Метод непосредственного умножения элементов конечного поля GF(2m) с использованием логических функций
Предложен метод непосредственного умножения элементов конечного поля GF(2m) с использованием логических функций. Разработаны схемы устройств, реализующих данный метод, определены их сложности и дана сравнительная оценка этих сложностей и сложностей известных схем. The method of the direct multiplica...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Управляющие системы и машины |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83417 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Метод непосредственного умножения элементов конечного поля GF(2m) с использованием логических функций / В.И. Кубицкий, И.А. Жуков // Управляющие системы и машины. — 2014. — № 3. — С. 10-17. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859979201118994432 |
|---|---|
| author | Кубицкий, В.И. Жуков, И.А. |
| author_facet | Кубицкий, В.И. Жуков, И.А. |
| citation_txt | Метод непосредственного умножения элементов конечного поля GF(2m) с использованием логических функций / В.И. Кубицкий, И.А. Жуков // Управляющие системы и машины. — 2014. — № 3. — С. 10-17. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Управляющие системы и машины |
| description | Предложен метод непосредственного умножения элементов конечного поля GF(2m) с использованием логических функций. Разработаны схемы устройств, реализующих данный метод, определены их сложности и дана сравнительная оценка этих сложностей и сложностей известных схем.
The method of the direct multiplication of Galois field elements GF(2m) using the logical operations is proposed. The device schemes supporting this method are elaborated, their difficulties are determined and the comparative evaluation of these difficulties and the difficulties of the known schemes are given.
Запропоновано метод безпосереднього множення елементів скінченного поля GF(2m) з застосуванням логічних функцій. Розроблено схеми пристроїв, які реалізують цей метод, визначено їх складності та подано порівняльну оцінку цих складностей i складностей відомих схем.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:24:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
10 УСиМ, 2014, № 3
УДК 681.325.3:621.391.25:621.394.14
В.И. Кубицкий, И.А. Жуков
Метод непосредственного умножения элементов конечного поля GF(2m)
с использованием логических функций
Предложен метод непосредственного умножения элементов конечного поля GF(2
m
) с использованием логических функций.
Разработаны схемы устройств, реализующих данный метод, определены их сложности и дана сравнительная оценка этих
сложностей и сложностей известных схем.
The method of the direct multiplication of Galois field elements GF(2
m
) using the logical operations is proposed. The device schemes
supporting this method are elaborated, their difficulties are determined and the comparative evaluation of these difficulties and the dif-
ficulties of the known schemes are given.
Запропоновано метод безпосереднього множення елементів скінченного поля GF(2m) з застосуванням логічних функцій. Роз-
роблено схеми пристроїв, які реалізують цей метод, визначено їх складності та подано порівняльну оцінку цих складностей i
складностей відомих схем.
Введение. Вычисления в конечных полях ис-
пользуются во многих областях науки и техни-
ки. Операции в конечных полях лежат в основе
алгоритмов кодирования и декодирования мно-
гих помехоустойчивых кодов. На основе этих
операций могут быть реализованы алгоритмы
цифровой обработки сигналов. Теория конечных
полей используется в криптографии.
В виду важности конечных полей для раз-
вития современных радиоэлектронных систем
самого разного назначения, необходимо совер-
шенствовать ее технику. Учитывая возможности
современной микроэлектроники, необходимо,
чтобы перспективные методы выполнения опе-
раций в конечных полях были не только эф-
фективными, но и технологичными, обязатель-
но реализуемыми на базе больших интеграль-
ных схем (БИС) и должны обеспечивать одно-
родность схем реализации.
Так как набор команд универсальных ком-
пьютеров не приспособлен для выполнения
операций над элементами конечных полей, то
для таких операций необходимо создавать до-
полнительные подпрограммы или специаль-
ные вычислительные устройства.
Вычисления в конечных полях могут быть
реализованы различными методами в зависи-
мости от способа представления элементов ко-
нечного поля.
Для каждой операции в GF(pm) удобен свой
способ представления элементов конечного по-
ля: для сложения элементов конечного поля –
векторное и полиномиальное представление,
для умножения и инвертирования в поле – сте-
пенное представление, при реализации опера-
ций по модулю некоторого многочлена – по-
линомиальное представление.
Для случая степенного представления эле-
ментов поля используются логарифмы Зеча.
Для логарифмического представления исполь-
зуются таблицы логарифмов и антилогариф-
мов. Полиномиальное и векторное представле-
ние элементов поля позволяет выполнять опе-
рации над этими элементами на сдвиговых ре-
гистрах, в программируемых запоминающих
устройствах (ПЗУ) или программируемых ло-
гических матрицах (ПЛМ), с использованием
логических функций и других методов.
При разработке новых и усовершенствова-
нии известных методов вычислений в конеч-
ных полях необходимо стремиться к улучше-
нию таких параметров, как время вычислений
и аппаратурная сложность средств, реализую-
щих эти методы.
Состояние проблемы
Дадим общую характеристику некоторых
наиболее часто используемых методов вычис-
лений в конечных полях.
Вычисление на сдвиговых регистрах
Схемы, реализующие этот метод вычисле-
ния, находят наиболее широкое применение [1,
2]. Однако скорость вычисления для данного
метода меньше, чем для метода вычисления с
использованием логических функций. Но, как
показывают исследования [3], при больших m
в некоторых случаях (скажем, при 9m для
УСиМ, 2014, № 3 11
изменяемого неприводимого многочлена p(x))
этот метод может привести к экономии аппа-
ратных средств.
Временная сложность схем умножения эле-
ментов (ССУЭ) конечного поля на сдвиговых
регистрах равна [4]:
И
ССУЭ (22 15)T m t ,
где t – время срабатывания элемента базисного
набора (И, ИЛИ, НЕ).
Под временной сложностью (T) схемы по-
нимается время, необходимое для реализации
схемой заданной функции; при этом за едини-
цу времени принимается время срабатывания
элемента базисного набора (t).
При реализации вычислений на сдвиговых
регистрах для большинства практически при-
меняемых конечных полей время выполнения
операций над элементами этих полей не обес-
печивает возможности роста скоростей пере-
дачи информации. Схемы вычисления на сдви-
говых регистрах не подходят для реализации в
виде СБИС, не обладают модульностью и па-
раллелизмом, а их структура неоднородна.
Вычисление с использованием логических
функций
В этом случае вычисление может выполнять-
ся с помощью схем, построенных из логических
элементов И и сумматоров по модулю 2. Харак-
терным примером для этого метода есть метод,
предложенный в [5] (метод Барти–Шнайдера),
обеспечивающий высокую скорость вычисле-
ний. Однако, как показывает анализ, схемы уст-
ройств умножения элементов конечного поля,
представленные в [5] и реализующие данный
метод, имеют следующие недостатки:
схемы пригодны только для фиксирован-
ного конечного поля;
не разработаны схемы для вычисления эле-
ментов ( )i
kl ( ( )i
kl GF(2) является i-й координа-
той произведения базисных элементов k l
поля GF(2m), 1,0 mi , mlk ,1 );
величины ic ( ic – результат умножения
элементов конечного поля) вычисляются по-
следовательно.
Время умножения на схеме, реализующей
умножение по методу Барти–Шнайдера (схема
БШУЭ) [4], составляет (при одновременном
вычислении величин ci и с учетом времени вы-
числения на схемах И величин ( ( )i
j kla ) ):
И
БШУЭ (6 4)T m t .
Вычисления в ПЗУ
Для полей GF(2m) с небольшим числом эле-
ментов (для m ≤ 6) более эффективным (с уче-
том времени вычисления [6]) в сравнении с
методом вычисления с использованием логи-
ческих функций есть табличный метод, реали-
зуемый в ПЛМ или ПЗУ. Очевидно, что в этом
случае необходимо заранее вычислять резуль-
таты операций в поле GF(2m) перед тем, как
занести их в ПЗУ или ПЛМ. Кроме этого, та-
кая таблица будет отражать результаты опера-
ций для фиксированного конечного поля. Таб-
личный метод также требует существенно боль-
шего количества оборудования, чем при реали-
зации операций с использованием схем умно-
жения и деления многочлена. Схема для ум-
ножения двух элементов поля GF(2m) будет
иметь 2m входов и m выходов и может быть
реализована на ПЗУ с размерностью информа-
ционного поля mm 22 [6].
Использование таблиц логарифмов и ан-
тилогарифмов
При этом методе умножения (деления) эле-
ментов поля складываются (вычитаются) по
модулю ( 12 m ) их логарифмы. Затем берутся
антилогарифмы. Обратный переход необходим
потому, что сложение элементов конечного
поля выполняется проще, если эти элементы
представлены в векторном виде или в виде
многочлена. Таким образом, для умножения с
помощью логарифмов необходимо иметь уст-
ройство сложения по модулю ( 12 m ) и две
таблицы переходов от обычного представления
к логарифмическому и обратно.
Метод, использующий таблицы логарифмов и
антилогарифмов, хорош для 4m поля GF(2m),
но практически неприемлем при больших значе-
ниях m из-за необходимости иметь таблицы
большого объема. Для конечного поля GF(2m)
12 УСиМ, 2014, № 3
потребуется таблица логарифмов объемом памя-
ти )12(2 mm бит [7] и таблица антилогарифмов
такого же объема [8]. Следует отметить, что ну-
левой элемент конечного поля не может быть
представлен степенью примитивного элемента.
Так что в таблице антилогарифмов не должно
быть нулевого элемента поля, а в таблице лога-
рифмов нулевому элементу поля не должно
быть сопоставлено какое-либо число. Поэтому
при работе с этими таблицами требуется специ-
альная проверка на нулевой элемент поля в ре-
зультате вычислений или в исходных данных.
Это – недостаток. Недостаток также то, что таб-
лицы формируются для заданного конечного
поля и могут использоваться для вычислений
только в пределах этого поля.
Анализ показывает, что перспективна реали-
зация операций в конечных полях методами, ис-
пользующими логические функции. Поэтому
предложим метод умножения элементов конеч-
ного поля, основанный на использовании логи-
ческих функций. Выведем математические вы-
ражения, разработаем алгоритмы и построим
комбинационные схемы для реализации умно-
жения элементов конечного поля GF(2m).
Решение
Математические выражения для умно-
жения элементов конечного поля
Если элементы поля GF(2m) представлять в
виде многочленов над полем GF(2), степень
которых меньше m, то умножение элементов a,
bGF(2m) выполняется по правилу умножения
представляющих эти элементы многочленов по
модулю заданного неприводимого многочлена
)()( 0
0
1
1 xhxxpxpxxp mm
m
m
,
т.е. )()()(
)(
xcxbxa
xp
.
Представим перемножаемые элементы ко-
нечного поля в виде многочленов
1 2 1 0
1 2 1 0
m m
m ma a a a a
,
1 2 1 0
1 2 1 0
m m
m mb b b b b
,
где – примитивный элемент поля, корень не-
приводимого многочлена p(x).
Результатом перемножения этих многочле-
нов будет многочлен
2 2 2 3 1
2 2 2 3 1
m m m
m m mc e e e
1 2 1 0
1 2 1 0
m m m
m m me e e e e
,
(1)
где l i j
i j l
e a b
( 22,0 ml ).
Проведя преобразование выражения (1) с
учетом того, что 1 0
1 0( ) ,m m
mh p p a
получим
1 2
( )
0 0
( )
m m
j i
i i m j
i j
c e p e
, (2)
где
i
u
uuii bae
0
,
jm
u
ujumjm bae
1
1
,
j
i
ji
j
im
j
i pppp
1
)1(
1
)( (при ii ppj )0(:0 ;
при 0: jipji ).
Назовем коэффициенты )( j
ip операционны-
ми коэффициентами конечного поля.
Метод умножения элементов конечного по-
ля GF(2m) в соответствии с выражением (2),
основанный на умножении многочленов над
полем GF(2) с необходимостью вычисления
операционных коэффициентов )( j
ip , назовем
методом непосредственного умножения эле-
ментов конечного поля.
Представим выражение (2) в матричной
форме
22
32
1
)2(
1
)1(
1
)0(
1
)2(
2
)1(
2
)0(
2
)2(
1
)1(
1
)0(
1
)2(
0
)1(
0
)0(
0
1
2
1
0
1
2
1
0
m
m
m
m
m
mmm
m
mmm
m
m
m
m
m
m
e
e
e
e
ppp
ppp
ppp
ppp
e
e
e
e
c
c
c
c
=
21 EPE , (3)
где величины le ( 22,0 ml ) и )( j
ip опреде-
ляются соответственно из выражений
00
1 01
2 2 3 0
1 1 2 1 0
m m m
m m m
ae
a ae
e a a a
e a a a a
0 0
1 1
1
2 2
1 1
,
m m
m m
b b
b b
A
b b
b b
УСиМ, 2014, № 3 13
1 2 2 1
1 1 3 2
2 3 1 2
2 2 1
1 1
2 2
2
2 2
1 1
m m m
m m
m m m
m m
m m
m m
e a a a a
e a a a
e a a
e a
b b
b b
A
b b
b b
(4)
и
(0)
(1)
(2)
( )
( 3)
( 2)
i
i
j i
i
m
i
m
i
p
p
pp
p
p
(0)
1 1
(1) (0)
2 1 2
( 4) ( 5) (0)
( 3) 1 2 3
( 3) ( 4) (1) (0)
( 2) 1 2 3 2
.
i
i m i
i m i m i
m m
i m m i m i i
m m
i m m i m i i i
p
p p p
p p p p p
p p p p p p p
p p p p p p p p p
(5)
Здесь , – модульные операции умноже-
ния и сложения соответственно.
Матрицу (P) операционных коэффициентов
( )( j
ip ) назовем операционной матрицей конеч-
ного поля.
Если принять, что w – вес многочлена h(),
то операционная матрица P будет иметь не ме-
нее (m – k)(m – w) нулевых коэффициентов )( j
ip .
Это необходимо учитывать при определении
сложности комбинационных схем умножения
элементов конечного поля (КСУЭ) для случая,
когда коэффициенты )( j
ip вычисляются заранее
и их величины заложены в структуру КСУЭ.
Алгоритм непосредственного умножения
элементов конечного поля
Умножение элементов поля GF(2m) в соответ-
ствии с выражением (3) можно выполнять в три
этапа по следующему алгоритму, который назо-
вем алгоритмом непосредственного умножения
элементов конечного поля (алгоритм У2):
Выполняется умножение многочленов над
полем GF(2), представляющих элементы поля
GF(2m). Результатом умножения будет много-
член, коэффициенты которого можно записать в
виде вектора ( 0122 ,,,,, eeee mmm ). Умноже-
ние можно выполнять в устройстве умноже-
ния, рассчитанном на получение результата с
удвоенным количеством разрядов.
Выполняется умножение операционной
матрицы P на вектор старших разрядов (em,
1 2 3 2 2, , ,m m me e e ) полученного результата.
Получим вектор ( 0121
~,~,,~,~ eeee mm ).
Проводится поразрядное сложение векто-
ра ( 0121 ,,,, eeee mm ), полученного на первом
этапе вычисления, и вектора ( 1 2 1, , , ,m me e e
0e ), полученного на втором этапе. В итоге име-
ем результат умножения двух элементов ко-
нечного поля – ( 0121 ,,,, cccc mm ).
Выражения (3)–(5) могут быть реализованы
с помощью комбинационных схем. Покажем,
как это можно сделать.
Схемы вычисления операционных коэф-
фициентов ( )j
ip
Схема устройства вычисления операцион-
ных коэффициентов )( j
ip (СВОК) показана на
рис. 1 и содержит 2/)2)(1( mm схем И и
столько же сумматоров по модулю 2. Для од-
новременного вычисления всех )1( m i-х ко-
эффициентов )( j
ip необходимо иметь m таких
схем. Значит, аппаратурная сложность схемы
устройства вычисления операционных коэф-
фициентов следующая
2/)2)(1(5 mmmN В
СВОК – верхняя граница.
Схемы каждого из разрядов имеют разное
количество сумматоров по модулю 2. Так в
схеме первого разряда на (m – 2) сумматоров
меньше, чем в схеме, представленной на рис. 1;
в схеме второго разряда – меньше на (m – 3); в
схеме третьего разряда – на (m – 4); …; в схеме
(m – 1)-го разряда – меньше на единицу; в схе-
ме m-го разряда – одинаковое количество сум-
маторов, т.е. по совокупности потребуется
меньше сумматоров по модулю 2 на величину
2/)1( 2m . Учитывая это, имеем
Н
СВОК ( 1)[ (5 14) 4] / 2N m m m – нижняя
граница.
14 УСиМ, 2014, № 3
Все значения коэффициентов )( j
ip будут по-
лучены через время
СВОК ( 2)(3 1) / 2T m m t .
Регистры Рг1 и Рг2 не есть частью СВОК и
при расчете сложности схемы не учитываются.
Если потребуется запоминать все вычислен-
ные значения )( j
ip , то необходимо будет иметь
)1( mm ячеек памяти.
Устройство, построенное на основе приве-
денной схемы, позволяет вычислять коэффи-
циенты )( j
ip для общего случая с возможно-
стью изменения неприводимого многочлена
p(x) заданной степени m . Это устройство пу-
тем наращивания легко адаптируемо к увели-
чению степени m неприводимого многочлена.
Для этого необходимо дополнительно сделать
схему для m-го разряда, вычисляющую вели-
чины )( j
mp , а также к выходам )2( m
ip каждой из
имеющихся схем добавить соответствующие
блоки, на выходах которых будем получать
значения )1( m
ip . При уменьшении степени m
никаких изменений можно не проводить.
Комбинационные схемы умножения
Комбинационная схема умножения (КСУЭ-
У2), реализующая алгоритм умножения в со-
ответствии с выражением (3) (алгоритм У2),
имеет три уровня.
На первом уровне КСУЭ-У2 вычисляются
величины le ( 22,0 ml ). Вычисление прово-
дится с использованием комбинационных схем
умножения многочленов над полем GF(2)
(КСУМ) [9].
На втором уровне КСУЭ-У2 реализуется
произведение матриц 2EP , т.е. вычисляются
величины ie~ ( 1,0 mi ). Этот уровень со-
ставляет группа блоков G2 = {B0, B1, , Bm–1}.
Для варианта построения схемы с возмож-
ностью изменения многочлена p(x) и хранением
величин )( j
ip эта группа блоков содержит m(m –
–1) схем И и m(m – 2) сумматоров по моду-
лю 2. Здесь схемы И необходимы для того, что-
бы иметь возможность изменять многочлен p(x).
При фиксированном многочлене p(x) схемы И
не нужны, так как коэффициенты )( j
ip заложены
в структуру схемы умножения матриц P E2.
На третьем уровне КСУЭ-У2 реализуется
матрица C как сумма векторов ie и ie~
( 1,0 mi ). Этот уровень составляет группа
блоков },...,,{ 1103 mCCCG , которая содер-
жит m сумматоров по модулю 2.
Рис. 1. Схема одного (m – 1)-го разряда устройства вычисления операционных коэффициентов ( )j
ip
УСиМ, 2014, № 3 15
КСУЭ-У2 для варианта построения с воз-
можностью изменения многочлена p(x) и
хранением величин )( j
ip приведена на рис. 2.
Здесь не показана схема вычисления коэффи-
циентов )( j
ip .
Временная сложность КСУЭ-У2 составляет
(без учета сложности вычисления операцион-
ных коэффициентов )( j
ip и их хранения):
И
КСУЭ-У2 (3 2)T m t .
При построении КСУЭ для любого непри-
водимого полинома p(x) заданной степени
можно добиться однородности и универсаль-
ности структуры схемы. Для этого в качестве
базовой ячейки (БЯ) выбирается функцио-
нальная ячейка (ФЯ), состоящая из одного
двухвходового элемента И и сумматора по
модулю 2.
Построенная таким образом схема будет на-
зываться универсальной КСУЭ (УКСУЭ).
Универсальная КСУЭ (УКСУЭ-У2), реали-
зующая выражение (3) и показанная на рис. 3,
как и КСУЭ-У2, имеет три уровня.
Первый уровень УКСУЭ-У2 представляет со-
бой УКСУМ, состоящую из групп блоков (1)
1G
0 1 1{ , , ... , }mE E E и },...,,{ 221
)2(
1 mmm EEEG .
Каждый из блоков lE ( 22,0 ml ) имеет од-
ну ( 0E и 22 mE ) или нескольких БЯ.
Второй уровень УКСУЭ-У2 составляют
блоки iB ( 1,0 mi ), каждый из которых со-
держит ( 1m ) БЯ. Для варианта построения
схемы с возможностью изменения многочлена
p(x) и хранением величин )( j
ip этот уровень
содержит )1( mm схем И и )1( mm сумма-
торов по модулю 2.
Третий уровень УКСУЭ-У2 составляют бло-
ки iC ( 1,0 mi ), каждый из которых имеет по
одной БЯ.
Рис. 2. Комбинационная схема умножения элементов конечного поля GF(2m) (КСУЭ-У2)
16 УСиМ, 2014, № 3
Структура УКСУЭ-У2 при наличии БЯ по-
зволяет не только менять вид многочлена p(x)
заданной степени с предварительным вычис-
лением величин )( j
ip , но и строить УКСУЭ-У2
при изменении степени многочлена p(x). Если
степень многочлена p(x) меньше m, то схему
можно не менять. Покажем, как наращивается
структура УКСУЭ-У2 при увеличении степени
многочлена p(x).
Пусть 1)(deg mxp . Тогда
1 1
1 1
0 0
m m
m m
c e
c e
C
c e
c e
.
(0) (1) ( 2) ( 1)
1
(0) (1) ( 2) ( 1)
1 1 1 1 2
(0) (1) ( 2) ( 1)
2 11 1 1 1
(0) (1) ( 2) ( 1)
20 0 0 0
m m
m m m m m
m m
m m m m m
m m
m
m m
m
p p p p e
p p p p e
ep p p p
ep p p p
.
Операционные коэффициенты )( j
ip прини-
мают новые значения.
Изменения в Рг1 и Рг2, а также в группах
)1(
1G и )2(
1G первого уровня УКСУЭ-У2 прово-
дится так же, как в УКСУМ [9].
В группе G2 второго уровня УКСУЭ-У2 до-
бавляется один новый блок mE , состоящий из
m БЯ; в каждом из блоков B0, B1, , Bm–1 ста-
новится на одну БЯ больше.
Группа G3 третьего уровня УКСУЭ-У2 до-
полняется одним новым блоком mC , состоя-
щим из одной БЯ.
Значит, для получения новой УКСУЭ-У2
при 1)(deg mxp необходимо:
регистр Рг1 дополнить одной ячейкой со
стороны старших разрядов, а регистр Рг2 – од-
ной ячейкой со стороны младших разрядов;
в каждом из блоков lE ( 22,0 ml ) групп
)1(
1G и )2(
1G к свободному входу сумматора по
Рис. 3. Универсальная комбинационная схема умножения элементов конечного поля GF(2m) (УКСУЭ-У2)
УСиМ, 2014, № 3 17
модулю 2 подключить по одной БЯ. Группы
)1(
1G и )2(
1G дополнить соответственно 0E = БЯ
и mE2 = БЯ. Получим новые группы (1)
1G
0 1{ , , ... , }mE E E и },...,,{ 21
)2(
1 mmm EEEG ;
в каждом из блоков iB ( 1,0 mi ) груп-
пы G2 к свободному входу сумматора по моду-
лю 2 подключить по одной БЯ. Группу G2 до-
полнить блоком mB =m·БЯ. Получим новую
группу },...,,{ 102 mBBBG ;
группу G3 дополнить блоком mC = БЯ;
каждый из регистров Рг3÷Рг(m+1), пред-
назначенных для хранения величин )( j
ip , до-
полнить одним разрядом, выход которого под-
ключается к входу дополнительной БЯ блоков
группы G2;
подключить новые БЯ групп )1(
1G и )2(
1G к
соответствующим выходам регистров Рг1 и Рг2;
подключить блок mE2 группы )2(
1G к каж-
дому из блоков iB группы G2;
подключить регистр Рг(m+2) и блоки
группы )2(
1G к блоку mB группы G2;
подключить блок 0E группы )1(
1G и блок
mB группы G2 к блоку mC группы G3.
Сравнение схем умножения элементов
конечного поля
Сравнение КСУЭ-У2 с ССУЭ показывает,
что временная сложность КСУЭ-У2 всегда мень-
ше временной сложности ССУЭ на величину:
И И
ССУЭ КСУЭ-У2 (19 13)T T T m t .
Сравнивая КСУЭ-У2 с БШУЭ, получаем
минимальное (т.к. схема вычисления величин
( )i
kl и ее сложность в публикациях не приводят-
ся) значение величины временной сложности:
min И И
БШУЭ КСУЭ-У2 3( 2)T T T m t ,
т.е. временная сложность КСУЭ-У2 меньше
временной сложности БШУЭ для всех практи-
чески применяемых конечных полей.
Заключение. Предложенный метод умноже-
ния элементов конечного поля GF(2m), основан-
ный на умножении многочленов над полем
GF(2), позволяет создавать схемы устройств,
структура которых однородна, универсальна и
легко наращиваема при увеличении степени об-
разующего поле неприводимого многочлена
p(x). Такая структура делает эти устройства пер-
спективными для реализации в виде БИС и вы-
годно отличает их от линейных последователь-
ностных машин. Схемы устройств, реализую-
щих данный метод, более быстродействующие в
сравнении с известными схемами.
1. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошиб-
ки / Под ред. Р.Л. Добрушина и С.И. Самойленко. –
М.: Мир, 1976. – 596 с.
2. Гилл А. Линейные последовательностные машины /
Под ред. Я.З. Цыпкина. – М.: Наука, 1974. – 287 с.
3. Жуков И.А., Кубицкий В.И. Оценка сложности вы-
числений в конечных полях // Iнформацiйнi техно-
логії та комп’ютерна інженерія: Мiжнародний
науково-технiчний журнал. – 2013. – Т. 2, № 27. –
С. 21–27.
4. Кубицкий В.И. Методы вычислений в конечных
полях // Проблеми iнформатизацiї та управлiння:
Зб. наук. праць. – 2009. – 4 (28). – С. 88–98.
5. Bartee T.C., Shneider D.I. Computations with finite fields
// Information and Control. – 1963. – 6. – Р. 79–98.
6. Кларк Дж., мл., Кейн Дж. Кодирование с исправ-
лением ошибок в системах цифровой связи / Под
ред. Б.С. Цыбакова. – М.: Радио и связь, 1987. –
391 с.
7. Сюрин В.Н., Иванов Н.Н., Альхимович В.В. Реали-
зация вычислений в конечных полях // Зарубежная
электроника. – 1990. – № 5. – С. 59–68.
8. Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория ко-
дов, исправляющих ошибки / Под ред. Л.А. Бас-
салыго. – М.: Связь, 1979. – 744 с.
9. Кубицкий В.И. Операции над многочленами в поле
GF(2) // Науч. вестн. ГосНИИ «Аэронавигация». –
2007. – № 7. – С. 185–194.
Поступила 11.12.2013
Тел. для справок: +38 044 497-7257, +7 962 912-2920 (Киев,
Москва)
E-mail: zhuia@ukr.net, vkubitski@mail.ru
© В.И. Кубицкий, И.А. Жуков, 2014
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/ETI <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>
/FRA <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>
/GRE <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>
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
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <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>
/RUS <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>
/SKY <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>
/SLV <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-83417 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0130-5395 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:24:49Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кубицкий, В.И. Жуков, И.А. 2015-06-19T15:38:21Z 2015-06-19T15:38:21Z 2014 Метод непосредственного умножения элементов конечного поля GF(2m) с использованием логических функций / В.И. Кубицкий, И.А. Жуков // Управляющие системы и машины. — 2014. — № 3. — С. 10-17. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0130-5395 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83417 681.325.3:621.391.25:621.394.14 Предложен метод непосредственного умножения элементов конечного поля GF(2m) с использованием логических функций. Разработаны схемы устройств, реализующих данный метод, определены их сложности и дана сравнительная оценка этих сложностей и сложностей известных схем. The method of the direct multiplication of Galois field elements GF(2m) using the logical operations is proposed. The device schemes supporting this method are elaborated, their difficulties are determined and the comparative evaluation of these difficulties and the difficulties of the known schemes are given. Запропоновано метод безпосереднього множення елементів скінченного поля GF(2m) з застосуванням логічних функцій. Розроблено схеми пристроїв, які реалізують цей метод, визначено їх складності та подано порівняльну оцінку цих складностей i складностей відомих схем. ru Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України Управляющие системы и машины Новые методы в информатике Метод непосредственного умножения элементов конечного поля GF(2m) с использованием логических функций Method of the Direct Multiplication of Galois Field Elements GF(2m) Using the Logical Operations Метод безпосереднього множення елементів скінченного поля GF(2m) з використанням логічних функцій Article published earlier |
| spellingShingle | Метод непосредственного умножения элементов конечного поля GF(2m) с использованием логических функций Кубицкий, В.И. Жуков, И.А. Новые методы в информатике |
| title | Метод непосредственного умножения элементов конечного поля GF(2m) с использованием логических функций |
| title_alt | Method of the Direct Multiplication of Galois Field Elements GF(2m) Using the Logical Operations Метод безпосереднього множення елементів скінченного поля GF(2m) з використанням логічних функцій |
| title_full | Метод непосредственного умножения элементов конечного поля GF(2m) с использованием логических функций |
| title_fullStr | Метод непосредственного умножения элементов конечного поля GF(2m) с использованием логических функций |
| title_full_unstemmed | Метод непосредственного умножения элементов конечного поля GF(2m) с использованием логических функций |
| title_short | Метод непосредственного умножения элементов конечного поля GF(2m) с использованием логических функций |
| title_sort | метод непосредственного умножения элементов конечного поля gf(2m) с использованием логических функций |
| topic | Новые методы в информатике |
| topic_facet | Новые методы в информатике |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83417 |
| work_keys_str_mv | AT kubickiivi metodneposredstvennogoumnoženiâélementovkonečnogopolâgf2msispolʹzovaniemlogičeskihfunkcii AT žukovia metodneposredstvennogoumnoženiâélementovkonečnogopolâgf2msispolʹzovaniemlogičeskihfunkcii AT kubickiivi methodofthedirectmultiplicationofgaloisfieldelementsgf2musingthelogicaloperations AT žukovia methodofthedirectmultiplicationofgaloisfieldelementsgf2musingthelogicaloperations AT kubickiivi metodbezposerednʹogomnožennâelementívskínčennogopolâgf2mzvikoristannâmlogíčnihfunkcíi AT žukovia metodbezposerednʹogomnožennâelementívskínčennogopolâgf2mzvikoristannâmlogíčnihfunkcíi |