Устойчивое преобразование выхода линейной системы в выход системы с заданным базисом

Рассмотрен подход, обеспечивающий устойчивое преобразование выхода линейной системы в выход системы с заданным базисом для случая, когда матрица базисных функций исходной линейной системы имеет высокое число обусловленности, и ряд ее сингулярных чисел плавно спадает к нулю. Исследовано поведение зав...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Управляющие системы и машины
Datum:	2013
1. Verfasser:	Ревунова, Е.Г.
Format:	Artikel
Sprache:	Russisch
Veröffentlicht:	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України 2013
Schlagworte:	Новые методы в информатике
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83215
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Устойчивое преобразование выхода линейной системы в выход системы с заданным базисом / Е.Г. Ревунова // Управляющие системы и машины. — 2013. — № 6. — С. 28-35. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860268336415244288
author	Ревунова, Е.Г.
author_facet	Ревунова, Е.Г.
citation_txt	Устойчивое преобразование выхода линейной системы в выход системы с заданным базисом / Е.Г. Ревунова // Управляющие системы и машины. — 2013. — № 6. — С. 28-35. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Управляющие системы и машины
description	Рассмотрен подход, обеспечивающий устойчивое преобразование выхода линейной системы в выход системы с заданным базисом для случая, когда матрица базисных функций исходной линейной системы имеет высокое число обусловленности, и ряд ее сингулярных чисел плавно спадает к нулю. Исследовано поведение зависимости составляющих ошибки преобразования выхода от числа компонент сингулярного разложения. An approach to a stable transformation of the output of a linear system to the output of a linear system with some particular basis are proposed. The case when the basal function matrix of the linear system output has got the high number of the conditionality and the singular numbers seriesis are fluently reducing to zero is presented. The dependence of the error components vs number of singular value decomposition component is studied. Розглянуто підхід, що забезпечує стійке перетворення виходу лінійної системи у вихід системи з заданим базисом для випадку, коли матриця базисних функцій вихідної лінійної системи має високе число обумовленості, і низку її сингулярних чисел плавно спадає до нуля. Досліджено поведінку залежності складових помилки перетворення виходу від числа компонент сингулярного розкладання.
first_indexed	2025-12-07T19:03:22Z
format	Article
fulltext	28 УСиМ, 2013, № 6 УДК 004.942 + 623.454.862 Е.Г. Ревунова Устойчивое преобразование выхода линейной системы в выход системы с заданным базисом Рассмотрен подход, обеспечивающий устойчивое преобразование выхода линейной системы в выход системы с заданным ба- зисом для случая, когда матрица базисных функций исходной линейной системы имеет высокое число обусловленности, и ряд ее сингулярных чисел плавно спадает к нулю. Исследовано поведение зависимости составляющих ошибки преобразования выхода от числа компонент сингулярного разложения. An approach to a stable transformation of the output of a linear system to the output of a linear system with some particular basis are proposed. The case when the basal function matrix of the linear system output has got the high number of the conditionality and the singular numbers seriesis are fluently reducing to zero is presented. The dependence of the error components vs number of singular value decomposition component is studied. Розглянуто підхід, що забезпечує стійке перетворення виходу лінійної системи у вихід системи з заданим базисом для випад- ку, коли матриця базисних функцій вихідної лінійної системи має високе число обумовленості, і низку її сингулярних чисел плавно спадає до нуля. Досліджено поведінку залежності складових помилки перетворення виходу від числа компонент син- гулярного розкладання. Введение. В приложениях, связанных с вос- становлением сигналов по результатам непря- мых измерений, часто встречается следующая задача. Сигнал, излучаемый объектом измере- ния, поступает на вход линейной измеритель- ной системы. Результат измерений (выход) системы представляет собой вектор измере- ний. Известна матрица линейного преобразо- вания вход-выход, описывающая взаимодей- ствие измеряемого сигнала со средой и осо- бенности измерительных средств. Столбцы мат- рицы можно рассматривать как отсчеты ди- скретно заданных базисных функций линейной системы. Это, например, функции отклика де- тектора спектрометра. Набор базисных функ- ций отражает свойства конкретной измеритель- ной системы, поэтому не может быть произ- вольным. Соответственно, наблюдаемый вы- ход, определяемый базисными функциями, мо- жет не соответствовать требованиям пользо- вателя или быть не совместимым с методами дальнейшей обработки. В случае, если извес- тен набор базисных функций, которые дали бы выход с необходимыми свойствами, можно по- ставить задачу поиска преобразования наблю- даемого выхода в выход системы с заданным базисом. Существующие методы преобразования вы- хода [1] используют обращение матрицы и ори- ентированы на случай, когда матрица линей- ного преобразования исходной системы и ко- вариационная матрица шума – не вырожден- ные. Если же матрица исходной системы имеет высокое число обусловленности, и ряд ее син- гулярных чисел плавно спадает до нуля, полу- чаемое известными методами решение – не- устойчиво. Матрицы базисных функций с ука- занными свойствами часто встречаются в зада- чах обработки сигналов в геофизической раз- ведке (электро-, магнито-, сейсморазведка), спектрометрии (гамма-спектрометрия), меди- цинской диагностике (визуализация, томогра- фия) и др. Поэтому актуальна разработка ус- тойчивых и вычислительно эффективных ме- тодов преобразования выхода линейной систе- мы в выход системы с заданным базисом. В данной статье предложен подход к устой- чивому решению задачи преобразования вы- хода, основанный на использовании усеченно- го сингулярного разложения [2–5]. Постановка задачи Пусть имеется линейная система, вектор выхода которой b формируется путем линей- ного преобразования входного вектора (входа) x и добавления аддитивного шума как bεAx  . Например, это может быть измери- тельная система, где дискретно заданный сиг- нал объекта измерения x неизвестен, b – на- блюдаемый выход («сигнальный образ» x), матрица A описывает взаимодействие сигнала со средой и/или особенности измерительных средств (детектора, преобразователя сигнала и УСиМ, 2013, № 6 29 др.). Столбцы A можно рассматривать как от- счеты дискретно заданных базисных функций линейной системы. Набор базисных функций A отражает свой- ства конкретной измерительной системы, т.е. не может быть произвольным. Соответственно, наблюдаемый выход b , определяемый базис- ными функциями A , может не соответство- вать требованиям пользователя, либо несо- вместим с методами последующей обработки. С другой стороны, если известен набор базис- ных функций C , которые дали бы выход с требуемыми свойствами, можно поставить за- дачу нахождения преобразования наблюдаемо- го выхода b в выход системы C с базисом C . Будем искать преобразование выхода как линейное преобразование. Для случая, когда известен вектор шума и его ковариационная матрица не вырождена, а также не вырождена матрица базисных функций A , взвешенная ко- вариационной матрицей шума, в [1] предложе- но получать искомое преобразование с исполь- зованием обращения A . Однако, если A имеет высокое число обусловленности и ряд ее син- гулярных чисел плавно спадает к нулю, полу- чаемое с использованием обратной матрицы ре- шение (результат преобразования в выход сис- темы C ) неустойчиво, что проявляется в соот- ветствии малым изменениям b больших изме- нений решения. Ошибка решения велика. Матрицы базисных функций с указанными свойствами часто встречаются в задачах обра- ботки сигналов в геофизической разведке (элек- тро-, магнито-, сейсмо-, гравиразведка), спек- трометрии (например, гамма-спектрометрия), медицинской диагностике (визуализация, то- мография) и др. Для получения устойчивого решения в таких случаях требуется использо- вать регуляризацию [2]. В данной статье пред- ложен подход к устойчивому решению задачи преобразования выхода, основанный на ис- пользовании усеченного сингулярного разло- жения [3–5]. Задача преобразования выхода Пусть сигнал b получен с выхода линейной системы A , выполняющей преобразование bεAx  , (1) где nmA , nx , mb , и 0bAx  . (2) Обозначим как d0 выход линейной системы C , выполняющей преобразование 0dCx  . (3) Для получения решения – оценки выхода системы C по b – сначала получим оценку 'x входа x , решив обратную задачу: Pbx ' , (4) где P – оператор (матрица), преобразующий выход b в 'x . Затем получим оценку выхода системы C : TbCPbCxd  '' . (5) Таким образом, оператор CP преобразует b в 'd . Матрицу преобразования CPT  в [1] называют матрицей редукции. Конкретный вид P зависит от свойств мат- рицы A . Если ряд собственных чисел A спада- ет монотонно и число обусловленности вели- ко, то задачу относят к классу дискретных не- корректных задач [6]. Приближенные решения дискретных некорректных задач как задач наи- меньших квадратов с использованием числен- ных методов линейной алгебры (Холецкого, раз- ложения LU, QR) – неустойчивы. Это означает, что малые возмущения во входных данных приводят к большим возмущениям в решении. Проиллюстрируем ситуацию, в которой возможно применение метода преобразования выхода линейной системы в выход системы с заданным базисом, на примере гамма-спектро- метрических измерительных систем. Допус- тим, что детектор линейной измерительной системы A имеет более низкую разрешающую способность, чем детектор системы C. Дискретно заданные функции отклика де- тектора (базисные функции), формирующие матрицы A и C приведены на рис. 1,а. Выхо- ды b и d приведены на рис. 1,б. Используя метод преобразования выхода линейной сис- темы, выход системы A (обладающей меньшей разрешающей способностью) можно преобра- зовать в выход системы C (обладающей боль- шей разрешающей способностью). 30 УСиМ, 2013, № 6 0 10 20 30 40 50 60 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141 Cs-137 E=662 Cs-134 E=795 Co-60 E=1173 Co-60 E=1332 Cs-137 tansf Cs-134 tansf Co-60 tansf Co-60 tansf а Рис. 1. а – дискретно заданные базисные функции, форми- рующие матрицы A и C 0 20 40 60 80 100 120 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141 spectrum spectrum transf б Рис. 1. б – выходы систем A и C: b и d Преобразование вектора выхода на осно- ве сингулярного разложения Разрабатываемый подход к устойчивому ре- шению задачи преобразования выхода основан на усеченном сингулярном разложении. Для устойчивого регуляризованного решения при вычислении оператора CP (5) в качестве P используем матрицу, получаемую так: diag i k i         P A V U , при ki  1i  , иначе 0i  . (6) Здесь  USVA k – приближение матрицы A )( nm , полученное по k )( nk  компонен- там сингулярного разложения, ),...,( 1 kuuU  – матрица левых сингулярных векторов, 1( ,...V v ..., )kv – матрица правых сингулярных векто- ров, 1diag( ,..., )k  S – матрица сингулярных чисел. Оценка выхода системы C, полученная с использованием k компонент сингулярного разложения A , есть: bTbCAd kkk  ' , (7) 'diag i k k k i         T CA CV U d . (8) Оптимальным числом компонент сингуляр- ного разложения будем считать такое, при ко- тором минимальна среднеквадратичная ошиб- ка преобразования выхода: 2 2' 0 0k ke Ε Ε    d d T b d . (9) Выделим в выражении для среднеквадра- тичной ошибки преобразования выхода детер- минированную и стохастическую составляю- щие. С учетом εbb  0 , выражение (9) при- мет следующий вид: 2 2 0 0 0 2 0 02 , . k k k k k e Ε Ε Ε Ε             T b d T b d T ε T b d T ε (10) Поскольку 0 0 , 0k kΕ  T b d T ε , 2 2 2 0 0 0k k ke Ε Ε     T b d T b d T ε . (11) Рассмотрим поведение стохастической и де- терминированной составляющих ошибки пре- образования выхода в зависимости от числа компонент сингулярного разложения (6). Зависимость стохастической составляю- щей ошибки преобразования выхода от чис- ла компонент сингулярного разложения Исследуем зависимость величины стохасти- ческой составляющей ошибки преобразования выхода от числа компонент сингулярного раз- ложения матрицы A . Стохастическая состав- ляющая ошибки преобразования выхода это: 2 kΕ T ε 2 2trace( ) trace( )k k k k      T T A C CA . Запишем выражение для kk TT в рекурсивном виде. Для этого, воспользовавшись свойством цикличности следа произведения матриц [7] trace( ) trace( ) trace( ) ABC BCA CAB , переупо- рядочим выражение  kk CACA как k k   C CA A и получим: trace( ) trace( )k k k  T T HM , (12) УСиМ, 2013, № 6 31 где CCH  ,  kkk AAM . С целью исследования зависимости стохас- тической составляющей ошибки от k запишем выражение для kM в рекурсивном виде. Эта запись следует из свойств сингулярного раз- ложения: 1 k k i i i i    A u v , 1 1 k k i i i i      A v u , 1 1k k k k k       A A v u . (13) Подставив  kA из (13) в выражение для kM получим 1 1 1 1 1 12 . k k k k k k k k k k k k k k k                       M A A A A A u v v u u v (14) Представив  1kA с использованием сингуляр- ного разложения и учитывая, что 01   kk uU в силу ортогональности ku и 1ku , получим 1 1 1 1 1 1 12 0k k k k k k k k k k              A u v V S U u v . Заменив в (14)  kk AA на 1kM и учитывая, что 1 kk uu , получим рекурсивное выражение для kM сле- дующего вида: 2 1k k k k k     M M v v . (15) Умножив (15) слева на H , получим рекур- сивное выражение для trace( )kHM : 2 1 2 1 trace( ) trace( ) trace( ) trace( ). k k k k k k k k k              HM HM Hv v HM Hv v (16) Вынеся константу 2 k  за оператор следа и переупорядочив  kk vHv как kk Hvv (по свой- ству цикличности), получим окончательное рекурсивное выражение для trace( )kHM : 2 1 2 1 trace( ) trace( ) trace( ) trace( ) trace( ). k k k k k k k k k             HM HM v Hv HM v C Cv (17) Выражение kk CvCv  в (17) – положитель- ная величина, поэтому 2trace( ) 0k k k    v C Cv . Из выражения (17) и положительности 2trace( )k k k    v C Cv следует, что стохастическая составляющая ошибки преобразования выхода возрастает с ростом k . Зависимость детерминированной состав- ляющей ошибки преобразования выхода от числа компонент сингулярного разложения Рассмотрим зависимость величины детерми- нированной составляющей ошибки 2 0 0k T b d от числа компонент сингулярного разложения матрицы A . Заменив 0d на 0bCA и учиты- вая, что  kk CAT , получим следующее выра- жение для детерминированной составляющей ошибки преобразования выхода: 2 0 0k  T b d 2 0k C A b , (18) где   kk AAA . С целью исследования зависимости детер- минированной составляющей ошибки от k, запи- шем выражение для  kA в рекурсивном виде. Такая запись для  kA следует из свойств син- гулярного разложения (13) и имеет вид 1 1k k k k k         A A v u . (19) Подставив (19) в 0bAC  k и возведя в квад- рат, получим рекурсивное выражение для де- терминированной составляющей ошибки: 2 2 0 1 0k k      C A b C A b , (20) где   1 0 1 0 1 1 0 0 2 . k k k k k k k k k k                   b u v H A b b u v Hv u b Из последнего выражения видно, что:  при 0  квадрат нормы 2 0 0k T b d бу- дет убывать с ростом k ;  при 0  квадрат нормы 2 0 0k T b d бу- дет возрастать. Знак  зависит от конкретного b0. Рассмот- рим случай, когда вектор b0 представлен реа- лизацией случайного процесса  (b0 = ) с нор- мальным законом распределения, нулевым средним и дисперсией v2. В этом случае усред- нение можно провести по реализациям . Усредним 2 k C A ξ по реализациям слу- чайного процесса 32 УСиМ, 2013, № 6 2 2trace( )k k kΕ        C A ξ A H A . (21) Для исследования зависимости 2 kΕ   C A ξ от k , запишем выражение (21) в рекурсивном виде. Для этого, воспользовавшись свойством цикличности следа произведения матриц, по- лучим: 2 2 2 2 trace( ) trace( ) trace( ), k k k k k k Ε                   C A ξ A H A H A A N (22) где  kkk AAHN . Используя (19), запишем рекурсивное выражение для  kk AA : 1 1 2 1 12 . k k k k k k k k k k k                        A A A A v v A v u (23) Подставив (23) в выражение для kN , запи- шем рекурсивное выражение 2 1 12k k k k k k k         N N Hv v A E , (24) где 1 k k k k   E v u . Использовав   1kA из (19) и учитывая, что 1 , N k i i k      A E получим выраже- ние вида      N ki ikk 1 1 EEA . (25) Подставив (25) в (24) с учетом, что 2 k k k k k    E E v v , получим для kN выражение 2 1 1 2 N k k k k k i k i k           N N Hv v H E E . (26) В силу ортогональности сингулярных векто- ров 0 kiEE , выражение для Nk примет вид 2 1k k k k k     N N Hv v . (27) Подставив (26) в (22), получим рекурсивное выражение для детерминированной состав- ляющей ошибки: 2 2 1 2 2 trace( ) trace( ). k k k k k Ε             C A ξ N Hv v (28) После вынесения константы 2 k  за опера- тор следа и переупорядочения Hvkvk T по свой- ству цикличности выражение для детермини- рованной составляющей ошибки примет вид 2 2 2 2 1 2 2 2 1 trace( ) trace( ) trace( ) trace( ). k k k k k k k k k Ε                     C A ξ N v Hv N v C Cv (29) В выражении (29) 0 kk CvCv , поэтому и 2 2trace( ) 0k k k     v C Cv . Из рекурсивного выражения (29) и положи- тельности 2 2trace( )k k k     v C Cv следует, что (в случае, когда вектор 0b представлен реализа- цией случайного процесса) детерминированная составляющая ошибки преобразования выхода убывает с ростом k . Факт возрастания стохастической и убыва- ния детерминированной составляющих ошиб- ки преобразования выхода с ростом k говорит о том, что при определенном соотношении со- ставляющих ошибка преобразования выхода может иметь минимум при Nk  . В этом слу- чае число компонент сингулярного разложения в (8) необходимо выбирать таким, чтобы ошибка преобразования выхода была минимальна. Чтобы выбрать размерность k проекционной матрицы, при которой ошибка решения близка к минимальной в реальных условиях, т.е. когда точное решение неизвестно, предлагаем [5] ис- пользовать критерии выбора модели [8–10], используемые для выбора оптимальных моде- лей в области машинного обучения, индуктив- ного обучения и анализа данных. Для практического применения метода пре- образования выхода должны быть оговорены условия его применимости. В противном слу- чае можно было бы, используя метод преобра- зования выхода, преобразовать имеющуюся (измеренную) функцию в произвольную. Ис- следованию условий применимости метода посвящен следующий раздел. Условия применимости метода преобра- зования выхода Исследование [4] показало, что ошибка пре- образования выхода, в числе прочего, зави- сит от того, насколько различны базисы ли- нейных систем A и C . Для отражения этого различия введем матрицу D разности бази- УСиМ, 2013, № 6 33 сов (разности между базисными функциями A и C ): CAD  . Используя матрицу разности базисов, пока- жем, что вектор ошибки преобразования выхо- да 0 ' dde  k представим в виде суммы векто- ра ошибки ( inve ) решения обратной задачи по восстановлению истинного сигнала выхода системы A и вектора ошибки ( De ), связанного с разницей базисов inv D e e e . Запишем выражение (8) для kT с учетом DAC    kkkk DAAAADAT )( . (30) Получим выражение для детерминирован- ной составляющей ошибки преобразования (18), включающее в себя матрицу разности ба- зисов. В выражении для детерминированной составляющей ошибки (18) обозначим вектор dk edbT  00 . В выражении для de , заменив kT на выражение (30) и 0d – на (3), получим 0 0 0( )d k k k       e T b d AA DA b Cx xDAbDAAA )()( 0   kk . (31) После раскрытия скобок в (31) и группи- ровки слагаемых, включающих в себя матрицу разности базисов, получим выражение для де- терминированной составляющей вектора ошиб- ки преобразования: 00 )()( bAADbIAAe   kkkd . (32) Получим выражение для стохастической со- ставляющей вектора ошибки преобразования (12), содержащее матрицу разности базисов. В выражении для стохастической составляющей ошибки обозначим вектор sk eεT  . Учитывая, что  kk CAT и DAC  , выражение для es примет следующий вид: εDAεAAe   kkks . (33) Общее выражение для вектора ошибки 0 0 ( ) ( ) . d s k k k k k k               e e e A A I b A A ε D A A b DA ε (34) Известно, что решение обратной задачи по восстановлению сигнала входа 'x системы A с использованием зашумленного вектора выхода )( 0 εbb  , есть Pbx ' . Соответственно, оценка вектора выхода будет APbAxb  '' . Ошибка решения ' inv 0 0     e b b APb AA b   00 bAAAPεAPb APεbIAP  0)( . (35) Конкретный вид P зависит от свойств мат- рицы A . Когда ряд собственных чисел A спа- дает монотонно и число обусловленности ве- лико, то 1 1 k k i i i i       P A v u . (36) Вектор ошибки решения обратной задачи восстановления сигнала выхода есть: inv 0( )k k k k    e A A I b A A ε . (37) Сопоставив выражение для вектора ошибки преобразования выхода (34) и выражение для ошибки решения обратной задачи (37), видим, что вектор ошибки преобразования выхода можно представить как сумму ошибки решения обратной задачи и ошибки, связанной с разно- стью базисов ( εDAbAADe   kkD 0)( ). С учетом e = einv + eD выражение для ошибки (9) примет следующий вид: 2 2' 0 invk De Ε Ε     d d e e 2 2 inv inv2 ,D DΕ Ε Ε    e e e e . (38) Учитывая, что 0[(( ) ) ( )] 0k k kΕ      A A I b DA ε и 0[( ) ( ) ] 0k k kΕ       A A ε D A A b , выражение для inv2 , DΕ e e имеет вид inv 0 0 2 , 2 [(( ) ) ( ) ( ) ]. D k k k k k k Ε Ε                e e A A I b D A A b A A ε DA ε (39) При использовании метода необходимо учи- тывать, что, когда inv , 0DΕ e e , ошибка пре- образования выхода e не меньше ошибки ре- шения обратной задачи по восстановлению ис- тинного сигнала выхода системы A. Когда принимается решение о необходимо- сти преобразования выхода линейной системы в выход системы с заданным базисом, часто решение обратной задачи по восстановлению истинного сигнала выхода системы A уже 34 УСиМ, 2013, № 6 имеется. Если при этом ошибка решения об- ратной задачи велика, то от применения пре- образования выхода следует отказаться, так как это приведет к дополнительному нараста- нию ошибки. Отметим также, что чем больше различие между базисными функциями A и C , тем боль- ше составляющая 2 DΕ e , а соответственно и ошибка преобразования выхода. Эксперимент Проведено исследование зависимости ошиб- ки преобразования выхода от числа компонент сингулярного разложения. Столбцы матриц A и C содержат m отсчетов радиальных базис- ных функций: 2( ) exp( ( ) )nf z g z c   , bdnc  , ( 5d , 20b ), }100,...,10,5,1{z , n – номер базисной функции. Для исходной линейной системы 0,05g  . На рис. 2 приведены ряды сингулярных чисел матриц. Компоненты век- тора x в экспериментах были: 15 x , 6 0,5x  , 110 x , 11 0, 26x  , 12 0, 26x  , другие компо- ненты вектора x – нулевые. Векторы 0b , 0d получены как Ax , Cx соответственно. В ка- честве шума использована случайная величина с гауссовым распределением и среднеквадра- тичным отклонением (уровень шума) {0,0125; 0,00625; 0,003125}. На рис. 3–5 для трех уров- ней шума приведена зависимость ошибки e от k для системы C при g {0,3; 0,2; 0,1}. 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 k s_k singular values of A singular values of C Рис. 2. Ряды сингулярных чисел матриц A и C Видно, что для метода преобразования вы- хода на основе сингулярного разложения зави- симость e от k имеет минимум при nk  . 0.1 1 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 k e e_svd nl=0.0125 e_svd nl=0.00625 e_svd nl=0.003125 Рис. 3. Зависимость величины ошибки от числа компонент сингулярного разложения для системы C с g = 0,3 0.01 0.1 1 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 k e e_svd nl=0.0125 e_svd nl=0.00625 e_svd nl=0.003125 Fig. 4. Зависимость величины ошибки e от числа компонент сингулярного разложения k для системы C с g = 0,2 0.001 0.01 0.1 1 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 k e e_svd nl=0.0125 e_svd nl=0.00625 e_svd nl=0.003125 Fig. 5. Зависимость величины ошибки e от числа компонент сингулярного разложения k для системы C с g = 0,1 С ростом уровня шума положение миниму- ма смещается в область меньших значений k , а ошибка в точке минимума растет. Ошибка в точке минимума растет также с ростом разли- чия между базисными функциями линейных систем A и C . Заключение. Предложенный метод позво- ляет для линейной системы, вектор выхода ко- торой формируется путем линейного преобра- УСиМ, 2013, № 6 35 зования входа и добавления аддитивного шума отыскать преобразование наблюдаемого выхо- да в выход линейной системы, для которой из- вестен набор базисных функций, дающих вы- ход с требуемыми свойствами. Метод обеспечивает устойчивое преобразо- вание выхода линейной системы в выход сис- темы с заданным базисом для случая, когда матрица базисных функций исходной линей- ной системы имеет высокое число обуслов- ленности и ряд ее сингулярных чисел плавно спадает к нулю. Для среднеквадратичной ошибки решения задачи преобразования выхода проведено раз- ложение на детерминированную и стохастиче- скую составляющие. Анализ зависимости сто- хастической составляющей ошибки от числа компонент сингулярного разложения k пока- зал, что эта составляющая возрастает с ростом k . Анализ зависимости детерминированной составляющей ошибки от k для случая, когда вектор 0b представлен реализацией случайно- го процесса ξ , показал, что эта составляющая убывает с ростом k . Исследование условий применимости мето- да показало, что чем больше различие между базисными функциями A и C , тем больше ошибка преобразования выхода. При исполь- зовании метода необходимо учитывать, что вектор ошибки восстановления сигнала пред- ставлен как сумма ошибки решения обратной задачи по восстановлению сигнала 0b и ошиб- ки, вносимой разницей базисов. Сформулиро- вано условие, при котором ошибка преобразо- вания выхода e не меньше ошибки решения обратной задачи по восстановлению истинного сигнала выхода системы A . Исследование предложенного метода пока- зало, что в рассмотренной задаче соотношение детерминированной и стохастической состав- ляющих ошибки таково, что ошибка преобразо- вания выхода имеет минимум. С возрастанием уровня шума положение минимума ошибки сме- щается в область меньших значений k , и зна- чение ошибки в точке минимума возрастает. Для дальнейших исследований можно из- брать разработку критерия определения оп- тимального числа компонент сингулярного разложения, обеспечивающего минимальную ошибку преобразования выхода. 1. Пытьев Ю.П. Математические методы интерпрета- ции эксперимента. – М.: Высш. шк., 1989. – 351 с. 2. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных за- дач. – М.: Наука, 1979. – 285 с. 3. Ревунова Е.Г. Повышение точности оценки вектора параметров путем преобразования линейной систе- мы к системе с заданными свойствами // Индуктив- ное моделирование сложных систем. – 2011 – 3. – С. 165–173. 4. Revunova E.G., Rachkovskij D.A. Stable Transforma- tion of a Linear System Output to the Output of Sys- tem with a Given Basis by Random Projections // The 5th Int. Workshop on Inductive Modelling (IWIM’2012), Kyiv. – 2012. – 1. – P. 37–41. 5. Ревунова Е.Г., Забулонов Ю.Л. Исследование состав- ляющих ошибки для решения задачи редукции из- мерений с использованием сингулярного разложения // Сб. научн. тр. ИПМЭ НАН Украины «Моделиро- вание и информационные технологии». – 2012. – № 63. – С. 71–81. 6. Hansen P.C. Rank-deficient and discrete ill-posed prob- lems. Numerical aspects of linear inversion. – Phila- delphia: SIAM, 1998. – 247 p. 7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1967. – 287 с. 8. Mallows C.L. Some comments on Cp // Technomet- rics. – 1973. – 15, № 4. – P. 661–675. 9. Akaike H. A new look at the statistical model identifi- cation // IEEE Transactions on Automatic Control. – 1974. – 19, № 6. – P. 716–723. 10. Hansen M., Yu B. Model selection and minimum de- scription length principle // J. Amer. Statist. Assoc. – 2001. – 96. – P. 746–774. Поступила 20.09.2012 Тел. для справок: +38 044 292-5588 (Киев) E-mail: helab@i.com.ua © Е.Г. Ревунова, 2013  << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments true /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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a stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA <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> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <FEFF0049007a006d0061006e0074006f006a00690065007400200161006f00730020006900650073007400610074012b006a0075006d00750073002c0020006c0061006900200076006500690064006f00740075002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b006100730020006900720020012b00700061016100690020007000690065006d01130072006f00740069002000610075006700730074006100730020006b00760061006c0069007401010074006500730020007000690072006d007300690065007300700069006501610061006e006100730020006400720075006b00610069002e00200049007a0076006500690064006f006a006900650074002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b006f002000760061007200200061007400760113007200740020006100720020004100630072006f00620061007400200075006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002c0020006b0101002000610072012b00200074006f0020006a00610075006e0101006b0101006d002000760065007200730069006a0101006d002e> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <FEFF005500740069006c0069007a00610163006900200061006300650073007400650020007300650074010300720069002000700065006e007400720075002000610020006300720065006100200064006f00630075006d0065006e00740065002000410064006f006200650020005000440046002000610064006500630076006100740065002000700065006e0074007200750020007400690070010300720069007200650061002000700072006500700072006500730073002000640065002000630061006c006900740061007400650020007300750070006500720069006f006100720103002e002000200044006f00630075006d0065006e00740065006c00650020005000440046002000630072006500610074006500200070006f00740020006600690020006400650073006300680069007300650020006300750020004100630072006f006200610074002c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020015f00690020007600650072007300690075006e0069006c006500200075006c0074006500720069006f006100720065002e> /RUS <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-83215
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0130-5395
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T19:03:22Z
publishDate	2013
publisher	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
record_format	dspace
spelling	Ревунова, Е.Г. 2015-06-16T20:08:42Z 2015-06-16T20:08:42Z 2013 Устойчивое преобразование выхода линейной системы в выход системы с заданным базисом / Е.Г. Ревунова // Управляющие системы и машины. — 2013. — № 6. — С. 28-35. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0130-5395 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83215 004.942 + 623.454.862 Рассмотрен подход, обеспечивающий устойчивое преобразование выхода линейной системы в выход системы с заданным базисом для случая, когда матрица базисных функций исходной линейной системы имеет высокое число обусловленности, и ряд ее сингулярных чисел плавно спадает к нулю. Исследовано поведение зависимости составляющих ошибки преобразования выхода от числа компонент сингулярного разложения. An approach to a stable transformation of the output of a linear system to the output of a linear system with some particular basis are proposed. The case when the basal function matrix of the linear system output has got the high number of the conditionality and the singular numbers seriesis are fluently reducing to zero is presented. The dependence of the error components vs number of singular value decomposition component is studied. Розглянуто підхід, що забезпечує стійке перетворення виходу лінійної системи у вихід системи з заданим базисом для випадку, коли матриця базисних функцій вихідної лінійної системи має високе число обумовленості, і низку її сингулярних чисел плавно спадає до нуля. Досліджено поведінку залежності складових помилки перетворення виходу від числа компонент сингулярного розкладання. ru Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України Управляющие системы и машины Новые методы в информатике Устойчивое преобразование выхода линейной системы в выход системы с заданным базисом Stable Transformation of a Linear System Output to the Output of System with a Given Basis Стійке перетворення виходу лінійної системи в вихід системи з заданим базисом Article published earlier
spellingShingle	Устойчивое преобразование выхода линейной системы в выход системы с заданным базисом Ревунова, Е.Г. Новые методы в информатике
title	Устойчивое преобразование выхода линейной системы в выход системы с заданным базисом
title_alt	Stable Transformation of a Linear System Output to the Output of System with a Given Basis Стійке перетворення виходу лінійної системи в вихід системи з заданим базисом
title_full	Устойчивое преобразование выхода линейной системы в выход системы с заданным базисом
title_fullStr	Устойчивое преобразование выхода линейной системы в выход системы с заданным базисом
title_full_unstemmed	Устойчивое преобразование выхода линейной системы в выход системы с заданным базисом
title_short	Устойчивое преобразование выхода линейной системы в выход системы с заданным базисом
title_sort	устойчивое преобразование выхода линейной системы в выход системы с заданным базисом
topic	Новые методы в информатике
topic_facet	Новые методы в информатике
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83215
work_keys_str_mv	AT revunovaeg ustoičivoepreobrazovanievyhodalineinoisistemyvvyhodsistemyszadannymbazisom AT revunovaeg stabletransformationofalinearsystemoutputtotheoutputofsystemwithagivenbasis AT revunovaeg stíikeperetvorennâvihodulíníinoísistemivvihídsistemizzadanimbazisom

Устойчивое преобразование выхода линейной системы в выход системы с заданным базисом

Institution

Ähnliche Einträge