Наближення спеціальними функціями визначення двох змінних з використанням дискретних даних
Сформулированы и доказаны теоремы относительно свойств операторов приближения функции суммами определенного вида в норме для случая, когда заданы значения функции на системе точек. The theorems are formulated and proved concerning the properties of the approach of the function by the sums of the kin...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Управляющие системы и машины |
|---|---|
| Datum: | 2012 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
2012
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83037 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Наближення спеціальними функціями визначення двох змінних з використанням дискретних даних / О.М. Литвин, О.В. Ярмош // Управляющие системы и машины. — 2012. — № 1. — С. 32-38. — Бібліогр.: 7 назв. — укр., рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859775459354476544 |
|---|---|
| author | Литвин, О.М. Ярмош, О.В. |
| author_facet | Литвин, О.М. Ярмош, О.В. |
| citation_txt | Наближення спеціальними функціями визначення двох змінних з використанням дискретних даних / О.М. Литвин, О.В. Ярмош // Управляющие системы и машины. — 2012. — № 1. — С. 32-38. — Бібліогр.: 7 назв. — укр., рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Управляющие системы и машины |
| description | Сформулированы и доказаны теоремы относительно свойств операторов приближения функции суммами определенного вида в норме для случая, когда заданы значения функции на системе точек.
The theorems are formulated and proved concerning the properties of the approach of the function by the sums of the kind the norm for a case, when the values of the function on the system of points are specified.
Сформульовано та доведено теореми відносно властивостей операторів наближення функції сумами визначеного вигляду в нормі для випадку, коли задано значення функції на системі точок.
|
| first_indexed | 2025-12-02T08:37:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
32 УСиМ, 2012, № 1
УДК 519.6
О.М. Литвин, О.В. Ярмош
Наближення спеціальними функціями визначених двох змінних
з використанням дискретних даних
Сформулированы и доказаны теоремы относительно свойств операторов приближения функции суммами определенного вида в
норме для случая, когда заданы значения функции на системе точек.
The theorems are formulated and proved concerning the properties of the approach of the function by the sums of the kind the norm for a case,
when the values of the function on the system of points are specified.
Сформульовано та доведено теореми відносно властивостей операторів наближення функції сумами визначеного вигляду в нормі
для випадку, коли задано значення функції на системі точок.
Вступ. Задача наближення функцій двох змін-
них f (x, y) сумами 0(x) 0(y) + + N (x) N (y) ви-
никає, наприклад, при розв’язанні інтеграль-
них рівнянь – заміна ядра G (x, y) інтегрального
рівняння ( ) ( , ) ( ) ( )
b
a
y x G x t y t dt f x вказаною
сумою дає можливість знайти розв’язання рівнян-
ня в аналітичній формі. В теорії і на практиці
розв’язання граничних задач широко використо-
вується класичний метод розділення змінних,
який зображує розв’язання граничної задачі у
вигляді ряду 0(x) 0(y) + + N (x) N (y) + .
У працях [1–4] та інших розглянуто знахо-
дження найкращого наближення f (x, y) із зада-
них класів з допомогою сум добутків функцій
однієї змінної на функцію кількох змінних. В
працях [5–7] досліджено мішану апроксимацію
сумами Фур’є, а в працях [6, 7] – також мішана
апроксимація поліномами Бернштейна та су-
мами вейвлетів.
Постановка задачі
В роботі [6] отримано формули для знахо-
дження функцій k (x), l (y), , 0,k l N та неві-
домих сталих C k,l у виразі
1,
0
2, , 1, 2,
0 0 0
( , ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
N
k k
k
N N N
l l k l k l
l k l
Z x y y h x
x h y C h x h y
(1)
з умови
22 0,1
( ) || ( , ) ( , ) || min ,
N
L z B
J Z f x y Z x y
(2)
де BN – клас функцій вигляду (1).
При цьому вважається, що h1,k та h2,l – зада-
на система лінійно незалежних функцій; функ-
ції k (y), l (x) і сталі ,k lC вважаються невідо-
мими.
Тобто, ці невідомі мають знаходитися шля-
хом розв’язання наступної мінімізаційної задачі
,
1 1
2
, ,
0 0
( ) ( , ) ( , ) .min
k l k lC
J Z f x y Z x y dxdy
(3)
В результаті доведено теорему.
Теорема 1. [6]. Сталі C k,l та функції k (y),
l (x), , 0,k l N , які є розв’язанням задачі (3),
задовольняють систему лінійних алгебраїчних
рівнянь (лінійних відносно C k,l ):
1 1
1, 2,
0 0
( , ) ( , ) ( ) ( ) 0p qf x y Z x y h x h y dxdy ,
, 0,p q N (4)
та двом системам функціональних рівнянь:
1
1,
0
( , ) ( , ) ( ) 0pf x y Z x y h x dx , 0,p N , (5)
1
2,
0
( , ) ( , ) ( ) 0qf x y Z x y h y dy , 0,q N . (6)
При цьому єдине розв’язання задачі (3) має
вигляд:
* 1
1 1 1( , ) ( ) ( )TZ x y h x B F y
1 1 1
2 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ,T TF x B h y h x B FB h y (7)
де
1 1,1 1,( ) ( ),..., ( )Nh x h x h x ,
2 2,1 2,( ) ( ),..., ( )Nh y h y h y ,
1 1
1 2
0 0
( ) ( , ) ( )TF h x f x y h y dxdy ;
УСиМ, 2012, № 1 33
1
1 1
0
( ) ( ) ( , )T TF y h x f x y dx ,
1
2 2
0
( ) ( , ) ( )F x f x y h y dy ,
1
1 1 1
0
( ) ( )TB h x h x dx ,
1
2 2 2
0
( ) ( )TB h y h y dy .
Авторами статті сформульовано і доведено
низку теорем стосовно іншого представлення
Z
(x, y), а також стосовно розв’язання аналога мі-
німізаційної задачі (3), що дозволяє дослідити
похибку наближення побудованими конструк-
ціями. Зокрема доведено, що
* *
1 2 1 2( , ) ( , ) ( ) ( , )Z x y Z f x y A A A A f x y ,
де
1
1 1 1 1 1( , ) ( ) ( ) ( ) ( )T TA f x y h x y h x B F y ,
1
2 2 2 2 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( )T TA f x y x h y F x B h y ,
1 1
1 2 1 1 2 2( , ) ( ) ( )TA A f x y h x B FB h y .
Оператори A1, A2 отримуються шляхом роз-
в’язання мінімізаційних задач
1
2
1
( )
0
( , ) ( ) ( ) min
T
y
f x y h x y dx
та
1
2
2
( )
0
( , ) ( ) ( ) min
T
x
f x y y h y dy
.
Однак на практиці функція f (x, y) рідко бу-
ває відомою в аналітичній формі. Найчастіше
бувають відомими її значення f (xi, yj) = f i,j, 0 i,
j M. Тому актуальними є знаходження явних
формул для розв’язання задач, аналогічних на-
веденим, але для випадку, коли f (x, y) задано її
слідами f (xi, y) та f (x, yj) на системі взаємно пер-
пендикулярних прямих x = xi, y = yj, тобто відомі
її значення f (xi, yj).
Основні твердження
В даній статті поширюються результати
[6, 8] на випадок дискретного задання f (x, y).
Теорема 2. У випадку, якщо функцію f (x, y)
задано матрицею значень , ,p q
p q
f f
M M
(p, q =
0, M ) і наближуємо f (x, y) з умови
,
2
,
0 0
( ) 0( , , ) min
k l
M M
p q p q
Cp q
J C f Z x y C
(8)
функцією такого вигляду:
, 1, 2, 1 2
0 0
0( , , )
( ) ( ) ( ) ( ) ,
N N
T
k l k l
k l
Z x y C
C h x h y h x Ch y
(9)
де функції h1,k (x) та h2,l (y) – відомі лінійно не-
залежні функції, C k,l , , 0,k l N – невідомі сталі,
то для матриці C виконується співвідношення:
1 11 2C C B FB ,
де
, 1, 1,
0
1 ( ) ( )
M
k k p p
p
B h x h x
,
, 2, 2,
0
2 ( ) ( )
M
l l q q
q
B h y h y
,
, , 1, 2,
0 0
( ) ( )
M M
p q p q
p q
F f h x h y
.
Доведення. Для цієї класичної задачі тео-
рії апроксимації автори отримали аналог те-
ореми 3. Шукаємо невідомі C k,l , , 0,k l N з
умови (8).
,
0 0,
, , 1, 2,
0 0,
( )
2 0( , )
( ) ( ) 0
M M
p q p q
p q
N N
p q k l k p l q
k l
J C
f Z x y
C
f C h x h y
C
, , 1, 2,
0 0 0 0,
1, 2,
( )
2 ( ) ( )
( ) ( ) 0, , 0, .
M M N N
p q k l k p l q
p q k l
p q
J C
f C h x h y
C
h x h y N
Перепишемо останні рівності у вигляді
, 1, 2, 1, 2,
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
M M N N
k l k p l q p q
p q k l
C h x h y h x h y
, 1, 2, ,
0 0
( ) ( ) , , 0, ,
M M
p q p q
p q
f h x h y F N
, , , ,
0 0
1 2
N N
k k l l
k l
B C B F
, , 0, N . (10)
Перепишемо систему рівнянь (10) у матри-
чному вигляді. Отримаємо 1 2B CB F , звідки
1 11 2C B FB .
34 УСиМ, 2012, № 1
Отже, 0( , , ) 1( ) 2 ( )TZ x y C h x Ch y
1 11( ) 1 2 2 ( ) .Th x B FB h y
Теорему 2 доведено.
Теорема 3. Якщо 0 ( , )Z f x y
1 11( ) 1 2 2 ( )Th x B FB h y , то 0 ( , )Z f x y
1 2 ( , )A A f x y , де 1 1( , ) ( ) ( )TA f x y h x y
1
1( ) 1 1( )h x B F y , 0,1x ,
1,
0
1( ) ( , ) ( )
M
p p
p
F y f x y h x
,
1
2 2 2( , ) ( ) ( ) 2( ) 2 ( )T TA f x y x h y F x B h y , 0,1y ,
2,
0
2( ) ( , ) ( )
M
q q
q
F x f x y h y
.
Доведення. Для фіксованого y знаходимо
(y) з умови
2
1
0
1( ) ( ) ( ) ( , ) min
M
T
p p
p
J h x y f x y
1( ) 1 1( )y B F y , де 1,
0
1 ( ) ( , ) ( )
M
p p
p
F y f x y h x
,
тобто 1
1 1( , ) ( ) 1 ( 1 )( )A f x y h x B F f y .
Аналогічно для фіксованого x з умови
2
2
0
2( ) ( ) ( ) ( , ) min
M
T
q q
q
J x h y f x y
отримуємо 1( ) 2( ) 2x F x B , де 2 ( )F x
2,
0
( , ) ( )
M
q q
q
f x y h y
, тобто 2 ( , )A f x y
1
2( 2 )( ) 2 ( )TF f x B h y .
Подальше доведення витікає з того, що опе-
ратори 1 ( , )A f x y та 2 ( , )A f x y є перестановни-
ми один з іншим, тобто
1 2 1 2( , ) ( ( , ))A A f x y A A f x y
1
1 1, 2
0
( ) 1 ( ) ( , )
M
p p
p
h x B h x A f x y
1 1
1 1, 2, 2
0 0
1 1
1 2 2 1
( ) 1 ( ) ( , ) ( ) 2 ( )
( ) 1 2 ( ) ( , ), ( , [0,1]),
M M
T
p p q q
p q
T
h x B h x f x y h y B h y
h x B FB h y A A f x y x y
де , 1, 2,
0 0
( , ) ( ) ( ), , 0,
M M
p q p q
p q
F f x y h x h y N
.
Теорему 3 доведено.
Зауважимо, що теорема 3 дозволяє відбити
залишок наближення функції f (x, y) оператором
Z0(x, y, C) через залишки наближення f (x, y) опе-
раторами 1 ( , )A f x y та 2 ( , )A f x y , що діють на
одну змінну (x та y відповідно). В результаті
доведемо теорему.
Теорема 4. Похибка наближення функції
f (x, y) за допомогою Z0(x, y, C) має вигляд:
1 2 1 2
( , ) ( , ) 0( , , )
( , ) ,
Rf x y f x y Z x y C
R R R R f x y
де 1 1( , ) ( , ) ( , )R f x y f x y A f x y ,
2 2( , ) ( , ) ( , )R f x y f x y A f x y .
Доведення. Запишемо такий ряд рівностей
(I – тотожний оператор):
1 2
1 2 1 2
( , ) 0( , , ) ( , ) ( , )
( ) ( , ) ( ) ( )
f x y Z x y C f x y A A f x y
I A A f x y I A I A
1 2 1 1 1 2( )( ) ( , ) ( ) ( , ).I A I A f x y R R R R f x y
Теорему 4 доведено.
Зауваження 1. У випадку, коли функцію f (x, y)
задано матрицею значень fp,q, знайти розв’язан-
ня задачі
2
,
( ), ( ),0 0
( , , )
( , ) ,min
M M
p q p q
y x Cp q
JJ C
f Z x y
(11)
де Z(xp, yq) представлено у вигляді (1) можливо,
якщо прийняти k(y) = C1k, l(x) = C2l, де C1 та
C2 – сталі вектори.
Теорема 5. Якщо у формулі (1) прийняти
k(y) = C1k, l(x) = C2l, де C1 та C2 – сталі век-
тори і система h1,k , h2,l є розкладом одиниці
1,
0
1
N
k
k
h
, 2,
0
1
N
l
l
h
, тобто, якщо формула
(1) має вигляд
0
,
0 0 0
( , ) 1 1 ( )
2 2 ( ) 3 1 ( ) 2 ( )
N
k k
k
N N N
l l k l k l
l k l
ZZ x y С h x
С h y C h x h y
(12)
або в матрично-векторній формі
УСиМ, 2012, № 1 35
( , ) 1( ) 1
2 2 ( ) 1( ) 3 2 ( ) ,
T
T T
ZZ x y h x C
C h y h x C h y
то її можна подати у вигляді
( , ) 1( ) 2 ( )TZZ x y h x С h y ,
де 1 2 3С C C C , 1 1, 1,..., 1C C C C , 2TC
2, 2,..., 2C C C .
Доведення. Перепишемо вираз (12) у наступ-
ному вигляді:
0 0
,
0 0 0
( , ) 1 1 ( ) 2 2 ( )
3 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1,
N N
k k l l
k l
N N N
k l k l k
k l k
ZZ x y С h x С h y
C h x h y h x
0 0 0
,
0 0 0 0
,
0 0
2 ( ) 1 1 1 ( ) 2 ( )
2 1 ( ) 2 ( ) 3 1 ( ) 2 ( )
1 2 3 1 ( ) 2 ( )
N N N
l k k l
l k l
N N N N
l k l k l k l
k l k l
N N
k l k l k l
k l
h y С h x h y
С h x h y C h x h y
C C C h x h y
,
0 0
1 ( ) 2 ( ) 1( ) 2 ( ) .
N N
T
k k l l
k l
h x C h y h x Ch y
У цьому випадку мінімізаційна задача (11)
зводиться до знаходження однієї матриці
1 2 3C C C C .
Теорему 5 доведено.
Приклад. Нехай , ,p q
p q
f f
M M
, де f (x, y) =
= ln (x + a)2
+ (y + b)2, a = b = 1, h1,k (x), h2,l (y),
, 0,k l N – базисні сплайни першого степеня.
При наближенні функції, заданої значеннями в
точках ,
p q
f
M M
оператором Z0(x, y, C) =
1 2( ) ( )Th x Ch y при N = 10 та M = 20 отримано
похибку наближення = O(10–4). Аналогічне зна-
чення похибки отримано при наближенні функ-
ції f (x, y) операторами 1( , )A x y 1
1( ) 1 1( )h x B F y
та 1
2 2( , ) 2( ) 2 ( )TA x y F x B h y .
Висновки. На практиці аналітичний вигляд
функції f (x, y) часто невідомий, тому виникає
необхідність наближення операторами, роз-
глянутими в статті. Такий підхід вважається
корисним у випадках, коли задано значення
f (xp, yq) = f p,q функції f (x, y) на системі точок
(xp, yq) з похибкою. Побудовані оператори до-
зволяють згладити експериментальні дані, а та-
кож відбити залишки наближення f (x, y) через
залишки наближення операторами, що діють
на одну змінну.
Використання таких форм операторів на-
ближення функцій двох змінних може знайти
застосування у дослідженні математичних мо-
делей залежності попиту на освітні послуги від
ціни та рейтингу вищого навчального закладу.
1. Бабаев М.-Б.А.. Наилучшее приближение функци-
ями меньшего числа переменных // Докл. АН СССР. –
1984. – 279, № 2. – С. 273–277.
2. Поспелов В.В. О приближении функций несколь-
ких переменных произведениями функций одного
переменного. – М.: Наука, 1978. – 40 с.
3. Темляков В.Н. Приближение функций с ограни-
ченной смешанной производной // Тр. МИАМ. –
1986. – 178. – С. 1–112.
4. Шура-Бура М.Р. Аппроксимация функций многих
переменных функциями, каждая из которых зави-
сит от одного переменного // Вычисл. математика. –
1957. – № 2. – С. 3–19.
5. Потапов М.К. Изучение некоторых классов функций
при помощи приближения «углом» // Тр. МИАН. –
1972. – 117. – С. 256–291.
6. Литвин О.М. Інтерлінація функцій та деякі її за-
стосування. – Харків: Основа, 2002. – 544 с.
7. Литвин О.М. Методи обчислень. Додаткові розді-
ли: Навч. посібник. – К.: Наук. думка, 2005. – 344 с.
Поступила 24.03.2011
Тел. для справок: (066) 135-9633, (067) 607-9000 (Харьков)
E-mail: academ@kharkov.ua, yel_mag@mail.ru
© О.М. Литвин, О.В. Ярмош, 2012
О.Н. Литвин, Е.В. Ярмош
Приближение специальными функциями определенных двух переменных
с использованием дискретных данных
Введение. Задача приближения функций двух перемен-
ных f (x, y) суммами 0(x) 0(y) + + N (x) N (y) возника-
ет, например, при решении интегральных уравнений –
замена ядра G (x, y) интегрального уравнения y (x) =
36 УСиМ, 2012, № 1
( , ) ( ) ( )
b
a
G x t y t dt f x указанной суммой дает возмож-
ность найти решение уравнения в аналитической форме.
В теории и на практике решения краевых задач широко
используется классический метод разделения сменных,
который изображает решение предельной задачи в виде
ряда 0(x) 0(y) + + N (x) N (y) + .
В работах [1–4] и других рассмотрено нахождение
наилучшего приближения f (x, y) из заданных классов с
помощью сумм произведений функций одной перемен-
ной на функции нескольких переменных. В работах [5–7]
исследована смешанная аппроксимация суммами Фурье,
а в работах [6, 7] – также смешанная аппроксимация по-
линомами Бернштейна и суммами вейвлетов.
Постановка задачи
В работе [6] получены формулы для нахождения функ-
ций k (x), l (y), , 0,k l N и неизвестных постоянных
C k, l в выражении
1, 2,
0 0
, 1, 2,
0 0
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
N N
k k l l
k l
N N
k l k l
k l
Z x y y h x x h y
C h x h y
(1)
из условия
22 0,1
( ) || ( , ) ( , ) || min
N
L z B
J Z f x y Z x y
, (2)
где BN – класс функций вида (1).
При этом считается, что h1,k и h2,l – заданная система
линейно независимых функций; функции k (y), l (x) и
постоянные C k, l считаются неизвестными.
Тогда эти неизвестные следует находить путем реше-
ния следующей минимизационной задачи
,
1 1
2
, ,
0 0
( ) ( , ) ( , ) min
k l k lC
J Z f x y Z x y dxdy
. (3)
В результате доказана теорема.
Теорема 1. [6]. Постоянные C k, l и функции k (y), l (x),
, 0,k l N , которые есть решением задачи (3), удовлетво-
ряют системе линейных алгебраических уравнений (ли-
нейных относительно C k, l):
1 1
1, 2,
0 0
( , ) ( , ) ( ) ( ) 0p qf x y Z x y h x h y dxdy , , 0,p q N (4)
и двум системам функциональных уравнений:
1
1,
0
( , ) ( , ) ( ) 0pf x y Z x y h x dx , 0,p N , (5)
1
2,
0
( , ) ( , ) ( ) 0qf x y Z x y h y dy , 0,q N . (6)
При этом единственное решение задачи (3) имеет вид
* 1
1 1 1
1 1 1
2 2 2 1 1 2 2
( , ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ),
T
T T
Z x y h x B F y
F x B h y h x B FB h y
(7)
где
1 1,1 1,( ) ( ),..., ( )Nh x h x h x , 2 2,1 2,( ) ( ),..., ( )Nh y h y h y ,
1 1
1 2
0 0
( ) ( , ) ( )TF h x f x y h y dxdy ;
1
1 1
0
( ) ( ) ( , )T TF y h x f x y dx ,
1
2 2
0
( ) ( , ) ( )F x f x y h y dy ,
1
1 1 1
0
( ) ( )TB h x h x dx ,
1
2 2 2
0
( ) ( )TB h y h y dy .
Авторами статьи сформулированы и доказаны теоре-
мы относительно другого представления Z
(x, y), а также
относительно решения аналога минимизационной зада-
чи (3), что позволяет исследовать погрешность прибли-
жения построенными конструкциями. В частности дока-
зано, что
* *
1 2 1 2( , ) ( , ) ( ) ( , )Z x y Z f x y A A A A f x y ,
где 1
1 1 1 1 1( , ) ( ) ( ) ( ) ( )T TA f x y h x y h x B F y ,
1
2 2 2 2 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( )T TA f x y x h y F x B h y ,
1 1
1 2 1 1 2 2( , ) ( ) ( )TA A f x y h x B FB h y .
Операторы A1, A2 получаются путем решения мини-
мизационных задач
1
2
1
( )
0
( , ) ( ) ( ) min
T
y
f x y h x y dx
и
1
2
2
( )
0
( , ) ( ) ( ) min
T
x
f x y y h y dy
.
Однако на практике функция f (x, y) редко бывает из-
вестной в аналитической форме. Чаще всего бывают
известными ее значения f (xi, yj) = f i,j, 0 i, j M. Поэтому
актуально нахождение явных формул для решения задач,
аналогичных указанным, но для случая, когда функция
f (x, y) задана ее следами f (xi, y) и f (x, yj) на системе вза-
имно перпендикулярных прямых x = xi, y = yj, т.е. извест-
ны ее значение f (xi, yj).
Основные утверждения
В данной статье представлены результаты, кото-
рые распространяются на случай дискретного задания
f (x, y) [6].
Теорема 2. В случае, если функция f (x, y) задана
матрицей значений , ,p q
p q
f f
M M
( , 0,p q M ), и
приближается f (x, y) из условия
,
2
,
0 0
( ) 0( , , ) min
k l
M M
p q p q
Cp q
J C f Z x y C
(8)
функцией такого вида:
, 1, 2, 1 2
0 0
0( , , ) ( ) ( ) ( ) ( )
N N
T
k l k l
k l
Z x y C C h x h y h x Ch y
, (9)
где функции h1,k(x) и h2,l(y) – известные линейно неза-
висимые функции, C k, l, , 0,k l N – неизвестные посто-
янные, то для матрицы C имеем соотношение
УСиМ, 2012, № 1 37
1 11 2C C B FB ,
где , 1, 1,
0
1 ( ) ( )
M
k k p p
p
B h x h x
, , 2, 2,
0
2 ( ) ( )
M
l l q q
q
B h y h y
,
, , 1, 2,
0 0
( ) ( )
M M
p q p q
p q
F f h x h y
.
Доказательство. Для этой классической задачи тео-
рии аппроксимации авторы получили аналог теоремы 3.
Ищем неизвестные C k, l, , 0,k l N из условия (8)
,
0 0,
, , 1, 2,
0 0,
( )
2 0( , )
( ) ( ) 0
M M
p q p q
p q
N N
p q k l k p l q
k l
J C
f Z x y
C
f C h x h y
C
, , 1, 2,
0 0 0 0,
1, 2,
( )
2 ( ) ( )
( ) ( ) 0, , 0, .
M M N N
p q k l k p l q
p q k l
p q
J C
f C h x h y
C
h x h y N
Перепишем последние равенства в виде
, 1, 2, 1, 2,
0 0 0 0
, 1, 2, ,
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) , , 0, ,
M M N N
k l k p l q p q
p q k l
M M
p q p q
p q
C h x h y h x h y
f h x h y F N
, , , ,
0 0
1 2
N N
k k l l
k l
B C B F
, , 0, N . (10)
Перепишем систему уравнений (10) в матричном ви-
де. Получим 1 2B CB F , откуда 1 11 2C B FB .
Таким образом, 0( , , ) 1( ) 2 ( )TZ x y C h x Ch y
1 11( ) 1 2 2 ( ) .Th x B FB h y
Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Если 1 10 ( , ) 1( ) 1 2 2 ( )TZ f x y h x B FB h y ,
то 1 20 ( , ) ( , )Z f x y A A f x y , где 1 ( , )A f x y
1
1 1( ) ( ) ( ) 1 1( )Th x y h x B F y , 0,1x ,
1,
0
1( ) ( , ) ( )
M
p p
p
F y f x y h x
,
1
2 2 2( , ) ( ) ( ) 2( ) 2 ( )T TA f x y x h y F x B h y , 0,1y ,
2,
0
2( ) ( , ) ( )
M
q q
q
F x f x y h y
.
Доказательство. Для фиксированного y находим (y)
из условия
2
1
0
1( ) ( ) ( ) ( , ) min
M
T
p p
p
J h x y f x y
1( ) 1 1( )y B F y , где 1,
0
1 ( ) ( , ) ( )
M
p p
p
F y f x y h x
,
т.е. 1
1 1( , ) ( ) 1 ( 1 )( )A f x y h x B F f y .
Аналогично, для фиксированного x из условия
2
2
0
2( ) ( ) ( ) ( , ) min
M
T
q q
q
J x h y f x y
получаем
1( ) 2( ) 2x F x B , где 2,
0
2 ( ) ( , ) ( )
M
q q
q
F x f x y h y
, т.е.
1
2 2( , ) ( 2 )( ) 2 ( )TA f x y F f x B h y .
Дальнейшее доказательство вытекает из того, что опе-
раторы 1 ( , )A f x y и 2 ( , )A f x y – перестановочные один с
другим, т.е.
1
1 2 1 2 1 1, 2
0
1 1
1 1, 2, 2
0 0
1 1
1 2 2 1
( , ) ( ( , )) ( ) 1 ( ) ( , )
( ) 1 ( ) ( , ) ( ) 2 ( )
( ) 1 2 ( ) ( , ), ( , [0,1]),
M
p p
p
M M
T
p p q q
p q
T
A A f x y A A f x y h x B h x A f x y
h x B h x f x y h y B h y
h x B FB h y A A f x y x y
где , 1, 2,
0 0
( , ) ( ) ( ), , 0,
M M
p q p q
p q
F f x y h x h y N
.
Теорема 3 доказана.
Заметим, что теорема 3 позволяет выразить остаток
приближения функции f (x, y) оператором Z0(x, y, C) че-
рез остатки приближения f (x, y) операторами 1 ( , )A f x y и
2 ( , )A f x y , действующими на одну переменную (x и y
соответственно). В результате докажем теорему.
Теорема 4. Погрешность приближения функции f (x, y)
с помощью Z0(x, y, C) имеет вид
R f (x, y) = f (x, y) – Z0(x, y, C) = 1 2 1 2R R R R f (x, y), где
1 1( , ) ( , ) ( , ),R f x y f x y A f x y
2 2( , ) ( , ) ( , )R f x y f x y A f x y .
Доказательство. Запишем следующий ряд равенств
(I – тождественный оператор):
1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 2
( , ) 0( , , ) ( , ) ( , )
( ) ( , ) ( ) ( ) ( )( )
( , ) ( ) ( , ).
f x y Z x y C f x y A A f x y
I A A f x y I A I A I A I A
f x y R R R R f x y
Теорема 4 доказана.
Замечание 1. В случае, когда функция f (x, y) задана
матрицей значений fp,q, найти решение задачи
2
,
( ), ( ),0 0
( , , ) ( , ) min
M M
p q p q
y x Cp q
JJ C f Z x y
, (11)
где Z(xp, yq) представлено в виде (1) возможно, если принять
k(y) = C1k, l(x) = C2l, где C1 и C2 – постоянные векторы.
Теорема 5. Если в формуле (1) принять k(y) = C1k,
l(x) = C2l, где C1 и C2 – постоянные векторы и система
h1,k, h2,l есть разложением единицы 1,
0
1
N
k
k
h
, 2,
0
1
N
l
l
h
,
т.е. если формула (1) имеет вид
0 0
,
0 0
( , ) 1 1 ( ) 2 2 ( )
3 1 ( ) 2 ( )
N N
k k l l
k l
N N
k l k l
k l
ZZ x y С h x С h y
C h x h y
(12)
38 УСиМ, 2012, № 1
или в матрично-векторной форме
( , ) 1( ) 1 2 2 ( ) 1( ) 3 2 ( )T T TZZ x y h x C C h y h x C h y ,
то она может быть представлена в виде
( , ) 1( ) 2 ( )TZZ x y h x С h y ,
где 1 2 3С C C C , 1 1, 1,..., 1C C C C , 2 2, 2,..., 2TC C C C .
Доказательство. Перепишем равенство (12) в сле-
дующем виде:
0 0
,
0 0 0 0
0 0 0 0
, ,
0 0 0
( , ) 1 1 ( ) 2 2 ( )
3 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1, 2 ( ) 1
1 1 ( ) 2 ( ) 2 1 ( ) 2 ( )
3 1 ( ) 2 ( ) 1 2 3
N N
k k l l
k l
N N N N
k l k l k l
k l k l
N N N N
k k l l k l
k l k l
N N N
k l k l k l k l
k l l
ZZ x y С h x С h y
C h x h y h x h y
С h x h y С h x h y
C h x h y C C C
0
,
0 0
1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1( ) 2 ( ).
N
k
N N
T
k l k k l l
k l
h x h y h x C h y h x Ch y
В этом случае минимизационная задача (11) сводит-
ся к нахождению одной матрицы 1 2 3C C C C .
Теорема 5 доказана.
Пример. Пусть , ,p q
p q
f f
M M
, где f (x, y) = ln (x +
+ a)2
+ (y + b)2 , a = b = 1, h1,k (x), h2,l (y), , 0,k l N – ба-
зисные сплайны первой степени. При приближении
функции, заданной значениями в точках ,
p q
f
M M
, опе-
ратором 1 20( , , ) ( ) ( )TZ x y C h x Ch y при N = 10 и M = 20
получена погрешность приближения = O(10–4). Анало-
гичное значение ошибки получено при приближении
функции f (x, y) операторами 1
1 1( , ) ( ) 1 1( )A x y h x B F y и
2 ( , )A x y 1
22( ) 2 ( )TF x B h y .
Заключение. На практике аналитический вид функ-
ции f (x, y) часто неизвестен, поэтому возникает необхо-
димость приближения операторами, рассмотренными в
статье. Такой подход полезен в тех случаях, когда зада-
ны значения f (xp, yq) = f p,q функции f (x, y) на системе
точек (xp, yq) с погрешностью. Построенные операторы
позволяют сгладить экспериментальные данные, а также
выразить остатки приближения функции f (x, y) через
остатки приближения операторами, действующими на
одну переменную.
Использование таких форм операторов приближения
функций двух переменных может найти применение
при исследовании математических моделей зависимости
спроса на образовательные услуги высшего учебного
заведения от цены и рейтинга.
Внимание !
Оформление подписки для желающих
опубликовать статьи в нашем журнале обязательно.
В розничную продажу журнал не поступает.
Подписной индекс 71008
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/ETI <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>
/FRA <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>
/GRE <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>
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
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <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>
/RUS <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>
/SKY <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>
/SLV <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <FEFF04120438043a043e0440043804410442043e043204430439044204350020044604560020043f043004400430043c043504420440043800200434043b044f0020044104420432043e04400435043d043d044f00200434043e043a0443043c0435043d044204560432002000410064006f006200650020005000440046002c0020044f043a04560020043d04300439043a04400430044904350020043f045604340445043e0434044f0442044c00200434043b044f0020043204380441043e043a043e044f043a04560441043d043e0433043e0020043f0435044004350434043404400443043a043e0432043e0433043e0020043404400443043a0443002e00200020042104420432043e04400435043d045600200434043e043a0443043c0435043d0442043800200050004400460020043c043e0436043d04300020043204560434043a0440043804420438002004430020004100630072006f006200610074002004420430002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002004300431043e0020043f04560437043d04560448043e04570020043204350440044104560457002e>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-83037 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0130-5395 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-02T08:37:23Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Литвин, О.М. Ярмош, О.В. 2015-06-13T14:22:58Z 2015-06-13T14:22:58Z 2012 Наближення спеціальними функціями визначення двох змінних з використанням дискретних даних / О.М. Литвин, О.В. Ярмош // Управляющие системы и машины. — 2012. — № 1. — С. 32-38. — Бібліогр.: 7 назв. — укр., рос. 0130-5395 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83037 519.6 Сформулированы и доказаны теоремы относительно свойств операторов приближения функции суммами определенного вида в норме для случая, когда заданы значения функции на системе точек. The theorems are formulated and proved concerning the properties of the approach of the function by the sums of the kind the norm for a case, when the values of the function on the system of points are specified. Сформульовано та доведено теореми відносно властивостей операторів наближення функції сумами визначеного вигляду в нормі для випадку, коли задано значення функції на системі точок. uk Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України Управляющие системы и машины Новые методы в информатике Наближення спеціальними функціями визначення двох змінних з використанням дискретних даних An Approach by Special Functions with the Use of Discrete Data Приближение специальными функциями определенных двух переменных с использованием дискретных данных Article published earlier |
| spellingShingle | Наближення спеціальними функціями визначення двох змінних з використанням дискретних даних Литвин, О.М. Ярмош, О.В. Новые методы в информатике |
| title | Наближення спеціальними функціями визначення двох змінних з використанням дискретних даних |
| title_alt | An Approach by Special Functions with the Use of Discrete Data Приближение специальными функциями определенных двух переменных с использованием дискретных данных |
| title_full | Наближення спеціальними функціями визначення двох змінних з використанням дискретних даних |
| title_fullStr | Наближення спеціальними функціями визначення двох змінних з використанням дискретних даних |
| title_full_unstemmed | Наближення спеціальними функціями визначення двох змінних з використанням дискретних даних |
| title_short | Наближення спеціальними функціями визначення двох змінних з використанням дискретних даних |
| title_sort | наближення спеціальними функціями визначення двох змінних з використанням дискретних даних |
| topic | Новые методы в информатике |
| topic_facet | Новые методы в информатике |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83037 |
| work_keys_str_mv | AT litvinom nabližennâspecíalʹnimifunkcíâmiviznačennâdvohzmínnihzvikoristannâmdiskretnihdanih AT ârmošov nabližennâspecíalʹnimifunkcíâmiviznačennâdvohzmínnihzvikoristannâmdiskretnihdanih AT litvinom anapproachbyspecialfunctionswiththeuseofdiscretedata AT ârmošov anapproachbyspecialfunctionswiththeuseofdiscretedata AT litvinom približeniespecialʹnymifunkciâmiopredelennyhdvuhperemennyhsispolʹzovaniemdiskretnyhdannyh AT ârmošov približeniespecialʹnymifunkciâmiopredelennyhdvuhperemennyhsispolʹzovaniemdiskretnyhdannyh |