Моделі оптимального обсягу замовлення товарів у кредит з урахуванням помилок приймального контролю

Розглянуто проблему визначення оптимального обсягу замовлення ресурсів на поповнення запасів із залученням позикових коштів. Запропоновано моделі управління запасами з урахуванням помилок вхідного контролю, в яких дефіцит не покривається або покривається з наступної поставки повністю чи частково. На...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Математичні машини і системи
Дата:	2013
Автори:	Єгорова, О.В., Снитюк, В.Є.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України 2013
Теми:	Моделювання і управління
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83807
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Моделі оптимального обсягу замовлення товарів у кредит з урахуванням помилок приймального контролю / О.В. Єгорова, В.Є. Снитюк // Мат. машини і системи. — 2013. — № 1. — С. 137-149. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859484701025107968
author	Єгорова, О.В. Снитюк, В.Є.
author_facet	Єгорова, О.В. Снитюк, В.Є.
citation_txt	Моделі оптимального обсягу замовлення товарів у кредит з урахуванням помилок приймального контролю / О.В. Єгорова, В.Є. Снитюк // Мат. машини і системи. — 2013. — № 1. — С. 137-149. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Математичні машини і системи
description	Розглянуто проблему визначення оптимального обсягу замовлення ресурсів на поповнення запасів із залученням позикових коштів. Запропоновано моделі управління запасами з урахуванням помилок вхідного контролю, в яких дефіцит не покривається або покривається з наступної поставки повністю чи частково. Наведено результати моделювання. Рассмотрена проблема определения оптимального объема заказа ресурсов на пополнение запасов с привлечением заемных средств. Предложены модели управления запасами с учётом ошибок входного контроля, в которых дефицит не покрывается или покрывается со следующей поставки полностью или частично. Приведены результаты моделирования. In this paper inventory management problem with permissible delay in payments is discussed. Inventory management models based on incoming inspection errors in which the deficit is not covered or covered with subsequent deliveries wholly or partially are suggested. Numerical examples of modeling results are given.
first_indexed	2025-11-24T15:43:10Z
format	Article
fulltext	© Єгорова О.В., Снитюк В.Є., 2013 137 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1 УДК 004.942 О.В. ЄГОРОВА, В.Є. СНИТЮК МОДЕЛІ ОПТИМАЛЬНОГО ОБСЯГУ ЗАМОВЛЕННЯ ТОВАРІВ У КРЕДИТ З УРАХУВАННЯМ ПОМИЛОК ПРИЙМАЛЬНОГО КОНТРОЛЮ Анотація. Розглянуто проблему визначення оптимального обсягу замовлення ресурсів на попов- нення запасів із залученням позикових коштів. Запропоновано моделі управління запасами з ураху- ванням помилок вхідного контролю, в яких дефіцит не покривається або покривається з наступної поставки повністю чи частково. Наведено результати моделювання. Ключові слова: управління запасами, дефіцит, природний убуток, брак, вхідний контроль. Аннотация. Рассмотрена проблема определения оптимального объема заказа ресурсов на попол- нение запасов с привлечением заемных средств. Предложены модели управления запасами с учё- том ошибок входного контроля, в которых дефицит не покрывается или покрывается со следую- щей поставки полностью или частично. Приведены результаты моделирования. Ключевые слова: управление запасами, дефицит, естественная убыль, брак, входной контроль. Abstract. In this paper inventory management problem with permissible delay in payments is discussed. Inventory management models based on incoming inspection errors in which the deficit is not covered or covered with subsequent deliveries wholly or partially are suggested. Numerical examples of modeling results are given. Keywords: inventory management, deficit, deterioration, defect, incoming inspection. 1. Вступ Протягом останнього десятиліття у формуванні валової доданої вартості країни спостері- гається постійне збільшення частки роздрібної торгівлі. За досить короткий час з мініма- льним втручанням держави торгівля стала однією з найбільш лібералізованих сфер еконо- міки країни. Сьогодні підприємства галузі внаслідок світової економічної кризи, посилен- ня конкуренції, зростання вимог споживачів до якості обслуговування, торговельних і до- даткових послуг змушені шукати способи підвищення ефективності своєї діяльності [1]. Складовою процесу функціонування торговельних фірм є кругообіг капіталу із пос- лідовною зміною форм (грошової і товарної), в якому мають місце стадії акумулювання, розміщення та використання. Збереженню стійкого кругообігу капіталу сприяють раціона- льне залучення позикових ресурсів, підтримка оптимально необхідного рівня ліквідності, достатня доходність та необхідний динамізм функціонуючих вкладень [2]. Капітал, пере- буваючи у товарній формі, утворює запаси підприємств. Існування останніх зумовлює ви- никнення додаткових витрат, пов’язаних зі зберіганням, «замороження» грошових коштів, зниження рентабельності торговельної діяльності тощо. Одним із основних способів об- слуговування товарного обігу у разі нестачі обігових коштів є проведення взаємних розра- хунків між суб'єктами господарювання на основі кредиту. Більшість існуючих моделей та методів управління запасами орієнтовані на використання суб’єктами господарювання лише власних коштів. Тому проблема визначення моментів часу і обсягів замовлення ре- сурсів на поповнення запасів при застосуванні зовнішніх джерел фінансування залишаєть- ся відкритою. Проблему управління запасами із залученням позикового капіталу вивчають вітчиз- няні та зарубіжні науковці. Головна увага спрямовується на розгляд моделей економічного обсягу замовлення товарів з відтермінуванням платежу. Вперше таку модель було запро- поновано Гоялом С.К. у роботі [3]. Аналогічні моделі, в яких відсотки за депозитом нара- ховуються на базі ціни реалізації товару, наведено у [4, 5]. Чунг К.Дж. [6], Пасак С.А. [7] формалізували моделі із застосуванням методу дисконтування грошових потоків. У стат- 138 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1 тях [8–10] досліджено способи задання параметрів попиту та оцінки природного зменшен- ня запасів. Недолік розглянутих моделей полягає у тому, що в них не передбачено враху- вання результатів вхідного контролю якості продукції, який є обов’язковим етапом проце- су постачання. 2. Постановка задачі Торговельна організація в умовах тимчасової нестачі оборотних коштів планує здійснити запозичення у формі товарного кредиту. Комерційний кредит надається фірмою- виробником продукції і полягає у продажу товару на умовах угоди, що передбачає відтер- мінування кінцевого розрахунку на термін M під відсоток .ci Допускається продовження початково встановленого строку позички M на термін N під відсоток .wi Передача права власності на товари відбувається в момент фізичного отримання товарів покупцем незале- жно від часу погашення заборгованості. Продукція, що є предметом договору поставки, здатна втрачати природні властивості, а при її прийманні можуть бути виявлені браковані одиниці. Постачальник зобов’язується усунути недоліки або замінити товарні одиниці з виробничими дефектами (доукомплектувати). Товари з іншими типами невідповідностей реалізовуватимуться підприємством, що кредитується, як вторинна сировина. Достовірність вхідного контролю якості продукції спотворюється визнанням прида- тної продукції такою, що має виробничі дефекти; продукції з виробничими дефектами – бездефектною; товарів з виробничими дефектами – товарами з невиробничими дефектами; товарів з невиробничими дефектами – товарами з виробничими дефектами. Припускаєть- ся, що попит на продукцію є рівномірно розподіленим на інтервалі часу між суміжними поставками, замовлення на поповнення запасів виконується миттєво, може існувати дефі- цит. Необхідно визначити обсяг замовлення товарів для відновлення запасів та трива- лість операційного циклу, за яких мінімізуються витрати системи управління запасами. 3. Моделі визначення оптимального обсягу замовлення товарів у кредит У сучасних наукових джерелах [8–11] поширеною є наступна постановка задачі управлін- ня запасами щодо визначення оптимального обсягу замовлення товарів з відтермінуванням платежу. Інтенсивність попиту на продукцію є сталою і складає D одиниць на часовому інтервалі [0, ].T Замовлення на поповнення запасів виконується миттєво, дефіцит заборо- нений. Витрати на зберігання товарів пропорційні середньому обсягу запасів та інтервалу часу їх існування, а витрати на одну поставку є фіксованими. Товар продається за цінами, що діють на момент продажу, і не підлягають зміні надалі при їх збільшенні у продавця. Покупець виконує своє зобов’язання щодо оплати одержаного товару у день закінчення терміну .M Відсотки на суму товару, проданого у кредит, сплачуються за час з моменту його фізичної передачі. Разом з тим позичальник має додаткове джерело доходу у вигляді відсотків від розміщеної на депозиті виручки з реалізації продукції. Цільова функція мінімізації середніх витрат системи управління запасами є такою [11]: ( ) ( ) ( ) 0 0 1 2 T T c e h D T K T A c i D T t dt p i Dtdt T Ddt T Ω   ⋅ ⋅= + + ⋅ − − ⋅ + Θ −       ∫ ∫ ∫ (1) або при підстановці співвідношення QDT =1 в цільову функцію (1) такою: ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1 139 ( ) , 2 001                 −Θ+⋅−      −⋅+⋅+⋅= ∫∫∫ Ω D Q D Q ec Ddt D Q Dtdtipdtt D Q Dic Dh Q DA QK (2) де Q – обсяг запасів, T – інтервал часу між суміжними поставками, A – витрати на офор- млення замовлення, h – річні витрати, пов’язані зі зберіганням одиниці товару, c – ціна постачання одиниці продукції, ci – відсоткова ставка по кредиту, p – ціна реалізації оди- ниці товару, ei – відсоткова ставка за депозитом, [ ]; , , 0, , M T M T M T  ≤Ω =  > 1 ; , , 0, , Q M M T D M T   ≤ Ω =    >    > ≤ =Θ ,, ,, TMM TMT     > ≤ =Θ ,, ,, 1 TMM TM D Q M – тривалість кредитного періоду. Цільові функції є двічі неперервно-диференційованими, тому з необхідних умов оп- тимальності першого порядку отримано такі значення оптимального обсягу замовлення :Q , 322 * 33 a U v U v Q −−−++−= (3) де        > ⋅ ⋅−      ≤ ⋅ ⋅+⋅⋅⋅−      ⋅ ⋅⋅−      = ,, 3 2 ,, 33 2 23 23 TM ip DAa TM ip DAMDic ip icaa v e e c e c , 23 23      +     = vr U 2 2 , , 3 , , 3 c e a c i M T p i r a M T  ⋅− + ≤ ⋅=  − > ( ) , , 2 , , e e e e D h i p M D M T i p a hD i p M M T i p ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ≤ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ − > ⋅ та значення параметра :T ( ) ( ) ( )       > ⋅+ ⋅ ≤ ⋅+ ⋅−⋅⋅+⋅ = ., 2 ,, 2 * 2 TM iphD A TM ichD ipicMDA T e c ec (4) В описаному підході виходять з припущення про відсутність товарних втрат, що виникають у процесі зберігання продукції, при їх підготовці до продажу та реалізації, тра- нспортуванні внаслідок усушки, випаровування, розпилу тощо. Такі втрати становлять природне зменшення, якщо зменшення маси і (або) зміна фізико-хімічних властивостей товарно-матеріальних цінностей при збереженні їх якості відбулися у межах норм, встано- влених правовими актами. Необхідність даної складової витрат системи управління запа- сами обґрунтовують автори роботи [10]. До подібних висновків на основі емпіричних дос- 140 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1 ліджень схиляються в [9]. Дослідники вважають, що швидкість природного зменшення продукції у визначений момент часу пропорційна наявному обсягу запасів, коливанню якого на протязі одного операційного циклу T відповідає диференційне рівняння ( ) ( ) , 0 , dI t H D I t t T dt n θ= − − ⋅ ≤ ≤ = ( ) 0I T = (5) із загальним розв’язком ( ) ( )( )1 , 0T tD H I t e t T n θ θ −= − ≤ ≤ = (6) та частинним розв’язком при ( )0 :I Q= ( )1 ,TD Q eθ θ = − (7) де ( )tI – обсяг наявних запасів на момент ,t θ – швидкість природного убутку товарів в одиницю часу, H – тривалість планового періоду, n – кількість періодів поповнення і ви- черпання запасів. Із врахуванням втрат від природного зменшення товарів [9] ( ){ }0DC с I D T= − ⋅ (8) цільова функція мінімізації витрат системи управління запасами набуде вигляду [9]: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 , T T T D c w eK n n A h I t dt C c i I t dt I p i Dtdt T Ddt Ω      = + + + ⋅ + − ⋅ + Θ −           ∫ ∫ ∫ ∫ (9) де [ ] [ ] [ ]       >> ≤< > ≤ =Ω ,,; ,,; ,,0 ,,; MTNNM TNMNM TM TMTM ( )      ≤< = ∫ ,,0 ,, випадкахіншихв TNMdttIi I T N w w , , , , , , , T M T M N T M M T N N T M ≤ < ≤ Θ = >  > > N – строк, на який перенесено виконання кредитних зобов’язань. У наведеній цільовій функції допускається повторне відтермінування покупцем строку оплати товару, проданого у кредит. Продавець додатково нараховує відсотки на прострочену суму, починаючи з дня, коли повинна була надійти оплата, і закінчуючи днем фактичної сплати. 4. Модель визначення оптимального обсягу замовлення товарів у кредит з урахуван- ням помилок вхідного контролю Формалізуємо задачу визначення оптимального обсягу замовлення товарів з урахуванням браку і помилок вхідного контролю. Нехай частка бракованих виробів у замовленій партії товарів складає u відсотків, у тому числі Ru відсотків з виробничими дефектами і SCu від- сотків з іншими типами невідповідностей. З огляду на ймовірне здійснення помилок при перевірці якості одержуваної продукції, очікувана кількість товарів з виробничими дефек- тами становитиме ( )( ) ( )1 1 ,R SCQ u Q u u Q uγ τ β αℑ = ⋅ − ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ (10) а кількість товарів, які будуть повернені постачальнику для усунення недоліків, ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1 141 ( )( ) ( ) ( )1 1 1 ,R SCQ u u Q uγ τ β αϒ = ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ (11) де α – ймовірність того, що придатну продукцію визнають продукцією з виробничими дефектами, β – ймовірність того, що продукцію з виробничими дефектами визнають без- дефектною, γ – ймовірність того, що товари з виробничими дефектами ідентифікують як товари з невиробничими дефектами, τ – ймовірність того, що товари з невиробничими дефектами ідентифікують як товари з виробничими дефектами. Підставимо вирази (10) і (11) у диференціальне рівняння, яке описує коливання обсягу запасів на протязі одного операційного циклу ,T ( ) ( ) ( ) , 0 , dI t H D u I t t T dt n θ= − − + − ∆ ⋅ ≤ ≤ = (12) де ( )( )1 .R SCu uγ τ∆ = − + ⋅ Визначивши загальний розв’язок ( ) ( )( )( )1 , 0u T tD H I t e t T u n + −∆ −= − ≤ ≤ = + − ∆ θ θ (13) та частинний розв’язок при ( ) ,0 QI = ( )( )1 ,u TD Q e u θ θ + −∆= − + − ∆ (14) запишемо цільову функцію моделі, що відповідає поставленій задачі: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ( ), T T T D c w e SC e s K n n A h I t dt C c i I t dt I p i Dtdt T Ddt p i u u Q M t Ω    = + + + ⋅ + − ⋅ + Θ − −       − ⋅ − ⋅ ∆ ⋅ ⋅ − ∫ ∫ ∫ ∫ (15) де SCp – ціна реалізації одиниці вторинної сировини, λQtS = – тривалість вхідного конт- ролю, λ – швидкість прийому товару. 5. Моделі управління запасами при плануванні дефіциту продукції До середини минулого століття західні економісти схилялися до думки, що втрачені при- бутки від реалізації через відсутність товару значно перевищують видатки, пов’язані із зберіганням запасів. З розвитком нового напряму досліджень у сфері менеджменту – логіс- тичного менеджменту (логістики) встановлено, що таке твердження не правильне: оцінені бізнесом витрати, зумовлені наявністю надлишкової кількості продукції, зросли до рівня витрат, одержуваних внаслідок її нестачі. Тоді з’явилась нова задача: визначити допусти- мий рівень дефіциту з позиції економічно ефективного управління запасами [12]. При по- будові моделей таких задач розглядаються випадки, коли: 1. За час існування дефіциту покупці не замовляють відсутні товари. 2. За час існування дефіциту частина покупців для задоволення свої потреб зверну- лися до інших джерел, а отримані замовлення виконуються після надходження чергової партії продукції. 3. За час існування дефіциту звернення покупців до інших джерел для задоволення власних потреб відсутні, а отримані замовлення виконуються після надходження чергової партії продукції. 142 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1 Рис. 1. Графік зміни обсягу запасів при плануванні дефіциту без його покриття Адаптуємо модель оптимального обсягу замовлення товарів з урахуванням природ- ного зменшення, браку і помилок вхідного контролю (15) до можливих ситуацій задово- лення попиту у разі вичерпання запасів. Нехай має місце перший випа- док. На інтервалі часу [ ]1;0 t запас, вна- слідок споживання (зі швидкістю D ), скоротиться до нуля і, будучи відсутнім протягом [ ],;1 Tt зумовить повну втрату продажів. Нова партія товарів для по- повнення запасів надійде, коли макси- мально допустимий дефіцит досягне рівня .BMI Коливання обсягів запасів (рис. 1) на протязі одного операційного циклу T описується диференціальними рівняннями: ( ) ( ) ( ) 1 1 , 0 , , D u I t t tdI t dt D t t T H n θ− − + − ∆ ⋅ ≤ ≤=  − ≤ ≤ = (16) із розв’язками ( ) ( )( )( ) ( ) 1 1 1 1 1 , 0 , , . u t tD e t t uI t D t t t t T H n θ θ + −∆ − − ≤ ≤ + − ∆=  − − ≤ ≤ = (17) Остаточно, для заданих початкових умов ( ) MIII =0 і ( ) MBITI =− отримаємо вели- чину партії замовлення: ,MBMI IIQ += (18) де ( )( )1 1u t MI D I e u θ θ + −∆= − + − ∆ – максимальний обсяг запасів, ( )1tTDIMB −= – максималь- но допустимий обсяг дефіциту. З наведеної залежності визначимо часовий параметр ( ) ( )1 . u Te t T u θ θ + −∆ = − + − ∆ (19) Збитки, зумовлені відсутністю запасів, ( )( ) 1 , T BC B t I I t dt= π −∫ (20) де Bπ – збитки від втраченого продажу одиниці товару; додамо до видатків на оформлення замовлення, витрат, пов’язаних із зберіганням запасів, плати за користування кредитом і відсотків від розміщення на депозиті доходу з реалізації. Одержимо таку цільову функцію: ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1 143 Рис. 2. Графік зміни обсягу запасів при плануванні часткового покриття дефіциту ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 0 1 0 0 , t T D B c w t t t e SC e s A h I t dt C I t dt c i I t dt I K n n p i Dtdt t Ddt p i u u Q M t π Ω    + + + − + ⋅ + −      =     − ⋅ + Θ − − ⋅ − ⋅ ∆ ⋅ ⋅ −       ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (21) де [ ] [ ] [ ] 1; , , 0, , ; , , ; , , M t M T M T M N M N T M N N T M  ≤  >Ω =  < ≤  > > ( )      ≤< = ∫ ,,0 ,, 1 випадкахіншихв TNMdttIi I t N w w 1, , , , , , . t M T M N T M M T N N T M ≤ < ≤ Θ = >  > > Розглянемо випадок, коли у разі вичерпання товарних запасів (зі швидкістю D ) на інтервалі [ ]10;t частина покупців з метою задоволення своїх потреб протягом [ ]Tt ;1 звер- нуться до інших джерел. Очевидно, що кількість споживачів, згодних від- класти покупку до наступної постав- ки, буде зменшуватися із збільшенням часу її очікування. Виходячи із при- пущення, що час постачання товарів безпосереднім споживачам менше часу накопичення замовлень, прогно- зований незадоволений попит стано- витиме ( ) ( )( )tttB i −+= δ11 , де it – момент i -ї поставки, δ – інтенсив- ність замовлення товарів. Нова поста- вка відбудеться, коли максимально допустимий дефіцит досягне рівня .BMI Коливанню обсягів запасів (рис. 2) на протязі одного операційного циклу T відповідатимуть диференціальні рівняння: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 , 0 , , 1 D u I t t t dI t D t t T H ndt T t θ δ − − + − ∆ ⋅ ≤ ≤ = − ≤ ≤ = + − (22) із розв’язками ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 , 0 , ln 1 ln 1 , , u t tD e t t uI t D T t T t t t T H n θ θ δ δ δ + −∆ − − ≤ ≤ + − ∆=  − + − − + − ≤ ≤ =  (23) звідки при початкових умовах ( ) MIII =0 і ( ) MBITI =− знаходимо величину партії замов- лення ,MBMI IIQ += (24) де ( )( )1 1u t MI D I e u θ θ + −∆= − + − ∆ – максимальний обсяг запасів, ( )11ln tT D IMB −+= δ δ – мак- симально допустимий обсяг дефіциту. 144 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1 Рис. 3. Графік зміни обсягу запасів при плануванні повного покриття дефіциту З виразу, за яким розраховується величина партії замовлення, визначимо часовий параметр ( )( )1 1 1 .ut T e δ θ δ − + −∆= − − (25) Тоді, з урахуванням витрат, зумовлених відтермінуванням продажів, ( )∫       −+ −= T t LLS dt tT D I 1 , 1 1 δ π (26) де Lπ – витрати, зумовлені відтермінуванням продажу одиниці товару, мінімізовувана фу- нкція витрат набуде виду ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 0 1 0 0 ( 1 1 ). t T T D B L t t t t c w e SC e s D K n n A h I t dt C I t dt dt T t c i I t dt I p i Dtdt t Ddt p i u u Q M t Ω   = + + + − + − +  + −     + ⋅ + − ⋅ + Θ − − ⋅ − ⋅∆ ⋅ ⋅ −         ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ π π δ (27) У третьому випадку, у разі ви- черпання товарних запасів (зі швидкі- стю D ) на інтервалі [ ],;0 1t покупці приймуть рішення відтермінувати по- купки протягом [ ]Tt ;1 . Вважаючи, що час постачання товарів безпосереднім споживачам менше часу накопичення замовлень, прогнозований незадово- лений попит становитиме ( ) ( )( )tttB i −+= 11 , де it – момент i -ї поставки. Нова партія товарів для по- повнення запасів надійде, коли макси- мально допустимий дефіцит досягне рівня .BMI Коливанню обсягів запасів (рис. 3) на протязі одного операційного циклу T відповідатимуть диференціальні рівнян- ня: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 , 0 , , 1 D u I t t t dI t D t t T H ndt T t θ− − + − ∆ ⋅ ≤ ≤ = − ≤ ≤ = + − (28) із розв’язками ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 , 0 , ln 1 ln 1 , , u t tD e t t uI t D T t T t t t T H n θ θ + −∆ − − ≤ ≤ + − ∆=  − + − − + − ≤ ≤ = (29) звідки при початкових умовах ( ) MIII =0 і ( ) MBITI = знаходимо величину партії замовлен- ня ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1 145 ,MBMI IIQ += (30) де ( )( )1 1u t MI D I e u θ θ + −∆= − + − ∆ – максимальний обсяг запасів, ( )11ln tTDIMB −+= – мак- симально допустимий обсяг дефіциту. З попередньої формули визначимо часовий параметр 1 1.ut T eθ + −∆= − + (31) Відповідна задачі цільова функція буде такою: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 0 1 0 0 ( 1 1 ). t T T D B L t t t t c w e SC e s D K n n A h I t dt C I t dt dt T t c i I t dt I p i Dtdt t Ddt p i u u Q M t Ω   = + + + − + − +  + −     + ⋅ + − ⋅ + Θ − −         − ⋅ − ⋅ ∆ ⋅ ⋅ − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ π π (32) 6. Розв’язання задачі визначення оптимального обсягу замовлення товарів Традиційний метод розв’язання задач управління запасами полягає у застосуванні необ- хідних умов оптимальності першого порядку [8, 11]. Особливістю формалізованих про- блем визначення оптимального обсягу замовлення з можливим дефіцитом на скінчений плановий період є необхідність урахування суб’єктивних (кількість інтервалів поповнення і вичерпання запасів) і статистичних (швидкість градації товарів, швидкість природного зменшення) факторів. Очевидно, що розв’язання задач (9), (15), (21), (27), (32) супрово- джується деякими уточненнями результату. Тому пошук оптимальних значень *, TQ здійснимо за допомогою ітераційної процедури [9], що не потребує перевірки додаткових умов на характеристики цільової функції. Метод пошуку визначають такі кроки: Крок 1. Поки не обчислені значення цільової функції, при всіх можливих n вико- нувати. Крок 1.1. Задати кількість інтервалів поповнення і вичерпання запасів .1≥n Крок 1.2. Обчислити значення цільової функції ( ).TK Крок 2. Вибрати оптимальну кількість інтервалів поповнення і вичерпання запасів n таку, щоб ( ) ( ) ( ) ( ) ( )           >=> =≤< => =≤ = . * ,* , * ,* , * ,* , * ,* min* M n H TNnK n H TNMnK n H TMnK n H TMnK nK (33) Крок 3. Підставити n у * n H T = і вирази (14), (18), (24) і (30) для визначення три- валості операційного циклу та для розрахунку величини партії замовлення відповідно. 146 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1 7. Результати моделювання та їх аналіз Розглянемо таку задачу. Підприємство, що спеціалізується на розповсюдженні періодич- них видань, аналізує стратегію організації постачання на наступні 2 роки, за якої мінімізу- ються витрати системи управління запасами. Працюючи 360 днів на рік, співробітники підприємства можуть реалізувати 960 примірників деякого журналу, що користується рів- номірно розподіленим попитом. Ціна реалізації одного екземпляру становить 7 грн/од., а ціна постачання – 3 грн/од. Передбачається одержання додаткового прибутку у результаті розміщення на депозиті доходу від реалізації за діючою на ринку ставкою 16% річних. На оформлення одного замовлення потрібно витратити 60 грн/од. Зберігання одиниці поліг- рафічної продукції обійдеться в 1,5 грн/од. за рік. Збитки внаслідок відсутності та відтер- мінування продажу одиниці товару оцінюються відповідно в 12 грн/од. та 15 грн/од. за рік. Допустима норма товарних втрат, що виникають у процесі реалізації, визначена в розмірі 0,15% від загального обсягу запасів. Очікується, що замовлена партія міститиме 4% брако- ваних примірників, у тому числі 2% з виробничими дефектами і 2% з іншими типами не- відповідностей. Перевірка якості товарів здійснюється зі швидкістю 3000 журналів за оди- ницю часу. Ймовірності виникнення помилок при перевірці якості одержуваних товарів ,15,0=α ,1,0=β ,095,0=γ 0,1.τ = Поліграфічна продукція з виробничими дефектами повертається підприємству-постачальнику для заміни, а продукція з іншими типами невід- повідностей реалізується як вторинна сировина за ціною 2 грн/од. за примірник. Згідно з договором поставки, укладеним із видавництвом, купівля періодики здійснюється з відте- рмінуванням кінцевого розрахунку на 30 днів під 18 % річних. Допускається продовження початково встановленого строку позички на 50 днів під 21 % річних. Необхідно визначити оптимальний обсяг однієї поставки, термін, на який здійснюється постачання, та обґрунту- вати доцільність існування дефіциту, якщо замовлення надходять з інтенсивністю 0,04 одиниці за одиницю часу. Результати розв’язання задачі визначення обсягу поставки та тривалості операцій- ного циклу подамо у вигляді табл. 1–5. Таблиця 1. Визначення обсягу партії поставки та тривалості операційного циклу з ураху- ванням природного зменшення продукції, що виникає в процесі реалізації Кредитний випадок Кількість періо- дів поповнень і вичерпання за- пасів, n Тривалість опе- раційного циклу T , років Обсяг замов- лення ,Q од. Загальні витрати ( )K n , грн/од. TM ≤ 20 0,1 96,724 1,153·106 21 0,095 92,085 1,217·106 22 0,091 87,87 1,281·106 TM > 25 0,08 77,263 1,474·106 26 0,077 74,274 1,538·106 27 0,074 71,508 1,602·106 TNM ≤< 10 0,2 194,909 5,128·105 11 0,182 176,947 5,768·105 12 0,167 162,017 6,409·105 MTN >> 19 0,105 101,855 1,089·106 20 0,1 96,724 1,153·106 21 0,095 92,085 1,217·106 У наведеному випадку за 2 роки доцільно здійснити 10 замовлень з періодичністю один раз на 72 дні. Оптимальний обсяг партії поставки 195 примірників. Мінімальні витра- ти підприємства, пов’язані з управлінням запасами, становитимуть 5,128·105 грн/од. ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1 147 Таблиця 2. Визначення обсягу партії поставки та тривалості операційного циклу з ураху- ванням природного зменшення продукції, браку і помилок вхідного контролю Кредитний випадок Кількість періо- дів поповнень і вичерпання запасів, n Тривалість опе- раційного циклу T , років Обсяг замов- лення ,Q од. Загальні витрати ( )K n , грн/од. TM ≤ 20 0,1 96,82 8,992·105 21 0,095 92,172 9,492·105 22 0,091 87,95 9,991·105 TM > 25 0,08 77,324 1,149·106 26 0,077 74,331 1,199·106 27 0,074 71,56 1,249·106 TNM ≤< 10 0,2 195,299 3,999·105 11 0,182 177,269 4,498·105 12 0,167 162,287 4,997·105 MTN >> 19 0,105 101,962 8,492·105 20 0,1 96,82 8,991·105 21 0,095 92,172 9,49·105 Якщо враховувати, що частина замовленої продукції виявиться бракованою, а пере- вірка якості здійснюється з помилками, то при здійсненні 10 замовлень з періодичністю один раз на 72 дні мінімальні витрати підприємства, пов’язані з управлінням запасами, скоротяться на 1,129·105 грн/од. і становитимуть 3,999·105 грн/од. Оптимальний обсяг пар- тії поставки 195 примірників. Таблиця 3. Визначення обсягу партії поставки та тривалості операційного циклу при пла- нуванні дефіциту без його покриття з урахуванням природного зменшення продукції, бра- ку і помилок вхідного контролю Кредитний випадок Кількість періо- дів поповнень і вичерпання запасів, n Тривалість опе- раційного циклу T , років Обсяг замов- лення ,Q од. Загальні витрати ( )K n , грн/од. TM ≤ 20 0,1 217,00 1,532·107 21 0,095 217,00 1,608·107 22 0,091 216,00 1,683·107 TM > 25 0,08 215,00 2,0·107 26 0,077 215,00 2,078·107 27 0,074 215,00 2,157·107 TNM ≤< 10 0,2 227,00 7,825·106 11 0,182 225,00 8,578·106 12 0,167 224,00 9,331·106 MTN >> 19 0,105 218,00 1,527·107 20 0,1 217,00 1,606·107 21 0,095 217,00 1,685·107 У разі існування дефіциту, що не буде покриватися при черговій поставці, на систе- му управління запасами підприємству доведеться витратити 7,825·106 грн/од. При цьому необхідно буде здійснити 10 замовлень з періодичністю один раз на 72 дні по 227 примір- ників. 148 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1 Таблиця 4. Визначення обсягу партії поставки та тривалості операційного циклу при пла- нуванні дефіциту з його частковим покриттям з урахуванням природного зменшення про- дукції, браку і помилок вхідного контролю Кредитний випадок Кількість періо- дів поповнень і вичерпання запасів, n Тривалість опе- раційного циклу T , років Обсяг замов- лення ,Q од. Загальні витрати ( )K n , грн/од. TM ≤ 20 0,1 270,00 5,03·106 21 0,095 269,00 5,285·106 22 0,091 268,00 5,54·106 TM > 25 0,08 266,00 6,931·106 26 0,077 265,00 7,211·106 27 0,074 264,00 7,49·106 TNM ≤< 10 0,2 294,00 2,508·106 11 0,182 290,00 2,765·106 12 0,167 286,00 3,023·106 MTN >> 19 0,105 272,00 5,252·106 20 0,1 270,00 5,531·106 21 0,095 269,00 5,811·106 Якщо дефіцит буде частково покриватись з наступної поставки у розрахунку на 10 замовлень з періодичністю один раз на 72 дні, оптимальний обсяг партії поставки збіль- шиться до 294 примірників. Разом з тим мінімальні витрати підприємства, пов’язані з управлінням запасами, скоротяться майже втричі у порівнянні з випадком, коли дефіцит не покривається, і становитимуть 2,508·106 грн/од. Таблиця 5. Визначення обсягу партії поставки та тривалості операційного циклу при пла- нуванні дефіциту з його повним покриттям та врахуванням природного зменшення проду- кції, браку і помилок вхідного контролю Кредитний випадок Кількість періо- дів поповнень і вичерпання запасів, n Тривалість опе- раційного циклу T , років Обсяг замов- лення ,Q од. Загальні витрати ( )K n , грн/од. TM ≤ 20 0,1 449,00 2,687·106 21 0,095 449,00 2,826·106 22 0,091 450,00 2,965·106 TM > 25 0,08 451,00 3,409·106 26 0,077 451,00 3,549·106 27 0,074 452,00 3,689·106 TNM ≤< 10 0,2 437,00 1,296·106 11 0,182 439,00 1,435·106 12 0,167 441,00 1,574·106 MTN >> 19 0,105 448,00 2,568·106 20 0,1 449,00 2,708·106 21 0,095 449,00 2,848·106 Якщо дефіцит буде повністю покрито з наступної поставки, то при здійсненні 10 замовлень з періодичністю один раз на 72 дні оптимальний обсяг, замовлений підприємст- вом, збільшиться до 437 примірників, а витрати, пов’язані з управлінням запасами, скоро- тяться до 1,296·106 грн/од. ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1 149 Таким чином, приведені для заданих початкових умов розрахунки свідчать, що ви- трати, зумовлені наявністю надлишкової кількості продукції, не досягли рівня витрат, оде- ржуваних внаслідок її нестачі, тобто свідчать про недоцільність існування дефіциту. Ви- трати підприємства на систему управління запасами будуть мінімальними при здійсненні за 2 роки 10 замовлень з періодичністю один раз на 72 дні по 195 примірників. 8. Висновки Запропоновано моделі визначення оптимального обсягу замовлення товарів у кредит з урахуванням помилок вхідного контролю, в яких дефіцит не покривається або покриваєть- ся з наступної поставки повністю чи частково. Сформовані задачі, побудовані на основі суб’єктивних і статистичних факторів, адекватні відображуваним залежностям. Технологія їх розв’язання не потребує перевірки додаткових умов на характеристики цільової функції, що не ускладнює їх практичне застосування при прийнятті управлінських рішень щодо управління запасами. Перспективним напрямом майбутніх досліджень є розвиток критеріїв оптимальнос- ті моделей та введення до розгляду додаткових властивостей логістичного бізнес- середовища. СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ 1. Тарасюк М. Структурні зрушення у розвитку торгівлі України на сучасному етапі / М. Тарасюк // Товари і ринки. – 2010. – № 1. – С. 17 – 29. 2. Громовик Б.П. Організація та економіка фармації / Б.П. Громовик, С.І. Терещук, І.Л. Чухрай; за ред. Б.П. Громовика, С.І. Терещук. – Вінниця: НОВА КНИГА, 2009. – 816 с. 3. Goyal S.K. Economic order quantity under condition of permissible delay in payments / S.K. Goyal // Journal of Operational Research Society. – 1985. – Vol. 36, N 4. – P. 335 – 338. 4. Shah N.H. A probabilistic order level system when delay in payments is permissible / N.H. Shah // Journal of the Korean Operations Research and Management Science. – 1993. – Vol. 18, N 2. – P. 175 – 183. 5. Aggarwal S.P. Ordering policies of deteriorating items under permissible delay in payments / S.P. Ag- garwal, C.K. Jaggi // Journal of Operational Research Society. – 1995. – Vol. 46. – P. 658 – 662. 6. Chung K.J. A theorem on the determination of economic order quantity under conditions of permissible delay in payments / K.J. Chung // Journal of Information and Optimization Science. – 1998. – Vol. 25. – P. 49 – 52. 7. Pathak S. A fuzzy EOQ inventory model with learning effects incorporating ramp-type demand, partial backlogging and inflation under trade credit financing / S. Pathak, S. Sarkar (Mondal) // International Journal of Research in Commerce, IT & Management. – 2012. – Vol. 2. – P. 8 – 18. 8. Rajeswari N. An inventory model for items with two parameter Weibull distribution deterioration and backlogging / N. Rajeswari, T. Vanjikkodi // American Journal of Operations Research. – 2012. – Vol. 2. – P. 247 – 252. 9. Sharma A. Optimal policy for EOQ model with two level of trade credits in one replenishment cycle / A. Sharma, R. Goel, N.K. Dua // American Journal of Operations Research. – 2012. – Vol. 2. – P. 51 – 58. 10. Tripathy C.K. An EOQ model for three parameter Weibull deterioration with permissible delay in payments and associated salvage value / C.K. Tripathy, L.M. Pradhan // International Journal of Industrial Engineering Computations. – 2012. – Vol. 3. – P. 115 – 122. 11. Shah N.H. EOQ in fuzzy environment and trade credit / N.H. Shah, S. Pareek, I. Sangal // International Journal of Industrial Engineering Computations. – 2012. – Vol. 3. – P. 133 – 144. 12. Заяц О.И. Совершенствование моделей удельного дефицита и удельного остатка запаса на складе для решения задач логистического менеджмента / О.И. Заяц, В.М. Макаров, С.В. Такина // Вестник СПбГУ. – 2007. – Сер. 8, Вып. 4. – С. 50 – 72. Стаття надійшла до редакції 30.07.2012
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-83807
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1028-9763
language	Ukrainian
last_indexed	2025-11-24T15:43:10Z
publishDate	2013
publisher	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
record_format	dspace
spelling	Єгорова, О.В. Снитюк, В.Є. 2015-06-24T06:50:19Z 2015-06-24T06:50:19Z 2013 Моделі оптимального обсягу замовлення товарів у кредит з урахуванням помилок приймального контролю / О.В. Єгорова, В.Є. Снитюк // Мат. машини і системи. — 2013. — № 1. — С. 137-149. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83807 004.942 Розглянуто проблему визначення оптимального обсягу замовлення ресурсів на поповнення запасів із залученням позикових коштів. Запропоновано моделі управління запасами з урахуванням помилок вхідного контролю, в яких дефіцит не покривається або покривається з наступної поставки повністю чи частково. Наведено результати моделювання. Рассмотрена проблема определения оптимального объема заказа ресурсов на пополнение запасов с привлечением заемных средств. Предложены модели управления запасами с учётом ошибок входного контроля, в которых дефицит не покрывается или покрывается со следующей поставки полностью или частично. Приведены результаты моделирования. In this paper inventory management problem with permissible delay in payments is discussed. Inventory management models based on incoming inspection errors in which the deficit is not covered or covered with subsequent deliveries wholly or partially are suggested. Numerical examples of modeling results are given. uk Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Математичні машини і системи Моделювання і управління Моделі оптимального обсягу замовлення товарів у кредит з урахуванням помилок приймального контролю Модели оптимального объема заказа товара в кредит с учетом ошибок приемного контроля Model of optimum order size of goods on credit taking into account receiving inspection errors Article published earlier
spellingShingle	Моделі оптимального обсягу замовлення товарів у кредит з урахуванням помилок приймального контролю Єгорова, О.В. Снитюк, В.Є. Моделювання і управління
title	Моделі оптимального обсягу замовлення товарів у кредит з урахуванням помилок приймального контролю
title_alt	Модели оптимального объема заказа товара в кредит с учетом ошибок приемного контроля Model of optimum order size of goods on credit taking into account receiving inspection errors
title_full	Моделі оптимального обсягу замовлення товарів у кредит з урахуванням помилок приймального контролю
title_fullStr	Моделі оптимального обсягу замовлення товарів у кредит з урахуванням помилок приймального контролю
title_full_unstemmed	Моделі оптимального обсягу замовлення товарів у кредит з урахуванням помилок приймального контролю
title_short	Моделі оптимального обсягу замовлення товарів у кредит з урахуванням помилок приймального контролю
title_sort	моделі оптимального обсягу замовлення товарів у кредит з урахуванням помилок приймального контролю
topic	Моделювання і управління
topic_facet	Моделювання і управління
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83807
work_keys_str_mv	AT êgorovaov modelíoptimalʹnogoobsâguzamovlennâtovarívukreditzurahuvannâmpomilokpriimalʹnogokontrolû AT snitûkvê modelíoptimalʹnogoobsâguzamovlennâtovarívukreditzurahuvannâmpomilokpriimalʹnogokontrolû AT êgorovaov modelioptimalʹnogoobʺemazakazatovaravkreditsučetomošibokpriemnogokontrolâ AT snitûkvê modelioptimalʹnogoobʺemazakazatovaravkreditsučetomošibokpriemnogokontrolâ AT êgorovaov modelofoptimumordersizeofgoodsoncredittakingintoaccountreceivinginspectionerrors AT snitûkvê modelofoptimumordersizeofgoodsoncredittakingintoaccountreceivinginspectionerrors

Моделі оптимального обсягу замовлення товарів у кредит з урахуванням помилок приймального контролю

Репозитарії

Схожі ресурси