Алгоритмизация нечетких многокритериальных задач выбора
В роботе рассмотрен подход к решению нечеткой многокритериальной задачи выбора. Описаны алгоритмы и приведены примеры их реализации. У роботі розглянуто підхід до розв'язання нечіткої багатокритеріальної задачі вибору. Описано алгоритми та приведено приклади їх реалізації. An approach to the so...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Математичні машини і системи |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83527 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Алгоритмизация нечетких многокритериальных задач выбора / Н.Н. Маляр // Мат. машини і системи. — 2011. — № 2. — С. 171-177. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860096583784202240 |
|---|---|
| author | Маляр, Н.Н. |
| author_facet | Маляр, Н.Н. |
| citation_txt | Алгоритмизация нечетких многокритериальных задач выбора / Н.Н. Маляр // Мат. машини і системи. — 2011. — № 2. — С. 171-177. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичні машини і системи |
| description | В роботе рассмотрен подход к решению нечеткой многокритериальной задачи выбора. Описаны алгоритмы и приведены примеры их реализации.
У роботі розглянуто підхід до розв'язання нечіткої багатокритеріальної задачі вибору. Описано алгоритми та приведено приклади їх реалізації.
An approach to the solution of fuzzy multi-criteria tasks of choice is considered. Related algorithms are described and examples of their implementation are given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:25:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Маляр Н.Н., 2011 171
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2
УДК 004.519.681
Н.Н. МАЛЯР
АЛГОРИТМИЗАЦИЯ НЕЧЕТКИХ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ВЫБОРА
Анотація. У роботі розглянуто підхід до розв’язання нечіткої багатокритеріальної задачі вибору.
Описано алгоритми та приведено приклади їх реалізації.
Ключові слова: багатокритеріальний вибір, нечіткі множини.
Аннотация. В роботе рассмотрен подход к решению нечеткой многокритериальной задачи выбо-
ра. Описаны алгоритмы и приведены примеры их реализации.
Ключевые слова: многокритериальный выбор, нечеткие множества.
Abstract. An approach to the solution of fuzzy multi-criteria tasks of choice is considered. Related algo-
rithms are described and examples of their implementation are given.
Keywords: multi-criteria choice, fuzzy sets.
1. Введение
В наши дни практически все экспериментальные исследования, связанные с оптимизацией
социально – экономических, социально-медицинских или технических систем, базируются
на задачах по выходу из проблемной ситуации. Основное, что характеризует проблемы,
стоящие перед человеком XXІ века, будь-то политика, экономика, наука – это сложно и
неопределенно. Именно эти факторы стали катализатором проведения современных ис-
следований процессов принятия решений.
Действительно, во многих практических ситуациях сложность принимаемых реше-
ний определяется, прежде всего, двумя факторами: количеством альтернативных вариан-
тов, количеством и разнородностью критериев оценки этих вариантов. Проблемы, в кото-
рых отсутствует полная информация о том или ином объекте, являются слабо структури-
руемыми проблемами принятия решений. Термин "слабо структурируемые проблемы" (ill-
structured) был введен Г.Саймоном [1]. В слабо структурируемых проблемах принятия ре-
шений, как правило, плохо определенные факторы качественного характера имеют тен-
денцию доминировать, критерии оценки альтернатив носят субъективный характер. Удоб-
ной математической моделью для представления этих задач является многокритериальная
модель выбора. Суть данной модели состоит в том, что множество альтернатив, из кото-
рых должен быть осуществлен выбор, оцениваются при помощи нескольких показателей
качества. Эти показатели могут быть описаны как количественно, так и качественно.
Как показывает анализ литературных источников, можно выделить несколько ос-
новных типов неопределенностей в задачах принятия решений [2, 3]. Это:
– объективная неопределенность ("неопределенность природы");
– неопределенность, вызванная отсутствием достаточной информации (гносеологи-
ческая неопределенность);
– стратегическая неопределенность, вызванная зависимостью от действий других
субъектов (партнеров, противников, организаций и т.п.);
– неопределенность, порожденная слабо структурируемыми проблемами;
– неопределенность, вызванная нечеткостью, расплывчатостью как процессов и яв-
лений, так и информации, их описывающей.
Заметим, что в практических задачах могут присутствовать несколько видов неоп-
ределенностей.
Эффективность поиска оптимальных решений существенно зависит от методов
описания и анализа имеющейся в задаче неопределенности, насколько адекватно эти мето-
ды могут отразить реальную ситуацию. Исторически первыми появились вероятностно-
172 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2
статистические методы, и на сегодняшний день они являются наиболее развитыми. Эти
методы описания и анализа неопределенности являются основой для принятия решений в
условиях риска, а большинство задач, решаемых людьми, как в деловой сфере, так и в
обыденной жизни, имеют рискованный характер. Несмотря на развитие вероятностных
методов, они не могут являться универсальным средством для описания всех типов неоп-
ределенностей в задачах принятия решений. Это относится, прежде всего, к слабо структу-
рируемым проблемам и задачам с нечеткой исходной информацией.
Рассмотрим подробнее тот тип неопределенности в задачах принятия решений, ко-
торый связан с нечеткими, качественными (нежесткими, неточными, расплывчатыми)
свойствами процессов и явлений. Одной из наиболее важнейших особенностей приклад-
ных задач выбора для экономических, социальных и других систем является нечеткий ха-
рактер критериев выбора альтернатив, их параметров, ограничений, накладываемых на
возможность выбора тех или иных вариантов, и т.д. Неточность измерения и, как следст-
вие, нечеткость описания реальных объектов является естественной потому, что человеку
несвойственно мыслить и принимать решения только в "количественных" характеристи-
ках. Он мыслит “качественно”, и для него поиск решений – прежде всего поиск замысла
решения, и здесь количественные оценки играют вспомогательную роль. Формализация
нечетких понятий – одна из главных задач, которую надо решать при разработке моделей
принятия решений в сложных, неопределенных ситуациях. Вследствие этого, в большин-
стве случаев оказывается невозможным построение традиционной адекватной математи-
ческой модели исследуемой проблемы. Однако, несмотря на такую нечеткость, в практи-
ческих ситуациях обычно удается получить определенное представление об этих объектах
и решать поставленные задачи. Весьма перспективным математическим аппаратом на се-
годняшний день, который позволяет наиболее адекватно описывать данный процесс, мо-
жет послужить теория нечетких множеств [4–7].
Данный аппарат для решения задач оптимального выбора впервые был предложен в
работах Беллмана и Заде [4, 5]. Суть этого подхода состоит в том, что человеческий способ
рассуждений, опирающийся на естественный язык, не может быть описан в рамках тради-
ционных математических формализмов. Этим формализмам присуща строгая однознач-
ность интерпретации, а все, что связано с использованием естественного языка, имеет
многозначную интерпретацию. В основе теории Л. Заде [5, 6] лежит достаточно очевид-
ный факт – субъективные представления о цели всегда нечетки. Далее делается и сле-
дующий шаг, полагая, что оценки и ограничения субъекта так же, как правило, нечетки, а
иногда и вообще лишены в своем начальном виде количественных характеристик. В каче-
стве средства математического моделирования неопределенных понятий, которыми опе-
рирует человек при описании своих представлений о какой-то реальной системе, своих
желаний, целей и т.п., выступает нечеткое множество.
Нечетким множеством YB ⊆ называется совокупность пар вида ( )( )yy Bµ, , где
Yy∈ , а Bµ (функция [ ]1;0→Y ) называется функцией принадлежности нечеткому множе-
ству B , которая представляет собой некоторую субъективную меру соответствия элемента
нечеткому множеству [6, 7]. Значения ( )yBµ для конкретного Yy∈ называются степенью
принадлежности этого элемента нечеткому множеству B и могут принимать значения от
нуля, который обозначает абсолютную непринадлежность, до единицы, которая, наоборот,
говорит об абсолютной принадлежности элемента Yy∈ нечеткому множеству B .
2. Постановка нечеткой многокритериальной задачи
Элементы теории нечетких множеств успешно используются для принятия решений по
многим критериям. Часто, например, экспертные оценки альтернатив по критериям могут
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2 173
быть представлены как нечеткие множества или нечеткие числа, выраженные с помощью
функции принадлежности. В данном случае критерии определяют некоторые понятия, а
оценки альтернатив представляют собой степени соответствия этим понятиям. Пусть име-
ется множество альтернатив }{ maaA ,...,1= и множество критериев }{ nKKK ,...,1= . При
этом оценки альтернатив по каждому i-му критерию представлены нечеткими множества-
ми:
}{ mmiiii aaaaaaK /)(,...,/)(,/)(
~
2211 µµµ= .
Рассмотрим класс задач, которые могут быть описаны следующим образом: пусть
критерии эффективности }{ nKKK ,...,1= моделируются соответственно целевыми функ-
циями }{ nff ,...,1 , которые описаны нечетко, т.е., для каждой fi задано отображение
[ ]1,0: 1 →× RAiµ , где A – универсальное множество альтернатив, R1 – числовая ось. В
этом случае )(xiµ при каждом фиксированном Ax ∈ представляет собой нечеткое описа-
ние оценки результата выбора альтернативы x , т.е., как функцию принадлежности нечет-
кого множества цели.
3. Описание алгоритмов решения задачи
Предположим, что AX D ⊆ – допустимое множество альтернатив. Опишем некоторые ал-
горитмы решения нечеткой задачи многокритериального выбора эффективной альтернати-
вы или альтернатив.
Алгоритм Р1. Пусть совокупность критериев эффективности }{ nKK ,...,1 строго
ранжирована по значимости важности.
0-й шаг. Задаем строгий порядок важности для критериев и нумеруем их в убы-
вающем порядке.
i-й шаг. Задаем порог уровня iβ и строим множество
{ } DD
ii
D
i
D
i XXxXxxX ≡≥∈= − 01 ,)(,| βµ .
Если Ο≡D
iX (пусто), то лицо, принимающее решение (ЛПР), должно изменить по-
рог уровня iβ или вернуться на шаг выше и изменить порог уровня 1−iβ . Данный шаг по-
вторяется ( ni ≤ ) до тех пор, пока D
iX не будет содержать такое количество альтернатив,
из которых ЛПР может выбрать самую эффективную.
На n-ом шаге ЛПР должно либо согласиться с множеством D
nX , либо повторно вы-
полнить алгоритм, изменив при этом или приоритеты критериев, или пороги уровней.
Алгоритм Р2. Пусть все критерии эффективности по важности равнозначные.
0-й шаг. Для каждого критерия задается порог уровня iβ .
i-й шаг. Решается задача построения множества:
{ }ii
DD
i xXxxX βµ ≥∈= )(,| .
Данный шаг выполняется n раз.
n+1-й шаг. Ищется множество
I
n
i
D
iXX
1=
∗ = .
174 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2
Если Ο≡∗X (пусто) или не удовлетворяет ЛПР, тогда изменяются либо все пороги уровня
iβ , либо некоторые из них и повторяется i-й шаг. В противном случае алгоритм заканчи-
вает работу.
Примечание 1. Если порядок важности критериев нестрогий, то для таких задач на-
до использовать комбинацию алгоритмов Р1 и Р2 (для равнозначных).
Примечание 2. Если о важности критериев ничего неизвестно, то для решения таких
задач может быть использован алгоритм Р1 с поочередным выбором критериев при помо-
щи датчика случайных чисел.
4. Решение прикладных задач
Пусть }{ maaA ,...,1= – множество поставщиков, из которых нужно выбрать «наилучшего»;
}{ nKKK ,...,1= – множество критериев, используемых для оценки поставщиков из A. За-
дача состоит в поиске эффективного поставщика (поставщиков). Если эффективных по-
ставщиков несколько, то их расположение (упорядочение, ранжирование) осуществляется
в порядке предпочтения по значениям критериев множества K.
Как видно из табл. 1, часть информации о поставщиках измеряется в качественных,
а часть – в количественных шкалах. Поэтому для того, чтобы эти данные были сопостави-
мыми и количественными, произведем переход от значений разнотипных параметров к их
нечетким оценкам, измеряемым в одной и той же количественной шкале.
Определим шкалу измерения в виде интервала вещественных чисел [0,1] и для каж-
дого поставщика ),...,1( mjAa j =∈ по значению каждого критерия ),...,1( niK i = установим
числовую оценку [ ]1,0)( ∈ji aµ , которая характеризует, насколько этот поставщик соответ-
ствует понятию «наилучший по i-му критерию». В результате каждый поставщик ja те-
перь будет представлен не множеством значений оценок, а множеством
}{ )(),...,(),( 21 jnjj aaa µµµ соответствующих им числовых оценок. При этом все они изме-
ряются в одной и той же числовой шкале (интервал [0,1]) и, следовательно, могут быть ис-
пользованы совместно в численных расчетах (табл. 2).
Таким образом, для каждого ),...,1( niKK i =∈ имеется множество
}{ )(),...,(),( 21 miii aaa µµµ , каждый элемент которого характеризует соответствие постав-
щика ja понятию «наилучший» по этому критерию. Следовательно, это понятие можно
представить нечетким множеством, заданным на универсальном множестве поставщиков
A, }{ mmiiii aaaaaaK /)(,...,/)(,/)(
~
2211 µµµ= с функцией принадлежности [ ]1,0)( ∈ji aµ ,
характеризующей совместимость любого поставщика ),...,1( mjAa j =∈ с данным поняти-
ем.
Оценки параметров, в качестве которых выступают значения функции принадлеж-
ности, можно получать непосредственно от эксперта (прямой метод) или, если у него воз-
никают трудности с заданием значений функций принадлежности, можно использовать
какие-либо косвенные методы, например, метод парных сравнений.
5. Пример задачи выбора поставщика
Для примера рассмотрим задачу выбора наилучшего поставщика строительных материа-
лов среди тринадцати компаний, характеризующихся критериями, приведенными в табл. 1.
Заметим, что в этом случае необходимо совместно использовать данные, измеряе-
мые в количественной шкале отношений («Сроки доставки», «Стоимость доставки», «Цена
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2 175
продукции»), и данные, измеряемые в качественных шкалах порядка («Качество продук-
ции», «Финансовое состояние», «Удаленность от потребителя») и наименований («Усло-
вия платежа», «Вид платежа»). Если для первой шкалы допустимыми являются как логи-
ческие, так и арифметические операции, то для остальных шкал использование арифмети-
ческих операций недопустимо. Мало того, к данным шкалы наименований можно приме-
нять только одну логическую операцию – сравнение на эквивалентность.
Таблица 1. Критерии оценки поставщиков
Показатель Шкала измерения
Сроки доставки ( 1K ) (0, ∞), дни
Стоимость доставки ( 2K ) (0, ∞), грн за 1 т
Условия платежа ( 3K ) {Предоплата, Рассрочка, Оплата по фак-
ту}
Качество продукции ( 4K ) {Низкое, Среднее, Высокое}
Финансовое состояние ( 5K ) {Неустойчиво, Устойчиво}
Вид платежа ( 6K ) {Наличный, Безналичный}
Цена продукции ( 7K ) (0, ∞), грн за 1 т
Удаленность от потребителя ( 8K ) {Рядом, Недалеко, Далеко}
Предположим, что эксперт определил значения функции принадлежности для дан-
ной задачи (табл. 2).
Таблица 2. Экспертная оценка значений критериев
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13
1K 0,75 0,85 0,90 0,91 0,95 0,75 0,85 0,91 0,93 0,78 0,88 0,90 0,90
2K 0,90 0,95 0,80 0,85 0,78 0,88 0,95 0,90 0,85 0,93 0,90 0,88 0,78
3K
0,30 0,60 0,60 0,90 0,90 0,60 0,30 0,90 0,90 0,30 0,30 0,90 0,60
4K 0,70 0,50 0,90 0,70 0,90 0,50 0,70 0,90 0,90 0,30 0,30 0,70 0,90
5K
0,60 0,90 0,60 0,90 0,90 0,60 0,90 0,60 0,90 0,90 0,60 0,90 0,90
6K
0,50 0,80 0,50 0,80 0,80 0,50 0,50 0,80 0,80 0,50 0,80 0,80 0,50
7K
0,90 0,90 0,89 0,90 0,91 0,93 0,90 0,93 0,95 0,88 0,91 0,94 0,95
8K
0,80 0,60 0,80 1,00 0,60 0,80 1,00 1,00 0,80 0,60 0,60 1,00 0,60
Покажем результаты работы алгоритмов Р1 и Р2 на данном примере.
Результат работы алгоритма Р1. Пусть критерии эффективности строго ранжирова-
ны по важности в порядке увеличения их номеров, то есть 821 KKK fLff и
},,,,,,,,,,,,{ 131211109876543210 aaaaaaaaaaaaaX D = .
Шаг 1. Пусть 85,01 =β , тогда },,,,,,,,,{ 13121198754321 aaaaaaaaaaX D = .
Шаг 2. Пусть 81,02 =β , тогда },,,,,,{ 1211987422 aaaaaaaX D = .
Шаг 3. Пусть 60,03 =β , тогда },,,,{ 1298423 aaaaaX D = .
Шаг 4. Пусть 70,04 =β , тогда },,,{ 129844 aaaaX D = .
Шаг 5. Пусть 60,05 =β , тогда },,,{ 129845 aaaaX D = .
176 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2
Шаг 6. Пусть 80,06 =β , тогда },,,{ 129846 aaaaX D = .
Шаг 7. Пусть 93,07 =β , тогда },,{ 12987 aaaX D = .
Шаг 8. Пусть 00,18 =β , тогда },{ 1288 aaX D = .
По результату работы алгоритма Р1 эффективными являются две альтернативы },{ 128 aa .
Результат работы алгоритма Р2. Пусть критерии эффективности равнозначны по
важности и },,,,,,,,,,,,{ 131211109876543210 aaaaaaaaaaaaaX D = .
Шаг 1. Пусть 85,01 =β , тогда },,,,,,,,,{ 13121198754321 aaaaaaaaaaX D = .
Шаг 2. Пусть 81,02 =β , тогда },,,,,,,,,{ 12111098764212 aaaaaaaaaaX D = .
Шаг 3. Пусть 60,03 =β , тогда },,,,,,,,{ 131298654323 aaaaaaaaaX D = .
Шаг 4. Пусть 70,04 =β , тогда },,,,,,,,{ 131298754314 aaaaaaaaaX D = .
Шаг 5. Пусть 60,05 =β , тогда },,,,,,,,,,,,{ 131211109876543215 aaaaaaaaaaaaaX D = .
Шаг 6. Пусть 80,06 =β , тогда },,,,,,{ 1211985426 aaaaaaaX D = .
Шаг 7. Пусть 93,07 =β , тогда },,,,{ 13129867 aaaaaX D = .
Шаг 8. Пусть 00,18 =β , тогда },,,{ 128748 aaaaX D = .
Шаг 9. Эффективное множество },{ 128 aaX =∗ .
По результату работы алгоритма Р2 эффективными являются две альтернативы },{ 128 aa .
Как показало тестирование этих двух алгоритмов, при одинаковых значениях поро-
гов их результаты совпадают.
6. Выводы
Приведенные алгоритмы позволяют решать широкий спектр задач, когда критерии эффек-
тивности описаны нечетко. Следует отметить, что большая часть математического аппара-
та, применявшегося в теории поддержки и принятия решений, допускает обобщение на
случай нечетких множеств и лингвистических переменных. Элементы нечеткой математи-
ки находят широкое применение в моделях принятия решений [8, 9]. Основанная на тео-
рии нечетких множеств новая методология построения компьютерных систем, а именно
нечетких систем, существенно расширяет области применения компьютеров. Прикладные
нечеткие системы являются одной из передовых технологий, в которых лидирует Япония
[10]. Нечеткие системы сегодня широко применяются как в промышленности, так и для
решения задач управления в медицине, экономике, маркетинге, страховании, обучении и
других областях, где существенную роль играет субъективный опыт экспертов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Simon H. The Structure of Ill-structured Problems / Н. Simon // Artificial Intelligence. – 1973. – Vol. 4.
– P. 181 – 202.
2. Диев В.С. Гносеологические и методологические аспекты неопределенности в принятии реше-
ний / В.С. Диев // Личность и познание: сб. науч. тр. – М., 1991. – С. 192 – 211.
3. Диев В.С. Нечеткость в принятии решений / В.С. Диев // Философия науки. – 1993. – № 1 (4). –
С. 45 –52 с.
4. Беллман Р. Принятие решений в расплывчатых условиях / Р. Беллман, Л. Заде // Вопросы анали-
за и процедуры принятия решений. – М.: Мир, 1976. – С. 172 – 215.
5. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и ее применение к принятию приближенных ре-
шений / Заде Л. – М.: Мир, 1976. – 165 с.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2 177
6. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств / Кофман А. – М.: Радио и связь, 1982. – 432 с.
7. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации / Орловский
С.А. – М.: Наука, 1981. – 206 с.
8. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / Под ред. Д.А. Поспе-
лова. – М.: Наука, 1986. – 311 с.
9. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений. – М.: Радио и связь, 1989. –
240 с.
10. Прикладные нечеткие системы / К. Асан, Д. Ватада, С. Иваи [и др.]; пер. с япон. – М.: Мир,
1993. – 75 с.
Стаття надійшла до редакції 14.12.2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-83527 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-9763 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:25:56Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Маляр, Н.Н. 2015-06-20T08:51:47Z 2015-06-20T08:51:47Z 2011 Алгоритмизация нечетких многокритериальных задач выбора / Н.Н. Маляр // Мат. машини і системи. — 2011. — № 2. — С. 171-177. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83527 004.519.681 В роботе рассмотрен подход к решению нечеткой многокритериальной задачи выбора. Описаны алгоритмы и приведены примеры их реализации. У роботі розглянуто підхід до розв'язання нечіткої багатокритеріальної задачі вибору. Описано алгоритми та приведено приклади їх реалізації. An approach to the solution of fuzzy multi-criteria tasks of choice is considered. Related algorithms are described and examples of their implementation are given. ru Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Математичні машини і системи Моделювання і управління великими системами Алгоритмизация нечетких многокритериальных задач выбора Алгоритмізація нечітких багатокритеріальних задач вибору Algorithmization of fuzzy multi-criteria tasks of choice Article published earlier |
| spellingShingle | Алгоритмизация нечетких многокритериальных задач выбора Маляр, Н.Н. Моделювання і управління великими системами |
| title | Алгоритмизация нечетких многокритериальных задач выбора |
| title_alt | Алгоритмізація нечітких багатокритеріальних задач вибору Algorithmization of fuzzy multi-criteria tasks of choice |
| title_full | Алгоритмизация нечетких многокритериальных задач выбора |
| title_fullStr | Алгоритмизация нечетких многокритериальных задач выбора |
| title_full_unstemmed | Алгоритмизация нечетких многокритериальных задач выбора |
| title_short | Алгоритмизация нечетких многокритериальных задач выбора |
| title_sort | алгоритмизация нечетких многокритериальных задач выбора |
| topic | Моделювання і управління великими системами |
| topic_facet | Моделювання і управління великими системами |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83527 |
| work_keys_str_mv | AT malârnn algoritmizaciânečetkihmnogokriterialʹnyhzadačvybora AT malârnn algoritmízacíânečítkihbagatokriteríalʹnihzadačviboru AT malârnn algorithmizationoffuzzymulticriteriatasksofchoice |