Закон больших чисел при нарушениях статистической устойчивости
Понятие сходимости последовательности случайных величин обобщено на случай сходимости последовательности гиперслучайных величин. Показано, что закон больших чисел имеет место не только при наличии сходимости выборочного среднего к фиксированному числу, но и тогда, когда такой сходимости нет. Установ...
Saved in:
| Published in: | Математичні машини і системи |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83633 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Закон больших чисел при нарушениях статистической устойчивости / И.И. Горбань // Мат. машини і системи. — 2011. — № 4. — С. 107-115. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859675551560630272 |
|---|---|
| author | Горбань, И.И. |
| author_facet | Горбань, И.И. |
| citation_txt | Закон больших чисел при нарушениях статистической устойчивости / И.И. Горбань // Мат. машини і системи. — 2011. — № 4. — С. 107-115. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичні машини і системи |
| description | Понятие сходимости последовательности случайных величин обобщено на случай сходимости последовательности гиперслучайных величин. Показано, что закон больших чисел имеет место не только при наличии сходимости выборочного среднего к фиксированному числу, но и тогда, когда такой сходимости нет. Установлено, что выборочное среднее случайной величины может сходиться к фиксированному числу, стремиться к плюс бесконечности, минус бесконечности или флуктуировать в пределах определенного интервала, а выборочное среднее гиперслучайной величины может сходиться к фиксированной величине, множеству фиксированных величин (множеству чисел), флуктуировать в непересекающихся интервалах, флуктуировать в пределах одного интервала или стремиться к плюс или минус бесконечности.
Поняття збіжності послідовності випадкових величин узагальнено на випадок збіжності послідовності гіпервипадкових величин. Показано, що закон великих чисел має місце не тільки у разі, коли є збіжність вибіркового середнього до фіксованого числа, але й коли такої збіжності немає. Встановлено, що вибіркове середнє випадкових величин може збігатись до фіксованого числа, прямувати до плюс чи мінус нескінченності або флуктувати в межах інтервалу, а вибіркове середнє гіпервипадкової величини може збігатись до фіксованого числа, множини фіксованих чисел, флуктувати в межах інтервалів, що не перетинаються, флуктувати в межах одного інтервалу або прямувати до плюс чи мінус нескінченності.
The term sequence convergence of random quantities has been generalized to the sequence convergence of hyper-random quantities. It has been shown that the low of large numbers for random sequence is correct not only when the average tends to fixed number but in case of the absence of the convergence. It has been found that the average of random variables can approach to the fixed number, tend to plus or minus infinity or fluctuate within the interval and the average of hyper-random variable can approach to the fixed number, to the set of fix numbers, fluctuate within the of disjoint intervals, fluctuate within the single interval or tend to plus or minus infinity.
|
| first_indexed | 2025-11-30T15:56:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Горбань И.И., 2011 107
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 4
УДК 519.2: 530.1: 600.1
И.И. ГОРБАНЬ
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ПРИ НАРУШЕНИЯХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ
УСТОЙЧИВОСТИ
Анотація. Поняття збіжності послідовності випадкових величин узагальнено на випадок
збіжності послідовності гіпервипадкових величин. Показано, що закон великих чисел має місце не
тільки у разі, коли є збіжність вибіркового середнього до фіксованого числа, але й коли такої
збіжності немає. Встановлено, що вибіркове середнє випадкових величин може збігатись до
фіксованого числа, прямувати до плюс чи мінус нескінченності або флуктувати в межах
інтервалу, а вибіркове середнє гіпервипадкової величини може збігатись до фіксованого числа,
множини фіксованих чисел, флуктувати в межах інтервалів, що не перетинаються, флуктувати
в межах одного інтервалу або прямувати до плюс чи мінус нескінченності.
Ключові слова: закон великих чисел, статистична нестійкість, теорія гіпервипадкових явищ,
збіжність.
Аннотация. Понятие сходимости последовательности случайных величин обобщено на случай
сходимости последовательности гиперслучайных величин. Показано, что закон больших чисел
имеет место не только при наличии сходимости выборочного среднего к фиксированному числу,
но и тогда, когда такой сходимости нет. Установлено, что выборочное среднее случайной вели-
чины может сходиться к фиксированному числу, стремиться к плюс бесконечности, минус беско-
нечности или флуктуировать в пределах определенного интервала, а выборочное среднее гиперс-
лучайной величины может сходиться к фиксированной величине, множеству фиксированных ве-
личин (множеству чисел), флуктуировать в непересекающихся интервалах, флуктуировать в пре-
делах одного интервала или стремиться к плюс или минус бесконечности.
Ключевые слова: закон больших чисел, статистическая неустойчивость, теория гиперслучайных
явлений, сходимость.
Abstract. The term sequence convergence of random quantities has been generalized to the sequence con-
vergence of hyper-random quantities. It has been shown that the low of large numbers for random se-
quence is correct not only when the average tends to fixed number but in case of the absence of the con-
vergence. It has been found that the average of random variables can approach to the fixed number, tend
to plus or minus infinity or fluctuate within the interval and the average of hyper-random variable can
approach to the fixed number, to the set of fix numbers, fluctuate within the of disjoint intervals, fluctuate
within the single interval or tend to plus or minus infinity.
Keywords: low of large numbers, statistical instability, theory of hyper-random phenomenon, conver-
gence.
1. Введение
Окружающий мир подчиняется определенным физическим законам, среди которых особое
место занимает статистическая устойчивость массовых явлений [1] – удивительный физи-
ческий феномен, послуживший физической основой построения теории вероятностей, ши-
роко используемой в настоящее время в различных областях науки и техники.
Современную теорию вероятностей можно рассматривать как физико-
математическую теорию [1]. Математическая ее часть базируется на абстрактной системе
аксиом А.Н. Колмогорова [2], а физическая – на гипотезе статистической устойчивости
физических явлений и возможности адекватного их описания стохастическими моделями
[1, 3].
Как правило, гипотеза статистической устойчивости хорошо согласуется с резуль-
татами экспериментальных исследований на относительно небольших временных, про-
странственных и пространственно-временных интервалах наблюдения [1]. Однако на
108 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 4
больших интервалах наблюдения происходят существенные нарушения устойчивости. Эти
нарушения, присущие, по всей видимости, всем физическим явлениям, связаны с тем, что
окружающий мир – открытая система, у которой меняются все характеристики и парамет-
ры, в том числе и статистические.
Исследования нарушений статистической устойчивости физических явлений и раз-
работка эффективных средств адекватного представления явлений с учетом таких наруше-
ний привели к построению новой физико-математической теории – теории гиперслучай-
ных явлений [1, 3].
Математическая часть новой теории базируется на той же системе аксиом
А.Н. Колмогорова, что и теория вероятностей, и потому, с точки зрения математики, явля-
ется ветвью последней. Физическая часть теории гиперслучайных явлений основана на но-
вой системе физических предположений: гипотезе ограниченной статистической устойчи-
вости физических явлений и возможности адекватного их описания гиперслучайными мо-
делями [1, 3].
В теории вероятностей базовыми математическими моделями являются случайные
событие, величина и функция; в теории гиперслучайных явлений в таком качестве высту-
пают гиперслучайные событие, величина и функция, представляющие собой множества не
связанных между собой соответственно случайных событий, величин и функций. С обще-
системных позиций физико-математическая теория гиперслучайных явлений является
обобщением физико-математической теории вероятностей.
В обеих теориях ключевую роль играет закон больших чисел (ЗБЧ). Несмотря на
трехсотлетнюю историю этого закона, до сих пор остаются практически не изученными
его особенности при нарушениях статистической устойчивости.
Целью настоящей статьи является восполнение имеющегося пробела.
2. Статистически неустойчивые последовательности
Последовательность 1 2, ,...X X случайных величин (случайную выборку) будем называть
статистически устойчивой [1, 4], если при устремлении объема выборки N к бесконечно-
сти математическое ожидание выборочной дисперсии 2
1
1
( )
1N N
N
Y n Y
n
D Y m
N =
= −
− ∑ флуктуа-
ции выборочного среднего
1
1 n
n i
i
Y X
n =
= ∑ ( 1,n N= ) стремится по вероятности к нулю, где
1
1
N
N
Y n
n
m Y
N =
= ∑ – выборочное среднее флуктуации среднего. Последовательности, не удов-
летворяющие этому условию, будем называть статистически неустойчивыми.
3. ЗБЧ для случайных величин при нарушении статистической устойчивости
Известная теорема Чебышева, выражающая закон больших чисел для последовательности
1,..., NX X попарно независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии и ма-
тематические ожидания
1
, ,
Nx xm mK , утверждает [5], что при устремлении N к бесконечно-
сти выборочное среднее
1
1 N
N n
n
Y X
N =
= ∑ стремится по вероятности к среднему
1
1
N n
N
y x
n
m m
N =
= ∑ математических ожиданий
1
, ,
Nx xm mK .
Обратим внимание на одну тонкость, ускользающую от многих: эта теорема не го-
ворит о сходимости ни выборочного среднего NY , ни среднего математических ожиданий
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 4 109
Nym , а утверждает сходимость этих величин друг к другу или, иначе, утверждает сходи-
мость к нулю их разности. Это означает, что выборочное среднее NY и среднее математи-
ческих ожиданий
Nym могут не иметь предела. Они могут, например, флуктуировать во-
круг константы, но при этом, согласно теореме, меняются синхронно так, что при N → ∞
разность между ними стремится к нулю.
Разберем два случая: когда имеет место сходимость выборочного среднего *
xm и
среднего математических ожиданий xm к определенным фиксированным величинам (чис-
лам) и когда такой сходимости нет.
В первом случае предел среднего математических ожиданий xm может быть описан
функцией распределения в виде функции единичного скачка в точке xm . К ней стремится
функция распределения * ( )
xm
F x выборочного среднего *
xm при N → ∞ (рис. 1).
* ( )
xm
F x
2xm r
1xmr
2
* ( )
xm
F x
r
1
* ( )
xm
F x
r
/x g x
m m=
xm x
1
0
1x
mr
2xmr
sxm
/x g x
m m=
ixm
22
* ( )
xm
F x
r
1
* ( )
xm
F x
r
x
1
0
Рис. 1. Схема формирования функции распре-
деления выборочного среднего при ∞→N ,
когда выборочное и среднее математических
ожиданий – фиксированные величины
Рис. 2. Схема формирования функции распре-
деления выборочного среднего при ∞→N ,
когда выборочное и среднее математических
ожиданий – конечные интервалы
На рисунке кривыми
1
* ( )
xm
F x
r
,
2
* ( )
xm
F x
r
изображены функции распределения среднего
для двух выборок разных объемов, а точками
1xmr ,
2xmr на оси x – соответствующие мате-
матические ожидания.
Во втором случае при N → ∞ выборочное среднее *
xm и среднее математических
ожиданий xm могут либо стремиться к плюс или минус бесконечности, либо флуктуиро-
вать в определенных интервалах.
Вариант, когда при N → ∞ величины *
xm и xm находятся в интервалах, представля-
ет особый интерес. Эти интервалы могут быть конечными или бесконечными. Если интер-
валы конечны, то существуют границы *
ixm , *
sxm выборочного среднего *
xm и границы ixm ,
sxm среднего математических ожиданий xm . Эти границы можно описать функциями рас-
пределения в виде функций единичного скачка в точках *
ixm , *
sxm , ixm , sxm .
На основании закона больших чисел *
ixm стремится к ixm , а *
sxm – к sxm (рис. 2). Ин-
тервал [ ixm , sxm ] – область, в которой флуктуирует выборочное среднее при N → ∞ .
Таким образом, выборочное среднее случайных величин может сходиться к опреде-
ленному числу, стремиться к плюс или минус бесконечности или флуктуировать в опреде-
ленном интервале. В последнем случае можно говорить о сходимости выборочного сред-
него к интервалу [1].
110 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 4
На рис. 3 и 4 приведены реализации двух статистически неустойчивых процессов
nx , 1,n N= (а), модули их мгновенных спектров
kxS , 1, / 2k N= (б) и выборочные средние
ny , 1,n N= (в).
Рис. 3. Реализация статистически неустойчивого процесса 1, модуль ее мгновенного
спектра и ее выборочное среднее
Рис. 4. Реализация статистически неустойчивого процесса 2, модуль ее мгновенного
спектра и ее выборочное среднее
Комплексный спектр реализации процесса 1, приведенной на рис. 3б, описывается
выражением exp( j2π sin( ))
k
k
x
n
S a bk
k
=& , где kn – отсчеты белого гауссовского шума с еди-
ничной дисперсией и нулевым математическим ожиданием, k – номер спектрального от-
счета, a и b – параметры ( 200a = , 0,78b = ).
Реализация процесса 2, представленная на рис. 4а, описывается выражением
0cos(2π lg( ) / lg )n nx A f n N n= + , где A – амплитуда ( 10A = ), 0f – параметр, характеризую-
щий частоту ( 0 20f = ), nn – отсчеты белого гауссовского шума с единичной дисперсией и
нулевым математическим ожиданием. Пунктиром на рис. 4 а изображен для сравнения
модуль мгновенного спектра
1
( )S f
f
� .
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 4 111
Из рис. 3 в и 4 в видно, что в обоих случаях выборочные средние не стремятся к ка-
ким-либо определенным числам, а флуктуируют, оставаясь внутри определенных интерва-
лов.
4. Сходимость последовательности гиперслучайных величин
Для дальнейшего изложения необходимо ввести понятие сходимости последовательности
гиперслучайных величин. Вводимое понятие базируется на известных понятиях сходимо-
сти последовательности случайных величин [5].
Пусть имеется последовательность гиперслучайных величин 1Χ { ,..., }NX X= и ги-
перслучайная величина X . Для всех 1,..., NX X и X определены условные функции рас-
пределения
1 1/ ( )x gF x ,..., / ( )
N Nx gF x и / ( )x gF x для всех условий 1, , Ng g G∈K , g G∈ , где G
принадлежит метрическому топологическому пространству с определенной метрикой.
Тогда последовательность X :
1) сходится (в смысле Бернулли) к X по функции распределения ( ( ) ( )
Nx xF x F x→ ),
если в каждой точке x , где / ( )x gF x непрерывна, для всех условий g G∈ при N → ∞ и
Ng g→
/ /( ) ( )
N Nx g x gF x F x→ , (1)
т.е., если для всех g G∈ последовательность случайных величин 1 1/ ,..., /N NX g X g схо-
дится по функции распределения к случайной величине /X g ;
2) сходится к X в среднеквадратическом 2(M[ ] 0)NX X− → , если для всех усло-
вий g G∈ при N → ∞ и Ng g→ условные математические ожидания
2M[ / / ] 0N NX g X g− → , (2)
т.е., если для всех g G∈ последовательность случайных величин 1 1/ ,..., /N NX g X g схо-
дится к случайной величине /X g в среднеквадратическом. При такой сходимости можно
писать l.i .m. / /
N
N N
N
g g
X g X g
→∞
→
= или
l.i .m. N
N
X X
→∞
= . (3)
Обратим внимание, что в данном случае математическое ожидание рассчитывается
по двумерному распределению случайных величин /N NX g и /X g ;
3) сходится к X почти наверное (с вероятностью единица – ( ) 1NP X X→ = ), если
для всех условий g G∈ при N → ∞ и Ng g→ условная вероятность
( / / ) 1N NP X g X g→ = , (4)
т.е., если g G∀ ∈ случайная последовательность 1 1/ ,..., /N NX g X g сходится с вероятно-
стью единица к случайной величине /X g . При такой сходимости можно писать
lim N
N
X X
→∞
= ; (5)
4) сходится к X по вероятности ( ( ε) 0)NP X X− > → , если для всех условий g G∈
и 0ε > при N → ∞ и Ng g→
112 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 4
( ) ( )
Nx xF x F x→
( ε) 0NP X X− > →
l.i.m. N
N
X X
→∞
=
lim NN
X X
→∞
=
Рис. 5. Соотношения между разными типами
сходимости
( / / ε) 0N NP X g X g− > → , (6)
т.е., если g G∀ ∈ случайная последовательность 1 1/ ,..., /N NX g X g сходится по вероятно-
сти к случайной величине /X g .
Заметим, что в частном случае, когда X представляет собой множество чисел, опи-
сываемых функциями распределения в виде функций единичного скачка, можно говорить
о сходимости гиперслучайных величин к этому множеству чисел. Когда это множество
представляет собой интервал, можно говорить о сходимости гиперслучайной величины к
этому интервалу.
Так же, как и для последовательности случайных величин, наиболее слабая сходи-
мость для последовательности гиперслучайных величин – сходимость по распределению.
Более сильная сходимость – по вероятности. Еще более сильная сходимость – в средне-
квадратическом и с вероятностью единица. Следует иметь в виду, что некоторые последо-
вательности сходятся в средне-
квадратическом, но не сходятся с
вероятностью единица; другие же
– сходятся с вероятностью едини-
ца, но не сходятся в среднеквадра-
тическом. Эти положения прямо
следуют из аналогичных положе-
ний для последовательности слу-
чайных величин. Соотношения
между разными типами сходимо-
сти условно изображены на рис. 5.
5. ЗБЧ для гиперслучайных величин при нарушении статистической устойчивости
Для гиперслучайных величин справедлива следующая теорема, аналогичная приведенной
теореме Чебышева.
Теорема. Пусть гиперслучайная величина { }/X X g G= ∈ представляет собой со-
вокупность случайных величин /X g для различных статистических условий g G∈ с ус-
ловными математическими ожиданиями /x gm и ограниченными условными дисперсиями
/x gD . Нижняя и верхняя границы математического ожидания гиперслучайной величины
X равны соответственно ixm , sxm . Из генеральной совокупности гиперслучайной величи-
ны X , полученной в неконтролируемо меняющихся статистических условиях, формирует-
ся гиперслучайная выборка { }1, , NX XK объемом N с взаимно независимыми для всех
условий элементами. По этой выборке рассчитывается гиперслучайное выборочное сред-
нее *
1
1 N
x n
n
m X
N =
= ∑ .
Тогда, при устремлении объема выборки к бесконечности ( N → ∞ ), гиперслучай-
ное выборочное среднее *
xm сходится по вероятности к множеству /{ , }x x gm m g G= ∈r
rr
,
представляющему собой множество средних / /
1
1
n
N
x g x g
n
m m
N =
= ∑r условных математических
ожиданий
1/ /, ,
Nx g x gm mK случайных величин 1/ , , / NX g X gK , соответствующих всевоз-
можным условиям , 1,ng G n N∈ = , а нижняя и верхняя границы этого выборочного сред-
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 4 113
него сходятся по вероятности соответственно к нижней и верхней границам математиче-
ского ожидания гиперслучайной величины X :
{ }*
*
lim inf ε 0,
lim sup ε 0,
x ix
N g G
x sx
N g G
P m m
P m m
→∞ ∈
→∞ ∈
− > =
− > =
rr
rr
(7)
где { }P z – вероятность условия z , а ε – как угодно малое положительное число.
Доказательство теоремы приведено в работах [1, 5].
Нетрудно убедиться, что известные модификации закона больших чисел для после-
довательности случайных величин [6] допускают обобщения на случай последовательно-
сти гиперслучайных величин, в частности, теорема, определяющая необходимые и доста-
точные условия сходимости последовательностей по вероятности.
Пределы условных средних математических ожиданий /x gmr r при фиксированных
g G∈
rr
могут существовать, а могут не существовать.
Если они существуют для всех g G∈
rr
, то гиперслучайное выборочное среднее *
xm
сходится к множеству детерминированных величин xm . Отсутствие предела для какого-
нибудь g G∈
rr
означает, что соответствующее условное среднее математических ожиданий
либо стремится к плюс или минус бесконечности, либо сходится к интервалу.
В случае существования пределов условных средних математических ожиданий
/x gmr r для всех g G∈
rr
множество чисел xm может быть описано множеством условных
функций распределения в виде функций единичного скачка в точках /x gmr r . Границы этого
множества ixm , sxm описываются функциями распределения в виде функций единичного
скачка в точках ixm , sxm (рис. 6).
1 1/x gmr r
2 2/x gmr r sxm
/x g x
m m=
ixm
* ( )
xIm
F x
* ( )
xSm
F x
/2 2
* ( )
gxm
F x
rr
/1 1
* ( )
gxm
F x
rr
x
1
0
* ( )
xIm
F x
/x g x
m m=
ixm 0
1 1/x gmr r
2 2/x gmr r sxm
* ( )
xSm
F x
/2 2
* ( )
gxm
F x
rr
/1 1
* ( )
gxm
F x
rr
x
1
Рис. 6. Схема формирования границ функции
распределения ( )xF
XSm
∗
, ( )xF
X
∗
Im
выборочного
среднего при ∞→N , когда выборочное и
среднее математических ожиданий – множества
чисел
Рис. 7. Схема формирования границ функции
распределения ( )xF
XSm
∗
, ( )xF
X
∗
Im
выборочного
среднего при ∞→N , когда выборочное и
среднее математических ожиданий – конечные
мультиинтервалы
На рисунке кривыми
1 1
*
/
( )
x gm
F x
r r
,
2 2
*
/
( )
x gm
F x
r r
изображены функции распределения
среднего для двух разных выборок конечного объема в условиях 1g
r
и 2g
r
, а точками
1 1/x gmr r ,
2 2/x gmr r на оси x – соответствующие им математические ожидания.
114 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 4
Когда условные математические ожидания /x gmr r g G∀ ∈
rr
всюду плотно заполняют
интервал [ , ]ix sxm m , гиперслучайное выборочное среднее при N → ∞ стремится к интер-
вальной величине [ , ]ix sxm m , изображенной на рис. 6 затемненной областью.
Когда условные математические ожидания /x gmr r g G∀ ∈
rr
одинаковы ( /x g xm m=r r ). При
этом границы математических ожиданий ixm , sxm совпадают ( ix sx xm m m= = ) и при увели-
чении объема выборки к бесконечности выборочное среднее гиперслучайной величины
стремится к детерминированной величине xm .
В случае сходимости при N → ∞ всех условных средних математических ожиданий
/x gmr r к интервалам (рис. 7) гиперслучайная величина xm представляет собой мультиинтер-
вал (многосвязный интервал) – множество конечных интервалов [7], изображенных на ри-
сунке затемненными областями.
Если отдельные интервалы мультиинтервала полностью перекрываются, то муль-
тиинтервал xm вырождается в интервал [ , ]ix sxm m . Тогда выборочное среднее *
xm при
N → ∞ флуктуирует в этом интервале, не выходя за его границы.
Таким образом, при N → ∞ выборочное среднее гиперслучайной величины может
сходиться к фиксированной величине, множеству фиксированных величин (множеству чи-
сел), флуктуировать в непересекающихся интервалах условных границ, флуктуировать во
всем интервале [ , ]ix sxm m или стремиться к +∞ или −∞ .
Многообразие типов величин, к которым стремятся выборочные средние случайных
и гиперслучайных величин, необходимо учитывать при моделировании реальных процес-
сов.
5. Выводы
1. Понятие сходимости последовательности случайных величин обобщено на случай схо-
димости последовательности гиперслучайных величин.
2. Показано, что закон больших чисел имеет место не только при наличии сходимости вы-
борочного среднего к фиксированному числу, но и тогда, когда такой сходимости нет.
3. Установлено, что выборочное среднее случайной величины может сходиться к фиксиро-
ванному числу, стремиться к плюс бесконечности, минус бесконечности или флуктуиро-
вать в пределах интервала.
4. Установлено, что выборочное среднее гиперслучайной величины может сходиться к
фиксированной величине, множеству фиксированных величин (множеству чисел), флук-
туировать в непересекающихся интервалах, флуктуировать в пределах одного интервала
или стремиться к плюс или минус бесконечности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Горбань И.И. Теория гиперслучайных явлений: физические и математические основы / Горбань
И.И. – К.: Наукова думка, 2011. – 318 с. – Режим доступа: http://www.immsp.kiev.ua/perspages/
gorban_i_i/index.html.
2. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей / Колмогоров А.Н. – М.: ОНТИ, 1936.
– 175 с.; 1974. – 119 с.
3. Горбань И.И. Теория гиперслучайных явлений / Горбань И.И. – К.: ИПММС НАН Украины,
2007. – 184 с. – Режим доступа: http://ifsc.ualr.edu/jdberleant/intprob.
4. Gorban I.I. Disturbance of statistical stability / I.I. Gorban // Information Models of Knowledge. – So-
fia: ITHEA, 2010. – P. 398 – 410.
5. Горбань И.И. Особенности закона больших чисел при нарушениях статистической устойчивости
/ И.И. Горбань // Известия вузов. Радиоэлектроника. – 2011. – № 7. – С. 31 – 42.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 4 115
6. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей / Гнеденко Б.В. – М.: Изд-во физ.-мат. литературы,
1988. – 448 с.
7. Шарый С.П. Конечномерный интервальный анализ / Шарый С.П. – XYZ: Институт вычисли-
тельных технологий, 2010. – 597 с. – Режим доступа: http://www.nsc.ru/interval.
Стаття надійшла до редакції 08.09.2011
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-83633 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-9763 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T15:56:51Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Горбань, И.И. 2015-06-21T10:43:48Z 2015-06-21T10:43:48Z 2011 Закон больших чисел при нарушениях статистической устойчивости / И.И. Горбань // Мат. машини і системи. — 2011. — № 4. — С. 107-115. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83633 519.2: 530.1: 600.1 Понятие сходимости последовательности случайных величин обобщено на случай сходимости последовательности гиперслучайных величин. Показано, что закон больших чисел имеет место не только при наличии сходимости выборочного среднего к фиксированному числу, но и тогда, когда такой сходимости нет. Установлено, что выборочное среднее случайной величины может сходиться к фиксированному числу, стремиться к плюс бесконечности, минус бесконечности или флуктуировать в пределах определенного интервала, а выборочное среднее гиперслучайной величины может сходиться к фиксированной величине, множеству фиксированных величин (множеству чисел), флуктуировать в непересекающихся интервалах, флуктуировать в пределах одного интервала или стремиться к плюс или минус бесконечности. Поняття збіжності послідовності випадкових величин узагальнено на випадок збіжності послідовності гіпервипадкових величин. Показано, що закон великих чисел має місце не тільки у разі, коли є збіжність вибіркового середнього до фіксованого числа, але й коли такої збіжності немає. Встановлено, що вибіркове середнє випадкових величин може збігатись до фіксованого числа, прямувати до плюс чи мінус нескінченності або флуктувати в межах інтервалу, а вибіркове середнє гіпервипадкової величини може збігатись до фіксованого числа, множини фіксованих чисел, флуктувати в межах інтервалів, що не перетинаються, флуктувати в межах одного інтервалу або прямувати до плюс чи мінус нескінченності. The term sequence convergence of random quantities has been generalized to the sequence convergence of hyper-random quantities. It has been shown that the low of large numbers for random sequence is correct not only when the average tends to fixed number but in case of the absence of the convergence. It has been found that the average of random variables can approach to the fixed number, tend to plus or minus infinity or fluctuate within the interval and the average of hyper-random variable can approach to the fixed number, to the set of fix numbers, fluctuate within the of disjoint intervals, fluctuate within the single interval or tend to plus or minus infinity. ru Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Математичні машини і системи Моделювання і управління великими системами Закон больших чисел при нарушениях статистической устойчивости Закон великих чисел при порушеннях статистичної стійкості The law of large numbers for violations of statistical stability Article published earlier |
| spellingShingle | Закон больших чисел при нарушениях статистической устойчивости Горбань, И.И. Моделювання і управління великими системами |
| title | Закон больших чисел при нарушениях статистической устойчивости |
| title_alt | Закон великих чисел при порушеннях статистичної стійкості The law of large numbers for violations of statistical stability |
| title_full | Закон больших чисел при нарушениях статистической устойчивости |
| title_fullStr | Закон больших чисел при нарушениях статистической устойчивости |
| title_full_unstemmed | Закон больших чисел при нарушениях статистической устойчивости |
| title_short | Закон больших чисел при нарушениях статистической устойчивости |
| title_sort | закон больших чисел при нарушениях статистической устойчивости |
| topic | Моделювання і управління великими системами |
| topic_facet | Моделювання і управління великими системами |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83633 |
| work_keys_str_mv | AT gorbanʹii zakonbolʹšihčiselprinarušeniâhstatističeskoiustoičivosti AT gorbanʹii zakonvelikihčiselpriporušennâhstatističnoístíikostí AT gorbanʹii thelawoflargenumbersforviolationsofstatisticalstability |