Механика стержневых систем и теория графов

Предложен метод корректной формулировки математической модели стержневой системы. Метод предполагает применение графа для представления расчетной схемы стержневой системы. Предложены эквивалентные схемы замещения объектов, удовлетворяющие требованиям представления топологии объектов в виде графов. Д...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Математичні машини і системи
Дата:	2012
Автори:	Волобоев, В.П., Клименко, В.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України 2012
Теми:	Моделювання і управління
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83751
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Механика стержневых систем и теория графов / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Мат. машини і системи. — 2012. — № 2. — С. 81-95. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859722507796348928
author	Волобоев, В.П. Клименко, В.П.
author_facet	Волобоев, В.П. Клименко, В.П.
citation_txt	Механика стержневых систем и теория графов / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Мат. машини і системи. — 2012. — № 2. — С. 81-95. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Математичні машини і системи
description	Предложен метод корректной формулировки математической модели стержневой системы. Метод предполагает применение графа для представления расчетной схемы стержневой системы. Предложены эквивалентные схемы замещения объектов, удовлетворяющие требованиям представления топологии объектов в виде графов. Для записи основной системы уравнений строительной механики в матричном виде предложено использовать матрицы контуров и сечений. Сформулирована методика целенаправленного выбора переменных при корректной формулировке математической модели. Приведен пример расчета стержневой системы. Запропоновано метод коректного формулювання математичної моделі стрижневої системи. Метод передбачає застосування графа для представлення розрахункової схеми стрижневої системи. Запропоновано еквівалентні схеми заміщення об'єктів, що задовольняють вимогам представлення топології об'єктів у вигляді графів. Для запису основної системи рівнянь будівельної механіки в матричному вигляді запропоновано використати матриці контурів і перерізів. Сформульовано методику цілеспрямованого вибору перемінних при коректному формулюванні математичної моделі. Наведено приклад розрахунку стрижневої системи. The method of the correct formulation of mathematical model of the framework is offered. The method assumes application of the graph for representation of the design diagram of framework. Equivalent circuits of objects which meet requirements of representation of topology objects in the form of graph are offered. It is offered to use matrixes of circuits and cutsets for record of the basic equations system of structural mechanics in a matrix kind. The technique of a purposeful choice of variables at the correct formulation of mathematical model is formulated. Example of framework calculation is given.
first_indexed	2025-12-01T10:35:53Z
format	Article
fulltext	© Волобоев В.П., Клименко В.П., 2012 81 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2 МОДЕЛЮВАННЯ І УПРАВЛІННЯ УДК 624.041 В.П. ВОЛОБОЕВ, В.П. КЛИМЕНКО МЕХАНИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ И ТЕОРИЯ ГРАФОВ Анотація. Запропоновано метод коректного формулювання математичної моделі стрижневої системи. Метод передбачає застосування графа для представлення розрахункової схеми стриж- невої системи. Запропоновано еквівалентні схеми заміщення об'єктів, що задовольняють вимогам зображення топології об'єктів у вигляді графів. Для запису основної системи рівнянь будівельної механіки в матричному вигляді запропоновано використати матриці контурів і перерізів. Сфор- мульовано методику цілеспрямованого вибору перемінних при коректному формулюванні матема- тичної моделі. Наведено приклад розрахунку стрижневої системи. Ключові слова: стрижнева система, елемент стрижневої системи, еквівалентна схема заміщен- ня, некоректне завдання, граф розрахункової схеми стрижневої системи, матриця контурів, мат- риця перерізів, математична модель, погана обумовленість, коректне формулювання математи- чної моделі. Аннотация. Предложен метод корректной формулировки математической модели стержневой системы. Метод предполагает применение графа для представления расчетной схемы стержне- вой системы. Предложены эквивалентные схемы замещения объектов, удовлетворяющие требо- ваниям представления топологии объектов в виде графов. Для записи основной системы уравне- ний строительной механики в матричном виде предложено использовать матрицы контуров и сечений. Сформулирована методика целенаправленного выбора переменных при корректной фор- мулировке математической модели. Приведен пример расчета стержневой системы. Ключевые слова: стержневая система, элемент стержневой системы, эквивалентная схема за- мещения, некорректная задача, граф расчетной схемы стержневой системы, матрица контуров, матрица сечений, математическая модель, плохая обусловленность, корректная формулировка математической модели. Abstract. The method of the correct formulation of mathematical model of the framework is offered. The method assumes application of the graph for representation of the design diagram of framework. Equiva- lent circuits of objects which meet requirements of representation of topology objects in the form of graph are offered. It is offered to use matrixes of circuits and cutsets for record of the basic equations system of structural mechanics in a matrix kind. The technique of a purposeful choice of variables at the correct formulation of mathematical model is formulated. Example of framework calculation is given. Keywords: framework, an element of the framework, an equivalent circuit, an incorrect problem, the graph of the design model of framework, circuit matrix, cutset matrix, mathematical model, ill- conditioning, the correct formulation of a mathematical model. 1. Введение В настоящее время моделирование стержневых систем является составной частью таких систем проектирования, как ANSYS [1], NASTRAN [2] и др. Под стержневой системой подразумевается сооружение, составленное из стержней, т.е. из таких элементов, у которых один размер (длина) превышает два других. Анализ современного состояния рас- чета стержневых систем [3–5] показал, что проблема получения достоверных результатов при решении некорректной задачи, возникающей при моделировании стержневой систе- мы, является актуальной. Некорректная задача относится к классу плохо обусловленных систем уравнений, которые, как принято считать, имеют неустойчивое решение. Обычно в 82 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2 этом случае применяются методы решения некорректных задач, требующие участия поль- зователя. В работах [6–8] показано, что плохая обусловленность системы линейных алгеб- раических уравнений (СЛАУ), описывающей технический объект, есть необходимое, но не достаточное условие того, что СЛАУ имеет неустойчивое решение. Там же предложен способ корректной формулировки математической модели технической задачи, не тре- бующий участия пользователя и обеспечивающий устойчивое решение СЛАУ. Способ корректной формулировки математической модели рассмотрен применительно к моделированию электрических цепей. Как следует из литературы [9], есть много общего между составлением математической модели электрической цепи и стержневой системы. В связи с этим представляет интерес разработка способа корректной формулировки математической модели стержневой системы. Из основных задач анализа кинематики и статики стержневых систем будет рассмотрена задача статического анализа системы для определения положения равновесия самой системы и внутренних сил в ее элементах. 2. Сравнительный анализ методов расчета стержневых систем и электрических це- пей Задачи, которые необходимо решить при разработке способа корректной формулировки математической модели стержневой системы, будут определены из сравнительного анализа методов составления математической модели стержневой системы и электрической цепи. При этом ограничимся рассмотрением линейных электрических це- пей и стержневых систем. При анализе методов использовались материалы, приведенные в работах [3, 4] и [6, 8]. В табл. 1 приведены результаты сравнения основных этапов методов составления математических моделей, а именно: 1. Форма представления уравнений, описывающих элементы стержневой системы и электрической цепи. 2. Графическое представление стержневой системы и электрической цепи. 3. Применяемые законы при составлении математической модели стержневой сис- темы и электрической цепи. 4. Формализованное представление описания математической модели стержневой системы и электрической цепи. На основании анализа методов составления математической модели, приведенных в табл. 1, можно сделать следующие выводы. Для элементов электрической цепи разработаны эквивалентные схемы замещения, содержащие только двухполюсные компоненты. Функциональные зависимости этих компонент описывают связь между током, протекающим через компоненту, и напряжением, падающим на компоненте. Кроме того, определен тип компонент электрической цепи в зависимости от аргументов компонентного уравнения. В случае расчета стержневой системы уравнения, описывающие элемент, устанав- ливают связь между узловыми перемещениями элемента и внутренними усилиями на кон- цах элемента. Элементы стержневой системы могут быть как двухполюсными, так и мно- гополюсными. Построение эквивалентной схемы замещения элемента и определение типа компонент не применяются. На втором этапе строятся граф электрической цепи и расчетная схема стержневой системы. Ветви графа соответствуют двухполюсным компонентам эквивалентной схемы, а узлы – соединению двухполюсных компонент, т.е. граф электрической схемы отображает как топологию, так и типы компонент эквивалентной электрической схемы. Для описания графа электрической цепи и, соответственно, уравнений на основе законов Кирхгофа при- меняются топологические матрицы инциденций A , контуров B и сечений Q . ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2 83 Таблица 1. Методы составления математической модели стержневой системы и электриче- ской цепи № Этап Механика стержневых систем Электротехника 1 Описание элемента 1. Общий подход Геометрическое уравнение uAT−=λ , где u – узловые перемещения, λ – деформация компоненты. Физическое уравнение Cλfin = , где inf – внутренняя сила компоненты, C – матри- ца жесткости (зависимость внутренних сил от деформа- ции). 2. Метод конечных элементов kufin = , где k – матрица же- сткости (зависимость внут- ренних сил компоненты от узловых перемещений) Уравнение элемента 0=)I,Uf(α( – общий вид уравнения эле- мента, где α – параметры, I – токи и U – напряжения, входящие в уравнения. Эквивалентная схема замещения элемента состоит из двухполюсных компонент. Функциональная зависимость компоненты ),( UfI U α= описывает связь между на- пряжением U , падающим на компоненте, и током I , протекающим через компонен- ту. UGI = – функциональная зависимость линейной компоненты 2 Графическое представле- ние Расчетная схема стержневой системы Содержит многополюсные элементы. Узлы, соединя- ющие стержни, разделяются на шарнирные и жесткие. Описание расчетной схемы: матрица инциденций A Граф электрической цепи Содержит двухполюсные компоненты. Описание графа электрической цепи: 1. Матрица инциденций A . 2. Матрица контуров B , TFB 1= . 3. Матрица сечений Q, F−= 1Q 3 Законы Уравнение равновесия Сумма внутренних inf и внешних сил of в узле равна нулю – 0=∑ f . Уравнения равновесия рас- четной схемы oin fAfA = Законы Кирхгофа в матричном виде 1. Сумма токов в узле равна нулю 1.1. 0=IA . I – вектор токов компонент. 1.2. . . 0, хорднткомтокиI дереванткомтокиI I I Q Х Д Х Д −− −− = 2. Сумма напряжений в контуре равна ну- лю хорднткомнапряжения Х U дереванткомнапряжения Д U 0, U U B Х Д −− −− = , 4 Описание объекта Метод узловых перемещений 1. Общий подход .o T fAuAСA = 2. Метод конечных элементов ofAukA = 1. Метод узловых напряжений ,JA-UAGA n T = где J – вектор источни- ков тока в электрической цепи, nU – век- тор узловых напряжений электрической цепи. 2. Метод напряжений компонент дерева ,IF-I ХД 0= Х T ДДХ T ДД JFJFUGFUG +=+ 84 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2 Расчетная схема стержневой системы отображает соединение между собой как двухполюсных, так и многополюсных элементов схемы. Узлы, соединяющие стержни, разделяются на шарнирные и жесткие. Перемещения узлов, отсчитываемые от базового узла расчетной схемы, есть в то же время узловые перемещения элементов. Для описания топологии расчетной схемы применяется только матрица инциденций A . Способ корректной формулировки математической модели электрической цепи ба- зируется на основной системе уравнений электрической цепи, куда входят уравнения, со- ставленные на основе законов Кирхгофа, и компонентные уравнения двухполюсников. Для описания графа электрической цепи и, соответственно, уравнений на основе законов Кирх- гофа применяются топологические матрицы контуров и сечений. Следует отметить, что матрица контуров графа составляется следующим образом. Сначала выбирается дерево графа эквивалентной схемы. Контуры образуются присоединением хорд к дереву графа. Только в этом случае матрицы контуров и сечений могут быть представлены в виде, при- веденном в табл. 1. Переменные составляемой системы уравнений выбираются из напря- жений и/или токов компонент в результате анализа основной системы уравнений. При этом учитываются параметры компонентных уравнений и особенности топологических матриц, присущие конкретной цепи или классу цепей. В конечном счете, из основной сис- темы уравнений выделяются система уравнений, соответствующая выбранным перемен- ным, и система уравнений связи, с помощью которых вычисляются все напряжения и токи компонент. Преобразованная таким образом основная система уравнений рассматривается как математическая модель электрической цепи. В качестве основных уравнений строительной механики применяются уравнения равновесия, связывающие внутренние усилия на концах узлов, и внешние силы, прило- женные к узлам. Суть уравнений равновесия заключается в том, что сумма внутренних усилий и внешних сил в узле равна нулю, т.е. уравнения равновесия идентичны первому закону Кирхгофа электротехники. В качестве переменных составленных уравнений выступают узловые перемещения, отсчитываемые от базового узла. Для описания топологии расчетной схемы применяется матрица инциденций. Простой алгоритм форма- лизованного составления уравнений схемы и слабозаполненная матрица СЛАУ, описы- вающая схему, являются отличительной особенностью данного метода. В качестве недостатка метода следует отметить неустойчивое решение плохо обусловленной системы уравнений. Таким образом, из вышерассмотренного следует, что в случае применения метода корректной формулировки математической модели расчетная схема стержневой системы должна быть представлена в виде графа. Для этого необходимо разработать эквивалентные схемы замещения элементов стержневой системы, состоящие из двухполюсных компонент. При этом математическое описание двухполюсных компонент должно устанавливать связь между внутренним усилием, приложенным к компоненте, и перемещением компоненты. Кроме того, должен быть определен тип компоненты. Только после этого можно разработать методику корректной формулировки математической стержневой системы. 3. Эквивалентные схемы замещения элементов стержневой системы Как следует из литературы [3, 4, 10], расчетная схема состоит из следующих условных элементов: опор, стержней, связей, а также условно представленных нагрузок и других воздействий. Обычно при описании элементов используется локальная система координат, в то время как при составлении математической модели расчетной схемы применяется глобальная. В дальнейшем будут рассматриваться только двумерные элементы, математи- ческие модели которых разработаны с применением метода конечных элементов. ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2 85 В случае представления расчетной схемы стержневой системы в виде графа, прежде всего, необходимо иметь математическую модель элемента в том виде, для которого мож- но предложить эквивалентную схему замещения. Это достигается преобразованием мате- матической модели. Суть преобразования заключается в том, чтобы перейти от перемен- ных, которые характеризуют поведение элемента на полюсах, к переменным, характеризи- рующим поведение элемента между полюсами. На заключительном этапе уравнениям, описывающим поведение элемента, ставится в соответствие граф, состоящий из двухпо- люсных компонент, функциональные зависимости которых отображают связь между пе- ременными, приложенными к компонентам, и функциями, описывающими поведение компонент. Введем определения и понятия, характеризирующие компонентные уравнения двухполюсников, которые будут использоваться при построении эквивалентных схем эле- ментов и метода корректной формулировки математической модели стержневой системы. В общем случае линейное компонентное уравнение двухполюсника можно предста- вить как 0 11 =++++ ∑∑ ≠=≠= constfKuKuGfG m i,kk kf n i,jj juiuif kjii , (1) где if – внутреннее усилие, приложенное к i -ой компоненте, iu – перемещение i -ой ком- поненты, ju – перемещение j -ой компоненты, kf – внутреннее усилие, приложенное к k -ой компоненте, ifG , iuG , juK , kfK , const – параметры компонентного уравнения. Если уравнение (1) разрешимо относительно внутреннего усилия if , т.е. ∑∑ ≠=≠= +++= m i,kk kk n i,jj jjiii fKuKuGconstf 11 , (2а) то такая компонента считается перемещениеуправляемой, а iG – собственной жесткостью. В случае, если 0=kK , то компонента считается зависимой от перемещения других компо- нент, иначе, если и 0j =K , независимой. Если в уравнении (2а) 0= iuG , т.е. уравнение имеет вид ∑∑ ≠=≠= ++= m i,kk kk n i,jj jji fKuKconstf 11 , (2б) то такая компонента считается (в случае, если 0=jK и 0=kK , то независимым иначе за- висимым) источником внутреннего усилия. Как следует из уравнения (2б), перемещение, приложенное к компоненте, определяется внешними условиями. Когда уравнение (1) раз- решимо относительно перемещения iu , приложенного к компоненте, и 0= if G , т.е. ∑∑ ≠=≠= ++= m i,kk kk n i,jj jji fKuKconstu 11 , (2в) то такую компоненту будем считать (если 0=jK и 0=kK , то независимым иначе зависи- мым) источником перемещения (смещения). Для источника перемещений внутреннее уси- лие, приложенное к компоненте, определяется внешними условиями. 86 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2 ≡ смещениеu − uU = ≡ yилиxiгдеFi = ≡ xF yF а б в Рис. 1. Основные виды опор в глобальной системе координат и их эквива- лентные схемы: а) неподвижная опора; б) неподвижная опора со смещением; в) подвижная опора по направлению координатной оси x или y с приложенной внешней силой xF или yF y xf y′ x′ xf ′ xϕ yfyu′ xu yu xu yf yf yU xu xF yu yu yF xf xf xU а а б в Рис. 2. Внешние воздействия: а) приложенные к опоре в локальной сис- теме координат; б) эквивалентные схемы замещения воздействий в глобальной системе координат 3.1. Эквивалентные схемы опор и внешних воздействий Опорами называют связи, соединяющие конструкцию с основанием. Основание является базовым узлом, от которого ведется отсчет узловых перемещений. Базовый узел есть об- щий для глобальной системы координат. На рис. 1 приведены основные виды опор и внешних воздействий, описание которых задано в глобальной системе координат. Опора может быть как неподвижной (рис. 1а, 1б), так и подвижной по одной из координатных осей (рис. 1в). К неподвижной опоре может быть приложено внешнее воздействие в виде смещения (рис. 1б) по одной из координатных осей, а подвиж- ной – внешнее усилие (рис. 1в). В эквива- лентной схеме смещение пред- ставлено неза- висимым ис- точником сме- щения U , а внешнее усилие – независимым источником внешней силы F . На рис. 2 приведена опора, на которую действуют в локаль- ной системе коор- динат смещение yu′ по неподвижному направлению (ось y′ ) и внешняя сила xf ′ по подвижному (ось x′ ), а также соответствующие ей эквивалентные схе- мы замещения в глобальной системе координат. На рис. 2а параметр ϕ – уг- ловое смещение между глобальной и локальной системами координат. Узловое смещение и внешняя сила, приложенные к опоре в глобальной системе координат, определяются из уравнений связи [10] , , yxx yxy mflff lumuu += +−= ′ ′ (3) где xu – узловое перемещение по оси x , yu – узловое перемещение по оси y , xf – внеш- няя сила, приложенная к опоре по оси x , а yf – внешняя сила по оси y , параметры l и m вычисляются по формулам )sin(),cos( ϕϕ == ml . (4) ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2 87 xiu xju i j yiu yju yiu xiu xju yju ϕ xif xjf yif yjf yjf xif yif xjf iθ jθ L EIA ,, y x jM iM Рис. 3. Условное обозначение стержня с же- сткими соединениями с указанием парамет- ров стержня и воздействий, действующих на стержень, в разных системах координат Как следует из уравнения (3), можно предложить два варианта построения эквива- лентной схемы замещения опоры. В первом случае в качестве независимых переменных выбираются перемещение xu и внешняя сила yf , т.е. yxy u l u l m u ′+= 1 , (5а) xyx f l f l m f ′+−= 1 . (5б) Уравнения (5а) и (5б) следует рассматривать как уравнения, описывающие поведе- ние двухполюсных компонент. Как следует из определения типов компонент, уравнение (5а) есть компонентное уравнение источника смещения yU (рис. 2б) (ось y ), зависимого от перемещения xu , приложенного к источнику внутреннего усилия, а уравнение (5б) есть компонентное уравнение источника внешней силы xF (рис. 2б) (ось x ), зависимого от внутреннего усилия yf источника смещения. Во втором случае в качестве независимых переменных выбираются перемещение yu и внешняя сила xf . В этом случае компонентные уравнения имеют следующий вид: yyx u m u m l u ′−= 1 , (6а) xxy f m f m l f ′+−= 1 . (6б) Компонентное уравнение (6а) описывает источник смещения xU (рис. 2в) (ось x ), зависимый от перемещения yu компоненты yF (ось y ), а компонентное уравнение (6б) есть описание источника внешней силы yF (рис. 2в) (ось y ), зависимого от внутреннего усилия xf компоненты xU . 3.2. Эквивалентная схема замещения стержня С точки зрения характера взаимного соеди- нения элементов различают сооружения: 1) с шарнирными соединениями; 2) с жесткими соединениями; 3) комбинированные. В рас- четных схемах плоских стержневих систем шарнир рассматривается как устройство, до- пускающее только взаимный поворот двух стержней около оси, перпендикулярной пло- скости системы и проходящей через центр шарнира. Силы трения в шарнире обычно считаются равными нулю. В связи с тем, что параметры математического описания стержня, применяемого в расчетах стержне- вых систем методом конечных элементов, известны в локальной системе координат [4, 10], поэтому ниже будут приведены уравнения связи математического описания в локаль- ной и глобальной системах координат [10]. 88 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2 3.2.1. Связь математического описания стержня в локальной и глобальной системах координат На рис. 3 приведена расчетная схема стержня с жесткими соединениями с указанием пара- метров стержня и воздействий, действующих на стержень в локальной и глобальной сис- темах координат, где i , j – узлы, L – длина, A – поперечное сечение, I – момент инер- ции площади поперечного сечения, E – модуль упругости стержня, u , u – узловые пере- мещения концов стержня, f , f – внутренние усилия, действующие на концах стержня, в локальной и глобальной системах координат, iθ , jθ – углы изгиба узлов стержня, iM , jM – крутящие моменты узлов стержня. Расчетные схемы стержня с комбинированными и шарнирными соединениями отличаются от приведенной только тем, что на одном или обоих концах отсутствуют изгиб узла стержня и крутящий момент. Связь внутренних усилий, действующих на концах стержня, с узловыми перемеще- ниями концов стержня в локальной системе координат описывается формулой ukf = , (7) где t jyxiyx jjii uuuuu θθ= , t MM jyxiyx jjii fffff = (8) есть векторы входных и выходных воздействий, действующих на стержень в локальной системе координат, t – обозначает операцию транспонирования, k – матрица жесткости элемента стержня. В свою очередь соотношения, связывающие перемещения узлов и внутренние уси- лия на узлах в локальной и глобальной системах координат, в матричной форме будут вы- глядеть следующим образом: ,Tuu = (9) ,Tff = (10) где T – матрица направляющих косинусов для i , j узлов, а t jyxiyx jjii uuuuu θθ= , t MM j jyxiyx fffff jii = (11) векторы входных и выходных воздействий, действующих на стержень в глобальной сис- теме координат. Учитывая тот факт, что обратная матрица направляющих косинусов 1−T совпадает с транспонированной матрицей, т.е. tTT =−1 , (12) формула (7) в глобальной системе координат приобретает следующий вид: TukTf t= . (13) Выражение TkTk t= (14) связывает матрицу жесткости стержня k в глобальной системе координат с матрицей же- сткости k в локальной системе координат. ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2 89 3.2.2. Эквивалентная схема замещения стержня с жесткими соединениями Рассмотрим построение эквивалентной схемы замещения стержня с жесткими соедине- ниями (рис. 3). Как следует из литературы [9, 10], матрица жесткости в локальной системе координат имеет вид L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA L EA L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA L EA k 46 0 26 0 612 0 612 0 0000 26 0 46 0 612 0 612 0 0000 22 2323 22 2323 − −−− − − − − = , (15) а матрица направляющих косинусов T для i , j узлов соответственно 100000 0000 0000 000100 0000 0000 lm ml lm ml T − − = . (16) Учитывая уравнения (7–16), матрицу жесткости стержня k в глобальной системе координат можно представить следующим образом: L EI l L EI m L EI L EI l L EI m L EI l L EI l L EI m L EA lm L EI lm L EA l L EI l L EI m L EA lm L EI lm L EA m L EI lm L EI lm L EA m L EI l L EA m L EI lm L EI lm L EA m L EI l L EA L EI l L EI m L EI L EI l L EI m L EI l L EI l L EI m L EA lm L EI lm L EA l L EI l L EI m L EA lm L EI lm L EA m L EI lm L EI lm L EA m L EI l L EA m L EI lm L EI lm L EA m L EI l L EA k 466266 6121261212 6121261212 266466 6121261212 6121261212 2222 2 2 3 2 32 2 3 2 3 23 2 3 2 23 2 3 2 2222 2 2 3 2 32 2 3 2 3 23 2 3 2 23 2 3 2 −− −+−−−−+− −++−−− −− −−+−+− −+−−−−−+ = . (17) Из анализа системы уравнений (13) и матрицы жесткости (17) следует, что внутрен- ние усилия, действующие на узлах стержня, с учетом указанных направлений, совпадают, но имеют разные направления. В качестве внутренних усилий jixf , jiyf , приложенных к стержню, выбираются усилия jxf , j fy , приложенные к j узлу стержня, а перемещения, приложенные к узлу j , определяются через внутренние перемещения jixu , jiyu компоненты и перемещения узла i , угловой сдвиг, приложенный к узлу j , – через угловой сдвиг iθ уз- 90 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2 ла i и угловой сдвиг jiθ компоненты. Это означает, что перемещения и угловой сдвиг узла j можно представить как . , , jiij yyy xxx θθθ uuu uuu jiij jiij += += += (18) Тогда, с учетом (11), (17) и (18), система уравнений (13) преобразуется к виду ji y x i ji y x i ji ji ji j u u L EI l L EI m L EI L EI l L EI l L EI m L EA lm L EI lm L EA l L EI m L EI lm L EI lm L EA m L EI l L EA m L EI L EI l L EI m L EI L EI f f θ θ 4666 6121212 6121212 2666 M M 22 2 2 3 2 32 23 2 3 2 2 22 i − −+−− −+ − = . (19) Нетрудно убедиться, что системе уравнений (19) будет соответствовать эквивалент- ная схема замещения, приведенная на рис. 4. Функцинальные зависимости компонент, приведенных на рис. 4, имеют следующий вид: jixixyyxxxx jiijijiji KKuKuGf θθ θθ +++= , (20) где . 6 , 12 , 12 , 12 223 2 3 2 l L EI Kl L EI Klm L EI lm L EA Km L EI l L EA G xxyxx jii ==−=+= θθ jiyiyxxyyyy jiijijiji KKuKuGf θθ θθ +++= , (21) где . 6 , 12 , 12 , 12 223 2 3 2 l L EI Kl L EI Klm L EI lm L EA Kl L EI m L EA G yyxyy jii −=−=−=+= θθ jiyyxxii ijijiijiii KuKuKG θθ θθθθθ +++=M , (22) где . 2 , 6 , 6 , 6 22 L EI Kl L EI Km L EA K L EA G ijiiii yx =−=== θθθθθ ijiyjixjiji jiijijiji KuKuKG θθ θθθθθ +++=M , (23) где . 6 , 6 , 6 , 4 22 L EI Kl L EI Km L EI K L EI G jiijijiji yx =−=== θθθθθ Как следует из уравнений (20–23), компоненты (20), (21) относятся к типу переме- щениеуправляемых, а (22), (23) – углоуправляемых. Все компоненты зависимы от переме- щений и угловых сдвигов других компонент. 4. Метод корректной формулировки математической модели стержневой системы Прежде всего, следует отметить, что в случае представления расчетной схемы стержневой системы в виде графа для записи уравнений равновесия в матричном виде можно приме- нять не только матрицу инциденций, но и сечений. Кроме того, основная система уравне- ний стержневой системы (уравнения равновесия) дополняется системой уравнений, со- ставленной на основе применения закона, аналогичного второму закону Кирхгофа в тео- ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2 91 iii yy uK ,θ0 xi xjjixf jixx uG , yj yi jiyy uG , ii G θθ , iM jiyf θi θjjiM jiji G θθ , jiji yy uK ,θ jiyyx uK , jixxy uK , ixi K θθ , jii xx uK ,θ iyi K θθ , jiji xx uK ,θ jiyji K θθ , jixji K θθ , jiiji K θθθ , ijii K θθθ , Рис. 4. Эквивалентная схема замещения стержня с жесткими соединениями рии электрических цепей. Суть второго закона Кирхгофа применительно к строительной механике заключается в том, что сумма всех перемещений (угловых сдвигов) компонент в контуре равняется нулю. Для представления коэффициентов уравнений перемещений (уг- ловых сдвигов), записанных по этому закону, применяется топологическая матрица конту- ров. Механизм разработки корректной формулировки математической модели стержневой системы тот же, что и в случае электрической цепи [6, 8], поэтому ниже бу- дут приведены только этапы составления мо- дели. Вначале составляется эквивалентная схема замещения элементов стержневой сис- темы, определяются компонентные уравне- ния двухполюсников, и затем строится граф эквивалентной схемы замещения стержневой системы. Предполагается, что эквивалентная схема системы содержит двухполюсные компоненты следующего типа: независимые или зависимые от перемещений других ком- понент источники перемещения, независимые или зависимые от усилий, приложенных к источникам перемещений, источники усилий и перемещениеуправляемые, углоуправляе- мые компоненты, зависимые от перемещений и угловых сдвигов других компонент. Со- ставление топологической матрицы контуров включает выбор дерева графа эквивалентной схемы системы и составление контуров для выбранного дерева. Дерево графа эквивалент- ной схемы системы выбирается таким образом, чтобы все независимые и зависимые ис- точники смещения включались в дерево, а все независимые и зависимые источники уси- лий – в хорды. Как следует из [6, 8], в случае выбора в качестве переменных перемещений компонент, входящих в дерево, корректная формулировка учитывается следующим обра- зом: в дерево включаются компоненты, имеющие максимальную собственную жесткость, т.е. в контуре, образованном присоединением хорды к дереву, компоненты дерева имеют собственные жесткости по величине больше, чем жесткость присоединяемой компоненты хорды. Эта задача имеет решение только для предложенного варианта составления топо- логической матрицы контуров. Перемещения u , угловые сдвиги θ , усилия f , крутящие моменты M узлов компо- нент и компонентные уравнения эквивалентной схемы системы группируются в элементы, содержащие компоненты, которые входят в дерево, т.е. ветви, и содержащие компоненты, не входящие в дерево, - хорды. Таким образом, , Х Д Х Д , φ φ φ ν ν ν == Х Д ϕ ϕ ϕ = , (24) где ν – вектор перемещений и угловых сдвигов компонент, φ – вектор усилий и крутящих моментов узлов, приложенных к компонентам, ϕ – вектор компонентных уравнений. Так как контуры образуются присоединением хорд к дереву графа системы, то то- пологическая матрица контуров имеет вид tFB 1= , где 1 – единичная подматрица хорд, а топологическая матрица сечений – вид FQ −= 1 , где 1 – единичная подматрица ветвей. Основную систему уравнений в матричном виде можно записать следующим образом: 92 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2 ,F ДХ νν t−= (25) ХД Fφφ = . (26) Элементы ветвей и хорд векторов перемещений и усилий, приложенных к компо- нентам, и компонентных уравнений (24) группируются в соответствии с типом компонент эквивалентной схемы стержневой системы. В компонентных уравнениях в качестве аргу- ментов указываются только управляемость и зависимость компонент, так как только они необходимы при анализе основной системы уравнений. С учетом предложенных преобра- зований, система уравнений (25) принимает следующий вид: θ G u θX Gu Guuuu θθ GGuGG M u θ G Д Д U U t Дθ t FД t FU t FuU t ДF t UF t UF t ДX t ДX t UX t UX X F F X X θ u u u F FFF FFF F FFF θ u u θ u 000 0 0 000 0 −= , (27) а (26) – M f θ G Mθθθ GfGGG ufuGu fG θ GД u X X X XДXД FДFДXД FUFUXU FUUFXU Д U U f f M f FF FFF FFF FFF = f f f M 000 00 00 00 M F F . (28) Компонентные уравнения будут записаны в следующем виде: const,uU = (29а) (u),u ff UU ϕ= (29б) )(u,θf GG ДД ϕ= , ),M (u,θ θθ ДД ϕ= (29в) ),,( GG XX θϕ uf = ),M (u,θ θθ XX ϕ= (29г) ),(FF uff Uff ϕ= (29д) constf =F , constM MX = , (29е) где индекс U указывает, что данный элемент вектора относится к независимым источни- кам перемещения, uf U – к зависимым источникам перемещения от перемещения источни- ков усилия, GД – к перемещениеуправляемым компонентам, входящим в дерево, θД – к углоуправляемым компонентам, входящим в дерево, GХ – к перемещениеуправляемым компонентам, входящим в хорды, θХ – к углоуправляемым, входящим в хорды, fF – к за- висимым источникам усилия от усилий источников перемещения, F – к независимым ис- точникам усилия, MX – к независимым источникам крутящих моментов. В результате анализа основной системы уравнений (27–29) переменные составляе- мой системы уравнений выбираются из перемещений компонент, входящих в дерево гра- фа. При этом предполагается, что зависимые источники перемещения (29б) и зависимые источники усилий (29д) не образуют циклов. ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2 93 1 2 1P 2P 3 xxxx GGGG 1231 , >>= x G2 x G1 0 1 2 11 PF = 22 PF = x G3 1U 2U 3U 1f 2f 3f а б Рис. 5. Пример стержневой конструкции (плохая обусловленность СЛАУ): а) расчетная схема; б) эквивалентная схема замещения системы В конечном счете из основной системы уравнений выделяются система уравнений, соответствующая выбранным переменным 0 000 00 = M f θ G Mθθθ GfGGG θ G X F F X X XДXД FДFДXД Д Д M f f M f FF FFF - M f , (30) и системы уравнений связи (27–28), с помощью которых вычисляются все перемещения и усилия компонент. Преобразованная таким образом основная система уравнений рассмат- ривается как математическая модель стержневой системы. Порядок СЛАУ n определяется следующим образом: , uUUД nnnn −−= (31) где Дn – количество ветвей, входящих в дерево графа, Un – количество независимых и uUn – зависимых источников перемещения. 5. Демонстрационный пример Приведем простой пример расчета стержневой системы (рис. 5а) [5]. Математическая мо- дель описывается плохо обусловленной СЛАУ. Там же рассмотрен метод решения этой задачи. На рис. 5б приведена эквивалентная схема замещения расчетной схемы стержневой системы (рис. 5а), в которой учтено, что o 0=ϕ и соответственно 0,1 == ml для всех эле- ментов стержневой системы. Там же приведены нумерация узлов, обозначения двухпо- люсников и соотношение параметров собственных жесткостей компонент эквивалентной схемы. В соответствии с предложенными рекомендациями выбраны следующие ветви в дереве: 21,UU . Для выбранного дерева топологическая матрица контуров B имеет сле- дующий вид: 11100 01010 11001 213 21 −− = UUUUU B FF . (32) 94 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2 Как следует из (31), порядок СЛАУ равен 202 =−=−= UД nnn . Систему уравне- ний, соответствующую выбранным переменным, можно записать как 0 101 111 2 1 3 2 1 = − − F F f f f . (33) Учитывая компонентные уравнения двухполюсников, СЛАУ (33) нетрудно преоб- разовать к следующему виду: .)( )( 223213 2123131 PuGGuG PPuGuGG =++− +=−+ (34) Проведем анализ полученной системы уравнений на устойчивость решения, ис- пользуя подход, предложенный в [5]. Суть данного подхода заключается в следующем. Система уравнений (34) рассматривается в прямоугольной системе координат 1u , 2u как уравнение прямой gtguu += α12 , где α -угол между прямой и положительным напряжени- ем оси 1u , g – отрезок, отсекаемый прямой на оси 2u . Принято считать, что если 21 αα = , то прямые параллельны, и решение системы не существует, т.е. она является вырожден- ной. Если 1α и 2α различаются мало, то система близка к вырожденной и имеет неустой- чивое решение, так как незначительные изменения углов 1α и 2α сильно скажутся на ко- ординатах точки пересечения прямых. В противном случае система имеет устойчивое ре- шение. Применительно к (34) имеем следующие уравнения прямых: . )()( , )( 32 2 1 32 3 2 2 21 1 3 31 2 GG P u GG G u G PP u G GG u + + + = +−+= (35) Решение (35) представляет собой координаты точки пересечения этих прямых. При этом 2 )( 3 31 1 =+= G GG tgα , 0 )( 32 3 2 ≈ + = GG G tgα , (36) откуда o631 ≈α и o02 ≈α . Это означает, что система (34) имеет устойчивое решение. Для сравнения приведем решение этой же задачи в базисе узловых перемещений 10u , 20u . Система уравнений, описывающая расчетную схему, имеет следующий вид [5]: ,)( )( 22032102 12021021 PuGGuG PuGuGG =++− =−+ (37) откуда 1 )( 2 21 1 ≈+= G GG tgα , 45°1 ≈α , 1 )( 32 2 2 ≈ + = GG G tgα , 45°2 ≈α . В данном случае 21 αα ≈ означает, что СЛАУ (37) есть близкая к вырожденной и имеет неустойчивое решение. Таким образом, на данном примере показано, что соответст- вующим выбором переменных можно получить устойчивое решение плохо обусловленной СЛАУ. ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2 95 6. Выводы Разработан метод корректной формулировки математического описания статического по- ложения равновесия стержневой системы и внутренних сил в ее элементах. В разработан- ном методе топология расчетной схемы стержневой системы представлена в виде графа, в результате чего основные уравнения строительной механики дополнены системой уравне- ний, суть которой заключается в том, что алгебраическая сумма перемещений компонент по контуру равна нулю. Для описания основных уравнений в матричном виде применяют- ся топологические матрицы контуров и сечений. При отображении расчетной схемы стержневой системы в виде графа применяются эквивалентные схемы замещения элементов стержневых систем. Предложены эквивалент- ные схемы элементов стержневой системы, состоящие из двухполюсных компонент, функциональные зависимости которых описывают связь между перемещением и внутрен- ним усилием, приложенным к компоненте. Предложенный метод отличается от существующих тем, что с целью получения ус- тойчивого решения математической модели расчетной схемы на этапе составления мате- матической модели учитываются особенности параметров объектов и топология конкрет- ной расчетной схемы следующим образом: • выбором в качестве переменных СЛАУ, описывающих эквивалентную схему стержневой системы, перемещений компонент ветвей дерева графа системы, а не как при- нято, узловых перемещений; • учетом параметров функциональных зависимостей компонент эквивалентной схе- мы стержневой системы при выборе дерева топологической матрицы контуров. Приведен пример, подтверждающий эффективность разработанного метода состав- ления математической модели стержневой системы. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1.www.ansys.com. 2. www.nastran.com.ua. 3. Ржаныцин А.Р. Строительная механика / Ржаныцин А.Р. – М.: Высшая школа, 1982. – 400 с. 4. Cook Robert D. Finite Element Modeling for Stress Analysis, University of Visconsin / Cook Robert D. – Madison: John Wiley&Sons, Inc. New York, 1995. – 320 p. 5. Розин Л.А. Метод конечных элементов / Л.А. Розин // Соросовский образовательный журнал. – 2000. – Т. 6, № 4. – С. 120 – 127. 6. Волобоев В.П. Об одном подходе к моделированию сложных систем / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. – 2008. – № 4. – С. 111 – 122. 7. Волобоев В.П. Об одном подходе к моделированию нелинейных электрических цепей по частям / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. – 2010. – № 3. – С. 53 – 68. 8. Волобоев В.П. Один способ корректной формулировки математической модели технической (физической) задачи / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. – 2011. – № 4. – С. 95 – 106. 9. Oñate E. Structural Analysis with the Finite Element Method. Linear Statics / Oñate E. – 2009. – Vol. 1: Basis and Solids. – 472 p. 10. http://faculty.ksu.edu.sa/rizwanbutt/Documents/FEM_Lecture_Notes.pdf. Стаття надійшла до редакції 28.04.2012
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-83751
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1028-9763
language	Russian
last_indexed	2025-12-01T10:35:53Z
publishDate	2012
publisher	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
record_format	dspace
spelling	Волобоев, В.П. Клименко, В.П. 2015-06-23T07:38:17Z 2015-06-23T07:38:17Z 2012 Механика стержневых систем и теория графов / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Мат. машини і системи. — 2012. — № 2. — С. 81-95. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83751 624.041 Предложен метод корректной формулировки математической модели стержневой системы. Метод предполагает применение графа для представления расчетной схемы стержневой системы. Предложены эквивалентные схемы замещения объектов, удовлетворяющие требованиям представления топологии объектов в виде графов. Для записи основной системы уравнений строительной механики в матричном виде предложено использовать матрицы контуров и сечений. Сформулирована методика целенаправленного выбора переменных при корректной формулировке математической модели. Приведен пример расчета стержневой системы. Запропоновано метод коректного формулювання математичної моделі стрижневої системи. Метод передбачає застосування графа для представлення розрахункової схеми стрижневої системи. Запропоновано еквівалентні схеми заміщення об'єктів, що задовольняють вимогам представлення топології об'єктів у вигляді графів. Для запису основної системи рівнянь будівельної механіки в матричному вигляді запропоновано використати матриці контурів і перерізів. Сформульовано методику цілеспрямованого вибору перемінних при коректному формулюванні математичної моделі. Наведено приклад розрахунку стрижневої системи. The method of the correct formulation of mathematical model of the framework is offered. The method assumes application of the graph for representation of the design diagram of framework. Equivalent circuits of objects which meet requirements of representation of topology objects in the form of graph are offered. It is offered to use matrixes of circuits and cutsets for record of the basic equations system of structural mechanics in a matrix kind. The technique of a purposeful choice of variables at the correct formulation of mathematical model is formulated. Example of framework calculation is given. ru Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Математичні машини і системи Моделювання і управління Механика стержневых систем и теория графов Механіка стрижневих систем і теорія графів Mechanics of frameworks and the theory of graphs Article published earlier
spellingShingle	Механика стержневых систем и теория графов Волобоев, В.П. Клименко, В.П. Моделювання і управління
title	Механика стержневых систем и теория графов
title_alt	Механіка стрижневих систем і теорія графів Mechanics of frameworks and the theory of graphs
title_full	Механика стержневых систем и теория графов
title_fullStr	Механика стержневых систем и теория графов
title_full_unstemmed	Механика стержневых систем и теория графов
title_short	Механика стержневых систем и теория графов
title_sort	механика стержневых систем и теория графов
topic	Моделювання і управління
topic_facet	Моделювання і управління
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83751
work_keys_str_mv	AT voloboevvp mehanikasteržnevyhsistemiteoriâgrafov AT klimenkovp mehanikasteržnevyhsistemiteoriâgrafov AT voloboevvp mehaníkastrižnevihsistemíteoríâgrafív AT klimenkovp mehaníkastrižnevihsistemíteoríâgrafív AT voloboevvp mechanicsofframeworksandthetheoryofgraphs AT klimenkovp mechanicsofframeworksandthetheoryofgraphs

Механика стержневых систем и теория графов

Репозитарії

Схожі ресурси