Чисельна реалізація методу лінійних інтегро-диференціальних рівнянь для рівняння нестаціонарної теплопровідності з двома просторовими змінними

Описано распространение метода конечных элементов решения нестационарной задачи теплопроводности с двумя пространственными переменными с использованием формул сплайн-интерполяции, построенных на основе сплайн-интерлинации функций для областей, ограниченных дугами известных кривых. Рассмотрен пример...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Управляющие системы и машины
Дата:	2012
Автори:	Литвин, О.М., Лобанова, Л.С., Залужна, Г.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України 2012
Теми:	Новые методы в информатике
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83078
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Чисельна реалізація методу лінійних інтегро-диференціальних рівнянь для рівняння нестаціонарної теплопровідності з двома просторовими змінними / О.М. Литвин, Л.С. Лобанова, Г.В. Залужна // Управляющие системы и машины. — 2012. — № 4. — С. 11-19, 24. — Бібліогр.: 7 назв. — укр., рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859977924624515072
author	Литвин, О.М. Лобанова, Л.С. Залужна, Г.В.
author_facet	Литвин, О.М. Лобанова, Л.С. Залужна, Г.В.
citation_txt	Чисельна реалізація методу лінійних інтегро-диференціальних рівнянь для рівняння нестаціонарної теплопровідності з двома просторовими змінними / О.М. Литвин, Л.С. Лобанова, Г.В. Залужна // Управляющие системы и машины. — 2012. — № 4. — С. 11-19, 24. — Бібліогр.: 7 назв. — укр., рос.
collection	DSpace DC
container_title	Управляющие системы и машины
description	Описано распространение метода конечных элементов решения нестационарной задачи теплопроводности с двумя пространственными переменными с использованием формул сплайн-интерполяции, построенных на основе сплайн-интерлинации функций для областей, ограниченных дугами известных кривых. Рассмотрен пример области, представляющей собой равностороннюю трапецию. The distribution of the method of finite elements for the decision of non-stationary task of heat-conducting with two spatial variables with the use of formulas of spline interpolation, which are built on the basis of spline interlineations of functions in case of curves arcs limited areas. The example of the area, which is isosceles trapezoid, is considered. Описано розповсюдження методу скінченних елементів розв’язання нестаціонарної задачі теплопровідності з двома просторовими змінними з використанням формул сплайн-інтерполяції, побудованих на основі сплайн-інтерлінації функцій для областей, обмежених дугами відомих кривих. Розглянуто приклад області, що є рівнобічною трапецією.
first_indexed	2025-12-07T16:24:27Z
format	Article
fulltext	УСиМ, 2012, № 4 11 Новые методы в информатике УДК 519.6 О.М. Литвин, Л.С. Лобанова, Г.В. Залужна Чисельна реалізація методу лінійних інтегро-диференціальних рівнянь для рівняння нестаціонарної теплопровідності з двома просторовими змінними Описано распространение метода конечных элементов решения нестационарной задачи теплопроводности с двумя пространствен- ными переменными с использованием формул сплайн-интерполяции, построенных на основе сплайн-интерлинации функций для областей, ограниченных дугами известных кривых. Рассмотрен пример области, представляющей собой равностороннюю трапецию. The distribution of the method of finite elements for the decision of non-stationary task of heat-conducting with two spatial variables with the use of formulas of spline interpolation, which are built on the basis of spline interlineations of functions in case of curves arcs limited areas. The example of the area, which is isosceles trapezoid, is considered. Описано розповсюдження методу скінченних елементів розв’язання нестаціонарної задачі теплопровідності з двома просторо- вими змінними з використанням формул сплайн-інтерполяції, побудованих на основі сплайн-інтерлінації функцій для облас- тей, обмежених дугами відомих кривих. Розглянуто приклад області, що є рівнобічною трапецією. Вступ. Метод скінченних елементів розв’язан- ня початково-крайової задачі для нестаціонар- ного рівняння теплопровідності досліджено в [1–5]         1 2, , , , , u u u p x y p x y t x x y y q x y u f x y t                     з двома просторовими змінними з використан- ням формул сплайн-інтерполяції, побудованих на основі сплайн-інтерлінації функцій  , ,u x y t за просторовими змінними ,x y . Cуть методу полягає у представленні наближеного розв’яз- ку у вигляді формул сплайн-інтерполяції за просторовими змінними з коефіцієнтами, що є функціями змінної t. Метод ґрунтується на за- міні сплайнами слідів наближеного розв’язку у формулах інтерлінації, які використовуються для його представлення, і є скінченно-елемент- ною реалізацією методу лінійних інтегро-дифе- ренціальних рівнянь (ЛІДР) розв’язання дифе- ренціальних рівнянь з частинними похідними. Зокрема, в працях [4–7] розглянуто застосуван- ня цього методу для розв’язання нестаціонар- ної задачі теплопровідності для областей, що є Ключові слова: метод скінченних елементів, сплайн- інтерполяція, сплайн-інтерлінація. об’єднанням прямокутників зі сторонами, па- ралельними осям координат. В даній статті вказаний метод розповсюджу- ється на області, обмежені дугами відомих кри- вих. Розглянуто приклад. Загальний метод побудови функції u(x, y, t), яка точно задовольняє умови Діріхле на гра- ниці довільної області G  R 2 Для побудови структур розв’язків початко- во-крайових задач використовуємо метод [3] по- будови функцій двох змінних x, y, які точно за- довольняють граничні умови на межі двовимі- рних областей складної форми (вважаємо t па- раметром). З практичної точки зору важливою є побудо- ва операторів інтерлінації на лініях ректангу- ляції та тріангуляції в областях складної фор- ми, обмежених дугами відомих кривих. Вважа- тимемо, що G  R 2 – обмежена область на пло- щині, границя якої G є об’єднанням дуг відо- мих кривих. Припустимо, без втрати загально- сті, що область G повністю розміщена в прямо- кутнику [a, b]  [c, d]. Розіб’ємо G на підоблас- ті прямими 1, 0,kx x k M  та ,ly y 20,l M , 10 1 ... Ma x x x b     ; 0 1 2 ... Mc y y y d     . Ці підобласті можуть бути прямокутниками Ri,j =  1 1, ,i i j jx x y y G      або чотирикутниками 12 УСиМ, 2012, № 4  (1) , 1 1, ,i j i i j jR x x y y y G         ,    (2) , 1 1, ,i j i i j jR x x y y x G      ,  (3) , 1 1, ,i j i i j jR x y x y y G         ,    (4) , 1 1, ,i j i i j jR x x y x y G      , в яких три сторони паралельні осям коорди- нат, а одна – криволінійна (взагалі кажучи) сторона – є частиною границі G області G . Крім того, підобласті, на які розбивається об- ласть G , можуть бути трикутниками        (1) , 1 1 1 , \| , , 0 , i j i i j j j T x y x x x y y x x                   (2) , 1 1 1 , \| , , 0 , i j i i j j j T x y x x x y y x x                   (3) , 1 1 1 , \| , , 0 , i j i i j j j T x y x x x x y y x                   (4) , 1 1 1 , \| , , 0 , i j i i j j j T x y x x x x y y x            де одна із сторін є криволінійною (взагалі ка- жучи) частиною границі G області G . Напишемо формулу для інтерлінації на чо- тирикутнику    (1) , 1 1, ,i j i i j jR x x y y x G      , одна із сторін якого є криволінійною частиною границі G області G :      (1) , 1 2 1 2, , , ,i jO F x y t P P PP F x y t   ,        1 1 1 , , , ,j j j j y y x PF x y t F x y t y y x           1 1 , , ,j j j j y y F x y x t y x y         1 2 1 , , , ,i i i i x x P F x y t F x y t x x        1 1 , , ,i i i i x x F x y t x x             1 1 2 2 1 , , , ,j j j j y y x PP F x y t P F x y t y y x           2 1 1 , , .j j j j y y P F x y x t y x y      Теорема 1. Оператор  (1) , , ,i jO F x y t інтерлінує функцію    (1) ,, , i jF x y t C R на границі чоти- рикутника (1) ,i jR з криволінійною стороною:      (1) (1) , ,, , , , , ,i j i jO F x y t F x y t x y R  , тобто    (1) , , , , , , , 1i j q qO F x y t F x y t q i i   ;    (1) , , , , ,i j j jO F x y t F x y t ,      (1) , 1 1, , , ,i j j jO F x y x t F x y x t  . Доведення здійснюється безпосередньою пе- ревіркою. Аналогічно будуються інтерлінанти, які ін- терлінують функцію  , ,F x y t на сторонах чо- тирикутників (2) ,i jR , (3) ,i jR , (4) ,i jR з криволінійними сторонами. Напишемо тепер формулу для інтерлінації на прямокутному трикутнику з криволінійною гіпотенузою (тобто на трикутнику з катетами, паралельними осям координат, і криволінійною гіпотенузою). Розглядатимемо прямокутний три- кутник з вершинами О(0,0), А(1,0), В(0,1) і гі- потенузою  AB , яка визначається рівнянням ( ) ( ) 1f x g y  , функції ( ), ( )f x g y неперервні і монотонні на  0,1 та задовольняють умови (0) 0, (1) 1, (0) 0, (1) 1f f g g    . Теорема 2. Хай    , ,F x y t C T ,        1 1 , , 1 , ,PF x y t f x F f g y y t        1, 1 , ,g y F x g f x t   2 , ,P F x y t       ,0, 0, , 0,0,F x t F y t F t   . Тоді оператор           12 1 2 1 2 1 2 , , , , : : , , P F x y t P P F x y t P P PP F x y t                          1 1 1 , , , 1 , ,0, 0, , 0,0, f x F f g y y t g y F x g f x t F x t F y t F t             (1) УСиМ, 2012, № 4 13                     1 1 0, , 1 ,0, 0,0, 0, 1 , ,0, 0,0, f x F y t F f g y t F t g y F g f x t F x t F t                інтерлінує функцію  , ,F x y t на трьох сторо- нах трикутника ,i jT , тобто         12 12 ,0, ,0, , 0, , 0, , , P F x t F x t P F y t F y t   (2)    12 , , , ,P F x y t F x y t , якщо     1f x g y  . (3) Cпіввідношення (2) доведено. Теорему 2 доведено. Теорема 3. Хай оператори  ( ) , , , ,q i jOR F x y t 0,1,...,4q  інтерлінують функцію  , ,F x y t на сторонах чотирикутників ( ) , , 0,1,..., 4q i jR q  , а оператори  ( ) , , , , 1,..., 4q i jOT F x y t q  інтерліну- ють функцію  , ,F x y t на сторонах трикутни- ків ( ) , q i jT G з криволінійною (взагалі кажучи) гіпотенузою (означених вище). Тоді оператор           ( ) ( ) , , ( ) ( ) , , , , , , , 0 1 ... 4 , , , , , , , 1 ... 4 q q i j i j G q q i j i j OR F x y t x y R q O F x y t OT F x y t x y T q              0t  інтерлінує функцію  , ,F x y t на прямих    , , ,k ix x a b y y c d    , а також на границі G довільної області G , тобто  , ,G kO F x y t   , ,kF x y t ,    , , , ,G i iO F x y t F x y t ,      , , , , , ,GO F x y t F x y t x y G  . При цьо- му    , ,GO F x y t C G    , ,F x y t C G  0t  . Це дозволяє стверджувати, що   1 2, , ( ) 0GO F x y t W G t   , оскільки 22 2( ) G G G G O F O F O F dxdy x y                  ( ) ( ) 22 2( ) q q ij ij G G G R G R O F O F O F dxdy x y                     ( ) ( ) 22 2( ) . q q ij ij G G G T T G O F O F O F dxdy x y                      Теорему 3 доведено. Зауваження. Якщо сліди    , , ,k kF x y t y t  ,    , , ,i iF x y t x t  невідомі, то їх можна замі- нити на деякі функції (поліноми, сплайни то- що) з невідомими параметрами. В результаті  , ,GO F x y t перетвориться на функцію, що збі- гається з функцією  , ,F x y t на границі G об- ласті G незалежно від вибору вказаних вище параметрів. Такого типу функції можна вико- ристовувати для наближення функції  , ,F x y t , виходячи з тих або інших вимог до вибору не- відомих параметрів. Відносно інтерлінації на трикутнику наявні наступні твердження. Теорема 4. Хай                                   12 1 1 1 1 , , 1 ( ) ( ) ,0, 0, , 0,0, 1 , , 1 ,0, ,0, , 1 , 0, 1 , 0, , . P F x y t f x g y F x t F y t F t f x F f g y y t F f g y t F x t g y F x g f x t F g f x t F y t                            Тоді для залишку      12 12, , , ,R F x y t I P F x y t   1,1F C T  виконується співвідношення                        1 1 12 (1,1,0) 0 0 1 (1,1,0) 0 1 (1,1,0) 0 , , 1 , , , , , , . yx f g y y x g f xx y R F x y t f x g y F t d d f x F t d d g y F t d d                                   (5) Теорему 4 доведено. Наведемо два важливих приклади. Приклад 1. В методі скінченних елементів при розв’язанні крайових задач для диференціа- льних рівнянь з частинними похідними для об- 14 УСиМ, 2012, № 4 ластей складної форми суттєвим є питання за- довільнення крайових умов (особливо неодно- рідних). У таких задачах використання операто- рів інтерлінації функцій є необхідним. Приклад 2. Використання операторів інтер- лінації функцій є корисним також у методі най- менших квадратів при наближенні функції за допомогою скінченної кількості її значень у внутрішніх точках області G і за допомогою її слідів на дугах відомих кривих всередині об- ласті G або таких кривих, об’єднання яких є границею області G , тощо. Слід відзначити, що класичний варіант методу найменших квадра- тів для наближення функцій двох змінних ви- користовує лише значення функції у деякій сис- темі точок (або деяку іншу систему функціона- лів від наближуваної функції) і не використо- вує сліди наближуваної функції на деяких ліні- ях. Очевидно, така інформація, як сліди набли- жуваної функції на деякій системі ліній, є зна- чно більш інформативною, але до появи інтер- лінації функцій дослідники не мали змоги її використати. З огляду на це наведемо ще два твердження. Теорема 5. Нехай G – трикутник з криволі- нійною границею G ,  0, 0,G x y   f(x) +   1g y  і    , ,0 , .F x y x y  Тоді функція H(x, y, t) =  (x, y) + U (x, y, t) – U (x, y, 0), де    12, , , ,U x y t P F x y t , задовольняє початкову    , ,0 ,H x y x y  та граничну  , ,H x y t     , , , ,U x y t x y G  умови (F(x, y, t) – до- вільна неперервна в G функція), тобто    12 , , 0 , G G P F x y x y     ,  12 , ,P F x y t  = F(x, y, t)  (x, y)  G та t  0. Теорему 5 доведено. Доведення отримується використанням те- ореми 5 та безпосередньою підстановкою F(x, y, t) в рівняння (6) з урахуванням рівності (7). Приклад. Розглянемо задачу нестаціонар- ної теплопровідності в області G , яка являє собою рівнобічну трапецію ( , ) 0, 1 0, , x y G x y x y x y               :         1 3 3 4 1 4 1 , 2 2 tu x y u e x y x y t x y x y x y                                        , , 0x y G t  ,    ( , ,0) 1 x y u x y x y x y           ,  , , 0 G u x y t   . Розіб’ємо область G осями координат на трикутники T1, T2, T3 (рисунок): G = T1UT2UT3,   1 , \| 0,T x y x x y        ,   2 , \| 0, 0,T x y x y x y      ,   3 , \| 0 , 0T x y x x y       . Позначимо u (0, y, t) =  (y, t), u (x, 0, t) =  (x, t). Враховуючи симетрію задачі, отримаємо  (x, t) = =  (y, t). Користуючись викладеним, побудуємо функ- цію u (x, y, t):                   1 , 1 , , 0, , 1 , 1 , , , , , , 0, 0, , 1 , 1 , , 0 , 0. x y y t x t x x y x y y t x t x y u x y t y t x t x y x y y x x t y t x x y                                                                                         УСиМ, 2012, № 4 15 Ця функція задовольняє однорідні гранич- ні умови незалежно від вибору функції  (x, t) і збігається з  (x, t) на лінії y = 0 та з функцією  (y, t) на лінії x = 0, якщо  (0, t) = 0,  (, t) = 0  t  0. Шукатимемо функцію  (x, t) у вигляді сплай- на першого степеня: 1 1 ( , ) ( ) ( ) M k k k x t C t h Mx k      , 1 ( ) ( 1 2 1) 2 h z z z z     . Функції ( ), 1, 1kC t k M  знайдемо, мінімі- зуючи вираз     22 2 , , G u u u J u f x y t u dx dy x y t                          і використовуючи метод локального потенціа- лу (згідно з яким варіація виразу J(u) за функ- цією u проводиться так, що члену u u t   у рів- нянні Ейлера відповідає u t   ). Це приводить до системи лінійних диференціальних рівнянь від- носно ( ), 1, 1kC t k M  :               0 1 1 , 0, 0 , ,..., .M C t A BC t F t t t C C C t C t C t        Матриці , ,A B F знаходимо шляхом інтегру- вання по області G виразів    , ,i jw x y w x y x x      ,    , ,i jw x y w x y y y      ,    , ,i jw x y w x y ,    , , ,f x y t w x y  , 1, 1i j M  , де вважається, що       1 1 , , , M i i i u x y t C t w x y     . Конкретні явні вирази для функцій  ,iw x y опускаємо. Для цієї задачі був проведений обчислюваль- ний експеримент, результати якого наведено далі. При 0,5  , 5M  отримано наступні значення наближеного розв’язку (табл. 1) та точного розв’язку (табл. 2). Т а б л и ц я 1 t u (0,1; 0; t) u (0,2; 0; t) u (0,3; 0; t) u (0,4; 0; t) 0 0,0160 0,0180 0,0120 0,0040 0,0001 0,0159 0,0181 0,0121 0,0041 0,0002 0,0159 0,0181 0,0122 0,0041 0,0003 0,0158 0,0182 0,0122 0,0042 0,0004 0,0157 0,0182 0,0123 0,0043 0,0005 0,0157 0,0183 0,0124 0,0043 0,0006 0,0156 0,0184 0,0125 0,0044 0,0007 0,0156 0,0184 0,0126 0,0045 0,0008 0,0155 0,0185 0,0126 0,0046 0,0009 0,0155 0,0185 0,0127 0,0046 0,001 0,0154 0,0186 0,0128 0,0047 Т а б л и ц я 2 t ut (0,1; 0; t) ut (0,2; 0; t) ut (0,3; 0; t) ut (0,4; 0; t) 0 0,0160 0,0180 0,0120 0,0040 0,0001 0,0160 0,0180 0,0120 0,0040 0,0002 0,0160 0,0180 0,0120 0,0040 0,0003 0,0160 0,0180 0,0120 0,0040 0,0004 0,0160 0,0180 0,0120 0,0040 0,0005 0,0160 0,0180 0,0120 0,0040 0,0006 0,0160 0,0180 0,0120 0,0040 0,0007 0,0160 0,0180 0,0120 0,0040 0,0008 0,0160 0,0180 0,0120 0,0040 0,0009 0,0160 0,0180 0,0120 0,0040 0,001 0,0160 0,0180 0,0120 0,0040 Також наведено значення наближеного роз- в’язку  ; ;0,001i ju x y (табл. 3) та точного роз- в’язку  ; ;0,001i jut x y (табл. 4) у вузлах сітки  1ix i M      ,  1jy j M      , 1,2 1,i M  1,2 1j M  , які належать області G . Т а б л и ц я 3 i j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 0 2 0 0 3 0 –0,0007 0 4 0 0,0002 –0,0009 0 5 0 0,0056 0,0041 0,0007 0 6 0 0,0154 0,0186 0,0128 0,0047 0 7 0 0,0154 0,0228 0,0197 0,0099 0 8 0 0,0056 0,0186 0,0197 0,0120 0 9 0 0,0002 0,0041 0,0128 0,0099 0 10 0 –0,0007 –0,0009 0,0007 0,0047 0 11 0 0 0 0 0 0 Висновки. Аналізуючи результати цього при- кладу, можна зробити висновок, що узагальнен- ня запропонованого в роботах [1–5] методу роз- в’язання нестаціонарної задачі теплопровідно- 16 УСиМ, 2012, № 4 Т а б л и ц я 4 i j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 0 2 0 0 3 0 0,0064 0 4 0 0,0112 0,0084 0 5 0 0,0144 0,0144 0,0072 0 6 0 0,0160 0,0180 0,0120 0,0040 0 7 0 0,0160 0,0192 0,0144 0,0064 0 8 0 0,0144 0,0180 0,0144 0,0072 0 9 0 0,0112 0,0144 0,0120 0,0064 0 10 0 0,0064 0,0084 0,0072 0,0040 0 11 0 0 0 0 0 0 сті для областей складної форми може бути про- ведено за стандартною технологією для різних областей, що зручно для чисельної реалізації. 1. Сергієнко І.В., Литвин О.М. Чисельна реалізація ме- тоду ЛІДР для рівняння нестаціонарної теплопро- відності // Доп. АН УРСР. Сер.А. 1990. – № 10. – С. 69–73. 2. Дробот Є.І., Литвин О.М., Сергієнко І.В. Метод роз- в’язання нестаціонарної задачі теплопровідності з двома просторовими змінними з використанням ін- терлінації функцій // Доп. НАНУ. – 2000. – № 2. – С. 67–73. 3. Литвин О.М. Методи обчислень. Додаткові розді- ли: Навч. посібник. – К.: Наук. думка, 2005. – 303 с. 4. Литвин О.М., Лобанова Л.С., Залужна Г.В. Розв’я- зання нестаціонарної задачі теплопровідності для пластини інтерлінаційним методом скінченних еле- ментів // Пр. Міжнар. симп. «Питання оптимізації об- числень (ПОО – XXXV». – К.: Ін-т ім. В.М. Глуш- кова НАН України, 2009. – С. 14–19. 5. Литвин О.М., Лобанова Л.С., Залужна Г.В. Чисельна реалізація методу ЛІДР розв’язання нестаціонарної задачі теплопровідності з двома просторовими змін- ними. Матеріали XLIII наук.-практ. конф., Харків, УІПА, 2009. – С. 47. 6. Литвин О.М., Лобанова Л.С., Залужна Г.В. Мате- матичне моделювання поширення тепла за допомо- гою інтерлінації // Матеріали XV Всеукр. конф. «Су- часні проблеми прикладної математики та інфор- матики». – Львів. нац. ун-т ім. Франка. 2008. – С. 77. 7. Про один підхід до розв’язання задачі нестаціонар- ної теплопровідності з двома просторовими змін- ними за допомогою кластера / О.М. Литвин, О.М. Хі- міч, М.Ф. Яковлєв та ін. // Інформатика та системні науки (ІСН-2010): матеріали Всеукр. наук.-практ. конф. – Полтава: РВВ ПУСКУ, 2010. – С. 114–117. Поступила 03.11.2011 Тел. для справок: (0572) 63-5923, 52-4389, (057) 771-0545 (Харьков) (0627) 44-7997, 3-7007, (050) 176-3623 (Артемовск) E-mail: academ@kharkov.ua, ludmila_lobanova@mail.ru, zal_artem@mail.ru © О.Н. Литвин, Л.С. Лобанова, Г.В. Залужная, 2012  Литвин О.Н., Лобанова Л.С., Залужная Г.В. Численная реализация метода линейных интегро-дифференциальных уравнений для уравнения нестационарной теплопроводности с двумя пространственными переменными Введение. Метод конечных элементов решения начально- краевой задачи для нестационарного уравнения тепло- проводности исследован в [1–5]         1 2, , , , , u u u p x y p x y t x x y y q x y u f x y t                     с двумя пространственными переменными с использо- ванием формул сплайн-интерполяции, построенных на основе сплайн-интерлинации функций u (x, y, t) с про- странственными переменными x, y. Cуть метода заклю- чается в представлении приближенного решения в виде формул сплайн-интерполяции с пространственными пере- менными с коэффициентами, которые есть функциями переменной t. Метод основан на замене сплайнами сле- дов приближенного решения в формулах интерлинации, используемых для его представления, и представляет со- бой конечно-элементную реализацию метода линейных интегро-дифференциальных уравнений (ЛИДУ) реше- ния дифференциальных уравнений с частными произ- водными. В частности, в трудах [4–7] рассмотрено при- менение этого метода для решения нестационарной за- дачи теплопроводности для областей, которые есть объ- единением прямоугольников со сторонами, параллель- ными осям координат. В данной статье указанный метод распространяется на области, ограниченные дугами известных кривых. Рас- смотрен пример. Общий метод построения функции u (x, y, t), точно удовлетворяющей условиям Дирихле на границе произвольной области 2G R Для построения структур решений начально-краевых задач используем метод [3] построения функций двух переменных x, y, точно удовлетворяющих граничным условиям на границе двумерных областей сложной фор- мы (считаем t параметром). С практической точки зрения существенным есть по- строение операторов интерлинации на линиях ректангу- УСиМ, 2012, № 4 17 ляции и триангуляции в областях сложной формы, огра- ниченных дугами известных кривых. Считаем, что G  R 2 – ограниченная область на плоскости, граница которой G – объединение дуг известных кривых. Допустим, без по- тери общности, область G полностью размещена в пря- моугольнике [a, b]  [c, d]. Разобьем G на подобласти пря- мыми 1, 0,kx x k M  , 2, 0,ly y l M  , 0 1 ...a x x   1 ... Mx b  ; 0 1c y y   2 ... My d  . Эти подобласти мо- гут быть прямоугольниками  , 1 1, ,i j i i j jR x x y y      G или четырехугольниками  (1) , 1 1, ,i j i i j jR x x y y y G         ,  (2) , 1,i j i iR x x    1,j jy y x G    ,  (3) , 1,i j i iR x y x     1,j jy y G    ,    (4) , 1 1, ,i j i i j jR x x y x y G      , где три стороны параллельны осям координат, а одна – кри- волинейная (в общем случае) сторона – часть границы G области G. Кроме того, подобласти, на которые раз- бивается область G, могут быть треугольниками       (1) , 1 1 1, \| , , 0i j i i j j jT x y x x x y y x x          ,       (2) , 1 1 1, \| , , 0i j i i j j jT x y x x x y y x x          ,       (3) , 1 1 1, \| , , 0i j i i j j jT x y x x x x y y x          ,       (4) , 1 1 1, \| , , 0i j i i j j jT x y x x x x y y x          , где одна из сторон – криволинейная (в общем случае) часть границы G области G. Напишем формулу для интерлинации на четырех- угольнике    (1) , 1 1, ,i j i i j jR x x y y x     , одна из сторон ко- торого – криволинейная часть границы G области G:      (1) , 1 2 1 2, , , ,i jO F x y t P P PP F x y t   ,              1 1 1 1 1 , , , , , , , j j j j j j j j y y x PF x y t F x y t y y x y y F x y x t y x y                 1 2 1 1 1 , , , , , ,i i i i i i i i x x x x P F x y t F x y t F x y t x x x x           ,              1 1 2 2 1 2 1 1 , , , , , , . j j j j j j j j y y x PP F x y t P F x y t y y x y y P F x y x t y x y            Теорема 1. Оператор  (1) , , ,i jO F x y t интерлинирует функцию    (1) ,, , i jF x y t C R на границе четырехугольника (1) ,i jR с криволинейной стороной:    (1) , , , , ,i jO F x y t F x y t ,   (1) ,, i jx y R , т.е.    (1) , , , , , , , 1i j q qO F x y t F x y t q i i   ;    (1) , , , , ,i j j jO F x y t F x y t ,   (1) , 1, ,i j jO F x y x t    1, ,jF x y x t . Доказательство осуществляется непосредственной проверкой. Аналогично строятся интерлинанты, которые интер- линуют функцию  , ,F x y t на сторонах четырехуголь- ников (2) ,i jR , (3) ,i jR , (4) ,i jR с криволинейными сторонами. Напишем теперь формулу для интерлинации на пря- моугольном треугольнике с криволинейной гипотенузой (т.е. на треугольнике с катетами, параллельными осям координат, и криволинейной гипотенузой). Будем рас- сматривать прямоугольный треугольник с вершинами О(0,0), А(1,0), В(0,1) и гипотенузой  AB, определяемой уравнением ( ) ( ) 1f x g y  , функции f(x), g(y) непре- рывны и монотонны на [0,1] и удовлетворяют условиям (0) 0, (1) 1, (0) 0, (1) 1f f g g    . Теорема 2. Пусть    , ,F x y t C T ,  1 , ,PF x y t             1 11 , , , 1 , ,f x F f g y y t g y F x g f x t            2 , , ,0, 0, , 0,0,P F x y t F x t F y t F t   . Тогда оператор      12 1 2, , , , :P F x y t P P F x y t    1 2 1 2P P PP          1, , 1 , ,F x y t f x F f g y y t    g(y)           1, 1 , ,0, 0, , 0,0,F x g f x t F x t F y t F t                          1 1 0, , 1 ,0, 0,0, 0, 1 , ,0, 0,0, f x F y t F f g y t F t g y F g f x t F x t F t                (1) интерлинирует функцию  , ,F x y t на трех сторонах треугольника ,i jT , т.е.        12 12,0, ,0, , 0, , 0, ,P F x t F x t P F y t F y t  , (2)    12 , , , ,P F x y t F x y t , если     1f x g y  . (3) Теорема 2 доказана. Теорема 3. Пусть операторы  ( ) , , , , 0,1,..., 4q i jOR F x y t q  интерлинируют функцию  , ,F x y t на сторонах четырех- угольников ( ) , , 0,1,..., 4q i jR q  , а операторы  ( ) , , ,q i jOT F x y t , 1,..., 4q  интерлинируют функцию  , ,F x y t на сторо- нах треугольников ( ) , q i jT G с криволинейной ( в общем случае) гипотенузой (определенных ранее). Тогда оператор           ( ) ( ) , , ( ) ( ) , , , , , , , , , 0 1 ... 4 , , , , , 1 ... 4 G q q i j i j q q i j i j O F x y t OR F x y t x y R q OT F x y t x y T q             0t  18 УСиМ, 2012, № 4 интерлинрует функцию F(x, y, t) на прямых x = xk  [a, b]  ,iy y c d  , а также на границе G произвольной обла- сти G, т.е.    , , , ,G k kO F x y t F x y t ,  , ,G iO F x y t   , ,iF x y t ,    , , , ,GO F x y t F x y t ,  ,x y G . При этом    , ,GO F x y t C G    , ,F x y t C G  0t  . Это позволяет утверждать, что   1 2, , ( ) 0GO F x y t W G t   , поскольку ( ) ( ) 22 2 22 2 ( ) ( ) q q ij ij G G G G G G G R G R O F O F O F dxdy x y O F O F O F dxdy x y                                   ( ) ( ) 22 2( ) q q ij ij G G G T T G O F O F O F dxdy x y                     . Теорема 3 доказана. Замечание. Если неизвестны следы F (xk, y, t) = k (y, t), F (x, yi, t) = i (x, t), то их можно заменить на некоторые функции (полиномы, сплайны) с неизвестными парамет- рами. В результате OGF (x, y, t) преобразуется в функцию, сходящуюся с функцией F (x, y, t) на границе G области G независимо от выбора указанных параметров. Такого типа функции можно использовать для приближения функции F (x, y, t), исходя из тех или других требований к выбору неизвестных параметров. Относительно интерлинации на треугольнике имеют- ся следующие утверждения. Теорема 4. Пусть                                   12 1 1 1 1 , , 1 ( ) ( ) ,0, 0, , 0,0, 1 , , 1 ,0, ,0, , 1 , 0, 1 , 0, , . P F x y t f x g y F x t F y t F t f x F f g y y t F f g y t F x t g y F x g f x t F g f x t F y t                          Тогда для остатка      12 12, , , ,R F x y t I P F x y t   1,1F C T  выполняется соотношение:                        1 1 12 (1,1,0) 0 0 1 (1,1,0) 0 1 (1,1,0) 0 , , 1 , , , , , , . yx f g y y x g f xx y R F x y t f x g y F t d d f x F t d d g y F t d d                                    (5) Теорема 4 доказана. Приведем два примера. Пример 1. В методе конечных элементов при решении краевых задач для дифференциальных уравнений с ча- стными производными для областей сложной формы значителен вопрос удовлетворения краевым условиям (особенно неоднородным). В таких задачах использование операторов интерлинации функций необходимо. Пример 2. Использование операторов интерлинации функций полезно также в методе наименьших квадратов при приближении функции с помощью конечного коли- чества ее значений во внутренних точках области G и с помощью ее следов на дугах известных кривых внутри области G или таких кривых, объединение которых – граница области G, и др. Следует отметить, что клас- сический вариант метода наименьших квадратов для приближения функций двух переменных использует лишь значение функции в некоторой системе точек (или неко- торую другую систему функционалов от приближенной функции) и не использует следы приближенной функ- ции на некоторых линиях. Очевидно, такая информация, как следы приближенной функции на некоторой систе- ме линий, значительно более информативна, но до появ- ления интерлинации функций исследователи не имели возможность ее использовать. Учитывая это, приведем еще два утверждения. Теорема 5. Пусть G – треугольник с криволинейной границей G,     0, 0, 1G x y f x g y     и F (x, y, 0) = =  (x, y) Тогда функция    , , ,H x y t x y    , ,U x y t   , ,0U x y , где    12, , , ,U x y t P F x y t удовлетворяет начальные    , , 0 ,H x y x y  и граничные H (x, y, t) =  , , ,U x y t  ,x y G условия ( ( , , )F x y t – произвольная непрерывная в G функция), т.е.  12 , ,0 G P F x y    , G x y   ,    12 , , , ,P F x y t F x y t  ,x y G  и 0t  . Теорема 5 доказана. Доказательство получается при использовании тео- ремы 5 и непосредственной подстановкой  , ,F x y t в уравнение (6) с учетом равенства (7). Пример. Рассмотрим задачу нестационарной тепло- проводности в области G, представляющую собой рав- ностороннюю трапецию ( , ) 0, 1 0, x y G x y x y         ,G x y     :         1 3 3 4 1 4 1 , 2 2 tu x y u e x y x y t x y x y x y                                            , , 0x y G t  , УСиМ, 2012, № 4 19    ( , ,0) 1 x y u x y x y x y             ,  , , 0 G u x y t   . Разобьем область G осями координат на треугольники T1, T2, T3 (рисунок): 1 2 3G T T T   ,  1 , \| 0,T x y x   ,x y     2 , \| 0, 0,T x y x y x y      ,  3 , \| 0 ,T x y x    0x y   . Обозначим    0, , ,u y t y t  ,  , 0,u x t   ,x t . Учитывая симметрию задачи, получаем    , ,x t x t   . Пользуясь изложенным, построим функцию  , ,u x y t :                   1 , 1 , , 0, , 1 , 1 , , , , , , 0, 0, , 1 , 1 , , 0 , 0. x y y t x t x x y x y y t x t u x y t x y y t x t x y x y y x x t y t x x y                                                                                       Эта функция удовлетворяет однородным граничным условиям независимо от выбора функции  ,x t и схо- дится с  ,x t на линии 0y  и с функцией  ,y t на линии 0x  , если  0, 0t  ,  , 0 0t t     . Будем искать функцию  ,x t в виде сплайна пер- вой степени 1 1 ( , ) ( ) ( ) M k k k x t C t h Mx k      , 1 ( ) ( 1 2 1) 2 h z z z z     . Функции ( ), 1, 1kC t k M  найдем, минимизируя вы- ражение     22 2 , , , G u u u J u f x y t u dx dy x y t                          с использованием метода локального потенциала (со- гласно которому вариация выражения J (u) по функции u проводится так, что члену u u t   в уравнении Эйлера со- ответствует u t   ). Это приводит к системе линейных диф- ференциальных уравнений относительно Ck(t), 1, 1k M  :               0 1 1 , 0, 0 , ,..., .M C t A BC t F t t C t C C t C t C t         Матрицы A, B, F находим путем интегрирования по области G выражений    , ,i jw x y w x y x x      ,  ,iw x y y     ,jw x y y    ,    , ,i jw x y w x y ,  , ,f x y t   ,w x y (i, j = 1, 1M  , где считается, что  , ,u x y t     1 1 , M i i i C t w x y     . Конкретные явные выражения для функций  ,iw x y опускаем. Для этой задачи проведен вычислительный экспери- мент, результаты которого приведены далее. При 0,5  , 5M  получены следующие значения приближенного (табл. 1) и точного решений (табл. 2). Т а б л и ц a 1 t u (0,1; 0; t) u (0,2; 0; t) u (0,3; 0; t) u (0,4; 0; t) 0 0,0160 0,0180 0,0120 0,0040 0,0001 0,0159 0,0181 0,0121 0,0041 0,0002 0,0159 0,0181 0,0122 0,0041 0,0003 0,0158 0,0182 0,0122 0,0042 0,0004 0,0157 0,0182 0,0123 0,0043 0,0005 0,0157 0,0183 0,0124 0,0043 0,0006 0,0156 0,0184 0,0125 0,0044 0,0007 0,0156 0,0184 0,0126 0,0045 0,0008 0,0155 0,0185 0,0126 0,0046 0,0009 0,0155 0,0185 0,0127 0,0046 0,001 0,0154 0,0186 0,0128 0,0047 Т а б л и ц a 2 t ut (0,1; 0; t) ut (0,2; 0; t) ut (0,3; 0; t) ut (0,4; 0; t) 0 0,0160 0,0180 0,0120 0,0040 0,0001 0,0160 0,0180 0,0120 0,0040 0,0002 0,0160 0,0180 0,0120 0,0040 0,0003 0,0160 0,0180 0,0120 0,0040 0,0004 0,0160 0,0180 0,0120 0,0040 0,0005 0,0160 0,0180 0,0120 0,0040 0,0006 0,0160 0,0180 0,0120 0,0040 0,0007 0,0160 0,0180 0,0120 0,0040 0,0008 0,0160 0,0180 0,0120 0,0040 0,0009 0,0160 0,0180 0,0120 0,0040 0,001 0,0160 0,0180 0,0120 0,0040 Окончание на стр. 24 24 УСиМ, 2012, № 4 Окончание статьи О.Н. Литвина и др. Также приведены значения приближенного решения u(xi; yj; 0,001) (табл.3) и точного решения ut(xi; yj; 0,001) (табл. 4) в узлах сетки  1ix i M      , jy  –  +  1j M    , 1, 2 1, 1,2 1i M j M    , принадлежащие области G. Т а б л и ц a 3 i j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 0 2 0 0 3 0 –0,0007 0 4 0 0,0002 –0,0009 0 5 0 0,0056 0,0041 0,0007 0 6 0 0,0154 0,0186 0,0128 0,0047 0 7 0 0,0154 0,0228 0,0197 0,0099 0 8 0 0,0056 0,0186 0,0197 0,0120 0 9 0 0,0002 0,0041 0,0128 0,0099 0 10 0 –0,0007 –0,0009 0,0007 0,0047 0 11 0 0 0 0 0 0 Т а б л и ц a 4 i j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 0 2 0 0 3 0 0,0064 0 4 0 0,0112 0,0084 0 5 0 0,0144 0,0144 0,0072 0 6 0 0,0160 0,0180 0,0120 0,0040 0 7 0 0,0160 0,0192 0,0144 0,0064 0 8 0 0,0144 0,0180 0,0144 0,0072 0 9 0 0,0112 0,0144 0,0120 0,0064 0 10 0 0,0064 0,0084 0,0072 0,0040 0 11 0 0 0 0 0 0 Заключение. Анализируя результаты этого примера, можно сделать вывод, что обобщение предложенного в работах [1–5] метода решения нестационарной задачи теплопроводности для областей сложной формы может быть проведено по стандартной технологии для разных областей, что удобно для численной реализации.  3.pdf 24.pdf << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments true /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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a stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA <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> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /RUS <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> /SKY <FEFF0054006900650074006f0020006e006100730074006100760065006e0069006100200070006f0075017e0069007400650020006e00610020007600790074007600e100720061006e0069006500200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002000410064006f006200650020005000440046002c0020006b0074006f007200e90020007300610020006e0061006a006c0065007001610069006500200068006f0064006900610020006e00610020006b00760061006c00690074006e00fa00200074006c0061010d00200061002000700072006500700072006500730073002e00200056007900740076006f00720065006e00e900200064006f006b0075006d0065006e007400790020005000440046002000620075006400650020006d006f017e006e00e90020006f00740076006f00720069016500200076002000700072006f006700720061006d006f006300680020004100630072006f00620061007400200061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000610020006e006f0076016100ed00630068002e> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-83078
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0130-5395
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T16:24:27Z
publishDate	2012
publisher	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
record_format	dspace
spelling	Литвин, О.М. Лобанова, Л.С. Залужна, Г.В. 2015-06-14T10:57:37Z 2015-06-14T10:57:37Z 2012 Чисельна реалізація методу лінійних інтегро-диференціальних рівнянь для рівняння нестаціонарної теплопровідності з двома просторовими змінними / О.М. Литвин, Л.С. Лобанова, Г.В. Залужна // Управляющие системы и машины. — 2012. — № 4. — С. 11-19, 24. — Бібліогр.: 7 назв. — укр., рос. 0130-5395 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83078 519.6 Описано распространение метода конечных элементов решения нестационарной задачи теплопроводности с двумя пространственными переменными с использованием формул сплайн-интерполяции, построенных на основе сплайн-интерлинации функций для областей, ограниченных дугами известных кривых. Рассмотрен пример области, представляющей собой равностороннюю трапецию. The distribution of the method of finite elements for the decision of non-stationary task of heat-conducting with two spatial variables with the use of formulas of spline interpolation, which are built on the basis of spline interlineations of functions in case of curves arcs limited areas. The example of the area, which is isosceles trapezoid, is considered. Описано розповсюдження методу скінченних елементів розв’язання нестаціонарної задачі теплопровідності з двома просторовими змінними з використанням формул сплайн-інтерполяції, побудованих на основі сплайн-інтерлінації функцій для областей, обмежених дугами відомих кривих. Розглянуто приклад області, що є рівнобічною трапецією. uk Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України Управляющие системы и машины Новые методы в информатике Чисельна реалізація методу лінійних інтегро-диференціальних рівнянь для рівняння нестаціонарної теплопровідності з двома просторовими змінними A Decision of Non-Stationary Task of Heat-Conducting with Two Spatial Variables by Functions Interlineations Численная реализация метода линейных интегро-дифференциальных уравнений для уравнения нестационарной теплопроводности с двумя пространственными переменными Article published earlier
spellingShingle	Чисельна реалізація методу лінійних інтегро-диференціальних рівнянь для рівняння нестаціонарної теплопровідності з двома просторовими змінними Литвин, О.М. Лобанова, Л.С. Залужна, Г.В. Новые методы в информатике
title	Чисельна реалізація методу лінійних інтегро-диференціальних рівнянь для рівняння нестаціонарної теплопровідності з двома просторовими змінними
title_alt	A Decision of Non-Stationary Task of Heat-Conducting with Two Spatial Variables by Functions Interlineations Численная реализация метода линейных интегро-дифференциальных уравнений для уравнения нестационарной теплопроводности с двумя пространственными переменными
title_full	Чисельна реалізація методу лінійних інтегро-диференціальних рівнянь для рівняння нестаціонарної теплопровідності з двома просторовими змінними
title_fullStr	Чисельна реалізація методу лінійних інтегро-диференціальних рівнянь для рівняння нестаціонарної теплопровідності з двома просторовими змінними
title_full_unstemmed	Чисельна реалізація методу лінійних інтегро-диференціальних рівнянь для рівняння нестаціонарної теплопровідності з двома просторовими змінними
title_short	Чисельна реалізація методу лінійних інтегро-диференціальних рівнянь для рівняння нестаціонарної теплопровідності з двома просторовими змінними
title_sort	чисельна реалізація методу лінійних інтегро-диференціальних рівнянь для рівняння нестаціонарної теплопровідності з двома просторовими змінними
topic	Новые методы в информатике
topic_facet	Новые методы в информатике
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83078
work_keys_str_mv	AT litvinom čiselʹnarealízacíâmetodulíníinihíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹdlârívnânnânestacíonarnoíteploprovídnostízdvomaprostorovimizmínnimi AT lobanovals čiselʹnarealízacíâmetodulíníinihíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹdlârívnânnânestacíonarnoíteploprovídnostízdvomaprostorovimizmínnimi AT zalužnagv čiselʹnarealízacíâmetodulíníinihíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹdlârívnânnânestacíonarnoíteploprovídnostízdvomaprostorovimizmínnimi AT litvinom adecisionofnonstationarytaskofheatconductingwithtwospatialvariablesbyfunctionsinterlineations AT lobanovals adecisionofnonstationarytaskofheatconductingwithtwospatialvariablesbyfunctionsinterlineations AT zalužnagv adecisionofnonstationarytaskofheatconductingwithtwospatialvariablesbyfunctionsinterlineations AT litvinom čislennaârealizaciâmetodalineinyhintegrodifferencialʹnyhuravneniidlâuravneniânestacionarnoiteploprovodnostisdvumâprostranstvennymiperemennymi AT lobanovals čislennaârealizaciâmetodalineinyhintegrodifferencialʹnyhuravneniidlâuravneniânestacionarnoiteploprovodnostisdvumâprostranstvennymiperemennymi AT zalužnagv čislennaârealizaciâmetodalineinyhintegrodifferencialʹnyhuravneniidlâuravneniânestacionarnoiteploprovodnostisdvumâprostranstvennymiperemennymi

Чисельна реалізація методу лінійних інтегро-диференціальних рівнянь для рівняння нестаціонарної теплопровідності з двома просторовими змінними

Репозитарії

Схожі ресурси