Чисельне диференціювання розв'язку крайової задачі за параметрами розміщення джерел фізичного поля

У представленій роботі пропонується спосіб чисельного диференціювання розв'язку крайової задачі еліптичного типу за параметрами розміщення носіїв джерел фізичного поля. З точки зору практичного застосування, можливість отримання зазначених часткових похідних дозволяє використати методи умовної...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Математичні машини і системи
Date:	2011
Main Author:	Крижанівський, В.Б.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України 2011
Subjects:	Нові інформаційні і телекомунікаційні технології
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83612
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Чисельне диференціювання розв'язку крайової задачі за параметрами розміщення джерел фізичного поля / В.Б. Крижанівський // Мат. машини і системи. — 2011. — № 3. — С. 73-79. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860257588795408384
author	Крижанівський, В.Б.
author_facet	Крижанівський, В.Б.
citation_txt	Чисельне диференціювання розв'язку крайової задачі за параметрами розміщення джерел фізичного поля / В.Б. Крижанівський // Мат. машини і системи. — 2011. — № 3. — С. 73-79. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Математичні машини і системи
description	У представленій роботі пропонується спосіб чисельного диференціювання розв'язку крайової задачі еліптичного типу за параметрами розміщення носіїв джерел фізичного поля. З точки зору практичного застосування, можливість отримання зазначених часткових похідних дозволяє використати методи умовної оптимізації першого порядку до задач оптимального синтезу систем з розподіленими параметрами. Викладена ідея диференціювання може бути просто адаптована і до інших крайових задач, які виникають при оптимізації технічних систем з дискретними джерелами фізичних полів. В представленной работе предлагается способ численного дифференцирования решения краевой задачи эллиптического типа по параметрам размещения источников физического поля. С точки зрения практического использования, возможность получения этих частных производных позволяет использовать методы условной оптимизации первого порядка для задач оптимального синтеза систем с распределенными параметрами. Изложенная идея дифференцирования может быть просто адаптирована для решения других краевых задач, которые возникают при оптимизации технических систем с дискретными источниками физических полей. The paper is devoted to numerical differentiation of elliptic type boundary value problem with respect to parameters of placement of physical field sources. The practical importance of this result is in a possibility of using gradient method of conditional optimization for optimal synthesis of distributed systems. The proposed idea can be easily adapted to other boundary value problems appearing in optimization of technical systems with physical field sources.
first_indexed	2025-12-07T18:50:29Z
format	Article
fulltext	© Крижанівський В.Б., 2011 73 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 3 УДК 519.852.67 В.Б. КРИЖАНІВСЬКИЙ ЧИСЕЛЬНЕ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧІ ЗА ПАРАМЕТРАМИ РОЗМІЩЕННЯ ДЖЕРЕЛ ФІЗИЧНОГО ПОЛЯ Анотація. У представленій роботі пропонується спосіб чисельного диференціювання розв’язку крайової задачі еліптичного типу за параметрами розміщення носіїв джерел фізичного поля. З точки зору практичного застосування, можливість отримання зазначених часткових похідних дозволяє використати методи умовної оптимізації першого порядку до задач оптимального син- тезу систем з розподіленими параметрами. Викладена ідея диференціювання може бути просто адаптована і до інших крайових задач, які виникають при оптимізації технічних систем з дис- кретними джерелами фізичних полів. Ключові слова: оптимізація технічних систем з розподіленими параметрами, розміщення дис- кретних джерел фізичного поля, диференціювання за параметрами розміщення. Аннотация. В представленной работе предлагается способ численного дифференцирования ре- шения краевой задачи эллиптического типа по параметрам размещения источников физического поля. С точки зрения практического использования, возможность получения этих частных произ- водных позволяет использовать методы условной оптимизации первого порядка для задач опти- мального синтеза систем с распределенными параметрами. Изложенная идея дифференцирования может быть просто адаптирована для решения других краевых задач, которые возникают при оптимизации технических систем с дискретными источниками физических полей. Ключевые слова: оптимизация технических систем с распределенными параметрами, размещение дискретных источников физического поля, дифференцирование по параметрам размещения. Abstract. The paper is devoted to numerical differentiation of elliptic type boundary value problem with respect to parameters of placement of physical field sources. The practical importance of this result is in a possibility of using gradient method of conditional optimization for optimal synthesis of distributed sys- tems. The proposed idea can be easily adapted to other boundary value problems appearing in optimiza- tion of technical systems with physical field sources. Keywords: distributed technical systems optimization, placement of discrete physical field sources, diffe- rentiation with respect to placement parameters. 1. Вступ Оптимізація технічних систем з розподіленими параметрами займає важливе місце в су- часній теорії синтезу складних систем. Процеси в таких системах мають різну фізичну природу і, як правило, описуються крайовими задачами для диференціальних рівнянь з ча- стковими похідними. З точки зору практики, існує широкий діапазон різних прикладних задач оптимізації технічних систем з розподіленими параметрами, які можна об’єднати спільною математи- чною постановкою в межах оптимізації технічних систем, що містять дискретні джерела фізичного поля. Дослідження в цьому напрямку підсумовані в монографії [1], де наведено велику бібліографію джерел, які стосуються даної проблематики, побудовано математичну постановку задачі та розроблені підходи до її розв’язання. Одним із найбільш наочних прикладів задачі оптимізації системи, яка містить дис- кретні джерела фізичного поля, є задача, що виникає при компоновочному синтезі мікрое- лектронних пристроїв. Сучасна мікросхемотехніка має справу з мікросхемами, які містять мільйони транзисторів та працюють на гігагерцових частотах. В результаті чого поглина- ється велика кількість енергії, частина якої перетворюється на теплоту. Як наслідок, отри- муємо підвищення температури. Дані термічні ефекти є небажаними і можуть приводити до серйозних порушень у функціонуванні мікросхем. Значні температурні градієнти мо- 74 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 3 жуть зменшити термін використання мікросхеми та в деяких випадках можуть бути при- чиною значних напружень і навіть її руйнування. На додаток нерівномірний розподіл тем- ператури може індукувати логічні помилки в роботі мікросхеми, оскільки і надійність тра- нзисторів, і провідність металів залежать від температури. Зі зростанням впливу темпера- тури на надійність мікросхем особливого значення набувають методи проектування архі- тектури мікросхем, яка пом’якшує температурний вплив. На сьогоднішній момент голов- ними заходами для запобігання температурному впливові є, наприклад, кілька режимів живлення пристрою. Тобто встановлюються контролери, які переводять мікросхеми на ни- зький рівень споживання енергії у випадку діагностування перевищення температури. Хо- ча це також є важливими стратегіями пом’якшення температурного впливу, слід докладати зусилля для розробки методів, які дозволяють запобігати небажаним термічним ефектам ще на етапі проектування мікросхеми. Одним із перспективних способів боротьби з тепло- вими проблемами на етапі проектування є розміщення мікросхем на друкованій платі та- ким чином, щоб забезпечити заданий розподіл температури. Змістовна постановка задачі має такий вигляд: необхідно знайти таке розміщення джерел фізичного поля (наприклад, теплоти), при якому заданий критерій якості набуває свого екстремального значення. На розміщення джерел накладаються умови взаємного не- перетину та невиходу за межі області. Праці, присвячені цим задачам, відрізняються між собою типом крайових задач, виглядом функції цілі, геометричними та фізичними харак- теристиками джерел тощо. Оптимізація розміщення джерел із заданими геометричними характеристиками ро- зглядається в роботі Чувашової С.І. [2]. Дану задачу запропоновано розв’язувати за допо- могою градієнтних методів нелінійного програмування. В роботі [3] розглядається задача розміщення об’єктів фізичного поля у випадку, коли область та джерела мають форму n - вимірних прямокутників. Для її розв’язання використовується метод Розена. В статті [4] для розв’язання задачі розміщення джерел фізичного поля застосовується метод штрафних функцій. Автори статті [5] розглядають задачу розміщення орієнтованих геометричних об’єктів, які можна розбити на прямокутники. Її логічним продовженням стала праця [6], присвячена проблемі розміщення геометричних об’єктів в області, яка містить зони забо- рони. Розглядається задача з такими об’єктами та зонами заборони, які можна розбити на прямокутники. До її розв’язання пропонується застосувати метод можливих напрямків. У роботі [7] розроблено P-алгоритм розв’язання мінімаксної задачі дискретного розміщення джерел фізичного поля, побудовані оцінки функції цілі в точці глобального мінімуму. В роботі [8] розроблено комбінований метод розв’язання мінімаксної задачі дискретного ро- зміщення, який базується на P-алгоритмі та методі вектора спаду. Огляд алгоритмів роз- міщення компонентів друкованих плат з урахуванням терморежимів їх функціонування наводиться в [9]. Серед пропонованих методів: а) матричний синтез (matrix synthesis prob- lem), який зводиться до задачі розбиття заданої мультимножини цілих чисел на трійки, що мають однакову суму; б) алгоритм імітації відпалу (simulated annealing problem); в) підхо- ди, які базуються на розбитті області розміщення на комірки; г) методи, які базуються на мінімізації енергії системи. З наведених джерел можна зробити висновок, що одним із найбільш перспективних ідей оптимізації технічних систем з розподіленими параметрами виявились підходи, які базуються на градієнтних методах математичного програмування. Причому часткові похі- дні для обчислення відповідних градієнтів доводиться обчислювати для функцій, які є розв’язками крайових задач для диференційних рівнянь з частковими похідними. Розв’язок таких крайових задач, в переважній більшості випадків, здійснюється чисельними метода- ми. Наприклад, методом скінченних елементів. Тому в даній роботі запропоновано спосіб диференціювання розв’язку крайової задачі, який отримано методом зважених нев’язок, за параметрами розміщення джерел. ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 3 75 suppDi suppDj Ω Oj ξj ξ, x ηj a η, y b 0 xj Oi ξi ηi xi yi yj di dj li lj Рис. 1. Область Ω і носії джерел фізичного поля i Dsupp , 21,i = 2. Математична постановка задачі і отримані результати Нехай ),( yxA – фінітна функція в 2R , носієм якої є довільний ϕ -об’єкт [10]. Тоді цей ϕ - об’єкт будемо називати носієм джерела D фізичного поля і позначати Dsupp . Функція ),( yxA в цьому випадку називається інтенсивною джерела D . Розглянемо в двовимірному евклідовому просторі область Ω , яка містить носії джерел фізичного поля i Dsupp , ,...,m,i 1= . Пов’яжемо з кожним носієм джерела власну локальну систему координат iii yxO , ,...,m,i 1= а з областю Ω – глобальну систему координат yxO . Можливість пово- роту локальних систем координат відносно глобальної не припускається. В результаті по- ложення кожного носія в глобальній системі координат визначається положенням точки відліку iO власної системи координат. Позначимо координати iO через ),( iiiz ηξ= , ,...,m,i 1= у глобальній системі координат. Отже, положення усіх носіїв у глобальній системі координат задається вектором ),,,( 21 mzzzZ K= . На рис. 1 наведено область Ω та носії фізичного поля у випадку, коли вони є прямокутниками. Як iO , 21,i = обрані перетини діаго- налей прямокутників. Осі влас- них систем координат для зру- чності обрані паралельними осям глобальної системи коор- динат. Фізичне поле, що інду- кується джерелами та навко- лишнім середовищем, опису- ється такою крайовою задачею: ),,( Zyxf y u k yx u k x −=      ∂ ∂ ∂ ∂+      ∂ ∂ ∂ ∂ , (1) q n u ku −= ∂ ∂= Ω∂ Ω∂ 2 1 ,ϕ , (2)     ∪∉ ∈ = = i m i iii suppDyxif suppDyxifzyxA Zyxf 1 ),(,0 ),(),,,( ),,( , (3) де 2,1 Ω∂Ω∂ – ділянки границі області Ω , n – нормаль до 2Ω∂ , q,ϕ – функції, задані на 1Ω∂ та на 2Ω∂ відповідно, k – функція, задана в Ω . Прикладами функцій мети, які залежать від розміщення носіїв джерел фізичного поля, є: Z),y,u(x(Z)F 001 = , (3) Z),y,u(x(Z)F jj j max2 = , },,2,1{ Pj K∈ , (4) 76 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 3 ,Z), u(z(Z)F i i max3 = },,2,1{ mi K∈ , (5) u(x,y,Z),(Z)F yx ),( 4 max= Ω∈),( yx , (6) де Pjyx jj ,,2,1,0),,( K= – фіксовані точки області Ω . Змістовна постановка основної оптимізаційної задачі: необхідно розмістити джере- ла фізичного поля в області так, щоб задана функція максимуму набула якомога меншого значення при умовах, що носії джерел не перетинаються між собою та не виходять за межі області: mji Dsupp Dsupp ji ,,2,1, K=<∅=∩ – умова неперетину носіїв джерел, (7) Ω⊂ = U m i i Dsupp 1 – умова невиходу джерела за межі області. (8) Умови (7) – (8) визначають припустиму множину G значень Z . Запишемо задачу оптимізації в такому вигляді: .min,)( GZZF ∈→ (9) Якщо )(ZF має вигляд (4)–(6), то отримана задача оптимізації класифікується як неперервна мінімаксна задача [11]. Використання відповідних методів для відшукання стаціонарних точок функції )(ZF на G вимагає обчислення часткових похідних функції ),,( Zyxu за параметрами розміщення джерел. Факт існування та неперервності перших похідних за параметрами джерел встановлено в [12–14]. Щодо функції мети (3), то вона використовується для тестових прикладів і практич- ного значення не має. З іншого боку, така задача оптимізації дозволяє скористатися класи- чними градієнтними методами умовної оптимізації. В деяких часткових випадках часткові похідні функції ),,( Ztxu за параметрами ро- зміщення обчислюються безпосередньо. Наприклад, коли ),,( Zyxu може бути представ- лена у вигляді розкладу в тригонометричний ряд. Але для більшості практично важливих крайових задач обчислення ),,( Zyxu здійснюється за допомогою чисельних методів. Зок- рема, за допомогою методу скінченних елементів, який де-факто став стандартом для ін- женерних розрахунків. З теоретичної точки зору, метод зважених нев’язок представляє розв’язок крайової задачі (1)–(2) у вигляді розкладу за базисними функціями, які можна обрати в залежності від особливостей задачі. Наприклад, в методі скінченних елементів обираються функції, що відмінні від нуля лише в межах невеликих підобластей (скінченних елементів). При диференціюванні розв’язку крайової задачі ),,( Zyxu за параметрами джерел слід диференціювати саме коефіцієнти розкладу. В результаті часткові похідні також бу- дуть представлені у вигляді розкладу за базисними функціями MeyxN e ,...,1),,( = . Нехай розклад розв’язку крайової задачі за базисними функціями має такий вигляд: ∑ = += M e eeNau 1 ˆ ψ , (10) де ψ та базисні функції обираються таким чином, що uu ˆ= на 1Ω∂ , тобто ϕψ = , та MeN e ,...,2,1,0 == на 2Ω∂ . Запишемо рівняння методу зважених нев’язок у вигляді ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 3 77 0 ˆ ),,( ˆˆ 2 =Γ      + ∂ ∂++            ∂ ∂ ∂ ∂+      ∂ ∂ ∂ ∂ ∫∫∫ Ω∂ΩΩ dWq n u kdxdyZyxfWdxdyW y u k yx u k x lll , Ml ,...,2,1= . (11) Використовуючи формулу Гріна, отримаємо .0 ˆˆ ),,( ˆˆ 221 ∫∫ ∫ ∫ Ω∂Ω Ω∂+Ω∂ Ω =Γ    + ∂ ∂+Γ ∂ ∂++ +      ∂ ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂ ∂ ∂− dWq n u kdW n u kdxdyZyxfW dxdy y u k y W x u k x W lll ll (12) Обираючи вагові функції таким чином: 0=lW на 1Ω∂ , (13) ll WW −= на 2Ω∂ , (14) отримаємо, що інтеграли, які містять похідну по нормалі від û , взаємно знищуються і співвідношення набуває вигляду ∫ ∫ ∫ Ω Ω Ω∂ =Γ+−      ∂ ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 0),,( ˆˆ qdWdxdyZyxfWdxdy y u k y W x u k x W ll ll . (15) Якщо підставити в це рівняння розклад u за базисними функціями (10), то прихо- димо до стандартної системи лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення коефіцієнтів розкладу: bKa = , (16) де елементи матриці K та правої частини b визначаються таким чином: ∫ Ω ≤≤      ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = Mjidxdy y N k y W x N k x W K jiji ij ,1, , (17) ∫ ∫ ∫ Ω Ω∂ Ω ≤≤      ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ −Γ−= 2 1,),,( Midxdy y k y W x k x W qdWdxdyZyxfWb ii ili ψψ . (18) За Гальоркіним, як вагові функції оберемо базисні функції, тобто MiWN ii ≤≤= 1, . В результаті отримаємо симетричну матрицю K і автоматичне виконання умови (13). Як видно з формули (18), права частина системи рівнянь для визначення коефіцієн- тів розкладу (10) залежить від параметрів розміщення Z . Розв’язуючи систему рівнянь (16), отримаємо коефіцієнти розкладу як функції від параметрів розміщення. Оскільки го- ловною метою дослідження є отримання часткових похідних за параметрами розміщення джерел, то для їх отримання слід продиференціювати за параметрами джерел саме b і розв’язати систему рівнянь (16), підставивши отримані часткові похідні за тим чи іншим параметром як праву частину системи рівнянь (16). В результаті отримаємо наближення часткової похідної у вигляді розкладу: ∑ = ∂ ∂= ∂ ∂ M e e kk N Zau 1 )(ˆ ξξ . (19) 78 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 3 Як видно з (18), залишається запропонувати спосіб диференціювати функцію ),,( Zyxf за параметрами розміщення джерел. Для цього представимо її у вигляді розкла- ду у подвійний тригонометричний ряд: ∑∑ ∞ = ∞ = = 1 1 sinsin),,( j k jk b yk a xj dZyxf ππ , (20) dxdy b yk a xj Zyxf ab d a b jk ∫ ∫= 0 0 sinsin),,( 4 ππ , (21) де a і b - розміри прямокутника, який містить область Ω . Тепер для отримання часткових похідних функції ),,( Zyxf слід продиференціюва- ти розклад (20) за потрібним параметром, результат підставити в (18) і розв’язати отрима- ну систему лінійних рівнянь (16). Тестовий приклад. Розглянемо як тестовий приклад прямокутну область Ω та прямокутні носії джерел фізичного поля (рис. 1), яке описується крайовою задачею виду ),,( Zyxf y u k yx u k x −=      ∂ ∂ ∂ ∂+      ∂ ∂ ∂ ∂ , .0= Ω∂ u Такий вибір задачі забезпечує можливість порівняти результати, отримані за запро- понованим підходом, і відомі результати. Прямокутна форма області і нульові граничні умови дозволяють розв’язок крайової задачі представити у вигляді тригонометричного ря- ду виду b yk a xj b dk a lj b k a j A jk Zyxu i m i iii i j k jk πππππηπξ απ sinsin 2 sin 2 sinsinsin 116 ),,( 11 1 2 ∑∑∑ = ∞ = ∞ = = , (22) де .2 22 2 22 b k a j jk ππα += Рис. 2а. Розподіл значень часткової похідної за параметром 1ξ , отриманий на основі формули (22) Рис. 2б. Розподіл значень часткової похідної за параметром 1ξ , отриманий на основі запропонованого підходу Часткові похідні для такого часткового випадку легко отримати шляхом безпосере- днього диференціювання виразу (22) за потрібним параметром розміщення. Нехай 2=m , 8=a , 6=b , 1021 == AA , 31 =l , 12 =l , 21 =d , 12 =d , 1=k , 5,21 =ξ , 5,62 =ξ , 21 =η , 5,42 =η . Отриманий за формулою (22) розподіл значень часткової похід- ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 3 79 ної за параметром 1ξ , наведено на рис. 2а. Розподіл значень часткової похідної 1ξ , отрима- ний за запропонованим підходом, наведений на рис. 2б. 3. Висновок Наукова новизна представленої статті полягає у способі чисельного диференціювання розв’язку крайової задачі еліптичного типу за параметрами розміщення носіїв джерел фі- зичного поля. З точки зору практичного застосування, можливість отримання зазначених часткових похідних дозволяє використати методи умовної оптимізації першого порядку до задач оптимального синтезу систем з розподіленими параметрами. Викладена ідея дифере- нціювання може бути просто адаптована і до інших крайових задач, які виникають при оп- тимізації технічних систем з дискретними джерелами фізичних полів. СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ 1. Стоян Ю.Г. Оптимизация технических систем с источниками физических полей / Ю.Г. Стоян, В.П. Путятин. – Киев: Наукова думка, 1988. – 192 с. 2. Чувашева С.И. Численные методы решения одного класса оптимизационных задач размещения источников физических полей: дис. … кандидата физ.-мат. наук: 01.01.07 / Чувашева С.И. – Харь- ков, 1984. – 107 с. 3. Оптимізація розміщення джерел фізичного поля модифікованим методом Розена / Д.О. Жовновський, Л.В. Рудюк, К.Є. Саваневич [та ін.] // Вісник Житомирського інженерно- технологічного інституту. – 2000. – № 13. – С. 188 – 191. 4. Жовновський Д.О. Метод штрафних функцій оптимізації розміщення дискретних джерел фізич- ного поля / Д.О. Жовновський // Вісник Житомирського інженерно-технологічного інституту. – 1998. – № 8. – С. 293 – 298. 5. Яремчук С.І. Оптимізація розміщення об’єктів, які можна розкласти на прямокутники / С.І. Яремчук, Ю.О. Шаповалов // Радиоэлектроника и информатика. – 2006. – № 1. – С. 87 – 90. 6. Яремчук С.І. Оптимізація розміщення об’єктів спеціального виду на області з зонами заборони / С.І. Яремчук, Ю.О. Шаповалов, І.М. Музика // Вісник Житомирського державного технологічного університету. – (Серія «Технічні науки»). – 2006. – № 4 (39). – С. 258 – 263. 7. Яремчук С.И. Алгоритм решения дискретной минимаксной задачи размещения источников фи- зического поля / С.И. Яремчук, Р.В. Бурда, С.С. Матущенко // Кибернетика и системный анализ. – 2009. – № 5. – С. 153 – 163. 8. Яремчук С.І. Комбінований метод розв’язання дискретної мінімаксної задачі розміщення джерел фізичного поля / С.І. Яремчук, Р.В. Бурда, С.С. Матущенко // Вісник Житомирського державного технологічного університету. – (Серія «Технічні науки»). – 2009. – № 1. – С. 183 – 189. 9. Temperature-Aware Placement for SOCs / C.C.-P. Chen, G. Chen, B. Goplen [et al.] // Proc. of the IEEE. – 2006. – N 8 (94). – P. 45 – 62. 10. Стоян Ю.Г. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектиро- вания / Ю.Г. Стоян, С.В. Яковлев. – Киев: Наукова думка, 1986. – 268 с. 11. Демьянов В.Ф. Введение в минимакс / В.Ф. Демьянов, В.Н. Малоземов. – М.: Наука, 1972. – 368 с. 12. Стоян Ю.Г. Дифференцируемость поля дискретных источников по параметрам их размещения / Ю.Г. Стоян, С.И. Яремчук, В.Б. Крыжановский // Доповіді НАН України. – 1995. – № 10. – С. 38 – 40. 13. Yaremchuk S. Problem of optimal placement of discrete physical field sources / S. Yaremchuk, V. Kryzhanivskyy // Applied Numerical Mathematics. – 2004. – N 50. – P. 121 – 131. 14. Чувашева С.И. Дифференцируемость решения задачи Коши для уравнения параболического типа по параметрам размещения источников / С.И. Чувашева, В.Б. Крыжановский // Математичес- кое моделирование и оптимизация технических систем и процессов. – Киев: Институт кибернетики АН Украины, 1993. – С. 45 – 49. Стаття надійшла до редакції 21.06.2010
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-83612
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1028-9763
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T18:50:29Z
publishDate	2011
publisher	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
record_format	dspace
spelling	Крижанівський, В.Б. 2015-06-20T20:14:08Z 2015-06-20T20:14:08Z 2011 Чисельне диференціювання розв'язку крайової задачі за параметрами розміщення джерел фізичного поля / В.Б. Крижанівський // Мат. машини і системи. — 2011. — № 3. — С. 73-79. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83612 519.852.67 У представленій роботі пропонується спосіб чисельного диференціювання розв'язку крайової задачі еліптичного типу за параметрами розміщення носіїв джерел фізичного поля. З точки зору практичного застосування, можливість отримання зазначених часткових похідних дозволяє використати методи умовної оптимізації першого порядку до задач оптимального синтезу систем з розподіленими параметрами. Викладена ідея диференціювання може бути просто адаптована і до інших крайових задач, які виникають при оптимізації технічних систем з дискретними джерелами фізичних полів. В представленной работе предлагается способ численного дифференцирования решения краевой задачи эллиптического типа по параметрам размещения источников физического поля. С точки зрения практического использования, возможность получения этих частных производных позволяет использовать методы условной оптимизации первого порядка для задач оптимального синтеза систем с распределенными параметрами. Изложенная идея дифференцирования может быть просто адаптирована для решения других краевых задач, которые возникают при оптимизации технических систем с дискретными источниками физических полей. The paper is devoted to numerical differentiation of elliptic type boundary value problem with respect to parameters of placement of physical field sources. The practical importance of this result is in a possibility of using gradient method of conditional optimization for optimal synthesis of distributed systems. The proposed idea can be easily adapted to other boundary value problems appearing in optimization of technical systems with physical field sources. uk Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Математичні машини і системи Нові інформаційні і телекомунікаційні технології Чисельне диференціювання розв'язку крайової задачі за параметрами розміщення джерел фізичного поля Численное дифференцирование решения краевой задачи по параметрам размещения источников физического поля Numerical differentiation of the solution of boundary value problem with respect to placement of physical field sources Article published earlier
spellingShingle	Чисельне диференціювання розв'язку крайової задачі за параметрами розміщення джерел фізичного поля Крижанівський, В.Б. Нові інформаційні і телекомунікаційні технології
title	Чисельне диференціювання розв'язку крайової задачі за параметрами розміщення джерел фізичного поля
title_alt	Численное дифференцирование решения краевой задачи по параметрам размещения источников физического поля Numerical differentiation of the solution of boundary value problem with respect to placement of physical field sources
title_full	Чисельне диференціювання розв'язку крайової задачі за параметрами розміщення джерел фізичного поля
title_fullStr	Чисельне диференціювання розв'язку крайової задачі за параметрами розміщення джерел фізичного поля
title_full_unstemmed	Чисельне диференціювання розв'язку крайової задачі за параметрами розміщення джерел фізичного поля
title_short	Чисельне диференціювання розв'язку крайової задачі за параметрами розміщення джерел фізичного поля
title_sort	чисельне диференціювання розв'язку крайової задачі за параметрами розміщення джерел фізичного поля
topic	Нові інформаційні і телекомунікаційні технології
topic_facet	Нові інформаційні і телекомунікаційні технології
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83612
work_keys_str_mv	AT križanívsʹkiivb čiselʹnediferencíûvannârozvâzkukraiovoízadačízaparametramirozmíŝennâdžerelfízičnogopolâ AT križanívsʹkiivb čislennoedifferencirovanierešeniâkraevoizadačipoparametramrazmeŝeniâistočnikovfizičeskogopolâ AT križanívsʹkiivb numericaldifferentiationofthesolutionofboundaryvalueproblemwithrespecttoplacementofphysicalfieldsources

Чисельне диференціювання розв'язку крайової задачі за параметрами розміщення джерел фізичного поля

Institution

Similar Items