Критерий выбора модели для решения дискретных некорректных задач на основе сингулярного разложения
Для метода решения дискретных некорректных задач на основе сингулярного разложения рассмотрен подход к определению минимума ошибки. Предложена аппроксимация ошибки восстановления вектора данных и критерий выбора оптимального числа компонент сингулярного разложения. Проведено исследование точности ре...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Управляющие системы и машины |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83533 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Критерий выбора модели для решения дискретных некорректных задач на основе сингулярного разложения / Е.Г. Ревунова, А.В. Тищук // Управляющие системы и машины. — 2014. — № 6. — С. 3-11, 26. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860220331841552384 |
|---|---|
| author | Ревунова, Е.Г. Тищук, А.В. |
| author_facet | Ревунова, Е.Г. Тищук, А.В. |
| citation_txt | Критерий выбора модели для решения дискретных некорректных задач на основе сингулярного разложения / Е.Г. Ревунова, А.В. Тищук // Управляющие системы и машины. — 2014. — № 6. — С. 3-11, 26. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Управляющие системы и машины |
| description | Для метода решения дискретных некорректных задач на основе сингулярного разложения рассмотрен подход к определению минимума ошибки. Предложена аппроксимация ошибки восстановления вектора данных и критерий выбора оптимального числа компонент сингулярного разложения. Проведено исследование точности решения дискретных некорректных задач с использованием предложенного критерия.
An approach to finding the minimum of error for the method of solving discrete ill-posed problems based on singular value decomposition is proposed. We develop an approach of choosing the optimal number of the singular value decomposition components. The experimental investigation of discrete ill-posed problems solving accuracy based on the proposed criterion is conducted.
Для методу розв'язання дискретних некоректних задач на основі сингулярного розкладання розглянуто підхід до визначення мінімуму помилки. Запропоновано апроксимацію помилки відновлення вектора даних та критерій вибору оптимального числа компонент сингулярного розкладання. Проведено дослідження точності розв’язання дискретних некоректних задач з використанням запропонованого критерію.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:17:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
УСиМ, 2014, № 6 3
Фундаментальные и прикладные проблемы Computer Science
УДК 004.942 + 623.454.862
Е.Г. Ревунова, А.В. Тищук
Критерий выбора модели для решения дискретных некорректных задач
на основе сингулярного разложения
Для метода решения дискретных некорректных задач на основе сингулярного разложения рассмотрен подход к определению
минимума ошибки. Предложена аппроксимация ошибки восстановления вектора данных и критерий выбора оптимального
числа компонент сингулярного разложения. Проведено исследование точности решения дискретных некорректных задач с ис-
пользованием предложенного критерия.
An approach to finding the minimum of error for the method of solving discrete ill-posed problems based on singular value decomposi-
tion is proposed. We develop an approach of choosing the optimal number of the singular value decomposition components. The ex-
perimental investigation of discrete ill-posed problems solving accuracy based on the proposed criterion is conducted.
Для методу розв'язання дискретних некоректних задач на основі сингулярного розкладання розглянуто підхід до визначення
мінімуму помилки. Запропоновано апроксимацію помилки відновлення вектора даних та критерій вибору оптимального числа
компонент сингулярного розкладання. Проведено дослідження точності розв’язання дискретних некоректних задач з викорис-
танням запропонованого критерію.
Введение. Решение некорректных задач [1–3]
актуально для многих областей науки и тех-
ники. Дискретные некорректные задачи [3]
возникают, например, при дискретизации ин-
тегральных уравнений в таких областях, как
спектрометрия, гравиметрия, магнитометрия,
электроразведка и др.
Известно, что решение дискретной некор-
ректной обратной задачи как задачи наимень-
ших квадратов – неустойчиво. Неустойчивость
проявляется в том, что малым изменениям в
векторе данных (измерений) соответствуют
большие изменения в векторе решения; при
этом велико значение ошибки решения.
Для преодоления неустойчивости и, соот-
ветственно, повышения точности решения ис-
пользуют методы регуляризации [1]. Одним из
методов регуляризации, используемых при ре-
шении обратных задач, есть решение на основе
сингулярного разложения с усечением [4, 5],
т.е. такое, когда при решении используются не
все компоненты сингулярного разложения. По-
иск оптимального числа компонент сингуляр-
ного разложения, такого, при котором решение
дискретной некорректной задачи демонстри-
рует устойчивость и максимальную точность –
актуально.
В данной статье проведено аналитическое
исследование составляющих ошибки решения
дискретной некорректной задачи на основе
сингулярного разложения с усечением. Пред-
ложен критерий выбора оптимального числа
компонент сингулярного разложения, осно-
ванный на аппроксимации ошибки восстанов-
ления вектора данных с использованием оцен-
ки истинного сигнала. Проведено исследова-
ние точности решения дискретных некоррект-
ных задач с использованием предложенного
критерия.
Линейные задачи наименьших квадратов
и дискретные некорректные задачи
Многие приложения математики, физики,
анализа данных и другие нуждаются в поиске
приближенного решения системы линейных
уравнений:
yAx , (1)
где матрица NNA и вектор Ny , иска-
женный аддитивным шумом Nε y = (y0 + ),
известны, и требуется оценить вектор сигнала
Nx . Задачу оценивания вектора x по из-
вестному вектору y и матрице A называют
обратной задачей.
4 УСиМ, 2014, № 6
Если матрица A имеет полный ранг и хо-
рошо обусловлена, оценку x для метода наи-
меньших квадратов можно получить путем
решения системы нормальных уравнений [6,
7], например, с помощью разложения Холец-
кого. В случае, когда матрица A имеет непол-
ный ранг или плохо обусловлена, для получе-
ния оценки x может использоваться решение
на основе QR-разложения.
В случае, когда матрица A очень плохо
обусловлена, для получения устойчивой оцен-
ки x используют разложение по сингулярным
значениям (SVD). Решение на основе сингу-
лярного разложения получают следующим об-
разом:
yAx k
' , UVSA 1
k . (2)
Здесь USVA k – приближение матрицы
A , полученное по k )( Nk компонентам
сингулярного разложения, ),...,( 1 kuuU – мат-
рица левых сингулярных векторов с ортонор-
мированными столбцами, ),...,( 1 kvvV – мат-
рица правых сингулярных векторов с ортонор-
мированными столбцами, 1diag( ,..., )k S –
матрица сингулярных чисел, A – обобщенное
обращение (псевдообращение) матрицы A .
Учитывая, что
1
k
k i i i
i
A u v , запишем ре-
курсивное выражение для матрицы
kA :
1
1
k
k i i i
i
A v u , 1
1k k k k k
A A v u . (3)
Методы, основанные на (2), находят решение
за время )( 2mnO . Метод SVD является наиболее
вычислительно нагрузочным среди упомянутых
(с точностью до постоянных множителей), но
его использование предпочтительно, если A
очень плохо обусловлена. Большое число обу-
словленности ( max min( ) / ( ) A A ) матрицы A
подразумевает потенциально неустойчивое и
неточное решение. Проявлением неустойчиво-
сти есть тот факт, что небольшие изменения в
векторе y (например, из-за шума) вызывают
большие изменения в решении x , и ошибка
решения, как правило, велика, особенно при
увеличении уровня шума. При большом числе
обусловленности числа, обратные сингулярным
значениям в 1S , становятся очень большими,
поэтому (как следует из (2)) и значения компо-
нент x становятся очень большими, что ведет к
неточности решения.
При большом числе обусловленности полу-
чить устойчивое решение на основе сингулярно-
го разложения удается в случае, если можно ис-
пользовать прием усечения сингулярного разло-
жения. Идея получения устойчивой оценки x
на основе усеченного сингулярного разложения
состоит в следующем: если в спектре сингуляр-
ных значений наблюдается резкий перепад, а
сингулярные значения после него очень малы,
они могут рассматриваться как шумовые и уст-
раняются применением порога:
' diag i
tsvd
i
x V U y , (4)
при ki 1i , иначе 0i .
В случае, когда y содержит шум, ряд син-
гулярных чисел i матрицы A плавно спадает
к нулю, A имеет высокое число обусловлен-
ности, задачу оценки x называют дискретной
некорректной обратной задачей [3]. Прием
усечения сингулярного разложения не работа-
ет в дискретных некорректных задачах, по-
скольку, как отмечалось, здесь нет перепадов в
ряду сингулярных значений и численный ранг
не определен.
Поиск числа компонент сингулярного раз-
ложения, соответствующего оптимальному ре-
шению дискретной некорректной задачи, – ак-
туален. Проиллюстрируем это утверждение.
Из выражения для оценки 'x , записанного в
векторном варианте
'
1
k
i
i
i i
u y
x v , (5)
видно, что 'x формируется как сумма векторов
iv , взвешенных коэффициентами i
i
u y
. Ти-
пичный вид векторов iv приведен на рис. 1, из
которого следует, что с ростом индекса i век-
УСиМ, 2014, № 6 5
торы становятся все более знакопеременными,
шумоподобными.
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40
v_1
v_2
v 3
а
-0.35
-0.25
-0.15
-0.05
0.05
0.15
0.25
0.35
0.45
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40
v_20
v_21
v_22
б
Рис. 1. Сингулярные векторы: а– с номерами 1–3; б – с номе-
рами 20–22
В случае, когда вклад в оценку 'x определя-
ется преимущественно членами суммы, соот-
ветствующими большим сингулярным значе-
ниям (гладким сингулярным векторам), обес-
печивается гладкость и малая погрешность ре-
шения. Если вклад в оценку 'x определяется
членами суммы, соответствующими малым
сингулярным значениям (сильно знакопере-
менным сингулярным векторам), ошибка ре-
шения увеличивается. Понятно, что существу-
ет некоторое оптимальное число компонент в
выражении (5), такое, что, с одной стороны,
оно – достаточно, чтобы передать все особен-
ности моделируемого сигнала, а с другой – не
содержит шумоподобных векторов iv .
Поэтому востребованна разработка подхода
к определению оптимального числа компонент
сингулярного разложения для решения дискрет-
ной некорректной обратной задачи. Оптималь-
ным числом компонент сингулярного разложе-
ния будем считать такое, при котором точность
решения обратной задачи максимальна. Далее
рассмотрим точность восстановления истинного
сигнала x и точность восстановления вектора
выхода y при решении дискретных некоррект-
ных задач на основе сингулярного разложения.
Ошибка восстановления истинного сигна-
ла при решении дискретных некорректных
задач на основе сингулярного разложения
Точность решения обратной задачи оценим
с помощью ошибки xe восстановления истин-
ного сигнала х, вычисляемой как '
kxe xx
xe , где '
kx – вектор восстановленного сиг-
нала, xe – вектор ошибки восстановления сиг-
нала x с использованием k компонент сингу-
лярного разложения.
Запишем выражение для вектора ошибки xe
так, чтобы вектор шума входил в него явно:
0
0
( )
.
x k
k k k k k
e A y ε x
A y A ε x A A x x A ε
(6)
Используя (6), запишем выражение для ошиб-
ки восстановления истинного сигнала и прове-
дем усреднение по реализациям шума:
2 2
2
( )
2 ( ) , ,
x k k k k k
k k k k
e
A A x x A ε A A I x
A ε A A I x A ε
(7)
2
2
{ } ( )
2 ( ) , .
x k k
k k k k
e
A A I x
A ε A A I x A ε
(8)
Учитывая, что 0,)( εAxIAA kkk и
2 2( ) trace( )k k k k k
A ε ε A A ε A A , по-
лучим выражение для среднеквадратичной
ошибки восстановления истинного сигнала:
2 2{ } ( ) trace( )x k k k ke A A I x A A . (9)
Обозначим составляющие ошибки как
2
1 ( )x k ke A A I x , 2
2 trace( )x k ke A A , (10)
где 1xe – детерминированная составляющая
ошибки и 2xe – стохастическая.
6 УСиМ, 2014, № 6
Точность восстановления вектора выхода
оценим следующим образом: '
0y ke y y
y e , где yAAy kkk
' – восстановленный век-
тор выхода, ye – вектор ошибки восстановле-
ния выхода. Выражения для вектора ошибки
ye и ошибки восстановления выхода запишем
как
0 0
0 0
( )
,
y k k
k k k k
e A A y ε y
A A y y A A ε
(11)
2
0 0y k k k ke A A y y A A ε
2 2
0 0k k k k
A A y y A A ε
0 02 , .k k k k
A A y y A A ε (12)
Усредним ошибку восстановления выхода
по реализациям шума:
2 2
0 0{ }y k k k ke A A y y A A ε
0 02 , .k k k k
A A y y A A ε (13)
Так как 0,2 00 εAAyyAA kkkk и
2
( )k k k k k k
A A ε ε A A A A ε
2trace( ) ,k k k k
A A A A
среднеквадратичная ошибка восстановления
выхода такова:
2
0{ } ( )y k ke A A I y
2trace( ).k k k k
A A A A (14)
Составляющие ошибки восстановления вы-
хода
2
01 )( yIAA
kkye ,
2
2 trace( )y k k k ke A A A A , (15)
где 1ye – детерминированная составляющая
ошибки и 2ye – стохастическая.
Один из подходов к решению обратных за-
дач – выбор модели (model selection). Задача –
выбрать модель, близкую к оптимальной для
определенного приложения. Модель обычно
представлена в виде
k
i
iiw
1
fm , где m – век-
тор выхода модели, if – вектор дискретно за-
данной функции компоненты модели, wi – ве-
совой коэффициент, k – число компонент мо-
дели. Методы выбора модели используют раз-
личные критерии выбора [8]. Критерии выбора
модели (КВМ) формулируются так, чтобы ав-
томатически уменьшать число компонент мо-
дели с увеличением уровня шума. КВМ вклю-
чают в себя две составляющих, одна из кото-
рых связана с точностью аппроксимации дан-
ных моделью. Значение этой составляющей убы-
вает с ростом числа компонент модели. Другая
составляющая, связанная с уровнем шума, с рос-
том числа компонент модели растет. Такое по-
строение критериев обеспечивает достижение
минимума на моделях, близких к оптимальным,
благодаря балансу между сложностью модели и
точностью аппроксимации. В случае решения
дискретных некорректных обратных задач на
основе сингулярного разложения под сложно-
стью модели понимают число компонент сингу-
лярного разложения в выражении (3).
Многие существующие КВМ основаны на
аппроксимации различных типов ошибки, на-
пример, критерий Маллоуза использует ошиб-
ку прогнозирования (predictive training error)
[9], критерий Акаике – ошибку обобщения
(generalization error) [10].
С целью разработки КВМ для решения дис-
кретной некорректной задачи исследуем пове-
дение составляющих ошибки (10) и (15) в за-
висимости от числа компонент сингулярного
разложения, входящих в модель.
Исследование зависимости детерминиро-
ванной и стохастической составляющих
ошибки от числа компонент сингулярного
разложения
Рассмотрим поведение составляющих ошиб-
ки восстановления истинного сигнала.
Исследуем аналитически зависимость де-
терминированной составляющей ошибки
2
)( xIAA
kk от числа компонент сингуляр-
ного разложения k.
Обозначив kkk AAZ , получим:
2
1 ( ) ( ) ( )
2 .
x k k k
k k k
e
Z I x Z x x Z x x
x Z Z x x Z x x x
(16)
УСиМ, 2014, № 6 7
Матрица kZ – ортогональный проектор;
используя свойство проектора kkk ZZZ , за-
пишем выражение для ex1:
xZxxxxxxZxxZx kkkxe 21 . (17)
Запишем kZ , используя сингулярное раз-
ложение
kkkkkkkkk VSUUSVAAZ 1 . (18)
Учитывая, что в силу ортонормированности
IUU
kk и ISS
kk
1 , получаем:
kkkkk VVAAZ . (19)
Выражение для детерминированной состав-
ляющей ошибки принимает вид
xVVxxxxZxxx kkkxe 1 . (20)
Распишем kZ в виде суммы произведений
векторов
i
k
i
ikkk vvVVZ
1
. Тогда k k
x V V x
1
k
i i
i
x v v x . Произведение xvvx
ii – это
положительное число, поэтому значение
xvvx
i
k
i
i
1
возрастает с ростом k.
В силу того, что xx постоянно и
xvvx
i
k
i
i
1
растет, значение детерминирован-
ной составляющей ошибки 1xe убывает с рос-
том k.
Исследуем зависимость стохастической
составляющей ошибки 2xe от числа компо-
нент сингулярного разложения. Стохастиче-
ская составляющая ошибки есть
2
k
A ε
2trace( )k k
A A .
Для исследования зависимости стохастиче-
ской составляющей ошибки от k запишем вы-
ражение для
kk AA в рекурсивном виде. Ре-
курсивная запись следует из свойств (3) сингу-
лярного разложения:
1 1
1 1
2
1 1 .
k k k k k k k k k k
k k k k k
s s
s
A A A A u v v u
A A u u
(21)
На основании (6) запишем рекурсивное вы-
ражение для стохастической составляющей
ошибки:
2 2 2
2 1 1trace( ) trace( ).x k k k k ke s
A A u u (22)
Элементы диагонали матрицы
kk uu сфор-
мированы произведениями iiuu – неотрицатель-
ными числами, поэтому исходя из рекурсивно-
го выражения (22) значение стохастической
составляющей ошибки 2xe растет с ростом k.
Рассмотрим поведение составляющих ошиб-
ки восстановления вектора выхода.
Исследуем зависимость детерминированной
составляющей ошибки восстановления выхода
2
0)( yIAA
kk от числа компонент сингуляр-
ного разложения k.
Обозначив kkk AAP , получим:
2
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
( ) ( ) ( )
2 .
y k k k
k k k
e
P I y P y y P y y
y P P y y P y y y
(23)
Матрица kP есть ортогональный проектор;
используя свойство проектора
kk PP kP , запи-
шем выражение для 1ye :
00001 yPyyy kxe . (24)
Используя сингулярное разложение и учи-
тывая, что IVV
kk , ISS
kk
1 , запишем:
kkkkkkkkkkk UUUSVVSUAAP 1 . (25)
Выражение для детерминированной состав-
ляющей ошибки примет вид
1 0 0 0 0
0 0 0 0 .
y k
k k
e
y y y P y
y y y U U y
(26)
],...,[ 0010 yuyuyU kk есть вектор расту-
щей с ростом k размерности, поэтому значение
скалярного произведения 00 yUUy
kk также
растет с ростом k.
В силу того, что 00 yy постоянно и
00 yUUy
kk растет, значение 1ye убывает с
ростом k.
Исследуем зависимость стохастической со-
ставляющей ошибки 2ye от числа компонент
8 УСиМ, 2014, № 6
сингулярного разложения. Стохастическая со-
ставляющая ошибки есть
2
k k
A A ε 2trace( )k k k k
A A A A .
По свойству цикличности следа матрицы
2 2
2
trace( )
trace( ) .
k k k k k k
k k k k
A A ε A A A A
A A A A
(27)
Для исследования зависимости стохасти-
ческой составляющей ошибки от k запишем
выражения для kk AA ,
kk AA , а затем и
kkkk AAAA в рекурсивном виде.
Запишем kk AA в рекурсивном виде, ис-
пользуя свойства сингулярного разложения:
1 1
2
1 1 , 1.
k k k k k k k k k k
k k k k k k k
A A A A v u u v
A A v v u u
(28)
Получим рекурсивное выражение для
kk AA :
1 1
1 1
2
1 1 .
k k k k k k k k k k
k k k k k
A A A A v u u v
A A v v
(29)
Используя (28) и (29), запишем рекурсивное
выражение для
kkkk AAAA :
1 1 1 1
2 2 2
1 1
2
1 1 .
k k k k k k k k
k k k k k k k k k k k
k k k k k
A A A A A A A A
v v v v v v A A
A A v v
(30)
Отметим, что в выражении (30)
2
1 1 0k k k k k
v v A A и 2
1 1 0k k k k k
A A v v .
2 2 1
1 1 1 1 1 1k k k k k k k k k k k k
v v A A v v V S U A , 1k k
v V
= 0, в силу ортогональности сингулярных векто-
ров 2 2
1 1 1 1 1 1k k k k k k k k k k k k
A A v v A U S V v v ,
01
kk vV .
Получим рекурсивное выражение вида
1 1 1 1
2 2
1 1 1 1 .
k k k k k k k k
k k k k k k k k k k k k
A A A A A A A A
v v v v A A A A v v
(31)
Используя (31), запишем выражение для
стохастической составляющей ошибки
1 1 1 1
trace( )
trace( ) trace( ).
k k k k
k k k k k k
A A A A
A A A A v v
(32)
Учитывая, что trace( )k k
v v = 1, итоговое вы-
ражение для стохастической составляющей
ошибки восстановления вектора выхода вы-
глядит так:
2 2
2 tarce( )y k k k ke k A A A A . (33)
Из последнего выражения видно, что ey2 с
ростом k возрастает.
Подход к определению оптимального чис-
ла компонент сингулярного разложения
Оптимальным числом компонент сингуляр-
ного разложения называем такое число k, при
котором ошибка восстановления истинного сиг-
нала минимальна. Поскольку в реальных усло-
виях такую ошибку вычислить невозможно в
силу отсутствия данных об истинном сигнале,
предлагаем для определения оптимального k
использовать ошибку восстановления вектора
выхода 0
' yy .
Выражение для среднеквадратичной ошиб-
ки восстановления выхода выглядит так:
2
0
2
( )
trace(( ) ).
y k k
k k k k
e
A A I y
A A A A
(34)
Использовать для определения минимума
ошибки непосредственно выражение (34) не-
возможно из-за наличия в нем вектора y0, ко-
торый в реальных условиях неизвестен. Заме-
ним в (34) неизвестный вектор y0 на известный
вектор εyy 0 (полученный, например, в
результате измерений) и проведем усреднение
по реализациям шума:
2'
0
2
( )( )
trace(( ) ),
y k k
k k k k
e
A A I y ε
A A A A
(35)
2 2'
0
0
2
{ } ( ) ( )
2 ( ) , ( )
trace(( ) ).
y k k k k
k k k k
k k k k
e
A A I y A A I ε
A A I y A A I ε
A A A A
(36)
Учитывая, что 02 ( ) ,( )k k k k
A A I y A A I ε
= 0 и
2 2( ) trace(( ) ( ))k k k k k k
A A I ε A A I A A I ,
выражение (36) принимает следующий вид:
2'
0
2
2
{ } ( )
trace(( ) ( ))
trace(( ) ).
y k k
k k k k
k k k k
e
A A I y
A A I A A I
A A A A
(37)
УСиМ, 2014, № 6 9
Сопоставив выражения для }{ '
ye и для
среднеквадратичной ошибки восстановления
выхода (34), видим, что они отличаются одним
слагаемым: 2trace(( ) ( ))k k k k
A A I A A I . Это
позволяет скорректировать вклад шума в
оценку смещения на основе зашумленного вы-
хода
2
)( yIAA
kk путем вычитания из нее
2trace(( ) ( ))k k k k
A A I A A I и получить ап-
проксимацию выражения (34), не содержащую
неизвестного вектора 0y :
2
2
2
( )
trace(( ) ( ))
trace(( ) ).
k k
k k k k
k k k k
CR
A A I y
A A I A A I
A A A A
(38)
Получено выражение, аппроксимирующее
ошибку восстановления выхода. Вместо не-
известного вектора 0y в выражение (38) вхо-
дит известный вектор εyy 0 , поэтому CR
можно использовать для определения опти-
мального числа компонент сингулярного раз-
ложения.
Экспериментальное исследование
Результаты аналитического исследования
ошибки восстановления истинного сигнала и
ошибки восстановления выхода были прове-
рены экспериментально. Построена зависи-
мость ошибки восстановления истинного сиг-
нала, ее детерминированной и стохастиче-
ской составляющих от числа компонент син-
гулярного разложения k . Аналогичные зави-
симости построены для ошибки восстановле-
ния выхода и ее составляющих. Эксперимен-
ты подтвердили, что при возрастании k де-
терминированная составляющая ошибки умень-
шается, а стохастическая возрастает так, что
суммарная зависимость ошибки от k имеет
минимум.
Пример этих зависимостей для дискрет-
ных некорректных задач Phillips и Delves
[11] приведен на рис. 2 и 3. Для задачи Phil-
lips эксперименты проводились при уровнях
шума 1Е–4, 1Е–5, 1Е–6, для задачи Delves –
при 1Е–3, 1Е–4, 1Е–5.
1.E-06
1.E-05
1.E-04
1.E-03
1.E-02
1.E-01
1.E+00
1.E+01
1.E+02
1.E+03
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40
k
e_x (1e-4) e_x (1e-5)
e_x (1e-6) e_x_1 (1e-4)
e_x_2 (1e-4) e_x_1 (1e-5)
e_x_2 (1e-5) e_x_1 (1e-6)
e_x_2 (1e-6)
а
1.E-13
1.E-12
1.E-11
1.E-10
1.E-09
1.E-08
1.E-07
1.E-06
1.E-05
1.E-04
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40
k
e_y (1e-4) e_y (1e-5)
e_y (1e-6) e_y_1 (1e-4)
e_y_2 (1e-4) e_y_1 (1e-5)
e_y_2 (1e-5) e_y_1 (1e-6)
e_y_2 (1e-6)
б
Рис. 2. Для задачи Phillips: а– зависимость ошибки восстанов-
ления истинного сигнала, ее детерминированной и сто-
хастической составляющих от k; б – зависимость ошиб-
ки восстановления выхода, ее детерминированной и
стохастической составляющих от k
С ростом уровня шума положение мини-
мума смещается в область меньших значений
k как для ошибки восстановления истинного
сигнала, так и для ошибки восстановления
выхода.
Следующий этап эксперимента состоял в
исследовании предложенного критерия выбора
модели. На рис. 4 для задачи Carasso приведе-
ны соответствующие графики. Графики зави-
симостей близки, критерий выбора модели CR
хорошо аппроксимирует ошибку восстановле-
ния выхода.
Для исследования эффективности предло-
женного критерия выбора модели проведено
вычисление среднего значения M(e) и с.к.о.
ошибки решения для случаев определения оп-
тимального числа компонент сингулярного раз-
ложения по критерию CR и по критериям вы-
бора модели (Маллоуза Cp [9], Акаике AIC
[10], минимальной длины описания MDL [12]).
10 УСиМ, 2014, № 6
1.E-10
1.E-09
1.E-08
1.E-07
1.E-06
1.E-05
1.E-04
1.E-03
1.E-02
1.E-01
1.E+00
1.E+01
1.E+02
1.E+03
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37
k
e_x (1e-3) e_x (1e-4)
e_x (1e-5) e_x_1 (1e-3)
e_x_2 (1e-3) e_x_1 (1e-4)
e_x_2 (1e-4) e_x_1 (1e-5)
e_x_2 (1e-5)
а
1.E-11
1.E-10
1.E-09
1.E-08
1.E-07
1.E-06
1.E-05
1.E-04
1.E-03
1.E-02
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40
k
e_y (1e-3) e_y (1e-4)
e_y (1e-5) e_y_1 (1e-3)
e_y_2 (1e-3) e_y_1 (1e-4)
e_y_2 (1e-4) e_y_1 (1e-5)
e_y_2 (1e-5)
б
Рис. 3. Для задачи Delves: а –зависимость ошибки восстанов-
ления истинного сигнала, ее детерминированной и сто-
хастической составляющих от k; б – зависимость ошиб-
ки восстановления выхода, ее детерминированной и
стохастической составляющих от k
Исследование проведено для дискретных
некорректных задач Carasso, Phillips, Delves. В
табл. 1 приведены результаты решения дис-
кретных некорректных задач на основе сингу-
лярного разложения, где размерность матрицы
A составляла 4040. В табл. 2 приведены ре-
зультаты для матрицы размерностью 100100.
Результаты (средние и с.к.о.) получены для
трех уровней шума в y при 100 реализациях
на каждом уровне.
1.E-04
1.E-03
1.E-02
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37
k
1.E-01
1.E+00
1.E+01
1.E+02
1.E+03
e_y_mean
CR
e_x_mean
а
1.E-06
1.E-05
1.E-04
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37
k
1.E-02
1.E-01
1.E+00
1.E+01
e_y_mean
CR
e_x_mean
б
1.E-08
1.E-07
1.E-06
1.E-05
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37
k
1.E-03
1.E-02
1.E-01
1.E+00
1.E+01
e_y_mean
CR
e_x_mean
в
1.E-09
1.E-08
1.E-07
1.E-06
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37
k
1.E-04
1.E-03
1.E-02
1.E-01
1.E+00
e_y_mean
CR
e_x_mean
г
Рис. 4. Зависимости значений критерия CR и ошибки восста-
новления выхода от k: а – для уровня шума 1Е-3; б –
для уровня шума 1Е-4; в – для уровня шума 1Е-5; г –
для уровня шума 1Е-6
Анализ результатов показал, что наимень-
шее значение ошибки решения обеспечивается
при использовании критерия CR как для мат-
рицы размерностью 4040, так и для матрицы
100100. Критерий Акаике дает ошибку, близ-
кую к минимальной.
Заключение. Аналитическое исследование
составляющих ошибки решения дискретной
некорректной задачи на основе сингулярного
разложения с усечением показало, что при воз-
растании k детерминированная составляющая
УСиМ, 2014, № 6 11
ошибки уменьшается, а стохастическая воз-
растает.
Предложенное приближение ошибки восста-
новления вектора данных близко к истинным
значениям аппроксимируемой ошибки. Исходя
из этого предложенный критерий выбора опти-
мального числа компонент сингулярного разло-
жения CR , основанный на аппроксимации
ошибки восстановления вектора данных, мож-
но использовать для определения оптимально-
го числа компонент сингулярного разложения.
Экспериментальное исследование точности
решения дискретных некорректных задач с ис-
пользованием предложенного критерия под-
тверждает его эффективность – в сравнении с
решениями на основе таких критериев как Cp,
AIC и MDL решение на основе CR демонстри-
рует наибольшую точность.
Окончание на стр. 26
Т а б л и ц а 1. Среднее значение ошибки решения и его среднеквадратичное отклонение, среднее значение k и его среднеквадра-
тичное отклонение при размерности матрицы 4040
Задача M(E) с.к.о. M(k) с.к.о. M(E) с.к.о. M(k) с.к.о. M(E) с.к.о. M(k) с.к.о.
Phillips nl = 1E – 3 nl = 1E – 4 nl = 1E – 5
E 9,24E-2 2,67E-2 15,5 2,05 1,11E-2 3,37E-3 23,40 2,15 6,38E-4 1,87E-4 32,38 1,31
CR 1,07E-1 3,09E-2 14,4 2,70 1,31E-2 4,74E-3 22,44 2,72 7,66E-4 2,97E-4 31,86 1,80
Cp 1,84E-1 4,69E-2 9,88 0,52 2,38E-2 5,84E-3 17,16 0,55 2,15E-3 3,36E-4 24,96 0,28
AIC 1,33E-1 1,54E-2 11,2 0,77 1,73E-2 2,19E-3 18,30 0,95 2,04E-3 1,24E-4 25,12 0,33
MDL 1,51E-1 2,61E-2 10,4 0,54 7,73E-2 4,67E-2 13,58 3,21 1,54E-2 9,52E-6 18,0 0,0
Carasso nl = 1E – 3 nl = 1E – 4 nl = 1E – 5
E 8,37E-4 3,11E-4 11,6 0,49 3,06E-4 3,17E-5 15,7 2,07 2,15E-4 6,22E-6 21,8 1,71
CR 9,89E-4 4,61E-4 11,3 1,04 3,32E-4 5,39E-5 14,04 2,24 2,22E-4 1,21E-5 22,9 2,78
Cp 4,49E-3 1,57E-3 7,52 0,89 3,36E-4 1,39E-5 12,00 0,0 2,32E-4 2,76E-6 17,0 0,0
AIC 1,36E-3 3,46E-4 10,2 1,04 3,50E-4 4,83E-5 12,34 1,14 2,29E-4 6,72E-6 18,1 1,81
MDL 4,41E-3 1,63E-3 7,56 0,91 3,61E-4 1,01E-4 11,94 0,24 3,28E-4 1,27E-6 12,0 0,0
Delves nl = 1E – 4 nl = 1E – 5 nl = 1E – 6
E 2,83E-2 3,62E-3 7,96 1,40 1,23E-2 1,30E-3 16,74 2,03 2,87E-3 6,74E-4 36,44 2,67
CR 3,21E-2 5,80E-3 7,22 1,63 1,36E-2 2,28E-3 16,52 2,89 3,29E-3 7,99E-4 34,62 3,83
Cp 4,60E-2 4,33E-3 3,92 0,39 2,17E-2 1,51E-3 8,54 0,65 9,62E-3 7,09E-4 17,20 0,97
AIC 4,16E-2 1,90E-2 6,60 1,57 1,54E-2 1,73E-3 13,06 1,72 7,89E-3 8,47E-4 19,88 1,47
MDL 4,12E-2 3,98E-3 4,52 0,58 2,20E-2 2,08E-3 8,44 0,81 1,81E-2 7,06E-4 10,06 0,37
Т а б л и ц а 2. Среднее значение ошибки решения и его среднеквадратичное отклонение, среднее значение k и его среднеквадра-
тичное отклонение при размерности матрицы 100100
Задача M(E) с.к.о. M(k) с.к.о. M(E) с.к.о. M(k) с.к.о. M(E) с.к.о. M(k) с.к.о.
Phillips nl = 1E – 4 nl = 1E – 5 nl = 1E – 6
E 1,24E-4 3,25E-5 15,9 1.94 2,46E-5 4,55E-6 23,00 1,90 7,92E-6 5,36E-7 33,76 2,49
CR 1,48E-4 4,51E-5 14,4 2,45 2,88E-5 9,04E-6 22,64 2,35 8,42E-6 8,81E-7 33,52 3,10
Cp 1,75E-4 6,60E-5 12,0 0,14 4,98E-5 7,41E-7 17,00 0,0 1,47E-5 3,71E-6 24,12 1,67
AIC 5,07E-4 1,31E-3 13,5 3,22 3,61E-5 1,55E-5 21,74 2,17 8,86E-6 9,35E-7 31,02 1,96
MDL 1,66E-4 8,05E-6 12,0 0,0 6,49E-5 3,81E-5 16,30 1,75 2,17E-5 6,70E-8 21,00 0,0
Carasso nl = 1E – 4 nl = 1E – 5 nl = 1E – 6
E 1,88E-2 4,07E-3 24,2 1,75 2,51E-3 3,00E-4 33,32 1,97 1,15E-3 1,07E-4 50,68 3,89
CR 2,02E-2 5,42E-3 24,2 1,68 2,63E-3 3,95E-4 32,68 2,16 1,27E-3 1,53E-4 48,00 5,58
Cp 5,92E-2 6,85E-3 16,9 0,30 1,04E-2 4,48E-5 24,00 0,0 2,02E-3 1,76E-4 31,50 1,37
AIC 2,84E-2 1,99E-2 23,7 1,76 2,88E-3 3,69E-4 30,52 0,84 1,39E-3 4,78E-5 38,88 2,57
MDL 5,70E-2 6,27E-4 17,0 0,14 1,04E-2 4,48E-5 24,00 0,0 2,08E-3 2,43E-6 31,00 0,0
Delves nl = 1E – 5 nl = 1E – 6 nl = 1E – 7
E 1,34E-2 1,04E-3 17,3 2,38 5,98E-3 3,98E-4 37,36 3,63 1,94E-3 2,36E-4 78,26 6,65
CR 1,49E-2 2,21E-3 16,5 3,34 6,33E-3 5,48E-4 34,98 4,60 2,05E-3 2,76E-4 74,56 8,06
Cp 2,35E-2 1,26E-3 8,12 0,48 1,14E-2 4,77E-4 16,94 0,71 5,28E-3 2,30E-4 34,12 1,24
AIC 1,85E-2 1,06E-2 15,1 3,11 7,03E-3 6,21E-4 29,70 3,34 3,33E-3 2,03E-4 48,88 2,28
MDL 2,04E-2 1,34E-3 9,50 0,68 1,10E-2 7,76E-4 17,62 1,28 8,94E-3 2,58e-4 21,30 0,58
26 УСиМ, 2014, № 6
Окончание
статьи
Е.Г. Ревуновой
и
др.
1. Тихонов
А.Н. Методы
решения
некорректных
задач –
М.: Наука, 1979. – 285 с.
2. Морозов
В.А. Регулярные
методы
решения
некор-
ректно
поставленных
задач – М.: Наука, 1987. –
239 с.
3. Hansen P.C. Rank-deficient and discrete ill-posed prob-
lems. Numerical aspects of linear inversion. – Phila-
delphia: SIAM, 1998. – 247 p.
4. Hansen P.C. Truncated SVD solutions to discrete ill-
posed problems with ill-determined numerical rank //
SIAM J. Sci. Stat. Comput. – 1990. – № 11. – P. 503–
518.
5. Regularization by truncated total least squares /
R.D. Fierro, G.H. Golub, P.C. Hansen et al. // Ibid. –
1997. – № 18. – P. 1223–1241.
6. Golub G.H., Van Loan C.F. Matrix Computations.
–
Baltimore: Johns Hopkins University Press, MD, 1996. –
350 p.
7. Demmel J.W. Applied Numerical Linear Algebra. –
Philadelphia: SIAM, 1997. – 419 p.
8. Ивахненко
А.Г., Степашко
В.С. Помехоустойчивость
моделирования. – Киев: Наук. думка, 1985. – 216 с.
9. Mallows C.L. Some comments on Cp // Technomet-
rics. – 1973. – 15, № 4. – P. 661–675.
10. Akaike H. A new look at the statistical model identifi-
cation // IEEE Transactions on Automatic Control. –
1974. – 19, № 6. – P. 716–723.
11. Hansen P.C. Regularization Tools: A Matlab package
for analysis and solution of discrete ill-posed problems
// Numer. Algorithms. – 1994. – 6. – P. 1–35.
12. Hansen M., Yu B. Model selection and minimum de-
scription length principle // J. Amer. Statist. Assoc. –
2001. – 96. – P. 746–774.
Поступила 02.10.2014
E-mail: helab@i.com.ua, avtyshcuk@gmail.com
© Е.Г. Ревунова, А.В. Тищук, 2014
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <FEFF04180437043f043e043b043704320430043904420435002004420435043704380020043d0430044104420440043e0439043a0438002c00200437043000200434043000200441044a0437043404300432043004420435002000410064006f00620065002000500044004600200434043e043a0443043c0435043d04420438002c0020043c0430043a04410438043c0430043b043d043e0020043f044004380433043e04340435043d04380020043704300020043204380441043e043a043e043a0430044704350441044204320435043d0020043f04350447043004420020043704300020043f044004350434043f0435044704300442043d04300020043f043e04340433043e0442043e0432043a0430002e002000200421044a04370434043004340435043d043804420435002000500044004600200434043e043a0443043c0435043d044204380020043c043e0433043004420020043404300020044104350020043e0442043204300440044f0442002004410020004100630072006f00620061007400200438002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020043800200441043b0435043404320430044904380020043204350440044104380438002e>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <FEFF005500740069006c0069006300650020006500730074006100200063006f006e0066006900670075007200610063006900f3006e0020007000610072006100200063007200650061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000640065002000410064006f0062006500200061006400650063007500610064006f00730020007000610072006100200069006d0070007200650073006900f3006e0020007000720065002d0065006400690074006f007200690061006c00200064006500200061006c00740061002000630061006c0069006400610064002e002000530065002000700075006500640065006e00200061006200720069007200200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006500610064006f007300200063006f006e0020004100630072006f006200610074002c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200079002000760065007200730069006f006e0065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e>
/ETI <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>
/FRA <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>
/GRE <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>
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
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <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>
/RUS <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>
/SKY <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>
/SLV <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-83533 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0130-5395 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:17:38Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ревунова, Е.Г. Тищук, А.В. 2015-06-20T10:42:22Z 2015-06-20T10:42:22Z 2014 Критерий выбора модели для решения дискретных некорректных задач на основе сингулярного разложения / Е.Г. Ревунова, А.В. Тищук // Управляющие системы и машины. — 2014. — № 6. — С. 3-11, 26. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0130-5395 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83533 004.942 + 623.454.862 Для метода решения дискретных некорректных задач на основе сингулярного разложения рассмотрен подход к определению минимума ошибки. Предложена аппроксимация ошибки восстановления вектора данных и критерий выбора оптимального числа компонент сингулярного разложения. Проведено исследование точности решения дискретных некорректных задач с использованием предложенного критерия. An approach to finding the minimum of error for the method of solving discrete ill-posed problems based on singular value decomposition is proposed. We develop an approach of choosing the optimal number of the singular value decomposition components. The experimental investigation of discrete ill-posed problems solving accuracy based on the proposed criterion is conducted. Для методу розв'язання дискретних некоректних задач на основі сингулярного розкладання розглянуто підхід до визначення мінімуму помилки. Запропоновано апроксимацію помилки відновлення вектора даних та критерій вибору оптимального числа компонент сингулярного розкладання. Проведено дослідження точності розв’язання дискретних некоректних задач з використанням запропонованого критерію. ru Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України Управляющие системы и машины Фундаментальные и прикладные проблемы Computer Science Критерий выбора модели для решения дискретных некорректных задач на основе сингулярного разложения Model Selection Criterion for the Solution of Discrete Ill-Posed Problems Based on Singular Value Decomposition Критерій вибору моделі для розв’язання дискретних некоректних задач на основі сингулярного розкладення Article published earlier |
| spellingShingle | Критерий выбора модели для решения дискретных некорректных задач на основе сингулярного разложения Ревунова, Е.Г. Тищук, А.В. Фундаментальные и прикладные проблемы Computer Science |
| title | Критерий выбора модели для решения дискретных некорректных задач на основе сингулярного разложения |
| title_alt | Model Selection Criterion for the Solution of Discrete Ill-Posed Problems Based on Singular Value Decomposition Критерій вибору моделі для розв’язання дискретних некоректних задач на основі сингулярного розкладення |
| title_full | Критерий выбора модели для решения дискретных некорректных задач на основе сингулярного разложения |
| title_fullStr | Критерий выбора модели для решения дискретных некорректных задач на основе сингулярного разложения |
| title_full_unstemmed | Критерий выбора модели для решения дискретных некорректных задач на основе сингулярного разложения |
| title_short | Критерий выбора модели для решения дискретных некорректных задач на основе сингулярного разложения |
| title_sort | критерий выбора модели для решения дискретных некорректных задач на основе сингулярного разложения |
| topic | Фундаментальные и прикладные проблемы Computer Science |
| topic_facet | Фундаментальные и прикладные проблемы Computer Science |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83533 |
| work_keys_str_mv | AT revunovaeg kriteriivyboramodelidlârešeniâdiskretnyhnekorrektnyhzadačnaosnovesingulârnogorazloženiâ AT tiŝukav kriteriivyboramodelidlârešeniâdiskretnyhnekorrektnyhzadačnaosnovesingulârnogorazloženiâ AT revunovaeg modelselectioncriterionforthesolutionofdiscreteillposedproblemsbasedonsingularvaluedecomposition AT tiŝukav modelselectioncriterionforthesolutionofdiscreteillposedproblemsbasedonsingularvaluedecomposition AT revunovaeg kriteríiviborumodelídlârozvâzannâdiskretnihnekorektnihzadačnaosnovísingulârnogorozkladennâ AT tiŝukav kriteríiviborumodelídlârozvâzannâdiskretnihnekorektnihzadačnaosnovísingulârnogorozkladennâ |