Наближене обчислення 3D коефіцієнтів Фур'є на класі Гьольдера з використанням кусково-сталої сплайн-інтерфлетації
В статье рассматриваются и исследуются кубатурные формулы вычисления 3D коэффициентов Фурье с использованием операторов кусочно-постоянной сплайн-интерфлетации на классе Гельдера. Информация о функции задана её следами на взаимоперпендикулярных плоскостях, линиях и значениями функции в узловых точка...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Математичні машини і системи |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83773 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Наближене обчислення 3D коефіцієнтів Фур'є на класі Гьольдера з використанням кусково-сталої сплайн-інтерфлетації / О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер // Мат. машини і системи. — 2012. — № 4. — С. 28-40. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859773405578919936 |
|---|---|
| author | Литвин, О.М. Нечуйвітер, О.П. |
| author_facet | Литвин, О.М. Нечуйвітер, О.П. |
| citation_txt | Наближене обчислення 3D коефіцієнтів Фур'є на класі Гьольдера з використанням кусково-сталої сплайн-інтерфлетації / О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер // Мат. машини і системи. — 2012. — № 4. — С. 28-40. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичні машини і системи |
| description | В статье рассматриваются и исследуются кубатурные формулы вычисления 3D коэффициентов Фурье с использованием операторов кусочно-постоянной сплайн-интерфлетации на классе Гельдера. Информация о функции задана её следами на взаимоперпендикулярных плоскостях, линиях и значениями функции в узловых точках. Получены оценки погрешности кубатурных формул.
У статті пропонуються та досліджуються кубатурні формули обчислення 3D коефіцієнтів Фур'є з використанням операторів кусково-сталої інтерфлетації на класі Гьольдера. Інформація про функцію задана її слідами на взаємоперпендикулярних площинах, лініях та значеннями функції у вузлових точках. Отримані оцінки похибки кубатурних формул.
Cubature formulas for computing 3D Fourier coefficients using piecewise-constant spline interflation operators on the Gelder's class are proposed and investigated in the article. Information about the function is set by its traces on mutually perpendicular planes, lines and function values in the knots. The error estimates of cubature formulas are received.
|
| first_indexed | 2025-12-02T07:26:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
28 © Литвин О.М., Нечуйвітер О.П., 2012
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4
УДК 519.6
О.М. ЛИТВИН, О.П. НЕЧУЙВІТЕР
НАБЛИЖЕНЕ ОБЧИСЛЕННЯ 3D КОЕФІЦІЄНТІВ ФУР’Є НА КЛАСІ ГЬОЛЬДЕРА
З ВИКОРИСТАННЯМ КУСКОВО-СТАЛОЇ СПЛАЙН-ІНТЕРФЛЕТАЦІЇ
Анотація. У статті пропонуються та досліджуються кубатурні формули обчислення 3D коефі-
цієнтів Фур'є з використанням операторів кусково-сталої інтерфлетації на класі Гьольдера. Ін-
формація про функцію задана її слідами на взаємоперпендикулярних площинах, лініях та значення-
ми функції у вузлових точках. Отримані оцінки похибки кубатурних формул.
Ключові слова: кубатурна формула, 3D коефіцієнти Фур'є, клас Гьольдера, кусково-стала сплайн-
інтерфлетація.
Аннотация. В статье рассматриваются и исследуются кубатурные формулы вычисления 3D
коэффициентов Фурье с использованием операторов кусочно-постоянной сплайн-интерфлетации
на классе Гельдера. Информация о функции задана её следами на взаимоперпендикулярных плоско-
стях, линиях и значениями функции в узловых точках. Получены оценки погрешности кубатурных
формул.
Ключевые слова: кубатурная формула, 3D коэффициенты Фурье, класс Гельдера, кусочно-
постоянная сплайн-интерфлетация.
Abstract. Cubature formulas for computing 3D Fourier coefficients using piecewise-constant spline inter-
flation operators on the Gelder’s class are proposed and investigated in the article. Information about the
function is set by its traces on mutually perpendicular planes, lines and function values in the knots. The
error estimates of cubature formulas are received.
Keywords: cubature formula, 3D Fourier's coefficients, Gelder’s class, piecewise-constat spline interfla-
tion.
1. Вступ
При розв’язанні задач цифрової обробки багатовимірних сигналів, математичного моде-
лювання неперервних виробничих процесів, комп’ютерної томографії, картографії поверх-
ні за даними її радіолокації, неруйнівного контролю на митницях, захисту інформації (під-
вищення продуктивності систем двоключової криптографії та комп’ютерної стеганографії)
тощо, широко застосовують перетворення Фур’є, інтеграли від швидкоосцилюючих функ-
цій, швидкі ортогональні перетворення. Тому однією з актуальних проблем є побудова
кубатурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій на різних кла-
сах при використанні різних інформаційних операторів про неосцилюючий множник піді-
нтегральної функції. Як дані можуть бути значення функції у вузлових точках, сліди фун-
кції на системі ліній або площин, інтеграли від наближуваної функції вздовж вибраної сис-
теми ліній або площин, що перетинають досліджуваний об’єкт.
Задачу наближеного обчислення коефіцієнтів Фур'є функцій багатьох змінних з ви-
користанням різних інформаційних операторів дозволяє ефективно розв’язувати апарат
інтерлінації та інтерфлетації функцій [1]. Зокрема, в [2, 3] представлені розв’язки задачі
наближеного обчислення 2D коефіцієнтів Фур'є за допомогою інтерлінації функцій у ви-
падку, коли початкова інформація задається як значеннями функції в точках, так і її сліда-
ми на системі взаємоперпендикулярних прямих на різних класах функцій. У [4, 5] викла-
дений загальний підхід до побудови операторів фінітного тривимірного дискретно-
неперервного і дискретного перетворення Фур'є на основі методу Файлона, трилінійних
сплайнів (лінійних за кожною змінною) та сплайн-інтерфлетації на класі диференційовних
функцій у випадку, коли задані значення неосцилюючого множника підінтегральної функ-
ції у вузлах. Побудова кубатурної формули на основі кусково-сталої інтерфлетації на класі
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4 29
Ліпшиця при даних – слідах функції на площинах, розглядається в [6]. Однією з недослі-
джених задач є обчислення 3D – коефіцієнтів Фур'є за допомогою операторів кусково-
сталої сплайн-інтерфлетації різними інформаційними операторами на класі Гьольдера.
Постановка задачі: для обчислення 3D коефіцієнтів Фур'є виду
1 1 1
3
1
0 0 0
( , , ) ( , , )sin 2 sin 2 sin 2I m n p f x y z mx ny pzdxdydz= π π π∫ ∫ ∫ ,
1 1 1
3
2
0 0 0
( , , ) ( , , )cos 2 cos 2 cos 2I m n p f x y z mx ny pzdxdydz= π π π∫ ∫ ∫ ,
1 1 1
3 2 2 2
3
0 0 0
( , , ) ( , , ) i mx i ny i pzI m n p f x y z e e e dxdydz− π − π − π= ∫ ∫ ∫
побудувати кубатурні формули з використанням операторів кусково-сталої сплайн-
інтерфлетації на класі Гьольдера
3
, , ,L L LCα ɶ , 0 1α< ≤ – класі дійсних функцій трьох змін-
них, визначених на [ ]30,1G = , і таких, що
( ) ( )1 2 1 2, , , , ,f x y z f x y z L x x− ≤ − α
( ) ( )1 2 1 2, , , , ,f x y z f x y z L y y− ≤ − α
( ) ( )1 2 1 2, , , , ,f x y z f x y z L z z− ≤ − α
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2, , , , , , , ,f x y z f x y z f x y z f x y z L x x y yα α− − + ≤ − − ,
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2, , , , , , , ,f x y z f x y z f x y z f x y z L x x z zα α− − + ≤ − − ,
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2, , , , , , , ,f x y z f x y z f x y z f x y z L y y z zα α− − + ≤ − − ,
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2, , , , , , , ,f x y z f x y z f x y z f x y z− − − +
( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2, , , , , , , ,f x y z f x y z f x y z f x y z+ + + − ≤
1 2 1 2 1 2L x x y y z z≤ − − −ɶ α α α
у випадку, коли інформація про функцію задана її слідами на системі взаємоперпендику-
лярних площин, слідами на системі взаємоперпендикулярних ліній та значеннями функції
у вузлових точках. Отримати оцінки похибки кубатурних формул.
2. Кусково-сталі оператори інтерполяції, інтерлінації та інтерфлетації
Введемо такі позначення:
[ ] [ ]1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2, , , , ,k k k j j j s s sX x x Y y y Z z z− + − + − + = = = ,
� [ ]1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2, , , , ,s s sj j jk k kX x x Y y y Z z z− +− +− +
= = = ɶɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ,
[ ]1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2, , , , ,s s sj j jk k kX x x Y y y Z z z− +− +− + = = = ,
30 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4
1 2
1, ,1, ,
( ) ( )
0, , 0, ,
jk
k j
k j
y Yx X
h x h y
x X y Y
∈∈ = = ∉ ∉
3
1, ,
( )
0, ,
s
s
s
z Z
h z
z Z
∈
= ∉
,
21
1, ,1, ,
( ) ( )
0, , 0, ,
jk
jk
jk
y Yx X
h x h y
x X y Y
∈ ∈ = =
∉ ∉
ɶɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ3
1, ,
( )
0, ,
s
s
s
z Z
h z
z Z
∈=
∉
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
,
21
1, ,1, ,
( ) ( )
0, , 0, ,
jk
jk
jk
y Yx X
h x h y
x X y Y
∈ ∈ = =
∉ ∉
3
1, ,
( )
0, ,
s
s
s
z Z
h z
z Z
∈=
∉
1
, , , , , , 1,
2 2 2k j sx k y j z s k j s
∆ ∆ ∆= ∆ − = ∆ − = ∆ − ∆ = = ℓ
ℓ
,
3/ 21 1 1
1 1 1 1 3/ 2
1
, , , , , , 1,
2 2 2sjkx k y j z s k j s
∆ ∆ ∆
= ∆ − = ∆ − = ∆ − ∆ = =ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶɶ ɶɶ ɶ ɶ ɶɶ ℓ
ℓ
,
32 2 2
2 2 2 2 3
1
, , , , , , 1,
2 2 2sjkx k y j z s k j s
∆ ∆ ∆
= ∆ − = ∆ − = ∆ − ∆ = = ℓ
ℓ
.
Розглянемо оператори:
1 1
1
( , , ) ( , , ) ( )k k
k
O f x y z f x y z h x
=
= ∑
ℓ
, 2 2
1
( , , ) ( , , ) ( )j j
j
O f x y z f x y z h y
=
= ∑
ℓ
,
3 3
1
( , , ) ( , , ) ( )s s
s
O f x y z f x y z h z
=
=∑
ℓ
,
3/ 2
1 1
1
( , , ) ( , , ) ( )k k
k
O f x y z f x y z h x
=
= ∑
ℓ
ɶ ɶ
ɶ
ɶɶ ɶ , �
3/ 2
2 2
1
( , , ) ( , , ) ( )j j
j
O f x y z f x y z h y
=
= ∑
ℓ
ɶ ɶ
ɶ
ɶɶ ,
3/ 2
3 3
1
( , , ) ( , , ) ( )s s
s
O f x y z f x y z h z
=
= ∑
ℓ
ɶ ɶ
ɶ
ɶɶ ɶ ,
3
1 1
1
( , , ) ( , , ) ( )k k
k
O f x y z f x y z h x
=
= ∑
ℓ
,
3
2 2
1
( , , ) ( , , ) ( )j j
j
O f x y z f x y z h y
=
= ∑
ℓ
,
3
3 3
1
( , , ) ( , , ) ( )s s
s
O f x y z f x y z h z
=
= ∑
ℓ
.
Означення 1. Під слідом функції ( , , )f x y z на лініях ( ){ , , : , ,k jx y z x x y y= =
}, 1, , 0 1k j z= ≤ ≤ℓ розуміємо ( , , ), 0 1k jf x y z z≤ ≤ .
Означення 2. Під слідом функції ( , , )f x y z на площинах
( ){ }, , : , 0 1, 0 1kx y z x x y z= ≤ ≤ ≤ ≤ розуміємо ( , , ), 0 1, 0 1kf x y z y z≤ ≤ ≤ ≤ .
Сліди функції на інших лініях та площинах визначаються аналогічно.
Лема 1. Оператор кусково-сталої інтерфлетації
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4 31
( ) ( ) ( )1 2 3( , , ) , , , , , ,Of x y z O f x y z O f x y z O f x y z= + + −
( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 1 3 1 2 3, , , , , , , ,O O f x y z O O f x y z O O f x y z O O O f x y z− − − +
має властивість 3
1
( , , ) ( , , )f x y z Of x y z O α
− =
ℓ
.
Лема 2. Оператор кусково-сталої інтерлінації, побудований на основі інтерфлетації
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 3 1 2 3 2 1 2 3, , , , , , , , , , , ,Of x y z O O f x y z O O f x y z O O O f x y z O O f x y z O O f x y z= + − + + + −ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 3 1 3 2 3 1 2, , , , , , , ,O O O f x y z O O f x y z O O f x y z O O O f x y z− + + − −ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 3 2 3 1 2 3, , , , , , , ,O O f x y z O O f x y z O O f x y z O O O f x y z− − − + ,
має властивість 3
1
( , , ) ( , , )f x y z Of x y z O α
− =
ɶ
ℓ
.
Лема 3. Оператор кусково-сталої інтерполяції, побудований на основі інтерфлетації
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 3 2 1 2 3 2 1 3 2 3 1( , , ) , , , , , , , , , ,Of x y z O O O f x y z O O O f x y z O O O f x y z O O O f x y z O O O f x y z= + − + + −ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 3 1 2 3 2 1 3 1 2, , , , , , , ,O O O f x y z O O O f x y z O O O f x y z O O O f x y z− + + − −ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 3 2 2 3 1 1 2 3, , , , , , , ,O O O f x y z O O O f x y z O O O f x y z O O O f x y z− − − + ,
має властивість 3
1
( , , ) ( , , )f x y z Of x y z O α
− =
ℓ
.
Леми 1–3 доводяться безпосередньою перевіркою.
3. Кубатурна формула обчислення 3D коефіцієнтів Фур'є з використанням операторів
кусково-сталої інтерфлетації
Для обчислення інтегралів 3 ( , , ), 1, 2,3I m n pµ µ = пропонуються формули:
( )
1 1 1
3
1
0 0 0
, , ( , , ) sin 2 sin 2 sin 2m n p Of x y z mx ny pzdxdydzΦ = π π π∫ ∫ ∫ ,
1 1 1
3
2
0 0 0
( , , ) ( , , ) s 2 s 2 cos 2m n p Of x y z co mxco ny pzdxdydzΦ = π π π∫ ∫ ∫ ,
1 1 1
3 2 2 2
3
0 0 0
( , , ) ( , , ) i mx i ny i pzm n p Of x y z e e e dxdydz− π − π − πΦ = ∫ ∫ ∫ .
Теорема 1. Для кубатурної формули ( )3
1 , ,m n pΦ обчислення ( )3
1 , ,I m n p справедли-
ва така оцінка: ( ) ( )
( )
3 3
1 1 3 33
1
, , , ,
1 2
L
I m n p m n p
αα
− Φ ≤
α +
ɶ
ℓ
.
Доведення. Маємо таку оцінку:
32 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4
( ) ( )3 3
1 1, , , ,I m n p m n p− Φ = ( )
1 1 1
0 0 0
( , , ) ( , , ) sin 2 sin 2 sin 2f x y z Of x y z mx ny pzdxdydz− π π π ≤∫ ∫ ∫
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
1 1 1
( , , ) ( , , )
k j s
k j s
x y z
k j s x y z
f x y z Of x y z dxdydz
+ + +
− − −
− − −
= = =
≤ − =∑∑∑ ∫ ∫ ∫
ℓ ℓ ℓ
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
k j s
k j s
x y z
k j s
k j s x y z
L x x y y z z dxdydz
+ + +
− − −
αα α
= = =
≤ − − − =∑∑∑ ∫ ∫ ∫
ℓ ℓ ℓ
ɶ
( ) ( ) 1
2
1
2
1 1
1 1 1 1 1
k
k
k
k
xx
k k
x
k s s x
x x x x
L
+
−
α+ α+
= = =
− − = − + ×
α + α +
∑ ∑∑
ℓ ℓ ℓ
ɶ
( ) ( ) ( ) ( )1 1
2 2
1 1
2 2
1 1 1 1
1 1 1 1
j s
j s
j s
j s
y y zz
j j s s
y z
y z
y y y y z z z z+ +
− −
α+ α+ α+ α+ − − − − × − + − + =
α + α + α + α +
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
3
3 33
1
1 2 1 2 1 2 1 2
L
L
α+ α+ α+
α α α αα
∆ ∆ ∆= =
α + α + α + α +
ɶ
ɶℓ
ℓ
.
Теорема доведена.
4. Кубатурна формула обчислення 3D коефіцієнтів Фур'є з використанням операторів
кусково-сталої інтерлінації, побудованих на основі інтерфлетації
Для обчислення інтегралів 3 ( , , ), 1, 2,3I m n pµ µ = пропонуються формули:
( )
1 1 1
3
1
0 0 0
, , ( , , )sin 2 sin 2 sin 2m n p Of x y z mx ny pzdxdydzΦ = π π π∫ ∫ ∫ ɶɶ ,
( )
1 1 1
3
2
0 0 0
, , ( , , )cos 2 cos 2 cos 2m n p Of x y z mx ny pzdxdydzΦ = π π π∫ ∫ ∫ ɶɶ ,
( )
1 1 1
3 2 2 2
3
0 0 0
, , ( , , ) i mx i ny i pzm n p Of x y z e e e dxdydz− π − π − πΦ = ∫ ∫ ∫ ɶɶ .
Теорема 2. Для кубатурної формули ( )3
1 , ,m n pΦɶ обчислення ( )3
1 , ,I m n p справедлива
така оцінка: ( )
( ) ( )
3 3
1 1 3 3 2 33 2
1 3 1
( , , ) , ,
1 2 1 2
L L
I m n p m n p
α αα α
− Φ ≤ +
α + α +
ɶ
ɶ
ℓ ℓ
.
Доведення. Оцінимо похибку наближення
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4 33
( ) ( ) =−=Φ− ∫ ∫ ∫
1
0
1
0
1
0
3
1
3
1 2sin2sin2sin),,(
~
),,(,,
~
),,( pzdxdydznymxzyxfOzyxfpnmpnmI πππ
( )
1 1 1
0 0 0
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) sin 2 sin 2 sin 2f x y z Of x y z Of x y z Of x y z mx ny pzdxdydz= − + − π π π ≤∫ ∫ ∫ ɶ
( ) ( )3 3 3 3
1 1 1 1( , , ) , , ( , , ) , ,I m n p m n p m n p m n p≤ − Φ + Φ − Φ ≤ɶ
1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )f x y z Of x y z dxdydz Of x y z Of x y z dxdydz≤ − + −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ɶ .
За теоремою 1, ( ) ( )
( )
3 3
1 1 3 33
1
, , , ,
1 2
L
I m n p m n p
αα
− Φ ≤
α +
ɶ
ℓ
.
Знайдемо оцінку ( )3 3
1 1( , , ) , ,m n p m n pΦ − Φɶ :
( )3 3
1 1( , , ) , ,m n p m n pΦ − Φ ≤ɶ �
1 1 1
0 0 0
( , , ) ( , , )Of x y y O f x y z dxdydz− =∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
1 1 1
1 2 3
0 0 0
, , , , , ,O f x y z O f x y z O f x y z= + + −∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 1 3 1 2 3, , , , , , , ,O O f x y z O O f x y z O O f x y z O O O f x y z− − − + −
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 3 1 2 3 2 1, , , , , , , ,O O f x y z O O f x y z O O O f x y z O O f x y z− − + − −ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 1 3 3 1 3 2 3 1 2, , , , , , , , , ,O O f x y z O O O f x y z O O f x y z O O f x y z O O O f x y z− + − − + +ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 3 2 3 1 2 3, , , , , , , ,O O f x y z O O f x y z O O f x y z O O O f x y z dxdydz+ + + − =
( ) ( ) ( )
1 1 1
1 2 3
0 0 0
, , , , , ,O f x y z O f x y z O f x y z= + + −∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 3 1 2 3 2 1, , , , , , , ,O O f x y z O O f x y z O O O f x y z O O f x y z− − + − −ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 1 3 3 1 3 2 3 1 2, , , , , , , , , ,O O f x y z O O O f x y z O O f x y z O O f x y z O O O f x y z dxdydz− + − − + =ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
1 1 2 1 3 1 2 3 2 2 1 2 3 2 1 3
0 0 0
, , , ,O O O O O O O O f x y z O O O O O O O O f x y z= − − + + − − + +∫ ∫ ∫ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
( ) ( )3 3 1 3 2 3 1 2 , ,O O O O O O O O f x y z dxdydz+ − − + ≤ɶ ɶ ɶ ɶ
( ) ( )
1 1 1
1 1 2 1 3 1 2 3
0 0 0
, ,O O O O O O O O f x y z dxdydz≤ − − + +∫ ∫ ∫ ɶ ɶ ɶ ɶ
34 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4
( ) ( )
1 1 1
2 2 1 2 3 2 1 3
0 0 0
, ,O O O O O O O O f x y z dxdydz+ − − + +∫ ∫ ∫ ɶ ɶ ɶ ɶ
( ) ( )
1 1 1
3 3 1 3 2 3 1 2
0 0 0
, ,O O O O O O O O f x y z dxdydz+ − − + ≤∫ ∫ ∫ ɶ ɶ ɶ ɶ
( ) ( )
1 1 1
3/ 2 3/ 2
2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 2 1 3 1 2 3
1 1 1
, ,
k j s
k j s
x y z
k j s x y z
O O O O O O O O f x y z dxdydz
+ + +
− − −
= = =
≤ − − + +∑ ∑ ∑ ∫ ∫ ∫
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ℓ ℓ ℓ
ɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ ɶ
( ) ( )
1 1 1
3/ 2 3/ 2
2 2 2
1 1 1
2 2 2
2 2 1 2 3 2 1 3
1 11
, ,
k j s
k j s
x y z
j sk x y z
O O O O O O O O f x y z dxdydz
+ + +
− − −
= ==
+ − − + +∑ ∑ ∑ ∫ ∫ ∫
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ℓ ℓ ℓ
ɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ ɶ
( ) ( )
1 1 1
3/ 2 3/ 2
2 2 2
1 1
2 2
3 3 1 3 2 3 1 2
1 1 11
2
, ,
k j s
k sj
x y z
s jk x zy
O O O O O O O O f x y z dxdydz
+ + +
− −−
= ==
+ − − + ≤∑ ∑ ∑ ∫ ∫ ∫
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ℓ ℓ ℓ
ɶ ɶ ɶ
ɶ
ɶ ɶ ɶ ɶ
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
3/2 3/2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
, , , , , , , ,
k j s
k j s
x y z
k k k s k sj j
k j s x y z
dxdydzf x y z f x y z f x y z f x y z
+ + +
− − −
= = =
= − − + +∑∑∑ ∫ ∫ ∫
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ℓ ℓ ℓ
ɶ ɶɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶɶ ɶ
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
3/2 3/2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 11
, , , , , , , ,
k j s
k j s
x y z
j j j s j sk k
j sk x y z
dxdydzf x y z f x y z f x y z f x y z
+ + +
− − −
= ==
+ − − + +∑∑∑ ∫ ∫ ∫
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ℓ ℓ ℓ
ɶ ɶɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶɶ ɶ
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
3/2 3/2 2 2 2
1 1
2 2
1 11 1
2
, , , , , , , ,
k j s
k sj
x y z
s s s sk k k k
s jk x zy
dxdydzf x y z f x x z f x y z f x x z
+ + +
− −−
= ==
+ − − + ≤∑∑∑ ∫ ∫ ∫
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ℓ ℓ ℓ
ɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ ɶ ɶ ɶ
1 1 1
3/2 3/2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
2
1 1 1
k j s
k j s
x y z
sj
k j s x y z
dxdydzL y y z z
+ + +
− − −
α α
= = =
≤ − − +∑∑∑ ∫ ∫ ∫
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ℓ ℓ ℓ
ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ
1 1 1
3/2 3/2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
2
1 11
k j s
k j s
x y z
sk
j sk x y z
dxdydzL x x z z
+ + +
− − −
α α
= ==
+ − − +∑∑∑ ∫ ∫ ∫
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ℓ ℓ ℓ
ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ
1 1 1
3/2 3/2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
2
1 11
k j s
k j s
x y z
jk
s jk x y z
dxdydzL x x y y
+ + +
− − −
αα
= ==
+ − − =∑∑∑ ∫ ∫ ∫
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ℓ ℓ ℓ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4 35
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
3/ 2 3/ 2 21 1
12 2 32 2
3 3 1
3
1 2 1 2 1 2 1 2
L L
L
α+ α+
α
α α αα α
∆ ∆= ∆ = ∆ =
α + α + α + α +
ℓℓ ℓ
ℓ
.
Отже, ( )
( ) ( )
3 3
1 1 3 3 2 33 2
1 3 1
( , , ) , ,
1 2 1 2
L L
I m n p m n p
α αα α
− Φ ≤ +
α + α +
ɶ
ɶ
ℓ ℓ
. Теорема доведена.
5. Кубатурна формула обчислення 3D коефіцієнтів Фур'є з використанням операторів
кусково-сталої інтерполяції, побудованих на основі інтерфлетації
Для обчислення інтегралів 3 ( , , ), 1,2,3I m n pµ µ = пропонуються формули:
( )
1 1 1
3
1
0 0 0
, , ( , , )sin 2 sin 2 sin 2m n p Of x y z mx ny pzdxdydzΦ = π π π∫ ∫ ∫ ,
( )
1 1 1
3
2
0 0 0
, , ( , , )cos 2 cos 2 cos 2m n p Of x y z mx ny pzdxdydzΦ = π π π∫ ∫ ∫ ,
( )
1 1 1
3 2 2 2
3
0 0 0
, , ( , , ) i mx i ny i pzm n p Of x y z e e e dxdydz− π − π − πΦ = ∫ ∫ ∫ .
Теорема 3. Для кубатурної формули ( )3
1 , ,m n pΦ обчислення ( )3
1 , ,I m n p справедлива
така оцінка: ( )
( ) ( ) ( )
3 3
1 1 3 3 2 3 33 2
1 3 1 9 1
( , , ) , ,
1 21 2 1 2
L L
I m n p m n p L
α α α αα α
− Φ ≤ + +
α +α + α +
ɶ
ℓ ℓ ℓ
.
Доведення. Оцінимо похибку наближення ( )3 3
1 1( , , ) , ,I m n p m n p− Φ :
( ) ( )
1 1 1
3 3
1 1
0 0 0
( , , ) , , ( , , ) ( , , ) sin 2 sin 2 sin 2I m n p m n p f x y z Of x y z mx ny pzdxdydz− Φ = − π π π ≤∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1( , , ) , , ( , , ) , , , , ( , , )I m n p m n p m n p m n p m n p m n p≤ − Φ + Φ − Φ + Φ − Φ ≤ɶ ɶ
1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )f x y z Of x y z dxdydz Of x y z Of x y z dxdydz≤ − + − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ɶ
1 1 1
0 0 0
( , , ) ( , , )Of x y z Of x y z dxdydz+ −∫ ∫ ∫ ɶ .
За теоремою 1 та за теоремою 2, маємо:
( )3 3
1 1( , , ) , ,m n p m n pΦ − Φ ≤ɶ
( ) ( ) +Φ−≤ pnmpnmI ,,,, 3
1
3
1 ( )
( ) ( )
2
3 3
1 1 3 3 2 33 2
1 3 1
( , , ) , ,
1 2 1 2
L L
I m n p m n p α αα α
− Φ ≤ +
α + α +
ɶ
ɶ
ℓ ℓ
.
36 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4
Знайдемо оцінку ( )3 3
1 1( , , ) , ,m n p m n pΦ − Φɶ :
( )3 3
1 1( , , ) , ,m n p m n pΦ − Φ =ɶ
( )
1 1 1
0 0 0
( , , ) ( , , ) sin 2 sin 2 sin 2O x y z Of x y z mx ny pzdxdydz= − π π π ≤∫ ∫ ∫ ɶ
1 1 1
0 0 0
( , , ) ( , , )Of x y y Of x y z dxdydz≤ − =∫ ∫ ∫ ɶ
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
1 2 1 3 1 2 3 2 1
0 0 0
, , , , , , , ,O O f x y z O O f x y z O O O f x y z O O f x y z= + − + +∫ ∫ ∫ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 1 3 3 1 3 2 3 1 2, , , , , , , , , ,O O f x y z O O O f x y z O O f x y z O O f x y z O O O f x y z+ − + + − −ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
( ) ( ) ( ) ( )−+−−− zyxfOOOzyxfOOzyxfOOzyxfOO ,,,,,,,, 321323121
( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 1 3 1 2 3, , , , , , , ,O O f x y z O O f x y z O O f x y z O O O f x y z− − − + −
( ) ( ) ( )1 2 3 1 3 2 1 2 3, , , , , ,O O O f x y z O O O f x y z O O O f x y z− − + −ɶ ɶ ɶ ɶ
( ) ( ) ( )2 1 3 2 3 1 2 1 3, , , , , ,O O O f x y z O O O f x y z O O O f x y z− − + −ɶ ɶ ɶ ɶ
( ) ( ) ( )3 1 2 3 2 1 3 1 2, , , , , ,O O O f x y z O O O f x y z O O O f x y z− − + +ɶ ɶ ɶ ɶ
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 3 2 2 3 1 1 2 3, , , , , , , ,O O O f x y z O O O f x y z O O O f x y z O O O f x y z dxdydz+ + + − =
( ) ( ) ( )
1 1 1
1 2 1 3 2 1
0 0 0
, , , , , ,O O f x y z O O f x y z O O f x y z= + + +∫ ∫ ∫ ɶ ɶ ɶ
( ) ( ) ( )2 3 3 1 3 2, , , , , ,O O f x y z O O f x y z O O f x y z+ + + −ɶ ɶ ɶ
( ) ( ) ( )−−−− zyxfOOzyxfOOzyxfOO ,,,,,, 323121
( ) ( ) ( )1 2 2 3 1 3, , , , , ,O O f x y z O O f x y z O O f x y z− − − −
( ) ( )1 2 3 1 3 2, , , ,O O O f x y z O O O f x y z− − −ɶ ɶ ( ) ( )2 1 3 2 3 1, , , ,O O O f x y z O O O f x y z− −ɶ ɶ
( ) ( )3 1 2 3 2 1, , , ,O O O f x y z O O O f x y z− − +ɶ ɶ
( ) ( ) ( )1 2 3 1 3 2 2 3 1, , , , , ,O O O f x y z O O O f x y z O O O f x y z dxdydz+ + + ≤
( ) ( ) +−≤ ∫ ∫ ∫ dxdydzzyxfOOOOO
1
0
1
0
32121
1
0
,,
~~ ( ) ( )
1 1 1
1 3 1 3 2
0 0 0
, ,O O O O O f x y z dxdydz+ +∫ ∫ ∫ ɶ ɶ
( ) ( )
1 1 1
2 1 2 1 3
0 0 0
, ,O O O O O f x y z dxdydz+ − +∫ ∫ ∫ ɶ ɶ ( ) ( )
1 1 1
2 3 2 3 1
0 0 0
, ,O O O O O f x y z dxdydz− +∫ ∫ ∫ ɶ ɶ
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4 37
( ) ( )
1 1 1
3 1 3 1 2
0 0 0
, ,O O O O O f x y z dxdydz+ − +∫ ∫ ∫ ɶ ɶ ( ) ( )
1 1 1
3 2 3 2 1
0 0 0
, ,O O O O O f x y z dxdydz− +∫ ∫ ∫ ɶ ɶ
( ) ( )
1 1 1
1 2 1 2 3
0 0 0
, ,O O O O O f x y z dxdydz+ − +∫ ∫ ∫ ( ) ( )
1 1 1
1 3 1 3 2
0 0 0
, ,O O O O O f x y z dxdydz− +∫ ∫ ∫
( ) ( )
1 1 1
2 3 2 3 1
0 0 0
, ,O O O O O f x y z dxdydz+ − =∫ ∫ ∫
1 1 1
3/2 3 2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
( , , ) ( , , )
k j s
k j s
x y z
k k sj j
k j s x y z
dxdydzf x y z f x y z
+ + +
− − −
= = =
= − +∑ ∑∑ ∫ ∫ ∫
ɶ
ɶ
ɶ
ℓ ℓ ℓ
ɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ ɶ
1 1 1
3/2 3 2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
( , , ) ( , , )
k s j
k s j
x z y
k s k sj
k s j x z y
dxdydzf x y z f x y z
+ + +
− − −
= = =
+ − +∑∑ ∑ ∫ ∫ ∫
ɶ
ɶ
ɶ
ℓ ℓ ℓ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
1 1 1
3/2 3 2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 11
( , , ) ( , , )
k j s
k j s
x y z
j j sk k
j sk x y z
dxdydzf x y z f x y z
+ + +
− − −
= ==
+ − +∑∑∑ ∫ ∫ ∫
ɶ
ɶ
ɶ
ℓ ℓ ℓ
ɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ ɶ
1 1 1
3/2 3 2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
( , , ) ( , , )
k s j
k s j
x z y
j s j sk
j s k x z y
dxdydzf x y z f x y z
+ + +
− − −
= = =
+ − +∑∑ ∑ ∫ ∫ ∫
ɶ
ɶ
ɶ
ℓ ℓ ℓ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
1 1 1
3/2 3 2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 11
( , , ) ( , , )
k s j
k s j
x z y
s sjk k
s jk x z y
dxdydzf x y z f x y z
+ + +
− − −
= ==
+ − +∑∑ ∑ ∫ ∫ ∫
ɶ
ɶ
ɶ
ℓ ℓ ℓ
ɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ ɶ
1 1 1
3/2 3 2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
( , , ) ( , , )
k s j
k s j
x z y
s sj jk
s j k x z y
dxdydzf x y z f x y z
+ + +
− − −
= = =
+ − +∑∑ ∑ ∫ ∫ ∫
ɶ
ɶ
ɶ
ℓ ℓ ℓ
ɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ ɶ
1 1 1
3 2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
( , , ) ( , , )
k j s
k j s
x y z
k j k j s
k j s x y z
dxdydzf x y z f x y z
+ + +
− − −
= = =
+ − +∑ ∑∑ ∫ ∫ ∫
ℓ ℓ ℓ
1 1 1
3 2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
( , , ) ( , , )
k s j
k s j
x z y
k s k sj
k s j x z y
dxdydzf x y z f x y z
+ + +
− − −
= = =
+ − +∑∑ ∑ ∫ ∫ ∫
ℓ ℓ ℓ
38 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4
1 1 1
3 2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
( , , ) ( , , )
k s j
k s j
x z y
j s j sk
j s k x z y
dxdydzf x y z f x y z
+ + +
− − −
= = =
+ − ≤∑∑ ∑ ∫ ∫ ∫
ℓ ℓ ℓ
1 1 1
3/2 3 2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
k j s
k j s
x y z
s
k j s x y z
dxdydzL z z
+ + +
− − −
α
= = =
≤ − +∑ ∑∑ ∫ ∫ ∫
ɶ
ɶ
ɶ
ℓ ℓ ℓ
ɶ
ɶ
1 1 1
3/2 3 2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
k s j
k s j
x z y
j
k s j x z y
dxdydzL y y
+ + +
− − −
α
= = =
− +∑∑ ∑ ∫ ∫ ∫
ɶ
ɶ
ɶ
ℓ ℓ ℓ
ɶ ɶ
1 1 1
3/2 3 2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 11
k j s
k j s
x y z
s
j sk x y z
dxdydzL z z
+ + +
− − −
α
= ==
+ − +∑∑∑ ∫ ∫ ∫
ɶ
ɶ
ɶ
ℓ ℓ ℓ
ɶ
ɶ
1 1 1
3/2 3 2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
k s j
k s j
x z y
k
j s k x z y
dxdydzL x x
+ + +
− − −
α
= = =
− +∑∑ ∑ ∫ ∫ ∫
ɶ
ɶ
ɶ
ℓ ℓ ℓ
ɶ ɶ
1 1 1
3/2 3 2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 11
k s j
k s j
x z y
j
s jk x z y
dxdydzL y y
+ + +
− − −
α
= ==
+ − +∑∑ ∑ ∫ ∫ ∫
ɶ
ɶ
ɶ
ℓ ℓ ℓ
ɶ
ɶ
1 1 1
3/2 3 2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
k s j
k s j
x z y
k
s j k x z y
dxdydzL x x
+ + +
− − −
α
= = =
− +∑∑ ∑ ∫ ∫ ∫
ɶ
ɶ
ɶ
ℓ ℓ ℓ
ɶ
ɶ
1 1 1
3 2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
k j s
k j s
x y z
s
k j s x y z
dxdydzL z z
+ + +
− − −
α
= = =
+ − +∑ ∑∑ ∫ ∫ ∫
ℓ ℓ ℓ
1 1 1
3 2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
k s j
k s j
x z y
j
k s j x z y
dxdydzL y y
+ + +
− − −
α
= = =
− +∑∑ ∑ ∫ ∫ ∫
ℓ ℓ ℓ
1 1 1
3 2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
k s j
k s j
x z y
k
j s k x z y
dxdydzL x x
+ + +
− − −
α
= = =
+ − ≤∑∑ ∑ ∫ ∫ ∫
ℓ ℓ ℓ
( )
1
3/ 2 3 2
16
1 2
L
α+
α
∆≤ ∆ ∆ +
α +
ℓ ℓ ℓ ( )
1
3 23
1 2
L
α+
α
∆∆ ∆ =
α +
ℓ ℓ ℓ
( )
29
1 2
L
α
α
∆ =
α + ( ) 3
9 1
1 2
Lα αα + ℓ
.
Отже, ( )
( ) ( ) ( )
3 3
1 1 3 3 2 3 33 2
1 3 1 9 1
( , , ) , ,
1 21 2 1 2
L L
I m n p m n p L
α α α αα α
− Φ ≤ + +
α +α + α +
ɶ
ℓ ℓ ℓ
.
Теорема доведена.
6. Чисельний експеримент
У [7] показано, що для функції ( ) arccosg u u= виконується така нерівність:
[ ]1 2
1 2 1 2 1 2arccos arccos , , 1,1
2
u u u u u u
π− ≤ − ∀ ∈ − .
У випадку функцій трьох змінних розглянемо функцію 3
2, , ,( , , ) L L Lf x y z C∈ :
2 2 2( , , ) arccos 1 1 arccosf x y z xy x y z = + − −
.
Метою експерименту є показати, що
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4 39
( )3 3
1 1, , ( , , )I m n p m n pε = − Φ ≤ɶ
( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1( , , ) , , ( , , ) , , , , ( , , )I m n p m n p m n p m n p m n p m n p≤ − Φ + Φ − Φ + Φ − Φ =ɶ ɶ
1 2 3ε ε ε ε= + + = ɶ .
Наведемо точні значення інтегралів:
3
1 (2, 2,2) -0,002335925334219I = ;
3
1 (3, 4,5) -0,000362439817297I = .
Таблиця 1. Похибки 1 2 3, ,ε ε ε
m n p ℓ 1ε 2ε 3ε
2 2 2 4 0,000000015074464 0,000000077901728 0,000001515398551
9 0,000000000094878 0,000000006339464 0,000000011519461
16 0,000000000020418 0,0000000003243 0,000000002870743
3 4 5 4 0,000004694196629 0,000000141145485 0,000000476127751
9 0,000000000498321 0,000000001707565 0,000000004843324
16 0,000000000548796 0,000000001046461 0,000000001020178
Таблиця 2. Похибки ,ε εɶ
m n p ℓ ε εɶ
2 2 2 4 0,00000142242236 0,000001608374742
9 0,000000005274875 0,000000017953802
16 0,000000003174624 0,000000003215461
3 4 5 4 0,000004359214362 0,000005311469864
9 0,000000002637438 0,000000007049209
16 0,000000000522513 0,000000002615435
7. Висновки
У статті пропонуються та досліджуються кубатурні формули обчислення 3D коефіцієнтів
Фур'є з використанням операторів кусково-сталої інтерфлетації на деякому класі Гьольде-
ра, визначених на [ ]30,1G = . Подається інформація про неосцилюючий множник підінтег-
ральної функції, заданий слідами на системі взаємоперпендикулярних площин, слідами на
системі взаємоперпендикулярних ліній та значеннями функції у вузлових точках. У всіх
випадках отримана оцінка похибки наближення 3D коефіцієнтів Фур'є кубатурними фор-
мулами.
Питання щодо якості кубатурних формул, тобто, чи є побудовані кубатурні форму-
ли оптимальними або близькими до них, буде наступним етапом досліджень.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Литвин О.М. Інтерлінація функцій та деякі її застосування / Литвин О.М. – Х.: Основа, 2002. –
544 с.
2. Оптимальні алгоритми обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій та їх застосуван-
ня. Т. 1. Алгоритми / [І.В. Сергієнко, В.К. Задірака, О.М. Литвин та ін.]. – К.: Наукова думка, 2011.
– 447 с.
40 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4
3. Lytvyn O.N. Methods in the multivariate digital signal processing with using spline-interlineation /
O.N. Lytvyn, O.P. Nechuyviter // Proc. of the IASTED International Conferences on Automation, Control,
and Information Technology (ASIT 2010), (June 15 – 18 2010). – Novosibirsk, 2010. – P. 90 – 96.
4. Литвин О.М. Оператори фінітного тривимірного перетворення Фур’є / О.М. Литвин, В.М. Удо-
виченко // Радиоэлектроника и информатика. – 2004. – № 4 (29). – С. 130 – 133.
5. Литвин О.М. Тривимірні фінітні перетворення Фур’є та Хартлі з використанням інтерфлетації
функцій / О.М. Литвин, В.М. Удовиченко // Вестник Национального технического университета
«ХПИ». – Харьков, 2005. – Т. 38. – С. 90 – 130.
6. Литвин О.М. Потрійні інтеграли від щвидкоосцилюючих функцій на класі 3
2, , ,L L LC та інтерфле-
тація функцій / О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер // Інформатика та системні науки (ІСН-2010): мате-
ріали Всеукр. конф. 18–20 березня 2010 р. / Під ред. д.ф.-м.н., проф. О.О. Ємця. – Полтава: РВВ
ПУСКУ, 2010. – С. 108 – 110.
7. Gal S.G. On the preservation of global smoothness by some interpolation operators / S.G. Gal,
J. Szabados // Studio, Scientiarum Mathematicarum Hungarica 35. – 1999. – N 391'1,14. – P. 397 – 414.
Стаття надійшла до редакції 26.03.2012
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-83773 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-9763 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-02T07:26:18Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Литвин, О.М. Нечуйвітер, О.П. 2015-06-23T08:30:39Z 2015-06-23T08:30:39Z 2012 Наближене обчислення 3D коефіцієнтів Фур'є на класі Гьольдера з використанням кусково-сталої сплайн-інтерфлетації / О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер // Мат. машини і системи. — 2012. — № 4. — С. 28-40. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83773 519.6 В статье рассматриваются и исследуются кубатурные формулы вычисления 3D коэффициентов Фурье с использованием операторов кусочно-постоянной сплайн-интерфлетации на классе Гельдера. Информация о функции задана её следами на взаимоперпендикулярных плоскостях, линиях и значениями функции в узловых точках. Получены оценки погрешности кубатурных формул. У статті пропонуються та досліджуються кубатурні формули обчислення 3D коефіцієнтів Фур'є з використанням операторів кусково-сталої інтерфлетації на класі Гьольдера. Інформація про функцію задана її слідами на взаємоперпендикулярних площинах, лініях та значеннями функції у вузлових точках. Отримані оцінки похибки кубатурних формул. Cubature formulas for computing 3D Fourier coefficients using piecewise-constant spline interflation operators on the Gelder's class are proposed and investigated in the article. Information about the function is set by its traces on mutually perpendicular planes, lines and function values in the knots. The error estimates of cubature formulas are received. uk Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Математичні машини і системи Обчислювальні системи Наближене обчислення 3D коефіцієнтів Фур'є на класі Гьольдера з використанням кусково-сталої сплайн-інтерфлетації Приближенное вычисление 3D коэффициентов Фурье на классе Гельдера с использованием кусочно-постоянной сплайн-интерфлетации Approximate calculation of the 3D Fourier coefficients on the Gelder's class using piecewise-constat spline interflation Article published earlier |
| spellingShingle | Наближене обчислення 3D коефіцієнтів Фур'є на класі Гьольдера з використанням кусково-сталої сплайн-інтерфлетації Литвин, О.М. Нечуйвітер, О.П. Обчислювальні системи |
| title | Наближене обчислення 3D коефіцієнтів Фур'є на класі Гьольдера з використанням кусково-сталої сплайн-інтерфлетації |
| title_alt | Приближенное вычисление 3D коэффициентов Фурье на классе Гельдера с использованием кусочно-постоянной сплайн-интерфлетации Approximate calculation of the 3D Fourier coefficients on the Gelder's class using piecewise-constat spline interflation |
| title_full | Наближене обчислення 3D коефіцієнтів Фур'є на класі Гьольдера з використанням кусково-сталої сплайн-інтерфлетації |
| title_fullStr | Наближене обчислення 3D коефіцієнтів Фур'є на класі Гьольдера з використанням кусково-сталої сплайн-інтерфлетації |
| title_full_unstemmed | Наближене обчислення 3D коефіцієнтів Фур'є на класі Гьольдера з використанням кусково-сталої сплайн-інтерфлетації |
| title_short | Наближене обчислення 3D коефіцієнтів Фур'є на класі Гьольдера з використанням кусково-сталої сплайн-інтерфлетації |
| title_sort | наближене обчислення 3d коефіцієнтів фур'є на класі гьольдера з використанням кусково-сталої сплайн-інтерфлетації |
| topic | Обчислювальні системи |
| topic_facet | Обчислювальні системи |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83773 |
| work_keys_str_mv | AT litvinom nabliženeobčislennâ3dkoefícíêntívfurênaklasígʹolʹderazvikoristannâmkuskovostaloísplainínterfletacíí AT nečuivíterop nabliženeobčislennâ3dkoefícíêntívfurênaklasígʹolʹderazvikoristannâmkuskovostaloísplainínterfletacíí AT litvinom približennoevyčislenie3dkoéfficientovfurʹenaklassegelʹderasispolʹzovaniemkusočnopostoânnoisplaininterfletacii AT nečuivíterop približennoevyčislenie3dkoéfficientovfurʹenaklassegelʹderasispolʹzovaniemkusočnopostoânnoisplaininterfletacii AT litvinom approximatecalculationofthe3dfouriercoefficientsonthegeldersclassusingpiecewiseconstatsplineinterflation AT nečuivíterop approximatecalculationofthe3dfouriercoefficientsonthegeldersclassusingpiecewiseconstatsplineinterflation |