Выбор весовых функций в методе Петрова–Галеркина для интегрирования линейных одномерных уравнений конвекции–диффузии
A class of weighting functions in the finite-element Petrov-Galerkin method that generalizes some earlier results is proposed. The corresponding semidiscrete and discrete approximations for linear one-dimensional convection-diffusion equation are constructed, its accuracy and stability are examined....
Saved in:
| Published in: | Управляющие системы и машины |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83282 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Выбор весовых функций в методе Петрова–Галеркина для интегрирования линейных одномерных уравнений конвекции–диффузии / С.В. Сирик, Н.Н. Сальников, В.К. Белошапкин // Управляющие системы и машины. — 2014. — № 1. — С. 38-47. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860107518650351616 |
|---|---|
| author | Сирик, С.В. Сальников, Н.Н. Белошапкин, В.К. |
| author_facet | Сирик, С.В. Сальников, Н.Н. Белошапкин, В.К. |
| citation_txt | Выбор весовых функций в методе Петрова–Галеркина для интегрирования линейных одномерных уравнений конвекции–диффузии / С.В. Сирик, Н.Н. Сальников, В.К. Белошапкин // Управляющие системы и машины. — 2014. — № 1. — С. 38-47. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Управляющие системы и машины |
| description | A class of weighting functions in the finite-element Petrov-Galerkin method that generalizes some earlier results is proposed. The corresponding semidiscrete and discrete approximations for linear one-dimensional convection-diffusion equation are constructed, its accuracy and stability are examined.
Запропоновано клас вагових функцій в скінченноелементному методі Петрова–Гальоркіна, що узагальнює деякі раніше отримані результати в даному напрямі. Побудовано відповідні напівдискретні та дискретні апроксимації для лінійного одновимірного рівняння конвекції–дифузії, і досліджено їх точність та стійкість.
Предложен класс весовых функций в конечноэлементном методе Петрова-Галеркина, обобщающий некоторые более ранние результаты в данном направлении. Построены соответствующие полудискретные и дискретные аппроксимации для линейного одномерного уравнения конвекции–диффузии, и исследована их точность и устойчивость.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:32:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
38 УСиМ, 2014, № 1
УДК 519.63; 004.75; 536.252
С.В. Сирик, Н.Н. Сальников, В.К. Белошапкин
Выбор весовых функций в методе Петрова–Галеркина для интегрирования
линейных одномерных уравнений конвекции–диффузии
Предложен класс весовых функций в конечноэлементном методе Петрова-Галеркина, обобщающий некоторые более ранние
результаты в данном направлении. Построены соответствующие полудискретные и дискретные аппроксимации для линейного
одномерного уравнения конвекции–диффузии, и исследована их точность и устойчивость.
A class of weighting functions in the finite-element Petrov-Galerkin method that generalizes some earlier results is proposed. The cor-
responding semidiscrete and discrete approximations for linear one-dimensional convection-diffusion equation are constructed, its ac-
curacy and stability are examined.
Запропоновано клас вагових функцій в скінченноелементному методі Петрова–Гальоркіна, що узагальнює деякі раніше отри-
мані результати в даному напрямі. Побудовано відповідні напівдискретні та дискретні апроксимації для лінійного одновимір-
ного рівняння конвекції–дифузії, і досліджено їх точність та стійкість.
Введение. Метод конечных элементов (МКЭ)
в форме метода Петрова–Галеркина с конеч-
ными элементами – один из наиболее универ-
сальных для построения численных схем при
решении задач математической физики [1–5].
Приближенное решение с помощью МКЭ на-
ходится в виде разложения по конечной сово-
купности финитных функций (т.е. отличных от
нуля только на некотором ограниченном мно-
жестве), называемых базисными, а коэффици-
енты разложения определяются из условия ор-
тогональности невязки совокупности так на-
зываемых весовых финитных функций. В тра-
диционном (классическом) МКЭ Галеркина
наборы базисных и весовых функций совпа-
дают, однако при расчете задач с доминирова-
нием конвективных процессов (отметим, что к
этому классу относится большинство процес-
сов, рассматриваемых в гидродинамике и маг-
нитной гидродинамике [6, 7, 3], а также встре-
чающихся в химической промышленности [8])
МКЭ Галеркина приводит к неустойчивым
(осциллирующим) решениям с большими по-
грешностями, что делает полученные числен-
ные решения совершенно непригодными [3, 4].
Потому для подобных задач используют так
называемые стабилизированные [3, 4] методы
Петрова–Галеркина, в которых к стандартным
весовым функциям добавляют специальные
члены, обеспечивающие устойчивость счета.
Ключевые слова: уравнение конвекции–диффузии, метод
конечных элементов, метод Петрова–Галеркина, SUPG.
Отметим, что с помощью надлежащего выбора
весовых функций можно гибко влиять на свой-
ства получаемых численных аппроксимаций, в
частности, обеспечивать их устойчивость при
интегрировании уравнений с доминирующей
конвекцией.
В работе [9] предложен способ построения
весовых функций для задач конвекции-диффу-
зии, позволяющий гибко настраивать вид и
форму весовой функции в зависимости от ве-
личины и направления вектора скорости пере-
носа, что в свою очередь давало возможность
гибко влиять на стабилизационные свойства
получаемых численных схем и избегать появ-
ления в численном решении нефизических ос-
цилляций и неустойчивостей [10]. Данные ве-
совые функции и их многомерные обобщения
успешно применялись для численного решения
различных нестационарных задач конвекции-
диффузии (в том числе и в тех случаях, когда
скорость в конвективном слагаемом резко из-
меняется как по величине, так и по направле-
нию), а также нелинейных уравнений [10, 11].
При этом в ряде важных случаев использова-
ние данных функций имело преимущества в
плане точности и устойчивости численного ре-
шения в сравнении с другими версиями и реа-
лизациями метода Петрова–Галеркина. Указан-
ные свойства, в частности, достигаются благо-
даря использованию адаптивных весовых функ-
ций [9] и применению приема сосредоточения
(mass lumping) [12].
УСиМ, 2014, № 1 39
В данной статье предлагается обобщение
весовых функций работы [9] (при этом весо-
вые функции и численные аппроксимации,
предложенные там, есть частными случаями
предложенных в статье), которое позволяет
добиться большей точности и устойчивости
численных решений. Проведен теоретичес-
кий анализ численных схем, построенных на
основе предлагаемых весовых функций, в ча-
стности, исследована их локальная аппрок-
симация [13], проведен анализ методом Фу-
рье [13, 14, 8], и на основе сеточного прин-
ципа максимума [13, 8] найдены условия,
при которых имеет место равномерная схо-
димость предложенного семейства разност-
ных схем с весами.
Постановка задачи и выбор весовых функ-
ций в методе Петрова–Галеркина
Рассмотрим уравнение конвекции–диффу-
зии [1–4]
2
2
x
u
x
u
t
u
, (1)
где ),( txuu , );( 21 LLx , ];0( Tt , а величи-
ны и для упрощения выкладок предпола-
гаются постоянными и положительными. Бу-
дем также считать, что для уравнения (1) зада-
ны начальное и граничные условия [7], обес-
печивающие существование и единственность
его решения (в дальнейшем, для определенно-
сти будем считать, что заданы граничные ус-
ловия первого рода [7]). Пусть на отрезке
];[ 21 LL задана система равномерно рас-
пределенных точек (узлов) kx , Nk ,0 с ша-
гом kk xxh 1 , 10 Lx , 2LxN . Каждый из
отрезков ];[ 1kk xx в МКЭ принято называть
элементом [2, 5]. С каждым узлом kx свяжем
непрерывную кусочно-линейную финитную ба-
зисную функцию )(xNk . Функция )(xNk от-
лична от нуля на отрезке ];[ 11 kk xx (носителе
данной функции), равна нулю на концах от-
резка и за его пределами, линейная на элемен-
тах ];[ 1 kk xx и ];[ 1kk xx и равна единице в
точке kx .
Приближенное слабое решение [1, 3, 4] урав-
нения (1) будем искать в виде
N
j
jj xNtatxu
0
)()(),(~ , (2)
где N
jj tata 0)}({)(
– вектор коэффициентов
разложения по базисным функциям. В соот-
ветствии с процедурой метода Петрова–Га-
леркина [2–4, 8], умножим уравнение (1) на
весовую функцию )(xWk , соответствующую
узлу сетки k , и проинтегрируем получившееся
тождество по отрезку . В получившиеся то-
ждества вместо неизвестного точного решения
u подставим u~ , определяемое выражением (2).
В результате (после вычисления интегралов)
получим систему обыкновенных дифференци-
альных уравнений (СОДУ) (так называемую
полудискретную аппроксимацию [3, 4, 8, 9]) для
определения неизвестных коэффициентов )(ta j ,
1 j 1N ( )(0 ta и )(taN определяются из
граничных условий). Вопросы учета началь-
ных и граничных условий исходной начально-
краевой задачи при решении полученной
СОДУ подробно изложены в [10].
Рассмотрим вопрос выбора весовых функ-
ций )(xWk в методе Петрова–Галеркина. В ра-
боте [9] и других, посвященных численному
решению задач конвекции–диффузии, в методе
Петрова–Галеркина успешно применялись ве-
совые (поверочные) функции вида
)()()( * xWxNxW kkkk , (3)
где k – некоторый настроечный параметр
(коэффициент), а функция )(* xWk выбирается
таким образом, чтобы обеспечить стабилизи-
рующий эффект (избавиться от ложных, не
имеющих физического смысла осцилляций) в
получаемых численных аппроксимациях. Отме-
тим, что стабилизация необходима, поскольку
классический метод Галеркина, в котором
)()( xNxW kk k , приводит в задачах с до-
минирующей конвекцией к серьезным погреш-
ностям (если только шаг сетки не является
очень малым) [8].
40 УСиМ, 2014, № 1
В работе [9] предложено использовать функ-
ции )()(* xWxW k
n
k
, где )(xWk
n определяется
выражением
],,[,0
],,[),)((
],,[),)((
)(
11
11
1
kk
kkk
n
kkk
n
k
n
xxx
xxxhxxW
xxxhxxW
xW (4)
а функция )]()1()1([)( nn nnW , n –
порядок полинома (целое 1n ). В частном
случае при 2n получаем известные в вы-
числительной практике квадратичные весо-
вые функции [8, 2, 15], для которых при
)/(2)2/coth( hPehPek (где число Пекле
/Pe ) в стационарном случае ( 0 tu )
численное решение (1) совпадает с точным в
узлах сетки [8, 2]. Нормирующий коэффициент
в определении функции )(Wn выбран в виде
)1()1( nn исходя из тех соображений, что в
таком случае численная аппроксимация ста-
ционарного уравнения (1) (при 0 tu ) ока-
зывается не зависящей от n , и, следовательно,
совпадает с соответствующей аппроксимацией
при 2n , свойства и характер сходимости ко-
торой (как и свойства соответствующих квад-
ратичных весовых функций) хорошо изучены.
Таким образом, параметр n в (4) влияет толь-
ко на аппроксимацию члена tu в уравнении
(1). В статье предлагается обобщение весовых
функций (3) – (4) на случай, когда n принима-
ет действительные значения (а не только це-
лые 1n ).
Замечание 1. При 1n в выражении для
)(Wn формально получается деление на ноль,
потому )(1 W определим как предел выраже-
ний )(Wn при 1n и фиксированных :
ln2)(lim)(
1
1 WW n
n
при 10 и
0)ln2(lim)0(lim)0(
001
1
WW n
n
. Опреде-
ленная таким образом функция )(1 W непре-
рывна при 10 .
Полудискретные аппроксимации
Применение метода Петрова–Галеркина к
уравнению (1) приводит к СОДУ вида
0 0
0
,
N N
j j
k j k j
j j
N
jk
j
j
da dN
W N dx W dx a
dt dx
dNdW
dx a
dx dx
(5)
11 Nk . Используя выражения (4) и вы-
числяя в явном виде интегралы в (5), получаем
1
1 1 1
1 1 1 12
1 1 2 2
6 3( 2) 3 6( 2)
1 4
6 6( 2) 2
2 2 .
2
k k k k
k k k k
k
k k k k k k
n n
a a
n n
n
a a a
n h
a a a a a a
h h
(6)
В частном случае при 2n соотношение
(6) переходит в (стандартную) аппроксимацию
Петрова–Галеркина (соответствующую при-
менению квадратичных весовых функций) [8]:
1 1
1 1 1 1
1 12
1 2 1
6 4 3 6 4
2
2 2
2 ,
k k
k k k
k
k k k k k
k k k
a a a
a a a a a
h h
a a a
h
(7)
из которой, в свою очередь, выполнив фор-
мальную подстановку hkk /2 (supg) , можно
получить схемы известных методов SUPG и
GLS [4, 3]. Таким образом, семейство (6) оказы-
вается достаточно широким, чтобы включать в
себя ряд известных стандартных конечноэле-
ментных аппроксимаций Петрова–Галеркина.
Замечание 2. Для сходимости всех интегра-
лов в (5) достаточно потребовать, чтобы 0n
(хотя, впрочем, в дальнейшем анализе это ус-
ловие использоваться не будет). Заметим, что
аппроксимацию (6) можно рассматривать и изу-
чать независимо от того, каким способом она
была получена (поскольку сходимость реше-
ний разностных задач к решениям дифферен-
циальных задач зависит от наличия свойств ап-
УСиМ, 2014, № 1 41
проксимации и устойчивости у соответствую-
щих разностных задач [13]).
Обозначим через hL дифференциально-раз-
ностный оператор соотношения (6). Тогда по-
грешность LuuLhh аппроксимации в точ-
ке ),( txk оператором hL дифференциального
оператора L уравнения (1) на его решении
),( txu выражается следующим образом:
)( 6
7
3
hO
x
u
A
m
m
k
m
mh
, (8)
где
)2(12
)2(
2
2
3 n
nhh
A kk ,
)2(12
)2(
2412
232
4
n
nhhh
A kk ,
)2(144
)2(
18012
443
5 n
nhhh
A kk ,
)2(144
)2(
36090
454
6
n
nhhh
A kk ,
240
5
7
h
A k
(нижний индекс k возле вели-
чин m
k
m xu / и k указывает, что их значе-
ния берутся при kxx ). Подробный вывод фор-
мулы (8) в приложении.
Замечание 3. Выкладки при выводе соотно-
шения (8) справедливы и в том случае, если в
уравнении (1) величины и рассматривать
как функции, зависящие от времени t .
Замечание 4. При 2n из (8) получаем, что
погрешность аппроксимации )( hO kh (со-
ответственно, для случая )(hOk , часто ис-
пользуемого на практике [9, 4], имеем h =
= O(h2)). Из (8) следует, что погрешность схе-
мы можно уменьшить за счет выбора n . А
именно, при выборе n в виде
6
)6(2
h
h
n (9)
коэффициент A3 при третьей производной в (8)
становится нулевым. Отметим, что при таком
выборе n справедливо неравенство 22 n .
Погрешность аппроксимации можно сделать
)( 4hOh , если, помимо выполнения (9), с
помощью выбора коэффициента k добиться
выполнения равенства
2
12
h 2 ( 2)
0
12( 2)
kh n
n
в
коэффициенте A4. Действительно, из данного
условия получаем k
2
2
n
n
или же, подста-
вив сюда значение n из (9),
62
2 h
n
n
k . (10)
При выборе параметров n и k в виде (9) –
(10), для погрешности получаем следующее
выражение:
4 5 62 4 4 4
4 5 6
5 4
144 80 90
( ) ( ),
k k k
h
u u uh h h
x x x
O h O h
т.е. погрешность аппроксимации имеет четвер-
тый порядок точности по h . Отметим, что вы-
ражение )6/( hk оптимально и для ста-
ционарных задач (при этом также достигается
четвертый локальный порядок точности ап-
проксимации [15]). Кроме того, если значение
k определять, исходя из условия обращения в
нуль коэффициента A4 при четвертой произ-
водной, то главный член погрешности h бу-
дет иметь дисперсионный характер (пятая про-
изводная), из-за чего при расчетах с помощью
таких схем в численных решениях может на-
блюдаться «рябь», нарастающая со временем.
В случае же использования (10) в выражении
для погрешности присутствует диссипативный
член с четвертой производной, который (в осо-
бенности, при малых значениях ) осуще-
ствляет некоторую «монотонизацию» схемы,
подавляя дисперсионную (фазовую) ошибку
из-за чего «рябь», как правило, уменьшается
или же устраняется вовсе.
Исследуем поведение системы (6) методом
Фурье (подобно тому, как это делается при ис-
следовании устойчивости разностных схем
[16, 13, 14, 8]), предполагая при этом, что за-
дача рассматривается на неограниченной по
42 УСиМ, 2014, № 1
пространственным переменным области [16].
Для этого ищем частные решения системы (6)
в виде гармоник ikhpt
k eeta )( , где – неко-
торое комплексное число (подлежащее опре-
делению), i – комплексная единица ( 1i ),
p – произвольное действительное число (про-
странственная частота гармоники). Подставляя
ikhpt
k eeta )( в (6) и сокращая полученное
выражение на ikhptee , получим
2
1 1 2 2
6 3( 2) 3 6( 2)
1 4
6 6( 2) 2
2 ,
2
ihp
k k
ihp ihp ihp
k
ihp ihpk
n n
e
n n
n
e e e
n h
e e
h h
откуда, после очевидных преобразований, по-
лучаем выражение для :
2
2
( )
4 sin sin( )
2 2
.
1 2 2 2
cos( ) sin( )
3 6( 2) 3 6( 2) 2
k
k
k k
p
hp
i hp
h hh
n n
hp i hp
n n
(11)
Начальное условие для решения ( )ka t
t ikhpe e имеет вид гармоники ikhpe , значения
которой ограничены. Соответственно, при ус-
ловии 0Re решение )(tak не будет возрас-
тать, что свидетельствует о строгой равномер-
ной устойчивости системы по начальному зна-
чению в данном классе решений (само условие
0Re при этом – аналог известного спект-
рального условия Неймана устойчивости в
теории разностных схем [8, 14]). Найдем усло-
вия, при которых 0)(Re p p . Умножая
числитель и знаменатель (11) на комплексно-
сопряженное число к знаменателю и отделяя в
полученном числе действительную и мнимую
часть, получаем, что условие 0Re эквива-
лентно неравенству
2
1 2 2
4 cos( )
2 3 6( 2) 3
k
k
n
hp
h h n
2 22
sin sin ( ) 0 ,
6( 2) 2 2
k
k
n hp
hp
n h
которое заменой )2/(sin 2 hpz приводится к
виду
2
1 2
4 (1 2 )
2 3 6( 2)
2 2
4 (1 ) 0.
3 6( 2) 2
k
k
k
k
n
z z
h h n
n
z z
n h
После сокращения на z , выражение выгля-
дит так:
2
1 2
2 (1 2 )
2 3 6( 2)
2 2
(1 ) 0 .
3 6( 2)
k
k
k
k
n
z
h nh
n
z
n h
(12)
Поскольку 10 z (когда p пробегает зна-
чения действительной оси) и неравенство (12)
линейно относительно z , его выполнение для
всех ]1;0[z эквивалентно выполнению в
граничных точках 0z и 1z . Таким обра-
зом, при 0z получаем
2
1 2 2 2
2
2 3 6( 2) 3 6( 2)
k
k k
n n
h n nh
0k
h
. Данное неравенство приводится к
неравенству 0/ 2 h , которое выполняется
всегда. При 1z из (12) получаем неравенство
0
)2(6
2
3
2
)2(6
2
3
1
2
2
2
n
n
n
n
hh kk
k ,
которое приводится к виду
0
2
2
1
2
n
nh
k
k . (13)
Неравенство (13) связывает между собой па-
раметры n , k и h и дает условия, при которых
0)(Re p p . В частном случае, при 2n ,
из (13) получаем условие 02/)( hk , оз-
начающее, что в схеме (7) коэффициент при
разностном диффузионном члене неотрицатель-
ный. Отметим, что с физической точки зрения
такое условие вполне оправдано, поскольку на-
УСиМ, 2014, № 1 43
личие диссипации приводит к затуханию ре-
шений (в то время как отрицательный коэффи-
циент при диффузионном члене приводит к не-
устойчивости и некорректности задач [6, 7, 14]).
Отметим, что выбор n и k в виде (9) – (10)
приводит к условию 012/)( 2 h , выпол-
няемому всегда. Следовательно, при таких зна-
чениях параметров система (6) безусловно ус-
тойчива в указанном выше смысле. При 2n
для выполнения условия (13) достаточно, что-
бы k и имели одинаковые знаки (и, в част-
ности, этому условию удовлетворяет выбор
k в виде )/(2)2/coth( hPehPe ).
Разностные схемы
Пусть на временном промежутке ];0[ T вве-
дена равномерная сетка с узлами jt j , где
– шаг по времени, Mj ,,0 , 00 t , TtM .
Тогда от полудискретной аппроксимации (6)
можно перейти к полностью дискретным (по
времени и пространству) разностным схемам,
заменив производные по времени разностными
соотношениями, а для остальных членов ис-
пользовав взвешенные аппроксимации (ап-
проксимации с весами) [13]. В результате по-
лучаем следующее семейство разностных схем
( 10 Mj , 11 Nk ):
1
1 11 1
6 3( 2)
j j
k k
k
y yn
n
12 2
3 6( 2)
j j
k k
k
y yn
n
1
1 11 1 1
1 1
1 4
6 6( 2) 2
j j
j jk k
k k k
y yn
y y
n h
1 1 121
1 1 1 1
(1 )
2
2 2
j j j j jk
k k k k ky y y y y
h h
1 1 12 3
1 1 1 12
(1 )
2 2
2
j j j j j jk
k k k k k ky y y y y y
h h
3
1 12
(1 )
2 0.j j j
k k ky y y
h
(14)
Здесь y есть неизвестной сеточной функ-
цией – решением разностной схемы, которым
аппроксимируется решение системы (6) и, со-
ответственно, решение u (x, t) исходной на-
чально-краевой задачи, причем j
ky обозначает
аппроксимацию при kxx , jtt . Коэффици-
енты 1 и 3 служат весами при аппроксима-
ции соответственно конвективного и диффу-
зионного членов уравнения (1), коэффициент
2 – при аппроксимации члена с искусствен-
ной диффузией.
Выражение (14) можно переписать в сле-
дующем виде, удобном для применения мето-
да трехточечной прогонки [13]:
,1
1
11
1
j
k
j
kk
j
kk
j
kk fybycya
(15)
где j
kk
j
kk
j
kk
j
k ybycyaf 11 ,
2
321
22)2(3
1
6
1
hhhn
n
a k
kk
,
2
32 2
)2(6
2
3
2
hhn
n
c k
kk
,
2
321
22)2(6
4
6
1
hhhn
n
b k
kk
,
2
321 )1(
2
)1(
2
)1(
)2(3
1
6
1
hhhn
n
a k
kk
,
2
32 )1(2)1(
)2(6
2
3
2
hhn
n
c k
kk
,
2
321 )1(
2
)1(
2
)1(
)2(6
4
6
1
hhhn
n
b k
kk
.
Обозначим через hL разностный оператор
схемы (14). Тогда, используя разложения в ря-
ды Тейлора (как и в предыдущем случае при
нахождении погрешности аппроксимации h ),
находим, что погрешность LuuLhh ап-
проксимации в точке )2/,( jk tx оператором
hL дифференциального оператора L уравне-
ния (1) на его решении ),( txu выражается сле-
дующим образом:
10
4 4
2
( )
m
h m m
m
u
A O h
x
, (16)
где коэффициенты mA определяются соотно-
шениями
2
1
1
2
2A , 3 2
k h
A
2 2
1 2
( 2)1 1
2 12( 2) 2 2
k kh n h
n
23 2 2
3 4
( 2)1
,
2 12 12 12( 2)
kh nh
A
n
44 УСиМ, 2014, № 1
2 2 2
2
1 2
3 2 32 2
2
3
1 1
6 4 2 2 2
1
,
2 24 4 24
k
k k
h
h
h h
3 2 2 2
5 1
2 2 2
2
2
2 22 2
2
3
3 2 23 2 2 2 2
1
12 2 3 4 2
1
24 2 2
1
12 2 2 16
( 2)
,
72 288( 2) 4
k
k
k
k
h h
A
h
h
h
h
h nh
n
2 2 23 2 2 2 2
6
3 2 33 2 2 2
2
1
2 2 2
2
2 2 2 2
3
( 2)
12 32 96( 2)
1
8 18 2 576
1
8 2 3 2
1
,
4 2 3 2
k
k
k
h nh
A
n
hh
h h
h
2 3 3 2 2
2
7 1
2 3 2 2
2
2
3 2 2
2
3
2 2 22 2 2
1
48 24 2 2
1
16 36 2
1
8 36 2
( 2)
,
48 96( 2)
k
k
k
h h
A
h h
h
h nh
n
2 2 33 2 2
8
3 2 2 3 2 2 2
1
288 192
( 2) 1
288( 2) 48 2
k
k
hh
A
h n h
n
3 2 2
2
2
1
48 4 2
k h h
3 2 2 2
2
3
1
,
24 4 2
h
3 3 2 2 3 2
9
2 3
288 192
1 1
2 ,
2 2
k
k
h h
A
h
2
1
2
2
1
576 32
332
10 h
h
A k .
Положив формально в формуле (16) 0 ,
получаем, что выражение погрешности h с
точностью до величин 4O h совпадает с вы-
ражением h из (8). Из (16) следует, что при
использовании симметричной схемы Кранка–
Николсона ( 2/1321 ) и выборе па-
раметров n и k в виде (9) – (10) схема (14)
аппроксимирует уравнение (1) с точностью
4( ),h O h
т.е. получаем схему повышен-
ного порядка точности аппроксимации. В об-
щем же случае, при других значениях весовых
коэффициентов 1 , 2 и 3 (и когда параметры
n, k не совпадают со значениями (9)–(10)),
погрешность аппроксимации h есть величи-
ной )( hO , но в случае, когда )(hOk ,
получаем 2( )h O h .
Отметим, что для нелинейных задач с кон-
вективными членами аппроксимирующая раз-
ностная схема может оказаться нелинейной,
что приведет к необходимости использования
соответствующих методов [17–20] нахождения
решения нелинейных систем.
Исследуем поведение системы (14) методом
Фурье (коэффициенты системы считаем замо-
роженными [17, 16, 14]). Для этого ищем ча-
стные решения системы (14) в виде гармоник
ikhpjj
k eqy , где )( pqq – некоторое подле-
жащее определению комплексное число (мно-
житель перехода со слоя на слой), i – ком-
плексная единица ( 1i ), p – произволь-
ное действительное число (частота гармони-
ки). Подставляя ikhpjj
k eqy в (14), сокращая
полученное выражение на ikhpjeq и используя
формулы Эйлера для выражений ihpe , полу-
УСиМ, 2014, № 1 45
чаем BApq /)( , где А и В определяются вы-
ражениями:
2 3
2
(1 ) 2 (1 )1 2
3 6( 2)
k
k
n
A
n h h
2 3
2
1
2 2
cos( )
3 6( 2)
(1 ) 2 (1 )
(1 )
sin( ),
2
k
k
k
n
hp
n
h h
i hp
h
2 3
2
2 3 1
2
21 2
3 6( 2)
2 2
cos( )
3 6( 2)
2
sin( ).
2
k
k
k
k k
n
B
n h h
n
hp
n
i hp
h hh
Из данного соотношения, использовав за-
мену )2/(sin2 hpz , получаем следующее не-
равенство, эквивалентное неравенству 1|| q
(спектральное условие Неймана [8, 13, 14]):
( 1)(2 ) (1 ) ( ) 0,z A C C z D B A C C (17)
где выражения 21 2
3 6( 2)
k
k
n
A
n h
3
2
2
h
,
2
32 2
)2(6
2
3
2~
hhn
n
B k
k
,
2
2~
hh
C k
,
hh
D k
)21(~ 1 .
Поскольку 10 z (когда p пробегает значе-
ния действительной оси) и неравенство (17)
линейно относительно z , его выполнение для
всех ]1;0[z эквивалентно выполнению в гра-
ничных точках 0z и 1z . Из (17) при 0z
получаем неравенство
0
2
1
1
2
, (18)
а при 1z – неравенство
1 2
2 3 3( 2)
k
k
h n
n
2 32
2 1 4 1
0 .
2 2
k
h h
(19)
Из (18) и (19) следует, что при 2/11 ,
2/12 , 2/13 и выборе параметров n и k
в виде соотношений (9) – (10) схемы (14) –(15)
абсолютно устойчивы. При 2n и 2/11 ,
2/12 , 2/13 , для выполнения условий
(18) – (19) достаточно, чтобы k и имели
одинаковые знаки.
Замечание 5. При 0 неравенства (18) и
(19) переходят в неравенства 0 и (13) соот-
ветственно – данные неравенства получались
при анализе устойчивости методом Фурье по-
лудискретной системы (6).
Исследуем равномерную сходимость схе-
мы (14) с помощью сеточного принципа мак-
симума [13]. Для этого найдем оценки сеточ-
ной функции погрешности uyz в равно-
мерной (чебышевской) норме
0
maxj j
kC k N
z z
(здесь 1
1}{
N
k
j
k
j zz – вектор значений функ-
ции z на временном слое jtt ). Подставляя
uzy в (14), получим разностную задачу,
которая выглядит так:
,1
1
11
1
j
k
j
kk
j
kk
j
kk fzbzcza
(20)
где ),(11 jkh
j
kk
j
kk
j
kk
j
k txzbzczaf и
00 kz , 00 j
N
j zz (поскольку предполагаем,
что начальное и граничные условия аппрокси-
мируются точно).
Утверждение 1. Пусть z – решение задачи
(20). Тогда:
а) если 0 kkkk bacd
при 1 k
N – 1, то справедлива оценка 1 /j j
C C
z f d
(где вектор 1
1}/{/
N
kk
j
k
j dfdf ), причем при
неотрицательных ka
и kb
будет 1kd ;
б) если 0ka , 0kb , 0kc , то j
C
f
j j
hC C
z ;
в) при 0ka
, 0kb
, 0ka , 0kb , 0kc
46 УСиМ, 2014, № 1
имеют место оценки
C
j
hC
j
C
j zz
1
и
j
m
C
m
h
C
jz
0
1 .
Доказательство:
а) пусть
0
1 1
0
maxj j
k k
k N
z z
, где 0 < k0 < N, тог-
да имеем неравенства
0 0 0 0
1 1
1
j j
k k k kc z a z
0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1
1 ,j j j j j
k k k k k k k kb z f a z b z f
из которых сразу получаем
0 0 0
1j j
k k kd z f , или
же, поскольку 0
0
kd ,
0 0 0
1 /j j
k k kz f d . Из по-
следнего неравенства имеем
0
1 1j j
kC
z z
0 0
/ /j j
k k C
f d f d . Далее, поскольку 1kc
k ka b
, то при 0ka
и 0kb
получаем
0kc
и 1 kkkk bacd
.
б) при любом k, 0 k N , учитывая что
1 kkk cba , получаем неравенства j
kf
1 1 ( , )j j j
k k k k k k h k ja z c z b z x t
j j j j
k k k h hC C C C
a b c z z .
Поскольку правая часть неравенства не за-
висит от k, то справедливо неравенство
j j j
hC C C
f z .
в) справедливость неравенства 1j
C
z
j j
hC C
z вытекает из пунктов а) и б)
утверждения. Итеративно применяя последнее
неравенство само к себе, получаем неравенство
1
0
j
j m
hC C
m
z
. Утверждение доказано.
Из пункта в) утверждения 1 следует равно-
мерная сходимость схем (14) – (15) с порядком
точности, равным порядку точности погреш-
ности локальной аппроксимации .h
Замечание 6. Из справедливости условий
п. а) утверждения 1 следует устойчивость ме-
тода трехточечной прогонки [13] для систе-
мы (15).
Приложение. Вывод формулы (8).
1 1
2
1 1 1 12 2
2 32 3
2
1 1 2 2 1 4
6 3( 2) 3 6( 2) 6 6( 2)
( / 2)
2
2
1 1
6 3( 2) 2 6
k
h k k k k k k
k
k k k k k
x x
k k
k k
n n n
u u u
n n n
h u u u
u u u u u
h h t x x
u u un h h
u h
n x x
4 54 5
6
3 4 5
2 3 4 52 3 4 5
6
2 3 4 5
3 52 4
3 5
( )
24 120
1 4
( )
6 6( 2) 2 6 24 120
2 2
(
3 6( 2) 6 120
k k k
k k k k k
k k
k k k
k k
u uh h
O h
x x x
u u u u un h h h h
u h O h
n x x x x x
u u un h h
u O
n x x x
6
2 4 6 22 4
6
2 4 6 2
2 3 3 4 5 52 4
2 3 4 5
)
2
( )
12 360 2
1 2 1 2
2 3 6( 2) 12 24 3 6( 2) 240
2
k
k k k k k k k
k
k k k k k k
k k
k
h
h
u u u u u h uh h
O h u
x x x x x x
u h u u h uh n h n
n x x n x x
h
2 3 5 4 62 4 2 4
6
2 3 5 4 6
2 3 3 2 4 5 72
3 4 7
( )
6 120 2 12 360
( 2) ( 2)
2 12( 2) 12 24 12( 2) 240
k k k k k k
k k k k k k k k
u u u h u uh h h h
O h
x x x x x
h h n u h h n u h uh
n x n x x
3 4 5 5 4 64 4
6
5 6
( 2) ( 2)
( ).
12 180 144( 2) 90 360 144( 2)
k k k k k kh h n u h h n uh h
O h
n x n x
Гладкость функции ),( txu предполагаем до-
статочной для существования выписанных раз-
ложений в ряды Тейлора. Также при выводе ис-
пользуются соотношения
k
j j
k
j j
x x
u u
x x t
1 2
1 2
j j
k k
j j
u u
x x
, непосредственно сле-
дующие из уравнения (1).
Заключение. Предложен новый класс весо-
вых функций МКЭ Петрова–Галеркина, позво-
ляющий более гибко (в сравнении с существу-
ющими вариантами данного метода, с исполь-
зованием кусочно-полиномиальных весовых
функций) влиять на структуру погрешности
разностных уравнений при аппроксимации ли-
нейных одномерных задач конвекции–диффу-
зии. Это, в свою очередь, позволяет за счет вы-
бора настроечных параметров в весовых функ-
циях добиться более высокой точности в полу-
чаемом численном решении. Отметим, что пред-
ложенный класс включает в себя стандартные
кусочно-полиномиальные весовые функции как
частные случаи, получающиеся при специаль-
ном выборе настроечных параметров. Постро-
ены численные аппроксимации в виде СОДУ и
семейств разностных схем с весами, исследо-
ваны их локальные погрешности и поведение
решений в виде дискретных гармоник, найде-
ны условия, при которых эти гармоники – не-
УСиМ, 2014, № 1 47
возрастающие (а решения, соответственно, ус-
тойчивы). Для разностных схем найдены усло-
вия, при которых имеет место равномерная
сходимость.
В дальнейшем предполагается обобщение
предложенных весовых функций на многомер-
ные случаи и более общие уравнения (в осо-
бенности, уравнения конвекции–диффузии–
реакции и нелинейные уравнения типа Бюр-
герса), а также изучение влияния приема со-
средоточения [12] на численные схемы с таки-
ми весовыми функциями.
1. Дейнека В.С., Сергиенко И.В., Скопецкий В.В. Ма-
тематические модели и методы расчета задач с раз-
рывными решениями. – К.: Наук. думка, 1995. –
262 с.
2. Флетчер К. Численные методы на основе метода
Галеркина. – М.: Мир, 1988. – 352 с.
3. Roos H.-G., Stynes M., Tobiska L. Robust numerical
methods for singularly perturbed differential equations. –
Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2008. – 604 p.
4. Fries T.P., Matthies H.G. A Review of Petrov–Galer-
kin Stabilization Approaches and an Extension to
Meshfree Methods. – Brunswick: Technische Universität
Braunschweig, Informatikbericht-Nr., 2004. – 71 p.
5. Zienkiewicz O.Z., Taylor R.L. The Finite Element Me-
thod. V. 1: The Basis. – Oxford: Butterworth–Heine-
mann, 2000. – 690 p.
6. Ладиков-Роев Ю.П., Черемных О.К. Математичес-
кие модели сплошных сред. – К.: Наук. думка,
2010. – 551 с.
7. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения матема-
тической физики. – М.: Наука, 1972. – 736 с.
8. Finlayson B.A. Numerical methods for problems with
moving fronts. – Seattle, Washington USA: Ravenna
Park Publ., Inc., 1992. – 613 p.
9. Сальников Н.Н., Сирик С.В., Терещенко И.А. О по-
строении конечномерной математической модели
процесса конвекции–диффузии с использованием
метода Петрова–Галеркина // Проблемы управле-
ния и информатики. – 2010. – № 3. – С. 94–109.
10. Сирик С.В., Сальников Н.Н. Численное интегриро-
вание уравнения Бюргерса методом Петрова–Галер-
кина с адаптивными весовыми функциями // Там
же. – 2012. – № 1. – C. 94–110.
11. Молчанов А.А., Сирик С.В., Сальников Н.Н. Выбор
весовых функций в методе Петрова–Галеркина для
интегрирования двумерных нелинейных уравнений
типа Бюргерса // Математические машины и сис-
темы. – 2012. – № 2. – С. 136–144.
12. Сирик С.В. Анализ применения сосредоточенных
аппроксимаций в методе конечных элементов при
решении задач конвекции–диффузии // Кибернетика
и системный анализ. – 2013. – № 5. – С. 152–163.
13. Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Нау-
ка, 1989. – 616 с.
14. Основи математичного моделювання в екології /
А.В. Гладкий, І.В. Сергієнко, В.В. Скопецький та ін. –
К.: НТУУ «КПІ», 2009. – 240 с.
15. Griffiths D.F., Lorenz J. An analysis of the Petrov–
Galerkin finite element method // Comp. Methods in
Applied Mechanics and Engin. – 1978. – 14. – P. 39–64.
16. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы ре-
шения краевых задач. – М.: Мир, 1972. – 418 с.
17. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука,
1978. – 512 с.
18. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы
решения нелинейных систем уравнений со многи-
ми неизвестными. – М.: Мир, 1975. – 563 с.
19. Михеев С.Е., Михеев В.С. Точная релаксация с уче-
том невязки // Вычислительные технологии. –
2009. – Т. 14, № 2. – С. 74–84.
20. Михеев С.Е. Применение полупроизводной в чис-
ленном анализе // ЖВММФ. – 2008. – Т. 48, № 1. –
С. 3–17.
Поступила 03.12.2013
Тел. для справок: +38 067 662-2595, +38 095 575-6543 (Киев)
E-mail: accandar@gmail.com, salnikov.nikolai@gmail.com
© С.В. Сирик, Н.Н. Сальников, В.К. Белошапкин, 2014
Внимание !
Оформление подписки для желающих
опубликовать статьи в нашем журнале обязательно.
В розничную продажу журнал не поступает.
Подписной индекс 71008
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/ETI <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>
/FRA <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>
/GRE <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>
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
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <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>
/RUS <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>
/SKY <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>
/SLV <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-83282 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0130-5395 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:32:29Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сирик, С.В. Сальников, Н.Н. Белошапкин, В.К. 2015-06-17T19:46:49Z 2015-06-17T19:46:49Z 2014 Выбор весовых функций в методе Петрова–Галеркина для интегрирования линейных одномерных уравнений конвекции–диффузии / С.В. Сирик, Н.Н. Сальников, В.К. Белошапкин // Управляющие системы и машины. — 2014. — № 1. — С. 38-47. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0130-5395 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83282 519.63; 004.75; 536.252 A class of weighting functions in the finite-element Petrov-Galerkin method that generalizes some earlier results is proposed. The corresponding semidiscrete and discrete approximations for linear one-dimensional convection-diffusion equation are constructed, its accuracy and stability are examined. Запропоновано клас вагових функцій в скінченноелементному методі Петрова–Гальоркіна, що узагальнює деякі раніше отримані результати в даному напрямі. Побудовано відповідні напівдискретні та дискретні апроксимації для лінійного одновимірного рівняння конвекції–дифузії, і досліджено їх точність та стійкість. Предложен класс весовых функций в конечноэлементном методе Петрова-Галеркина, обобщающий некоторые более ранние результаты в данном направлении. Построены соответствующие полудискретные и дискретные аппроксимации для линейного одномерного уравнения конвекции–диффузии, и исследована их точность и устойчивость. ru Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України Управляющие системы и машины Новые методы в информатике Выбор весовых функций в методе Петрова–Галеркина для интегрирования линейных одномерных уравнений конвекции–диффузии A Choice of Weighting Functions of Petrov-Galerkin Method for Solving Linear One-Dimensional Convection-Diffusion Problems Вибір вагових функцій у методі Петрова–Гальоркіна для інтегрування лінійних одновимірних рівнянь конвекції–дифузії Article published earlier |
| spellingShingle | Выбор весовых функций в методе Петрова–Галеркина для интегрирования линейных одномерных уравнений конвекции–диффузии Сирик, С.В. Сальников, Н.Н. Белошапкин, В.К. Новые методы в информатике |
| title | Выбор весовых функций в методе Петрова–Галеркина для интегрирования линейных одномерных уравнений конвекции–диффузии |
| title_alt | A Choice of Weighting Functions of Petrov-Galerkin Method for Solving Linear One-Dimensional Convection-Diffusion Problems Вибір вагових функцій у методі Петрова–Гальоркіна для інтегрування лінійних одновимірних рівнянь конвекції–дифузії |
| title_full | Выбор весовых функций в методе Петрова–Галеркина для интегрирования линейных одномерных уравнений конвекции–диффузии |
| title_fullStr | Выбор весовых функций в методе Петрова–Галеркина для интегрирования линейных одномерных уравнений конвекции–диффузии |
| title_full_unstemmed | Выбор весовых функций в методе Петрова–Галеркина для интегрирования линейных одномерных уравнений конвекции–диффузии |
| title_short | Выбор весовых функций в методе Петрова–Галеркина для интегрирования линейных одномерных уравнений конвекции–диффузии |
| title_sort | выбор весовых функций в методе петрова–галеркина для интегрирования линейных одномерных уравнений конвекции–диффузии |
| topic | Новые методы в информатике |
| topic_facet | Новые методы в информатике |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83282 |
| work_keys_str_mv | AT siriksv vyborvesovyhfunkciivmetodepetrovagalerkinadlâintegrirovaniâlineinyhodnomernyhuravneniikonvekciidiffuzii AT salʹnikovnn vyborvesovyhfunkciivmetodepetrovagalerkinadlâintegrirovaniâlineinyhodnomernyhuravneniikonvekciidiffuzii AT belošapkinvk vyborvesovyhfunkciivmetodepetrovagalerkinadlâintegrirovaniâlineinyhodnomernyhuravneniikonvekciidiffuzii AT siriksv achoiceofweightingfunctionsofpetrovgalerkinmethodforsolvinglinearonedimensionalconvectiondiffusionproblems AT salʹnikovnn achoiceofweightingfunctionsofpetrovgalerkinmethodforsolvinglinearonedimensionalconvectiondiffusionproblems AT belošapkinvk achoiceofweightingfunctionsofpetrovgalerkinmethodforsolvinglinearonedimensionalconvectiondiffusionproblems AT siriksv vibírvagovihfunkcíiumetodípetrovagalʹorkínadlâíntegruvannâlíníinihodnovimírnihrívnânʹkonvekcíídifuzíí AT salʹnikovnn vibírvagovihfunkcíiumetodípetrovagalʹorkínadlâíntegruvannâlíníinihodnovimírnihrívnânʹkonvekcíídifuzíí AT belošapkinvk vibírvagovihfunkcíiumetodípetrovagalʹorkínadlâíntegruvannâlíníinihodnovimírnihrívnânʹkonvekcíídifuzíí |