3D-коефіцієнти Фур'є на класі диференційовних функцій та оператори кусково-сталої сплайн-інтерфлетації

Рассмотрены и исследованы кубатурные формулы вычисления 3D-коэффициентов Фурье с использованием операторов кусочно-постоянной сплайн-интерфлетации на одном классе дифференцируемых функций. Доказано, что оценку погрешности кубатурных формул можно получить посредством соответствующих оценок погрешност...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Управляющие системы и машины
Date:	2013
Main Authors:	Литвин, О.М., Нечуйвітер, О.П.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України 2013
Subjects:	Новые методы в информатике
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83200
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	3D-коефіцієнти Фур'є на класі диференційовних функцій та оператори кусково-сталої сплайн-інтерфлетації / О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер // Управляющие системы и машины. — 2013. — № 5. — С. 32-37. — Бібліогр.: 4 назв. — укр., рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859641589216837632
author	Литвин, О.М. Нечуйвітер, О.П.
author_facet	Литвин, О.М. Нечуйвітер, О.П.
citation_txt	3D-коефіцієнти Фур'є на класі диференційовних функцій та оператори кусково-сталої сплайн-інтерфлетації / О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер // Управляющие системы и машины. — 2013. — № 5. — С. 32-37. — Бібліогр.: 4 назв. — укр., рос.
collection	DSpace DC
container_title	Управляющие системы и машины
description	Рассмотрены и исследованы кубатурные формулы вычисления 3D-коэффициентов Фурье с использованием операторов кусочно-постоянной сплайн-интерфлетации на одном классе дифференцируемых функций. Доказано, что оценку погрешности кубатурных формул можно получить посредством соответствующих оценок погрешности квадратурных формул. Cubature formulas of the calculation of 3D-Fourier's coefficients are presented by using piecewice operators of spline-interflatation in the case when information about function is set of flats on one class of differentiable functions. The error of the cubature formulas is evaluated by errors of quadratures formulas. Запропоновано і досліджено кубатурні формули обчислення 3D-коефіцієнтів Фур'є з використанням операторів кусково-сталої сплайн-інтерфлетації на одному класі диференційовних функцій. Доведено, що оцінку похибки кубатурних формул можна отримати через відповідні оцінки похибки квадратурних формул.
first_indexed	2025-12-07T13:22:20Z
format	Article
fulltext	32 УСиМ, 2013 № 5 УДК 621.391:517.518:510.52 О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер 3D-коефіцієнти Фур’є на класі диференційовних функцій та оператори кусково-сталої сплайн-інтерфлетації Рассмотрены и исследованы кубатурные формулы вычисления 3D-коэффициентов Фурье с использованием операторов ку- сочно-постоянной сплайн-интерфлетации на одном классе дифференцируемых функций. Доказано, что оценку погрешности кубатурных формул можно получить посредством соответствующих оценок погрешности квадратурных формул. Cubature formulas of the calculation of 3D-Fourier's coefficients are presented by using piecewice operators of spline-interflatation in the case when information about function is set of flats on one class of differentiable functions. The error of the cubature formulas is evaluated by errors of quadratures formulas. Запропоновано і досліджено кубатурні формули обчислення 3D-коефіцієнтів Фур'є з використанням операторів кусково- сталої сплайн-інтерфлетації на одному класі диференційовних функцій. Доведено, що оцінку похибки кубатурних формул можна отримати через відповідні оцінки похибки квадратурних формул. Вступ. На даний час методи комп’ютерної то- мографії є найбільш ефективними методами дослідження внутрішньої структури тривимір- ного тіла без його руйнування. При розв’язанні задачі такого типу використовується метод, який узагальнює прямий метод Фур'є з двовимірно- го на тривимірний випадок. В цьому методі шукана функція від трьох змінних представля- ється у вигляді ряду Фур'є. Вибір методу при розв’язанні задачі наближеного обчислення ко- ефіцієнтів цього ряду пояснюється видом за- дання початкових даних. У випадку, коли дані є слідами функції на площинах, для наближено- го обчислення 3D-коефіцієнтів Фур'є будують- ся кубатурні формули з використанням інтер- флетації функцій [1]. В [2, 4] викладено загальний підхід до по- будови операторів фінітного тривимірного ди- скретно-неперервного і дискретного перетво- рення Фур'є на основі методу Файлона, трилі- нійних сплайнів (лінійних за кожною змінною) та сплайн-інтерфлетації на класі диференційо- вних функцій у випадку, коли задано значення функції у вузлах. Випадок, коли дані є слідами функції на площинах, розглядається вперше. Отримано оцінки похибки кубатурних формул, побудованих з використанням операторів кус- ково-сталої сплайн-інтерфлетації. Показано, що оцінку похибки кубатурної формули можна виразити відповідними оцінками похибки ква- дратури формул. Постановка задачі Побудувати кубатурні формули для обчис- лення 3D-коефіцієнтів Фур'є з використанням операторів кусково-сталої сплайн-інтерфлета- ції на класі дійсних функцій трьох змінних, визначених на  30,1G  і таких, що  1,0,0 ( , , )f x y z M ,  0,1,0 ( , , )f x y z M ,  0,0,1 ( , , )f x y z M ,  1,1,1 ( , , )f x y z M  у ви- падку, коли інформацію про функцію задано її слідами на площинах , 2kx k     , 2jy j    , , , 1, 2sz s k j s       , 1    , та отримати оцінки похибки кубатурних формул. Довести, що оцінку похибки побудованих кубатурних формул можна отримати різними способами, зокрема, виразити через відповідні похибки квадратурних формул. Оцінка похибки обчислення 3D-коефіці- єнтів Фур'є. Нехай      , ,k j sp x p y p z – сплайни порядку 0, 1, 2, 3 з властивостями      α α β β γ γδ , δ , δ , α,β,γ 1,k k j j s sp x p y p z     і    1 1 ( , , ) , ,k k k O f x y z f x y z p x    ,    2 1 ( , , ) , ,j j j O f x y z f x y z p y    , УСиМ, 2013, № 5 33    3 1 ( , , ) , , s s s O f x y z f x y z p z    , , , 1,k j s  ,             1 1 1 ; , , , , , , , , , , , k k k R f x y z f x y z f x y z p x f x y z O f x y z                     2 1 2 ; , , , , , , , , , , , j j j R f x y z f x y z f x y z p y f x y z O f x y z                     3 1 3 ; , , , , , , , , , , . s s s R f x y z f x y z f x y z p z f x y z O f x y z         Оператор сплайн-інтерфлетант  , ,Of x y z представляється через оператори  , , ,O f x y z 1,2,3  наступним чином:             1 2 3 1 2 2 3 , , , , , , , , , , , , Of x y z O f x y z O f x y z O f x y z O O f x y z O O f x y z           1 3 1 2 3, , , , .O O f x y z O O O f x y z  Лема 1. Для залишку       1 1 1 0 0 0 , , , , sin 2 sin 2 sin 2 R f f x y z Of x y z mxdx nydy pzdz          справедлива наступна рівність:         1 0 1 0 1 0 ,, zyxffR  sin 2mxdx sin 2nydy sin 2pzdz. Лему 1 доведено. Лема 2. Для залишку  R f справедлива наступна рівність:        1 0 1 0 1 0 ,, zyxffR  , , sin 2 sin 2 sin 2Of x y z mxdx nydy pzdz    =  1 2 3 , , .R R R f x y z    Лему 2 доведено. Кубатурна формула обчислення 3D-коефі- цієнтів Фур'є з використанням операторів кус- ково-сталої сплайн-інтерфлетації. Далі як      , ,k j sp x p y p z розглянемо кусково-сталі базисні сплайни. Введемо позначення 1 2 3 1, ,1, ( ) 1, ; ( ) 1, , 0, , 0, , 1, , ( ) 1, , 0, , jk k j k j s s s y Yx X h x k h y j x X y Y z Z h y s z Z                    1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 , , , , , , k k k j j j s s s X x x Y y y Z z z             , , , 1, , 2 2k jx k y j k j           1 .   Нехай  , ,Of x y z – оператор кусково-сталої сплайн-інтерфлетації: 1 1 2 3 1 1 ( , , ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) k k k j j s s j j Of x y z f x y z h x f x y z h y f x y z h z               1 2 1 1 1 3 1 1 ( , , ) ( ) ( ) ( , , ) ( ) ( ) k j k j k j k s k s k s f x y z h x h y f x y z h x h z               2 3 1 1 1 2 3 1 1 1 ( , , ) ( ) ( ) ( , , ) ( ) ( ) ( ). j s j s j s k j s k j s k j s f x y z h y h z f x y z h x h y h z                Лема 3. [1]. Для  , ,Of x y z виконуються на-ступні властивості: 1.  3 3 1 ( , , ) ( , , ) ,f x y z Of x y z O O           3, , [0,1]x y z G   ; 2. ( , , ) ( , , ), 1,k kOf x y z f x y z k   ; 3. ( , , ) ( , , ), 1,j jOf x y z f x y z j   ; 4. ( , , ) ( , , ), 1,s sOf x y z f x y z s   . Теорема. Для кубатурної формули  3 1 , ,m n p обчислення  3 1 , ,I m n p справедлива наступна оцінка 34 УСиМ, 2013 № 5       3 3 1 1 3 1 , , , , , 64 M I m n p m n p R f      , де  1,1,1 ( , , )f x y z M  . Доведення теореми можна здійснити на ос- нові леми 2, використовуючи оцінки похибки квадратурних формул. Дійсно, якщо    1 0,1g x C ,  g x M  , , 1, 2kx k k       , 1    , то для функції од- нієї змінної маємо наступні оцінки:      1 2 1 2 1 1 0 sin 2 k k x k k x R g x g x mxdx                  1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 0 0 k k k k k x x x k k kx x x g x g x dx g d dx                           dxxxM k x x k k k 1 0 2 1 2 1  =                      1 0 22 2 1 2 1 22  k x x k x x k k k k k xxxx M 44 2     M M . Тоді, за лемою 2, маємо     3 3 1 1, , , , ,I m n p m n p     3 1 2 3 3 3 ; , , 4 64 M R R R f x y z M          . Теорему доведено. Чисельний експеримент. Нехай      zyxzyxf 222cos 4 1 ,,     xyzyzx 222cos222cos  zyx 222cos  , тоді  1,0,0 ( , , ) 2f x y z  ,  0,1,0 ( , , ) 2f x y z  ,  0,0,1 ( , , ) 2f x y z  ,  1,1,1 ( , , ) 8f x y z  . Якщо обчислювати інтеграл 3 1 (2,3,3)I за ку- батурною формулою 3 1 (2,3,3) , коли 19 , то   3 3 1 1(2,3,3) (2,3,3)R f I   = 0,000667558357725–0,0006675583576745 = = 5,1  10–14. Функцію  , ,f x y z можна представити у ви- гляді  , , cos 2 cos 2 cos 2f x y z x y z , тому якщо ,2cos)( uug  ,,, zyxu  то можна отримати на- ступні результати обчислень для        11 0 , , sin 2 , k k u i k k u R g u s g u g u sudu         i = 1, 2, 3 коли 19   2,, ~ 1 xgR 0,000051056063201,   3,, ~ 2 ygR 0,000031522074555,   3,, ~ 3 zgR 0,000031522074555. Отже,   3 3 1 1(2,3,3) (2,3,3)R f I        1 2 3, , 2 , ,3 , ,3R g x R g y R g z    = 0,000051056063201  0,000031522074555   0,000031522074555 = 5,1  10–14. Так, чисельний експеримент підтверджує те- оретичний результат. Висновки. Досліджено кубатурні форму- ли обчислення 3D-коефіцієнтів Фур'є з вико- ристанням операторів кусково-сталої сплайн- інтерфлетації на класі функцій, у яких  1,0,0 ( , , )f x y z M ,  0,1,0 ( , , )f x y z M ,  0,0,1 ( , , )f x y z M ,  1,1,1 ( , , )f x y z M  . Інформацію про функцію задано слідами на системі взаємно перпендикулярних площин. Доведено, що оцінку похибки кубатурних фо- рмул можна виразити через відповідні оцінки похибки квадратурних формул. УСиМ, 2013, № 5 35 1. Литвин О.М. Інтерлінація функцій та деякі її за- стосування. – Харків: Основа, 2002. – 544 с. 2. Литвин О.М., Удовиченко В.М. Оператори фінітно- го тривимірного перетворення Фур’є // Радиоэлек- троника и информатика (ХНУРЭ). – 2004. – № 4 (29). – С. 130–133. 3. Литвин О.М., Удовиченко В.М. Оператори фінітно- го тривимірного дискретно-неперервного перетво- рення Фур’є на основі методу Файлона та трилі- нійних сплайнів, точні на тригонометричних полі- номах заданого порядку. // Інформаційно-керуючі системи на залізничному транспорті. – 2005. – № 1, 2 (51, 52). – С. 19–23. 4. Литвин О.М., Удовиченко В.М. Тривимірні фінітні перетворення Фур’є та Хартлі з використанням ін- терфлетації функцій // Вестн. Нац. техн. ун-та «ХПИ»: Сб. науч. тр. Тем. вып. «Автоматика и приборо- строение». – 2005. – № 38. – С. 90–130. Поступила 03.11.2011 Тел. для справок: +38 057 771-0545, 63-5923, 376-6026, +38 050 189-4738 (Харьков) E-mail: academ@kharkov.ua, olesya@email.com © О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер, 2013  О.Н. Литвин, О.П. Нечуйвитер 3D-коэффициенты Фурье на классе дифференцируемых функций и операторы кусочно-постоянной сплайн-интерфлетации Введение. На данный момент методы компьютерной томографии – наиболее эффективны при исследованиях внутренней структуры трехмерного тела без его разру- шения. При решении задач такого типа используется ме- тод, обобщающий прямой метод Фурье с двумерного на трехмерный случай. В этом методе искомая функция от трех переменных представляется в виде ряда Фурье. Вы- бор метода при решении задачи приближенного вычис- ления коэффициентов этого ряда объясняется видом задания начальных данных. В случае, когда данные – это следы функции на плоскостях, для приближенного вы- числения 3D-коэффициентов Фурье строятся кубатур- ные формулы с использованием интерфлетации функ- ций [1]. В [2–4] изложен общий подход к построению опера- торов финитного трехмерного дискретно-непрерывного и дискретного преобразования Фурье на основе метода Файлона, трехлинейных сплайнов (линейных по каждой переменной) и сплайн-интерфлетации на классе диффе- ренцированных функций в случае, когда заданы значе- ния функции в узлах. Случай, когда данные – это следы функции на плоскостях, рассматривается впервые. По- лучены оценки погрешности кубатурных формул, по- строенных с использованием операторов кусочно-посто- янной сплайн-интерфлетации. Показано, что оценку по- грешности кубатурной формулы можно выразить соот- ветствующими оценками погрешности квадратурных формул. Постановка задачи Построить кубатурные формулы для вычисления 3D- коэффициентов Фурье с использованием операторов кусочно-постоянной сплайн-интерфлетации на классе действительных функций трех переменных, опреде- ленных на  30,1G  и таких, что  1,0,0 ( , , )f x y z M ,  0,1,0 ( , , )f x y z M ,  0,0,1 ( , , )f x y z  М,  1,1,1 ( , , )f x y z M  в случае, когда информация о функции задана ее следами на плоскостях , 2kx k     , 2jy j     , , , 1, 2sz s k j s       , 1    , и получить оценки погрешности кубатурных формул. Доказать, что оценку погрешности построен- ных кубатурных формул можно получить разными спо- собами, например, выразить через соответствующие погрешности квадратурных формул. Оценка погрешности вычисления 3D-коэффици- ентов Фурье. Пусть      , ,k j sp x p y p z – сплайны порядка 0, 1, 2, 3 со свойствами со свойствами  αkp x     α β β γ γδ , δ , δ , α,β,γ 1,k j j s sp y p z     и    1 1 ( , , ) , ,k k k O f x y z f x y z p x     ,    2 1 ( , , ) , ,j j j O f x y z f x y z p y     ,    3 1 ( , , ) , , s s s O f x y z f x y z p z     , , , 1,k j s  ,             1 1 1 ; , , , , , , , , , , , k k k R f x y z f x y z f x y z p x f x y z O f x y z                     2 1 2 ; , , , , , , , , , , , j j j R f x y z f x y z f x y z p y f x y z O f x y z         36 УСиМ, 2013 № 5        3 1 ; , , , , , , s s s R f x y z f x y z f x y z p z         3, , , , .f x y z O f x y z  Оператор сплайн-интерфлетант  , ,Of x y z пред- ставляется через операторы  , , ,O f x y z 1, 2,3  сле- дующим образом:             1 2 3 1 2 2 3 , , , , , , , , , , , , Of x y z O f x y z O f x y z O f x y z O O f x y z O O f x y z           1 3 1 2 3, , , , .O O f x y z O O O f x y z  Лемма 1. Для остатка       1 1 1 0 0 0 , , , , sin 2 sin 2 sin 2 R f f x y z Of x y z mxdx nydy pzdz          справедливо следующее равенство:     1 1 1 1 2 3 0 0 0 , , sin 2 sin 2 sin 2 .R f R R R f x y z mxdx nydy pzdz      Лемма 1 доказана. Лемма 2. Для остатка  R f справедливо следую- щее равенство:     1 1 1 0 0 0 ( , , ) ( , , ) sin 2 sin 2 sin 2R f f x y z Of x y z mxdx nydy pzdz         1 2 3 , , .R R R f x y z    Лемма 2 доказана. Кубатурная формула вычисления 3D-коэффици- ентов Фурье с использованием операторов кусочно- постоянной сплайн-интерфлетации. Далее в качестве      , ,k j sp x p y p z рассмотрим кусочно-постоянные базисные сплайны. Введем обозначения 1 2 1, ,1, ( ) 1, ; ( ) 1, , 0, , 0, , jk k j k j y Yx X h x k h y j x X y Y           3 1, , ( ) 1, , 0, , s s s z Z h y s z Z          1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 , , , , , , k k k j j j s s s X x x Y y y Z z z             , , , 1, , 2 2k jx k y j k j           1 .   Пусть  , ,Of x y z – оператор кусочно-постоянной сплайн-интерфлетации: 1 1 2 3 1 1 ( , , ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) k k k j j s s j j Of x y z f x y z h x f x y z h y f x y z h z               1 2 1 1 1 3 1 1 ( , , ) ( ) ( ) ( , , ) ( ) ( ) k j k j k j k s k s k s f x y z h x h y f x y z h x h z               2 3 1 1 1 2 3 1 1 1 ( , , ) ( ) ( ) ( , , ) ( ) ( ) ( ). j s j s j s k j s k j s k j s f x y z h y h z f x y z h x h y h z                Лемма 3. [1]. Для  , ,Of x y z выполняются следую- щие свойства: 1.  3 3 1 ( , , ) ( , , ) ,f x y z Of x y z O O          3, , [0,1]x y z G   ; 2. ( , , ) ( , , ), 1,k kOf x y z f x y z k   ; 3. ( , , ) ( , , ), 1,j jOf x y z f x y z j   ; 4. ( , , ) ( , , ), 1,s sOf x y z f x y z s   . Теорема. Для кубатурной формулы  3 1 , ,m n p вы- числения  3 1 , ,I m n p справедлива следующая оценка       3 3 1 1 3 1 , , , , , 64 M I m n p m n p R f      , где  1,1,1 ( , , )f x y z M  . Доказательство теоремы можно осуществить на ос- нове леммы 2, используя оценки погрешности квадра- турных формул. Действительно, если    1 0,1g x C ,  g x M  , , 1, 2kx k k       , 1    , то для функции одной пе- ременной имеем следующие оценки:      1 2 1 2 1 1 0 sin 2 k k x k k x R g x g x mxdx                  1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 0 0 k k k k k x x x k k kx x x g x g x dx g d dx                        1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 2 2 21 0 . 2 2 4 4 k k k k k k x k k x x x k k x x k M x x dx x x x x M M M                                 Тогда, по лемме 2, имеем     3 3 1 1, , , , ,I m n p m n p     3 1 2 3 3 3 ; , , 4 64 M R R R f x y z M          . УСиМ, 2013 № 5 37 Теорема доказана. Численный эксперимент. Пусть      1 , , cos 2 2 2 cos 2 2 2 4 f x y z x y z x z y          cos 2 2 2 cos 2 2 2z y x x y z      , тогда  1,0,0 ( , , ) 2f x y z  ,  0,1,0 ( , , ) 2f x y z  ,  0,0,1 ( , , ) 2f x y z  ,  1,1,1 ( , , ) 8f x y z  . Если вычислять интеграл 3 1 (2,3,3)I по кубатурной формуле 3 1 (2,3,3) при 19 , то   3 3 1 1(2,3,3) (2,3,3)R f I   = 0,000667558357725–0,0006675583576745 = = 5,1  10–14. Функцию  , ,f x y z можно представить в виде  , , cos 2 cos 2 cos 2f x y z x y z , поэтому если ,2cos)( uug  ,,, zyxu  то можно получить следующие результаты вычислений для        11 0 , , sin 2 , 1, 2,3 k k u i k k u R g u s g u g u sudu i          при 19   2,, ~ 1 xgR 0,000051056063201,   3,, ~ 2 ygR 0,000031522074555,   3,, ~ 3 zgR 0,000031522074555. Тогда   3 3 1 1(2,3,3) (2,3,3)R f I    =      1 2 3, , 2 , ,3 , ,3R g x R g y R g z    = 0,000051056063201  0,000031522074555   0,000031522074555 = 5,1  10–14. Таким образом, численный эксперимент подтвержда- ет теоретический результат. Заключение. Исследованы кубатурные формулы вы- числения 3D-коэффициентов Фурье с использованием операторов кусочно-постоянной сплайн-интерфлетации на классе функций, у которых  1,0,0 ( , , )f x y z M ,  0,1,0 ( , , )f x y z M ,  0,0,1 ( , , )f x y z М,  1,1,1 ( , , )f x y z M  . Информация о функции задана следами на системе взаимно перпен- дикулярных плоскостей. Доказано, что оценку погреш- ности кубатурных формул можно выразить через соот- ветствующие оценки погрешности квадратурных формул. 
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-83200
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0130-5395
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T13:22:20Z
publishDate	2013
publisher	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
record_format	dspace
spelling	Литвин, О.М. Нечуйвітер, О.П. 2015-06-16T17:13:41Z 2015-06-16T17:13:41Z 2013 3D-коефіцієнти Фур'є на класі диференційовних функцій та оператори кусково-сталої сплайн-інтерфлетації / О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер // Управляющие системы и машины. — 2013. — № 5. — С. 32-37. — Бібліогр.: 4 назв. — укр., рос. 0130-5395 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83200 621.391:517.518:510.52 Рассмотрены и исследованы кубатурные формулы вычисления 3D-коэффициентов Фурье с использованием операторов кусочно-постоянной сплайн-интерфлетации на одном классе дифференцируемых функций. Доказано, что оценку погрешности кубатурных формул можно получить посредством соответствующих оценок погрешности квадратурных формул. Cubature formulas of the calculation of 3D-Fourier's coefficients are presented by using piecewice operators of spline-interflatation in the case when information about function is set of flats on one class of differentiable functions. The error of the cubature formulas is evaluated by errors of quadratures formulas. Запропоновано і досліджено кубатурні формули обчислення 3D-коефіцієнтів Фур'є з використанням операторів кусково-сталої сплайн-інтерфлетації на одному класі диференційовних функцій. Доведено, що оцінку похибки кубатурних формул можна отримати через відповідні оцінки похибки квадратурних формул. uk Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України Управляющие системы и машины Новые методы в информатике 3D-коефіцієнти Фур'є на класі диференційовних функцій та оператори кусково-сталої сплайн-інтерфлетації 3D-Fourier's Coefficients on the Class of Differentiable Functions and Piecewice Operators of Spline-Interflatation 3D-коэффициенты Фурье на классе дифференцируемых функций и операторы кусочно-постоянной сплайн-интерфлетации Article published earlier
spellingShingle	3D-коефіцієнти Фур'є на класі диференційовних функцій та оператори кусково-сталої сплайн-інтерфлетації Литвин, О.М. Нечуйвітер, О.П. Новые методы в информатике
title	3D-коефіцієнти Фур'є на класі диференційовних функцій та оператори кусково-сталої сплайн-інтерфлетації
title_alt	3D-Fourier's Coefficients on the Class of Differentiable Functions and Piecewice Operators of Spline-Interflatation 3D-коэффициенты Фурье на классе дифференцируемых функций и операторы кусочно-постоянной сплайн-интерфлетации
title_full	3D-коефіцієнти Фур'є на класі диференційовних функцій та оператори кусково-сталої сплайн-інтерфлетації
title_fullStr	3D-коефіцієнти Фур'є на класі диференційовних функцій та оператори кусково-сталої сплайн-інтерфлетації
title_full_unstemmed	3D-коефіцієнти Фур'є на класі диференційовних функцій та оператори кусково-сталої сплайн-інтерфлетації
title_short	3D-коефіцієнти Фур'є на класі диференційовних функцій та оператори кусково-сталої сплайн-інтерфлетації
title_sort	3d-коефіцієнти фур'є на класі диференційовних функцій та оператори кусково-сталої сплайн-інтерфлетації
topic	Новые методы в информатике
topic_facet	Новые методы в информатике
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83200
work_keys_str_mv	AT litvinom 3dkoefícíêntifurênaklasídiferencíiovnihfunkcíitaoperatorikuskovostaloísplainínterfletacíí AT nečuivíterop 3dkoefícíêntifurênaklasídiferencíiovnihfunkcíitaoperatorikuskovostaloísplainínterfletacíí AT litvinom 3dfourierscoefficientsontheclassofdifferentiablefunctionsandpiecewiceoperatorsofsplineinterflatation AT nečuivíterop 3dfourierscoefficientsontheclassofdifferentiablefunctionsandpiecewiceoperatorsofsplineinterflatation AT litvinom 3dkoéfficientyfurʹenaklassedifferenciruemyhfunkciiioperatorykusočnopostoânnoisplaininterfletacii AT nečuivíterop 3dkoéfficientyfurʹenaklassedifferenciruemyhfunkciiioperatorykusočnopostoânnoisplaininterfletacii

3D-коефіцієнти Фур'є на класі диференційовних функцій та оператори кусково-сталої сплайн-інтерфлетації

Institution

Similar Items