Чисельне дослідження процесу напірної фільтрації в середовищі з тонкими каналами
Побудовано математичну модель, яка описує процес напірної фільтрації в середовищі з тонкими каналами. Проведено низку розрахунків і досліджено залежність тиску та швидкості руху рідини при різних показниках напору і коефіцієнта фільтрації. Представлені і проаналізовані результати обчислювальних експ...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Математичні машини і системи |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83523 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Чисельне дослідження процесу напірної фільтрації в середовищі з тонкими каналами / О.М. Слупко, Я.Г. Савула, Л.М. Дяконюк // Мат. машини і системи. — 2011. — № 2. — С. 137-142. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859956565495250944 |
|---|---|
| author | Слупко, О.М. Савула, Я.Г. Дяконюк, Л.М. |
| author_facet | Слупко, О.М. Савула, Я.Г. Дяконюк, Л.М. |
| citation_txt | Чисельне дослідження процесу напірної фільтрації в середовищі з тонкими каналами / О.М. Слупко, Я.Г. Савула, Л.М. Дяконюк // Мат. машини і системи. — 2011. — № 2. — С. 137-142. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичні машини і системи |
| description | Побудовано математичну модель, яка описує процес напірної фільтрації в середовищі з тонкими каналами. Проведено низку розрахунків і досліджено залежність тиску та швидкості руху рідини при різних показниках напору і коефіцієнта фільтрації. Представлені і проаналізовані результати обчислювальних експериментів з визначенням тиску і швидкості руху рідини в рамках запропонованої моделі. На основі одержаних результатів зроблено висновок про застосовність сформульованої моделі.
Построена математическая модель, которая описывает процесс напорной фильтрации в среде с тонкими каналами. Проведен ряд расчетов и исследована зависимость давления и скорости движения жидкости при разных показателях напора и коэффициента фильтрации. Представлены и проанализированы результаты вычислительных экспериментов с определением давления и скорости движения жидкости в рамках предложенной модели. На основе полученных результатов сделан вывод о применимости сформулированной модели.
A mathematical model describing pressure filtration process in the environment with thin channels is proposed. A series of calculations is performed and the dependence of pressure and fluid flow velocity under different indices of the push and filtration coefficient is investigated. The results of calculation experiments with determination of pressure and fluid velocity within the offered model's framework are presented and analyzed. Conclusions on applicability of the formulated model are made by the results obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:19:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Слупко О.М., Савула Я.Г., Дяконюк Л.М., 2011 137
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2
УДК 519.6
О.М. СЛУПКО, Я.Г. САВУЛА, Л.М. ДЯКОНЮК
ЧИСЕЛЬНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ ПРОЦЕСУ НАПІРНОЇ ФІЛЬТРАЦІЇ В
СЕРЕДОВИЩІ З ТОНКИМИ КАНАЛАМИ
Анотація. Побудовано математичну модель, яка описує процес напірної фільтрації в середовищі з
тонкими каналами. Проведено низку розрахунків і досліджено залежність тиску та швидкості
руху рідини при різних показниках напору і коефіцієнта фільтрації. Представлені і проаналізовані
результати обчислювальних експериментів з визначенням тиску і швидкості руху рідини в рамках
запропонованої моделі. На основі одержаних результатів зроблено висновок про застосовність
сформульованої моделі.
Ключові слова: тонкий канал, комп’ютерне моделювання, рух рідини, напірна фільтрація, вклю-
чення, п’єзометричний напір.
Аннотация. Построена математическая модель, которая описывает процесс напорной фильт-
рации в среде с тонкими каналами. Проведен ряд расчетов и исследована зависимость давления и
скорости движения жидкости при разных показателях напора и коэффициента фильтрации.
Представлены и проанализированы результаты вычислительных экспериментов с определением
давления и скорости движения жидкости в рамках предложенной модели. На основе полученных
результатов сделан вывод о применимости сформулированной модели.
Ключевые слова: тонкий канал, компьютерное моделирование, движение жидкости, напорная
фильтрация, включение, пьезометрический напор.
Abstract. A mathematical model describing pressure filtration process in the environment with thin chan-
nels is proposed. A series of calculations is performed and the dependence of pressure and fluid flow ve-
locity under different indices of the push and filtration coefficient is investigated. The results of calcula-
tion experiments with determination of pressure and fluid velocity within the offered model’s framework
are presented and analyzed. Conclusions on applicability of the formulated model are made by the results
obtained.
Keywords: pressure filtration process, thin channels environment, fluid flow velocity.
1. Вступ
Важливим питанням сьогодення є ефективне використання водних ресурсів планети. Для
передбачення ймовірних наслідків використання потрібно здійснювати вивчення та моде-
лювання процесів перенесення води в природному середовищі. Різноманітні аспекти мате-
матичного моделювання та числового аналізу процесів перенесення в таких середовищах
розглянуто, зокрема, в роботах [1–4], де значну увагу зосереджено на теоретичному обґру-
нтуванні запропонованих математичних моделей та числових підходів. Для врахування
складніших розподілів швидкостей необхідно доповнити відповідні математичні моделі
рівняннями теорії фільтрації, адаптованими до наявності тонких включень чи каналів. Ме-
тою даної роботи є висвітлення результатів комп’ютерного моделювання процесу напірної
фільтрації гравітаційної рідини у середовищі з тонкими каналами, в яких відбуваються
протікання рідини і аналіз отриманих результатів.
2. Концептуальна модель
Сформулюємо основні положення, які стосуються розглянутого в даній роботі неоднорід-
ного середовища та процесів, що в ньому протікають. Під неоднорідним середовищем в
контексті роботи розуміємо обмежене проникне тіло з включеннями. Включенням назива-
ється тонкий канал, в якому відбувається протікання рідини. Тіло є однорідним (рис. 1),
середовище повністю насичене рухомим однокомпонентним розчином рідини. У
138 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2
Рис. 1. Пористе середовище з включеннями
Рис. 2. Пористе середовище з тонким каналом
включеннях відбувається рух однорідної,
нев’язкої, ізотропної рідини, яка є нестисли-
вою і ідеальною. Тобто, ми будемо розгляда-
ти рідину, яка має назву гравітаційна вода
(ґрунтова вода) – це вода вільна, не залежна
від сил притягання до поверхні твердих час-
тинок. Вона переміщається під впливом сили
тяжіння, в ній діє лише гідродинамічний
тиск. Поле швидкостей руху розчину вільне
від стиску та обертання, тобто потік є нести-
сливим та ламінарним. Контакт між тілом і
включеннями є ідеальним. Наявність додат-
кових джерел чи стоків, неізотермічних, хіміко-біологічних чи міжфазних процесів не пе-
редбачається.
Основні математичні співвідношення, використані для побудови моделі руху ріди-
ни в середовищі і у включеннях, описані в роботі [5].
3. Математичне формулювання задач
Розглянемо процес фільтрації в області Ω з
тонким каналом (рис. 2). Область Ω скла-
дається з підобласті FΩ , заповненої ріди-
ною, і PΩ .
Вздовж внутрішньої лінії
1Г розміще-
но тонкий канал (надалі товщиною каналу
нехтуємо). Позначимо
2Г – границя між
рідиною і пористим середовищем,
7654 ,,, ГГГГ – непроникні границі,
8Г –
проникна границя, через яку відбувається
витік рідини під власною вагою, H – висота стовпа рідини, k – коефіцієнт фільтрації в
PΩ .
Для опису процесу фільтрації у пористому середовищі, що містить канал, розглянемо
п’єзометричний напір:
3x
g
p
h +=
ρ
. (1)
Значення напору в FΩ і вздовж каналу
1Г знайдемо з рівнянь Нав'є-Стокса для не-
в'язкої рідини, в якому знехтували нелінійними щодо витрат доданками, та рівняння не-
розривності для нестисливої рідини для випадку, коли рух відбувається лише вздовж осі
3x . Знайдене значення напору:
Hh = . (2)
При цьому зауважимо, що розглядається усталений за часом процес, а також припу-
стили, що рух рідини відбувається лише вздовж осі
3x .
На границі витоку рідини
8Г швидкість фільтрації рівна k (рідина рухається лише
під власною вагою).
Врахувавши всі вище зазначені умови, отримаємо математичну модель для знахо-
дження п’єзометричного напору, який в PΩ задовольняє рівняння Лапласа:
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2 139
Рис. 3. Пористе середовище з тонкими каналами
Рис. 4. Розподіл тиску для ;/01,0 смk = мH 1,0= (Р, [1 Pa])
2 2 2
2 2 2
1 2 3
0
h h h
x x x
∂ ∂ ∂+ + =
∂ ∂ ∂
(3)
та такі граничні умови:
1 2на , ,h H Г Г= (4)
4 5
1
0 на ,
h
Г Г
x
∂ =
∂ , (5)
6 7
3
0 на ,
h
Г Г
x
∂ =
∂ , (6)
8
3
1 на
h
Г
x
∂ =
∂
. (7)
Знайшовши значення напору, отримаємо опис руху рідини згідно з законом Дарсі:
( ),u k grad h= − (8)
де u – вектор швидкостей.
Теорія поши-
рюється на область
PΩ , яка містить де-
кілька включень.
Числові розрахунки
проведені для пори-
стого середовища з
трьома тонкими ка-
налами різної дов-
жини (рис. 3).
Для числово-
го дослідження запропонованої математичної моделі використовуємо метод скінченних
елементів з трикутними елементами.
4. Результати числово-
го аналізу
Наведемо результати
числового аналізу мате-
матичної моделі (3)-(8).
Результати обчислень
тиску і швидкості фільт-
рації рідини подані у ви-
гляді рисунків. Розподіл
h обчислюємо в області
)1,0()2,0( ×=PΩ . Дов-
жина першого і третього
каналів 0,5 м і довжина
другого каналу 0,7 м,
поле швидкостей u і
поле тиску p знаходимо
140 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2
згідно з формулами, поданими в [5]. Розв’язок будувався на області, яка складається з 350
скінченних трикутних елементів.
Подамо нижче результати розрахунків розподілу тиску і поля швидкостей для різних кое-
фіцієнтів фільтрації k і висоти стовпа води H.
Рис. 5. Розподіл тиску для ;/02,0 смk = мH 1,0= (Р, [1 Pa])
Рис. 6. Поле швидкостей для ;/01,0 смk = мH 1;1,0= (u, [1 m/s])
Рис. 7. Розподіл тиску для ;/01,0 смk = мH 1,0= (Р, [1 Pa])
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2 141
З отриманих результатів можемо побачити, що для різних показників коефіцієнта
фільтрації і сталого показника висоти стовпа рідини змінюється розподіл тиску в середо-
вищі, а при сталому коефіцієнті фільтрації і різних показниках H швидкість залишається
незмінною. Аналогічні висновки були отримані для неоднорідного середовища з одним
включенням. Для даної задачі розглянуто конкретно визначені показники початкового на-
пору і коефіцієнта фільтрації, але дана модель може бути застосована також і для інших
вхідних даних.
5. Висновки
У даній роботі сформульовано математичну модель, яка описує процес напірної фільтрації
в середовищі з тонкими каналами. Отримано і подано у вигляді рисунків дані розрахунків
задач на визначення тиску і швидкості рідини, які відповідають фізиці відповідних проце-
сів. За допомогою числових експериментів здійснено аналіз отриманих результатів. Згідно
з аналізом зроблено висновки, що для різних показників коефіцієнта фільтрації і сталого
показаника висоти стовпа рідини змінюється розподіл тиску в середовищі, а при сталому
Рис. 8. Розподіл тиску для ;/02,0 смk = мH 1,0= (Р, [1 Pa])
Рис. 9. Поле швидкостей для ;/01,0 смk = мH 1;1,0= (u, [1 m/s])
142 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2
коефіцієнті фільтрації і різних показниках H швидкість залишається незмінною. Аналогі-
чні висновки були отримані для середовища з одним включенням, тобто можемо зробити
висновок, що сформульована математична модель є справедливою для середовища з дові-
льною кількістю тонких каналів. Отримані результати можуть бути використані під час
побудови математичної моделі, яка описує адвекційно-дифузійний процес масоперенесен-
ня в каналі і в області.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Бурак Я.Й. Фізико-математичне моделювання складних систем / Я.Й. Бурак, Є.Я. Чапля,
Т.С. Нагірний. – Львів: Сполом, 2004. – 264 с.
2. Дейнека В.С. Модели и методы решения задач в неоднородных средах / В.С. Дейнека, И.В. Сер-
гиенко. – К.: Наукова думка, 2001. – 605 с.
3. Мандзак Т.І. Математичне моделювання і числовий аналіз адвекції-дифузії у неоднорідних сере-
довищах / Т.І. Мандзак, Я.Г. Савула / НАН України. Центр математики моделювання Інституту
прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстигала. – Львів: Сплайн, 2009. – 148 с.
4. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод / Полубаринова-Кочина П.Я. – М.:
Недра, 1977. – 664 с.
5. Слупко О.М. Моделювання процесу руху гравітаційної води у пористому середовищі з каналом /
О.М. Слупко, Т.І. Мандзак, Я.Г. Савула // Вісник Львівського університету. – (Серія «Прикладна
математика та інформатика»). – 2009. – Вип. 15. – С. 258 – 266.
Стаття надійшла до редакції 02.09.2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-83523 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-9763 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:19:56Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Слупко, О.М. Савула, Я.Г. Дяконюк, Л.М. 2015-06-20T08:46:51Z 2015-06-20T08:46:51Z 2011 Чисельне дослідження процесу напірної фільтрації в середовищі з тонкими каналами / О.М. Слупко, Я.Г. Савула, Л.М. Дяконюк // Мат. машини і системи. — 2011. — № 2. — С. 137-142. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83523 519.6 Побудовано математичну модель, яка описує процес напірної фільтрації в середовищі з тонкими каналами. Проведено низку розрахунків і досліджено залежність тиску та швидкості руху рідини при різних показниках напору і коефіцієнта фільтрації. Представлені і проаналізовані результати обчислювальних експериментів з визначенням тиску і швидкості руху рідини в рамках запропонованої моделі. На основі одержаних результатів зроблено висновок про застосовність сформульованої моделі. Построена математическая модель, которая описывает процесс напорной фильтрации в среде с тонкими каналами. Проведен ряд расчетов и исследована зависимость давления и скорости движения жидкости при разных показателях напора и коэффициента фильтрации. Представлены и проанализированы результаты вычислительных экспериментов с определением давления и скорости движения жидкости в рамках предложенной модели. На основе полученных результатов сделан вывод о применимости сформулированной модели. A mathematical model describing pressure filtration process in the environment with thin channels is proposed. A series of calculations is performed and the dependence of pressure and fluid flow velocity under different indices of the push and filtration coefficient is investigated. The results of calculation experiments with determination of pressure and fluid velocity within the offered model's framework are presented and analyzed. Conclusions on applicability of the formulated model are made by the results obtained. uk Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Математичні машини і системи Моделювання і управління великими системами Чисельне дослідження процесу напірної фільтрації в середовищі з тонкими каналами Численное исследование процесса напорной фильтрации в среде с тонкими каналами Numerical investigation of the pressure filtration process in thin channels environment Article published earlier |
| spellingShingle | Чисельне дослідження процесу напірної фільтрації в середовищі з тонкими каналами Слупко, О.М. Савула, Я.Г. Дяконюк, Л.М. Моделювання і управління великими системами |
| title | Чисельне дослідження процесу напірної фільтрації в середовищі з тонкими каналами |
| title_alt | Численное исследование процесса напорной фильтрации в среде с тонкими каналами Numerical investigation of the pressure filtration process in thin channels environment |
| title_full | Чисельне дослідження процесу напірної фільтрації в середовищі з тонкими каналами |
| title_fullStr | Чисельне дослідження процесу напірної фільтрації в середовищі з тонкими каналами |
| title_full_unstemmed | Чисельне дослідження процесу напірної фільтрації в середовищі з тонкими каналами |
| title_short | Чисельне дослідження процесу напірної фільтрації в середовищі з тонкими каналами |
| title_sort | чисельне дослідження процесу напірної фільтрації в середовищі з тонкими каналами |
| topic | Моделювання і управління великими системами |
| topic_facet | Моделювання і управління великими системами |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83523 |
| work_keys_str_mv | AT slupkoom čiselʹnedoslídžennâprocesunapírnoífílʹtracíívseredoviŝíztonkimikanalami AT savulaâg čiselʹnedoslídžennâprocesunapírnoífílʹtracíívseredoviŝíztonkimikanalami AT dâkonûklm čiselʹnedoslídžennâprocesunapírnoífílʹtracíívseredoviŝíztonkimikanalami AT slupkoom čislennoeissledovanieprocessanapornoifilʹtraciivsredestonkimikanalami AT savulaâg čislennoeissledovanieprocessanapornoifilʹtraciivsredestonkimikanalami AT dâkonûklm čislennoeissledovanieprocessanapornoifilʹtraciivsredestonkimikanalami AT slupkoom numericalinvestigationofthepressurefiltrationprocessinthinchannelsenvironment AT savulaâg numericalinvestigationofthepressurefiltrationprocessinthinchannelsenvironment AT dâkonûklm numericalinvestigationofthepressurefiltrationprocessinthinchannelsenvironment |