Исследование метода решения дискретных некорректных задач на основе случайного проецирования

Проведено аналитическое исследование составляющих ошибки восстановления истинного сигнала. Предложен критерий выбора оптимальной размерности случайного проектора, основанный на аппроксимации ошибки восстановления сигнала выхода. Проведено исследование предложенного критерия....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автор:	Ревунова, Е.Г.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України 2014
Назва видання:	Управляющие системы и машины
Теми:	Фундаментальные и прикладные проблемы Computer Science
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83486
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Исследование метода решения дискретных некорректных задач на основе случайного проецирования / Е.Г. Ревунова // Управляющие системы и машины. — 2014. — № 4. — С. 41-47, 60. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-83486
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-834862025-02-23T19:46:01Z Исследование метода решения дискретных некорректных задач на основе случайного проецирования Investigation of the Solving Discrete Ill-Posed Problems Method Based on the Random Projection Дослідження методу розв’язання дискретних некоректних задач на основі випадкового Ревунова, Е.Г. Фундаментальные и прикладные проблемы Computer Science Проведено аналитическое исследование составляющих ошибки восстановления истинного сигнала. Предложен критерий выбора оптимальной размерности случайного проектора, основанный на аппроксимации ошибки восстановления сигнала выхода. Проведено исследование предложенного критерия. An analytical study of the component error of true signal reconstruction is done. The criterion for selecting the optimal dimension of the random projector based on the signal output reconstructions is suggested. The investigation of the proposed criterion is conducted. Проведено аналітичне дослідження складових помилки відновлення істинного сигналу. Запропоновано критерій вибору оптимальної розмірності випадкового проектора, заснований на апроксимації помилки відновлення сигналу виходу. Проведено дослідження запропонованого критерію. 2014 Article Исследование метода решения дискретных некорректных задач на основе случайного проецирования / Е.Г. Ревунова // Управляющие системы и машины. — 2014. — № 4. — С. 41-47, 60. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0130-5395 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83486 004.942 + 623.454.862 ru Управляющие системы и машины application/pdf Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Фундаментальные и прикладные проблемы Computer Science Фундаментальные и прикладные проблемы Computer Science
spellingShingle	Фундаментальные и прикладные проблемы Computer Science Фундаментальные и прикладные проблемы Computer Science Ревунова, Е.Г. Исследование метода решения дискретных некорректных задач на основе случайного проецирования Управляющие системы и машины
description	Проведено аналитическое исследование составляющих ошибки восстановления истинного сигнала. Предложен критерий выбора оптимальной размерности случайного проектора, основанный на аппроксимации ошибки восстановления сигнала выхода. Проведено исследование предложенного критерия.
format	Article
author	Ревунова, Е.Г.
author_facet	Ревунова, Е.Г.
author_sort	Ревунова, Е.Г.
title	Исследование метода решения дискретных некорректных задач на основе случайного проецирования
title_short	Исследование метода решения дискретных некорректных задач на основе случайного проецирования
title_full	Исследование метода решения дискретных некорректных задач на основе случайного проецирования
title_fullStr	Исследование метода решения дискретных некорректных задач на основе случайного проецирования
title_full_unstemmed	Исследование метода решения дискретных некорректных задач на основе случайного проецирования
title_sort	исследование метода решения дискретных некорректных задач на основе случайного проецирования
publisher	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
publishDate	2014
topic_facet	Фундаментальные и прикладные проблемы Computer Science
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83486
citation_txt	Исследование метода решения дискретных некорректных задач на основе случайного проецирования / Е.Г. Ревунова // Управляющие системы и машины. — 2014. — № 4. — С. 41-47, 60. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Управляющие системы и машины
work_keys_str_mv	AT revunovaeg issledovaniemetodarešeniâdiskretnyhnekorrektnyhzadačnaosnoveslučajnogoproecirovaniâ AT revunovaeg investigationofthesolvingdiscreteillposedproblemsmethodbasedontherandomprojection AT revunovaeg doslídžennâmetodurozvâzannâdiskretnihnekorektnihzadačnaosnovívipadkovogo
first_indexed	2025-11-24T18:05:19Z
last_indexed	2025-11-24T18:05:19Z
_version_	1849695949272645632
fulltext	УСиМ, 2014, № 4 41 УДК 004.942 + 623.454.862 Е.Г. Ревунова Исследование метода решения дискретных некорректных задач на основе случайного проецирования Проведено аналитическое исследование составляющих ошибки восстановления истинного сигнала. Предложен критерий вы- бора оптимальной размерности случайного проектора, основанный на аппроксимации ошибки восстановления сигнала выхо- да. Проведено исследование предложенного критерия. An analytical study of the component error of true signal reconstruction is done. The criterion for selecting the optimal dimension of the random projector based on the signal output reconstructions is suggested. The investigation of the proposed criterion is conducted. Проведено аналітичне дослідження складових помилки відновлення істинного сигналу. Запропоновано критерій вибору опти- мальної розмірності випадкового проектора, заснований на апроксимації помилки відновлення сигналу виходу. Проведено до- слідження запропонованого критерію. Введение. Решение некорректных задач акту- ально для многих областей науки и техники. Дискретные некорректные задачи возникают, например, при дискретизации интегральных уравнений в таких областях, как спектромет- рия, гравиметрия, магнитометрия, электрораз- ведка и др. Известно, что решение дискретной некор- ректной обратной задачи как задачи наимень- ших квадратов неустойчиво. Эта особенность проявляется в том, что малым изменениям в век- торе данных (измерений) соответствуют боль- шие изменения в векторе решения; при этом ве- лико значение ошибки решения. Для преодоле- ния неустойчивости и, соответственно, повыше- ния точности решения используют методы регу- ляризации. Недостатки, присущие методам ре- гуляризации, – это высокая вычислительная сложность и сложность подбора правильного параметра регуляризации, от чего в значитель- ной мере зависит устойчивость решения. Для преодоления нестабильности и повы- шения точности решения дискретных некор- ректных задач предложен подход, использую- щий случайное проецирование [1–4]. Экспериментальное исследование метода ре- шения дискретных некорректных задач на осно- ве случайного проецирования [3, 4], показало наличие оптимальной размерности случайного проектора, такой, при которой ошибка восста- новления истинного сигнала близка к мини- мальной. Показано, что ошибка формируется из двух составляющих: стохастической (возрас- тающей с ростом размерности проектора) и де- терминированной (убывающей с ростом раз- мерности проектора), создавая тем самым пред- посылки для существования минимума ошибки при соответствующей размерности проектора. Поведение составляющих ошибки подтверждено обширным экспериментальным материалом, од- нако аналитическое исследование составляющих ошибки восстановления истинного сигнала про- ведено не было. Подход к определению оптимальной размер- ности случайного проектора, основанный на ис- пользовании критериев выбора модели, обеспе- чивает хорошую точность, однако оставляет не- которую неопределенность в том, какой именно критерий выбора модели использовать. Посколь- ку для метода решения дискретных некоррект- ных задач на основе случайного проецирования сформулированы как выражение для средне- квадратичной ошибки восстановления истинно- го сигнала, так и выражение среднеквадратич- ной ошибки восстановления сигнала выхода – становится актуальной задача формулирования критерия выбора модели, ориентированного на аппроксимацию ошибки восстановления сигнала выхода, непосредственно для метода на основе случайного проецирования. Восстановление истинного сигнала с ис- пользованием ортогонального случайного проектора Во многих практических приложениях пре- образование сигнала описывается линейной моделью вида: yAx  , (1) 42 УСиМ, 2014, № 4 где матрица NNA и вектор Ny , иска- женный аддитивным шумом Nε : εyy  0 , известны. Матрица А обладает свойствами, ха- рактерными для дискретной некорректной об- ратной задачи, и требуется оценить вектор сиг- нала Nx . Для решения на основе проекционного под- хода обе части исходного уравнения (1) умно- жим на матрицу NkΩ и получим уравнение bFx  , где ΩAF  , NkF , Ωyb  , kb . (2) Матрицу Ω получим как  ΩΣΩG , где Ω – ортонормированная матрица, Σ – диаго- нальная. Элементы матрицы G – реализация случайной величины с нормальным распреде- лением, нулевым средним и единичной дис- персией, Nk  . Тогда задача наименьших квадратов запи- шется в виде 2 ' minarg bFxx x  . (3) Восстановление сигнала х на основе псев- дообращения получим как bFx ' G . (4) Точность решения обратной задачи будем оценивать с помощью ошибки e восстановле- ния истинного сигнала х, вычисляемой как 'e   x x e , где 'x – вектор восстановлен- ного сигнала. Запишем выражение для среднеквадратич- ной ошибки восстановления истинного сигна- ла при проецировании случайной матрицей Ω : 2 2 ( ) 2 ( ) , . xGe             F F I x F Ωε F F I x F Ωε (5) Так как 0,)(2   ΩεFxIFF и 2 2trace( )     F Ωε Ω F F Ω , то 2 2( ) trace( )xGe       F F I x ΩΩ F F . (6) Восстановление сигнала на основе псевдо- обращения с использованием QR-разложения матрицы GA получим как yQAQx  )(' Q , (7) где Q , R получаются QR-разложением мат- рицы QRGAF  . В результате проецирования составляющие ошибки решения принимают следующий вид: ' ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) . xQ Q                         e x x Q A Q y x Q A Q Ax ε x Q A Q A I x Q A Q ε (8) Составляющие ошибки: 1 (( ) )xQ    e Q A Q A I x , 2 ( )xQ   e Q A Q ε . (9) Запишем выражение для среднеквадратич- ной ошибки восстановления истинного сигна- ла. Учитывая, что 2 2 2 ( ) trace( ( ) ( ) ) trace(( ) ( ) ), xQ                e Q Q A Q A Q Q A Q A выражение для среднеквадратичной ошибки восстановления истинного сигнала таково: 2 2 (( ) ) trace(( ) ( ) ). xQe             Q A Q A I x Q A Q A (10) Число столбцов N проекционных матриц Ω и Q определяется размерностью исходной матрицы A, число строк k априори не фикси- ровано и может изменяться от одного до N . Поведение зависимости составляющих ошибки (6), (10) от числа строк матрицы проектора тре- бует аналитического исследования. Исследование зависимости стохастиче- ской составляющей ошибки восстановления истинного сигнала от числа строк матрицы проектора Исследуем зависимость величины стохасти- ческой составляющей ошибки решения дис- кретной некорректной задачи от числа строк матрицы проектора Ω . Стохастическая со- ставляющая ошибки есть: 2 2trace( )k k k k k k      F Ω ε Ω F F Ω . Для исследования зависимости стохасти- ческой составляющей ошибки от k, запишем выражение для kkkk ΩFFΩ  в рекурсивном УСиМ, 2014, № 4 43 виде. Для этого, воспользовавшись свойст- вом цикличности следа произведения матриц trace( ) trace( ) trace( ) ABC BCA CAB [5], пе- реупорядочим выражение kkkk ΩFFΩ  и полу- чим: 2 2trace( )k k k k k k      F Ω ε Ω Ω F F . (11) Здесь IΩΩ  kk в силу ортонормированно- сти матрицы Ω . С целью исследования зависимости стохас- тической составляющей ошибки от k, запишем выражение для  kF в рекурсивном виде. Для  kF воспользуемся представлением возмуще- ния псевдообратной матрицы через возмуще- ние исходной матрицы, предложенным в [6]: , B A B A B A               B A B P ER A B P P R R A (12) где EAB  , E – матрица возмущения,  AAPA , AAR A , AA PIP  , AA RIR  . В качестве возмущения матрицы 1kF будем рассматривать матрицу, содержащую строку, ко- торая добавляется на k-м шаге kkk FEF 1 . Матрица возмущения формируется следующим образом: ][ kkk eΟE  , где Aωe kk  , kω – строка матрицы проектора ],...,[ 1 kk ωωΩ  . Выражение (12) для данного случая можно записать так:      kkkkk tO0M0FF      1 , (13) где    11 kFkkFkkk FREPFM ,  kkFk FFP , 1Fk R 1 1k k    F F ,    kkFk FFIP 1 ,    1FkFkkk PPFt . Используя (13), запишем рекурсивное вы- ражение для  kk FF :                 1 1 , k k k k k k k k k k k k k k k k                        F F F 0 F 0 M 0 M 0 M 0 O t O t M 0 O t O t           где        0M0M0F0F  kkkk     11 =        00 0B k , kkkkk MMFFB      11 . (14) Отметим, что матрица kB имеет положи- тельные элементы на диагонали, так как диа- гонали     11 kk FF и kk MM – положительны.    kkk tO0M   =        00 cO kk ,    0MtO  kkk  = =        0k k c 0O , элементы вектора ck могут быть как положительны, так и отрицательны, но это не влияет на диагональ матрицы  kk FF , по- скольку размерность вектора ck есть k – 1. Эле- мент диагонали матрицы  kk FF , получаемый на k-м шаге, есть:    kkkk tOtO   =        k k d0 0O , kkkd tt . Элемент kd – положителен.          kk kk kk dc cB FF . (15) Из выражений (14) и (15) следует, что мат- рица  kk FF имеет положительную диагональ и рекурсивно (14) изменяющуюся подматрицу kB . Следовательно, значение стохастической составляющей ошибки ( 2trace( )k k   F F ) воз- растает с ростом k. Исследование зависимости детерминиро- ванной составляющей ошибки восстанов- ления истинного сигнала от числа строк матрицы проектора Рассмотрим зависимость величины детерми- нированной составляющей ошибки 2 )( xIFF  от числа строк матрицы проектора: 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ). k k Fk Fk Fk e           F F I x R I x R x x R x x (16) Учитывая, что в силу ортогональности про- ектора FkFkFk RRR  , получим: 1 2 . Fk Fk Fk e            x R x x R x x x x x x R x (17) Используя (13), запишем рекурсивное вы- ражение для kk FF  . Учитывая, что 01 1 kFF , 44 УСиМ, 2014, № 4 01   kk EF , 02 kEF , получим выражение следующего вида: 111 21      kkkkkk FFEFFFFF , (18) где  0MF k2 ,  kk tOF 11  . 1 1 1 1 1 1 1 2 . k k k k Fk Fk k k Fk k Fk k k                 F E F F O F P P E F P E R F F  (19) Учитывая, что 1111     FkkkFk RFFR , получим: 1 1 1 1 1 2 ( ) , k k k k Fk Fk k k Fk k Fk              F E F F O F P I P E F P E R  (20) 1 1 1 1 2 , k k k Fk k k Fk Fk k k Fk k Fk              F E F F F P E F P P 0 E F P E R (21) где NN FkkFkk    1REPF . Поскольку 1 0k Fk Fk k     F P P 0 E и kFk IP  приходим к выражению следующего вида: 1 1 1 1 1 2 ( ) ( ) . k k k k k Fk k k Fk k k Fk                F E F F F E E R F E I R F E R (22) Произведение  1Fkk RE представляет собой матрицу вида   kk mO 1 , поэтому    1Fkkk REF формируется как произведение последнего столбца матрицы Fk + (   kk fO 1 ) на   kk mO 1 . В работе [7] приведено следующее выражение для последнего столбца матрицы Fk +:   z kFk kk     ERfO 1 1  , (23) где   kFkkz ERE 1 . Используя (23), запишем    1Fkkk REF так: k FkkkFk Fkkk z NREERREF        11 1 . (24) Из (24) следует, что kN – квадратная мат- рица, симметричная относительно диагонали. Используя (22), запишем (18): 1 1 1 1 1 .k k k k k k Fk k k k             F F F F F E R F F N (25) Для детерминированной составляющей ошибки xFFxxx kke  1 запишем: 1 1 1 1/2 1/2 1 1 ( ) ( ). k k k k k k k k k e                          x x x F F x x x x F F x x N x x x x F F x x N N x (26) Поскольку 02/12/1  xNNx kk , значение xFFx kk  возрастает с ростом k, а значение детермини- рованной составляющей ошибки 1e – убывает. Поведение составляющих ошибки при проецировании матрицей Q Рассмотрим поведение детерминированной 2 (( ) ( ) )k k    Q A Q A I x и стохастической 2trace(( ) ( ) )k k     Q A Q A составляющих ошиб- ки при восстановлении истинного сигнала на основе проецирования матрицей Q. Матрицу k)( AQ представим следующим об- разом: kkk )()( 1 AQEAQ     . Матрица воз- мущения kE формируется так: ][ kkk eΟE  , где Aqe kk  , kq – строка матрицы проектора ],...,[ 1 kk qqQ  . Для преобразования матрицы ],...,[ 1 kk ffF  в kQ используем процедуру Гра- ма–Шмидта: u k k u uq  , j k j jj kj kk u uu fu fu     1 1 , , , 11 fu  . (27) Используя для детерминированной состав- ляющей ошибки рассуждения, аналогичные (18) – (25), получим: 1 1/2 1/2 1 1 ( ) ( ) ( ( ) ( ) ). k k k k k k e                     x x x Q A Q A x x x x Q A Q A x x T T x (28) Здесь    1)( kkkk REAQT , 1k    R I 1 1( ) ( )k k      Q A Q A , kT – квадратная матрица, симметричная диагонали. Поскольку 02/12/1  xTTx kk , значение xAQAQx kk )()(  возрастает с ростом k, а значение детерминированной составляющей ошибки – убывает. Для стохастической составляющей ошибки рассуждения, аналогичные (13)–(15), приводят к выражению вида 2 trace( ) ( ) trace k k k k k k e p              Z a Q A Q A a , (29) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) , k k k k k k k                Q A Q A Q A Q A C C Z (30) УСиМ, 2014, № 4 45 где      11 )()( kkkkk AQREAQC , kkkp tt ,    1)( kkk PAQt . Элемент kp – положителен. Из выражений (29), (30) следует, что матри- ца  kk )()( AQAQ имеет положительную диагональ и рекурсивно (30) изменяющуюся подматрицу kZ . Следовательно, значение стохастической со- ставляющей ошибки 2trace(( ) ( ) )k k     Q A Q A возрастает с ростом k . Поведение составляющих ошибки восстанов- ления истинного сигнала в зависимости от раз- мерности проекционной матрицы, полученных с использованием матриц Ω и Q, было исследо- вано экспериментально [3, 4]. Эксперименты подтвердили, что при возрастании k детермини- рованная составляющая ошибки уменьшается, а стохастическая возрастает, так что суммарная зависимость ошибки от k имеет минимум. Пример этих зависимостей для дискретной некорректной задачи Phillips [8] при уровнях шума 1Е–2, 1Е–3, 1Е–4 приведен на рис. 1 и 2. 1.E-09 1.E-08 1.E-07 1.E-06 1.E-05 1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 3 k e_ x G e_x G 1e-2 e_x G_1 e_x G_2 e_x G 1e-3 e_x G_1 e_x G_2 e_x G 1e-4 e_x G_1 e_x G_2 Рис. 1. Зависимость ошибки решения ex G и ее составляющих от k Для получения решения с минимальной ошибкой необходимо использовать проекци- онную матрицу с размерностью k, близкой к оптимальной. Однако определение оптималь- ного значения k по графикам зависимости ошибки восстановления истинного сигнала от k представляет только теоретический интерес, так как выражение включает в себя вектор ис- тинного решения, который при решении прак- тических задач неизвестен. 1.E-09 1.E-08 1.E-07 1.E-06 1.E-05 1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 k e_ x Q e_x Q 1e-2 e_x Q_1 e_x Q_2 e_x Q 1e-3 e_x Q_1 e_x Q_2 e_x Q 1e-4 e_x Q_1 e_x Q_2 Рис. 2. Зависимость ошибки решения ex Q и ее составляющих от k Подход к определению оптимальной раз- мерности матрицы проектора Оптимальной размерностью матрицы про- ектора называем такую размерность (k  N), при которой ошибка восстановления истинно- го сигнала минимальна. Поскольку в реальных условиях ошибку восстановления истинного сигнала вычислить невозможно (из-за отсутст- вия данных об истинном сигнале), предлагаем использовать ошибку восстановления вектора выхода ' 0y y . Рассмотрим эту ошибку в случае, когда в качестве проектора используется матрица Ω : ' 0 0 0 0( ) . yG G              e y y AF Ωy AF Ωε y AF Ω I y AF Ωε (31) Выражение для среднеквадратичной ошиб- ки восстановления выхода выглядит так: 2 0 2 ( ) (( ) ) . yGe trace          AF Ω I y AF Ω AF Ω (32) Использовать для определения минимума ошибки непосредственно выражение (32) не- возможно из-за наличия в нем вектора 0y , ко- торый в реальных условиях неизвестен. Заме- ним в (32) неизвестный вектор 0y на извест- 46 УСиМ, 2014, № 4 ный εyy  0 (полученный, например, в ре- зультате измерений) и проведем усреднение по реализациям шума: 2' 0 2 ( )( ) trace(( ) ) , yGe           AF Ω I y ε AF Ω AF Ω (33) 2' 0 2 0 2 { } ( ) ( ) 2 ( ) , ( ) trace(( ) ). yGe                       AF Ω I y AF Ω I ε AF Ω I y AF Ω I ε AF Ω AF Ω (34) Учитывая, что 0)(,)(2 0   εIΩAFyIΩAF и 2 2 ( ) trace(( ) ( )) ,            AF Ω I ε AF Ω I AF Ω I выражение (34) принимает вид 2' 0 2 2 { } ( ) trace(( ) ( )) trace(( ) ) . yGe                   AF Ω I y AF Ω I AF Ω I AF Ω AF Ω (35) Сопоставив выражение для }{ ' yGe и выра- жение для среднеквадратичной ошибки вос- становления выхода (32), видим, что они отли- чаются одним слагаемым: 2trace(( ) ( ))    AF Ω I AF Ω I . Этот факт позволяет скорректировать вклад шума в 2 )( yIΩAF   путем вычитания 2trace(( ) ( ))    AF Ω I AF Ω I и получить ап- проксимацию выражения (32), не содержащую неизвестного вектора 0y : 2 2 2 ( ) trace(( ) ( )) trace(( ) ) . GCR                   AF Ω I y AF Ω I AF Ω I AF Ω AF Ω (36) Рассмотрим ошибку восстановления векто- ра выхода в случае, когда в качестве проектора используется матрица Q: ' 0 0yQ   e y y 0 0 0 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) .                    A Q A Q y A Q A Q ε y A Q A Q I y A Q A Q ε (37) Выражение для среднеквадратичной ошиб- ки восстановления выхода имеет вид: 2 0 2 ( ( ) ) trace(( ) ( ) ) . yQe              A Q A Q I y Q A A A Q A (38) Заменим в (38) неизвестный вектор 0y на εyy  0 : 2' 0 2 ( ( ) )( ) trace(( ) ( ) . yQe              A Q A Q I y ε Q A A A Q A (39) Усредним (39) по реализациям шума: 2' 0 2 2 { } ( ( ) ) trace(( ( ) ) ( ( ) )) trace(( ) ( ). yQe                            A Q A Q I y A Q A Q I A Q A Q I Q A A A Q A (40) Получим аппроксимацию ошибки восстанов- ления выхода (38), скорректировав вклад шума в 2 ))(( yIQAQA   путем вычитания 2trace(( ( ) ) ( ( ) ))        A Q A Q I A Q A Q I : 2 2 2 ( ( ) ) trace(( ( ) ) ( ( ) )) trace(( ) ( ) . QCR                            A Q A Q I y A Q A Q I A Q A Q I Q A A A Q A (41) Получены выражения, аппроксимирующие ошибку восстановления выхода для случая, ко- гда в качестве проектора используется матрица Ω (36) и для случая, когда проецирование осу- ществляется посредством матрицы Q (41). Вме- сто неизвестного вектора 0y в выражения вхо- дит известный вектор εyy  0 , поэтому GCR и QCR можно использовать для определения оп- тимальной размерности матрицы проектора. Эксперимент Исследование проведено на примере извест- ных дискретных некорректных задач Carasso, Phillips, Delves [8]. В таблице приведены резуль- таты для решения с проецированием непосред- УСиМ, 2014, № 4 47 ственно случайной матрицей  (13) и матрицей Q после ортогонализации QR. Приведены ре- зультаты (средние и с.к.о.), полученные при 500 случайных реализациях проекционных матриц и трех уровнях шума в y . Среднее значение М(е) и с.к.о. ошибки ре- шения вычислялись для случаев определения оптимальной размерности матрицы проектора по критериям выбора модели (Маллоуза Cp, Акаике AIC, минимальной длины описания MDL) и по критериям GCR и CRQ. Анализ результатов показал, что наимень- шее значение ошибки решения обеспечивается при использовании критерия GCR . Критерий CRQ дает ошибку, близкую к минимальной (на уровне критерия Акаике). Заключение. Исследование составляющих ошибки восстановления истинного сигнала при решении дискретных некорректных задач методом случайного проецирования показало, что при возрастании размерности случайного проектора k детерминированная составляющая ошибки уменьшается, а стохастическая возрас- тает, создавая тем самым предпосылки для существования минимума ошибки при k < N. Предложенный критерий выбора оптималь- ной размерности случайного проектора, исполь- зующий аппроксимацию ошибки восстановле- ния выхода, обеспечивает наименьшее значение ошибки решения дискретной некорректной за- дачи в сравнении с решениями, полученными по критериям Маллоуза, Акаике и критерию мини- мальной длины описания. Среднее M(e) и с.к.о. ошибки решения e, M(k) и с.к.о. выбранной размерности k для задач Carasso, Phillips, Delves M(e) с.к.о. M(k) с.к.о. M(e) с.к.о. M(k) с.к.о. M(e) с.к.о. M(k) с.к.о.Phillips nl=1E–3 nl=1E–4 nl=1E–5 e G 0,0072 0,0048 10,88 1,62 0,0011 0,0005 15,46 2,00 0,00065 0,00026 17,26 2,15 CR G 0,0099 0,0089 10,30 1,47 0,0014 0,0012 15,05 2,12 0,00087 0,00056 17,12 2,17 Cp G 0,0126 0,0170 11,02 1,72 0,0015 0,0014 15,18 2,26 0,00095 0,00085 17,11 2,49 AIC G 0,0233 0,0506 12,32 2,11 0,0019 0,0019 16,19 2,36 0,00105 0,00102 17,99 2,47 MDL G 0,0100 0,0088 10,26 1,55 0,0017 0,0013 12,72 1,94 0,00136 0,00122 13,20 2,16 e Q 0,0014 0,0005 11,64 1,14 0,00031 0,00005 17,05 1,59 0,00026 0,00003 18,29 1,50 CR Q 0,0017 0,0008 9,90 0,88 0,00035 0,00007 14,25 1,19 0,00034 0,00059 15,54 1,20 Cp Q 0,0043 0,0017 8,27 0,85 0,00056 0,00018 12,26 1,31 0,00037 0,00009 13,99 1,46 AIC Q 0,0017 0,0007 10,72 1,04 0,00036 0,00007 14,91 1,28 0,00030 0,00004 15,90 1,37 MDL Q 0,0042 0,0017 8,31 0,89 0,00070 0,00028 11,59 1,19 0,00058 0,00024 12,12 1,46 Carrаso nl=1E–3 nl=1E–4 nl=1E–5 e G 0,3253 0,1305 12,69 2,34 0,0463 0,0173 23,06 2,90 0,0225 0,0079 27,19 3,20 CR G 0,4052 0,2109 11,98 2,08 0,0563 0,0233 22,24 2,85 0,0275 0,0101 25,82 2,99 Cp G 0,4246 0,2015 10,55 2,50 0,0589 0,0231 20,35 3,14 0,0293 0,0112 23,38 3,00 AIC G 0,4642 0,3615 13,17 2,55 0,0583 0,0249 20,65 2,82 0,0354 0,0198 21,84 2,80 MDL G 0,4210 0,2083 10,93 2,67 0,1114 0,0745 15,38 3,14 0,0967 0,0752 15,97 3,41 e Q 0,1014 0,0314 15,25 1,91 0,0162 0,0058 22,10 2,07 0,0087 0,0029 25,10 2,36 CR Q 0,1344 0,1545 11,81 1,24 0,0321 0,0223 19,59 1,64 0,0137 0,0064 22,36 1,76 Cp Q 0,2307 0,1012 9,93 1,61 0,0371 0,0198 16,74 2,20 0,0187 0,0081 19,26 1,94 AIC Q 0,1351 0,0432 12,46 1,49 0,0220 0,0084 19,34 1,76 0,0142 0,0064 20,82 1,97 MDL Q 0,1743 0,0637 11,01 1,44 0,0623 0,0410 14,72 2,65 0,0493 0,0385 15,72 2,92 Delves nl=1E–5 nl=1E–6 nl=1E–7 e G 0,0407 0,0125 6,6 1,88 0,0199 0,0043 13,02 2,73 0,0028 0,0003 38,40 2,17 CR G 0,0492 0,0219 6,17 1,62 0,0233 0,0069 11,91 2,55 0,0045 0,0012 31,14 4,34 Cp G 0,0521 0,0315 5,958 1,86 0,0236 0,0088 10,35 2,29 0,0079 0,0023 21,20 3,80 AIC G 0,0973 0,1560 8,956 2,60 0,0262 0,0142 13,54 2,92 0,0093 0,0028 19,01 3,20 MDL G 0,0516 0,0296 5,992 1,95 0,0255 0,0070 8,55 2,25 0,0196 0,0066 10,11 2,79 e Q 0,0260 0,0038 8,632 1,90 0,0127 0,0020 16,20 2,29 0,0028 0,0003 38,06 2,58 CR Q 0,0341 0,0136 8,368 1,13 0,0201 0,0217 12,74 1,53 0,0032 0,0006 27,22 2,46 Cp Q 0,0365 0,0071 4,79 0,99 0,0202 0,0033 8,78 1,56 0,0087 0,0017 17,60 2,42 AIC Q 0,0320 0,0073 9,55 1,38 0,0148 0,0031 12,89 1,97 0,0079 0,0018 18,88 2,54 MDL Q 0,0335 0,0066 5,332 1,21 0,0214 0,0045 8,19 1,77 0,0177 0,0047 9,73 2,37 Окончание статьи на стр. 60 60 УСиМ, 2014, № 4 Окончание статьи Е.Г. Ревуновой 1. Revunova E.G., Rachkovskij D.A. Using randomized algorithms for solving discrete ill-posed problems // INFORMATION THEORIES & AРРLICATIONS. – 2009. – 16. – № 2. – Р. 176–192. 2. Ревунова Е.Г., Рачковский Д.А. Повышение точно- сти решения обратной задачи с использованием случайных проекций // 16-th Int. Conf. Knowledge- Dialogue-Solution. – 2009. – 10. – Р. 95–102. 3. Ревунова Е.Г. Исследование составляющих ошиб- ки для решения обратной задачи с использованием случайных проекций // Математические машины и системы. – 2010. – № 4. – С. 33–42. 4. Рачковский Д.А., Ревунова E.Г. Метод решения ди- скретных некорректных задач на основе случайно- го проецирования // Cybernetics and Systems Analy- sis. – 2012. – № 4. – Р. 163–181. 5. Demmel J.W. Applied Numerical Linear Algebra / SIAM. – Рhiladelphia. – 1997. – 419 p. 6. Stewart G.W. On the perturbation of pseudo-inverses, projections and linear least squares problems // SIAM Review. – 1977. – 19, N 4. – Р. 634–662. 7. Кириченко Н.Ф. Аналитическое представление воз- мущений псевдообратных матриц. // Кибернетика и системный анализ. – 1997. – № 2. – С. 98–107. 8. Hansen P.C. Regularization Tools: A Matlab package for analysis and solution of discrete ill-posed problems // Numer. Algorithms. – 1994. – 6. – Р. 1–35. Поступила 04.07.2014 Тел. для справок: +38 044 502-6341 (Киев) E-mail: helab@i.com.ua © Е.Г. Ревунова, 2014  7.pdf 60.pdf << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments true /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <FEFF005400610074006f0020006e006100730074006100760065006e00ed00200070006f0075017e0069006a007400650020006b0020007600790074007600e101590065006e00ed00200064006f006b0075006d0065006e0074016f002000410064006f006200650020005000440046002c0020006b00740065007200e90020007300650020006e0065006a006c00e90070006500200068006f006400ed002000700072006f0020006b00760061006c00690074006e00ed0020007400690073006b00200061002000700072006500700072006500730073002e002000200056007900740076006f01590065006e00e900200064006f006b0075006d0065006e007400790020005000440046002000620075006400650020006d006f017e006e00e90020006f007400650076015900ed007400200076002000700072006f006700720061006d0065006300680020004100630072006f00620061007400200061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000610020006e006f0076011b006a016100ed00630068002e> /DAN <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> /DEU <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> /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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a stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA <FEFF005500740069006c0069007a007a006100720065002000710075006500730074006500200069006d0070006f007300740061007a0069006f006e00690020007000650072002000630072006500610072006500200064006f00630075006d0065006e00740069002000410064006f00620065002000500044004600200070006900f900200061006400610074007400690020006100200075006e00610020007000720065007300740061006d0070006100200064006900200061006c007400610020007100750061006c0069007400e0002e0020004900200064006f00630075006d0065006e007400690020005000440046002000630072006500610074006900200070006f00730073006f006e006f0020006500730073006500720065002000610070006500720074006900200063006f006e0020004100630072006f00620061007400200065002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200065002000760065007200730069006f006e006900200073007500630063006500730073006900760065002e> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <FEFF004200720075006b00200064006900730073006500200069006e006e007300740069006c006c0069006e00670065006e0065002000740069006c002000e50020006f0070007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065007200200073006f006d00200065007200200062006500730074002000650067006e0065007400200066006f00720020006600f80072007400720079006b006b0073007500740073006b00720069006600740020006100760020006800f800790020006b00760061006c0069007400650074002e0020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065006e00650020006b0061006e002000e50070006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c00650072002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200065006c006c00650072002000730065006e006500720065002e> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /RUS <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

Исследование метода решения дискретных некорректных задач на основе случайного проецирования

Репозитарії

Схожі ресурси