Адаптивная нечеткая кластеризация данных на основе метода Густафсона–Кесселя
Рассмотрены процедуры нечеткой кластеризации. Предложены адаптивные формы вероятностного и возможностного вариантов алгоритма Густафсона–Кесселя, отличающиеся численной простотой и обеспечивающие высокую эффективность при работе в условиях неопределенности, в частности при меняющемся со временем хар...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Управляющие системы и машины |
|---|---|
| Datum: | 2013 |
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
2013
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83142 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Адаптивная нечеткая кластеризация данных на основе метода Густафсона–Кесселя / Е.В. Бодянский, Б.В. Колчигин, В.В. Волкова, И.П. Плисс // Управляющие системы и машины. — 2013. — № 2. — С. 40-46. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859594168733532160 |
|---|---|
| author | Бодянский, Е.В. Колчигин, Б.В. Волкова, В.В. Плисс, И.П. |
| author_facet | Бодянский, Е.В. Колчигин, Б.В. Волкова, В.В. Плисс, И.П. |
| citation_txt | Адаптивная нечеткая кластеризация данных на основе метода Густафсона–Кесселя / Е.В. Бодянский, Б.В. Колчигин, В.В. Волкова, И.П. Плисс // Управляющие системы и машины. — 2013. — № 2. — С. 40-46. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Управляющие системы и машины |
| description | Рассмотрены процедуры нечеткой кластеризации. Предложены адаптивные формы вероятностного и возможностного вариантов алгоритма Густафсона–Кесселя, отличающиеся численной простотой и обеспечивающие высокую эффективность при работе в условиях неопределенности, в частности при меняющемся со временем характере обрабатываемых данных и недостатке знаний о природе выборки.
Procedures of fuzzy clustering are considered and adaptive forms of possibilistic and probabilistic Gustafson–Kessel algorithms are suggested. The suggested algorithms are characterized by the numerical simplicity and provide a high efficiency when working in the conditions of uncertainty, particularly in a changing over time character of the data and a lack of knowledge about the nature of a sample.
Розглянуто процедури нечіткої кластеризації. Запропоновано адаптивні форми вирогідністного та можливістного варіантів алгоритму Густафсона–Кесселя, які відрізняються розрахунковою простотою та забезпечують високу ефективність при роботі в умовах невизначеності, а саме при мінливому у часі характері даних, що обробляються, та при нестачі знань про природу вибірки.
|
| first_indexed | 2025-11-27T18:13:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
40 УСиМ, 2013, № 2
Искусственный интеллект и обработка знаний
УДК 004.032.26
Е.В. Бодянский, Б.В. Колчигин, В.В. Волкова, И.П. Плисс
Адаптивная нечеткая кластеризация данных
на основе метода Густафсона–Кесселя
Рассмотрены процедуры нечеткой кластеризации. Предложены адаптивные формы вероятностного и возможностного вариан-
тов алгоритма Густафсона–Кесселя, отличающиеся численной простотой и обеспечивающие высокую эффективность при ра-
боте в условиях неопределенности, в частности при меняющемся со временем характере обрабатываемых данных и недостат-
ке знаний о природе выборки.
Procedures of fuzzy clustering are considered and adaptive forms of possibilistic and probabilistic Gustafson–Kessel algorithms are sug-
gested. The suggested algorithms are characterized by the numerical simplicity and provide a high efficiency when working in the condi-
tions of uncertainty, particularly in a changing over time character of the data and a lack of knowledge about the nature of a sample.
Розглянуто процедури нечіткої кластеризації. Запропоновано адаптивні форми вирогідністного та можливістного варіантів алгорит-
му Густафсона–Кесселя, які відрізняються розрахунковою простотою та забезпечують високу ефективність при роботі в умовах не-
визначеності, а саме при мінливому у часі характері даних, що обробляються, та при нестачі знань про природу вибірки.
Введение. Индуктивное моделирование, по оп-
ределению А.Г. Ивахненко, – это подбор моде-
ли оптимальной сложности для описания име-
ющихся экспериментальных данных. Сегмен-
тация выборки наблюдений на однородные в не-
котором смысле группы и упрощение их опи-
сания путем выделения типичных образцов –
необходимый этап решения данной задачи. Этот
процесс называется кластеризацией и подразу-
мевает разбиение выборки наблюдений на груп-
пы (кластеры), наблюдения внутри которых
схожи по некоторому выбранному критерию, а
сами группы различны между собой. Традици-
онный подход к решению этой задачи предпо-
лагает, что вся выборка задана заранее, коли-
чество кластеров априори известно, а каждое
наблюдение может относиться только к одно-
му кластеру.
Ситуация, когда обрабатываемый вектор при-
знаков с различными уровнями принадлежности
может относиться сразу к нескольким группам, –
предмет рассмотрения нечеткого (фаззи-) кла-
стерного анализа [1–4], в основе которого лежит
предположение, что каждому наблюдению мо-
жет быть приписан некоторый уровень принад-
лежности каждому кластеру, лежащий в интер-
вале от нуля до единицы [2].
Наиболее общим подходом к решению за-
дачи нечеткой кластеризации есть рассмотре-
ние ее как задачи оптимизации [1, 4], при этом
исходная информация – выборка наблюдений,
сформированная из N n-мерных векторов при-
знаков { ( )}jX x k , x(k) = 1 2( ( ), ( ), , ( ))T
nx k x k x k .
Результатом кластеризации является (N m)-
матрица нечеткого разбиения U = {u j(k)}, за-
дающая уровень принадлежности u j(k) k-го век-
тора исходного массива данных x (k) к каждому
из m возможных классов (j = 1, 2, …, m).
Процедура кластеризации подразумевает рас-
чет центроидов кластеров c j, обеспечивающих
минимизацию некоторого функционала каче-
ства разбиения E, в простейшем случае задан-
ного в виде [1]
2
1 1
( , ) ( ) ( ),
N m
j j j j
k j
E u c u k d x k c
, (1)
при ограничении
1
( ) 1
m
j
j
u k
, (2)
где – весовой коэффициент, определяющий
степень размытия кластеров (фаззификатор) и
принимающий значения из интервала [1, ∞), а
функция d2(x(k), c j) определяет расстояние ме-
УСиМ, 2013, № 2 41
жду k-м наблюдением и центром j-го кластера
в принятой метрике.
Базовые алгоритмы нечеткой кластери-
зации
Решение задачи нечеткой кластеризации в
описанной постановке можно свести к оптими-
зации функции Лагранжа
2
1 1
1 1
, , ( )
( ),
1 ,
j j
N m
j j
k j
N m
j
k j
L u k c k
u k d x k c
k u k
(3)
где Nkk ,,2,1, – неопределенные мно-
жители Лагранжа. Важно обратить внимание
на то, что выбранная функция расчета рас-
стояния (метрика) jckxd ,2 явно входит в
оптимизируемую функцию (3), а значит ее
изменение непосредственно в алгоритме не-
возможно: изменение метрики порождает но-
вый алгоритм.
В случае использования квадрата евклидо-
вой метрики, т.е. при Tjj ckxckxd ,2
2
jj ckxckx , решение системы урав-
нений Каруша–Куна–Таккера ведет к извест-
ному результату
1
2 1
1
2 1
1
1
1
11
12
1
,
( )
,
,
j
j
m
ll
N
jk
j N
jk
m
l
l
x k c
u k
x k c
u k x k
c
u k
k x k c
(4)
что при 2 дает алгоритм нечетких С-сред-
них Бездека [1] (fuzzy C-means, FCM):
2
2
1
2
1
2
1
,
( )
.
j
j m
ll
N
jk
j N
jk
x k c
u k
x k c
u k x k
c
u k
(5)
Алгоритм нечетких С-средних – самый по-
пулярный из алгоритмов нечеткой кластериза-
ции, однако имеет некоторые ограничения и
сильные априорные допущения о характере дан-
ных в обрабатываемой выборке, сужающие об-
ласть его применимости.
Одно из ограничений алгоритма нечетких
С-средних происходит от использования функ-
ции принадлежности, определяемой евклидо-
вой метрикой. Несложно заметить, что значение
принадлежности u j(k), вычисленное по алго-
ритму (5), будет одинаковым для всех точек,
находящихся на одинаковом расстоянии от цен-
троида c j, а это значит, что формируемые кла-
стеры будут иметь строго сферическую форму.
В то же время в реальных задачах нередко
встречаются данные, в которых форма скопле-
ний сильно отличается от (гипер) сферы, либо
шкалы значений отдельных компонент векто-
ров наблюдений имеют разный масштаб. Ап-
риорное предположение о сферической форме
кластеров делает в таких случаях глобальный
минимум функционала (1) недостижим для ал-
горитма нечетких С-средних.
Обобщением алгоритма нечетких С-средних
есть алгоритм Густафсона–Кесселя [5], спо-
собный выделять кластеры эллипсоидальной
формы. Для этого в формулу расчета расстоя-
ний между векторами вводится масштабиру-
ющая матрица A, меняющая масштаб про-
странства по каждой координате:
22 , ( ) ( )T
A A
d x c x c A x c x c . (6)
Используя в функции Лагранжа (3) метрику
(6), получаем известную процедуру минимиза-
ции, включающую, помимо расчета центров
кластеров и уровней принадлежности, также
вычисление ковариационной матрицы каждого
42 УСиМ, 2013, № 2
кластера S j и, на основании ее, масштабирую-
щей матрицы кластера A j в виде:
1 2
1 1
1 2
1 1
11
1
1
1
1
1
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ,
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
,
( )
( ) ( ) ( ) ,
| | .
j
j
T
jj j j A
j mm
T
jl l j A
ll
N
j
k
j N
j
k
N T
j j j j
k
n
j j j
x k cx k c k A x k c k
u k
x k cx k c k A x k c k
u k x k
c
u k
S u k x k c x k c
A S S
(7)
Полученная таким образом матрица A j яв-
ляется симметричной и положительно опреде-
ленной, а задаваемый ею масштаб, определяе-
мый для каждой координаты квадратным кор-
нем соответствующего собственного вектора, –
оптимальным [6] с учетом критерия (1). Значе-
ния собственных векторов матрицы A j способ-
ны изменять форму соответствующего класте-
ра, что значительно расширяет область приме-
нимости алгоритма.
Иллюстрация разницы работы алгоритмов по-
казана на рис. 1. Для этого создана искусствен-
ная выборка из 1000 точек, бинормально рас-
пределенных в окрестностях четырех центров
(рис. 1,а). Особенностью данной выборки есть
то, что граничные данные вытянутых кластеров
лежат ближе к центру соседнего кластера, чем
своего собственного. Поэтому применение ал-
горитма нечетких С-средних не приводит к ожи-
даемому разбиению (рис. 1,б). В то же время
заметно, что центры и параметры распределе-
ния (ковариационные матрицы), воссозданные
алгоритмом Густафсона–Кесселя (рис. 1,в) пре-
дельно близки исходно заданным.
а – исходная выборка
б – алгоритм FCM
в– алгоритм Густафсона–Кесселя
Рис. 1. Сравнение результатов работы нечетких алгоритмов
кластеризации на модельной выборке
Возможностные алгоритмы нечеткой клас-
теризации
Одним из основных недостатков алгорит-
ма нечетких С-средних есть его низкая устой-
чивость к выбросам в данных, а также к су-
щественно перекрывающимся кластерам. Эти
недостатки следуют из ограничения, которое
связано с интерпретацией степени принадлеж-
ности как значения вероятности того, что на-
блюдение принадлежит к кластеру (поэтому
алгоритмы, использующие это ограничение,
называют вероятностными). Очевидно, что ус-
ловие (2) слишком жесткое для многих реаль-
ных задач: выбросы в данных должны иметь
близкую к нулю степень принадлежности ко
всем кластерам, а наблюдениям, находящим-
ся в центре существенно перекрывающихся
групп, уместно было бы присвоить принадлеж-
ность, близкую к единице, к каждой из них.
И то, и другое запрещено ограничением (2),
требующим равенства единице суммы при-
надлежностей отдельного наблюдения всем
кластерам. Алгоритмы, не использующие это
ограничение, называются возможностными
(possibilistic) нечеткими алгоритмами [7, 8].
УСиМ, 2013, № 2 43
В возможностных алгоритмах кластериза-
ции базовая целевая функция имеет вид
2
1 1
1 1
, ( ),
( )
( )
,1
N m
j j j j
k j
m N
j j
j k
E u с u k d x kk c
u k
(8)
где параметр j задает нечеткую границу j-го
кластера, т.е. если 2 ( ), j jd x k c , то uj(k) = 0,5.
При использовании евклидовой метрики, полу-
чаем минимизирующую процедуру
11
2 1
1
1
2
1
1
1
( )
,
,
,
j
j
j
N
j
k
j N
j
k
N
jj
k
j N
j
k
x k c
u k
u k x k
c
u k
u k x k c
k
u k
(9)
известную при 2 как возможностный ал-
горитм С-средних [7] (possibilistic C-means,
PCM).
Из-за большего количества рассчитываемых
параметров алгоритм Густафсона–Кесселя еще
более неустойчив к выбросам и не менее алго-
ритма нечетких С-средних уязвим в ситуации
существенно перекрывающихся кластеров. Ана-
логично алгоритму нечетких С-средних, мы
можем уйти от этих недостатков, перейдя к
возможностному алгоритму Густафсона–Кес-
селя [7]. Для этого достаточно заменить мет-
рику в критерии (8) на масштабируемую мет-
рику (6), что приводит к известной минимизи-
рующей процедуре:
11
1
11
2 1
1
1
1
1
1
1
( ( ) ) ( ( ) )
( ) 1
( )
1
( ) ( )
,
( )
( ) ( ) ( )
| |
( )( ( ) )
( )
,
,
j
T
j j j
j
j
j A
j
N
j
k
j N
j
k
N T
j j j j
k
n
j j j
N
T
j j
k
j
x k c A x k c
u k
x k c
u k x k
c
u k
S u k x k c x k c
A S S
u k x k c
k
1
2
1
1
( ( ) )
( )
( ) ( )
.
( )
j
j j
N
j
k
N
j j A
k
N
j
k
A x k c
u k
u k x k c
u k
(10)
Важно отметить, что у возможностных ал-
горитмов есть свои недостатки. В первую оче-
редь в отсутствии ограничения (2) ничто не ме-
шает центроидам сближаться или отдаляться не-
ограниченно. Вследствие этого результат таких
алгоритмов может отличаться нестабильностью,
т.е. малые возмущения в исходных данных (в
первую очередь в инициализации центроидов)
ведут к значительной разнице в результирую-
щих разбиениях. Основной рекомендацией для
борьбы с этим обстоятельством есть использо-
вание для инициализации возможностного ал-
горитма результата работы нескольких итера-
ций алгоритма вероятностного.
Адаптивные алгоритмы нечеткой кла-
стеризации
Вышеописанные процедуры реализуют па-
кетную обработку данных, т.е. подразумевают
наличие заданной и не меняющейся в процессе
работы выборки из N наблюдений, а также за-
данное заранее количество кластеров. Это де-
лает их неприменимыми в задачах, когда дан-
44 УСиМ, 2013, № 2
ные поступают на обработку последовательно
в on-line режиме. Для работы в этих условиях в
[9–12] предложены адаптивные (рекуррентные)
формы некоторых алгоритмов кластеризации.
В частности, применяя к (3) процедуру нели-
нейного программирования Эрроу–Гурвица–Уд-
завы, можно получить рекуррентный алгоритм
нечеткой кластеризации по критерию (1) с ев-
клидовой метрикой [12]:
2
1
2
11
1
1 ,
1 ( )
1 1 1 ,
j
j
m
ll
j j jj
x k c k
u k
x k c k
c k c k k u k x k c k
(11)
являющийся обобщением алгоритма обучения
Чанга–Ли [10, 11] и совпадающий при 2 с
градиентной процедурой кластеризации Пар-
ка–Дэггера [9]. Можно отметить, что при 1
процедура (11) совпадает с четким алгоритмом
K-средних (K-means).
Таким образом, функционирующая по тако-
му алгоритму система воспринимает на входе
лишь одно наблюдение ( 1)x k , рассчитывает
только его принадлежность к j-му кластеру
( 1)ju k и сразу же вычисляет новое положе-
ние соответствующего центроида ( 1)jc k .
Используя в качестве метрики (6), аналогич-
ным образом можно получить рекуррентную
форму алгоритма Густафсона–Кесселя в виде:
2
1
( )
2
1
( )
1
1 1
1 1
1
( 1) ( )
( 1) ,
( 1) ( )
( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( )
( 1) ( )
( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( )
1 ( 1) ( 1) ( ) (
,
)
j
j
j A k
j
m
l A k
l
T
j j j jj
j j
T
j j j jj
T
j jj
x k c k
u k
x k c k
S k S k u k x k c k x k c k
S k S k
u k S k x k c k x k c k S k
u k x k c k S k
2
1
1
,
( 1) ( )
( 1) ( ) 1 ( 1) ( 1) ( )
( 1) | ( 1) | ( 1),
( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1
,
) ( ) .
j
j j jj
n
j j j
j j j jj
x k c k
S k S k u k x k c k
A k S k S k
c k c k k u k A k x k c k
(12)
Особенность данного алгоритма – рекур-
рентное обращение ковариационной матрицы
1 1jS k по формуле Шермана–Моррисона и
рекуррентное вычисление ее определителя
1jS k .
Адаптивной форме вероятностных алгорит-
мов, несмотря на удобство использования, при-
сущи те же недостатки, что и их пакетной фор-
ме – уязвимость к выбросам и сложности с раз-
делением сильно пересекающихся кластеров.
Кроме того, такие алгоритмы не могут быть на-
званы в полной мере алгоритмами обучения
без учителя, поскольку экспериментатор все еще
должен заранее задать количество кластеров,
используя знания о природе выборки. Для ком-
пенсации этих недостатков логично обратиться
к адаптивной форме возможностных алгорит-
мов нечеткой кластеризации.
В [12] описан синтез адаптивного возмож-
ностного алгоритма нечетких С-средних с при-
менением процедуры нелинейного программи-
рования Эрроу–Гурвица–Удзавы к критерию (8)
при использовании евклидовой метрики. Этот
алгоритм имеет простой вид:
11
2 1
1 2
1
1
1
1 ,
( 1) ( ) ( ) ( 1)( ( 1) ( )),
( ) ( 1)
( 1) .
( )
j
j
j
j j jj
k
jj
p
j k
j
p
x k c
u k
k
c k c k k u k x k c k
u p x p c k
k
u p
(13)
Благодаря отсутствию ограничения (2), воз-
можно не только отслеживать выбросы, но и
немедленно реагировать на них, например, со-
здавая новый центроид, если сумма принад-
лежностей одного или нескольких наблюдений
к существующим кластерам слишком мала. Это
и позволяет назвать алгоритм адаптивным.
Логичным шагом будет использование пре-
имуществ адаптивного и возможностного под-
УСиМ, 2013, № 2 45
ходов к алгоритму Густафсона–Кесселя. Ис-
пользование в качестве метрики (6) приводит к
следующей процедуре:
1
12
1
1 1
1 1
( 1) 1
( )
( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( )
(
1
,
,
1) ( )
( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( )
1 ( 1) ( 1) ( )
j
j
j
T
j j j jj
j j
T
j j j jj
T
A k
j
j
j
u k
k
S k S k u k x k c k x k c k
S k S k
u k S k x k c k x k c k S k
u k
x k c
x k k S
k
c
1
2
1
1
1 2
( 1)
1
1
1
,
( ) ( 1) ( )
( 1) ( ) 1 ( 1) ( 1) ( )
( 1) ( 1) ( 1),
( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( ) ,
( ) ( 1) ( )
( 1) .
,
( )
j
j j
j j jj
nj j j
j j j jj
k
jj A k
p
j k
j
p
k x k c k
S k S k u k x k c k
A k S k S k
c k c k k u k A k x k c k
u p x k c k
k
u p
(14)
Видно, что за исключением вида функции
принадлежности uj (k + 1) и вычисления свя-
занного с ней параметра нечеткой границы
j (k + 1), алгоритм близок к адаптивному веро-
ятностному алгоритму Густафсона–Кесселя (12).
Экспериментальные исследования
Ввиду того что точность и иные меры каче-
ства кластеризации адаптивных алгоритмов иден-
тичны по построению их пакетным аналогам,
наиболее интересной для экспериментального
исследования была признана скорость самообу-
чения системы. В качестве меры модельного вре-
мени, как минимальный общий квант пакетных
и адаптивных форм алгоритмов, принято коли-
чество проходов (эпох, итераций) по всей дос-
тупной выборке наблюдений. В проведенной се-
рии экспериментов тестировалось время, за ко-
торое система достигает заданной точности кла-
стеризации. Для тестирования использовалась
традиционная выборка «Вина» (178 13-мерных
наблюдений, разделенных на три класса).
С каждым из рассмотренных алгоритмов бы-
ла проведена серия из 50 экспериментов. Каж-
дый эксперимент включал 25 итераций обуче-
ния алгоритма. Изначально инициализирован-
ный случайно, на каждой итерации алгоритм
самообучался на обучающем множестве, вклю-
чающем 66 процентов выборки, после чего из-
мерялась точность кластеризации на всей вы-
борке. На графиках рис. 2 показана средняя точ-
ность кластеризации каждого алгоритма в зави-
симости от количества проходов по выборке.
а – вероятностные алгоритмы
б – возможностные алгоритмы
Рис. 2. Точность кластеризации в зависимости от числа итера-
ций по выборке. Аббревиатурами обозначены алгорит-
мы: FCM – нечетких С-средних, GK – Густафсона–Кессе-
ля, PCM – возможностный нечетких С-средних, PGK –
возможностный Густафсона–Кесселя. Буква «А» обо-
значает адаптивные варианты соответствующих алго-
ритмов
Отметим, что из-за большого количества вы-
числяемых параметров, адаптивные формы как
возможностного, так и вероятностного алгорит-
ма Густафсона–Кесселя, требуют для качествен-
ной настройки даже большего количества на-
блюдений, чем их пакетные формы, что обыч-
но нехарактерно для адаптивных алгоритмов,
однако закономерно с учетом сложности сис-
тем. Значительно важнее, что, имея намного бо-
лее гибкие возможности адаптации к входящим
наблюдениям, адаптивные формы алгоритмов
Густафсона–Кесселя сохраняют монотонность
46 УСиМ, 2013, № 2
роста качества кластеризации с числом приня-
тых наблюдений даже лучше большинства па-
кетных алгоритмов, что особенно выгодно вы-
деляет адаптивный возможностный алгоритм
Густафсона–Кесселя на фоне других возможно-
стных алгоритмов, традиционно отличающих-
ся нестабильностью результатов.
Заключение. Предложены адаптивные про-
цедуры вероятностного и возможностного ва-
риантов алгоритма нечеткой кластеризации Гус-
тафсона–Кесселя, отличающиеся простотой чис-
ленной реализации и возможностью обработки
данных в режиме реального времени. Экспери-
ментальные данные подтверждают работоспо-
собность предложенных алгоритмов и уникаль-
ность некоторых их свойств: не требуют руч-
ной настройки, способны обрабатывать выбро-
сы без предобработки данных и адаптировать-
ся к меняющимся характеристикам выборки.
Дальнейшие исследования могут быть направ-
лены на автоматическую настройку параметров
фаззификатора и шага обучения.
1. Bezdek J.C. Pattern Recognition with Fuzzy Objective
Function Algorithms. – N.Y.: Plenum Press. – 1981. –
272 p.
2. Fuzzy Clustering Analysis: Methods for Classification,
Data Analysis and Image Recognition / F. Höppner,
F. Klawonn, R. Kruse et al. – Chichester: John Willey &
Sons. – 1999. – 289 p.
3. Gan G., Ma Ch., Wu J. Data Clustering: Theory, Algo-
rithms and Applications – Philadelphia: SIAM, 2007. –
466 p.
4. Gath I., Geva A.B. Unsupervised optimal fuzzy clus-
tering // Patt. Analysis and Machine Intell. – 1989. –
11, 7. – P. 773–780.
5. Gustafson D.E., Kessel W.C. Fuzzy clustering with a
fuzzy covariance matrix. // IEEE Conf. on Decision and
Control including the 17th Symp. on Adaptive Proc. –
1978. – P. 761–766.
6. Krishnapuram R., Jongwoo K. A note on the Gustaf-
son–Kessel and adaptive fuzzy clustering algorithms
// IEEE Trans. on Fuzzy Syst. – 7, N 4. – Aug. 1999. – P.
453–461.
7. Krishnapuram R., Keller J.M. A possibilistic approach
to clustering // Fuzzy Systems. – 1993. – 1, N 2. –
P. 98–110.
8. Krishnapuram R., Keller J.M. Fuzzy and possibilistic
clustering methods for computer vision // Neural Fuz-
zy Syst. – 1994. – 12. – P. 133–159.
9. Park D.C., Dagher I. Gradient based fuzzy c-means
(GBFCM) algorithm // Proc. IEEE Int. Conf. on Neu-
ral Networks. – 1984. – P. 1626–1631.
10. Chung F.L., Lee T. Fuzzy competitive learning // Neu-
ral Networks. – 1994. – 7, N 3. – P. 539–552.
11. Chung F.-L., Lee T. Unsupervised fuzzy competitive
learning with monotonically decreasing fuzziness // Proc.
1993 Int. Joint Conf. on Neural Networks. – 1993. –
P. 2929–2932.
12. Bodyanskiy Ye. Computational intelligence techniques
for data analysis / Lecture Notes in Informatics. –
Bonn, Germany. – 2005. – P–72. – P. 15–36.
Тел. для справок: +38 067 399-9150, +38 063 319-6020,
+38 057 702-1337, 702-1890 (Харьков)
E-mail: bodya@kture.kharkov.ua, quasimail@gmail.com,
volkova@kture.kharkov.ua, pliss@kture.kharkov.ua
© Е.В. Бодянский, Б.В. Колчигин, В.В. Волкова,
И.П. Плисс, 2013
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <FEFF00560065007200770065006e00640065006e0020005300690065002000640069006500730065002000450069006e007300740065006c006c0075006e00670065006e0020007a0075006d002000450072007300740065006c006c0065006e00200076006f006e002000410064006f006200650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e00740065006e002c00200076006f006e002000640065006e0065006e002000530069006500200068006f006300680077006500720074006900670065002000500072006500700072006500730073002d0044007200750063006b0065002000650072007a0065007500670065006e0020006d00f60063006800740065006e002e002000450072007300740065006c006c007400650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e007400650020006b00f6006e006e0065006e0020006d006900740020004100630072006f00620061007400200075006e0064002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006f0064006500720020006800f600680065007200200067006500f600660066006e00650074002000770065007200640065006e002e>
/ESP <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>
/ETI <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>
/FRA <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>
/GRE <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>
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
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <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>
/RUS <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>
/SKY <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>
/SLV <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-83142 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0130-5395 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T18:13:35Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бодянский, Е.В. Колчигин, Б.В. Волкова, В.В. Плисс, И.П. 2015-06-15T17:07:41Z 2015-06-15T17:07:41Z 2013 Адаптивная нечеткая кластеризация данных на основе метода Густафсона–Кесселя / Е.В. Бодянский, Б.В. Колчигин, В.В. Волкова, И.П. Плисс // Управляющие системы и машины. — 2013. — № 2. — С. 40-46. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0130-5395 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83142 004.032.26 Рассмотрены процедуры нечеткой кластеризации. Предложены адаптивные формы вероятностного и возможностного вариантов алгоритма Густафсона–Кесселя, отличающиеся численной простотой и обеспечивающие высокую эффективность при работе в условиях неопределенности, в частности при меняющемся со временем характере обрабатываемых данных и недостатке знаний о природе выборки. Procedures of fuzzy clustering are considered and adaptive forms of possibilistic and probabilistic Gustafson–Kessel algorithms are suggested. The suggested algorithms are characterized by the numerical simplicity and provide a high efficiency when working in the conditions of uncertainty, particularly in a changing over time character of the data and a lack of knowledge about the nature of a sample. Розглянуто процедури нечіткої кластеризації. Запропоновано адаптивні форми вирогідністного та можливістного варіантів алгоритму Густафсона–Кесселя, які відрізняються розрахунковою простотою та забезпечують високу ефективність при роботі в умовах невизначеності, а саме при мінливому у часі характері даних, що обробляються, та при нестачі знань про природу вибірки. ru Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України Управляющие системы и машины Искусственный интеллект и обработка знаний Адаптивная нечеткая кластеризация данных на основе метода Густафсона–Кесселя An Adaptive Fuzzy Clustering Based on Gustafson-Kessel Method Адаптивна нечітка кластеризація даних на основі методу Густафсона-Кесселя Article published earlier |
| spellingShingle | Адаптивная нечеткая кластеризация данных на основе метода Густафсона–Кесселя Бодянский, Е.В. Колчигин, Б.В. Волкова, В.В. Плисс, И.П. Искусственный интеллект и обработка знаний |
| title | Адаптивная нечеткая кластеризация данных на основе метода Густафсона–Кесселя |
| title_alt | An Adaptive Fuzzy Clustering Based on Gustafson-Kessel Method Адаптивна нечітка кластеризація даних на основі методу Густафсона-Кесселя |
| title_full | Адаптивная нечеткая кластеризация данных на основе метода Густафсона–Кесселя |
| title_fullStr | Адаптивная нечеткая кластеризация данных на основе метода Густафсона–Кесселя |
| title_full_unstemmed | Адаптивная нечеткая кластеризация данных на основе метода Густафсона–Кесселя |
| title_short | Адаптивная нечеткая кластеризация данных на основе метода Густафсона–Кесселя |
| title_sort | адаптивная нечеткая кластеризация данных на основе метода густафсона–кесселя |
| topic | Искусственный интеллект и обработка знаний |
| topic_facet | Искусственный интеллект и обработка знаний |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83142 |
| work_keys_str_mv | AT bodânskiiev adaptivnaânečetkaâklasterizaciâdannyhnaosnovemetodagustafsonakesselâ AT kolčiginbv adaptivnaânečetkaâklasterizaciâdannyhnaosnovemetodagustafsonakesselâ AT volkovavv adaptivnaânečetkaâklasterizaciâdannyhnaosnovemetodagustafsonakesselâ AT plissip adaptivnaânečetkaâklasterizaciâdannyhnaosnovemetodagustafsonakesselâ AT bodânskiiev anadaptivefuzzyclusteringbasedongustafsonkesselmethod AT kolčiginbv anadaptivefuzzyclusteringbasedongustafsonkesselmethod AT volkovavv anadaptivefuzzyclusteringbasedongustafsonkesselmethod AT plissip anadaptivefuzzyclusteringbasedongustafsonkesselmethod AT bodânskiiev adaptivnanečítkaklasterizacíâdanihnaosnovímetodugustafsonakesselâ AT kolčiginbv adaptivnanečítkaklasterizacíâdanihnaosnovímetodugustafsonakesselâ AT volkovavv adaptivnanečítkaklasterizacíâdanihnaosnovímetodugustafsonakesselâ AT plissip adaptivnanečítkaklasterizacíâdanihnaosnovímetodugustafsonakesselâ |