Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 1. Непрерывное вейвлет-преобразование

Предложено использовать непрерывное вейвлет-преобразование (НВП) для изучения структуры сигналов с особенностями. С помощью аналитических и численных методов выполнен вейвлет-анализ простых вещественных моделей сигналов с особенностями во временной области. Полученные результаты сравнены с результат...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2007
Автори:	Лазоренко, О.В., Лазоренко, С.В., Черногор, Л.Ф.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Радіоастрономічний інститут НАН України 2007
Теми:	Статистическая радиофизика
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8365
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 1. Непрерывное вейвлет-преобразование / О.В. Лазоренко, С.В. Лазоренко, Л.Ф. Черногор // Радиофизика и радиоастрономия. — 2007. — Т. 12, № 2. — С. 182-204. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8365
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-83652025-02-09T13:47:00Z Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 1. Непрерывное вейвлет-преобразование Вейвлет-аналіз модельних сигналів з особливостями. 1. Безперервне вейвлет-перетворення Wavelet Analysis of the Model Signals with Peculiarities. 1. Continuous Wavelet Transform Лазоренко, О.В. Лазоренко, С.В. Черногор, Л.Ф. Статистическая радиофизика Предложено использовать непрерывное вейвлет-преобразование (НВП) для изучения структуры сигналов с особенностями. С помощью аналитических и численных методов выполнен вейвлет-анализ простых вещественных моделей сигналов с особенностями во временной области. Полученные результаты сравнены с результатами динамического преобразования Фурье (ДПФ). Результаты НВП и ДПФ представлены в специальном формате, который рекомендуется исследователям. Показаны преимущества использования вейвлетов для анализа сигналов с особенностями. С помощью комплексного функционала качества выбран оптимальный вейвлетный базис для каждой конкретной модели сигнала при НВП. Пропонується використовувати безперервне вейвлет-перетворення (БВП) для вивчення структури сигналів з особливостями. За допомогою аналітичних та чисельних методів виконано вейвлет-аналіз простих дійсних моделей сигналів з особливостями у часовій області. Отримані результати порівнюються з результатами динамічного перетворення Фур’є (ДПФ). Результати БВП та ДПФ подано у спеціальному форматі, рекомендованому дослідникам. Показано переваги використання вейвлетів для аналізу сигналів з особливостями. З допомогою комплексного функціоналу якості відібрано оптимальний вейвлетний базис для кожної конкретної моделі сигналу для БВП. The continuous wavelet transform (CWT) is proposed for investigating the structure of the signals with peculiarities. Wavelet analysis of simple real models of the signals with peculiarities in time domain was made analytically and numerically. The results obtained are compared with those of the short-time Fourier transform. The wavelet and Fourier analysis results are shown in a special data format recommended for using by researchers. The advantages of the wavelet application for the analysis of the signals with peculiarities are shown. By using the integrated quality functional, the optimal wavelet basis used in CWT for each signal model is selected. 2007 Article Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 1. Непрерывное вейвлет-преобразование / О.В. Лазоренко, С.В. Лазоренко, Л.Ф. Черногор // Радиофизика и радиоастрономия. — 2007. — Т. 12, № 2. — С. 182-204. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1027-9636 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8365 621.372(075.8) ru application/pdf Радіоастрономічний інститут НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статистическая радиофизика Статистическая радиофизика
spellingShingle	Статистическая радиофизика Статистическая радиофизика Лазоренко, О.В. Лазоренко, С.В. Черногор, Л.Ф. Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 1. Непрерывное вейвлет-преобразование
description	Предложено использовать непрерывное вейвлет-преобразование (НВП) для изучения структуры сигналов с особенностями. С помощью аналитических и численных методов выполнен вейвлет-анализ простых вещественных моделей сигналов с особенностями во временной области. Полученные результаты сравнены с результатами динамического преобразования Фурье (ДПФ). Результаты НВП и ДПФ представлены в специальном формате, который рекомендуется исследователям. Показаны преимущества использования вейвлетов для анализа сигналов с особенностями. С помощью комплексного функционала качества выбран оптимальный вейвлетный базис для каждой конкретной модели сигнала при НВП.
format	Article
author	Лазоренко, О.В. Лазоренко, С.В. Черногор, Л.Ф.
author_facet	Лазоренко, О.В. Лазоренко, С.В. Черногор, Л.Ф.
author_sort	Лазоренко, О.В.
title	Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 1. Непрерывное вейвлет-преобразование
title_short	Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 1. Непрерывное вейвлет-преобразование
title_full	Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 1. Непрерывное вейвлет-преобразование
title_fullStr	Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 1. Непрерывное вейвлет-преобразование
title_full_unstemmed	Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 1. Непрерывное вейвлет-преобразование
title_sort	вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 1. непрерывное вейвлет-преобразование
publisher	Радіоастрономічний інститут НАН України
publishDate	2007
topic_facet	Статистическая радиофизика
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8365
citation_txt	Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 1. Непрерывное вейвлет-преобразование / О.В. Лазоренко, С.В. Лазоренко, Л.Ф. Черногор // Радиофизика и радиоастрономия. — 2007. — Т. 12, № 2. — С. 182-204. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT lazorenkoov vejvletanalizmodelʹnyhsignalovsosobennostâmi1nepreryvnoevejvletpreobrazovanie AT lazorenkosv vejvletanalizmodelʹnyhsignalovsosobennostâmi1nepreryvnoevejvletpreobrazovanie AT černogorlf vejvletanalizmodelʹnyhsignalovsosobennostâmi1nepreryvnoevejvletpreobrazovanie AT lazorenkoov vejvletanalízmodelʹnihsignalívzosoblivostâmi1bezperervnevejvletperetvorennâ AT lazorenkosv vejvletanalízmodelʹnihsignalívzosoblivostâmi1bezperervnevejvletperetvorennâ AT černogorlf vejvletanalízmodelʹnihsignalívzosoblivostâmi1bezperervnevejvletperetvorennâ AT lazorenkoov waveletanalysisofthemodelsignalswithpeculiarities1continuouswavelettransform AT lazorenkosv waveletanalysisofthemodelsignalswithpeculiarities1continuouswavelettransform AT černogorlf waveletanalysisofthemodelsignalswithpeculiarities1continuouswavelettransform
first_indexed	2025-11-26T11:38:38Z
last_indexed	2025-11-26T11:38:38Z
_version_	1849852819298844672
fulltext	Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №2, с. 182-204 © О. В. Лазоренко, С. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор, 2007 УДК 621.372(075.8) Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 1. Непрерывное вейвлет-преобразование О. В. Лазоренко, С. В. Лазоренко1, Л. Ф. Черногор2 Харьковский национальный университет радиоэлектроники, пр. Ленина, 14, г. Харьков, 61077, Украина, E-mail: Oleg-Lazorenko@yandex.ru 1Международный Славянский университет, ул. Отакара Яроша, 9А , г. Харьков, 61086, Украина E-mail: sergey_v@amik.ru 2Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина, пл. Свободы, 4, г. Харьков, Украина, E-mail: Leonid.F.Chernogor@univer.kharkov.ua Статья поступила в редакцию 11 апреля 2007 г. Предлагается использовать непрерывное вейвлет-преобразование (НВП) для изучения структуры сигналов с особенностями. С помощью аналитических и численных методов вы- полнен вейвлет-анализ простых вещественных моделей сигналов с особенностями во времен- ной области. Проведено сравнение полученных результатов с результатами динамического преобразования Фурье (ДПФ). Результаты НВП и ДПФ представлены в специальном фор- мате, который рекомендуется исследователям. Показаны преимущества использования вей- влетов для анализа сигналов с особенностями. С помощью комплексного функционала каче- ства произведен выбор оптимального вейвлетного базиса для каждой конкретной модели сигнала при НВП. Введение В последние годы различные типы вейв- лет-преобразований находят все большее применение для анализа как традиционных, так и новых видов сигналов (фрактальных, сверхширокополосных, прямохаотических и др.) в различных областях науки и техники [1-14]. Одним из преимуществ вейвлет-преоб- разований перед традиционными методами, основанными на преобразовании Фурье, яв- ляется уникальная возможность анализа сиг- налов с особенностями. Это связано со спо- собностью вейвлет-анализа “уравнивать шан- сы” обнаружения вариаций с различными частотно-временными масштабами. Отдель- ные сведения о результатах анализа сигналов с особенностями можно найти, например, в работах [1-9]. Однако целенаправленного и систематического изучения этого вопроса, по-видимому, не проводилось. Этим обуслав- ливается актуальность настоящей работы. Целью работы является изложение ре- зультатов применения непрерывного вейв- лет-преобразования (НВП) для анализа мо- дельных сигналов с особенностями, а также описание выявленных основных возникаю- щих закономерностей и выработанных ре- комендаций по практическому изучению реальных временных рядов, содержащих сигналы такого рода. В работе впервые аналитическими и чис- ленными методами проведен вейвлет-ана- лиз достаточно полного набора сигналов с особенностями, которые часто встречают- ся при решении практических задач. По- Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 1. Непрерывное вейвлет-преобразование 183Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №2 казана эффективность НВП при исследова- нии сигналов такого рода. Систематизиро- ванные результаты вейвлет-анализа ряда мо- дельных сигналов с особенностями разного типа предложено использовать специалис- там в области обработки сигналов. Они по- зволят проводить более корректную и пол- ную интерпретацию результатов вейвлет- анализа реальных сигналов в различных прикладных задачах. 1. Основные понятия и соотношения Некоторые примеры вейвлет-анализа сиг- налов с особенностями можно найти, в част- ности, в [1, 3]. На наш взгляд, наиболее удач- но этот вопрос осветили авторы [2]. Отдель- ную сложную задачу, которой мы не будем касаться, представляет собой определение характера особенности с помощью количе- ственного критерия. Одним из возможных путей ее решения может служить вычисление локальных показателей Липшица по моду- лю вейвлет-коэффициентов непрерывного вейвлет-преобразования (см., например, [1]). Сигналы с особенностями как естествен- ного, так и искусственного происхождения достаточно часто встречаются в различных областях науки и техники. Например, осо- бенности типа “резкий скачок амплитуды” и “вертикальный перегиб” имеют непосред- ственное отношение к ударным волнам. Производная δ-функции является, по сути дела, предельным случаем сверширокопо- лосного (СШП) сигнала. Особенность “рез- кий скачок фазы гармонического сигнала” может быть полезна, например, при анализе сигналов, использующих код Баркера и др. В настоящей работе мы расширим как набор исследуемых сигналов с особенностя- ми, так и количество методов их описания. Мы будем использовать непрерывное вейв- лет-преобразование (см., например, [1-9]), результаты которого будут сравниваться с аналогичными результатами оконного преобразования Фурье (см., например, [1-9]). В качестве моделей сигналов с особен- ностями выберем следующие функции. 1) Бесконечно короткий импульс (δ-функ- ция Дирака): 0( ) ( ).f t A t t= δ − (1) 2) Импульс конечной ширины: 0 0 0 0 0, [ ; ], ( ) (2 ), [ ; ], t t t f t A t t t ∉ − ε + ε⎧= ⎨ ε ∈ − ε + ε⎩ (2) где А и ε – амплитуда и полуширина им- пульса соответственно. При 0ε → эта фун- кция превращается в δ-функцию. 3) Наложение импульсной помехи на гармонический сигнал: 0 0( ) ( ) sin .f t A t t B t= δ − + ω (3) 4) Резкий скачок амплитуды: 0 0 0 0, , ( ) ( ) , . t t f t A t t A t t <⎧= Θ − = ⎨ ≥⎩ (4) Здесь ( )tΘ – функция Хэвисайда. Такая модель хорошо описывает идеальную удар- ную волну (см., например, [15-17]). 5) Резкий скачок фазы гармонического сигнала: ( ) 0 0 0 0 sin , , ( ) sin , . A t t t f t A t t t ω <⎧= ⎨ ω + Δϕ ≥⎩ (5) 6) Резкий скачок частоты гармоническо- го сигнала: ( )f t = ( )[ ] 0 0 1 0 0 0 0 1 0 sin , , sin ( ) 1 ( , ) , , A t t t A t t t F t t ω <⎧= ⎨ ω − + ω − ω ω ≥⎩ (6) где 0 0 1 0 0 0 0 1 1( , ) 1 arccos cos .F t t ω⎛ ⎞ω ω = − ω⎜ ⎟ω ω⎝ ⎠ Достоинством этой модели является то, что производная ( )f t′ оказывается непре- рывной всюду, в том числе и в точке 0,t t= что позволяет разделить эффекты, возни- кающие при скачках фазы и производной. О. В. Лазоренко, С. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор 184 Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №2 7) Излом: 0 0 0 1 1 0 1 0, , ( ) ( ), , ( ), . t t f t A t t t t t A t t t t <⎧ ⎪= − ≤ ≤⎨ ⎪ − >⎩ (7) 8) Производная δ-функции: 0( ) ( ).f t A t t′= δ − (8) 9) Сумма производной δ-функции и гар- монического сигнала: 0 0( ) ( ) sin .f t A t t B t′= δ − + ω (9) 10) Вертикальный перегиб: 3 0( ) .f t A t t= − (10) Достаточно близко к этой модели прибли- жаются модели нелинейных волновых процес- сов, в частности, ударных волн, кинка и анти- кинка, вейвлет-анализ которых проведен в [10]. 11) Шпиль: 0( ) .f t A t t= − (11) 12) Наложение шпиля на гармонический сигнал: 0 0( ) sin .f t A t t B t= − + ω (12) 2. Непрерывное вейвлет-преобразование модельных сигналов 2.1. Основные понятия и определения Непрерывное вейвлет-преобразование (НВП) сигнала ( ),f t как известно (см., на- пример, [1]), задается соотношением: 1 2( , ) ( ) d ,t bWf a b a f t t a ∞ − −∞ −⎛ ⎞= ψ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ (13) где ( )tψ – вещественная вейвлетобразую- щая функция, часто называемая просто вей- влетом; а – параметр масштабирования; b – параметр сдвига. Результаты применения НВП для ана- лиза сигналов с особенностями будем срав- нивать с результатами динамического (окон- ного) преобразования Фурье (ДПФ), кото- рое (см., например, [1-9]) имеет вид: ( , ) ( ) ( ) d ,i tSf f t w t e t ∞ − ω −∞ ω τ = − τ∫ (14) где ( )w t – оконная функция (ОФ). Для срав- нения с НВП в функции спектральной плот- ности (ФСП) ДПФ ( , )Sf ω τ удобно заменить частоту ω на период 2 ,T = π ω поскольку па- раметр масштабирования a непосредствен- но связан с периодом соотношением ,a kT= где k – коэффициент пропорциональности ( 0),k > зависящий от выбранной функции ( ).tψ В частности, для применяемых ниже MHAT-вейвлета (mexh) и вейвлета Гаусса (gaus1) первого порядка имеем 0.25k ≈ и 0.20k ≈ соответственно. Для анализа сигналов удобно использо- вать следующие их характеристики (см., на- пример, [12]): вейвлет-спектр ( , ),Wf a b его модуль ( , ) ,Wf a b плотность энергии сигна- ла ( , ),WP f a b скелетон, энергограмму и дис- персию модуля вейвлет-коэффициентов. Плотность энергии сигнала задается со- отношением [1, 3]: 2( , ) ( , ) .WP f a b Wf a b= Некоторые авторы зависимость ( , )WP f a b называют скэйлограммой [1]. Ее аналог для ДПФ – спектрограмма [1]: 2 ( , ) ( , ) .SP f T Sf Tτ = τ Под скелетоном поверхности в про- странстве понимают картину линий, соеди- няющих локальные экстремумы (отдельно минимумы и максимумы) этой поверхнос- Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 1. Непрерывное вейвлет-преобразование 185Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №2 ти [3]. В настоящей работе мы будем исполь- зовать скелетоны модуля вейвлет-коэффи- циентов ( , )Wf a b и модуля ФСП ДПФ ( , ) .Sf T τ Разумеется, в этом случае линии локальных максимумов и локальных мини- мумов оказываются неразличимыми. Под энергограммой НВП будем пони- мать интеграл [3]: 2( ) ( , ) d ( , )d .W WE f a Wf a b b P f a b b ∞ ∞ −∞ −∞ = =∫ ∫ По нашему мнению, эту величину не следу- ет именовать скалограммой, как ранее дела- ли некоторые авторы (см., например, [3, 12]), поскольку возникает определенная путаница. Слово “скалограмма” и похожее на него “скэйлограмма” являются русским написа- нием одного и того же английского слова “scalogramm”, хотя и обозначают разные ве- личины. В работе [3] для ( )WE f a употреб- ляется термин “глобальный спектр энергии”, который не прижился в литературе. Энергограмма представляет собой рас- пределение полной энергии сигнала E. Пос- ледняя связана с энергограммой следующим соотношением: 2 0 d( ) ,W aE E f a a ∞ = ∫ где интегрирование производится по всем масштабам a. Положение максимумов на ( )WE f a можно интерпретировать как сред- ний период элементарных событий, внося- щих основной вклад в энергию анализиру- емого процесса [3]. С энергограммой мы будем сравнивать характеристику, построенную по аналогич- ному принципу из спектрограммы ДПФ: 2 ( ) ( , ) d ( , )d .S SE f T Sf T P f T ∞ ∞ −∞ −∞ = τ τ = τ τ∫ ∫ Последняя при интегрировании по 2 Tω= π также дает полную энергию сиг- нала [11]: 1 ( )d . 2 SE E f ∞ −∞ = ω ω π ∫ Для краткости будем называть ее энерго- граммой Фурье. Представляется также полезным рас- смотрение дисперсий ( , )Wf a b и ( , ) :Sf T τ max min 2 max min 1( ) ( , ) ( , ) d , b W b D f a Wf a b Wf a b b b b ⎡ ⎤= −⎣ ⎦− ∫ ( , )Wf a b = max max min minmax min max min 1 ( , ) d d , ( )( ) a b a b Wf a b a b a a b b = − − ∫ ∫ max min 2 max min 1( ) ( , ) ( , ) d ,SD f T Sf T Sf T τ τ ⎡ ⎤= τ − τ τ⎣ ⎦τ − τ ∫ ( , )Sf T τ = max max min minmax min max min 1 ( , ) d d , ( )( ) T T Sf T T T T τ τ = τ τ − τ − τ ∫ ∫ где max ,a min ,a maxb и minb – максимальные и минимальные значения параметров a и b, при использовании которых вычисляется реальный вейвлет-спектр ( , );Wf a b max ,T min ,T maxτ и minτ – максимальные и мини- мальные значения параметров T и τ, при использовании которых вычисляется ФСП ДПФ ( , ).Sf T τ Указанные дисперсии описывают вклад компонент различных масштабов в иссле- дуемый сигнал, вычисленный иным спосо- бом, чем соответственно в энергограммах ( )WE f a и ( ).SE f T Результаты анализа с использованием упо- мянутых выше характеристик будут представ- лены в специальном формате, который ус- пешно применялся нами в работе [11]. В нем для удобства сравнения результатов НВП и ДПФ во всех числовых характеристиках параметр масштабирования a заменяется на период T ( ),a kT= а параметр сдвига – на переменную времени τ ( ).b = τ О. В. Лазоренко, С. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор 186 Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №2 Рис. 1. Спектральные характеристики бесконечно короткого импульса: а) f ( t ) – сигнал во временной области; б) – модуль вейвлет-коэффициентов Wf (T , ) ,τ полученный с использованием вейвлета mexh; в) – скелетон; г) – энергограмма WE f (T ); д) – дисперсия модуля вейвлет-коэффициентов WD f (T ); е) – модуль ФСП ДПФ Sf ( T , ) ;τ ж) – скелетон ФСП ДПФ; з) – энергограмма Фурье SE f ( T ); и) – дисперсия модуля коэффициентов ФСП ДПФ SD f (T ). Здесь и далее пунктирной линией показан угол правдоподобия Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 1. Непрерывное вейвлет-преобразование 187Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №2 Рассмотрим используемый формат под- робнее на примере рис. 1. В верхней полови- не рисунка приводятся исследуемый сигнал ( )f t и результаты его НВП. Под графиком сигнала ( )f t (рис. 1, а) показан модуль его вейвлет-коэффициентов ( , )Wf T τ (рис. 1, б). Будучи функцией двух переменных, графичес- кий образ ( , )Wf T τ представляет собой поверхность в трехмерном пространстве. Ее проекция на плоскость выполнена в гра- дациях серого цвета. Белый цвет соответ- ствует нулевому, а черный – максимально- му значению функции ( , ) .Wf T τ Справа от этого графика изображена энергограмма сиг- нала ( )WE f T (рис. 1, г), а снизу – скелетон (рис. 1, в). Справа от скелетона показана дис- персия модуля вейвлет-коэффициентов сиг- нала ( )WD f T (рис. 1, д). В нижней половине рисунка в аналогичном порядке приведены результаты ДПФ исследуемого сигнала ( ).f t Это модуль ФСП ДПФ ( , )S T τ (рис. 1, е), его скелетон (рис. 1, ж), энергограмма ( )SE f T (рис.1, з) и дисперсия модуля коэффициентов ФСП ДПФ ( )SD f T (рис. 1, и). Используемое взаимное расположение графиков позволяет проводить сравнение соответствующих ха- рактеристик, получаемых в результате НВП и ДПФ исследуемого сигнала. Необходимо обратить внимание на осо- бенности проведения численных расчетов интеграла (13). Поскольку вместо определен- ного на всей числовой оси сигнала ( )f T ис- пользуется его дискретный аналог в виде век- тор-строки конечной размерности, на вейв- лет-спектрограмме и в соответствующих ей скелетоне, энергограмме и дисперсии мо- дуля вейвлет-коэффициентов возникают краевые эффекты. Для описания их влия- ния вводится угол правдоподобия. Внутри этого угла, как известно, краевые эффекты проявляться не могут, поскольку каждая особенность, в том числе и возникающая на краях анализируемого сигнала, оказы- вает лишь локальное воздействие на вейв- лет-спектрограмму и скелетон (внутри со- ответствующего конуса влияния) [1]. Ис- ключить воздействия краевых эффектов на энергограммы и дисперсии модуля коэффи- циентов, к сожалению, не представляется возможным. 2.2. Результаты аналитических расчетов К сожалению, для подавляющего боль- шинства сигналов и вейвлетов интеграл (13) аналитически вычислен быть не может. Тем более интересными оказываются случаи, когда ( , )Wf a b все же удается получить ана- литически. Аналитическое описание модельных сиг- налов с особенностями целесообразно про- водить с помощью вейвлета, который сам по себе не содержит рассматриваемых осо- бенностей. Для этого он вместе со своей по крайней мере первой производной дол- жен быть непрерывным во всей области оп- ределения. По этой причине не подходит, на- пример, простой и удобный вейвлет Хаара (haar по терминологии системы компьютер- ной математики MATLAB), который в не- которых точках не удовлетворяет требова- нию непрерывности. Приведенные ниже аналитические рас- четы проведены для вейвлета Гаусса перво- го порядка (gaus1), который определяется соотношением (см., например, [8]): 2( ) exp( ).t t tψ = − − Для ряда моделей удается получить в яв- ном виде выражение для вейвлет-спектра ( , ),Wf a b а для некоторых – и выражение для скелетона. Рассмотрим их подробнее. 1) Бесконечно короткий импульс: ( )0 2 03 2( , ) exp ,b b tWf a b A t a −= − 0 0 . 2b t bt a −= 2) Импульс конечной ширины: 1 2 2 02 02( , ) exp sh . 2 2 b b a tWf a b A t a a ε ε⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟ε ⎝ ⎠ 0 0 ( ): . ln 1 2 Скелетон t ba t b ε −= ± ε⎛ ⎞+⎜ ⎟− − ε⎝ ⎠ 0 0 0 0 ( ), ; : , . Скелетон имеет вид b t b t a b t b t − − <⎧= ⎨ − ≥⎩ О. В. Лазоренко, С. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор 188 Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №2 При 0ε → для вейвлет-спектра и скелето- на получаем предельный переход к резуль- татам предыдущей модели. 3) Наложение импульсной помехи на гар- монический сигнал: ( )0 2 3 2 03 2( , ) exp 2ab b tWf a b A t B a a −= − − π ω × ( )2 0 0exp cos ,a b× −ω ω 2 2 2 0 0 . 2a aωω = Скелетон, в частности, состоит из куста на фоне эквидистантных вертикальных полос: 0 0 0 0 ( ), , , b t b t a b t b t − − <⎧= ⎨ − ≥⎩ и 0 ,b n= π ω где ,n ∈Z Z – множество целых чисел. Следует отметить, что скелетон суммы импульсной помехи и гармонического сигнала не явля- ется простой их суперпозицией. Он имеет более сложный вид. 4) Резкий скачок амплитуды: ( )1 2 2 0( , ) exp .bWf a b Aa t= − − Скелетон имеет простой вид: 0.b t= Это характерная вертикальная полоса. 5) Резкий скачок фазы гармонического сигнала: ( )3 2 2 0 0 0( , ) 2 exp cos( )a bWf a b A a= − π ω −ω ω − 2 sin 2 aA Δϕ− × [ ]0 0 0 0sin( ) Re ( ) cos( ) Im ( ) ,b bt t× ω Φ + ω Φ 0 0 , 2b b Δϕω = ω + 0 0 0 1 . 2 2 t b it a a −= + ω 6) Резкий скачок частоты гармоническо- го сигнала: ( )3 2 2 0 0 0( , ) exp cos 2 aWf a b Aa bπ= − ω −ω ω +⎡⎣ ( )2 1 1 1exp cosa b+ω −ω ω −⎤⎦ ( )(3 2 2 0 0 0 0exp cos Re ( ) 2 aAa b tπ− ω −ω ω Φ −⎡⎣ ) ( )2 0 0 1 1sin Im ( ) exp ab t− ω Φ − ω −ω × ( )( 1 0 1 0 0 0 0 1 1cos ( ) ( , ) Re ( )b t t F t× ω + ω − ω − ω ω ω Φ − ( ) 0 1 0 12 0 0 0 ( , ) ( , )2 exp sin cos . 2 2b F FaA t tω ω ω ω⎛ ⎞+ − ω −⎜ ⎟⎝ ⎠ Здесь 2 2 2 1 1 , 2a aωω = 0 1 1 1 , 2 2 t b it a a −= + ω 2 0 2( ) exp d . 2 x yx y ⎛ ⎞ Φ = −⎜ ⎟π ⎝ ⎠ ∫ 7) Скачок производной: ][3 2 1 0( , ) ( ) ( ) , 2 b bWf a b Aa t tπ= Φ − Φ где 1 1 . 2b t bt a −= Скелетон задается соотношением 0 1( ) 2b t t= + и представляет собой верти- кальную полосу в средней точке между двумя изломами. При 1 ,t → ∞ что соответ- ствует наличию одного излома, выражение упрощается: [ ]3 2 0( , ) 1 ( ) . 2 bWf a b Aa tπ= − Φ Частная производная этой функции по пе- ременной b оказывается отрицательной, и на скелетоне нет ни одной линии. 8) Производная δ-функции: ( ) ( )2 2 0 03 2( , ) 1 2 exp .b b AWf a b t t a = − − − 0 0 0 0 0 , , 3: , , . 3 Скелетон b t b t b t a b t b t −⎧− <⎪⎪= = ⎨ −⎪ ≥ ⎪⎩ ( ) )1 0 1 0 0 0 0 1 1sin ( ) ( , ) Im ( )b t t F t− ω + ω − ω − ω ω ω Φ +⎤⎦ Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 1. Непрерывное вейвлет-преобразование 189Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №2 9) Наложение производной δ-функции на гармонический сигнал: ( ) ( )2 2 0 03 2( , ) 1 2 expb b AWf a b t t a = − − − − ( )3 2 2 0 0 02 exp cos .aB a b− π ω −ω ω Скелетон состоит, в частности, из верти- кальных полос 0 ,b n= π ω где ,n ∈Z харак- терных для гармонической функции, и свой- ственного производной δ-функции куста: 0,b t= 0 0 0 0 , , 3 , , 3 b t b t a b t b t −⎧− <⎪⎪= ⎨ −⎪ ≥ ⎪⎩ хотя, как уже было сказано относительно модели (2), в целом картина оказывается более сложной. Для моделей (5) и (6) не удалось полу- чить в аналитическом виде выражения для скелетона, а для моделей (10), (11) и (12) – выражения для вейвлет-спектра. Поэтому дальнейшие исследования будем проводить численными методами. 2.3. Результаты численных расчетов Модельные сигналы с особенностями (1) – (12) проанализированы с помощью сим- метричного MHAT-вейвлета (mexh) и ДПФ. Результаты расчетов приведены на рис. 1 – 12 соответственно. Следует обратить внимание, что на графиках энергограмм и дисперсий по горизонтальным осям отложены норми- рованные на максимум значения соответству- ющих величин. Кроме того, для моделей сигналов с осо- бенностями получены параметры, которые в [13] были вычислены для используемых здесь вейвлетов. К ним относятся: μ – пока- затель широкополосности, 1γ – относитель- ное положение максимума ФСП, 2γ – от- носительное положение первого нуля, 3γ и 4γ – ширина ФСП по уровню 3 и 6 дБ соответственно, 5γ и 6γ – потери инфор- мации, 7γ – когерентное усиление, 8γ – эк- вивалентная шумовая полоса, 9γ – макси- мальный уровень боковых лепестков. Ре- зультаты расчетов этих параметров для всех модельных сигналов приведены в табл. 1. К сожалению, не представляется возмож- ным получить данные характеристики для моделей сигналов с особенностями, в состав которых входят δ-функция и ее первая про- изводная. Это связано с тем, что модуль Таблица 1. Параметры модельных сигналов с особенностями 2( )f t 4( )f t 5( )f t 6( )f t 7( )f t 10( )f t 11( )f t μ 2.00 2.00 0.11 0.27 2.00 1.33 2.00 1γ 0.00 0.00 1.00 0.95 0.00 0.94 0.00 2γ 2.80 2.82 1.13 +∞ +∞ +∞ +∞ 3γ 1.25 1.14 0.05 0.18 0.87 0.11 0.89 4γ 1.68 1.70 0.09 0.24 1.50 1.05 1.52 5, дБ−γ 1.72 2.50 3.75 +∞ +∞ +∞ +∞ 6, дБ−γ 2.30 2.49 2.33 1.27 2.55 1.17 5.87 7γ 1.00 1.00 0.64 0.64 0.67 0.75 0.33 8γ 1.00 1.00 1.23 1.23 1.25 1.07 1.50 9, дБ−γ 6.70 6.72 10.24 34.79 30.09 27.03 40.01 Модели сигналов с особенностями Параметры О. В. Лазоренко, С. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор 190 Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №2 их ФСП преобразования Фурье не убывает с ростом частоты. Для оценки удачности выбора вейвлет- ного базиса при анализе конкретного сиг- нала с особенностью используется комплекс- ный функционал качества, который был предложен в [10] и имеет вид: 210 1 2 1 2 1 2 ( ) ( )( , ) , ( ) i i i i f fJ f f f= ⎛ ⎞γ − γ= ⎜ ⎟γ⎝ ⎠ ∑ где под 1f понимается выбранная вейвле- тобразующая функция ( ),tψ а под 2f – ана- лизируемый сигнал ( ),f t 10 .γ ≡ μ Оптималь- ному выбору базиса соответствует мини- мальное значение данного функционала. Результаты расчетов функционала качества для каждой модели сигнала с особенностя- ми приведены в табл. 2. Отметим, что вейвлет Хаара (haar) оказал- ся предпочтителен для проведения НВП апе- риодических сигналов, имеющих разрывы непрерывности самого сигнала и его первой производной типа “скачок”. Вейвлеты db2 и sym2 хорошо показали себя при анализе сигналов с особенностями типа “шпиль”, “вертикальный перегиб”, а также гармони- ческого сигнала со скачком частоты. Изучать гармонический сигнал со скачком фазы луч- ше всего с помощью вейвлета Морле (morl). Таким образом, каждой особенности сиг- нала соответствуют характерный вид возму- щения в вейвлет-спектре и уникальный вид скелетона. Набор (каталог) характерных ви- дов возмущений и соответствующих им ске- летонов позволяет распознать особенности в реальных (не модельных) сигналах. 3. Обсуждение результатов НВП дает хорошие возможности для об- наружения и различения имеющихся в сиг- нале особенностей. Обнаружение локаль- ной особенности сигнала удобно проводить с помощью модуля вейвлет-коэффициентов, а различение на качественном уровне – по внешнему виду скелетона. Более точное количественное описание классификации обнаруженной особенности является са- мостоятельной сложной задачей и может быть проведено, например, с помощью анализа поведения скелетона с применени- ем локальных показателей Липшица (см., например, [1]). ДПФ, как и ожидалось, при анализе сиг- налов с особенностями уступает по своим возможностям НВП, поскольку по сравне- нию с ним не обладает достаточным час- тотно-временным разрешением. Необходимо также отметить, что, как было сказано выше, при численном модели- ровании в системе MATLAB на самом деле используется не непрерывный сигнал ( ),f t а его дискретный аналог в виде вектор-стро- ки конечной длины. Это приводит к появле- нию нескольких важных последствий. Во-первых, δ-функция и ее первая произ- водная моделируются с помощью вектор- строки с одним и двумя ненулевыми отсче- тами соответственно. “Муар”, возникающий на вейвлет-спектрограммах сигналов, в со- став которых входят δ-функция и ее первая производная, физического смысла не имеет, а связан лишь с тем, что эти функции, имею- щие нулевую ширину и бесконечную амп- литуду, заменяются, по сути дела, на прямо- угольные импульсы конечной ширины. В этом можно убедиться, посмотрев на при- веденный выше вид аналитического вычис- ления интеграла (13) для δ-функции и ее пер- вой производной. Во-вторых, на вейвлет-спектрограммах, скелетонах, энергограммах и дисперсиях модуля вейвлет-коэффициентов неизбежно сказываются краевые эффекты. Для вейвлет- спектрограмм и скелетонов это не является особенно критичным. Поскольку НВП но- сит локальный характер, краевые эффекты не могут проявляться внутри угла правдо- подобия, показанного штрихованной лини- ей на скелетонах НВП. За пределами этого угла к результатам НВП следует относиться с определенной осторожностью. В то же вре- мя на энергограммах и дисперсиях модуля вейвлет-коэффициентов краевые эффекты, по-видимому, устранить нельзя. С учетом сказанного выше подробнее рас- смотрим полученные результаты. Так, при Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 1. Непрерывное вейвлет-преобразование 191Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №2 Таблица 2. Функционал качества 1 2J ( f , f ) модельных сигналов с особенностями при разложении по базисам вейвлетов Хаара, Добеши, Симлета, койфлетов, вейвлетов Гаусса, Морле и Мейера 2( )f t 4( )f t 5( )f t 6( )f t 7( )f t 10( )f t 11( )f t haar (db1) 1.53 1.72 765.4 70.45 4.40 74.76 8.75 db2 6.63 4.44 455.4 47.02 5.13 46.37 4.27 db3 19.23 11.75 382.5 50.51 8.13 54.13 5.04 db4 35.42 21.16 346.2 61.25 11.91 69.67 5.84 db5 49.58 28.42 319.1 56.84 12.62 66.58 6.58 db6 68.30 38.99 311.9 66.52 15.78 79.14 7.48 db7 88.55 50.43 305.5 76.73 19.11 92.29 8.43 db8 105.4 58.52 302.9 71.63 18.82 87.14 8.85 db9 125.9 69.24 302.1 75.79 20.47 93.21 9.43 db10 148.4 81.24 304.6 82.80 22.73 102.4 10.13 sym2 6.64 4.45 453.4 46.74 5.13 46.37 4.27 sym3 19.16 11.72 385.6 50.53 8.13 55.13 5.04 sym4 40.18 25.92 354.2 64.49 14.71 74.69 7.65 sym5 55.92 34.76 324.6 61.00 16.40 72.01 9.05 sym6 82.83 53.51 319.0 75.41 24.55 91.64 13.26 sym7 104.2 66.09 313.5 86.36 28.60 105.8 14.71 coif1 36.22 29.80 476.2 64.13 16.38 67.71 10.37 coif2 103.4 80.41 398.1 87.88 37.95 105.2 22.38 coif3 182.8 140.0 373.9 128.3 64.17 155.6 36.82 coif4 266.3 201.2 396.2 158.3 88.80 196.9 52.38 coif5 359.0 270.0 429.0 190.2 116.0 239.9 70.08 gaus1 19.54 17.56 749.3 156.5 14.57 122.8 5.75 gaus2 21.55 19.33 450.7 91.31 16.08 101.4 6.27 gaus3 20.32 18.41 313.7 71.36 15.02 81.78 6.43 gaus4 20.00 18.23 238.0 61.42 14.76 71.96 6.70 gaus5 20.04 18.31 191.5 56.49 14.79 66.93 6.86 gaus6 20.47 18.72 160.8 54.37 15.14 65.31 7.10 gaus7 20.90 19.09 139.5 54.37 15.47 65.13 7.19 gaus8 21.48 19.60 125.3 54.08 15.96 66.16 7.37 morl 34.46 33.00 89.78 51.15 23.43 65.00 13.43 mexh 31.36 19.51 442.2 83.52 15.51 92.01 6.87 meyr 67.25 61.6 295.6 156.5 52.45 190.5 21.37 dmey 388.7 383.8 502.0 351.3 252.6 454.5 159.5 Вейвлеты Модели сигналов с особенностями анализе δ-функции (рис. 1, а) видно, что на ФСП ДПФ (рис. 1, е) наблюдается полоса, ширина которой равна ширине ОФ во вре- менной области. Разумеется, конечность ширины полосы неадекватно описывает реальную ситуацию, поскольку ширина δ-функции во временной области, как извест- но, равна нулю. Возможное сужение шири- ны ОФ при проведении ДПФ приводит к су- щественному ухудшению разрешения по вто- О. В. Лазоренко, С. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор 192 Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №2 рой координате, что при анализе реальных сигналов нежелательно. Более того, ФСП ДПФ в данном случае по внешнему виду мало чем отличается от ФСП ДПФ, полу- ченной при анализе импульса конечной ширины (рис. 2, е). На ФСП ДПФ также пло- хо просматривается δ-функция и на фоне си- нусоиды (рис. 3, е). Практически неразличи- мы ФСП ДПФ резкого скачка амплитуды (рис. 4, е) и двух изломов (рис. 7, е). Плохо наблюдается на ФСП ДПФ производная δ-функции, причем как сама по себе (рис. 8, е), так и на фоне синусоиды (рис. 9, е). Не фик- сируется также на ФСП ДПФ положение точки вертикального перегиба (рис. 10, е). В некоторых случаях на помощь прихо- дит скелетон ФСП ДПФ. Так, на рис. 9, ж и рис. 10, ж наличие и положение особенности в сигнале некоторым образом проявляется. В то же время анализ вейвлет-спектро- граммы в указанных случаях дает однознач- ный ответ по поводу наличия, положения и характера особенности. Между тем было бы неверным преувели- чивать достоинства НВП, преуменьшая при этом возможности ДПФ. Так ДПФ дает хо- рошие результаты при анализе скачков фазы (рис. 5), частоты (рис. 6), шпиля (рис. 11) и шпиля на фоне синусоиды (рис. 12). Это, скорее всего, связано с тем, что применение ДПФ вообще предпочтительно при анализе слабо локализованных во времени сигналов и процессов (например, узкополосных, ши- рокополосных), а НВП – хорошо локализо- ванных (в частности, СШП). Поэтому при анализе сигналов с особенностями рекомен- дуется совместное применение НВП и ДПФ. Пример этого показан в настоящей работе. Полученные результаты имеют не только чисто теоретическое значение, но и доста- точную практическую ценность. Большин- ство рассмотренных выше моделей сигналов с особенностями могут использоваться при описании реальных сигналов и процессов как искусственного, так и естественного про- исхождения. Так, например, “резкий скачок амплиту- ды сигнала” и “вертикальный перегиб” по- лезны при описании идеальной и реальной ударных волн соответственно. Известно, что δ-функция хорошо модели- рует импульсную помеху, а ее первая произ- водная является предельным случаем СШП сигнала, когда его длительность стремится к нулю. Сумма первой производной δ-функции и гармонической функции может выступать в виде модели сигнала, возникающего в слу- чае, когда на СШП процесс накладывается какой-либо другой гармонический процесс. Такая ситуация наблюдается, например, при возникновении “волны-убийцы” на поверх- ности моря или реакции магнитного поля Земли на старт космического аппарата. Особенность “резкий скачок фазы гар- монического сигнала” представляет инте- рес при анализе сигналов с фазовой манипу- ляцией, использующих код Баркера и т. п. Таким образом, НВП оказывается полез- ным при исследовании сигналов с особен- ностями. Выводы 1. Для ряда простых вещественных мо- делей во временной области проведен вейв- лет-анализ сигналов с особенностями c ис- пользованием НВП. 2. На новых моделях сигналов показано, что НВП является хорошим инструментом для обнаружения локальных особенностей сигналов. С помощью аналитических и чис- ленных методов получены вейвлет-спектры, скелетоны, энергограммы модельных сиг- налов, позволяющие осуществить класси- фикацию их особенностей. 3. Для каждого модельного сигнала пред- ложен оптимальный вейвлет при проведении НВП, выявленный с помощью введенного ранее авторами критерия минимизации фун- кционала качества. 4. Результаты НВП сравнены с аналогич- ными результатами ДПФ. Показаны преиму- щества НВП перед ДПФ при анализе сигна- лов с особенностями. Результаты представ- лены в специально разработанном формате. 5. Результаты НВП модельных сигналов с особенностями позволят специалистам про- водить более полную и корректную интер- претацию аналогичных результатов анализа реальных сигналов различной природы. Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 1. Непрерывное вейвлет-преобразование 193Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №2 Рис. 2. Спектральные характеристики импульса конечной ширины: а) – сигнал f ( t ) во временной об- ласти; б) – модуль вейвлет-коэффициентов Wf (T , ) ,τ полученный с использованием вейвлета mexh; в) – скелетон, г) – энергограмма WE f (T ); д) – дисперсия модуля вейвлет-коэффициентов WD f (T ); е) – модуль ФСП ДПФ Sf ( T , ) ;τ ж) – скелетон ФСП ДПФ; з) – энергограмма Фурье SE f ( T ); и) – дисперсия модуля коэффициентов ФСП ДПФ SD f (T ) О. В. Лазоренко, С. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор 194 Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №2 Рис. 3. Спектральные характеристики наложения импульсной помехи на гармонический сигнал: а) – сигнал f ( t ) во временной области; б) – модуль вейвлет-коэффициентов Wf (T , ) ,τ полученный с использованием вейвлета mexh; в) – скелетон; г) – энергограмма WE f (T ); д) – дисперсия модуля вейвлет-коэффициентов WD f (T ); е) – модуль ФСП ДПФ Sf ( T , ) ;τ ж) – скелетон ФСП ДПФ; з) – энергограмма Фурье SE f ( T ); и) – дисперсия модуля коэффициентов ФСП ДПФ SD f (T ) Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 1. Непрерывное вейвлет-преобразование 195Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №2 Рис. 4. Спектральные характеристики резкого скачка амплитуды: а) – сигнал f ( t ) во временной обла- сти; б) – модуль вейвлет-коэффициентов Wf (T , ) ,τ полученный с использованием вейвлета mexh; в) – скелетон; г) – энергограмма WE f (T ); д) – дисперсия модуля вейвлет-коэффициентов WD f (T ); е) – модуль ФСП ДПФ Sf ( T , ) ;τ ж) – скелетон ФСП ДПФ; з) – энергограмма Фурье SE f ( T ); и) – дисперсия модуля коэффициентов ФСП ДПФ SD f (T ) О. В. Лазоренко, С. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор 196 Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №2 Рис. 5. Спектральные характеристики резкого скачка фазы гармонического сигнала: а) – сигнал f ( t ) во временной области; б) – модуль вейвлет-коэффициентов Wf (T , ) ,τ полученный с использованием вейвлета mexh; в) – скелетон; г) – энергограмма WE f (T ); д) – дисперсия модуля вейвлет-коэффициен- тов WD f (T ); е) – модуль ФСП ДПФ Sf ( T , ) ;τ ж) – скелетон ФСП ДПФ; з) – энергограмма Фурье SE f ( T ); и) – дисперсия модуля коэффициентов ФСП ДПФ SD f (T ) Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 1. Непрерывное вейвлет-преобразование 197Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №2 Рис. 6. Спектральные характеристики резкого скачка частоты гармонического сигнала: а) – сигнал f ( t ) во временной области; б) – модуль вейвлет-коэффициентов Wf (T , ) ,τ полученный с использова- нием вейвлета mexh; в) – скелетон; г) – энергограмма WE f (T ); д) – дисперсия модуля вейвлет-коэф- фициентов WD f (T ); е) – модуль ФСП ДПФ Sf ( T , ) ;τ ж) – скелетон ФСП ДПФ; з) – энергограмма Фурье SE f ( T ); и) – дисперсия модуля коэффициентов ФСП ДПФ SD f (T ) О. В. Лазоренко, С. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор 198 Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №2 Рис. 7. Спектральные характеристики излома: а) – сигнал f ( t ) во временной области; б) – модуль вейвлет-коэффициентов Wf (T , ) ,τ полученный с использованием вейвлета mexh; в) – скелетон; г) – энергограмма WE f (T ); д) – дисперсия модуля вейвлет-коэффициентов WD f (T ); е) – модуль ФСП ДПФ Sf ( T , ) ;τ ж) – скелетон ФСП ДПФ; з) – энергограмма Фурье SE f ( T ); и) – дисперсия модуля коэффициентов ФСП ДПФ SD f (T ) Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 1. Непрерывное вейвлет-преобразование 199Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №2 Рис. 8. Спектральные характеристики производной δ -функции: а) – сигнал f ( t ) во временной облас- ти; б) – модуль вейвлет-коэффициентов Wf (T , ) ,τ полученный с использованием вейвлета mexh; в) – скелетон; г) – энергограмма WE f (T ); д) – дисперсия модуля вейвлет-коэффициентов WD f (T ); е) – модуль ФСП ДПФ Sf ( T , ) ;τ ж) – скелетон ФСП ДПФ; з) – энергограмма Фурье SE f ( T ); и) – дисперсия модуля коэффициентов ФСП ДПФ SD f (T ) О. В. Лазоренко, С. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор 200 Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №2 Рис. 9. Спектральные характеристики суммы производной δ -функции и гармонического сигнала: а) – сигнал f ( t ) во временной области; б) – модуль вейвлет-коэффициентов Wf (T , ) ,τ полученный с использованием вейвлета mexh; в) – скелетон; г) – энергограмма WE f (T ); д) – дисперсия модуля вейвлет-коэффициентов WD f (T ); е) – модуль ФСП ДПФ Sf ( T , ) ;τ ж) – скелетон ФСП ДПФ; з) – энергограмма Фурье SE f ( T ); и) – дисперсия модуля коэффициентов ФСП ДПФ SD f (T ) Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 1. Непрерывное вейвлет-преобразование 201Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №2 Рис. 10. Спектральные характеристики вертикального перегиба: а) – сигнал f ( t ) во временной об- ласти; б) – модуль вейвлет-коэффициентов Wf (T , ) ,τ полученный с использованием вейвлета mexh; в) – скелетон; г) – энергограмма WE f (T ); д) – дисперсия модуля вейвлет-коэффициентов WD f (T ); е) – модуль ФСП ДПФ Sf ( T , ) ;τ ж) – скелетон ФСП ДПФ; з) – энергограмма Фурье SE f ( T ); и) – дисперсия модуля коэффициентов ФСП ДПФ SD f (T ) О. В. Лазоренко, С. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор 202 Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №2 Рис. 11. Спектральные характеристики шпиля: а) – сигнал f ( t ) во временной области; б) – модуль вейвлет-коэффициентов Wf (T , ) ,τ полученный с использованием вейвлета mexh; в) – скелетон; г) – энергограмма WE f (T ); д) – дисперсия модуля вейвлет-коэффициентов WD f (T ); е) – модуль ФСП ДПФ Sf ( T , ) ;τ ж) – скелетон ФСП ДПФ; з) – энергограмма Фурье SE f ( T ); и) – дисперсия модуля коэффициентов ФСП ДПФ SD f (T ) Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 1. Непрерывное вейвлет-преобразование 203Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №2 Рис. 12. Спектральные характеристики наложения шпиля на гармонический сигнал: а) – сигнал f ( t ) во временной области; б) – модуль вейвлет-коэффициентов Wf (T , ) ,τ полученный с использованием вейвлета mexh; в) – скелетон; г) – энергограмма WE f (T ); д) – дисперсия модуля вейвлет-коэффициен- тов WD f (T ); е) – модуль ФСП ДПФ Sf ( T , ) ;τ ж) – скелетон ФСП ДПФ; з) – энергограмма Фурье SE f ( T ); и) – дисперсия модуля коэффициентов ФСП ДПФ SD f (T ) О. В. Лазоренко, С. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор 204 Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №2 Литература 1. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов: Пер. с англ. – М.: Мир, 2005. – 671 с. 2. Короновский А. А., Храмов А. Е. Непрерыв- ный вейвлет-анализ и его приложения. – М: Физматлит, 2003. – 176 с. 3. Астафьева Н. М. Вейвлет анализ: основы тео- рии и примеры применения // Успехи физичес- ких наук. – 1996. – Т. 166, №11. – С. 1115-1180. 4. The transforms and applications handbook / Edi- tor-in-chief, Alexander Poularikas.– USA: CRC Press, 1996. – 1335 p. 5. Holschneider M. Wavelets: An Analysis Tool. – Oxford: Calderon Press, 1995. – 423 p. 6. Воробьев В. И., Грибунин В. Г. Теория и прак- тика вейвлет-преобразования. – Санкт-Петер- бург: ВУС, 1999. – 204 с. 7. Дремин И. М., Иванов О. В., Нечитайло В. А. Вейвлеты и их использование // Успехи физи- ческих наук. – 2001. – Т. 171, №5. – С. 465-501. 8. Дьяконов В. П. Вейвлеты. От теории – к прак- тике. – М.: СОЛОН-Р, 2002. – 448 с. 9. Чуи К. Введение в вейвлеты / Пер. с англ. Я. М. Жилейкина. – М.: Мир, 2001. – 412 с. 10. Лазоренко О. В., Лазоренко С. В., Черно- гор Л. Ф. Вейвлет-анализ нелинейных волно- вых процессов // Успехи современной радио- электроники. – 2005. – №10. – C. 3-21. 11. Кравченко В. Ф., Лазоренко О. В., Пусто- войт В. И., Черногор Л. Ф. Вейвлет-анализ не- линейных волновых процессов // ДАН РАН. – 2006. – Т. 410, №6. – С. 744-748. English Version: Kravchenko V. F., Lazorenko O. V., Pustovoit V. I., and Chernogor L. F. Study of the Structure of Solutions to Nonlinear Wave Equations Based on Continuous Wavelet Analysis // Doklady Mathematics. – 2006. – Vol. 74, No. 2. – P. 767-770. 12. Лазоренко О. В., Лазоренко С. В., Черно- гор Л. Ф. Вейвлет-анализ модельных сверхши- рокополосных сигналов // Успехи современной радиоэлектроники. – 2006. – №8. – С. 47-61. 13. Лазоренко О. В., Лазоренко С. В., Черно- гор Л. Ф. Применение вейвлет-анализа к зада- че обнаружения кратковременных знакопере- менных и сверхширокополосных процессов // Электромагнитные волны и электронные сис- темы. – 2004. – Т. 9, №9-10. – С. 31-62. 14. Лазоренко О. В., Черногор Л. Ф. Фрактальные сверхширокополосные сигналы // Радиофизика и радиоастрономия. – 2005. – Т. 10, №1. – С. 62-84. 15. Заславский Г. М., Сагдеев Р. З. Введение в нелинейную физику. – М.: Наука, 1988. – 368 с. 16. Рыскин Н. М., Трубецков Д. И. Нелинейные волны. – М.: Наука, Физматлит, 2000. – 272 с. 17. Черногор Л. Ф. Нелинейная радиофизика. – Харьков: ХНУ имени В. Н. Каразина, 2004. – 200 с. Вейвлет-аналіз модельних сигналів з особливостями. 1. Безперервне вейвлет-перетворення О. В. Лазоренко, С. В. Лазоренко, Л. Ф. Чорногор Пропонується використовувати безпе- рервне вейвлет-перетворення (БВП) для вивчення структури сигналів з особливос- тями. За допомогою аналітичних та чисель- них методів виконано вейвлет-аналіз про- стих дійсних моделей сигналів з особливос- тями у часовій області. Отримані результа- ти порівнюються з результатами динамічно- го перетворення Фур’є (ДПФ). Результати БВП та ДПФ подано у спеціальному фор- маті, рекомендованому дослідникам. Пока- зано переваги використання вейвлетів для аналізу сигналів з особливостями. З допо- могою комплексного функціоналу якості відібрано оптимальний вейвлетний базис для кожної конкретної моделі сигналу для БВП. Wavelet Analysis of the Model Signals with Peculiarities. 1. Continuous Wavelet Transform O. V. Lazorenko, S. V. Lazorenko, and L. F. Chernogor The continuous wavelet transform (CWT) is proposed for investigating the structure of the signals with peculiarities. Wavelet analysis of sim- ple real models of the signals with peculiarities in time domain was made analytically and nu- merically. The results obtained are compared with those of the short-time Fourier transform. The wavelet and Fourier analysis results are shown in a special data format recommended for using by researchers. The advantages of the wavelet application for the analysis of the signals with peculiarities are shown. By using the integrated quality functional, the optimal wavelet basis used in CWT for each signal model is selected.

Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 1. Непрерывное вейвлет-преобразование

Репозитарії

Схожі ресурси