Метод исследования функционально-сложных систем с использованием вероятностно-алгебраического моделирования

Рассматривается метод исследования функционально-сложных систем с использованием вероятностно-алгебраического моделирования, позволяющего учесть вероятностный характер состояний компонентов систем и неопределённость отношений, задающих связи между этими компонентами....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автор:	Сукач, Е.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України 2010
Назва видання:	Математичні машини і системи
Теми:	Моделювання і управління великими системами
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83297
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Метод исследования функционально-сложных систем с использованием вероятностно-алгебраического моделирования / Е.И. Сукач // Мат. машини і системи. — 2010. — № 3. — С. 116 - 123. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-83297
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-832972025-02-09T13:37:30Z Метод исследования функционально-сложных систем с использованием вероятностно-алгебраического моделирования Метод дослідження функціонально-складних систем з використанням ймовірнісно-алгебраїчного моделювання Method of research of the functionally complex systems with usage of the probabilistic-algebraic modeling Сукач, Е.И. Моделювання і управління великими системами Рассматривается метод исследования функционально-сложных систем с использованием вероятностно-алгебраического моделирования, позволяющего учесть вероятностный характер состояний компонентов систем и неопределённость отношений, задающих связи между этими компонентами. Розглядається метод дослідження функціонально-складних систем з використанням ймовірнісно-алгебраїчного моделювання, що дозволяє врахувати ймовірнісний характер станів компонентів систем і невизначеність відносин, що задають зв'язки між цими компонентами. The method of research of the functionally complex systems is demonstrated with usage of the probabilistic-algebraic modeling, which makes it possible to take into account probabilistic character of states of systems components and uncertainty of the ratios, which set the links between these components. 2010 Article Метод исследования функционально-сложных систем с использованием вероятностно-алгебраического моделирования / Е.И. Сукач // Мат. машини і системи. — 2010. — № 3. — С. 116 - 123. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83297 007; 681.3 ru Математичні машини і системи application/pdf Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Моделювання і управління великими системами Моделювання і управління великими системами
spellingShingle	Моделювання і управління великими системами Моделювання і управління великими системами Сукач, Е.И. Метод исследования функционально-сложных систем с использованием вероятностно-алгебраического моделирования Математичні машини і системи
description	Рассматривается метод исследования функционально-сложных систем с использованием вероятностно-алгебраического моделирования, позволяющего учесть вероятностный характер состояний компонентов систем и неопределённость отношений, задающих связи между этими компонентами.
format	Article
author	Сукач, Е.И.
author_facet	Сукач, Е.И.
author_sort	Сукач, Е.И.
title	Метод исследования функционально-сложных систем с использованием вероятностно-алгебраического моделирования
title_short	Метод исследования функционально-сложных систем с использованием вероятностно-алгебраического моделирования
title_full	Метод исследования функционально-сложных систем с использованием вероятностно-алгебраического моделирования
title_fullStr	Метод исследования функционально-сложных систем с использованием вероятностно-алгебраического моделирования
title_full_unstemmed	Метод исследования функционально-сложных систем с использованием вероятностно-алгебраического моделирования
title_sort	метод исследования функционально-сложных систем с использованием вероятностно-алгебраического моделирования
publisher	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Моделювання і управління великими системами
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83297
citation_txt	Метод исследования функционально-сложных систем с использованием вероятностно-алгебраического моделирования / Е.И. Сукач // Мат. машини і системи. — 2010. — № 3. — С. 116 - 123. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
series	Математичні машини і системи
work_keys_str_mv	AT sukačei metodissledovaniâfunkcionalʹnosložnyhsistemsispolʹzovaniemveroâtnostnoalgebraičeskogomodelirovaniâ AT sukačei metoddoslídžennâfunkcíonalʹnoskladnihsistemzvikoristannâmjmovírnísnoalgebraíčnogomodelûvannâ AT sukačei methodofresearchofthefunctionallycomplexsystemswithusageoftheprobabilisticalgebraicmodeling
first_indexed	2025-11-26T07:54:32Z
last_indexed	2025-11-26T07:54:32Z
_version_	1849838727650607104
fulltext	116 © Сукач Е.И., 2010 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 УДК 007; 681.3 Е.И. СУКАЧ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-СЛОЖНЫХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ВЕРОЯТНОСТНО-АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Abstract. The method of research of the functionally complex systems is demonstrated with usage of the probabilis- tic-algebraic modeling, which makes it possible to take into account probabilistic character of states of systems com- ponents and uncertainty of the ratios, which set the links between these components. Key words: probabilistic-algebraic modeling, reliability of complex system, algebra, uncertainty of the data, uncer- tainty of operations. Аннотацiя. Розглядається метод дослідження функціонально-складних систем з використанням ймовірні- сно-алгебраїчного моделювання, що дозволяє врахувати ймовірнісний характер станів компонентів систем і невизначеність відносин, що задають зв'язки між цими компонентами. Ключові слова: ймовірнісно-алгебраїчне моделювання, надійність складної системи, алгебра, невизначе- ність даних, невизначеність операцій. Аннотация. Рассматривается метод исследования функционально-сложных систем с использованием вероятностно-алгебраического моделирования, позволяющего учесть вероятностный характер состоя- ний компонентов систем и неопределённость отношений, задающих связи между этими компонентами. Ключевые слова: вероятностно-алгебраическое моделирование, надёжность сложной системы, алгебра, неопределённость данных, неопределённость операций. 1. Введение Объектом исследования являются сложные системы (СС), которые представляют собой совокуп- ность изменяющихся компонентов, взаимосвязанных между собой и рассматриваемых как единое целое. Связи между компонентами системы зависят от решаемой задачи и отличают СС от просто- го набора частей. Исследование характеристик таких систем возможно с использованием методов имитаци- онного моделирования, которые требуют проведения многочисленных имитационных эксперимен- тов с последующим усреднением полученных результатов [1]. Имитационные модели позволяют выявить некоторые закономерности функционирования СС и оценить в динамике изменение их ве- роятностных характеристик, однако обновление параметров моделирования требует проведения очередной серии экспериментов, что замедляет процесс исследования СС и не позволяет соста- вить общую картину динамического поведения СС. Естественным подходом, эффективно применяемым при исследовании СС, является ис- пользование логико-вероятностных методов. Классический логико-вероятностный метод предна- значен для исследования характеристик надёжности структурно-сложных систем (ССС), которые при описании не сводятся к последовательным, параллельным и древовидным структурам [2]. При этом структура системы описывается средствами математической логики, а количественная оценка ее надежности производится с помощью теории вероятностей. Известен ряд модификаций и рас- ширений возможностей этого метода, целью которых является решение задач надёжности в раз- личных проблемных областях [3]. Ограничением этих методов является: − рассмотрение двух состояний компонентов системы; − использование строго определённого множества операторов для определения связей между компонентами системы; ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 117 − предположение о независимости состояний компонентов от изменений, происходящих с остальными компонентами и всей системой в целом во времени. Поэтому актуальна разработка метода вероятностно-алгебраического моделирования (ВАЛМ) сложных систем, позволяющего учесть вероятностный характер состояний компонентов СС и неопределённость операций, задающих взаимосвязи между этими компонентами. Рассмотрение совокупности операторов, определяющих отношения между компонентами системы, позволяет провести исследование функционально-сложных систем, то есть таких, у которых поведение сис- темы определяется наличием функциональных связей между её компонентами, вероятностно из- меняющими своё состояние во времени. В статье даётся формальное описание метода ВАЛМ функционально-сложных систем, по- зволяющего решать следующие задачи: − получать изменяющиеся во времени вероятностные характеристики рассматриваемых состояний моделируемой системы, которые могут соответствовать как процессу разрушения, так и процессу развития систем из различных проблемных областей; − определять вероятностные характеристики системы в зависимости от изменения вероят- ностных характеристик составляющих её компонентов; − определять вероятностные характеристики одного из элементов системы по известным вероятностным характеристикам остальных компонентов и всей системы; − выявлять зависимые вероятностные характеристики отдельных компонентов и опреде- лять степень их влияния на вероятностные характеристики всей системы; − определять структуру модели системы, оптимально описывающую имеющиеся экспери- ментальные данные. В статье приводятся результаты применения метода ВАЛМ для оценки в символьном виде вероятностных характеристик функционально-сложной системы по параметрически заданным век- торам вероятностей состояний её элементарных компонентов. 2. Формальное описание метода вероятностно-алгебраического моделирования При ВАЛМ функционально-сложная система представляется в виде множества устройств { } miYY i ,1, == , соответствующих элементарным компонентам исследуемой системы. Устройства iY считаются независимыми и описываются однотипным образом − n -мерным вектором, опреде- ляющим их возможные состояния, которые задаются множеством { } njSS j ,1, == . Каждое из со- стояний jS характеризуется совокупностью значений параметров компонентов исследуемой сис- темы. Нахождение устройств в каждом состоянии носит вероятностный характер. Вероятности на- хождения устройств iY в каждом из состояний определяются векторами .1),,...,,( 1 21 == ∑ = n j i j i n iii ppppP Взаимосвязи между устройствами модели задаются операциями, определяющими компо- зиции устройств iY . Будем говорить, что устройство 3Y является композицией устройств 1Y и 2Y , ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 118 213 YYY ∗= , если задано отображение F , однозначно определяющее состояние kS устройства 3Y по состояниям iS и jS исходных устройств 1Y и 2Y , где ),( jiFk = . При этом отображение F однозначно определяет вероятности состояний результирующего устройства по вероятностям со- стояний исходных устройств: ∑ = ⋅= ),( 213 jiFk jik PPP . (1) Операция (), определённая на множестве векторов { }iPP = , порождает алгебру ∗A , то есть для любых 1P и 2P выполняется 213 PPP = и для операции * справедливы свойства ди- стрибутивности: 3121321 *)( PPPPPPP ⋅+⋅=⋅+⋅ βαβα , ,**)( 1312132 PPPPPPP ⋅+⋅=⋅+⋅ βαβα где α и β − вещественные числа, nRPPP ∈321 ,, . Алгебра задаётся структурными коэффициентами ijka , такими, что: kji ,,∀ 0≥ijka и 1 1 =∑ = n k ijka . (2) При этом элементы вектора 3P вычисляются по формуле ∑∑ = = = n j n i jiijkk ppap 1 1 213 , (3) где nkji ,1,, = . В том случае, если состояния компонентов детерминированы, они описываются векторами ),0,...,0,1(1 =σ ),0,...,1,0(2 =σ ),1,...,0,0(=nσ которые являются базисными элементами про- странства nR (и алгебры). В простейшем случае произведение базисных векторов kji σσσ = есть базисный вектор, где ),( jiFk = . При этом операция, порождающая алгебру, является де- терминированной и задаётся функцией ),( jiF . Структурные коэффициенты такой алгебры опре- деляются следующим образом: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = еслиa еслиa ijk ijk ,0 ,1 ),( ),( jiFk jiFk ≠ = . (4) Алгебра ∗A , порождённая детерминированной операцией , имеет следующие свойства. Свойство 1. Если функция F коммутативна, то алгебра ∗A является коммутативной, то есть для любых двух её элементов 1P и 2P выполняется 1221 * PPPP = . Свойство 2. Если функция F ассоциативна, то алгебра ∗A является ассоциативной, то есть для любых трёх её элементов 1P , 2P и 3P выполняется 321321 )()( PPPPPP = . ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 119 Свойство 3. Если компоненты векторов 1P и 2P являются положительными и нормиро- ванными, то и вектор 213 * PPP = также обладает этими свойствами, то есть: nk ,1=∀ 03 ≥kp и 1 1 3 =∑ = n k kp . Свойство 4. Если состояния исходных устройств являются детерминированными, то и со- стояние результирующего устройства является детерминированным. Для недетерминированной операции * структурные коэффициенты алгебры являются про- извольными положительными величинами, сумма которых равна 1, и умножению базисных векто- ров будет соответствовать некоторый вектор nk RP ∈ , то есть kji P=σσ * . На практике это соответствует случаю, когда детерминированные состояния элементарных устройств приводят к недетерминированному состоянию результирующего устройства. При этом структурные коэффициенты алгебры определяют вероятности перехода результирующего устрой- ства в каждое из состояний в зависимости от состояний исходных устройств и задаются на основе экспериментальных данных. Таким образом, при вероятностно-алгебраическом моделировании исследуемая функцио- нально-сложная система представляется композицией Z устройств iY , то есть mYYYZ ...* 21= , её состояние однозначно определяется состоянием устройств, участвующих в композиции, и вероятность нахождения системы в каждом из состояний может быть вычислена с учётом введённых операций. Пусть tSZ – состояние исследуемой системы в момент времени t , а 121 ,...,, −tSZSZSZ – состояния моделируемой системы в моменты времени 1,...,1 −t . Тогда ),...,,( 121 −= tt SZSZSZRSZ , где R – совокупность управляющих правил, описывающих динамику модели системы. Правила, представленные в предикатной форме, управляют процессом измене- ния модели во времени и на каждом шаге моделирования определяют: – изменение состава и последовательности операций между устройствами модели в зави- симости от текущего состояния моделируемой системы; – изменение состояний одних устройств модели зависимости от состояний других; – однотипные и тождественные устройства модели. Процесс ВАЛМ реализуется итерационно путём проведения компьютерных аналитических расчётов на каждом шаге моделирования, однозначно определяющих вероятности состояний сис- темы по вероятностям исходных устройств. Метод позволяет проводить расчёты с целью оптими- зации и поиска экстремальных (критических) значений состояний системы, а также решать прямые и обратные задачи. А именно, для построенной вероятностно-алгебраической модели и заданных правил функционирования модели возможно получение динамически изменяющихся векторов ве- роятностей возможных состояний системы (прямая задача). В том случае, если исследуются усло- вия, приводящие к возникновению определённых (критических) состояний системы, решается об- ратная задача. ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 120 3. Примеры операций, определяющих связи между компонентами СС Состав операций, задающих композицию устройств исследуемой системы, определяется с учётом особенностей решаемой задачи. Метод допускает использование детерминированных и недетер- минированных операций, а также бинарных и n -арных операций. Детерминированные операции задаются функциями F , примерами которых могут быть следующие: ),max(),( jijiF = (для операции ∧ ); ),min(),( jijiF = (для операции ∨ ); ),1min(),( njijiF −+= (для операции ⊕ ); jijiF −=),( (для операции Θ ). При этом операции конъюнкции ( )∧ и дизъюнкции ( )∨ имеют естественную интерпретацию при решении задач надёжности СС. Операция ∧ описывает связь между последовательно соеди- нёнными компонентами, а операция ∨ − связь между параллельно соединёнными компонентами. В случае рассмотрения систем с двумя состояниями (1 и 0) они используются методом логико- вероятностного моделирования [2]. При использовании указанных операций ВАЛМ в задачах надёжности СС они приобретают следующую смысловую окраску. Функция ),max(),( jijiF = задаёт операцию ∧ и позволяет определить структурные ко- эффициенты алгебры ∧A . Отказ результирующего устройства, представленного композицией устройств 21 YY ∧ , определяется отказом одного из них, и его состояние определяется состоянием наименее надёжного устройства. Вектор )1,...,0,0(=nσ (устройство находится в состоянии n , то есть произошёл отказ) является нулём алгебры ∧A , так как njn P σσ =∧ для любого iP . Вектор )0,...,0,1(1 =σ (устройство находится в состоянии 1, то есть полностью исправно) является едини- цей алгебры ∧A , поскольку jj PP =∧1σ для любого iP . Функция ),min(),( jijiF = задаёт операцию ∨ и позволяет определить структурные ко- эффициенты алгебры ∨A . В этом случае отказ результирующего устройства, представленного композицией устройств 21 YY ∨ , происходит в результате отказа двух устройств и его состояние определяется состоянием наиболее надёжного устройства. Для этой алгебры единицей является вектор )1,...,0,0(=nσ , а нулём )0,...,0,1(1 =σ . Функция ),1min(),( njijiF −+= задаёт операцию ⊕ и определяет структурные коэффи- циенты алгебры ⊕A . При этом состояние результирующего устройства определяется путём сум- мирования состояний исходных устройств. В задачах надёжности СС эта операция может быть ис- пользована для оценки некоторого уровня накопления повреждений взаимодействующих компо- нентов, а в задачах исследования вероятностных характеристик развивающейся системы − для оценки уровня завершённости формирования качественных характеристик. Функция jijiF −=),( задаёт операцию Θ и определяет структурные коэффициенты ал- гебры ΘA . Состояние результирующего устройства определяется разностью состояний исходных ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 121 устройств. При решении задач надёжности она позволяет учесть разницу между состояниями ра- ботоспособности компонентов исследуемой системы. В силу введённых операций, алгебры ∧A и ∨A являются коммутативными и ассоциатив- ными. Алгебра ⊕A является коммутативной, но не является ассоциативной, поскольку функция ),1min(),( njijiF −+= , определяющая структурные коэффициенты алгебры, коммутативна, но не ассоциативна. Примером алгебры, порождённой недетерминированной операцией, является алгебра, по- лученная с использованием описанных выше алгебр ∧A и ∨A . Её структурные коэффициенты могут быть сформированы, например, следующим образом: kji ,,∀ )(5,0 ∨∧ += ijkijkijk aaa , где ∧ ijka и ∨ ijka – структурные элементы соответственно алгебр ∧A и ∨A . При решении практических задач часто встречаются ситуации, когда уместно использова- ние композиции n устройств, порождающей соответствующую n -арную алгебру. Например, в слу- чае необходимости учёта вероятностных характеристик трех устройств формируются структурные коэффициенты алгебры k ijma , а элементы результирующего вектора вероятностей вычисляются по формуле kmljipppap mji n j n l n m k ijmk ,,,,321 1 1 1 4 ∀= ∑∑∑ = = = . (5) При этом для формирования структурных коэффициентов алгебры в частном случае может быть использована следующая функция: ]2/)),,min([(),,(3/2 ljiljiljiF −++= . В этом случае результирующее устройство находится в рабочем состоянии, если работают как минимум два уст- ройства из трёх, и его состояние определяется средним значением двух устройств с максимальны- ми состояниями. Таким образом, вероятностно-алгебраическое моделирование функционально-сложных систем предполагает использование ряда операций, позволяющих формализовать взаимосвязи между компонентами системы и получить вероятностное описание характеристик всей системы на основе вероятностных характеристик её компонентов. При этом поддерживается концепция иерар- хического многоуровневого моделирования, позволяющая реализовать несколько иерархических уровней представления системы, что обеспечивает как упрощённое, так и детальное описание её функционирования. 4. Пример определения вероятностных характеристик функционально-сложной системы в символьном виде Метод ВАЛМ позволяет сделать оценку вероятностных характеристик исследуемой системы в сим- вольном виде по параметрически заданным векторам составляющих её компонентов. В качестве примера рассмотрим систему, схема которой представлена на рис. 1. Связи ме- жду компонентами этой системы описываются тремя операциями: операцией∨ , операцией ∧ и ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 122 тернарной операцией ⊗ , взаимодействие между компонентами которой определяется функцией 3/2F . Соответственно введённым операциям ве- роятностно-алгебраическая модель такой системы будет иметь вид )),(),,,(( 54321 YYYYY ∧⊗∨ . Предположим, что устройства 54321 ,,,, YYYYY описываются однотипным образом и характеризуются множеством состояний },...,,{ 2021 SSS , вероятности которых определя- ются соответственно векторами 54321 ,,,, PPPPP . Значения векторов вероятностей состояний изменяются во времени и задаются в символьном виде выражением ''')1( PtPt ⋅+⋅− , где nRPP ∈''' , и 1 20 1 ' =∑ =j jp , 1 20 1 '' =∑ =j jp , [ ]1,0∈t . В качестве исходных векторов выражения выбираются следующие: )0,...,0,1('=P и ) 20 1,..., 20 1, 20 1('' =P . В процессе вероятностно-алгебраического моделирования, позволяющего единым образом описать связи между компонентами и использующего методы компьютерной алгебры для проведе- ния символьных вычислений, был сформирован параметрический вектор вероятностей состояний системы t sistP , характеризующих изменение состояний системы во времени. Его математическое ожидание в полиномиальной форме имеет следующий вид: 12205,011449,032371,051166,0)( 2345 +⋅+⋅−−⋅−+⋅−−= ttetetetM . На рис. 2 показаны изменения во времени сред- него значения и среднего квадратичного отклонения со- стояния исследуемой системы. Максимальное значение среднего квадратичного отклонения 4,6075 достигается при =t 0,6755. Применение ВАЛМ для получения вероятност- ных характеристик функционально-сложных систем в символьном виде оправдано возможностью многочис- ленных обобщений и модификаций, а также возможно- стью использования в различных проблемных областях. 5. Заключение Предложенный метод вероятностно-алгебраического моделирования оперирует над вероятност- ными состояниями компонентов. Для их композиции используются произвольные функции: детер- минированные/вероятностные, бинарные/n -арные, позволяющие отразить при исследовании свя- зи между компонентами, образующими систему. Метод имеет алгебраическую основу, позволяю- Y3 Y2 Y1 F2/3 Y4 Y5 Fmx Рис. 1. Схема вероятностно-алгебраической модели функционально-сложной системы Рис. 2. Изменение во времени сред- него значения m и среднеквадра- тичного отклонения σ состояния исследуемой системы m σ ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 123 щую единым образом описать связи между компонентами. Данный подход позволяет использовать методы компьютерной алгебры для проведения символьных вычислений. Практическое примене- ние метода в различных проблемных областях позволит оценить изменение вероятностных харак- теристик системы во времени с учётом управляющих воздействий на каждом шаге моделирования. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Максимей И.В. Имитационное моделирование на ЭВМ / Максимей И.В. – Москва: Радио и связь, 1983. – 232 с. 2. Рябинин И.А. Надежность и безопасность сложных систем / Рябинин И.А. – СПб.: Политехника, 2000. – 248 с. 3. Можаев А.С. Программный комплекс автоматизированного структурно-логического моделирования сложных систем (ПК АСМ 2001) / А.С. Можаев // Труды Международной научной школы "Моделирование и анализ безо- пасности, риска и качества в сложных системах" (МА БРК-2001). – СПб.: Издательство ООО "НПО "Омега", 2001. – С. 56 – 61. Стаття надійшла до редакції 06.10.2009

Метод исследования функционально-сложных систем с использованием вероятностно-алгебраического моделирования

Репозитарії

Схожі ресурси