Выбор весовых функций в методе Петрова-Галеркина для интегрирования двумерных нелинейных уравнений типа Бюргерса
Предложена модификация метода Петрова-Галеркина для численного решения нестационарных двумерных уравнений с нелинейными конвективными членами типа Бюргерса, основанная на использовании весовых функций, изменяющихся во времени в зависимости от получаемого эволюционирующего решения. Эффективность пред...
Saved in:
| Published in: | Математичні машини і системи |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83765 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Выбор весовых функций в методе Петрова-Галеркина для интегрирования двумерных нелинейных уравнений типа Бюргерса / А.А. Молчанов, С.В. Сирик, Н.Н. Сальников // Мат. машини і системи. — 2012. — № 2. — С. 136-144. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859738389589262336 |
|---|---|
| author | Молчанов, А.А. Сирик, С.В. Сальников, Н.Н. |
| author_facet | Молчанов, А.А. Сирик, С.В. Сальников, Н.Н. |
| citation_txt | Выбор весовых функций в методе Петрова-Галеркина для интегрирования двумерных нелинейных уравнений типа Бюргерса / А.А. Молчанов, С.В. Сирик, Н.Н. Сальников // Мат. машини і системи. — 2012. — № 2. — С. 136-144. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичні машини і системи |
| description | Предложена модификация метода Петрова-Галеркина для численного решения нестационарных двумерных уравнений с нелинейными конвективными членами типа Бюргерса, основанная на использовании весовых функций, изменяющихся во времени в зависимости от получаемого эволюционирующего решения. Эффективность предложенной модификации для задач с преобладанием конвективных процессов над диффузионными подтверждается расчетами.
Запропонована модифікація методу Петрова-Гальоркіна для чисельного розв'язання нестаціонарних двовимірних рівнянь з нелінійними конвективними членами типу Бюргерса, заснована на використанні вагових функцій, які змінюються у часі в залежності від виду еволюціонуючого розв'язку. Ефективність запропонованої модифікації для задач з домінуванням конвективних процесів над дифузійними підтверджується розрахунками.
Modification of Petrov-Galerkin method for solving transient 2D problems with nonlinear convective terms of Burgers' type based on the weight functions changing in time depending on the evolutional solution is proposed. The test calculations confirm efficiency of the method proposed for convection-dominated problems
|
| first_indexed | 2025-12-01T16:16:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
136 © Молчанов А.А., Сирик С.В., Сальников Н.Н., 2012
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2
УДК 519.6
А.А. МОЛЧАНОВ, С.В. СИРИК, Н.Н. САЛЬНИКОВ
ВЫБОР ВЕСОВЫХ ФУНКЦИЙ В МЕТОДЕ ПЕТРОВА-ГАЛЕРКИНА ДЛЯ ИНТЕГ-
РИРОВАНИЯ ДВУМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА БЮРГЕРСА
Анотація. Запропонована модифікація методу Петрова-Гальоркіна для чисельного розв'язання
нестаціонарних двовимірних рівнянь з нелінійними конвективними членами типу Бюргерса, засно-
вана на використанні вагових функцій, які змінюються у часі в залежності від виду еволюціоную-
чого розв'язку. Ефективність запропонованої модифікації для задач з домінуванням конвективних
процесів над дифузійними підтверджується розрахунками.
Ключові слова: метод Петрова-Гальоркіна, адаптивні вагові функції, домінуюча конвекція, рів-
няння Бюргерса.
Аннотация. Предложена модификация метода Петрова-Галеркина для численного решения не-
стационарных двумерных уравнений с нелинейными конвективными членами типа Бюргерса, осно-
ванная на использовании весовых функций, изменяющихся во времени в зависимости от получаемо-
го эволюционирующего решения. Эффективность предложенной модификации для задач с преоб-
ладанием конвективных процессов над диффузионными подтверждается расчетами.
Ключевые слова: метод Петрова-Галеркина, адаптивные весовые функции, доминирующая кон-
векция, уравнение Бюргерса.
Abstract. Modification of Petrov-Galerkin method for solving transient 2D problems with nonlinear con-
vective terms of Burgers' type based on the weight functions changing in time depending on the evolu-
tional solution is proposed. The test calculations confirm efficiency of the method proposed for convec-
tion-dominated problems.
Keywords: Petrov-Galerkin method, adaptive weight functions, convection-dominated problems, Burgers'
equation.
1. Введение
Одной из особенностей уравнений задач гидро- и газодинамики, магнитной гидродинами-
ки [1, 2] является наличие у них негладких (разрывных) решений, соответствующих удар-
ным волнам [3]. Большинство подобных задач в силу их нелинейности даже в простейших
случаях невозможно (или же нецелесообразно) решать аналитически, поэтому их решения
получают численно.
Важными с практической точки зрения, но особенно сложными для расчетов, счи-
таются нестационарные задачи с доминирующими конвективными членами и малыми па-
раметрами возле старших производных, так называемые сингулярные (сингулярно возму-
щенные) задачи [3, 4], связанные с быстротекущими процессами (например, движениями
со сверхзвуковой скоростью в аэродинамике). Решения этих задач могут скачкообразно
меняться в процессе эволюции и формировать тонкие переходные и пограничные слои [4,
5], характеризуемые большими значениями производных. Это не позволяет получать дан-
ные решения многими классическими численными методами, которые в данном случае
дают неустойчивые или же осциллирующие и не соответствующие физической сути реше-
ния [6]. Поэтому для решения подобных задач используются различные приемы стабили-
зации и так называемые стабилизированные методы [4–7].
Наличие в уравнениях диссипативных членов сглаживает решение [3, 5]. Поэтому
одним из подходов к стабилизации является введение искусственной диффузии в числен-
ную схему [3, 5, 6]. Это позволяет "размазать" разрыв или скачок решения на несколько
элементов сетки и таким образом использовать обычные численные схемы для получения
гладких решений. Но указанное преимущество этого подхода в то же время является и его
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2 137
недостатком, поскольку в этом случае получаем решение модифицированной "сглажен-
ной" задачи, а не исходной.
Искусственную диффузию целесообразно вводить лишь в окрестностях фронтов
ударных волн, однако это дополнительно порождает непростую задачу отслеживания по-
зиции фронта волны [3]. Кроме того, данный подход плохо себя зарекомендовал при ре-
шении многомерных задач [7]. Это связано с тем, что диффузию целесообразно вводить
лишь вдоль направления потока, иначе пространственный вид решения может быть иска-
жен и, следовательно, решение будет некорректным [7, 8]. Этим недостатком обладает
большинство классических численных схем, использующих введение искусственной дис-
сипации, так как при этом вносится диффузия поперек потока (crosswind diffusion).
Другим подходом к стабилизации является использование для производных ап-
проксимаций против потока (upwind/upstream difference) в конвективных слагаемых [5, 6].
Однако подобные методы имеют, как правило, лишь первый порядок аппроксимации и
вносят в схему чрезмерную диссипацию [7, 8]. Поэтому данный подход к стабилизации
также обладает перечисленными выше недостатками.
Одним из наиболее совершенных подходов к построению и стабилизации числен-
ных схем является подход Петрова-Галеркина в форме метода конечных элементов (МКЭ)
[6, 7]. При этом приближенное решение ищется в виде элемента некоторого конечномер-
ного пространства (являющегося линейной оболочкой совокупности так называемых ба-
зисных функций с финитным носителем), а коэффициенты разложения определяются из
условия ортогональности невязки другому конечномерному пространству (пространству,
образованному совокупностью так называемых весовых функций). Для одной одномерной
линейной стационарной задачи конвекции-диффузии были найдены такие весовые функ-
ции, при которых численное и аналитическое решения совпали в узлах сетки [9, 7]. Однако
для нелинейных задач с преобладающей конвекцией численные решения, получаемые да-
же с помощью метода Петрова-Галеркина, могут содержать неприемлемые осцилляции
нефизического характера [6, 10]. В работе [10] была предложена версия метода Петрова-
Галеркина для интегрирования одномерного уравнения Бюргерса, основанная на исполь-
зовании весовых функций, вид которых изменялся в зависимости от характера эволюцио-
нирующего решения. Это позволяло избежать появления неустойчивостей и осцилляций в
решении, сохраняя при этом необходимую крутизну фронта в ударных волнах. В данной
статье результаты работы [10] обобщены на случай нелинейного скалярного уравнения
конвективно-диффузионного типа, зависящего от нескольких пространственных перемен-
ных.
2. Постановка задачи
Рассмотрим особенности численного расчета нелинейных конвективно-диффузионных
процессов в двумерных областях на примере уравнения
Ω∈==
∂
∂+
∂
∂κ=
∂
∂λ+
∂
∂λ+
∂
∂
),(),,(, 212
2
2
2
1
2
2
2
1
1 xxxxtuu
x
u
x
u
x
u
u
x
u
u
t
u
, (1)
являющегося прямым обобщением одномерного уравнения Бюргерса [1, 6, 12, 13]. Здесь
Ω – некоторая ограниченная область в двумерном вещественном евклидовом пространст-
ве 2R , 1λ , 2λ и κ – константы, 0>κ , время ];0[ Tt ∈ . Предполагается, что для уравнения
(1) задано начальное условие )(),0( 0 xuxu = , а на границе Ω∂ области Ω выполняется од-
но из стандартных граничных условий [11]. Краткое описание физических задач, приво-
дящих к уравнениям, подобного уравнению (1) вида, дано в [2, 3, 10, 12, 13].
138 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2
Рис. 1. Базисная функция jN
Целью настоящей работы является разработка версии конечноэлементного метода
Петрова-Галеркина, который бы позволял получать свободные от нефизических осцилля-
ций и приемлемые по точности решения краевых задач для уравнения (1).
3. Построение численного решения
Предположим, что область Ω (черта над множеством обозначает его замыкание в 2R )
триангулирована [14], т.е. разбита на конечную совокупность треугольных элементов (тре-
угольников) kΩ : U
k
kΩ=Ω , ∅=ΩI
k
kint ( kΩint – множество внутренних точек kΩ ).
Будем предполагать, что границей пересечения двух соседних треугольников может быть
только смежное ребро этих треугольников целиком. Каждый элемент однозначно опреде-
ляется своими вершинами (узлами сетки). Триангуляцию области можно осуществить, ис-
пользуя один из алгоритмов [15]. Считаем, что в результате триангуляции области получа-
ется N узлов, которые будем нумеровать натуральными числами от 1 до N .
Будем искать приближенное слабое решение [5, 16] уравнения (1) в виде
∑
=
=
N
j
jj xNtaxtu
1
)()(),(~ , (2)
где )}({ xN j – набор заданных непрерывных кусочно-линейных базисных функций,
)}({ ta j – подлежащие определению неизвест-
ные коэффициенты. Каждая функция )(xN j ,
Nj K1= отлична от нуля только на элементах,
имеющих узел с номером j своей вершиной,
равна единице в узле j (т.е. 1)( =jj xN , где
Ω∈= ),( 21 jjj xxx ) и равна нулю в остальных
узлах (рис. 1). В этом смысле функция jN и уз-
ловая точка jx находятся во взаимно однознач-
ном соответствии.
В соответствии с процедурой метода Галеркина [5, 6, 16] умножим равенство (1) на
весовую функцию )(xWi , соответствующую узлу сетки i , и проинтегрируем по области
Ω . Описание функции )(xWi будет приведено ниже. Подставив выражение (2) в полу-
чившееся тождество, получим для определения коэффициентов )}({ ta j следующую сис-
тему обыкновенных дифференциальных уравнений )1( Ni K= :
,
1 22
1 111 1 2
2
1 1 1
1
1
i
N
j
j
ji
N
j
j
ji
N
j
N
k
kj
k
ji
N
j
N
k
kj
k
ji
N
j
j
ji
fad
x
N
x
W
ad
x
N
x
W
aad
x
N
NW
aad
x
N
NW
dt
da
dNW
⋅κ+
Ω
∂
∂
∂
∂
κ−
−
Ω
∂
∂
∂
∂
κ−
Ω
∂
∂
λ−
−
Ω
∂
∂
λ−=
Ω
∑ ∫∫
∑ ∫∫∑∑ ∫∫
∑∑ ∫∫∑ ∫∫
= Ω
= Ω= = Ω
= = Ω= Ω
(3)
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2 139
где if является слагаемым, полученным после применения ко вторым производным мно-
гомерной формулы интегрирования по частям (или формул Грина для оператора Лапласа)
[5, 6]:
∫∫
Ω∂Ω∂
Γ∇⋅=Γ
∂
∂+
∂
∂= dWund
x
u
n
x
u
nWf iii )(
2
2
1
1
r . (4)
В формуле (4) криволинейный интеграл берется вдоль контура Ω∂ (границы облас-
ти Ω ), который предполагается достаточно гладким [11], ),( 21 nnn =r
– вектор единичной
внешней нормали к области Ω .
Рассмотрим вопрос учета граничных условий в системе (3). Пусть граница Ω∂
представляется в виде eh Ω∂Ω∂=Ω∂ U ( ∅=Ω∂Ω∂ eh I ), и на hΩ∂ задано условие типа
Неймана [11]:
hun =∇⋅r на hΩ∂ , (5)
а на eΩ∂ – условие типа Дирихле [11]:
gu = на eΩ∂ . (6)
Тогда в формуле (4)
∫
Ω∂
Γ⋅=
h
dWhf ii . (7)
При получении равенства (7) предполагалось, что функция )(xWi обращается в
нуль на множестве eΩ∂ . Для аппроксимации граничного условия (6) можно в пробном
решении (2) положить )( jj xga = , если узел ejx Ω∂∈ (при этом соответствующая часть
коэффициентов )}({ ta j становится известной и потому не входит в систему (3) в качестве
неизвестных переменных [10]). Для аппроксимации начального условия )(),0( 0 xuxu =
можно положить )()0( 0 jj xua = или же использовать среднеквадратическую аппроксима-
цию функции )(0 xu по некоторому набору функций (например, по набору базисных функ-
ций jN , как осуществляется в [16]).
В качестве весовых функций iW используем функции, предложенные в [17]. Обо-
значим через )(iΩ многоугольник, образованный объединением тех элементов kΩ , для
которых узел i является одной из вершин. Множество )(iΩ является носителем для функ-
ции )(xNi , а также для функции )(xWi , которая определяется следующим образом [17]:
∑
∈
α+=
iKk
kikiii xWxNxW )()()( ),(, , (8)
где iK – множество номеров узлов k , каждый из которых соединен одним ребром с узлом
i , ki,α – настроечный числовой параметр (параметр изгиба), соответствующий ребру
),( ki . Этот параметр позволяет менять форму функции )(xWi . Формулы для его вычисле-
ния приведены ниже. Носителем функции )(),( xW ki является объединение элементов jΩ и
j′Ω , для которых ребро ),( ki является общим, она непрерывна на Ω и квадратичная на
140 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2
каждом из элементов jΩ и j′Ω . В узлах i и k функция )(),( xW ki равна нулю, в середине
ребра ),( ki принимает значение, равное )75,0(− . Способ построения функции )(),( xW ki
подробно изложен в [17].
Заметим, что при выборе весовой функции )(xWi в виде (8) интегралы от произве-
дений весовых и базисных функций (и их производных), входящие в систему (3), линейно
зависят от параметров ki,α , и потому непосредственно операции интегрирования доста-
точно провести лишь один раз в начале расчета. Например,
∫∫∑∫∫∫∫
Ω∈ΩΩ
Ωα+Ω=Ω dNWdNNdNW jki
Kk
kijiji
i
),(, . Аналогично и для других интегралов,
входящих в систему (3).
Рассмотрим вопрос выбора настроечных параметров }{ ,kiα в формуле (8), опреде-
ляющих величину и направление изгиба весовой функции )(xWi . Заметим, что выбор па-
раметров изгиба является, пожалуй, наиболее важным этапом при построении схемы ин-
тегрирования, так как путем надлежащего выбора параметров можно добиться отсутствия
неустойчивостей и нефизических осцилляций (при сравнительно небольшом количестве
узлов сетки) [18, 19]. В случае, когда все параметры ki,α тождественно равны нулю, из (8)
получаем ii NW = , что соответствует стандартному (классическому) методу Галеркина,
который в задачах с доминирующей конвекцией может давать неустойчивые осцилли-
рующие результаты. Заметим, что в задачах с ненулевой диффузией в ряде случаев имеет-
ся условная устойчивость метода Галеркина, т.е. можно добиться приемлемой устойчиво-
сти путем значительного увеличения количества базисных функций, но при этом резко
возрастает вычислительная сложность задачи. Анализ устойчивости различных вариантов
метода Галеркина для линейных одномерных задач приведен в [6].
Напомним, что метод Петрова-Галеркина отличается от метода Галеркина исполь-
зованием набора весовых функций )}({ xWi , не совпадающего с набором базисных )}({ xNi .
Выбирая весовую функцию с бóльшим весом со стороны набегающего потока в пределах
носителя весовой функции, подобно применению разности против потока, можно добиться
отсутствия нефизических осцилляций в получаемых численных решениях задач с преоб-
ладающей конвекцией [6, 7, 10, 17]. Применение метода Петрова-Галеркина также приво-
дит к появлению в разностных схемах искусственных диффузионных членов, однако их
величину теперь можно гибко регулировать параметрами изгиба [5, 7, 8] (в отличие от
применения стандартных разностей против потока, где вносимая искусственная диффузия
имеет более жесткую фиксированную структуру [5]).
Можно показать [7–9], что при использовании набора одномерных кусочно-
квадратичных весовых функций (подобных функциям (8) и также зависящих от совокуп-
ности параметров изгиба }{ iα ) в методе Петрова-Галеркина для интегрирования одномер-
ного линейного стационарного уравнения конвекции-диффузии
2
2
dx
ud
v
dx
du =λ (при посто-
янных λ и ν ) зависимость
)/(2)2/coth()( hPehPePei ⋅−⋅=α=α
параметров изгиба от числа νλ≡ /Pe [5, 6] обеспечивает совпадение численного решения
с точным решением указанного уравнения в узлах сетки. Особенности построения различ-
ных одномерных весовых функций детально рассмотрены в [10, 17].
Для нестационарных уравнений естественно предположить, что параметры изгиба
должны учитывать особенности развивающегося (эволюционирующего) решения, то есть
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2 141
сами должны зависеть от времени (в противоположном случае решения будут получаться
неустойчивыми, осциллирующими и с большими погрешностями [6]). В статье [10] под-
робно проанализированы недостатки стандартных методов типа Галеркина (и Петрова-
Галеркина [6, 7]) при интегрировании одномерного нестационарного нелинейного уравне-
ния
2
2
x
u
x
u
u
t
u
∂
∂κ=
∂
∂λ+
∂
∂
и отмечена, в частности, их связь с отсутствием учета характера
эволюционирующего во времени решения. В связи с этим в работе [10] параметр изгиба
iα , соответствующий одномерной весовой функции, на 1+n -м шаге интегрирования по-
лучившейся после применения процедуры Галеркина системы обыкновенных дифферен-
циальных уравнений (см. выражение (3)) предложено выбирать в зависимости от решения
соответствующей системы на предыдущем n -м временном шаге.
Но в многомерном случае, в отличие от описанного одномерного, весовая функция
(8) характеризуется уже не одним параметром iα , а целым набором }{ ,kiα , где iKk ∈ . В
связи с этим в данной работе предлагается несколько вариантов выбора параметров изгиба
ki,α (при iKk ∈ ) на 1+n -м шаге интегрирования системы (3).
Вариант 1:
)( ,
)1(
, ki
n
ki γα⋅θ=α + . (9)
Вариант 2:
))(( ,
)1(
, ki
n
ki Fm γα⋅⋅θ=α β
+ , (10)
где функция
>β
≤ββ
=β 1||,sign
1||,
)(
zz
zz
zF , а β – некоторое фиксированное неотрицательное
число. В формулах (9)–(10) функция γ−γ=γα /1)coth()( , 2/)( ,, kiiki hPe ⋅=γ , где
)( ,kii hPe ⋅ – евклидово скалярное произведение вектора ikki xxh −≡, , проведенного из уз-
ла ix в kx , и вектора локального числа Пекле κλλ≡ /))();(( )(
2
)(
1 i
n
i
n
i xuxuPe , характери-
зирующего направление и величину потока в узле ix . В последней формуле
),(~)()(
n
n txuxu ≡ – решение, определяемое выражением (2) на предыдущем n -м времен-
ном шаге интегрирования системы (3). Число |)(|max ,
,
ki
ki
m γα= . Настроечный параметр θ
предоставляет дополнительные возможности в регулировании величины ki,α . Обычно в
приведенных ниже расчетах его значения выбирались из промежутка 15,0 ≤θ≤ . При
0=θ получаем метод Галеркина; увеличение параметра θ приводит к возрастанию абсо-
лютной величины, вносимой в численную схему искусственной диссипации.
Использование скалярного произведения при определении выражений ki,γ приво-
дит к пропорциональной зависимости величины )( ,kiγα от угла между векторами iPe и
kih , . Когда угол между векторами iPe и kih , является тупым, их скалярное произведение
отрицательно, и в случае их противоположной направленности максимально по абсолют-
ной величине. При этом величина )( ,kiγα (и соответственно параметр )1(
,
+α n
ki ) также будет
отрицательной, а весовая функция (8) на ребре ),( ki положительной и выпуклой вверх, что
обеспечивает взвешивание выражений в (3) компонентой )(),( xW ki весовой функции в пре-
делах своего носителя с бóльшим весом со стороны набегающего потока (т.е. в направле-
142 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2
нии, противоположном вектору iPe ). Аналогично, если направления векторов iPe и kih ,
образуют острый угол, )( ,kiγα и )1(
,
+α n
ki будут положительными, а )(),( xW ki на ребре ),( ki
выпуклой вниз, и тогда при взвешивании невязки в (3) влияние выражений системы вдоль
потока будет уменьшено (по сравнению с направлениями, образующими с направлением
потока тупой угол). Когда же векторы iPe и kih , перпендикулярны, то ,0, =γ ki и тогда
0)( ,
)1(
, =γα=α +
ki
n
ki (следовательно, при взвешивании невязки коэффициент )1(
,
+α n
ki не бу-
дет вносить вклад в создание величины диффузии поперек потока).
Параметр β в выражении (10) позволяет регулировать ширину "коридора", в кото-
ром величина )1(
,
+α n
ki линейно зависит от )( ,kiγα . Чем больше значение параметра β , тем
меньшей является эта ширина. В частном случае, положив формально +∞=β в (10), ви-
дим, что выражение для коэффициента изгиба ki,α превращается в выражение
))(sign( ,
)1(
, ki
n
ki m γα⋅⋅θ=α + . (11)
Данный вариант выбора параметров весовых функций был использован в работе [10] при
интегрировании одномерного уравнения Бюргерса. Уменьшение параметра β позволяет
добиться более плавного изменения коэффициентов изгиба (как по величине, так и по зна-
ку), что может понадобиться в процессе расчета при возникновении локальных малых ос-
цилляций в узких переходных слоях (в особенности, когда решение мало по абсолютной
величине, а осцилляции принимают разные по знаку значения).
4. Численное моделирование
Рассмотрим следующую краевую задачу для уравнения (1): пусть область ( ) ( )1;01;0 ×≡Ω
– единичный квадрат, начальное условие 1210 1),( xxxu −= , константы 11 =λ , 22 =λ ,
610−=κ , граничное условие является условием типа Дирихле и получается из начального
условия путем его непрерывного продолжения на границу области Ω . Поскольку диффу-
зионный параметр κ мал (в сравнении с конвективными параметрами 1λ , 2λ и величиной
начального условия ),( 210 xxu ), процесс конвекции в задаче будет доминирующим. На фи-
зическом уровне данная краевая задача описывает процесс нелинейного переноса началь-
ного условия в направлении, задаваемом локально в каждой точке Ω∈x вектором
( ))();( 21 xuxuv λλ=r [1, 12, 13]. Поскольку 12 λ>λ , то в каждой точке области (локальная)
скорость переноса в направлении возрастания координаты 2x будет больше скорости пе-
реноса в направлении возрастания 1x , и потому, в силу необходимости удовлетворения
граничных условий, возле участка 12 =x границы образуется резкий перепад решения
(приграничный слой) [12, 13, 10]. График решения задачи методом Галеркина в момент
времени 4,0=t приведен на рис. 2 (использовано разбиение области 3030× ), график ре-
шения методом Петрова-Галеркина с весовыми функциями (8), где параметры изгиба оп-
ределяются с помощью выражений (11), представлен на рис. 3 (использовано разбиение
области 2020 × , параметр 1≡θ ). Для случая, когда параметры изгиба определяются вы-
ражениями (9), график численного решения практически совпадает с графиком на рис. 3 и
поэтому здесь не приводится. Таким образом, в данном примере предложенные варианты
выбора весовых коэффициентов показывают практически одинаковую эффективность. За-
метим, однако, что в ряде случаев вариант 1 выбора ki,α (в виде выражения (9)) при ин-
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2 143
тегрировании системы (3) (и при условии, что не применяются никакие дополнительные
средства стабилизации численных схем [6, 10]) обеспечивает более точные и надежные
результаты расчетов.
В методе Галеркина при образовании резкого перепада решения возле границы
12 =x начинаются распространяющиеся в глубь области осцилляции, не имеющие ника-
кого физического смысла [6, 12]. Предложенный метод, как видно из рис. 3, дает решение,
полностью свободное от осцилляций и неустойчивостей, и соответствующее физическим
представлениям о поведении рассматриваемого конвективно-диффузионного процесса.
Рис. 2. Решение методом Галеркина в
момент времени 4,0=t при разбие-
нии области на 30х30 узлов
Рис. 3. Решение предложенным мето-
дом Петрова-Галеркина в момент вре-
мени 4,0=t при разбиении области на
20х20 узлов
Отметим, что для реальных нелинейных задач, описываемых уравнениями, подоб-
ными уравнению (1), в большинстве случаев весьма проблематично получить аналитиче-
ское решение. Но даже в тех редких случаях, когда решение задачи все же удается полу-
чить в явном аналитическом виде, оно может выражаться через медленно сходящиеся ин-
тегралы/ряды или специальные функции, суммирование и вычисление которых само по
себе является весьма сложной проблемой. Для ее преодоления часто используется замена
исходных выражений их главными асимптотиками при стремлении переменной интегри-
рования (параметра суммирования) к бесконечности, что в конечном итоге негативно от-
ражается на точности получаемого результата (характер возникающих проблем достаточно
наглядно продемонстрирован в работе [20], а также [10]). Поэтому для подобного рода за-
дач применение численных методов и использование физических аналогий для контроля
результатов являются практически единственными доступными средствами проверки пра-
вильности получаемого решения.
5. Заключение
Предложено обобщение метода численного решения краевых задач для уравнений с нели-
нейными конвективными членами типа уравнения (1), изложенного в работе [10] и бази-
рующегося на проекционном подходе Петрова-Галеркина. Построена конечномерная мо-
дель в виде системы (3) обыкновенных дифференциальных уравнений. Предложены спо-
собы выбора коэффициентов, определяющих изгиб весовых функций, что позволяет избе-
жать возникновения неустойчивостей и нефизических осцилляций при решении задач с
доминированием процессов конвекции. Результаты, полученные в работе, подтверждаются
расчетными данными.
144 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2
Заметим, что по структуре конвективных членов и наличию лапласиана в правой
части уравнение (1) подобно уравнению Навье-Стокса. Поэтому изложенная методика ин-
тегрирования уравнения (1) может послужить базой для построения численных схем ре-
шения более сложных гидродинамических задач и задач магнитной гидродинамики.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ладиков-Роев Ю.П. Математические модели сплошных сред / Ю.П. Ладиков-Роев, О.К. Черем-
ных. – К.: Наукова думка, 2010. – 551 с.
2. Куликовский А.Г. Магнитная гидродинамика / А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов. – [изд. 2-е,
испр. и доп.]. – М.: Логос, 2005. – 328 с.
3. Куликовский А.Г. Математические вопросы численного решения гиперболических систем урав-
нений / Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. – М.: Физматлит, 2001. – 608 с.
4. Roos H.-G. Robust numerical methods for singularly perturbed differential equations / Roos H.-G.,
Stynes M., Tobiska L. – Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2008. – 604 p.
5. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина / Флетчер К.; пер. с англ. – М.: Мир,
1988. – 352 с.
6. Finlayson B.A. Numerical methods for problems with moving fronts / Finlayson B.A. – Seattle, Wash-
ington USA: Ravenna Park Publishing, Inc., 1992. – 613 p.
7. Fries T.P. A Review of Petrov-Galerkin Stabilization Approaches and an Extension to Meshfree Me-
thods / T.P. Fries, H.G. Matthies. – Germany; Brunswick: Technische Universität Braunschweig, Informa-
tikbericht-Nr., 2004. – 71 p.
8. Brooks A.N. Stremline upwind Petrov-Galerkin formulations for convection dominated flows with par-
ticular emphasis on incompressible Navier-Stokes equations / A.N. Brooks, T.J.R. Hughes // Computer
Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 1982. – N 32. – P. 199 – 259.
9. Finite element methods for second order differential equations with significant first derivatives /
I. Christie, D.F. Griffiths, A.R. Mitchell [et al.] // International Journal of Numerical Methods in Engineer-
ing. – 1976. – Vol. 10. – P. 1389 – 1396.
10. Сирик С.В. Численное интегрирование уравнения Бюргерса методом Петрова-Галеркина с
адаптивными весовыми функциями / С.В. Сирик, Н.Н. Сальников // Проблемы управления и ин-
форматики. – 2012. – № 1. – C. 94 – 110.
11. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. – М.: Наука,
1999. – 798 с.
12. Заславский Г.М. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса /
Г.М. Заславский, Р.З. Сагдеев. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. – 308 с.
13. Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Р. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон [и др.]; пер. с
англ. – М.: Мир, 1988. – 696 с.
14. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов / Сегерлинд Л. – М.: Мир, 1979. – 392 с.
15. Препарата Ф. Вычислительная геометрия: Введение / Ф. Препарата, М. Шеймос; пер. с англ. –
М.: Мир, 1989. – 478 с.
16. Дейнека В.С. Математические модели и методы расчета задач с разрывными решениями / Дей-
нека В.С., Сергиенко И.В., Скопецкий В.В. – К.: Наукова думка, 1995. – 262 с.
17. Сальников Н.Н. О построении конечномерной математической модели процесса конвекции-
диффузии с использованием метода Петрова-Галеркина / Н.Н. Сальников, С.В. Сирик, И.А. Тере-
щенко // Проблемы управления и информатики. – 2010. – № 3. – С. 94 – 109.
18. Harari I. Streamline design of stability parameters for advection-diffusion problems / I. Harari,
L.P. Franca, S.P. Oliveira // Journal of Computational Physics. – 2001. – N 171 (1). – P. 115 – 131.
19. Tezduyar T.E. Stabilization and shock-capturing parameters in SUPG formulation of compressible
flows / T.E. Tezduyar, M. Senga // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. – 2006. – N 195. – P. 1621 –
1632.
20. Hon Y.C. An efficient numerical scheme for Burgers' equation / Y.C. Hon, X.Z. Mao // Applied Ma-
thematics and Computation. – 1998. – Vol. 95, N 1. – P. 37 – 50.
Стаття надійшла до редакції 05.04.2012
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-83765 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-9763 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T16:16:04Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Молчанов, А.А. Сирик, С.В. Сальников, Н.Н. 2015-06-23T08:14:59Z 2015-06-23T08:14:59Z 2012 Выбор весовых функций в методе Петрова-Галеркина для интегрирования двумерных нелинейных уравнений типа Бюргерса / А.А. Молчанов, С.В. Сирик, Н.Н. Сальников // Мат. машини і системи. — 2012. — № 2. — С. 136-144. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83765 519.6 Предложена модификация метода Петрова-Галеркина для численного решения нестационарных двумерных уравнений с нелинейными конвективными членами типа Бюргерса, основанная на использовании весовых функций, изменяющихся во времени в зависимости от получаемого эволюционирующего решения. Эффективность предложенной модификации для задач с преобладанием конвективных процессов над диффузионными подтверждается расчетами. Запропонована модифікація методу Петрова-Гальоркіна для чисельного розв'язання нестаціонарних двовимірних рівнянь з нелінійними конвективними членами типу Бюргерса, заснована на використанні вагових функцій, які змінюються у часі в залежності від виду еволюціонуючого розв'язку. Ефективність запропонованої модифікації для задач з домінуванням конвективних процесів над дифузійними підтверджується розрахунками. Modification of Petrov-Galerkin method for solving transient 2D problems with nonlinear convective terms of Burgers' type based on the weight functions changing in time depending on the evolutional solution is proposed. The test calculations confirm efficiency of the method proposed for convection-dominated problems ru Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Математичні машини і системи Моделювання і управління Выбор весовых функций в методе Петрова-Галеркина для интегрирования двумерных нелинейных уравнений типа Бюргерса Вибір вагових функцій у методі Петрова-Гальоркіна для інтегрування двовимірних нелінійних рівнянь типу Бюргерса A choice of weight functions of Petrov-Galerkin method for solving of two-dimensional nonlinear problems of Burgers' type Article published earlier |
| spellingShingle | Выбор весовых функций в методе Петрова-Галеркина для интегрирования двумерных нелинейных уравнений типа Бюргерса Молчанов, А.А. Сирик, С.В. Сальников, Н.Н. Моделювання і управління |
| title | Выбор весовых функций в методе Петрова-Галеркина для интегрирования двумерных нелинейных уравнений типа Бюргерса |
| title_alt | Вибір вагових функцій у методі Петрова-Гальоркіна для інтегрування двовимірних нелінійних рівнянь типу Бюргерса A choice of weight functions of Petrov-Galerkin method for solving of two-dimensional nonlinear problems of Burgers' type |
| title_full | Выбор весовых функций в методе Петрова-Галеркина для интегрирования двумерных нелинейных уравнений типа Бюргерса |
| title_fullStr | Выбор весовых функций в методе Петрова-Галеркина для интегрирования двумерных нелинейных уравнений типа Бюргерса |
| title_full_unstemmed | Выбор весовых функций в методе Петрова-Галеркина для интегрирования двумерных нелинейных уравнений типа Бюргерса |
| title_short | Выбор весовых функций в методе Петрова-Галеркина для интегрирования двумерных нелинейных уравнений типа Бюргерса |
| title_sort | выбор весовых функций в методе петрова-галеркина для интегрирования двумерных нелинейных уравнений типа бюргерса |
| topic | Моделювання і управління |
| topic_facet | Моделювання і управління |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83765 |
| work_keys_str_mv | AT molčanovaa vyborvesovyhfunkciivmetodepetrovagalerkinadlâintegrirovaniâdvumernyhnelineinyhuravneniitipabûrgersa AT siriksv vyborvesovyhfunkciivmetodepetrovagalerkinadlâintegrirovaniâdvumernyhnelineinyhuravneniitipabûrgersa AT salʹnikovnn vyborvesovyhfunkciivmetodepetrovagalerkinadlâintegrirovaniâdvumernyhnelineinyhuravneniitipabûrgersa AT molčanovaa vibírvagovihfunkcíiumetodípetrovagalʹorkínadlâíntegruvannâdvovimírnihnelíníinihrívnânʹtipubûrgersa AT siriksv vibírvagovihfunkcíiumetodípetrovagalʹorkínadlâíntegruvannâdvovimírnihnelíníinihrívnânʹtipubûrgersa AT salʹnikovnn vibírvagovihfunkcíiumetodípetrovagalʹorkínadlâíntegruvannâdvovimírnihnelíníinihrívnânʹtipubûrgersa AT molčanovaa achoiceofweightfunctionsofpetrovgalerkinmethodforsolvingoftwodimensionalnonlinearproblemsofburgerstype AT siriksv achoiceofweightfunctionsofpetrovgalerkinmethodforsolvingoftwodimensionalnonlinearproblemsofburgerstype AT salʹnikovnn achoiceofweightfunctionsofpetrovgalerkinmethodforsolvingoftwodimensionalnonlinearproblemsofburgerstype |