Оценивание параметров уравнения регрессии по нечетким исходным данным

Оценивание параметров уравнения регрессии по нечетким исходным данным

Рассмотрена технология оценивания параметров уравнения регрессии для случая, когда исходные данные - нечеткие числа с известными функциями принадлежности. Предложен метод расчета четких значений искомых оценок, основанный на отыскании четкого решения нечеткой системы линейных алгебраических уравнени...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Математичні машини і системи
Date:2011
Main Authors: Серая, О.В., Каткова, Т.И.
Format: Article
Language:Russian
Published: Інститут проблем математичних машин і систем НАН України 2011
Subjects:
Моделювання і управління великими системами
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83403
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Оценивание параметров уравнения регрессии по нечетким исходным данным / О.В. Серая, Т.И. Каткова // Мат. машини і системи. — 2011. — № 1. — С. 135-140. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-83403
record_format dspace
spelling Серая, О.В.
Каткова, Т.И.
2015-06-19T12:09:35Z
2015-06-19T12:09:35Z
2011
Оценивание параметров уравнения регрессии по нечетким исходным данным / О.В. Серая, Т.И. Каткова // Мат. машини і системи. — 2011. — № 1. — С. 135-140. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
1028-9763
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83403
519.85
Рассмотрена технология оценивания параметров уравнения регрессии для случая, когда исходные данные - нечеткие числа с известными функциями принадлежности. Предложен метод расчета четких значений искомых оценок, основанный на отыскании четкого решения нечеткой системы линейных алгебраических уравнений.
Розглянуто технологію оцінювання параметрів рівняння регресії для випадку, коли вихідні дані - нечіткі числа з відомими функціями приналежності. Запропоновано метод розрахунку чітких значень шуканих оцінок, заснований на відшуканні чіткого рішення нечіткої системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
A technology of the regress equation parameters estimation where initial data represents indistinct numbers with known accessory functions is considered. A method of calculation of accurate values of the required estimates, based on the search of accurate solution for indistinct system of linear algebraic equations, is offered.
ru
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
Математичні машини і системи
Моделювання і управління великими системами
Оценивание параметров уравнения регрессии по нечетким исходным данным
Оцінювання параметрів рівняння регресії за нечіткими вихідними даними
Estimation of parametres of the equation of regress under the indistinct initial data
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Оценивание параметров уравнения регрессии по нечетким исходным данным
spellingShingle Оценивание параметров уравнения регрессии по нечетким исходным данным
Серая, О.В.
Каткова, Т.И.
Моделювання і управління великими системами
title_short Оценивание параметров уравнения регрессии по нечетким исходным данным
title_full Оценивание параметров уравнения регрессии по нечетким исходным данным
title_fullStr Оценивание параметров уравнения регрессии по нечетким исходным данным
title_full_unstemmed Оценивание параметров уравнения регрессии по нечетким исходным данным
title_sort оценивание параметров уравнения регрессии по нечетким исходным данным
author Серая, О.В.
Каткова, Т.И.
author_facet Серая, О.В.
Каткова, Т.И.
topic Моделювання і управління великими системами
topic_facet Моделювання і управління великими системами
publishDate 2011
language Russian
container_title Математичні машини і системи
publisher Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
format Article
title_alt Оцінювання параметрів рівняння регресії за нечіткими вихідними даними
Estimation of parametres of the equation of regress under the indistinct initial data
description Рассмотрена технология оценивания параметров уравнения регрессии для случая, когда исходные данные - нечеткие числа с известными функциями принадлежности. Предложен метод расчета четких значений искомых оценок, основанный на отыскании четкого решения нечеткой системы линейных алгебраических уравнений. Розглянуто технологію оцінювання параметрів рівняння регресії для випадку, коли вихідні дані - нечіткі числа з відомими функціями приналежності. Запропоновано метод розрахунку чітких значень шуканих оцінок, заснований на відшуканні чіткого рішення нечіткої системи лінійних алгебраїчних рівнянь. A technology of the regress equation parameters estimation where initial data represents indistinct numbers with known accessory functions is considered. A method of calculation of accurate values of the required estimates, based on the search of accurate solution for indistinct system of linear algebraic equations, is offered.
issn 1028-9763
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83403
citation_txt Оценивание параметров уравнения регрессии по нечетким исходным данным / О.В. Серая, Т.И. Каткова // Мат. машини і системи. — 2011. — № 1. — С. 135-140. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT seraâov ocenivanieparametrovuravneniâregressiiponečetkimishodnymdannym
AT katkovati ocenivanieparametrovuravneniâregressiiponečetkimishodnymdannym
AT seraâov ocínûvannâparametrívrívnânnâregresíízanečítkimivihídnimidanimi
AT katkovati ocínûvannâparametrívrívnânnâregresíízanečítkimivihídnimidanimi
AT seraâov estimationofparametresoftheequationofregressundertheindistinctinitialdata
AT katkovati estimationofparametresoftheequationofregressundertheindistinctinitialdata
first_indexed 2025-11-24T05:53:49Z
last_indexed 2025-11-24T05:53:49Z
_version_ 1850841198360526848
fulltext © Серая О.В., Каткова Т.И., 2011 135 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 1 УДК 519.85 О.В. СЕРАЯ, Т.И. КАТКОВА ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ ПО НЕЧЕТКИМ ИСХОДНЫМ ДАННЫМ Анотація. Розглянуто технологію оцінювання параметрів рівняння регресії для випадку, коли ви- хідні дані – нечіткі числа з відомими функціями приналежності. Запропоновано метод розрахунку чітких значень шуканих оцінок, заснований на відшуканні чіткого рішення нечіткої системи ліній- них алгебраїчних рівнянь. Ключові слова: рівняння регресії, оцінювання параметрів, поліном, нечіткі числа, функція прина- лежності, система лінійних алгебраїчних рівнянь, критерій, оптимізація. Аннотация. Рассмотрена технология оценивания параметров уравнения регрессии для случая, когда исходные данные – нечеткие числа с известными функциями принадлежности. Предложен метод расчета четких значений искомых оценок, основанный на отыскании четкого решения не- четкой системы линейных алгебраических уравнений. Ключевые слова: уравнение регрессии, оценивание параметров, полином, нечеткие числа, функция принадлежности,система линейных алгебраических уравнений, критерий, оптимизация. Abstract. A technology of the regress equation parameters estimation where initial data represents indis- tinct numbers with known accessory functions is considered. A method of calculation of accurate values of the required estimates, based on the search of accurate solution for indistinct system of linear algebraic equations, is offered. Key words: the regress equation, estimation of parametres, polynom, indistinct numbers, accessory func- tion, system of the linear algebraic equations, criterion, optimisation. 1. Введение Разнообразные технологии описания поведения технических, экономических, социальных и других систем, а также проблемы оценки их эффективности сводятся к однотипной ма- тематической задаче: найти аналитическое соотношение, связывающее численные значе- ния наборов факторов, определяющих условия и режим функционирования системы, со значением некоторым образом выбранного результирующего показателя этой системы. По многим причинам такое соотношение, обычно называемое функцией отклика, удобно вы- брать в форме так называемого полинома Колмогорова-Габора [1]: ( ) nnnnnn xxaxxaxaxaxaaXy 1,1211222110 −−+++++++= KK , (1) где jx – значение j -го фактора, nj ,...,2,1= ; y – результирующий показатель. Здесь максимальная учитываемая степень взаимодействия факторов равна двум. Если для оценивания параметров полинома (1) используются результаты N экспе- риментов, то наилучший в смысле наименьших квадратов вектор ( )nnn T aaaaaaA ,112210 −= KK определяется по формуле ( ) YHHHA TT 1−= ,               = − − − NnnNNNNnNN nnn nnn xxxxxxx xxxxxxx xxxxxxx H 1,2121 21,2222122221 11,1121111211 1 1 1 KK KKKKKKKK KK KK ,               = Ny y y Y K 2 1 . (2) 136 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 1 Здесь ijx – значение j -го фактора в i -м эксперименте; iy – значение результирующего показателя в i -м эксперименте. Этот стандартный подход усложняется, если значения результирующего показателя в каждом опыте оцениваются нечетко [2]. При этом, естественно, и оценки параметров уравнения регрессии будут нечеткими числами. Пусть заданы функции принадлежности ( )ii yµ , Ni ,...,2,1= результатов измерений. Введем матрицу ( ) ( ) TT pi HHHrR 1−== , NKR ×=dim , ( ) 2/11 −++= nnnK . Тогда, в соответствии с (2),      == ∑ = N i ipi yrRYA 1 , Kp ,...,2,1= . Теперь, используя правила выполнения операций над нечеткими числами [3,4], лег- ко получить функции принадлежности компонентов вектора A . Пусть, например, ( ) ( )       σ −−=µ 22 exp i ii ii yy y , Ni ,...,2,1= . Тогда ( ) ( )         − −=µ p pp pp D aa a 2 exp , K,...,,p 21= , ∑ = = N i ipip yra 1 , ∑ = σ= N i piip rD 1 22 . Гораздо более сложной становится задача, если не только результаты, но и условия проведения экспериментов, то есть значения факторов в каждом опыте, также нечеткие числа. Поставим задачу оценивания параметров уравнения регрессии (1) в этом случае бо- лее полной неопределенности. 2. Постановка задачи Введем функции принадлежности ( )ijij xµ значений факторов в каждом из опытов: N,...,,i 21= , n,...,,j 21= . При этом будем считать, что уровень неопределенности значений для каждого из факторов определяется характером этого фактора и механизмом оценива- ния его значений. Поэтому функции принадлежности нечетких значений одного и того же фактора в разных экспериментах отличаются только модами. Это же допущение примем и в отношении функций принадлежности значений результирующего показателя. С учетом (1) результатам N проведенных экспериментов соответствуют соотношения 1,11,1,112111211221110 yxxaxxaxaxaxaa nnnnnn =+++++++ −−KK , ………………………………………………………………. (3) NnNnNnnNNNnnNN yxxaxxaxaxaxaa =+++++++ −− ,1,,1211222110 KK . В этих соотношениях слева и справа находятся нечеткие числа и их равенство по- нимается в смысле равенства их функций принадлежности. Таким образом, задача оцени- вания параметров уравнения регрессии в случае, когда значения факторов и результаты экспериментов определены нечетко, сведена к отысканию наилучшего, в каком-либо есте- ственном смысле, решения системы уравнений (3) с нечеткими параметрами. Рассмотрим возможный метод решения этой задачи. ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 1 137 3. Основные результаты Пусть нечеткие значения ijx и ijy системы (3) имеют соответствующие функции принад- лежности: ( ) ( )         σ − −=µ 22 exp j ijij ijij xx x , Ni ,...,2,1= , nj ,...,2,1= , ( ) ( )         σ −−=µ 22 exp y ii ii yy y . (4) Введем нечеткие числа inininniiinniii yxxaxxaxaxaxaaz −+++++++= −− ,1,,1211222110 KK (5) и запишем их функции принадлежности: ( ) ( ) ( )       −−=       −++µ=µ ∑ ∑∑ − = >= i ii i n j jj ijijjj n j ijji zD zz yxxaxaaz 2 exp 21 11 0 1 12 2121 , i n j jj ijijjj n j ijji yxxaxaaz −++= ∑ ∑∑ − = >= 1 11 0 1 12 2121 , ( ) 2 1 1 222 1 22 1 12 2121 y n j jj ijijjj n j jji aazD σ+σσ+σ= ∑∑∑ − = >= , Ni ,...,2,1= . Теперь решим четкую систему линейных алгебраических уравнений, порождаемую системой (3) в случае, если нечеткие числа ijx заменить их модальными значениями. Так как в традиционной постановке задачи оценивания параметров уравнения регрессии число экспериментов превышает число оцениваемых параметров, то получаемая система переоп- ределена. Решение таких систем отыскивается методом наименьших квадратов. При этом вектор A параметров уравнения регрессии определяется соотношением ( ) YHHHA TT 1−= , (6) где матрица H по структуре совпадает с матрицей H , в которой нечеткие числа ijx заме- нены их модальными значениями ijx , а ( )N T yyyY K21= . Рассмотрим общий подход к выбору четкого решения исходной нечеткой задачи. К этому решению естественно предъявить следующие требования. Во-первых, оно не долж- но слишком сильно отличаться от модального решения A , получаемого при замене нечет- ких параметров задачи их модальными значениями. Во-вторых, функции принадлежности нечетких чисел iz , вычисляемые при подстановке искомого решения в (5), должны быть как можно менее размытыми. При этом возможный вариант построения критериальной функции приводит к минимизации: ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∫ = ∞ ∞− −−+µ=Φ N j T ii AAAAdzzA 1 1 | . При этом, с учетом (6), ( ) ( ) ( ) ( )ii i ii ii zDdz zD zz dzz π=       −−=µ ∫∫ ∞ ∞− ∞ ∞− 2 2 exp 2 , ( ) ( ) ( )[ ]∑ ∑∑∑ = − = >= −−+        σ+σσ+σπ=Φ N j T y n j jj jjjj n j jj AAAAaaA 1 5.0 5.0 2 1 1 222 1 22 1 1 12 2121 2 . (7) 138 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 1 Смысл этого критерия понятен. Первая группа слагаемых характеризует уровень компактности функций принадлежности нечетких чисел Nzzz ,...,, 21 , соответствующих решению, а последнее – степень близости получаемого решения к модальному. Второй вариант построения критерия реализует чебышевское, минимаксное при- ближение в искомом «идеальном»решении. При этом ( ) ( ) ( )[ ] 5.0 5.0 2 1 1 222 1 22 2 1 12 2121 max2 AAAAaaA T y n j jj jjjj n j jj i −−+        σ+σσ+σπ=Φ ∑ ∑∑ − = >= . (8) Аналитическое выражение критериев (7) и (8) можно несколько упростить, введя одноиндексную нумерацию слагаемых в соотношении (1). С этой целью предварительно перепишем его следующим образом: ( ) =+++++++= −− nnnnnn xxaxxaxxaxxaxxaxxaXy 1,1211200200210010000 KK ∑∑ − = = = 1 0 01 2 2121 n j n j jjjj xxa , 10 ≡x . (9) Введем теперь индекс K,...,,,p 210= , определяющий номер слагаемого в (9), через значения 1j и 2j следующим образом: ( ) ( )         ++=−=−+− == == = ∑ − = .,...,2,1,1,...,2,1, ,,...,2,1,0, ,0,0,0 112121 1 0 212 21 1 njjjnjjjsn njjj jj p j s (10) Кроме того, зададим наборы      ++=−= == == = ,,...,2,1,1,...,2,1, ,,...,2,1,0, ,0,0, 1121 210 2100 21 2 njjjnjxx njjxx jjxx u jj jp       ++=−=σ ==σ == = .,...,2,1,1,...,2,1, ,,...,2,1,0, ,0,0,0 1121 4 21 2 21 njjjnj njj jj b p pp (11) Теперь, с учетом (10), (11), запишем выражения для уравнения регрессии (9) и кри- териев (7) и (8): ( ) ∑ = = K p ppuaxy 0 ( ) ( )∑ ∑∑ = ==         −+        σ+π=Φ N j K p ppy K p pp aabaA 1 5.0 0 2 5.0 2 0 2 1 2 , (12) ( ) ( ) 5.0 0 2 5.0 2 0 2 2 max2         −+        σ+π=Φ ∑∑ == K p ppy K p pp i aabaA . (13) ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 1 139 Искомый вектор A в обоих случаях отыскивается с использованием любого прямо- го метода численной минимизации (12) или (13). Таким образом, предложенный метод сводит исходную задачу оценивания парамет- ров уравнения регрессии в условиях нечетких исходных данных к обычной четкой задаче математического программирования. При этом понятно, что результат решения данной задачи – четкий набор параметров уравнения регрессии зависит от того, как выбран крите- рий качества четкого решения. Неоднозначность выбора делает целесообразным рассмот- рение иного подхода к этой задаче, позволяющего получить ортодоксальное нечеткое ее решение. С формальных позиций, технология решения состоит в следующем. Сначала ис- комые значения параметров уравнения регрессии (1) необходимо выразить через значения функции отклика iy и факторов ijx в соответствующих экспериментах, то есть получить соотношения ( ) ( )( )ijipp xyfa ,= , Ni ,...,2,1= , nj ,...,2,1= , Kp ,...,2,1= . (14) Далее с использованием правил выполнения операций над нечеткими числами для заданных функций принадлежности ( )ii yµ , ( )ijij xµ нечетких чисел ( ) ( )iji xy , непосредст- венно отыскиваются функции принадлежности параметров pa . К сожалению, реализация этой технологии ввиду нелинейности (14) для задач практической размерности затруднена. Приближенное решение задачи может быть получено следующим образом. Используем рассчитываемый в соответствии с (6) модальный набор A параметров уравнения регрессии. Построим теперь многошаговую процедуру, на каждом шаге кото- рой будем считать, что только одна какая-либо из компонентов задачи является нечеткой. Значения остальных компонентов положим равными модальным. Для ясности изложения вернемся к двухиндексной нумерации переменных. Пусть нечетким является конкретный, например, 0j -й фактор. Запишем систему уравнений (3), выделив элементы, содержащие неопределенность: +++++++++ KK 121112111221110 ... 00 xxaxaxaxaxaa nnjj 1,11,1,11,1,11,,11,1,1 ... 00000000 yxxaxxaxxa nnnnjjjjjjjj =++++ −−++−− , +++++++++ KK 222112222222110 ... 00 xxaxaxaxaxaa nnjj 2,21,2,11,2,21,,21,2,1 ... 00000000 yxxaxxaxxa nnnnjjjjjjjj =++++ −−++−− , (15) ………………………………………………………………. +++++++++ KK 211222110 ... 00 NNNnnNjjNN xxaxaxaxaxaa NnNnNnnjNjNjjjNjNjj yxxaxxaxxa =++++ −−++−− ,1,,11,,1,,1,,1 ... 00000000 . Используем эту систему для последовательного определения значений параметров уравнения регрессии. При этом для расчета параметра 0a решим независимо N уравнений системы (15), считая остальные параметры pa , Kp ,...,2,1= равными модальным. Полу- чаемое при решении каждого из этих уравнений значение 0a является нечетким. Его функция принадлежности по результатам решения, например, i -го уравнения, имеет вид ( )( ) ( )( ) ( )         σ −−=µ 2 0 )( 00 00 00 2 exp ja i i jaa ja , 140 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 1 ( ) ∑ ∑∑ ≠ +=≠ −−= 0 10 0 )( 0 1 12 2121 j jj ijijjj j ijji i xxaxayja , ( ) ( ) 222 01010010000 jjjjjjja aaaaa σ++=σ +−− . Полученные N функций принадлежности для параметра 0a комплексируются, формируя при этом условную функцию принадлежности параметра 0a , соответствующую неопределенности фактора 0j : ( )( ) ( )( ) ( )         σ −−=µ 2 000 00 00 2 exp ja i jaa ja , ( ) ( )∑ = = N i i ja N ja 1 0 )( 000 1 . Аналогично рассчитываются условные функции принадлежности для остальных параметров уравнения регрессии. Теперь с использованием полученных условных функций принадлежности для каж- дого из параметров уравнения регрессии сформируем их безусловные функции принад- лежности. При этом для произвольного параметра pa получим ( ) ( )         σ − −=µ 22 exp p pp pi aa a , ( ) ( ) ( )∑ ∑ = = σ σ = n j p n j p i p p j j ja a 1 0 2 1 0 2 0 )( 0 0 1 , ( )∑ = σ=σ n j pp j n 1 0 22 0 1 , Kp ,...,2,1= . 4. Выводы Таким образом, в статье предложены методы оценивания параметров уравнения регрессии для случая, когда условия проведения опытов, используемых для идентификации регрес- сии, а также их результаты – нечеткие числа. Описанные подходы позволяют получить четкий и нечеткий наборы искомых регрессионных коэффициентов путем оптимизации критериев, имеющих ясный, естественным образом трактуемый смысл. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применение / Рао С.Р.; пер. с англ. – М.: Наука, 1968. – 547 с. 2. Серая О.В. Оценивание состояния с использованием нечеткой регрессии / О.В. Серая, Т.И. Кат- кова, Л.В. Бачкир // Вісник НТУ «КПІ». – Київ: ВЕК+, 2008. – № 49. – С. 140 – 145. 3. Дюбуа Д. Теория возможностей. Приложение к представлению знаний в информатике / Д. Дю- буа, А. Прад; пер. с франц. – М.: Радио и связь, 1990. – 286 с. 4. Раскин Л.Г. Нечеткая математика. Основы теории. Приложения / Л.Г. Раскин, О.В. Серая. – Х.: Парус, 2008. – 353 с. Стаття надійшла до редакції 26.07.2010

Similar Items