О корректных способах решения нечетких задач
В статье рассматривается вопрос о том, как, умея совершать какие-то действия на произвольной совокупности событий, следует совершать аналогичные действия на нечетких множествах, представляющих прогнозы относительно этих событий. Для того, чтобы найти ответ на поставленный вопрос, разработан специаль...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Математичні машини і системи |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83628 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О корректных способах решения нечетких задач / А.А. Лялецкий // Мат. машини і системи. — 2011. — № 4. — С. 78-83. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860065754090569728 |
|---|---|
| author | Лялецкий, А.А. |
| author_facet | Лялецкий, А.А. |
| citation_txt | О корректных способах решения нечетких задач / А.А. Лялецкий // Мат. машини і системи. — 2011. — № 4. — С. 78-83. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичні машини і системи |
| description | В статье рассматривается вопрос о том, как, умея совершать какие-то действия на произвольной совокупности событий, следует совершать аналогичные действия на нечетких множествах, представляющих прогнозы относительно этих событий. Для того, чтобы найти ответ на поставленный вопрос, разработан специальный понятийный аппарат, в рамках которого сформулировано понятие нечеткой задачи и приведена процедура, позволяющая находить решения нечетких задач. Приведены убедительные доводы в пользу корректности этой процедуры.
У роботі розглядається питання про те, як, уміючи робити якісь операції на довільній сукупності подій, слід робити аналогічні операції на нечітких множинах, що представляють прогнози відносно цих подій. Для того, щоб знайти відповідь на поставлене питання, розроблено спеціальний понятійний апарат, у рамках якого сформульовано поняття нечіткої задачі та наведено процедуру, яка дозволяє знаходити рішення нечітких задач. Наведено переконливі аргументи, які підтверджують коректність цієї процедури.
The following question is being considered in the paper. Under assumption of being able to make some actions on an arbitrary set of events, how it is possible to make the same actions on fuzzy sets representing forecasting for these events? For answering the posed question, first, a special concept system permitting to give a notion of a fuzzy task is proposed, and, second, a procedure for solving fuzzy tasks is constructed. Besides, the conclusive proofs substantiating the correctness of this procedure are given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:07:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
78 © Лялецкий А.А., 2011
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 4
УДК 650.1
А.А. ЛЯЛЕЦКИЙ
О КОРРЕКТНЫХ СПОСОБАХ РЕШЕНИЯ НЕЧЕТКИХ ЗАДАЧ
Анотація. У роботі розглядається питання про те, як, уміючи робити якісь операції на довільній
сукупності подій, слід робити аналогічні операції на нечітких множинах, що представляють про-
гнози відносно цих подій. Для того, щоб знайти відповідь на поставлене питання, розроблено спе-
ціальний понятійний апарат, у рамках якого сформульовано поняття нечіткої задачі та наведено
процедуру, яка дозволяє знаходити рішення нечітких задач. Наведено переконливі аргументи, які
підтверджують коректність цієї процедури.
Ключові слова: нечітка множина, операція, прогнозування, експертна система.
Аннотация. В статье рассматривается вопрос о том, как, умея совершать какие-то действия
на произвольной совокупности событий, следует совершать аналогичные действия на нечетких
множествах, представляющих прогнозы относительно этих событий. Для того, чтобы найти
ответ на поставленный вопрос, разработан специальный понятийный аппарат, в рамках которо-
го сформулировано понятие нечеткой задачи и приведена процедура, позволяющая находить ре-
шения нечетких задач. Приведены убедительные доводы в пользу корректности этой процедуры.
Ключевые слова: нечеткое множество, операция, прогнозирование, экспертная система.
Abstract. The following question is being considered in the paper. Under assumption of being able to
make some actions on an arbitrary set of events, how it is possible to make the same actions on fuzzy sets
representing forecasting for these events? For answering the posed question, first, a special concept sys-
tem permitting to give a notion of a fuzzy task is proposed, and, second, a procedure for solving fuzzy
tasks is constructed. Besides, the conclusive proofs substantiating the correctness of this procedure are
given.
Keywords: fuzzy set, operation, forecasting, expert system.
1. Введение
Предположим, что рассматривается некоторая конечно параметризованная задача T с па-
раметрами 110 ,...,, −nppp и известна функция BAAAf n →××× −110 ...: нахождения “точно-
го” решения T , где каждое iA является множеством возможных значений соответствую-
щего параметра ip , а B – множеством возможных решений T . То есть, f сопоставляет
каждым значениям 110 ,...,, −nvvv соответствующих параметров 110 ,...,, −nppp решение
),...,,( 110 −nvvvf задачи T . Теперь предположим, что значения параметров 110 ,...,, −nppp за-
даны “нечетко”, с некоторой “долей уверенности”. Тогда естественно полагать, что, во-
первых, каждое из множеств 110 ,...,, −nAAA представляет собой совокупность попарно несо-
вместных элементарных событий. Неформально это означает, что для каждого i в какой-
то соответствующий момент времени должно произойти в точности одно событие из iA , и,
во-вторых, что нечеткое значение каждого параметра ip представлено в виде соответст-
вующего нечеткого множества iA
ic ]1,0[∈ . В этом “нечетком” случае возникают следую-
щие вопросы:
– Что следует понимать под решением “нечеткой версии” задачи T ?
– Какой информации достаточно для нахождения этого решения и как его вычис-
лить?
– Как обосновать корректность найденного решения?
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 4 79
Для того, чтобы ответить на первые два вопроса, предложим понятия нечеткого
контекста первого и второго порядков, а затем с их помощью – понятие нечеткой задачи и
процедуры, позволяющие находить решения этих нечетких задач. Кроме того, будут при-
ведены доводы, обосновывающие корректность этих процедур.
Результаты данной статьи были представлены на конференции TAAPSD’2011 [2].
Также отметим, что в [3, 4] приводится подход к решению поставленных вопросов, похо-
жий на тот, который рассматривается в данной статье, причем в [3] вкратце описана соот-
ветствующая программная система, а в [5] описана программная система, реализующая
другой подход.
2. Предварительные сведения
Предполагается, что читатель знаком с самыми базовыми понятиями теории частично упо-
рядоченных множеств. Если A – какое-то множество (неформально рассматриваемое как
множество событий), то под нечетким множеством c на A мы, следуя [1], будем понимать
функцию вида ]1,0[: →Ac . Следовательно, A]1,0[ обозначает совокупность всех нечетких
множеств на A. Нечеткое множество c , такое, что множество }0)(|{ ≠εε c не более чем
счетно, будем называть вероятностным, если 1)( =∑
∈A
c
ε
ε . В этом случае элементы множе-
ства A неформально интерпретируются как элементарные события.
3. Формализация понятия нечеткой задачи
Нечеткий контекст – это упорядоченная тройка ><=< ϕ,,fQ , компоненты которой пред-
ставляют собой следующее. Как и во введении, ),...,,( 110 −nvvvf – n -арная функция “нахо-
ждения точного решения”. Зафиксируем какие-то нечеткие множества 110 ,...,, −nccc , где
iA
ic ]1,0[∈ , рассматриваемые как нечеткие значения соответствующих параметров рас-
сматриваемой задачи. По определению < является отношением строгого порядка на мно-
жестве }1,...,1,0{ −n , которое имеет следующую неформальную интерпретацию: ⇔< ji
множество событий iA “зависит” или “может зависеть” от нечёткого множества jA , где
под термином “зависимость” содержательно понимается способность зависимого нечётко-
го множества jc изменяться в зависимости от того, какое событие из iA произойдёт во
множестве ic (это, в частности, предполагает, что событие из iA должно произойти рань-
ше, чем событие из jA ). Тогда “независимость” совокупности множеств событий
},...,,{ 110 −nAAA в рамках рассматриваемого нечеткого контекста просто означает, что лю-
бые события oε и 1ε , где
0io A∈ε ,
11 iA∈ε и 10 ii ≠ , являются независимыми между собой,
и в этом случае отношение < совпадает с пустым множеством ∅ . Если число i не являет-
ся < -минимальным, то ему приписывается функция ii ϕϕ =)( . Если для каждого i функ-
ция iϕ имеет вид
i
k
i A
jjj
A
i AAA ]1,0[)...(]1,0[:
110
→××××
−
ϕ ,
где }|{},...,,{ 110 immjjj k <=− , то ><=< ϕ,,fQ называется нечетким контекстом первого
порядка; в этом случае iϕ описывает изменения нечёткого множества ic в зависимости от
того, какое именно событие случилось в каждом jA , < -предшествующем iA . Если же для
каждого i функция iϕ имеет вид
80 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 4
ikjjji AAAAA
i ]1,0[)]1,0[...]1,0[]1,0([]1,0[: 110 →×××× −ϕ ,
где опять }|{},...,,{ 110 immjjj k <=− , то ><=< ϕ,,fQ называется нечетким контекстом
второго порядка. В этом случае iϕ описывает зависимость нечёткого множества ic от про-
гнозов, описываемых нечеткими множествами jc , где ij < . Нечеткий контекст Q называ-
ется независимым, если < ∅= (в этом случае область определения ϕ равна ∅ , а поэтому
и сама ϕ также равна ∅ ). Ясно, что независимый контекст можно рассматривать как ча-
стный случай контекста первого порядка, а контекст первого порядка – как частный слу-
чай контекста второго порядка.
Под нечеткой задачей естественно считать упорядоченную двойку
>><< −110 ,...,,, ncccQ , где Q – нечеткий контекст и >< −110 ,...,, nccc – набор нечетких мно-
жеств, таких, что iA
ic ]1,0[∈ .
4. Нечеткие множества, представляющие решения нечетких задач
Посмотрим, как можно естественно определить нечеткое множество
B
nQ cccF ]1,0[),...,,( 110 ∈− , представляющее решение рассматриваемой нечеткой задачи. От-
дельно рассмотрим три случая: когда контекст Q является независимым, когда Q имеет
первый порядок и когда – второй.
Независимый контекст. Вначале рассмотрим случай, если в контексте
><=< ϕ,,fQ рассматриваемой нечеткой задачи >><< −110 ,...,,, ncccQ отношение < равно
∅ , т.е., когда множества событий 110 ,...,, −nAAA являются попарно независимыми. В этом
случае, следуя классической теории вероятностей, определяем ),...,,( 110 −nQ cccF с помощью
правила
∑
=
−−−
−
⋅⋅⋅=
bf
nnnQ
n
cccbcccF
),...,,(
111100110
110
)(...)()())(,...,,(
εεε
εεε )(∗
для каждого Bb ∈ .
Контекст первого порядка. Теперь рассмотрим случай, когда в контексте
><=< ϕ,,fQ рассматриваемой нечеткой задачи >><< −110 ,...,,, ncccQ отношение< ∅≠ и
Q – контекст первого порядка. Тогда ),...,,( 110 −nQ cccF определяется следующим образом.
Пусть },...,,{ 110 −lmmm является подмножеством }1,...,1,0{ −n , состоящим из всех чисел, ко-
торые не являются < -максимальными. Положим
}|},...,,{{
110 iil mmmmm AS ∈=
−
εεεε .
Зафиксируем некоторую выборку S
lmmm ∈=
−
},...,,{
110
εεεσ . Через iA
ic ]1,0[∈σ обозначим
нечеткое множество, которое, если i является < -минимальным, совпадает с ic , либо, в
противном случае,
σ
ic равно ),...,,,(
1ik10 jjjii c
−
εεεφ , где }|{},...,,{ 110 immjjj
ik <=− .
Введем ещё одно вспомогательное нечеткое множество σC как решение
),...,,( 110
σσσ
−′ nQ cccF нечеткой задачи >><′< −
σσσ
110 ,...,,, ncccQ с независимым контекстом
>∅∅=<′ ,,fQ . Наконец, решение исходной нечеткой задачи >><< −110 ,...,,, ncccQ – это
нечеткое множество, определяемое с помощью формулы
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 4 81
∑
∈=
−−
−
−
⋅⋅⋅⋅=
S
mnmmnQ
lmmm
n
CccccccF
},...,,{
110110
110
110
))(...)()((),...,,(
εεεσ
σσσσ εεε )(∗∗
(здесь выражение Ck ⋅ , где ℜ∈k и BC ℜ∈ обозначают результат обычного умножения
константы на функцию и, аналогично, выражение 10 CC + , где BCC ℜ∈10 , обозначает
обычную сумму функций).
Содержательно, нечеткое множество σC – это решение исходной нечеткой задачи
>><< −110 ,...,,, ncccQ в предположении, что произошли события
110
,...,,
−lmmm εεε , состав-
ляющие рассматриваемую выборку σ ; следовательно, коэффициент, стоящий перед σC в
)(∗∗ ,– это вероятность того, что произойдут именно
110
,...,,
−lmmm εεε . Поэтому )(∗∗ по
существу представляет из себя, как и )(∗ , простой перебор по всевозможным комбинаци-
ям событий, но с учетом “зависимостей”, описываемых с помощью функции ϕ . Также от-
метим, что из элементарных свойств сложения и умножения следует, что если каждое из
нечетких множеств 110 ,...,, −nccc является вероятностным, то решение ),...,,( 110
σσσ
−nQ cccF –
тоже вероятностное нечеткое множество.
Контекст второго порядка. Рассмотрим последний случай, когда в контексте
><=< ϕ,,fQ рассматриваемой нечеткой задачи >><< −110 ,...,,, ncccQ отношение< ∅≠ и
Q – контекст второго порядка. Мы приведем два описания по-существу одной и той же
процедуры, позволяющей построить искомое решение B
nQ cccF ]1,0[),...,,( 110 ∈− . Первое из
них излагается на языке, более привычном для математики, второе же более пригодно для
программной реализации.
Описание 1. Вводим в рассмотрение помеченное, строго упорядоченное множест-
во ><−=< λ,},1,...,1,0{ nL , рассматриваемое как помеченный граф, где ici =)(0λ для каж-
дой вершины ,i 10 −≤≤ ni , т.е. λ – функция, сопоставляющая каждой вершине L соот-
ветствующее нечеткое множество. Определим попарно непересекающиеся множества hI
вершин высоты h , где Nh ∈ :
iiI |{0 = является < -минимальным} ,
)}(&))1&((|{1 hlh IjijhlIjijjiI ∈′<′∃+<∈⇒<∀=+ .
Множество Con следствий из >< −110 ,...,, nccc определяется следующим образом. Поло-
жим
{0 =Con ici | является < -минимальным }|{} 0Iici ∈= ,
)}...(&|),...,,({ 1011 110 hjhjjjih ConConCondIidddCon
mi
∪∪∪∈∈= ++ −
ϕ .
Наконец, положим .hConCon ∪= Ясно, что при некотором 1−< nh равенство
khh ConCon += выполняется при любом натуральном k и что совокупность Con состоит в
точности из 1−n нечетких множеств. Пусть этими множествами являются
110 ]1,0[,...,]1,0[,]1,0[ 110
−∈∈∈ −
nA
n
AA ddd . Тогда решение ),...,,( 110 −nQ cccF нечеткой задачи
>><< −110 ,...,,, ncccQ определяется как решение ),...,,( 1n10Q dddF −′ задачи с независимым
контекстом >∅∅=<′ ,,fQ .
Таким образом, смысл приведенной процедуры состоит в том, что, “двигаясь снизу
вверх” по помеченному строго упорядоченному множеству L , мы как бы учитываем “за-
82 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 4
висимости”, описываемые с помощью функций ϕ . Однако в отличие от случая, когда мы
рассматривали нечеткие задачи с контекстом первого порядка, в общем случае нельзя га-
рантировать, что если каждое из нечетких множеств 110 ,...,, −nccc является вероятностным,
то таким же является и решение ),...,,( 110
σσσ
−nQ cccF рассматриваемой задачи Q с контек-
стом второго порядка. На практике нечеткие задачи второго порядка появляются как неко-
торые экспертные оценки; поэтому “мера приближенности” ),...,,( 110
σσσ
−= nQ cccFC к тому,
что 1)( =∑
∈A
C
ε
ε , т.е. число, равное |)(1| ∑
∈
−
A
C
ε
ε , может рассматриваться как один из крите-
риев корректности рассматриваемой экспертной оценки.
Описание 2. Помеченное строго упорядоченное множество
><=< 0000 ,, λSL
будем рассматривать как помеченный граф, где }1,...,1,0{0 −= nS , 1< = < и ici =)(0λ для
каждой вершины ,i 10 −≤≤ ni , т.е. 0λ – функция, расставляющая метки. Находим такое
число 00 Si ∈ , которое, само не являясь 0< -минимальным, покрывает только
0< -минимальные вершины. В 0L в качестве метки вершины 0i заменяем нечеткое множе-
ство
0i
c на ),...,,,( 0
10k
0
1
0
0000
i
j
i
j
i
jiii ccccc
−
=′ φ , где }|{},...,,{ 0110
0
0
00 immjjj i
k
ii <=− , и вычеркива-
ем из 0L вершины 0
0
00
110 ,...,, i
k
ii jjj − , полагая },...,,{\ 0
0
00
11001
i
k
ii jjjSS −= и
1< = ∩<0
2
1)(S . Получим помеченное строго упорядоченное множество, которое обозна-
чим через
><=< 1111 ,, λSL .
Далее, аналогично, находим число 11 Si ∈ , которое само не является 1< -минимальным, но
покрывает только 1< -минимальные вершины. В 1L в качестве метки вершины 1i заменяем
нечеткое множество 1ic на ),...,,,( 1
11
1
1
1
0111
i
j
i
j
i
jiii k
ccccc
−
=′ φ , где
}|{},...,,{ 1
1
11
1
1
1
0
immccc i
j
i
j
i
j k
<=
−
, и вычеркиваем из 1L вершины 1
1
11
100 ,...,, i
k
ii jjj − , полагая
},...,,{\ 1
1
11
10012
i
k
ii jjjSS −= и 2< = ∩<1
2
2 )(S . Получим помеченное строго упорядоченное
множество
><=< 2222 ,, λSL .
Продолжаем этот процесс построения iL до тех пор, пока, для некоторого натурального
числа t , множество вершин ∅=tS . Таким образом, мы построим граф 1−tL , вершины ко-
торого помечены нечеткими множествами 110 ,...,, −nddd , где каждое id равно либо ic , если
оно является < -минимальным, либо ic′ – в противном случае. Тогда решение
),...,,( 110
σσσ
−nQ cccF рассматриваемой задачи >><< −110 ,...,,, ncccQ определяется как нечет-
кое множество ),...,,( 110 −′ nQ dddF , являющееся решением задачи >><′< −110 ,...,,, ndddQ с
независимым контекстом >∅∅=<′ ,,fQ .
5. Выводы
Предложенный математический аппарат можно понимать как такой, который, зная, как
совершать какие-то операции над “четкими” данными, фактически обеспечивает возмож-
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 4 83
ность совершать такие же операции над прогнозами над этими данными. Поэтому неуди-
вительно, что он имеет широкий спектр практических приложений. В первую очередь это
касается экспертных систем, которые как раз и имеют дело с теми или иными нечеткими
задачами. Кроме того, отметим, что предложенная процедура поддается программной им-
плементации, что очень существенно, поскольку оперирование над нечеткими данными
требует большого объема вычислений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и ее применение к принятию приближенных ре-
шений / Заде Л. – М.: Мир, 1976. – 165 с.
2. Лялецкий А.А. Об абстрактных операциях над нечеткими данными // Тезисы докладов Между-
нар. конф. TAAPSD’2011, (Ялта, сентябрь 2011 г.). – Ялта, 2011. – С. 119 – 122.
3. Лялецкий А.А. Об одном методе решения конечно-параметризованных задач и его программная
реализация / А.А. Лялецкий, О.М. Яремчук // Proc. of the X-th International Conference Knowledge-
Dialog-Solution. – Varna (Bulgaria), 2003. – June 12–26. – Р. 12 – 26.
4. Lyaletsky A.A. On Prediction Based Method in Fuzzy Logic and its Software Implementation /
А.А. Lyaletsky, О.М. Yaremckuk // Proc. of the 19th International Conference on Artificial Intelligence
(AI’19). – Siedlce, Poland, 2004. – September 21–24. – Р. 43 – 48.
5. Бочарников В.П. Прогнозные коммерческие расчеты и анализ рисков на Fuzzy for Excel / Бочар-
ников В.П., Свешников С.В., Возняк С.Н. – К.: Инекс, 2000. – 159 с.
Стаття надійшла до редакції 03.10.2011
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-83628 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-9763 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:07:27Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лялецкий, А.А. 2015-06-21T10:34:05Z 2015-06-21T10:34:05Z 2011 О корректных способах решения нечетких задач / А.А. Лялецкий // Мат. машини і системи. — 2011. — № 4. — С. 78-83. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83628 510.67:512.562:515.126.2:519.767 В статье рассматривается вопрос о том, как, умея совершать какие-то действия на произвольной совокупности событий, следует совершать аналогичные действия на нечетких множествах, представляющих прогнозы относительно этих событий. Для того, чтобы найти ответ на поставленный вопрос, разработан специальный понятийный аппарат, в рамках которого сформулировано понятие нечеткой задачи и приведена процедура, позволяющая находить решения нечетких задач. Приведены убедительные доводы в пользу корректности этой процедуры. У роботі розглядається питання про те, як, уміючи робити якісь операції на довільній сукупності подій, слід робити аналогічні операції на нечітких множинах, що представляють прогнози відносно цих подій. Для того, щоб знайти відповідь на поставлене питання, розроблено спеціальний понятійний апарат, у рамках якого сформульовано поняття нечіткої задачі та наведено процедуру, яка дозволяє знаходити рішення нечітких задач. Наведено переконливі аргументи, які підтверджують коректність цієї процедури. The following question is being considered in the paper. Under assumption of being able to make some actions on an arbitrary set of events, how it is possible to make the same actions on fuzzy sets representing forecasting for these events? For answering the posed question, first, a special concept system permitting to give a notion of a fuzzy task is proposed, and, second, a procedure for solving fuzzy tasks is constructed. Besides, the conclusive proofs substantiating the correctness of this procedure are given. ru Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Математичні машини і системи Нові інформаційні і телекомунікаційні технології О корректных способах решения нечетких задач Про коректні способи рішення нечітких задач About the correct means for solving fuzzy problems Article published earlier |
| spellingShingle | О корректных способах решения нечетких задач Лялецкий, А.А. Нові інформаційні і телекомунікаційні технології |
| title | О корректных способах решения нечетких задач |
| title_alt | Про коректні способи рішення нечітких задач About the correct means for solving fuzzy problems |
| title_full | О корректных способах решения нечетких задач |
| title_fullStr | О корректных способах решения нечетких задач |
| title_full_unstemmed | О корректных способах решения нечетких задач |
| title_short | О корректных способах решения нечетких задач |
| title_sort | о корректных способах решения нечетких задач |
| topic | Нові інформаційні і телекомунікаційні технології |
| topic_facet | Нові інформаційні і телекомунікаційні технології |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83628 |
| work_keys_str_mv | AT lâleckiiaa okorrektnyhsposobahrešeniânečetkihzadač AT lâleckiiaa prokorektnísposobiríšennânečítkihzadač AT lâleckiiaa aboutthecorrectmeansforsolvingfuzzyproblems |