Об одном подходе к моделированию нелинейных электрических цепей по частям
Предложено формализованную методику построения эквивалентной схемы нелинейной подсхемы и метод составления математической модели (ММ) нелинейной электрической цепи (НЭЦ), основанный на применении подсхем, учитывающий требования корректной формулировки задачи. Учет требований выполняется как на этапе...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Математичні машини і системи |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83294 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об одном подходе к моделированию нелинейных электрических цепей по частям / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Мат. машини і системи. — 2010. — № 3. — С. 53-68. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860013618780700672 |
|---|---|
| author | Волобоев, В.П. Клименко, В.П. |
| author_facet | Волобоев, В.П. Клименко, В.П. |
| citation_txt | Об одном подходе к моделированию нелинейных электрических цепей по частям / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Мат. машини і системи. — 2010. — № 3. — С. 53-68. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичні машини і системи |
| description | Предложено формализованную методику построения эквивалентной схемы нелинейной подсхемы и метод составления математической модели (ММ) нелинейной электрической цепи (НЭЦ), основанный на применении подсхем, учитывающий требования корректной формулировки задачи. Учет требований выполняется как на этапе составления ММ НЭЦ, так и в процессе решения полученной модели путем целенаправленного выбора переменных - напряжений компонент ветвей деревьев, покрывающих графы подсхем и НЭЦ, в которой подсхемы заменены эквивалентными схемами. Корректный выбор переменных выполняется при составлении топологических матриц контуров графов подсхем, НЭЦ и зависит от параметров компонент подсхем и НЭЦ.
It is offered a formalized technique of construction of the equivalent scheme of a nonlinear subcircuit and a method of drawing up a mathematical model (MM) of a nonlinear electric circuit (NEC), based on application of the subcircuits, and considering requirements of the correct formulation of a problem. A consideration of requirements is carried out both at a stage of drawing up of the MM NEC and in the course of decision of the received model by a purposeful choice of variables, which are voltage of components of tree branches, covering the subcircuits graphs and NEC, in which the subcircuits are replaced by equivalent schemes. Correct choice of variables is carried out at drawing up of topological matrixes of contours of the graphs of the subcircuits and NEC, and depends on parameters of the components of the subcircuits and NEC.
Запропоновано формалізовану методику побудови еквівалентної схеми нелінійної підсхеми і ме-
тод складання математичної моделі (ММ) нелінійного електричного кола (НЕК), заснований на застосуван-
ні підсхем, який враховує вимоги коректного формулювання задачі. Урахування вимог виконується як на
етапі складання ММ НЕК, так і в процесі рішення отриманої моделі шляхом цілеспрямованого вибору змін-
них – напруг компонент гілок дерев, що покривають графи підсхем і НЕК, у якій підсхеми замінені еквівале-
нтними схемами. Коректний вибір змінних виконується при складанні топологічних матриць контурів гра-
фів підсхем, НЕК і залежить від параметрів компонентів підсхем і НЕК.
Ключові слова: нелінійне, лінійне (лінеаризоване) електричне коло, підсхема, еквівалентна схема, коректне
формулювання задачі, напруги компонентів гілок дерева, яке покриває граф електричного кола, матема-
тична модель, моделювання, система нелінійних рівнянь, модифікація методу Ньютона
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:43:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Волобоев В.П., Клименко В.П., 2010 53
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3
УДК 621.3.011.7
В.П. ВОЛОБОЕВ, В.П. КЛИМЕНКО
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К МОДЕЛИРОВАНИЮ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ ПО ЧАСТЯМ
Abstract. It is offered a formalized technique of construction of the equivalent scheme of a nonlinear subcircuit and a
method of drawing up a mathematical model (MM) of a nonlinear electric circuit (NEC), based on application of the
subcircuits, and considering requirements of the correct formulation of a problem. A consideration of requirements is
carried out both at a stage of drawing up of the MM NEC and in the course of decision of the received model by a
purposeful choice of variables, which are voltage of components of tree branches, covering the subcircuits graphs and
NEC, in which the subcircuits are replaced by equivalent schemes. Correct choice of variables is carried out at draw-
ing up of topological matrixes of contours of the graphs of the subcircuits and NEC, and depends on parameters of the
components of the subcircuits and NEC.
Key words: nonlinear, linear (linearized) electric circuit, subcircuit, equivalent scheme, correct formulation of a task,
voltage a component of branches of a tree of the graph of an electric circuit, mathematical model, modelling, system
of the nonlinear equations, updating of the Newton's Method.
Анотація. Запропоновано формалізовану методику побудови еквівалентної схеми нелінійної підсхеми і ме-
тод складання математичної моделі (ММ) нелінійного електричного кола (НЕК), заснований на застосуван-
ні підсхем, який враховує вимоги коректного формулювання задачі. Урахування вимог виконується як на
етапі складання ММ НЕК, так і в процесі рішення отриманої моделі шляхом цілеспрямованого вибору змін-
них – напруг компонент гілок дерев, що покривають графи підсхем і НЕК, у якій підсхеми замінені еквівале-
нтними схемами. Коректний вибір змінних виконується при складанні топологічних матриць контурів гра-
фів підсхем, НЕК і залежить від параметрів компонентів підсхем і НЕК.
Ключові слова: нелінійне, лінійне (лінеаризоване) електричне коло, підсхема, еквівалентна схема, коректне
формулювання задачі, напруги компонентів гілок дерева, яке покриває граф електричного кола, матема-
тична модель, моделювання, система нелінійних рівнянь, модифікація методу Ньютона.
Аннотация. Предложено формализованную методику построения эквивалентной схемы нелинейной подс-
хемы и метод составления математической модели (ММ) нелинейной электрической цепи (НЭЦ), основан-
ный на применении подсхем, учитывающий требования корректной формулировки задачи. Учет требова-
ний выполняется как на этапе составления ММ НЭЦ, так и в процессе решения полученной модели путем
целенаправленного выбора переменных – напряжений компонент ветвей деревьев, покрывающих графы
подсхем и НЭЦ, в которой подсхемы заменены эквивалентными схемами. Корректный выбор переменных
выполняется при составлении топологических матриц контуров графов подсхем, НЭЦ и зависит от па-
раметров компонент подсхем и НЭЦ.
Ключевые слова: нелинейная, линейная (линеаризованная) электрическая цепь, подсхема, эквивалентная
схема, корректная формулировка задачи, напряжения компонент ветвей дерева, покрывающего граф
электрической цепи, математическая модель, моделирование, система нелинейных уравнений, модифика-
ция метода Ньютона.
1. Введение
Непрерывное усложнение электроэнергетических систем, радиоэлектронной аппаратуры, вычисли-
тельной техники, устройств автоматики и техники связи требует повышения эффективности мето-
дов анализа электрических цепей, содержащих сотни и тысячи ветвей и узлов.
Усовершенствование вычислительной техники открывает новые возможности для существующих
алгоритмов, поскольку это позволяет решать все более сложные задачи. Однако при моделирова-
нии цепей с применением вычислительной техники максимально допустимая сложность задач оп-
ределяется не только характеристиками этой техники, но и эффективностью алгоритмов, обеспе-
чивающих достоверность результатов анализа. Поэтому одной из актуальных проблем электротех-
ники есть разработка оптимальных алгоритмов моделирования сложных нелинейных электриче-
ских цепей.
В настоящее время известны алгоритмы, позволяющие с помощью вычислительной техни-
ки осуществить моделирование сложных нелинейных электрических цепей как в установившемся,
так и в переходном режиме. Из многообразия алгоритмов и методов следует выделить метод,
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 54
предложенный в [1, 2], который на этапе составления системы уравнений, описывающих нелиней-
ную электрическую цепь, учитывает требования корректной формулировки задачи моделирования
этой цепи. Под корректной формулировкой задачи подразумевается разрешимость ее при любых
начальных данных, принадлежащих к некоторому классу, единственность решения и непрерыв-
ность зависимости этого решения от начальных данных.
Увеличивает эффективность использования вычислительной техники анализ сложных
электрических цепей и систем по частям, так как требует существенно меньшего объема вычисле-
ний по сравнению с объемом вычислений, необходимым при непосредственном анализе.
2. Методы анализа нелинейных электрических цепей и систем по частям: состояние вопроса
В настоящее время методы анализа сложных электрических цепей и систем по частям можно раз-
делить на две группы.
К первой группе относятся методы, в основе которых используется диакоптика. Диакоптика,
как метод исследования сложных систем, разработан Г. Кроном [3]. Большой вклад в развитие это-
го метода внесли и другие авторы [4–6]. Суть данного подхода заключается в следующем. Г. Крон
предложил применять тензоры и тензорные уравнения для описания электрических цепей. Тензор-
ные уравнения цепей эквивалентны матричным уравнениям, однако введение тензоров позволяет
представить разделение и объединение цепей как преобразование системы координат.
Ко второй группе относятся методы исследования электрических цепей и систем, основан-
ные на применении подсхем [7]. Этот метод был предложен Г.Е. Пуховым в 1952 г. Расчет цепей по
этому методу подразделяется на три этапа. На первом этапе цепь заданной конфигурации при
помощи особых приемов заменяется эквивалентной схемой более простого вида. Расщепление
сложной цепи на составляющие подсхемы (многополюсники) может производиться различными
способами. Электрическую схему, расщепленную на подсхемы, всегда можно рассчитать, составив
уравнения подсхем и уравнения связей между ними. На втором этапе производится расчет полу-
ченной простой схемы, а на третьем – выполняется обратный переход к заданной цепи, состоящий
в определении токов и напряжений в схемах, которые были получены в процессе прямого преобра-
зования цепи.
Г.Е. Пухов предложил модификацию метода, при котором не требовалось составления
уравнений связи, что было очень важно в эпоху ручного счета. Для этого предложено составлять
уравнения каждой подсхемы в форме, учитывающей связь подсхем между собой. Практический
пример применения данного подхода приведен в [8].
Моделирование электрических цепей, основанное на применении подсхем и ориентирован-
ное на применение вычислительной техники, наиболее полно рассмотрено в монографии [9]. Для
описания электрических цепей в данном случае применяются матричные уравнения. Как следует
из литературы, для линейных подсхем существуют методики построения эквивалентных схем [10],
в то же время для нелинейных подсхем этот вопрос недостаточно рассмотрен в литературе.
Представляет интерес рассмотрение составления математической модели моделирования
нелинейной электрической цепи по частям методом, учитывающим требования корректной форму-
лировки задачи.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 55
3. Математическая модель нелинейной электрической цепи по частям
В связи с тем, что в методе [1, 2] для описания нелинейной электрической цепи применяются мат-
ричные уравнения, он будет рассмотрен применительно к электрической цепи, расщепленной на
подсхемы. В дальнейшем будем предполагать, что расщепление на подсхемы уже выполнено.
Составление математической модели нелинейной электрической цепи, расщепленной на
подсхемы, состоит из нескольких этапов. Прежде всего, составляются математические модели
нелинейных подсхем. Функциональные зависимости компонент эквивалентной схемы подсхемы
определяются на этом же этапе. Следующим этапом есть составление математической модели
исходной электрической цепи, в которой подсхемы заменены эквивалентными схемами. Составле-
ние системы уравнений связи между подсхемами следует рассматривать как частный случай со-
ставления математической модели.
3.1. Математическая модель нелинейной электрической подсхемы
Рассмотрим этапы составления математической модели подсхемы. Прежде всего, будем считать,
что преобразование и расщепление нелинейной электрической цепи на части выполнено таким
образом, что электрическая цепь и подсхемы, в нее входящие, содержат только двухполюсные
компоненты. Связь подсхемы с остальной частью электрической цепи выполняется через полюсы.
Напряжения, приложенные к полюсам подсхемы, однозначно определяют влияние остальной части
электрической цепи в математической модели подсхемы. Токи, протекающие через полюсы под-
схемы, в зависимости от напряжений, приложенных к полюсам, однозначно определяют влияние
подсхемы в математической модели нелинейной электрической цепи, в которой подсхемы замене-
ны эквивалентными схемами.
Вначале определяются компонентные уравнения подсхемы, устанавливаются тип, управ-
ляемость и зависимость компоненты от других и составляется граф подсхемы. Будем считать, что
двухполюсная компонента может быть источником напряжения, проводимостью или источником
тока. Компонентное уравнение двухполюсника типа проводимости )0( miU или источника тока
)0( miU имеет вид
)..,U,...,U,U(UfI mkmi,.mmmimi 21 , ,...,k,,i 21 ,...,N,,m 21 (1)
а двухполюсника типа источника напряжения вид
, constU meme ,,...,K,e m21 ,...,N,,m 21
где miI – ток i -ой компоненты m -ой подсхемы, )(fmi – условное обозначение компонентного
уравнения i -ой компоненты, miU – напряжение i -ой компоненты, k – количество компонент в m -
ой подсхеме, meU – напряжение источника напряжения e компоненты, mK – количество источни-
ков напряжения в m -ой подсхеме, N – количество подсхем в электрической цепи, meconst – зна-
чение источника напряжения e компоненты m -ой подсхемы. Как следует из уравнения (1), под-
схема содержит напряжениеуправляемые, напряжениезависимые компоненты и источники напря-
жения и тока.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 56
Составление топологических матриц контуров и сечений включает выбор дерева, покры-
вающего граф (дерево графа) подсхемы, и составление контуров для выбранного дерева. Дерево
графа подсхемы выбирается таким образом, чтобы все источники напряжения включались в дере-
во, а все источники тока в хорды. Составление контуров выполняется присоединением ветвей хорд
к дереву. В этом случае топологическая матрица контуров имеет вид t
mmx F1 , где mх1 единичная
подматрица ветвей хорд, индекс t обозначает транспонированную матрицу, а топологическая мат-
рица сечений – mmд F1 , где mд1 – единичная подматрица ветвей дерева. Возможны и другие
способы построения контуров, но только при рассмотренном способе топологические матрицы мо-
гут содержать единичные подматрицы. Из [1, 2] следует, что учет требований как сходимости ите-
рационного метода решения системы нелинейных алгебраических уравнений (СНАУ), так и обу-
словленности системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), выполняется при составлении
уравнений электрической цепи на этапе выбора контуров графа. Для этого при составлении конту-
ра необходимо, чтобы в контуре, образованном присоединением хорды к дереву, компоненты де-
рева имели проводимости по величине больше, чем проводимость этой хорды.
На следующем этапе векторы напряжений mU и токов mI компонент m -ой подсхемы груп-
пируются в элементы, содержащие напряжения mдU или токи mдI компонент, которые входят в
дерево графа (индекс д ), и напряжения mхU или токи mхI компонент, которые входят в хорды
(индекс x ). Таким образом,
mx
mд
m
mх
mд
m I
I
, I
U
U
U . (2)
Тогда уравнения, составленные на основе законов Кирхгофа, в матричном виде можно за-
писать следующим образом:
mд
t
mmх UFU , (3)
mхmmд IFI . (4)
Эквивалентная схема подсхемы и функциональные зависимости входящих в нее компонент
определяются из следующих предпосылок. Как следует из системы уравнений (4), токи, текущие
через полюсы подсхемы, в зависимости от напряжений, приложенных к полюсам, можно опреде-
лить в том случае, если они будут токами компонент, включенных в дерево. Это возможно, если
напряжения, приложенные к полюсам подсхемы, рассматривать как напряжения, падающие на
компонентах типа источник напряжения. В [11] предложены два варианта приложения напряжений
к полюсам и, соответственно, два варианта подключения источников напряжения. В первом вари-
анте (рис. 1а) напряжения, приложенные к полюсам, отсчитываются от общего полюса, таким же
образом к полюсам присоединяются источники напряжения. В этом случае, токи (рис. 1а), текущие
через полюсы, совпадают с токами источников напряжения. Зависимость тока, протекающего через
полюс подсхемы, от напряжений, приложенных к полюсам, можно рассматривать как компонентное
уравнение двухполюсной компоненты, подключенной одним концом к полюсу, через который про-
текает ток, а другим - к общему полюсу эквивалентной схемы (рис. 1а).
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 57
Рис. 1. Эквивалентная схема замещения подсхемы
Во втором варианте напряжения, приложенные к полюсам, есть напряжения между полю-
сами (рис. 1б). Таким же образом присоединяются источники напряжения. Токи, текущие через
полюсы подсхемы, определяются через токи источников напряжения следующим образом:
m)-m(n
m)-m(pmp
m
mop
np,I
np,II
p,I
I
1
1
1
1
1
, (5)
где mopI – ток, протекающий через p полюс m -ой подсхемы, mpI – ток, протекающий через p ис-
точник напряжения (рис. 1б), присоединенный к 1pp, полюсам m -ой подсхемы, mn – количество
полюсов m -ой подсхемы. Как следует из уравнения (5), токи источников напряжения, подключен-
ных к полюсам подсхемы, однозначно определяют токи, текущие через полюсы подсхемы. В этом
случае зависимость тока mpI , протекающего через 1pp, полюсы подсхемы, от напряжений, при-
ложенных к полюсам, можно рассматривать как компонентное уравнение двухполюсной компонен-
ты, подключенной к 1pp, полюсам эквивалентной схемы подсхемы (рис. 1б). Выбор варианта
приложения напряжений к полюсам подсхемы зависит от специфики конкретной цепи.
Элементы ветвей дерева и хорд векторов напряжений и токов компонент (2), а также топо-
логические матрицы контуров и сечений, группируются в соответствии с типом компонент m -ой
подсхемы:
mхJ
mxG
mx
mдG
mдЕ
mдЕ
mд
mхJ
mxG
mx
mдG
mдE
mдE
mд I
I
, I
I
I
I
I,
U
U
, U
U
U
U
U
pp
, (6)
где индекс E указывает, что данный элемент вектора содержит напряжения или токи независимых
источников напряжения, pE
– элемент содержит напряжения или токи источников напряжения,
присоединенных к полюсам подсхемы, G – элемент содержит напряжения или токи компонент
типа проводимости, J – элемент содержит напряжения или токи источников тока, д – элемент
вектора содержит напряжения или токи компонент, которые входят в дерево графа, х – элемент
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 58
содержит напряжения или токи компонент, которые входят в хорды. Учитывая (6), система уравне-
ний (3) принимает следующий вид:
mдG
mдE
mдE
t
mхJmдG
t
mхJmдE
t
mхJmдE
t
mхGmдG
t
mхGmдE
t
mхGmдE
mдJ
mxG
U
U
U
FFF
FFF
U
U
p
p
p , (7)
а (4) –
mхJ
mхG
mдGmхJmдGmxG
mхJmдEmхGmдE
mдEmхJmдEmхG
mдG
mдE
mдE
I
I
FF
FF
FF
=
I
I
I
ppp
. (8)
После группирования компонентное уравнение (1) принимает следующий вид:
.
,
),U(UfI
),U(UfI
t
mх
t
mдmхmхG
t
mх
t
mдmдmдG
(9)
Из анализа систем уравнений (6) – (9) следует, что в том случае, когда известны векторы
напряжений mдGmдEmдE ,U,UU
p
и токов mxJI компонент, можно определить остальные токи и на-
пряжения компонент m -ой подсхемы. Если предположить, что напряжения
pmдEU , приложенные к
полюсам m -ой подсхемы, являются внешними и известны, то тогда переменные mдGU можно оп-
ределить из решения СНАУ (8), которую, используя компонентные уравнения (9) и системы урав-
нений связи (6) и (7), не трудно преобразовать к следующему виду:
=IF))UF,((Uf(F))UF,((Uf mxJmдGmxJ
t
mд
t
m
t
mдmxmдGmxG
t
mд
t
m
t
mдmд 0) . (10)
Тогда математическая модель m -ой подсхемы будет включать систему уравнений (10),
системы уравнений связей (7) – (9) и алгоритмы выбора дерева, составления и преобразования
топологических матриц сечений mF и контуров t
mF графа m -ой подсхемы.
Функциональные зависимости компонент эквивалентной схемы m -ой подсхемы, учитывая
(8), компонентные уравнения (9) и системы уравнений связи (6) и (7), можно записать следующим
образом:
mхJmхJmдE
t
mд
t
m
t
mдmxmxGmдEmдE IF))U,(-F(UfFI
ppp
. (11)
Как следует из (11) и (6), компоненты эквивалентной схемы m -ой подсхемы есть напряже-
ниеуправляемые и напряжениезависимые, токи компонент зависят как от напряжений компонент
mдGU подсхемы, так и от напряжений
pmдEU , приложенных к полюсам подсхемы.
Составление математической модели исходной электрической цепи, в которой подсхемы
заменены эквивалентными схемами, выполняется на следующем этапе.
3.2. Математическая модель нелинейной электрической цепи, расщепленной на подсхемы
Будем считать нелинейную электрическую цепь, в которой подсхемы заменены эквивалентными
схемами, эквивалентной схемой замещения. В этом случае в эквивалентную схему замещения
(индекс s ) будут входить двухполюсные компоненты (индекс c ), которые не входят в подсхемы, и
двухполюсные компоненты (индекс pE ) эквивалентных схем подсхем. Составление математиче-
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 59
ской модели эквивалентной схемы замещения состоит из тех же этапов, что и составление мате-
матической модели подсхемы.
В соответствии с набором типов компонент, входящих в эквивалентную схему замещения,
векторы напряжений sдU и токов sдI компонент, входящих в дерево, напряжений sxU и токов sxI
компонент, входящих в хорды графа этой схемы, принимают следующий вид:
pppp sxE
sxc
sx
sдE
sдc
sд
sxE
sxc
sx
sдE
sдc
sд I
I
, II
I
I,U
U
, UU
U
U . (12)
Элементы sдcU , sхcU , sдcI , sхcI есть напряжения и токи компонент, которые не входят в под-
схемы, индекс д указывает, что векторы напряжений и токов компонент, которые входят в дерево
графа эквивалентной схемы замещения, а индекс х – входит в хорды графа и после группирова-
ния по типу компонент имеют следующий вид:
хcJ
xcG
sxc
дcG
дcE
sдc
хcJ
xcG
sxc
дcG
дcE
sдc I
I
, I
I
I
I,
U
U
, U
U
U
U . (13)
Элементы векторов
psдEU ,
psдEI ,
psxEU ,
psxEI есть напряжения и токи компонент эквивалент-
ных схем подсхем, индекс д указывает, что векторы напряжений и токов компонент входят в дере-
во графа эквивалентной схемы замещения, а индекс х указывает, что входят в хорды графа. По-
сле группирования компонент подсхем в элементы, входящие в дерево, или хорды графа эквива-
лентной схемы замещения элементы векторов имеют следующий вид:
,
I
.
I
.
I
I,
U
.
U
.
U
, U
I
.
I
.
I
, I
U
.
U
.
U
U
pN
pm
p
p
pN
pm
p
p
pN
pm
p
p
pN
pm
p
p
xEs
xEs
xEs
sxE
xEs
xEs
xEs
sxE
дEs
дEs
дEs
sдE
дEs
дEs
дEs
sдE
1111
,...N,,m 21 ,,...,n,p m21 (14)
где индекс ms указывает, что элемент вектора содержит напряжения или токи компонент эквива-
лентной схемы m -ой подсхемы,
pmдEsU ,
pmдEsI есть элементы векторов напряжений и токов компо-
нент эквивалентной схемы m -ой подсхемы, входящих в дерево графа эквивалентной схемы заме-
щения, а
pmxEsU ,
pmxEsI – входящих в хорды этого графа.
Уравнения (3), (4), составленные для эквивалентной схемы замещения на основе законов
Кирхгофа, в матричном виде будут записаны в следующем виде:
,UFU sд
t
sх (15)
sхsд FII , (16)
где tF и F – топологические матрицы контуров и сечений эквивалентной схемы замещения. Учи-
тывая (12) и (13), после группирования топологических матриц контуров и сечений по типу компо-
нент система уравнений (15) будет записана как
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 60
pp
pppp
p
p
sдE
дcG
дcE
t
хcJsдE
t
хcJдcG
t
хcJдcE
t
sдEsхE
t
дcGsхE
t
дcEsхE
t
хcGsдE
t
хcGдcG
t
хcGдcE
хcJ
sxE
xcG
U
U
U
FFF
FFF
FFF
U
U
U
, (17)
а (16) как
хcJ
sхE
xcG
хcJsдEsхEsдEхcGsдE
дcGхcJдcGsхEдcGхcG
дcEхcJдcEsхEдcEхcG
sдE
дcG
дcE
I
I
I
FFF
FFF
FFF
=
I
I
I
p
pppp
p
p
p
. (18)
Компонентные уравнения двухполюсных компонент, которые не входят в подсхемы, имеют
следующий вид:
.
,
),U(UfI
),U(UfI
t
sxc
t
sдcxcGxcG
t
sxc
t
sдcдcGдcG
(19)
Напряжения
pmдEU , приложенные к полюсам m -ой подсхемы, и токи
pmдEI , протекающие
через эти полюсы, следующим образом связаны с напряжениями и токами эквивалентной схемы
m -ой подсхемы, являющейся частью эквивалентной схемы замещения:
.,...,n,p,I
I
, IU
U
U m
xEs
дEs
mдE
хEs
дEs
mдE
pm
pm
p
pm
pm
p
21 (20)
Как следует из (14), элемент вектора напряжений
pmxEsU
компонент эквивалентной схемы
m -ой подсхемы эквивалентной цепи замещения определяется через напряжения
psдEU
компонент
эквивалентных схем подсхем, которые входят в дерево графа, определяется следующим образом:
)UFUFUF(U
pppppp sдE
t
sдEsхEдcG
t
дcGsхEдcE
t
дcEsхEsxE . (21)
Элементы топологических матриц mxGmдEp
F
и mхJmдEp
F m -ой подсхемы (8) группируются в
элементы, которые содержат компоненты, входящие в дерево графа эквивалентной схемы заме-
щения или хорды этого графа. После группирования они имеют следующий вид:
mхJEmдmxGEmд
mхJEmдmxGEmд
mхJmдEmxGmдE
pхpх
pдpд
pp F F
FF
F F , (22)
где индекс дд указывает, что компоненты эквивалентной схемы m -ой подсхемы входят в дерево
графа эквивалентной схемы замещения, а хд – входят в хорды графа. В этом случае компонентные
уравнения (11) эквивалентной схемы m -ой подсхемы будут записаны как
mхJmхJEmд
t
mд
t
m
t
mдmxmxGEmддEs IF))U,(-F(UfFI
pдpдpm
, ,...N,m 21 , m,...,n,p 21 , (23)
mхJmхJEmд
t
mд
t
m
t
mдmxmxGEmдхEs IF))U,(-F(UfFI
pхpхpm
, ,...N,m 21 , m,...,n,p 21 . (24)
Из анализа систем уравнений (12) – (24) следует, что в том случае, когда известны векторы
напряжений
psдEдcGдcE ,U,UU , токов xcJI , компонент эквивалентной схемы замещения и векторы
напряжений mдGmдE ,UU , токов mхJI компонент подсхем, где ,...N,m 21 , то можно определить
остальные токи и напряжения компонент эквивалентной схемы замещения. Следует заметить, что
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 61
напряжения mдEдcE , UU компонент источников напряжения и токи mхJxcJ I,I компонент источников
тока известны. Напряжения mдGU компонент m -ой подсхемы определяются из решения системы
уравнений (10) математической модели m -ой подсхемы и являются внешними по отношению к
СНАУ эквивалентной схемы замещения. В этом случае переменные
psдEдcG,UU определяются из
решения СНАУ:
0
0
)IFIFI(FI
)IFIFI(FI
хcJхcJsдEsxEsxEsдExcGхcGsдEsдE
хcJдcGхcJsхEдcGsхEхcGдcGхcGдcG
pppppp
pp . (25)
Действительно, токи компонент дcGI , xcGI системы уравнений (25), учитывая (19), (13), оп-
ределяются через напряжения дcGU ,
psдEU . Токи компонент
psдEI ,
psxEI , учитывая (23), (24) и (14),
определяются через напряжения дcGU ,
psдEU эквивалентной схемы замещения и напряжения mдGU
компонент подсхем. Таким образом, система уравнений (25) содержит следующие внутренние пе-
ременные:
1. Напряжения компонент дcGU , которые не входят в подсхемы, но входят в ветви дерева
графа эквивалентной схемы замещения.
2. Напряжения компонент
psдEU эквивалентных схем подсхем, входящих в ветви дерева
графа эквивалентной схемы замещения.
Кроме того, СНАУ (25) содержит внешние переменные – напряжения mдGU компонент m -ой
подсхемы, где ,...N,m 21 .
Из вышерассмотренного следует, что математическая модель эквивалентной схемы заме-
щения состоит из системы уравнений (25), системы уравнений связи (12) – (24) и алгоритмов выбо-
ра дерева, составления и преобразования топологических матриц сечений F и контуров tF графа
эквивалентной цепи замещения. В свою очередь, математическая модель нелинейной электриче-
ской цепи, расщепленной на подсхемы, включает:
• математическую модель эквивалентной схемы замещения;
• N математических моделей подсхем;
• алгоритм выбора дерева графа m -ой подсхемы и эквивалентной схемы замещения;
• алгоритм составления и преобразования топологических матриц сечений mF и контуров
t
mF m -ой подсхемы и топологических матриц контуров tF и сечений F эквивалентной схемы за-
мещения.
В математическую модель нелинейной электрической цепи входят те же переменные, что и
в математические модели подсхем и эквивалентной схемы замещения. Областью существования
переменных mдGU , дcGU ,
psдEU
математической модели нелинейной электрической цепи есть мате-
матические модели подсхем и эквивалентной схемы замещения.
В статье [2] предложена модификация итерационного метода Ньютона решения СНАУ,
описывающей нелинейную электрическую цепь. Суть модификации заключается в следующем.
Вектор приращений переменных на каждом итерационном шаге предлагается вычислять в резуль-
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 62
тате решения СЛАУ, описывающей линеаризованную нелинейную электрическую цепь. Только в
этом случае можно корректно сформулировать задачу моделирования нелинейной электрической
цепи не только на этапе составления СНАУ, но и в процессе решения СНАУ. В связи с этим, пред-
ставляет интерес рассмотрение корректной формулировки задачи составления уравнений, описы-
вающих линеаризованную (линейную) (ЛЛ) электрическую цепь по частям.
3.3. Математическая модель линейной (линеаризованной) подсхемы
Составление математической модели m -ой ЛЛ подсхемы будет состоять из тех же этапов, что и
составление математической модели нелинейной m -ой подсхемы. При составлении модели сле-
дует учесть, что функциональные зависимости компонент (1) m -ой подсхемы в данном случае
будут иметь следующий вид:
k
j
mjmjmi UGI
1
, (26)
где miI – ток i-ой ЛЛ компоненты m -ой подсхемы, mjG
– собственная )( ji или взаимная про-
водимость i -ой ЛЛ компоненты с j -ой, mjU – напряжение j -ой компоненты, k – количество ком-
понент в m -ой подсхеме. В случае линеаризованной подсхемы проводимость компоненты опреде-
ляется из функциональной зависимости нелинейной компоненты (1) следующим образом:
mj
mkmj,.mmmi
mj dU
))..,U,...,U,U(Ud(f
G 21 . (27)
Как следует из (26), подсхема содержит напряжениеуправляемые, напряжениезависимые
ЛЛ компоненты. Для m -ой ЛЛ подсхемы вектор компонентных уравнений (9) после группирования
на компоненты, которые входят в дерево и хорды, имеет следующий вид:
,
,
mxGmxGmxGmдGmxGmдGmхG
mxGmдGmxGmдGmдGmдGmдG
UGUGI
UGUGI
(28)
где mдGmдGG , mдGmxGG , mxGmдGG , mxGmxGG – матрицы собственных и взаимных проводимостей – ре-
зультат группирования компонентных уравнений (26) и представления их в матричном виде.
Функциональные зависимости ЛЛ компонент эквивалентной схемы m -ой подсхемы можно пред-
ставить следующим образом:
mхJmхJmдEmxGmxGmxGmдGmxGmдGmxGmдEmдE IF)UGU(GFI
ppp
. (29)
Следует заметить, что в случае линеаризованной нелинейной электрической цепи элемент
вектора напряжения 0mдEU и элемент вектора тока 0mхJI .
Система уравнений связи (6) – (9) и компонентных уравнений (28), а также система уравне-
ний (10) описывают ЛЛ m -ую подсхему. После соответствующих преобразований система уравне-
ний (10) будет иметь следующий вид:
m
mхJ
mдE
mдGmхJmдGmдE
mдE
mдG
mдGmдEmдG f
I
U
FGU
U
GG
p
p
, (30)
где ))(-FG(GF)(-FGGG t
mxGmдGmxGmxGmxGmдGmдGmxG
t
mxGmдGmдGmxGmдGmдGmдG ,
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 63
))F((GF)(-FGG t
mxGmдEmxGmдGmдGmxG
t
mxGmдEmдGmxGmдGmдE ppp
,
))F((GF)(-FGG t
mxGmдEmxGmдGmдGmxG
t
mxGmдEmдGmдGmдGmдE ,
mf – вектор невязок СНАУ (10), в случае линейной подсхемы 0mf .
Система уравнений (30) содержит два типа переменных, а именно, внутренние переменные
– напряжения mдGU компонент, которые входят в ветви дерева графа ЛЛ m -ой подсхемы, и внеш-
ние переменные – напряжения
pmдEU , которые приложены к полюсам ЛЛ m -ой подсхемы.
Для контроля корректности составляемой системы уравнений (30) применяется система
уравнений (8) в следующем виде:
mхJmдGmxJmхGmдGmxGmдG IFIFI .
Учитывая (28), ее нетрудно преобразовать к следующему виду:
w,...,,i,UGUG
rjijGiG X
r
j
XДiД 21
1
, (31)
где r – количество ветвей хорд, входящих в сечение i -ой ветви дерева, w – количество ветвей
дерева в m -ой подсхеме,
GiДG – проводимость компоненты i -ой ветви дерева графа m -ой под-
схемы,
ijGXG – проводимость компоненты j -ой ветви хорды графа m -ой подсхемы, входящей в
сечение i -ой ветви. В выражении (31) приведены только члены, которые входят в сечение i -ой
ветви дерева. СЛАУ (30) будет считаться корректно составленной, если выполняется следующее
неравенство:
r...,,jGG
ijGGi XД 21 . (32)
В противном случае необходимо выполнить целенаправленный выбор переменных mдGU
при пересоставлении топологических матриц контуров t
mF и сечений mF и пересчет текущего ите-
рационного шага решения СНАУ.
Таким образом, математическая модель ЛЛ m -ой подсхемы включает систему уравнений
(30), системы уравнений связей (7) – (9), алгоритмы выбора дерева графа m -ой подсхемы, состав-
ления и преобразования топологических матриц сечений mF и контуров t
mF и алгоритм проверки
на корректность составленной системы уравнений (30).
Внутренние переменные напряжения mдGU ЛЛ компонент подсхемы определяются из системы
уравнений (30) следующим образом:
mmдG
mхJ
mдE
mдE
mдGmхJmдGmдEmдGmдEmдGmдG fG
I
U
U
FGGGU
p
p
11 . (33)
В этом случае функциональные зависимости (29) ЛЛ компонент эквивалентной схемы m -ой
подсхемы будут иметь вид:
,,...n,, pf GI GUGUGI mmmfmдEmхJmхJmдEmдEmдEmдEmдEmдEmдEmдE ppppppp
21 (34)
где
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 64
)))),G(GF(-(FG)G(-G(GFG
pppppp mдGmдEmдG
t
mxGmдG
t
mxGmдEmxGmxGmдGmдEmдGmxGmдGmxGmдEmдEmдE
11
)))),G(-GF(F(G)G(-G(GFG mдGmдEmдG
t
mxGmдG
t
mxGmдEmxGmxGmдGmдEmдGmxGmдGmxGmдEmдEmдE pp
11
,F)))G)(G(F(G)F(-G(GFG mхJmдEmдGmхJmдG
t
mxGmдGmxGmxGmдGmхJmдGmxGmдGmxGmдEmхJmдE ppp
11
)))(G(F(G)(G(GFG mдG
t
mxGmдGmxGmxGmдGmxGmдGmxGmдEmfmдE pp
11 .
Как следует из (34), компоненты эквивалентной схемы m -ой подсхемы есть напряжение-
управляемые и напряжениезависимые, токи компонент зависят только от напряжений
pmEU , при-
ложенных к полюсам подсхемы. Тип компонент определяют напряжения, входящие в функцио-
нальную зависимость. Следующим этапом есть составление математического описания электриче-
ской цепи, в которой подсхемы заменены эквивалентными схемами.
3.4. Математическая модель ЛЛ электрической цепи, расщепленной на подсхемы
Будем считать ЛЛ электрическую цепь, в которой подсхемы заменены эквивалентными схемами,
ЛЛ эквивалентной схемой замещения. В этом случае в ЛЛ эквивалентную схему замещения будут
входить ЛЛ двухполюсные компоненты, которые не включены в подсхемы, и компоненты эквива-
лентных схем, заменяющих ЛЛ подсхемы. Составление математической модели ЛЛ эквивалентной
схемы замещения будет состоять из тех же этапов, что и составление математической модели
эквивалентной схемы замещения нелинейной электрической цепи.
В случае линеаризованной нелинейной электрической цепи проводимости компонент, кото-
рые не входят в подсхемы, определяются по формуле (27) и имеют следующий вид:
.
,
xcGxcGxcGдcGxcGдcGхcG
xcGдcGxcGдcGдcGдcGдcG
UGUGI
UGUGI
(35)
Проводимости дcGдcGG , дcGxcGG , xcGдcGG , xcGxcGG определяются и группируются таким же об-
разом, как и для компонент подсхем. Проводимости компонент эквивалентных схем подсхем
ppmдEmдEG группируются так же, как напряжения и токи компонент (20) эквивалентных схем подсхем,
являющихся частью эквивалентной схемы замещения. После группирования
ppmдEmдEG имеет сле-
дующий вид:
ppх
ppд
pp mдEEmд
mдEEmд
mдEmдE G
G
G . (36)
В этом случае, учитывая (36), компонентные уравнения (23), (24) двухполюсных компонент
эквивалентных схем подсхем будут записаны как
mmmfmдEmхJmхJmдEmдEmдEmдEmдEmдEEmддEs ,...n,p f GI GUGUGI
ppppppдpm
21, , (37)
mmmfmхEmхJmхJmхEmдEmдEmхEmхEmхEEmдхEs ,...n, pf GI GUGUGI
дppppppхpm
21, . (38)
Из анализа систем уравнений (12) – (18), (20) – (22) и компонентных уравнений (35) – (38)
следует, что в том случае, когда известны векторы напряжений
psдEдcGдcE ,U,UU и токов xcJI ком-
понент ЛЛ эквивалентной схемы замещения и векторы напряжений mдEU и токов mхJI компонент
ЛЛ подсхем, можно определить остальные токи и напряжения компонент эквивалентной схемы
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 65
замещения. Следует заметить, что в случае линеаризованной нелинейной электрической цепи
элемент вектора напряжения есть 0mдEU и тока есть 0mхJI компонент m -ой подсхемы, а в
случае линейной электрической цепи – 0mf . Учитывая (35) и (13), токи компонент cдGI , cxGI
системы уравнений (25) определяются через напряжения дcGU ,
psдEU . Учитывая (37), (38), (20) и
(21), токи компонент
psдEI , sxEI системы уравнений (25) определяются через напряжения
дcGU , sдEU
эквивалентной схемы замещения. В свою очередь, напряжения
pдcG sдEU , U можно оп-
ределить из решения СЛАУ (25).
Для контроля корректности составляемой системы уравнений ЛЛ эквивалентной схемы за-
мещения (25) применяется тот же алгоритм, что и для проверки на корректность составляемых
уравнений m -ой подсхемы. При этом вместо матричного уравнения (8) используется (25) в сле-
дующем виде:
)IFIFI(FI
)IFIFI(FI
хcJхcJsдEsxEsxEsдExcGхcGsдEsдE
хcJдcGхcJsхEдcGsхEхcGдcGхcGдcG
pppppp
pp . (39)
Учитывая (35) – (38), матричное уравнение (39) нетрудно преобразовать к виду (31) и про-
верить на корректность систему уравнений (25).
Таким образом, система уравнений (25), описывающая ЛЛ эквивалентную схему замеще-
ния, содержит следующие типы переменных:
1. Напряжения компонент дcGU , не входящих в эквивалентные схемы ЛЛ подсхем, но вхо-
дящих в ветви дерева графа эквивалентной схемы замещения.
2. Напряжения компонент
psдEU эквивалентных схем ЛЛ подсхем, входящих в ветви дерева
графа эквивалентной схемы замещения.
Из вышерассмотренного следует, что в математическую модель ЛЛ эквивалентной схемы
замещения входят система уравнений (25), системы уравнений связи (12) – (18), (20) – (22), компо-
нентные уравнения (35) – (38), алгоритм проверки на корректность составленной системы уравне-
ний (25) и алгоритмы выбора дерева, составления и преобразования топологических матриц сече-
ний F и контуров tF графа эквивалентной схемы замещения.
В свою очередь, математическая модель ЛЛ электрической цепи, расщепленной на под-
схемы, включает:
• математическую модель ЛЛ эквивалентной схемы замещения;
• N математических моделей ЛЛ подсхем;
• алгоритмы проверки на корректность математической модели ЛЛ эквивалентной схемы
замещения и математических моделей ЛЛ подсхем;
• алгоритм выбора дерева графа подсхемы и дерева графа эквивалентной схемы замеще-
ния;
• алгоритм составления и преобразования топологических матриц сечений mF и контуров
t
mF m -ой подсхемы и топологических матриц контуров tF и сечений F эквивалентной схемы
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 66
замещения.
Переменные математической модели имеют следующие области существования:
• напряжения компонент дcGU – математическая модель эквивалентной схемы замещения;
• напряжения компонент
psдEU
– математическая модель эквивалентной схемы замещения
и N математических моделей подсхем;
• напряжения компонент mдGU – математическая модель m -ой подсхемы, где ,...N,m 21 .
4. Обсуждение результатов
Практика показывает, что подавляющее большинство сложных систем как в природе, так и в техни-
ке, в том числе и электрические цепи, имеют иерархическую внутреннюю структуру. Предложенный
в данной работе метод позволяет создать иерархическую математическую модель нелинейной
электрической цепи, разделенной на подсхемы. Так как каждую подсхему можно разделить на под-
схемы и т.д. до самого нижнего "элементарного" уровня, причем выбор уровня, который следует
считать элементарным, остается за пользователем.
Анализ математической модели сложной нелинейной электрической цепи по частям позво-
ляет сделать следующие выводы. Вычислительная сложность практически не меняется при вычис-
лении как по математической модели нелинейной электрической цепи, разделенной на подсхемы,
так и при вычислении по математической модели нелинейной электрической цепи.
Повысить эффективность моделирования нелинейной электрической цепи по частям, с точ-
ки зрения вычислительных и временных затрат на моделирование, можно только за счет примене-
ния блочно-матричных методов решения СНАУ. Для увеличения скорости сходимости метода ре-
шения и тем самым уменьшения времени решения задачи итерационный шаг метода решения
будет содержать целый ряд дополнительных операций. Автоматическое выделение «плохих» бло-
ков уравнений (в данном случае в качестве блока выступает математическая модель подсхемы или
эквивалентной схемы замещения), которые обусловливают отсутствие сходимости всей системы
уравнений, нахождение начальных приближений для переменных «плохих» блоков уравнений,
решение «плохих» уравнений методом относительно своих переменных и операции одного шага
метода для оставшихся «хороших» уравнений исходной системы. Если не считать отдельных ра-
бот [12], в которых рассматриваются блочно-матричные методы решения СНАУ на уровне теоре-
тических исследований, то для практического применения этих методов требуются дополнитель-
ные исследования.
Расщепление ЛЛ электрической цепи на подсхемы можно рассматривать как один из вари-
антов структурной декомпозиции. Это означает, что вместо решения СЛАУ порядка N , которая
описывает ЛЛ электрическую цепь, решается m СЛАУ порядка m
N , описывающих подсхемы
электрической цепи, и СЛАУ порядка h , описывающей эквивалентную схему замещения. Это мож-
но интерпретировать как один из вариантов блочно-матричного метода решения СЛАУ. В данном
случае уменьшается не только вычислительная сложность, но и временная. Задача оценки эффек-
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 67
тивности такого подхода довольно подробно рассмотрена в литературе [13]. Как следует из лите-
ратуры, в этом случае вычислительная сложность будет порядка ).ho(m(N/m) 33
Расщепление сложной нелинейной электрической цепи на подсхемы следует рассматри-
вать, как распараллеливание математической модели нелинейной электрической цепи на этапе
подготовки задачи. При расщеплении цепи используются знание технической задачи и опыт поль-
зователя. Математические модели подсхем и эквивалентной схемы замещения следует рассмат-
ривать как отдельные вычислительные процессы. Связь между процессами происходит на уровне
обмена переменными после выполнения итерационного процесса. Эффективность алгоритма в
этом случае достигается за счет уменьшения времени решения задачи.
5. Заключение
В связи с тем, что моделирование – это неотъемлемая часть интеллектуальной деятельности че-
ловечества, достоверность результатов моделирования становится основным критерием оценки
результатов моделирования. Это требует новых подходов к разработке методов и алгоритмов опи-
сания сложных объектов и решения составленных описаний.
В данной работе на примере моделирования нелинейной электрической цепи с применени-
ем расщепления на подсхемы показано, что можно учесть требования корректной формулировки
задачи моделирования нелинейной электрической цепи на этапе составления математической
модели. Предложен механизм формирования эквивалентных схем подсхем. Показано, что коррект-
ная постановка задачи моделирования достигнута за счет целенаправленного выбора в качестве
независимых переменных системы уравнений, описывающей электрическую цепь, напряжений
компонент ветвей дерева графа как эквивалентной схемы подсхемы, так и эквивалентной схемы
замещения. В качестве критерия выбора переменных используются параметры функциональных
зависимостей компонент, т.е. при составлении системы уравнений, описывающих электрическую
цепь, учитываются конкретные особенности этой цепи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Волобоев В.П. Об одном подходе к моделированию сложных систем / В.П. Волобоев, В.П. Клименко //
Математичні машини і системи. – 2008. – № 4. – С. 111 – 122.
2. Волобоев В.П. Об одном подходе к моделированию энергосистем / В.П. Волобоев, В.П. Клименко //
Математичні машини і системи. – 2009. – № 4. – С. 106 – 118.
3. Крон Г. Исследование сложных систем по частям – диакоптика / Крон Г. – М.: Наука, 1972. – 542 с.
4. Хэпп Х. Диакоптика и электрические цепи / Хэпп. Х. – М.: Мир, 1974. – 344 с.
5. Шакиров М.А. Теоретические основы электротехники. Новые идеи и принципы. Схемоанализ и диакоптика /
Шакиров М.А. – СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2001. – 212 с.
6. Курганов С.А. Схемно-алгебраическое моделирование и расчет линейных электрических цепей: учебное
пособие / С.А. Курганов, В.В. Филаретов. – Ульяновск: Изд-во УлГТУ, 2005. – 320 с.
7. Пухов Г.Е. Избранные вопросы теории математических машин / Пухов Г.Е. – Киев: Изд-во Академии наук
УССР, 1964. – 264 с.
8. Неболюбов Е.Ю. Исследование и расчет трансформаторных мостов с дискретным уравновешиванием /
Неболюбов Е.Ю. – Фрунзе: Илим, 1970. – 119 с.
9. Бунь Р.А. Моделирование электрических цепей методом подсхем / Бунь Р.А., Васильев Е.Д., Семотюк В.Н. –
Киев: Наукова думка, 1991. – 172 с.
10. Волобоев В.П. Составление уравнений цепи, содержащей зависимые двухполюсники и многополюсники /
В.П. Волобоев // Вопросы проектирования математических машин и устройств. Научный совет по кибернетике
АН УССР. – Киев: ИК АН УССР, 1972. – С. 3 – 16.
9. Волобоев В.П. К учету сходимости численных методов при составлении уравнений цепи постоянного тока /
В.П. Волобоев // Вопросы проектирования математических машин и устройств. Научный совет по кибернетике
АН УССР. – Киев: ИК АН УССР, 1972. – С. 17 – 26.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 68
10. Волобоев В.П. О расширении класса схем, моделируемых методом напряжений ветвей дерева / В.П. Во-
лобоев // Проектирование технических средств ЭВМ и систем: сб. научн. тр. – Киев: Изд-во ИК АН УССР,
1982. – С. 32 – 36.
11. Hosoya M. The Straightforward Expansion of Helmholtz – Thevenin”s Theorem to Multi – Terminal Networks /
М. Hosoya // Bulletin of the Faculty of Science. University of Ryukyus. – 2001. – N 71. – Р. 39 – 45.
12. Годлевский В.С., Годлевский В.В. Блочный гибридный метод решения систем нелинейных конечных урав-
нений / В.С. Годлевский, В.В. Годлевский // Электронное моделирование. – 2003. – Т. 25, № 6. – С. 99 – 109.
13. Гергель В.П. Теория и практика параллельных вычислений [Электронный ресурс] / В.П. Гергель. – Режим
доступа: http://www.intuit.ru/department/calculate/paralltp/0/.
Стаття надійшла до редакції 27.04.2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-83294 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-9763 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:43:20Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Волобоев, В.П. Клименко, В.П. 2015-06-18T07:43:25Z 2015-06-18T07:43:25Z 2010 Об одном подходе к моделированию нелинейных электрических цепей по частям / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Мат. машини і системи. — 2010. — № 3. — С. 53-68. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83294 621.3.011.7 Предложено формализованную методику построения эквивалентной схемы нелинейной подсхемы и метод составления математической модели (ММ) нелинейной электрической цепи (НЭЦ), основанный на применении подсхем, учитывающий требования корректной формулировки задачи. Учет требований выполняется как на этапе составления ММ НЭЦ, так и в процессе решения полученной модели путем целенаправленного выбора переменных - напряжений компонент ветвей деревьев, покрывающих графы подсхем и НЭЦ, в которой подсхемы заменены эквивалентными схемами. Корректный выбор переменных выполняется при составлении топологических матриц контуров графов подсхем, НЭЦ и зависит от параметров компонент подсхем и НЭЦ. It is offered a formalized technique of construction of the equivalent scheme of a nonlinear subcircuit and a method of drawing up a mathematical model (MM) of a nonlinear electric circuit (NEC), based on application of the subcircuits, and considering requirements of the correct formulation of a problem. A consideration of requirements is carried out both at a stage of drawing up of the MM NEC and in the course of decision of the received model by a purposeful choice of variables, which are voltage of components of tree branches, covering the subcircuits graphs and NEC, in which the subcircuits are replaced by equivalent schemes. Correct choice of variables is carried out at drawing up of topological matrixes of contours of the graphs of the subcircuits and NEC, and depends on parameters of the components of the subcircuits and NEC. Запропоновано формалізовану методику побудови еквівалентної схеми нелінійної підсхеми і ме-
 тод складання математичної моделі (ММ) нелінійного електричного кола (НЕК), заснований на застосуван-
 ні підсхем, який враховує вимоги коректного формулювання задачі. Урахування вимог виконується як на
 етапі складання ММ НЕК, так і в процесі рішення отриманої моделі шляхом цілеспрямованого вибору змін-
 них – напруг компонент гілок дерев, що покривають графи підсхем і НЕК, у якій підсхеми замінені еквівале-
 нтними схемами. Коректний вибір змінних виконується при складанні топологічних матриць контурів гра-
 фів підсхем, НЕК і залежить від параметрів компонентів підсхем і НЕК.
 Ключові слова: нелінійне, лінійне (лінеаризоване) електричне коло, підсхема, еквівалентна схема, коректне
 формулювання задачі, напруги компонентів гілок дерева, яке покриває граф електричного кола, матема-
 тична модель, моделювання, система нелінійних рівнянь, модифікація методу Ньютона ru Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Математичні машини і системи Нові інформаційні і телекомунікаційні технології Об одном подходе к моделированию нелинейных электрических цепей по частям Про один підхід до моделювання нелінійних електричних кіл по частинах A modelling approach of nonlinear electric circuits by parts Article published earlier |
| spellingShingle | Об одном подходе к моделированию нелинейных электрических цепей по частям Волобоев, В.П. Клименко, В.П. Нові інформаційні і телекомунікаційні технології |
| title | Об одном подходе к моделированию нелинейных электрических цепей по частям |
| title_alt | Про один підхід до моделювання нелінійних електричних кіл по частинах A modelling approach of nonlinear electric circuits by parts |
| title_full | Об одном подходе к моделированию нелинейных электрических цепей по частям |
| title_fullStr | Об одном подходе к моделированию нелинейных электрических цепей по частям |
| title_full_unstemmed | Об одном подходе к моделированию нелинейных электрических цепей по частям |
| title_short | Об одном подходе к моделированию нелинейных электрических цепей по частям |
| title_sort | об одном подходе к моделированию нелинейных электрических цепей по частям |
| topic | Нові інформаційні і телекомунікаційні технології |
| topic_facet | Нові інформаційні і телекомунікаційні технології |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83294 |
| work_keys_str_mv | AT voloboevvp obodnompodhodekmodelirovaniûnelineinyhélektričeskihcepeipočastâm AT klimenkovp obodnompodhodekmodelirovaniûnelineinyhélektričeskihcepeipočastâm AT voloboevvp proodinpídhíddomodelûvannânelíníinihelektričnihkílpočastinah AT klimenkovp proodinpídhíddomodelûvannânelíníinihelektričnihkílpočastinah AT voloboevvp amodellingapproachofnonlinearelectriccircuitsbyparts AT klimenkovp amodellingapproachofnonlinearelectriccircuitsbyparts |