Анализ нелинейных волновых процессов при помощи преобразования Вигнера
Предложено использовать преобразование Вигнера для анализа нелинейных волновых процессов и сигналов. Аналитическими и численными методами проведен анализ идеальной и реальной ударных волн, кинка и антикинка, ударной волны в диспергирующей среде, классического солитона, солитоноподобного решения моди...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Радіоастрономічний інститут НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8373 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Анализ нелинейных волновых процессов при помощи преобразования Вигнера / О.В. Вишневецкий, О.В. Лазоренко, Л.Ф. Черногор // Радиофизика и радиоастрономия. — 2007. — Т. 12, № 3. — С. 295-310. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859800226367275008 |
|---|---|
| author | Вишневецкий, О.В. Лазоренко, О.В. Черногор, Л.Ф. |
| author_facet | Вишневецкий, О.В. Лазоренко, О.В. Черногор, Л.Ф. |
| citation_txt | Анализ нелинейных волновых процессов при помощи преобразования Вигнера / О.В. Вишневецкий, О.В. Лазоренко, Л.Ф. Черногор // Радиофизика и радиоастрономия. — 2007. — Т. 12, № 3. — С. 295-310. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Предложено использовать преобразование Вигнера для анализа нелинейных волновых процессов и сигналов. Аналитическими и численными методами проведен анализ идеальной и реальной ударных волн, кинка и антикинка, ударной волны в диспергирующей среде, классического солитона, солитоноподобного решения модифицированного уравнения Кортевега-де Вриза, солитона огибающей, кноидальной и пилообразной волн. Результаты вигнер-анализа сравнены с результатами фурье-анализа. Рекомендовано совместное применение преобразования Вигнера и спектрограммы Фурье для анализа нелинейных волновых процессов и сигналов. Разработан и рекомендован специальный формат представления данных.
Пропонується використовувати перетворення Вігнера у аналізі нелінійних хвильових процесів та сигналів. Аналітичними та чисельними методами проаналізовано ідеальну та реальну ударні хвилі, кінк, антикінк, ударну хвилю у диспергуючому середовищі, класичний солітон, солітоноподібний розв’язок модифікованого рівняння Кортевега-де Вріза, солітон обвідної, кноїдальної та пилкоподібної хвиль. Результати вігнер-аналізу порівняно з результатами фур’є-аналізу. Рекомендовано одночасне застосування перетворення Вігнера та спектрограми Фур’є у аналізі нелінійних хвильових процесів та сигналів. Розроблено та рекомендовано дослідникам спеціальний формат подання даних.
The Wigner transform is proposed to use in the analysis of non-linear wave processes and signals. The ideal and natural shock waves, the kink and the antikink, the shock wave propagating in a dispersive medium, the classical soliton, the soliton-like solution of the modified Korteveg-de Vries equation, the soliton of envelope, the cnoidal and sowtooth waves are analyzed analytically and numerically. The Wigner analysis results are compared with those of the Fourier analysis. The Wigner transform and Fourier spectrogram are recommended to use simultaneously in the analysis of non-linear wave processes and signals A special data format developed is recommended for the researchers.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:12:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3, с. 295-310
© О. В. Вишневецкий, О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор, 2007
УДК 621.372(075.8)
Анализ нелинейных волновых процессов при помощи
преобразования Вигнера
О. В. Вишневецкий, О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор1
Харьковский национальный университет радиоэлектроники,
пр. Ленина, 14, 61077, г. Харьков, Украина
E-mail: Oleg-Lazorenko@yandex.ru
1Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина,
пл. Свободы, 4, г. Харьков, 61077, Украина
E-mail: Leonid.F.Chernogor@univer.kharkov.ua
Статья поступила в редакцию 11 апреля 2007 г.
Предложено использовать преобразование Вигнера для анализа нелинейных волновых
процессов и сигналов. Аналитическими и численными методами проведен анализ идеаль-
ной и реальной ударных волн, кинка и антикинка, ударной волны в диспергирующей сре-
де, классического солитона, солитоноподобного решения модифицированного уравнения
Кортевега-де Вриза, солитона огибающей, кноидальной и пилообразной волн. Результаты
вигнер-анализа сравнены с результатами фурье-анализа. Рекомендовано совместное при-
менение преобразования Вигнера и спектрограммы Фурье для анализа нелинейных вол-
новых процессов и сигналов. Разработан и рекомендован исследователям специальный
формат представления данных.
Введение
Нелинейные колебания и волны зани-
мают особое место в современной физике
и радиофизике [1-7]. Многие физические
процессы, сопровождающиеся большим
энерговыделением, такие, как, например,
землетрясения, извержения вулканов, про-
мышленные взрывы, старты ракет, магнит-
ные бури и т. п., имеют существенно нели-
нейный характер. Однако нелинейные про-
цессы по сравнению с линейными в целом
остаются малоизученными, а потому и не-
достаточно часто используемыми [8].
Представляется перспективным приме-
нение интегральных преобразований для
анализа нелинейных волновых процессов.
Результаты успешного использования ли-
нейных интегральных преобразований, в
частности, непрерывного вейвлет-преобра-
зования (НВП) и динамического (оконно-
го) преобразования Фурье (ДПФ) при опи-
сании ударных волн и солитонов подробно
изложены в работе [9]. Нелинейные интег-
ральные преобразования, в первую очередь,
преобразования класса Коэна [10], имеют
ряд существенных особенностей по срав-
нению с линейными преобразованиями.
Основными их преимуществами являются
хорошее частотно-временное разрешение,
инвариантность к сдвигам по времени,
частоте и фазе, наличие маргинальных рас-
пределений. К тому же такие преобразова-
ния, позволяющие осуществлять нелиней-
ную обработку сигнала, эффективны, на-
пример, при решении задачи обнаружения
сигнала на фоне аддитивной помехи, име-
ющей негауссов закон распределения [9].
Платой за получаемые преимущества явля-
ется возникновение интерференционных
О. В. Вишневецкий, О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор
296 Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3
членов для многокомпонентных сигналов
(см., например, [10, 11]).
Использование преобразования Вигнера
как типичного представителя класса Коэна
квадратичных время-частотных преобразо-
ваний [10-15] для анализа нелинейных вол-
новых процессов представляется целесооб-
разным и актуальным.
Цель работы состоит в изучении досто-
инств и недостатков применения преобра-
зования Вигнера для анализа нелинейных
волновых процессов.
1. Методы анализа и модели
нелинейных волновых процессов
Преобразование Вигнера (ПВ), введенное
в 1932 г. Е. Вигнером в задачах квантовой
термодинамики [12] и в 1948 г. использован-
ное Дж. Виллем при обработке сигналов
[13], имеет вид:
[ ]( ) ( , )V VP f t P f≡ τ ω =
* exp( )d .
2 2
t t
f f i t t
∞
−∞
= τ + τ − − ω ∫ (1)
Оно представляет собой преобразование
Фурье от произведения *( 2) ( 2),f t f tτ + τ −
где ( )f t – анализируемый сигнал, а символ
“*” обозначает операцию комплексного
сопряжения.
Далее будем использовать функцию спек-
тральной плотности (ФСП) ПВ ( , ),VP f ω τ
ее хребты (ridges), а также энергограмму
ПВ ( )VE f ω и среднеквадратичное откло-
нение ФСП ПВ ( ),Vσ ω определяемые вы-
ражениями:
( ) ( , )d ,V VE f P
∞
−∞
ω = ω τ τ∫
( )Vσ ω =
max
min
1 2
2
max min
1
( , ) ( , ) d ,V VP P
τ
τ
= ω τ − ω τ τ τ − τ
∫
где
max min max min
1
( , )
( )( )VP ω τ = ×
ω −ω τ − τ
max max
min min
( , )d d ;VP
ω τ
ω τ
× ω τ ω τ∫ ∫
max ,ω min ,ω maxτ и minτ – максимальные
и минимальные значения параметров ω и τ,
при использовании которых вычисляется
ФСП ПВ ( , ).VP ω τ
Более подробно свойства ПВ описаны,
например, в работах [10, 14, 15].
При анализе нелинейных волновых про-
цессов результаты ПВ сравниваются с ана-
логичными, полученными с помощью
спектрограммы Фурье (СФ), которая, как
известно, задается следующим выражением
(см., например, [10, 11]):
2
2
( , ) ( , ) ( ) ( )exp( )d ,SP f Sf f t w t i t t
∞
−∞
τ ω = τ ω = −τ − ω∫
где ( , )Sf τ ω – ФСП ДПФ, ( )w t – весовая
(оконная) функция.
Далее используем СФ ( , ),SP f ω τ ее хреб-
ты (ridges), а также энергограмму СФ ( )SE f ω
и среднеквадратичное отклонение СФ
( ),Sσ ω задаваемые соотношениями:
( ) ( , )d ,S SE f P
∞
−∞
ω = ω τ τ∫
max
min
1 2
2
max min
1
( ) ( , ) ( , ) d ,S S SP P
τ
τ
σ ω = ω τ − ω τ τ τ − τ
∫
где
max min max min
1
( , )
( )( )SP ω τ = ×
ω −ω τ − τ
max max
min min
( , )d d ;VP
ω τ
ω τ
× ω τ ω τ∫ ∫
Анализ нелинейных волновых процессов при помощи преобразования Вигнера
297Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3
max ,ω min ,ω maxτ и minτ – максимальные
и минимальные значения параметров ω и τ,
при использовании которых вычисляется
СФ ( , ).SP ω τ
Отметим, что хребты ПВ и СФ в насто-
ящей работе получаются с помощью алго-
ритма, основанного на соответствующих
модифицированных преобразованиях [16].
Результаты анализа представляются
в специальном формате, успешно приме-
ненном авторами в работе [9].
ПВ позволяет получить информацию
о том, в какие моменты времени и на каких
частотах сосредоточена энергия, содержа-
щаяся в исследуемом сигнале. При этом
ФСП ПВ на частотно-временной плоско-
сти имеет лучшую локализацию, чем ФСП
СФ, разрешение которой зависит от вы-
бора параметров оконной функции. Более
того, СФ оказывается “дальним родствен-
ником” ПВ, поскольку может быть получе-
на из сглаженного псевдопреобразования
Вигнера при использовании гауссовых
оконных функций (см., например, [16]).
Последнее за счет усреднения, разумеется,
имеет худшее частотно-временное разреше-
ние, чем обычное ПВ. Сглаженное псевдо-
преобразование Вигнера задается соотно-
шением (см., например, [16]):
( , ; , ) ( )SPVP f h g h t
∞
−∞
ω τ = ×∫
*( ) d exp( )d ,
2 2
t t
g s f s f s s i t t
∞
−∞
× − τ + − − ω ∫
где ( )h t и ( )g t – частотная и временная
сглаживающие оконные функции соответ-
ственно.
В качестве модельных нелинейных вол-
новых процессов, которые будут анали-
зироваться далее, используем решения хо-
рошо известных (эталонных) нелинейных
волновых уравнений [2, 4-6, 8]. Это удар-
ные волны, описываемые уравнением
Бюргерса и модифицированным уравнени-
ем Бюргерса, пилообразные и кноидаль-
ные волны, солитоны, задаваемые уравне-
нием Кортевега-де Вриза и модифициро-
ванным уравнением Кортевега-де Вриза
(мКдВ), диссипативный солитон, “реше-
ние-кентавр”, порождаемое уравнением
Бюргерса–Кортевега-де Вриза, солитон
огибающей, полученный из нелинейного
уравнения Шредингера, солитоноподоб-
ные решения уравнения синус-Гордона,
называемые кинком и антикинком. Под-
робный вейвлет-анализ этих нелинейных
волн проведен в [9].
Поскольку точное вычисление интегра-
ла (1) аналитическими методами возможно
только в самых простых случаях, большая
часть результатов в настоящей работе полу-
чена с помощью численных методов. С этой
целью авторами использовались пакеты при-
кладных программ TimeFreq ToolBox 0.1 [16]
и WaveLab 8.50 [11], а также оригинальное
программное обеспечение, разработанное
для системы компьютерной математики
MATLAB 7.0 (см., например, [17, 18]).
2. Результаты применения ПВ
для исследования нелинейных
волновых процессов
Аналитические расчеты ФСП ПВ
( , )VP f τ ω удается провести лишь для неко-
торых нелинейных волновых процессов.
Рассмотрим подробнее солитон мКдВ.
Для солитонного решения уравнения
мКдВ [4-6, 8]
0
( ) ,
ch( )
mv
νξ =
ξ ξ
где mν – амплитуда, 0ξ – ширина солитона,
,x utξ = ± ξ – переменная бегущей волны, u –
фазовая скорость волны, x – координата, t –
время, ФСП ПВ имеет вид:
( ) ( )
( ) ( )
2
0
0 0
2 sin 2
, .
sh 2 sh
m
VP f
ν ξ ω τ
τ ω =
τ ξ πωξ
О. В. Вишневецкий, О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор
298 Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3
Видно, что ФСП ПВ описывает на частотно-
временной плоскости хорошо локализован-
ную структуру, главный максимум которой
расположен в точке с координатами 0τ =
и 0ω= и составляет 2
0(0,0) 2 .V mP f = ν ξ π По
мере увеличения τ и ω ФСП ПВ убывает соот-
ветственно пропорционально ( )0exp 2− τ ξ
и 0exp( ).−πωξ
Анализ остальных моделей нелинейных
волновых процессов проводился численны-
ми методами.
На рис. 1 в специально разработанном
авторами формате представлены результа-
ты вигнер-анализа ударной волны (УВ), опи-
сываемой уравнением Бюргерса (см., напри-
мер, [8]). Рассмотрим подробнее особенно-
сти этого формата. На рис. 1, а приводится
исследуемая функция во временной области.
Рис. 1, б и рис. 1, в отражают ФСП ПВ и ее
хребты соответственно. Эти же характерис-
тики для СФ показаны на рис. 1, г и рис. 1, д.
На рис. 1, е и рис. 1, з представлены энер-
гограммы ПВ и СФ соответственно. Рис.
1, ж и рис. 1, и демонстрируют среднеквад-
ратичные отклонения ФСП ПВ и ФСП СФ.
На рис. 1, а-д по горизонтальной оси отло-
жено безразмерное время T. А на рис. 1, е
и рис. 1, з – нормированные на максимум
значения энергии E, на рис. 1, ж и рис. 1, и –
нормированные на максимум значения
среднеквадратичного отклонения ФСП σ.
По вертикальной оси на рис. 1, б-и отсчи-
тывается безразмерная частота F. Такой
же формат используется для представления
результатов анализа других моделей нели-
нейных волновых процессов (рис. 2-9).
Видно, что энергия УВ в основном со-
средоточена в области низких частот. При
этом на интервале времени, соответствую-
щем ее фронту, ФСП ПВ (рис. 1, б) и ФСП
СФ (рис. 1, г) “заходят” в область более
высоких частот. ФСП СФ, как и ожидалось,
по сравнению с ФСП ПВ оказывается раз-
мытой вдоль обеих координат. Наличие
осциллирующих частотно-временных
структур у ФСП ПВ в моменты времени
2.5T = и 7.5T = объясняется интерферен-
цией между структурой, соответствующей
фронту УВ, и структурами, порождаемыми
краевыми эффектами, которые хорошо вид-
ны на спектрограмме при 0T = и 10.T =
Осциллирующая форма образования, соот-
ветствующего самому фронту УВ, объяс-
няется наложением на него результатов ин-
терференции между теми же частотно-вре-
менными структурами, появление которых
вызвано краевыми эффектами. На карти-
не хребтов ФСП ПВ (рис. 1, в) фронт УВ
сопровождается появлением пучка линий,
сходящегося при увеличении F. По мере
увеличения ширины фронта УВ энергия
соответствующего частотно-временного
образования на ФСП ПВ уменьшается,
а линии на картине хребтов исчезают. Пре-
дельным случаем идеальной УВ, имеющей
нулевую ширину фронта, является функция
Хэвисайда, результаты анализа которой
приведены на рис. 2. Аналогичная картина
получается также для кинка и антикинка,
которые показаны на рис. 3, 4.
Во многом похожими на предыдущий
случай оказываются и результаты анализа
ударной волны (“решение-кентавр”) в дис-
пергирующей среде (рис. 5). Однако следует
отметить, что на хребтах ФСП ПВ (рис. 5, в)
проявляются и следы затухающих осцил-
ляций, следующих за передним фронтом
такой УВ. Это четыре почти вертикальные
равноотстоящие линии в диапазоне отно-
сительных частот ~ 0.005 0.010.F ÷ Важно,
что СФ их наличие выявить не позволяет.
Теперь перейдем к анализу солитонов.
В качестве примера рассмотрим солито-
ноподобное решение уравнения мКдВ
(рис. 6, а). Здесь как ФСП ПВ (рис. 6, б),
так и ФСП СФ (рис. 6, г) имеют сходную
частотно-временную структуру. Отличие
состоит в том, что ФСП СФ несколько
шире, чем ФСП ПВ, которая не выходит
за временные границы анализируемого сиг-
нала. Хребты ФСП ПВ (рис. 6, в) имеют
достаточно сложную структуру, которая
позволяет судить о локализации солитона
во времени. В то же время хребты ФСП СФ
(рис. 6, д) состоят всего из двух точек, по-
ложение которых примерно соответствует
максимуму ФСП СФ.
Анализ нелинейных волновых процессов при помощи преобразования Вигнера
299Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3
Рис. 1. Результаты анализа УВ, описываемой уравнением Бюргерса: а) – УВ во временной области,
б) – ФСП ПВ, в) – хребты ФСП ПВ, г) – ФСП СФ, д) – хребты ФСП СФ, е) – энергограмма ПВ,
ж) – среднеквадратичное отклонение ФСП ПВ, з) – энергограмма СФ, и) – среднеквадратичное
отклонение ФСП СФ
О. В. Вишневецкий, О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор
300 Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3
Рис. 2. Результаты анализа идеальной УВ: а) – УВ во временной области, б) – ФСП ПВ, в) – хребты
ФСП ПВ, г) – ФСП СФ, д) – хребты ФСП СФ, е) – энергограмма ПВ, ж) – среднеквадратичное
отклонение ФСП ПВ, з) – энергограмма СФ, и) – среднеквадратичное отклонение ФСП СФ
Анализ нелинейных волновых процессов при помощи преобразования Вигнера
301Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3
Рис. 3. Результаты анализа кинка: а) – кинк во временной области, б) – ФСП ПВ, в) – хребты ФСП
ПВ, г) – ФСП СФ, д) – хребты ФСП СФ, е) – энергограмма ПВ, ж) – среднеквадратичное отклонение
ФСП ПВ, з) – энергограмма СФ, и) – среднеквадратичное отклонение ФСП СФ
О. В. Вишневецкий, О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор
302 Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3
Рис. 4. Результаты анализа антикинка: а) – антикинк во временной области, б) – ФСП ПВ,
в) – хребты ФСП ПВ, г) – ФСП СФ, д) – хребты ФСП СФ, е) – энергограмма ПВ, ж) – среднеквадра-
тичное отклонение ФСП ПВ, з) – энергограмма СФ, и) – среднеквадратичное отклонение ФСП СФ
Анализ нелинейных волновых процессов при помощи преобразования Вигнера
303Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3
Рис. 5. Результаты анализа УВ в диспергирующей среде: а) – УВ во временной области, б) – ФСП ПВ,
в) – хребты ФСП ПВ, г) – ФСП СФ, д) – хребты ФСП СФ, е) – энергограмма ПВ, ж) – среднеквадра-
тичное отклонение ФСП ПВ, з) – энергограмма СФ, и) – среднеквадратичное отклонение ФСП СФ
О. В. Вишневецкий, О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор
304 Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3
Рис. 6. Результаты анализа солитоноподобного решения уравнения мКдВ: а) – солитоноподобное
решение во временной области, б) – ФСП ПВ, в) – хребты ФСП ПВ, г) – ФСП СФ, д) – хребты ФСП
СФ, е) – энергограмма ПВ, ж) – среднеквадратичное отклонение ФСП ПВ, з) – энергограмма СФ,
и) – среднеквадратичное отклонение ФСП СФ
Анализ нелинейных волновых процессов при помощи преобразования Вигнера
305Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3
Рис. 7. Результаты анализа солитона огибающей: а) – солитон огибающей во временной области,
б) – ФСП ПВ, в) – хребты ФСП ПВ, г) – ФСП СФ, д) – хребты ФСП СФ, е) – энергограмма ПВ,
ж) – среднеквадратичное отклонение ФСП ПВ, з) – энергограмма СФ, и) – среднеквадратичное
отклонение ФСП СФ
О. В. Вишневецкий, О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор
306 Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3
Рис. 8. Результаты анализа кноидальной волны: а) – кноидальная волна во временной области,
б) – ФСП ПВ, в) – хребты ФСП ПВ, г) – ФСП СФ, д) – хребты ФСП СФ, е) – энергограмма ПВ,
ж) – среднеквадратичное отклонение ФСП ПВ, з) – энергограмма СФ, и) – среднеквадратичное
отклонение ФСП СФ
Анализ нелинейных волновых процессов при помощи преобразования Вигнера
307Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3
Рис. 9. Результаты анализа пилообразной волны: а) – пилообразная волна во временной области,
б) – ФСП ПВ, в) – хребты ФСП ПВ, г) – ФСП СФ, д) – хребты ФСП СФ, е) – энергограмма ПВ,
ж) – среднеквадратичное отклонение ФСП ПВ, з) – энергограмма СФ, и) – среднеквадратичное
отклонение ФСП СФ
О. В. Вишневецкий, О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор
308 Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3
На рис. 7 представлен результат анали-
за солитона огибающей. Отметим, что со-
литон огибающей является хорошей моде-
лью нового класса сверхширокополосных
сигналов – нелинейных сверхширокополос-
ных сигналов [19]. Как видно, энергия та-
ких волновых процессов сосредоточена
в ограниченных временном интервале и диа-
пазоне частот. Здесь также наблюдается
лучшая локализация ФСП ПВ (рис. 7, б)
по сравнению с ФСП СФ (рис. 7, г). Хребты
ФСП ПВ (рис. 7, в) позволяют одновре-
менно определить частотную и временную
протяженность сигнала. С помощью же хреб-
тов ФСП СФ (рис. 7, д) о последней судить
невозможно.
На рис. 8 показаны результаты анализа
кноидальной волны. На ФСП СФ (рис. 8, г)
отчетливо видны три локализованные час-
тотно-временные образования, а на ФСП ПВ
(рис. 8, б) наблюдаются пять таких образо-
ваний. Реально несуществующие второе
и четвертое слева (рис. 8, б) образования яв-
ляются результатами интерференции, возни-
кающей между первым и третьим, а также
третьим и пятым образованиями. Отсеять
эти ложные образования позволяют как
ФСП СФ (рис. 8, г) и ее хребты (рис. 8, д),
так и хребты самой ФСП ПВ (рис. 8, в).
Осциллирующая структура центрального
(третьего) образования является резуль-
татом наложения на него интерференции,
возникающей между первым и пятым об-
разованиями. “Ежеобразная” структура
энергограммы ПВ (рис. 8, е) и среднеквад-
ратичного отклонения ФСП ПВ (рис. 8, ж)
объясняется не только наличием интерфе-
ренции. Следует помнить, что ( , )VP f τ ω
может принимать и отрицательные зна-
чения, а следовательно, она не является
функцией спектральной плотности в пол-
ном смысле этого определения (см., напри-
мер, [10, 11]).
Во многом похожая картина наблюда-
ется на рис. 9, где приведены результаты
анализа пилообразной волны. ФСП СФ
этой волны (рис. 9, г) похожа на несколько
размытое представление ФСП СФ кнои-
дальной волны (рис. 8, г), тогда как на ФСП
ПВ (рис. 9, б), в отличие от ФСП ПВ кнои-
дальной волны (рис. 8, б), наблюдается
сплошная горизонтальная линия, позволя-
ющая определить частоту следования мак-
симумов волны. Это дает возможность сде-
лать вывод о том, что исследуемый сигнал
периодический, частоту которого легко
определить. Платой за такую возможность
является наличие интерференции, которая
появляется между каждыми двумя ком-
понентами пилообразной волны. По мере
укручения фронта пилообразной волны
ФСП ПВ и ФСП СФ заходят в область все
бòльших частот.
3. Обсуждение результатов
В результате проведенных исследований
установлено, что применение ПВ оказыва-
ется полезным и перспективным для анали-
за нелинейных волновых процессов и сиг-
налов. По виду ФСП ПВ удобно судить
о частотно-временном составе исследуемо-
го процесса, достаточно точно определять
его временную и частотную локализации.
Последнее важно, поскольку в большинстве
случаев нелинейные волновые процессы
являются нестационарными и непериоди-
ческими. Полезную информацию удается
также получить по виду хребтов ФСП ПВ.
Так, при анализе УВ в диспергирующей сре-
де только хребты ФСП ПВ отражают ее тон-
кую осциллирующую структуру (рис. 5, в).
Дополнительную информацию о распреде-
лении энергии по разным масштабам дают
энергограмма ПВ и среднеквадратичное
отклонение ФСП ПВ.
Тем не менее ПВ не следует противо-
поставлять традиционной СФ. Хотя пос-
ледняя, с одной стороны, имеет заметно
худшее частотно-временное разрешение,
с другой стороны, у нее нет интерферен-
ционных членов, которые могут привести
к обнаружению реально несуществующих
сигналов. Поэтому ФСП СФ и построен-
ные на ее основе хребты, энергограмма
и среднеквадратичное отклонение оказы-
Анализ нелинейных волновых процессов при помощи преобразования Вигнера
309Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3
ваются весьма полезными при отсеивании
интерференционных частотно-временных
структур, неизбежно возникающих в ФСП
ПВ для многокомпонентных сигналов,
какими в данном случае являются кноидаль-
ная и пилообразная волны. При селектиро-
вании интерференционных членов полез-
ными оказываются также хребты ФСП ПВ.
Представляет интерес сравнение полу-
ченных результатов с результатами при-
менения НВП и ДПФ для описания этих
же модельных нелинейных волновых про-
цессов, изложенными в [9]. Следует отме-
тить, что при описании УВ, кинка и анти-
кинка НВП позволяет достаточно точно
оценить ширину фронта волны, а ПВ – его
положение на временной оси. Период ос-
цилляций при анализе УВ в диспергирую-
щей среде (“решение-кентавр”) удобно
определять, используя НВП и ПВ одно-
временно.
Во время исследования солитонов и со-
литоноподобных волн НВП хорошо пока-
зывает себя при определении положения
максимума, а ПВ – частотно-временной
локализации волны, а также кажущейся
частоты заполнения, если такая имеется
(например, для солитона огибающей).
Аналогичным образом проявляют себя
НВП и ПВ при анализе пилообразной и
кноидальной волн. К сожалению, здесь до-
статочно ярко проявляется основной недо-
статок ПВ – возникновение интерференции,
что снижает, в определенной степени, цен-
ность энергограммы ПВ и среднеквадратич-
ного отклонения ФСП ПВ. Интересно так-
же отметить, что НВП позволяет опреде-
лить направление наклона “зубьев” пило-
образной волны.
Таким образом, ПВ целесообразно
применять для анализа нелинейных вол-
новых процессов совместно с СФ. Резуль-
таты анализа удобно представлять в спе-
циальном формате, который рекоменду-
ется исследователям. Представляет также
интерес сравнение результатов ПВ, явля-
ющегося нелинейным, с аналогичными ре-
зультатами НВП, представляющего класс
линейных преобразований, что позволя-
ет получить подробную и разнообразную
информацию о нелинейных волновых
процессах.
Выводы
1. Показано, что применение ПВ является
перспективным для анализа нелинейных
волновых процессов.
2. Продемонстрировано, что частотно-
временное разрешение ФСП ПВ лучше, чем
у ФСП СФ, однако наличие интерференции
усложняет интерпретацию полученных ре-
зультатов.
3. Установлено, что ПВ целесообразно
применять для обнаружения сигналов со-
вместно со СФ. Первое преобразование
позволяет более точно определять частот-
но-временное содержание сигналов, а вто-
рое – эффективно отсеивать интерференци-
онные члены.
4. Показано, что НВП успешно допол-
няет и уточняет сведения, полученные с
помощью ПВ, наилучшим способом опи-
сывая локальные особенности исследуемо-
го процесса.
Литература
1. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных сре-
дах в приложении к электронике. – М.: Сов.
радио, 1977. – 368 с.
2. Виноградова М. В., Руденко В. О., Сухору-
ков А. П. Теория волн. – М.: Наука, 1990. –
432 с.
3. Солитоны / Под редакцией Р. Буллефа,
Ф. Кодри. – М.: Мир, 1983. – 408 с.
4. Рабинович М. И., Трубецков Д. И. Введение
в теорию колебаний и волн. – М.: Наука, Физ-
матлит, 1984. – 432 с.
5. Заславский Г. М., Сагдеев Р. З. Введение
в нелинейную физику. – М.: Наука, 1988. –
368 с.
6. Рыскин Н. М., Трубецков Д. И. Нелинейные
волны. – М.: Наука, Физматлит, 2000. – 272 с.
7. Кравченко В. Ф., Лазоренко О. В., Пусто-
войт В. И., Черногор Л. Ф. Вейвлет-анализ не-
линейных волновых процессов // ДАН РАН. –
2006. – Т. 410, №6. – С. 744-748.
О. В. Вишневецкий, О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор
310 Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3
English Version: Kravchenko V. F., Lazoren-
ko O. V., Pustovoit V. I., and Chernogor L. F.
Study of the Structure of Solutions to Nonlin-
ear Wave Equations Based on Continuous Wave-
let Analysis // Doklady Mathematics. – 2006. –
Vol. 74, No. 2. – P. 767-770.
8. Черногор Л. Ф. Нелинейная радиофизика. –
Харьков: ХНУ имени В. Н. Каразина, 2004. –
200 с.
9. Лазоренко О. В., Лазоренко С. В., Черно-
гор Л. Ф. Вейвлет-анализ нелинейных волно-
вых процессов // Успехи современной радио-
электроники. – 2005. – № 10. – C. 3-21.
10. Коэн Л. Время-частотные распределе-
ния: Обзор // ТИИЭР. – 1989. – Т. 77, №16. –
С. 72-120.
11. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов /
Пер. с англ. – М.: Мир, 2005. – 671 с.
12. Wigner E. P. On the quantum correction for ther-
modynamic equilibrium // Phys. Rev. – 1932. –
Vol. 40. – P. 749-759.
13. Ville J. Theorie et applications de la notion de
signal analytique // Cebles. et Transm. – 1948. –
Vol 2A. – P. 61-74.
14. Вишнивецкий О. В., Кравченко В. Ф., Лазо-
ренко О. В., Черногор Л. Ф. Преобразование
Вигнера и атомарные функции в цифровой об-
работке сигналов // Электромагнитные волны
и электронные системы. – 2006. – Т. 11, №6. –
С. 26-38.
15. Кравченко В. Ф., Лазоренко О. В., Пусто-
войт В. И., Черногор Л. Ф. Преобразование
Вигнера в обработке сигналов // ДАН РАН. –
2006. – Т. 410. – С. 38-41.
English Version: Kravchenko V. F., Lazoren-
ko O. V., Pustovoit V. I. and Chernogor L. F.
Wigner transformation in digital processing of
signals // Doklady Physics. – 2006. – Vol. 51,
No. 9. – P. 461-464.
16. Auger F., Flandrin P., Goncalves P., Lemoine O.
Time-Frequency Toolbox Reference Guide. – Hew-
ston: Rice University. – 2005. – 180 р.
17. Дьяконов В. П. MATLAB 6: учебный курс. –
Санкт-Петербург: Питер, 2001. – 592 с.
18. Дьяконов В. П., Абраменкова И. В. MATLAB.
Обработка сигналов и изображений. Специаль-
ный справочник. – Санкт-Петербург: Питер,
2002. – 608 с.
19. Chernogor Leonid F., Kravchenko Viktor F.,
Lazorenko Oleg V. Ultra wideband signals: theo-
ry, simulation and digital processing // In Proc.
Ultrawideband and Ultrashort Impulse Signals,
19 – 22 September, 2006, Sevastopol, Ukraine. –
Sevastopol (Ukraine). – 2006. – P. 32-37.
Аналіз нелінійних хвильових процесів
за допомогою перетворення Вігнера
О. В. Вишнивецький, О. В. Лазоренко,
Л. Ф. Чорногор
Пропонується використовувати пере-
творення Вігнера у аналізі нелінійних хви-
льових процесів та сигналів. Аналітични-
ми та чисельними методами проаналізо-
вано ідеальну та реальну ударні хвилі,
кінк, антикінк, ударну хвилю у диспергу-
ючому середовищі, класичний солітон, со-
літоноподібний розв’язок модифіковано-
го рівняння Кортевега-де Вріза, солітон
обвідної, кноїдальної та пилкоподібної
хвиль. Результати вігнер-аналізу порівня-
но з результатами фур’є-аналізу. Рекомен-
довано одночасне застосування перетво-
рення Вігнера та спектрограми Фур’є
у аналізі нелінійних хвильових процесів
та сигналів. Розроблено та рекомендова-
но дослідникам спеціальний формат по-
дання даних.
Analysis of Non-Linear Wave
Processes Using Wigner Transform
O. V. Vishnivetsky, O. V. Lazorenko,
and L. F. Chernogor
The Wigner transform is proposed to use
in the analysis of non-linear wave processes
and signals. The ideal and natural shock
waves, the kink and the antikink, the shock
wave propagating in a dispersive medium, the
classical soliton, the soliton-like solution of
the modified Korteveg-de Vries equation, the
soliton of envelope, the cnoidal and sowtooth
waves are analyzed analytically and numeri-
cally. The Wigner analysis results are com-
pared with those of the Fourier analysis. The
Wigner transform and Fourier spectrogram
are recommended to use simultaneously in the
analysis of non-linear wave processes and sig-
nals. A special data format developed is rec-
ommended for the researchers.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8373 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-9636 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:12:43Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Радіоастрономічний інститут НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Вишневецкий, О.В. Лазоренко, О.В. Черногор, Л.Ф. 2010-05-25T09:34:08Z 2010-05-25T09:34:08Z 2007 Анализ нелинейных волновых процессов при помощи преобразования Вигнера / О.В. Вишневецкий, О.В. Лазоренко, Л.Ф. Черногор // Радиофизика и радиоастрономия. — 2007. — Т. 12, № 3. — С. 295-310. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 1027-9636 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8373 621.372(075.8) Предложено использовать преобразование Вигнера для анализа нелинейных волновых процессов и сигналов. Аналитическими и численными методами проведен анализ идеальной и реальной ударных волн, кинка и антикинка, ударной волны в диспергирующей среде, классического солитона, солитоноподобного решения модифицированного уравнения Кортевега-де Вриза, солитона огибающей, кноидальной и пилообразной волн. Результаты вигнер-анализа сравнены с результатами фурье-анализа. Рекомендовано совместное применение преобразования Вигнера и спектрограммы Фурье для анализа нелинейных волновых процессов и сигналов. Разработан и рекомендован специальный формат представления данных. Пропонується використовувати перетворення Вігнера у аналізі нелінійних хвильових процесів та сигналів. Аналітичними та чисельними методами проаналізовано ідеальну та реальну ударні хвилі, кінк, антикінк, ударну хвилю у диспергуючому середовищі, класичний солітон, солітоноподібний розв’язок модифікованого рівняння Кортевега-де Вріза, солітон обвідної, кноїдальної та пилкоподібної хвиль. Результати вігнер-аналізу порівняно з результатами фур’є-аналізу. Рекомендовано одночасне застосування перетворення Вігнера та спектрограми Фур’є у аналізі нелінійних хвильових процесів та сигналів. Розроблено та рекомендовано дослідникам спеціальний формат подання даних. The Wigner transform is proposed to use in the analysis of non-linear wave processes and signals. The ideal and natural shock waves, the kink and the antikink, the shock wave propagating in a dispersive medium, the classical soliton, the soliton-like solution of the modified Korteveg-de Vries equation, the soliton of envelope, the cnoidal and sowtooth waves are analyzed analytically and numerically. The Wigner analysis results are compared with those of the Fourier analysis. The Wigner transform and Fourier spectrogram are recommended to use simultaneously in the analysis of non-linear wave processes and signals A special data format developed is recommended for the researchers. ru Радіоастрономічний інститут НАН України Статистическая радиофизика Анализ нелинейных волновых процессов при помощи преобразования Вигнера Аналіз нелінійних хвильових процесів за допомогою перетворення Вігнера Analysis of Non-Linear Wave Processes Using Wigner Transform Analysis of Non-Linear Wave Processes Using Wigner Transform Article published earlier |
| spellingShingle | Анализ нелинейных волновых процессов при помощи преобразования Вигнера Вишневецкий, О.В. Лазоренко, О.В. Черногор, Л.Ф. Статистическая радиофизика |
| title | Анализ нелинейных волновых процессов при помощи преобразования Вигнера |
| title_alt | Аналіз нелінійних хвильових процесів за допомогою перетворення Вігнера Analysis of Non-Linear Wave Processes Using Wigner Transform Analysis of Non-Linear Wave Processes Using Wigner Transform |
| title_full | Анализ нелинейных волновых процессов при помощи преобразования Вигнера |
| title_fullStr | Анализ нелинейных волновых процессов при помощи преобразования Вигнера |
| title_full_unstemmed | Анализ нелинейных волновых процессов при помощи преобразования Вигнера |
| title_short | Анализ нелинейных волновых процессов при помощи преобразования Вигнера |
| title_sort | анализ нелинейных волновых процессов при помощи преобразования вигнера |
| topic | Статистическая радиофизика |
| topic_facet | Статистическая радиофизика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8373 |
| work_keys_str_mv | AT višneveckiiov analiznelineinyhvolnovyhprocessovpripomoŝipreobrazovaniâvignera AT lazorenkoov analiznelineinyhvolnovyhprocessovpripomoŝipreobrazovaniâvignera AT černogorlf analiznelineinyhvolnovyhprocessovpripomoŝipreobrazovaniâvignera AT višneveckiiov analíznelíníinihhvilʹovihprocesívzadopomogoûperetvorennâvígneraanalysisofnonlinearwaveprocessesusingwignertransform AT lazorenkoov analíznelíníinihhvilʹovihprocesívzadopomogoûperetvorennâvígneraanalysisofnonlinearwaveprocessesusingwignertransform AT černogorlf analíznelíníinihhvilʹovihprocesívzadopomogoûperetvorennâvígneraanalysisofnonlinearwaveprocessesusingwignertransform AT višneveckiiov analysisofnonlinearwaveprocessesusingwignertransform AT lazorenkoov analysisofnonlinearwaveprocessesusingwignertransform AT černogorlf analysisofnonlinearwaveprocessesusingwignertransform |