( , ) [( , ) /I K I K 1 1/( , )]i k , )/( 1 11 iII  . Если 1I , то алгоритм за- вершает работу и значение 3ξ ( )E определяет нижнюю границу минимальных затрат на тран- спортировку грузов. Если 1 ˆ 0 s Q  , то полагаем )/( 111 iSS  . Если 1S , 1I , то алгоритм завершает работу с сообщением об отсутствии допустимых ре- шений, положив 3ξ ( )E   . Со скорректированными значениями ˆ ikH , ˆ iB и ˆ sQ и множествами индексов 1I , 1S , а также пар индексов ),( 11 KI переходим к шагу 1. Алгоритм Р2. Ш а г 1. Выполнив вычисления (50)–(51), (53), определим ][max min,min,2 1 11 1 22 111 1 t lj t lj Ttljt CC   . (56) Для индекса 1 1 Tt  определим значение 1 11 t ljR по формуле (53). Значение 4ξ ( )E определяем 1 1 1 1 1 14 4ξ ( ) ξ ( ) ( )t t j l j lE E f R  . (57) УСиМ, 2011, № 6 79 Переходим к шагу 2. Ш а г 2. Полагаем 1 1 1 1 1 1 1 ˆ max(0; )t t t j j j lb b R  , 1 1 1 1 1 ˆ ˆ t l l j lQ Q R  . Если 1 1 ˆ 0t jb  , то корректируем множество пар индексов ),/(),(),( 1 11111 tjTITI  . Если мно- жество пар индексов ),( 11 TI , то алгоритм завершает работу и значение 4ξ ( )E определяет нижнюю границу минимальных затрат на транспортировку грузов. Если 1 1 1 1 1 1 ˆ min min(β )t t l il il il t T i I Q g y    , то полагаем 111 / lSS  . Если 1S , а ),( 11 TI , то алго- ритм завершает работу с сообщением об от- сутствии допустимых решений, 4ξ ( )E   . Если 1S и ),( 11 TI , то со скорректи- рованными значениями 1 1 ˆt jb и 1 ˆ lQ , а также мно- жеством индексов 1S , а также пар индексов ),( 11 TI переходим к шагу 1. Нижняя граница минимальных затрат мо- жет быть вычислена по формуле 5 3 4ξ ( ) max[ξ ( ),ξ ( )]E E E . (58) Наиболее точное значение нижней границы определяется из условий 2 5ξ( ) max[ξ ( ),ξ ( )]E E E . (59) При построении приближенных методов решения значение нижней границы позволит оценить целесообразность продолжения даль- нейших вычислений и остановить процесс ре- шения при получении приемлемого для поль- зователя результата. Алгоритмы решения задачи Решения задачи как точными, так и прибли- женными методами будем осуществлять по- следовательными алгоритмами оптимизации на основе модифицированного метода «метода вет- вей и границ» [4–6]. На каждой итерации алго- ритма выбирается значение одной какой-либо переменной iksx или t isy , Ii ~ , Kk ~ , Ss ~  . На этапе ветвления для этой переменной уста- навливаются либо первое наиболее эффектив- ное значение для нее, либо принимается второе условие, что значение этой переменной или бу- дет равно нулю, или принимает какое-либо дру- гое значение. Уточняются величины граничных значений ограничений для всех оставшихся для дальнейшего выбора переменных. Из дальней- шего рассмотрения исключаются в каждом из вновь образованных подмножеств вариантов подмножества значений переменных, не содер- жащих допустимых решений. Вычисляются ниж- ние границы функции цели для каждого из вновь образованных подмножеств вариантов. На каж- дой итерации выбирается для дальнейшего раз- вития подмножество с наименьшей границей функции цели. Процесс решения останавлива- ется, когда получено множество значений пе- ременных, удовлетворяющих всем ограниче- ниям задачи, и значение функции цели задачи у которого не хуже, чем значение нижней гра- ницы для каждого из подмножеств, подлежа- щих развитию вариантов. Получение точного решения столь сложной задачи нелинейного булевого программирова- ния очень большой размерности представляет только теоретический интерес и связано с очень большим объемом вычислений. Поэтому в даль- нейших разделах статьи основное внимание уде- ляется рассмотрению приближенных методов решения. Эти методы основаны на последова- тельном решении задач 1 и 4, а также 2 и 3 и выбора среди них наиболее эффективного, ли- бо решении общей задачи с использованием ле- восторонней схемы ветвления (т.е. выбор под- множества для дальнейшего развития только среди двух образованных на последнем шаге вариантов) до получения первого допустимого решения. С целью улучшения полученного на основе такой стратегии ветвления приближен- ного решения задачи может быть осуществлен возврат к любой вершине дерева подлежащих развитию вариантов, значение нижней грани- цы у которой лучше функции цели полученно- го приближенного решения. Вычисление нижних границ величины сум- марных затрат Рассмотрим формульные выражения и ал- горитмы расчета нижней границы для случаев, когда определены объемы грузопотоков по не- 80 УСиМ, 2011, № 6 которым дугам сети. Пусть на некотором этапе решения для -го частичного плана λ опреде- лены значения отдельных переменных (λ)jrpx , ( , , \| λ) ( , , )j r p I K S   , и τ (λ)lvy , ( , ,τ \| λ) ( , , )l v I S T   и определена сумма связанных со значениями этих переменных части суммарных затрат ( , , \| ) ( , , ) ( , \| ) ( , ) τ τ ( \| )( , \| ) ( , ) τ τ τ ( \|λ)( ,τ\|λ) ( , ) (λ) (λ ) max (λ ); ( λ ) λ . jrp jr jrp jrp j r p I K S jp jp jp jp j p I S lv lv lv lv l Il v I S v lv lv lv l Iv S T F f g x f g x f g y f g y                                      (60) Вычислим значения ( , \|λ) ( , ) ( \|λ)( ,τ\|λ) ( , ) ˆ ˆ(λ) max β ; β . p p jp jp jp j p I S lp lp lv l Ip S T Q Q g x g y                   (61) Если  ˆ (λ) min β ;βp jp jp lp lpQ x g  , то полагаем (λ) (λ) /S S p  . Определим также значения ( , \|λ) { (λ), (λ)} ˆ ˆ(λ)jr jr jr jr j r I S H H g x      ; ( , \|λ) ( , ) ˆ ˆ(λ)t t t j j j lp lp j p S T b b g y       . (62) При этом значения ˆ isH , ˆt ib , ˆ sQ определяют- ся также, как и в алгоритмах Р1 и Р2. Если ˆ (λ)jr jrH g , то полагаем ˆ (λ) 0jrH  , rJ ~ . Если (λ) (λ)t j j p S b B    , то полагаем 0jB и все пары индексов  (λ),S j  . Для вычисления нижней границы суммар- ных затрат ξ( \| λ)F для подмножества еще не установленных значений целочисленных пе- ременных iksx , ( , ) (λ)ki k J  , (λ)s S  , и t isy , ( , , ) { (λ), (λ), (λ)}i s t I S I   положим ( , , ) { (λ),i s t I  (λ), (λ)}S I  . Для вычисления нижней границы суммар- ных затрат для частичного плана λ положим ˆ (λ)ik ikH H  , ˆ (λ)k kJ J  ; ˆ (λ)t t i ib b  , (λ)i I  ; ˆ (λ)s sQ Q  , (λ)s S  , а также ˆ (λ)I I  , ˆ (λ)S S  , ˆ (λ)T T  . Сформулировав и решив задачи В1 – В3, получим значение нижней границы функции цели 5ξ ( \| λ)F для подлежащего определению подмножества переменных задачи. Тогда зна- чение нижней границы суммарных затрат для частичного плана λ определяется по формуле 5ψ( \| λ) (λ) ξ ( \| λ)F F F  . (63) Разбиение на подмножества Пусть для некоторого частичного плана λ определены значения отдельных переменных (λ)jrpx , ( , , \| λ) ( , , )j r p I K S   , и τ (λ)lvy , ( , ,τ \|λ)l v  ( , , )I S T   , образованы подмножества индексов (λ)kJ , (λ)I , (λ)S , (λ)T , а также вычислены значения ˆ (λ)sQ и ˆ (λ)isH , ˆ (λ)t ib по формулам (61), (62). Положив ˆ ˆ (λ)s sQ Q , ˆ ˆ (λ)is isH H , ˆ ˆ (λ)t t i ib b , а также 1 (λ)k kJ J  , 1 (λ)K K  , 1 (λ)I I  , 1 (λ)S S  , 1 (λ)T T  , и определив со- ответствующим образом подмножества пар индексов ),( 11 KI и ),( 11 TI , выполним вычисле- ния по формулам (46) – (51). Вычислим 1 1i  и 2 11 1 ljt  соответственно по фор- мулам (54) и (56). При решении задачи 4 в ка- честве переменной, по которой ведется ветв- ление, выбираем переменную 1 1 1i k s x , а при ре- шении задачи 3 – переменную 1 1 t jy . При реше- нии задачи точным методом, если 12 1 11 1 iljt  , то выбираем переменную для ветвления 1 1 t jy , если 12 1 11 1 iljt  , то – переменную 1 1 1i k s x . Рассматриваемое подмножество планов за- дачи λ разбиваем на два подмножества вида 1 1 1 1 1 1 1 λ λ{ \| },s s i k i k x D    1 1 1 1 1 1 2 λ λ{ \| }k s i k i k x D    (64) или УСиМ, 2011, № 6 81 1 1 1 1 1 λ λ{ \| }t t i i y R    , 1 1 1 1 1 λ λ{ \| }t t i i y R    , (65) где значения 1 1 1 s ki D и 1 1 t i R вычисляются соответ- ственно по формулам (52) и (53). Выбор этих переменных обеспечивает наи- большую разность между значениями нижней границы критерия оптимальности среди двух вновь образовавшихся подмножеств. Вычислительная схема получения прибли- женных решений предусматривает выполне- ние следующих этапов: 1. Решение модифицированным методом вет- вей и границ задачи 1, в результате чего будут определены значения переменных iksx , Ii ~ , Kk ~ , Ss ~  ; вычислено значение критерия эф- фективности 1 1E , определяемое выражением (16), а также суммарные объемы поставок iksiksiks xgD  , Ii ~ , Kk ~ , Ss ~  и 1 β k is i iks iks k J G g x     , Ss ~  , удовлетворяющие ограничениям ik Ss iks DD   ~ , Ii ~ , Kk ~ , Ss ~  ; s Ii is QG  ~ 1 ; Ss ~  . 2. Решение модифицированным методом вет- вей и границ задачи 2, в результате чего будут определены значения переменных t isy , Ss ~  , Tt ~ ; вычислено значение критерия эффектив- ности 1 2E , определяемое выражением (17), а так- же суммарные объемы поставок 2 isG по форму- лам (26), удовлетворяющие ограничениям s Ii is QG  ~ 2 , Ss ~  ; а также (22) и i Ss is BG   ~ 2 . 3. Формулируем и решаем модифицирован- ным методом ветвей и границ задачу 3. Если будет найдено допустимое эффективное реше- ние этой задачи со значением критерия опти- мальности 2 1E , определяемое выражением (19), и значения переменных t isy , Ss ~  , Tt ~ , то в результате последовательного решения задач 1 и 3 получено одно из приближенных решений задачи. При этом значения переменных iksx , Ii ~ , Kk ~ , Ss ~  , были вычислены в резуль- тате решения задачи 1, а значение комплексного критерия оптимальности (суммы приведенных затрат) определяются выражением 2 1 1 11 EEE  . 4. Формулируем и решаем модифицирован- ным методом ветвей и границ задачу 4. Если будет найдено допустимое эффективное реше- ние этой задачи со значением критерия опти- мальности 2 2E , определяемое выражением (18), и значения переменных iksx , Ii ~ , Kk ~ , Ss ~  , то в результате последовательного решения за- дач 2 и 4 получено второе из приближенных решений задачи. При этом значения перемен- ных t isy , Ss ~  , Tt ~ , вычислены в результате решения задачи 1, а значение комплексного кри- терия оптимальности определяются выраже- нием 2 2 1 22 EEE  . 5. Если задачи 3 или 4 не имеют допустимых решений, то полагаем соответственно 1E и (или) 2E . Если 21 EE  , то в качестве реше- ния задачи принимаются результаты последо- вательного решения задач 1 и 3. Если 21 EE  , то в качестве решения задачи принимаются ре- зультаты последовательного решения задач 2 и 4. 6. Если  21 EE , в деревьях решения за- дач 1 и (или) 2 полагаем полученное решение в качестве недопустимого, находим висячую вер- шину дерева с наименьшим значением нижней границы и продолжаем решение этой задачи до получения следующего оптимального решения. После выполнения этих вычислений перехо- дим к п.п. 3 или 4 алгоритма решения задачи. Следует отметить, что может быть проведе- но сравнение полученного приближенного ре- шения со значением вычисленным по формуле (34) и алгоритмами А1–А3 либо по формуле (45) и алгоритмами Р1, Р2 нижней границы сум- мы минимальных затрат. Если точность получен- ного приближенного решения не удовлетворяет требованиям лица, принимающего решения, то переходим к п. 6 и выполняем дальнейшие ре- шения последовательностей задач, как и в слу- чае, если  21 EE . При этом каждую из вновь образованных вершин дерева решения рассмат- 82 УСиМ, 2011, № 6 риваемой задачи полагаем неперспективной, ес- ли 1 2ξ( ) min( , )E E E . Если такая процедура бу- дет проведена до состояния, что граничные зна- чения для всех подлежащих развитию (вися- чих) вершин дерева при последовательном ре- шении задач 1, 3 и 2, 4 будут больше получен- ного наиболее эффективного допустимого ре- шения (рекорда), то это будет свидетельством того, что получено точное решение задачи. Заключение. Предложены математические модели оптимальной доставки товаров в сети объединенных в концерн или компанию супер- маркетов, универсамов или специализирован- ных магазинов в виде модели нелинейного це- лочисленного программирования большого раз- мера. Процесс решения сформулированных за- дач представлен в виде некоторого итератив- ного процесса решения ряда задач существен- но меньшей размерности и более простой струк- туры. Установлены свойства допустимых и оп- тимальных решений задачи, позволяющие вы- числить точные и грубые оценки значения крит- ерия оптимальности на различных этапах ре- шения, отбрасывать подмножества планов за- дачи, не содержащих допустимых решений и оценить эффективность получаемых прибли- женных решений. В реальных задачах могут не рассматриваться возможности поставки грузов из ПТ в те РС, а также из РС в те ТЦ расстояние, а следователь- но, и затраты на транспортировку грузов для которых в несколько (а в некоторых случаях и в десятки раз) превосходят удельные затраты на транспортировку для целого ряда имеющих- ся в наличие пунктов сети, расположенных на небольших расстояниях друг от друга. Учиты- вая, что в эффективных решениях проблем та- кие связи практически никогда не могут быть выбраны, это исключение может быть выполне- но на предварительных этапах при подготовке исходных данных для решения задачи. Такая процедура позволит сократить размерность ре- шаемой оптимизационной задачи, что даст воз- можность на современных компьютерах полу- чать эффективные оперативные решения пере- распределения грузопотоков. 1. Ху Т. Потоки в сетях. – М.: Мир, 1974. – 519 с. 2. Алгоритмы: построение и анализ / Т.Х. Кормен, Ч.И. Лейзерсон, Р.Л. Ривест и др. – М.: Вильямс, 2006. – 1296 c. 3. Sebastian H.-J. Optimization of Distribution Networks in Postal Logistics / INFORMS Annual Meeting, Seat- tle, USA, Nov. 2007. 4. Зак Ю.А. Методы многоэкстремальной оптимизации в условиях ограничений для сепарабельно квази- монотонных функций // Изв. РАН. Теория и систе- мы управления. – 2011. – № 2. – C. 38–55. 5. Зак Ю.А. Вычислительные схемы последовательных алгоритмов оптимизации // Автоматика и вычисли- тельная техника. – 1980. – № 1. – C. 46–55. 6. Зак Ю.А. Об одном классе многоэкстремальных задач и методах их решения // Там же. – 1979. – № 5. – С. 46–55. Поступила 11.10.2011 Тел. для справок: +49/(0)241-543255 (Aachen, Deutschland) E-mail: yuriy_zack@hotmail.com Сайт: www.optimorum.de © Ю.А. Зак, 2011  << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments true /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <FEFF004200720075006700200069006e0064007300740069006c006c0069006e006700650072006e0065002000740069006c0020006100740020006f007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400650072002c0020006400650072002000620065006400730074002000650067006e006500720020007300690067002000740069006c002000700072006500700072006500730073002d007500640073006b007200690076006e0069006e00670020006100660020006800f8006a0020006b00760061006c0069007400650074002e0020004400650020006f007000720065007400740065006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e0074006500720020006b0061006e002000e50062006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c006500720020004100630072006f006200610074002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00670020006e0079006500720065002e> /DEU <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> /ESP <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> /ETI <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> /FRA <FEFF005500740069006c006900730065007a00200063006500730020006f007000740069006f006e00730020006100660069006e00200064006500200063007200e900650072002000640065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000410064006f00620065002000500044004600200070006f0075007200200075006e00650020007100750061006c0069007400e90020006400270069006d007000720065007300730069006f006e00200070007200e9007000720065007300730065002e0020004c0065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000500044004600200063007200e900e90073002000700065007500760065006e0074002000ea0074007200650020006f007500760065007200740073002000640061006e00730020004100630072006f006200610074002c002000610069006e00730069002000710075002700410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650074002000760065007200730069006f006e007300200075006c007400e90072006900650075007200650073002e> /GRE <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a stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA <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> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <FEFF005500740069006c0069007a006500200065007300730061007300200063006f006e00660069006700750072006100e700f50065007300200064006500200066006f0072006d00610020006100200063007200690061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f0073002000410064006f0062006500200050004400460020006d00610069007300200061006400650071007500610064006f00730020007000610072006100200070007200e9002d0069006d0070007200650073007300f50065007300200064006500200061006c007400610020007100750061006c00690064006100640065002e0020004f007300200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006900610064006f007300200070006f00640065006d0020007300650072002000610062006500720074006f007300200063006f006d0020006f0020004100630072006f006200610074002000650020006f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650020007600650072007300f50065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e> /RUM <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> /RUS <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> /SKY <FEFF0054006900650074006f0020006e006100730074006100760065006e0069006100200070006f0075017e0069007400650020006e00610020007600790074007600e100720061006e0069006500200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002000410064006f006200650020005000440046002c0020006b0074006f007200e90020007300610020006e0061006a006c0065007001610069006500200068006f0064006900610020006e00610020006b00760061006c00690074006e00fa00200074006c0061010d00200061002000700072006500700072006500730073002e00200056007900740076006f00720065006e00e900200064006f006b0075006d0065006e007400790020005000440046002000620075006400650020006d006f017e006e00e90020006f00740076006f00720069016500200076002000700072006f006700720061006d006f006300680020004100630072006f00620061007400200061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000610020006e006f0076016100ed00630068002e> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-83012
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0130-5395
language	Russian
last_indexed	2025-12-01T13:04:00Z
publishDate	2011
publisher	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
record_format	dspace
spelling	Зак, Ю.А. 2015-06-12T15:04:38Z 2015-06-12T15:04:38Z 2011 Математические модели и алгоритмы оптимального распределения грузопотоков доставки товаров в сети объединенных в концерн супермаркетов и специализированных магазинов / Ю.А. Зак // Управляющие системы и машины. — 2011. — № 6. — С. 72-82. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0130-5395 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83012 519.2/339.9 Предложены математические модели оптимальной доставки товаров в сети объединенных в концерн или компанию супермаркетов, универсамов или специализированных магазинов. Mathematical model of the optimal delivery of the goods in the network united in the same group or company, supermarkets, department stores or specialty shops. Запропоновано математичні моделі оптимальної доставки товарів у мережу об’єднаних у концерн або компанію супермаркетів, універсамів або спеціалізованих магазинів. ru Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України Управляющие системы и машины Информационные и коммуникационные среды Математические модели и алгоритмы оптимального распределения грузопотоков доставки товаров в сети объединенных в концерн супермаркетов и специализированных магазинов Mathematical models and algorithms of the optimal allocation of cargo goods delivery network combined in the same group of supermarkets and special stores Математичні моделі та алгоритми оптимального розподілу вантажопотоків доставки товарів в мережі об’єднаних в концерн супермаркетів та спеціалізованих магазинів Article published earlier
spellingShingle	Математические модели и алгоритмы оптимального распределения грузопотоков доставки товаров в сети объединенных в концерн супермаркетов и специализированных магазинов Зак, Ю.А. Информационные и коммуникационные среды
title	Математические модели и алгоритмы оптимального распределения грузопотоков доставки товаров в сети объединенных в концерн супермаркетов и специализированных магазинов
title_alt	Mathematical models and algorithms of the optimal allocation of cargo goods delivery network combined in the same group of supermarkets and special stores Математичні моделі та алгоритми оптимального розподілу вантажопотоків доставки товарів в мережі об’єднаних в концерн супермаркетів та спеціалізованих магазинів
title_full	Математические модели и алгоритмы оптимального распределения грузопотоков доставки товаров в сети объединенных в концерн супермаркетов и специализированных магазинов
title_fullStr	Математические модели и алгоритмы оптимального распределения грузопотоков доставки товаров в сети объединенных в концерн супермаркетов и специализированных магазинов
title_full_unstemmed	Математические модели и алгоритмы оптимального распределения грузопотоков доставки товаров в сети объединенных в концерн супермаркетов и специализированных магазинов
title_short	Математические модели и алгоритмы оптимального распределения грузопотоков доставки товаров в сети объединенных в концерн супермаркетов и специализированных магазинов
title_sort	математические модели и алгоритмы оптимального распределения грузопотоков доставки товаров в сети объединенных в концерн супермаркетов и специализированных магазинов
topic	Информационные и коммуникационные среды
topic_facet	Информационные и коммуникационные среды
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83012
work_keys_str_mv	AT zakûa matematičeskiemodeliialgoritmyoptimalʹnogoraspredeleniâgruzopotokovdostavkitovarovvsetiobʺedinennyhvkoncernsupermarketovispecializirovannyhmagazinov AT zakûa mathematicalmodelsandalgorithmsoftheoptimalallocationofcargogoodsdeliverynetworkcombinedinthesamegroupofsupermarketsandspecialstores AT zakûa matematičnímodelítaalgoritmioptimalʹnogorozpodíluvantažopotokívdostavkitovarívvmerežíobêdnanihvkoncernsupermarketívtaspecíalízovanihmagazinív

Institution

Similar Items