Метод синтезу еквівалента невідомого зовнішнього збурення для динамічних об'єктів
У даній роботі розроблено метод синтезу еквівалента сигналу невідомого зовнішнього збурення для динамічних об'єктів, описаних диференціальними рівняннями першого та другого порядків, що дозволяє здійснювати керування динамічними об'єктами на основі неявної математичної моделі об'єкта...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Математичні машини і системи |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83519 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Метод синтезу еквівалента невідомого зовнішнього збурення для динамічних об'єктів / О.Г. Славко // Мат. машини і системи. — 2011. — № 2. — С. 113-120. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-83519 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Славко, О.Г. 2015-06-20T08:42:32Z 2015-06-20T08:42:32Z 2011 Метод синтезу еквівалента невідомого зовнішнього збурення для динамічних об'єктів / О.Г. Славко // Мат. машини і системи. — 2011. — № 2. — С. 113-120. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83519 004.9; 681.5 У даній роботі розроблено метод синтезу еквівалента сигналу невідомого зовнішнього збурення для динамічних об'єктів, описаних диференціальними рівняннями першого та другого порядків, що дозволяє здійснювати керування динамічними об'єктами на основі неявної математичної моделі об'єкта керування в умовах малої апріорної інформації про керований процес. Наведено приклади результатів роботи розробленого методу для типових та нетипових видів зовнішнього збурення. В данной работе разработан метод синтеза эквивалента сигнала неизвестного внешнего возмущения для динамических объектов, описанных дифференциальными уравнениями первого и второго порядков, который позволяет управлять динамическими объектами на основе неявной математической модели объекта управления в условиях малой априорной информации о процессе управления. Приведены примеры результатов работы разработанного метода для типичных и нетипичных видов внешнего возмущения. A method of synthesis of unknown external disturbance equivalent for dynamic objects described by first- and second-order differential equations is developed. It allows us to control dynamic objects on the basis of implicit mathematical model of a controlled object under low a priori information about the control process. Examples of results of the proposed method for typical and untypical external disturbances are shown. uk Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Математичні машини і системи Моделювання і управління великими системами Метод синтезу еквівалента невідомого зовнішнього збурення для динамічних об'єктів Метод синтеза эквивалента неизвестного внешнего возмущения для динамических объектов Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Метод синтезу еквівалента невідомого зовнішнього збурення для динамічних об'єктів |
| spellingShingle |
Метод синтезу еквівалента невідомого зовнішнього збурення для динамічних об'єктів Славко, О.Г. Моделювання і управління великими системами |
| title_short |
Метод синтезу еквівалента невідомого зовнішнього збурення для динамічних об'єктів |
| title_full |
Метод синтезу еквівалента невідомого зовнішнього збурення для динамічних об'єктів |
| title_fullStr |
Метод синтезу еквівалента невідомого зовнішнього збурення для динамічних об'єктів |
| title_full_unstemmed |
Метод синтезу еквівалента невідомого зовнішнього збурення для динамічних об'єктів |
| title_sort |
метод синтезу еквівалента невідомого зовнішнього збурення для динамічних об'єктів |
| author |
Славко, О.Г. |
| author_facet |
Славко, О.Г. |
| topic |
Моделювання і управління великими системами |
| topic_facet |
Моделювання і управління великими системами |
| publishDate |
2011 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Математичні машини і системи |
| publisher |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Метод синтеза эквивалента неизвестного внешнего возмущения для динамических объектов |
| description |
У даній роботі розроблено метод синтезу еквівалента сигналу невідомого зовнішнього збурення для динамічних об'єктів, описаних диференціальними рівняннями першого та другого порядків, що дозволяє здійснювати керування динамічними об'єктами на основі неявної математичної моделі об'єкта керування в умовах малої апріорної інформації про керований процес. Наведено приклади результатів роботи розробленого методу для типових та нетипових видів зовнішнього збурення.
В данной работе разработан метод синтеза эквивалента сигнала неизвестного внешнего возмущения для динамических объектов, описанных дифференциальными уравнениями первого и второго порядков, который позволяет управлять динамическими объектами на основе неявной математической модели объекта управления в условиях малой априорной информации о процессе управления. Приведены примеры результатов работы разработанного метода для типичных и нетипичных видов внешнего возмущения.
A method of synthesis of unknown external disturbance equivalent for dynamic objects described by first- and second-order differential equations is developed. It allows us to control dynamic objects on the basis of implicit mathematical model of a controlled object under low a priori information about the control process. Examples of results of the proposed method for typical and untypical external disturbances are shown.
|
| issn |
1028-9763 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83519 |
| citation_txt |
Метод синтезу еквівалента невідомого зовнішнього збурення для динамічних об'єктів / О.Г. Славко // Мат. машини і системи. — 2011. — № 2. — С. 113-120. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT slavkoog metodsintezuekvívalentanevídomogozovníšnʹogozburennâdlâdinamíčnihobêktív AT slavkoog metodsintezaékvivalentaneizvestnogovnešnegovozmuŝeniâdlâdinamičeskihobʺektov |
| first_indexed |
2025-11-25T20:34:28Z |
| last_indexed |
2025-11-25T20:34:28Z |
| _version_ |
1850525656436178944 |
| fulltext |
© Славко О.Г., 2011 113
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2
УДК 004.9; 681.5
О.Г. СЛАВКО
МЕТОД СИНТЕЗУ ЕКВІВАЛЕНТА НЕВІДОМОГО ЗОВНІШНЬОГО ЗБУРЕННЯ
ДЛЯ ДИНАМІЧНИХ ОБ’ЄКТІВ
Анотація. У даній роботі розроблено метод синтезу еквівалента сигналу невідомого зовнішнього
збурення для динамічних об’єктів, описаних диференціальними рівняннями першого та другого по-
рядків, що дозволяє здійснювати керування динамічними об’єктами на основі неявної математич-
ної моделі об’єкта керування в умовах малої апріорної інформації про керований процес. Наведено
приклади результатів роботи розробленого методу для типових та нетипових видів зовнішнього
збурення.
Ключові слова: динамічні об’єкти, диференціальні рівняння, еквівалент зовнішнього збурення.
Аннотация. В данной работе разработан метод синтеза эквивалента сигнала неизвестного
внешнего возмущения для динамических объектов, описанных дифференциальными уравнениями
первого и второго порядков, который позволяет управлять динамическими объектами на основе
неявной математической модели объекта управления в условиях малой априорной информации о
процессе управления. Приведены примеры результатов работы разработанного метода для ти-
пичных и нетипичных видов внешнего возмущения.
Ключевые слова: динамические объекты, дифференциальные уравнения, эквивалент внешнего
возмущения.
Abstract. A method of synthesis of unknown external disturbance equivalent for dynamic objects described
by first- and second-order differential equations is developed. It allows us to control dynamic objects on
the basis of implicit mathematical model of a controlled object under low a priori information about the
control process. Examples of results of the proposed method for typical and untypical external distur-
bances are shown.
Keywords: dynamic objects, differential equations, external disturbance equivalent.
1. Вступ
У задачі оптимального керування наявність адекватної математичної моделі (ММ) об’єкта
керування є важливою проблемою. Класичним методом опису динамічних систем є вико-
ристання диференціальних рівнянь. Однак на практиці складання диференціальних рів-
нянь, що описують динаміку об’єкта керування, іноді є неможливим через наявність про-
блеми структурної або параметричної ідентифікації та недостатність інформації про зов-
нішні збурення, що діють на об’єкт керування. В [1, 2] запропоновано метод активно-
резонансного керування, основна ідея якого полягає в тому, що модель керованого проце-
су може бути створена на основі сигналу керування, вплив якого на об’єкт керування в по-
точний момент часу є еквівалентним дії зовнішніх невідомих збурень за умови невідомої
динаміки самого об’єкта керування. В роботах [3, 4] даний метод реалізовано для найпрос-
тішого виду об’єктів керування, а саме масштабної ланки:
( ) ( ) ( )y t a f t b u t= ⋅ + ⋅ ,
де t – час (с), ( )y t – вихідна реакція об’єкта, ( )f t – сигнал зовнішнього збурення, ( )u t –
сигнал керування, ,a b – коефіцієнти підсилення сигналів збурення та керування відповід-
но.
Метою роботи є розробка методу синтезу еквівалента невідомого зовнішнього збу-
рення для динамічних об’єктів керування, математичні моделі яких представлені диферен-
ціальними рівняннями першого та другого порядків в умовах параметричної невизначено-
сті.
114 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2
2. Аналіз попередніх результатів
Класичні методи побудови ММ об’єктів керування на основі активних методів параметри-
чної ідентифікації [5], статистичної теорії прийняття рішень і принципу дуального керу-
вання [6, 7] потребують значного часу й обчислювальних потужностей [8] і в умовах неви-
значеності мають достатньо велику похибку. Основна ідея запропонованого в [1, 2] мето-
ду, на відміну від класичних підходів, полягає в тому, що модель об’єкта керування синте-
зується в реальному часі у вигляді еквівалента невідомого зовнішнього збурення. Таким
чином створюється неявна ММ об’єкта, що дозволяє синтезувати керуючий сигнал за умо-
ви недостатньої апріорної інформації про керований процес. Тому узагальнення розробле-
ного в [1, 2] методу синтезу в реальному часі еквівалента зовнішнього збурення для
об’єктів, описаних диференціальними рівняннями, слід вважати актуальною проблемою,
не розв’язаною до цього часу.
3. Розробка методу синтезу еквівалента невідомого зовнішнього збурення для динамі-
чних об’єктів
У роботі розглянемо побудову алгоритму синтезу еквівалента зовнішнього збурення для
двох типів диференціальних рівнянь (першого і другого порядків), які є найбільш ужива-
ними при описі систем керування. Для кожного типу рівняння пропонуються дві модифі-
кації алгоритму, що обумовлено потребами особливостей програмування імітаційних мо-
делей у різних типах середовищ (наприклад, MathCad, MATLAB та ін.).
1. Розглянемо систему керування, описану диференціальним рівнянням першого
порядку:
( ) ( ) ( ) ( )dy t
ay t f t u t
dt
+ = + , (1)
де t – час (с), ( )y t – вихідна реакція системи керування, ( )f t – сигнал зовнішнього збу-
рення, ( )u t – сигнал керування, a – невідомий параметр.
Вважаємо, що невідомий коефіцієнт a ідентифікований за алгоритмом ідентифіка-
ції узагальнених параметрів [9].
Розглянемо дві модифікації алгоритму, які відрізняються способом наближення по-
хідної:
а) представлення похідної через поточне та попереднє значення.
Скористаємося наближеним представленням похідної через поточне та попереднє
значення керованої реакції системи:
( ) ( ) ( )1i i idy t y t y t
dt h
−−
≈ , (2)
де 0it t hi= + , 1i n= K .
Тоді, після нескладних перетворень (1), з урахуванням (2), отримаємо
( ) ( ) ( )( ) ( )1
1 1
i
i i i
y th
y t f t u t
ah ah
−= + +
+ +
. (3)
Введемо позначення:
1
1
A
ah
=
+
,
1
h
B
ah
=
+
. (4)
Тоді розв’язок рівняння (1) на основі (3) можна представити у вигляді рекурентної
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2 115
послідовності:
( ) ( ) ( ) ( )( )1i i i iy t Ay t B f t u t−= + + , (5)
де 0it t h i= + ⋅ , 1i n= K , ( )iy t – поточний вихідний керований сигнал системи, ( )1iy t − –
вихідний керований сигнал системи в попередній момент часу, ( )if t – поточний сигнал
зовнішнього збурення, ( )iu t – поточний сигнал керування, ,A B – невідомі параметри.
Нехай зовнішнє збурення ( )f t , що діє на об’єкт керування, є неперервною гладкою
функцією. Сигнал керування ( )u t формується згідно з алгоритмом, запропонованим в [1,
2]. Однак для коректного застосування динамічної системи, описаної диференціальним рі-
внянням, алгоритм синтезу еквівалента сигналу невідомого зовнішнього збурення необ-
хідно модифікувати.
З рівняння (5) алгоритм синтезу еквівалента зовнішнього збурення отримує вихідну
керовану реакцію об’єкта керування ( )y t . Однак цього значення недостатньо для корект-
ного функціонування даного алгоритму. Тому, окрім отримання значення ( )y t , в алгоритм
необхідно внести сформовану ліву частину диференціального рівняння. Отже, з урахуван-
ням (2), отримаємо ліву частину ( )L t диференціального рівняння (1):
( ) ( ) ( )dy t
L t ay t
dt
= + , ( ) ( ) ( ) ( )1i i
i i
y t y t
L t ay t
h
−−
= + ,
( ) ( ) ( )11 i
i i
y tah
L t y t
h h
−+= − .
З урахуванням (4), отримаємо
( ) ( ) ( )1i i
i
y t y t
L t
Ah h
−= − ; (6)
б) представлення похідної через поточне та наступне значення.
Скористаємося наближеним представленням похідної через поточне та наступне
значення керованої реакції системи. На перший погляд, виникає протиріччя, бо наступне
значення реакції ще не сформоване, але насправді в самому алгоритмі ми використовува-
тимемо дійсне поточне значення як наступне (зсув на один крок уперед). Такий підхід
спрощує алгоритмічну побудову рекурентної послідовності та зменшує кількість обчис-
лень коефіцієнтів, що впливає на швидкість роботи регулятора. Більш того, спрощується
отримання явних оцінок впливу похибки наближеного різницевого представлення похідної
і відкривається шлях для розробки алгоритму синтезу еквівалента зовнішнього збурення
для диференціальних рівнянь будь-якого порядку та використання ряду Тейлора для на-
ближень.
Оскільки
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 2
... ...
2! !+ = + + + + +
n n
i i i
i i n
dy t d y t d y th h
y t y t h
dt dt dt n
,
то ( ) ( ) ( ) ( )2
1+ = + +i
i i
dy t
y t y t h O h
dt
,
( ) ( ) ( ) ( )2
1i i i
O hy t y t dy t
h h dt
+ −
− = . (7)
116 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2
Підставивши (7) в (1), після перетворень, аналогічних попереднім, остаточно отри-
маємо
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2
1
1
i i i i
O h
y t f t u t a y t
h h+
= + − − +
.
Отже, наступне значення вихідної реакції об’єкта керування отримується на основі
поточного значення. Залишається лише врахувати зсув на один крок в алгоритмі синтезу
еквівалента зовнішнього збурення.
З урахуванням (7), аналогічно (6), отримаємо ліву частину ( )L t рівняння (1):
( ) ( ) ( ) ( )2
1 1
1
+ +
= + − −
i i i
O h
L t y t a y t
h h
. (8)
Вибір використання (6) або (8) визначається лише особливостями програмування
алгоритму синтезу еквівалента зовнішнього збурення.
2. Розглянемо систему керування, описану диференціальним рівнянням другого по-
рядку:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1 02
d y t dy t
a a y t f t u t
dt dt
+ + = + , (9)
де t – час (с), ( )y t – вихідна реакція системи керування, ( )f t – сигнал зовнішнього збу-
рення, ( )u t – сигнал керування, 1 0,a a – невідомі параметри.
Вважаємо, що невідомі коефіцієнти 1 0,a a ідентифіковані за алгоритмом ідентифіка-
ції узагальнених параметрів [9].
Представлення похідної через поточне та попереднє значення.
Оскільки
( ) ( ) ( )1i i idy t y t y t
dt h
−−
≈ та
( ) ( ) ( ) ( )2
1 2
2 2
2i i i id y t y t y t y t
dt h
− −− +
≈ , (10)
то
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1
1 02
2i i i i i
i i
y t y t y t y t y t
a a y t f t u t
h h
− − −− + −
+ + = + .
Після перетворень (9), з урахуванням (10), отримаємо
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2
1 1 2
2 2 2
1 0 1 0 1 0
2
1 1 1
i ii i
i
h f t u ta h y t y t
y t
a h a h a h a h a h a h
− − ++
= − +
+ + + + + +
.
Введемо позначення:
1
2
1 0
2
1
+=
+ +
a h
A
a h a h
,
2
1 0
1
1
=
+ +
B
a h a h
,
2
2
1 01
h
C
a h a h
=
+ +
(11)
за умови, що 2
1 01 0+ + ≠a h a h .
Тоді рівняння (9), з урахуванням (11), можна наближено представити у рекурентно-
му вигляді:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2− −= − + +i i i i iy t Ay t By t C f t u t ,
де 0= + ⋅it t h i , 1i n= K , ( )iy t – поточний вихідний керований сигнал системи,
( )1iy t − , ( )2iy t − – вихідний керований сигнал системи в попередній момент часу, ( )if t –
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2 117
поточний сигнал зовнішнього збурення, ( )iu t – поточний сигнал керування, , ,A B C – не-
відомі параметри.
З урахуванням (10), отримаємо ліву частину диференціального рівняння (9) за ви-
кладеною раніше методикою:
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 02
d y t dy t
L t a a y t
dt dt
= + + ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1
1 02
2i i i i i
i i
y t y t y t y t y t
L t a a y t
h h
− − −− + −
= + + ,
( ) ( ) ( ) ( )2
21 0 1
12 2 2
1 2 i
i i i
y ta h a h a h
L t y t y t
h h h
−
−
+ + += − + .
З урахуванням (11), остаточно отримаємо
( ) ( ) ( ) ( )2
12 2 2
i i
i i
y t y tA
L t y t
Bh Bh h
−
−= − + . (12)
Представлення похідної через поточне та наступне значення.
Використовуючи ряд Тейлора, отримаємо
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
3
1 2 2
2!i i
i i
dy t d y t
y t y t h O h
dt h dt+
− − − =
, (13)
( ) ( ) ( ) ( )2
1i i i
O hy t y t dy t
h h dt
+ −
− = . (14)
У дискретній формі, після підстановки (13), (14) в (9) та перетворень, отримаємо
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 31 1 1
1 0 2 2
2! 2!
i i i i
a a a
y t a y t O h O h f t u t
h h h h h+
+ − + − − = +
.
Нехай сумарна похибка ε визначається як
( ) ( )2 31
2 2
2! 2!a
O h O h
h h h
ε = − −
. (15)
Тоді, з урахуванням (15), рівняння (9) можна представити як
( ) ( ) ( )( ) ( )0
1
1 1
1i i i i
a hh
y t f t u t y t
a a
ε+
= + + − −
.
Аналогічно (12), отримаємо ліву частину диференціального рівняння (9):
( ) ( ) ( )1 1
1 1 0i i i
a a
L t y t a y t
h h
ε+ +
= + − +
.
Побудуємо алгоритм синтезу еквівалента невідомого зовнішнього збурення для за-
значених вище випадків. Запропонований у роботі підхід дозволяє будувати загальну схе-
му синтезу еквівалента зовнішнього збурення, яка для різних порядків диференціальних
рівнянь буде відрізнятися лише формулами для ( )L t . На рис. 1 наведено блок-схему за-
значеного алгоритму.
118 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2
Рис. 1. Блок-схема алгоритму синтезу еквівалента зовнішнього збурення для динамічних об’єктів
На рис. 2 для прикладу наведено результати роботи алгоритму синтезу еквівалента
зовнішнього збурення для типових випадків зовнішнього збурення.
а)
1; 0
( )
0; 0
t
f t
t
≥
= <
б)
; 0
( )
0; 0
t t
f t
t
≥
= <
в) ( ) tf t eα ⋅= г) ( )( ) sinf t A t Bω ϕ= ⋅ + +
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2 119
д) ( ) ( )1 1 1 2 2 2( ) sin sinω ϕ ω ϕ= + + +f t A t A t е) ( ) ( )1 1 1 2 2 2( ) cos cosf t A t A tω ϕ ω ϕ= + + +
Рис. 2. Приклади синтезованого еквівалента для типових збурень:
1 – сигнал невідомого зовнішнього збурення ( )f t , 2 – синтезований еквівалент ( )u t
На рис. 3 показана спроможність алгоритму будувати еквівалент невідомого зовні-
шнього збурення з особливостями. Розглянуто випадки розриву функцій збурення та випа-
док порушення їх гладкості. На рис. 3 г величина ( )X t – випадкова величина з нормаль-
ним розподілом.
а) ( ) 5 5f t t= − − + б)
( )sin
; 0
( )
1; 0
t
t
f t t
t
≠=
=
в)
1
; 1
( ) 1
0; 1
t
f t t
t
≠= −
=
г) ( ) ( )( ) sinf t A t X tω ϕ= ⋅ + +
Рис. 3. Приклади синтезованого еквівалента для збурень з особливостями:
1 – сигнал невідомого зовнішнього збурення ( )f t , 2 – синтезований еквівалент ( )u t
120 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2
4. Висновки
У даній роботі вперше побудовано метод синтезу еквівалента сигналу невідомого зовніш-
нього збурення для динамічних об’єктів, описаних диференціальними рівняннями першого
та другого порядків, що значно розширює можливості алгоритму [1, 2] та дозволяє здійс-
нювати керування динамічними об’єктами при дії невідомого збурення. В роботі проведе-
но оцінку похибки різницевого представлення похідної. Результати роботи будуть корис-
ними при розробці імітаційної моделі регулятора на основі принципу побудови еквівален-
та невідомого зовнішнього збурення для керування динамічними об’єктами.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Гученко М.І. Активно-резонансний алгоритм стабілізації / М.І. Гученко // Нові технології. Нау-
ковий вісник Інституту економіки та нових технологій ім. Ю.І. Кравченка. – 2003. – № 1(2). – С. 57
– 61.
2. Гученко М.І. Активно-резонансний принцип керування / М.І. Гученко // Зб. тез доп. 16 Міжна-
род. конф. з автоматичного управління "Автоматика – 2009". – Чернівці, 2009. – 22– 25 вересня. –
С. 59 – 61.
3. Славко Е.Г. Реализация алгоритма активного резонанса в среде Simulink для задачи стабилиза-
ции динамической системы / Е.Г. Славко, Н.И. Гученко // Сб. тез. докл. 12 Междунар. науч.-техн.
конф. “Моделирование, идентификация, синтез систем управления”. – Москва-Донецк, 2009. – 16–
23 сентября. – С. 70 – 71.
4. Славко О.Г. Побудова імітаційної моделі активно-резонансного регулятора / О.Г. Славко,
М.І. Гученко // Зб. тез доп. 12 Міжнар. наук.-практ. конф. "Математичне та програмне забезпечен-
ня інтелектуальних систем" (MPZIS-2009). – Дніпропетровськ, 2009. – 25–27 листопада. – С. 254 –
255.
5. Ljung L. System identification. Theory for the user. Second edition / L. Ljung // Prentice Hall PTR,
Upper Saddle River. – 1999. – 609 p.
6. Фельдбаум А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем / Фельдбаум А.А. – [изд.
2, испр. и доп.]. – М.: Наука, 1966. – 624 с.
7. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. – М.: Наука,
1987. – 712 с.
8. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты в зада-
чах управления и идентификации / Кунцевич В.М. – Киев: Наукова думка, 2006. – 264 с.
9. Славко О.Г. Алгоритм ідентифікації узагальнених параметрів в системах з активно-резонансним
керуванням / О.Г. Славко // Проблеми інформатизації та управління: зб. наук. пр. – К.: НАУ, 2010.
– Вип. 1 (29). – С. 159 – 163.
Стаття надійшла до редакції 09.09.2010
|