Численное решение задачи рассеяния электромагнитных волн незамкнутыми поверхностями вращения
Предложен численный метод решения интегро-дифференциального уравнения задачи рассеяния электромагнитных волн незамкнутыми поверхностями вращения. В качестве иллюстрации метода приведен ряд данных, характеризующих рассеяние на диске, сферическом и параболическом экранах. Запропонований чисельний мето...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Радіоастрономічний інститут НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8383 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Численное решение задачи рассеяния электромагнитных волн незамкнутыми поверхностями вращения / О.И. Сухаревский, С.В. Нечитайло, И.О. Сухаревский // Радиофизика и радиоастрономия. — 2008. — Т. 13, № 1. — С. 67-77. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860047153290805248 |
|---|---|
| author | Сухаревский, О.И. Нечитайло, С.В. Сухаревский, И.О. |
| author_facet | Сухаревский, О.И. Нечитайло, С.В. Сухаревский, И.О. |
| citation_txt | Численное решение задачи рассеяния электромагнитных волн незамкнутыми поверхностями вращения / О.И. Сухаревский, С.В. Нечитайло, И.О. Сухаревский // Радиофизика и радиоастрономия. — 2008. — Т. 13, № 1. — С. 67-77. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Предложен численный метод решения интегро-дифференциального уравнения задачи рассеяния электромагнитных волн незамкнутыми поверхностями вращения. В качестве иллюстрации метода приведен ряд данных, характеризующих рассеяние на диске, сферическом и параболическом экранах.
Запропонований чисельний метод розв’язку інтегро-диференціального рівняння задачі розсіяння електромагнітних хвиль незамкненими поверхнями обертання. Метод ілюстровано низкою даних, що характеризують розсіяння на диску, сферичному та параболічному екранах.
A Numerical method for solution of integrodifferential equation of electromagnetic wave scattering by open surfaces of revolution is suggested. The method is illustrated by the data characterising the scattering by flat, spherical and parabolic screens.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:58:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
Радиофизика и радиоастрономия, 2008, т. 13, №1, с. 67-77
© О. И. Сухаревский, С. В. Нечитайло, И. О. Сухаревский, 2008
УДК 621.396.96
Численное решение задачи рассеяния электромагнитных волн
незамкнутыми поверхностями вращения
О. И. Сухаревский, С. В. Нечитайло, И. О. Сухаревский1
Харьковский университет воздушных сил им. Ивана Кожедуба,
ул. Сумская, 77/79, г. Харьков, Украина
1Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины,
ул. Ак. Проскуры, 12, г. Харьков, 61085, Украина
E-mail: i_sukharevsky@gmail.com
Статья поступила в редакцию 27 декабря 2007 г.
Предложен численный метод решения интегро-дифференциального уравнения задачи рассе-
яния электромагнитных волн незамкнутыми поверхностями вращения. В качестве иллюстрации
метода приведен ряд данных, характеризующих рассеяние на диске, сферическом и параболи-
ческом экранах.
Введение
В ряде задач прикладной электродинамики
возникает необходимость в нахождении элек-
тромагнитных полей, рассеянных незамкнуты-
ми экранами различной формы. В частности,
это могут быть бесконечно тонкие идеально
проводящие экраны, которыми аппроксими-
руются бортовые антенные системы (АС).
Представляют интерес как задачи излучения
таких систем, так и нахождение их вторично-
го излучения (в последнем случае АС рас-
сматривается как пассивный рассеиватель).
При этом электрические размеры АС за-
частую оказываются резонансными, т. е.
0 1,k a ∼ где 0k – волновое число в свободном
пространстве, a – характерный размер экрана.
В этой ситуации применение асимптотических
(высокочастотных) методов расчета 0( 1)k a −
лучевых (геометрическая оптика, геометри-
ческая теория дифракции) либо токовых (фи-
зическая оптика, физическая теория дифрак-
ции) – оказывается неприемлемым. Одним
из возможных вариантов расчета здесь яв-
ляется сведение задачи к решению интеграль-
ных или интегро-дифференциальных уравне-
ний (ИДУ).
Последние несколько десятилетий весьма
интенсивно развивались методы решения дву-
мерных задач дифракции на незамкнутых эк-
ранах (см., например, [1-4]). В [1] были разра-
ботаны методы сведения задач к сингуляр-
ным (в случае Е-поляризации) и гиперсингу-
лярным (в случае Н-поляризации) уравнениям
с последующей их дискретизацией с помощью
квадратурных формул специального вида.
ИДУ, рассмотренное в [3], решалось прямым
методом (путем аппроксимации решения от-
резками ряда Фурье по косинусам кратных
дуг), так как дифференцирование в нем прово-
дилось лишь по дуге контура.
Среди немногочисленных работ, посвя-
щенных трехмерным задачам на незамкну-
тых экранах, следует отметить [5-16]. Све-
дение в [5, 7] указанной задачи к интеграль-
ным уравнениям (ИУ) второго рода имело
важное теоретическое значение, однако чис-
ленная реализация используемого метода
оказалась затруднительной ввиду сложной
структуры ядер ИУ, содержащих контурные
интегралы.
О. И. Сухаревский, С. В. Нечитайло, И. О. Сухаревский
68 Радиофизика и радиоастрономия, 2008, т. 13, №1
В [9] были рассмотрены сумматорные
уравнения, возникающие при решении задачи
рассеяния на незамкнутых сферических экра-
нах, и получено их строгое решение. Геомет-
рия экрана при этом имеет принципиальное
значение.
В работах [10, 11] был предложен числен-
ный метод расчета ИДУ трехмерной задачи
дифракции на незамкнутых поверхностях про-
извольной формы, основанный на использо-
вании кусочно-постоянной аппроксимации
плотностей поверхностного тока на экране.
Однако повышение точности расчета при
таком подходе достигается путем уменьше-
ния размеров элементов разбиения поверх-
ности, что, в свою очередь, приводит к сбли-
жению точек наблюдения, которые помеща-
ются в середину каждого элемента. Кроме
того, не учитывается в явном виде поведе-
ние плотностей поверхностного тока вблизи
кромок экрана (условие Майкснера). Все это
может, по-видимому, приводить к неустойчи-
вости решений получаемых систем линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ) и к росту
значений плотностей тока вблизи кромки при
уменьшении диаметра разбиения.
В настоящей статье предлагается числен-
но-аналитическое решение полученного (иным
способом) ИДУ для дифракции на незамкну-
тых идеально проводящих экранах, представ-
ляющих собой поверхности вращения, при их
произвольном облучении. Этот метод, по сути,
является обобщением на трехмерный случай
методики, использованной в [3, 4]. Решение
полученного уравнения ищется в виде отрез-
ков двойных рядов Фурье с множителями,
отвечающими за выполнение условий Майк-
снера. Используются полученные специаль-
ные квадратурные формулы для сингулярных
интегралов. Приводится ряд результатов для
конечного параболоида вращения и сферичес-
кого экрана (а также для их предельных слу-
чаев – экранов, близких к диску), модули
составляющих плотности поверхностного
тока, различные диаграммы эффективной по-
верхности рассеяния (ЭПР). Проводится
сравнение полученных результатов с прибли-
жениями, найденными методом физической
оптики.
Предложенный метод, вообще говоря,
без особых корректив может быть приме-
нен для решения задач рассеяния выпук-
лыми незамкнутыми поверхностями произ-
вольной формы.
1. Получение ИДУ задачи рассеяния
для трехмерного незамкнутого экрана
Рассматривается возбуждение незамкну-
того идеально проводящего бесконечно тон-
кого экрана S, с граничным контуром L, ис-
точником, расположенным вне него. Вос-
пользуемся известным представлением для
вектора электрической напряженности пол-
ного поля [17-19]:
0
0 0 0 0( ) ( ) ( , )
S
E x E x i g x x j⎡− = ωμ ⋅ −⎣∫
0
0
1 ( ) ( , ) d ,j g x x s
i
⎤
− ⋅∇ ∇ ⎥ωε ⎦
(1.1)
где x – точка интегрирования на поверхности
S; 0x – точка наблюдения; 0E – вектор на-
пряженности первичного электрического поля
в точке наблюдения;
0 0
0
0
1( , ) ;
4
ik x xeg x x
x x
−
=
π −
∇ – оператор Гамильтона; ( ) ( )j n H n H+ −= × − × =
( ) ( )H H⊥ + ⊥ −− – плотность поверхностного
тока на экране S (символом ⊥ обозначен по-
вернутый на 90° тангенциальный к S век-
тор )( ) ;TA A n n A= − ⋅ ,E H – полное поле;
0 0 0 ,k = ω ε μ а 0,ε 0μ – абсолютные прони-
цаемости свободного пространства.
Предположим, что точка 0x вначале нахо-
дится вне поверхности S со стороны выбранно-
го направления нормали, но вблизи нее. Пусть
поверхность S описывается полярным уравне-
нием в сферических координатах 0 ( , ).r r= θ ϕ
Радиус-вектор точки, находящейся вблизи
поверхности, может быть записан в виде:
0( , ) ( , ) ( , ),r r n nθ ϕ = θ ϕ + ⋅ θ ϕ
Численное решение задачи рассеяния электромагнитных волн незамкнутыми поверхностями вращения
69Радиофизика и радиоастрономия, 2008, т. 13, №1
где n – расстояние от точки до поверхности.
Заметим, что орт нормали n выбран таким
образом, что ( , , )e e nθ ϕ образуют правую
тройку векторов.
Введем в рассмотрение тангенциальные
операторы:
,D n
n
∂=∇−
∂ 0 0 0
0
,D n
n
∂= ∇ −
∂
где 0∇ – оператор Гамильтона по перемен-
ной 0.x
В сферических координатах
,j j e j eϕ ϕ θ θ= + (1.2)
0 0
1 1 .
( , ) ( , )sin
D e e
r rθ ϕ
∂ ∂= +
θ ϕ ∂θ θ ϕ θ ∂ϕ
В дальнейшем будет необходимо устремить
точку 0x на поверхность, поэтому, имея в виду
этот предельный переход, будем без ограни-
чения общности полагать
0 00
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 .
( , ) ( , )sin
D e e
r rθ ϕ
∂ ∂= +
θ ϕ ∂θ θ ϕ θ ∂ϕ
Так как j – тангенциальный к поверхности
S вектор, то
( )d ( )d ( )d ( )d .
S S S S
j g s j Dg s D jg s g D j s⋅∇ = ⋅ = − ⋅∫ ∫ ∫ ∫
(1.3)
Введем тангенциальные вектор
j e j e j⊥
ϕ θ θ ϕ= − и оператор .D n D⊥ = ×
Покажем, что ( )d 0.
S
D jg s =∫ Заметим,
что ( ) ( ).D jg D j g⊥ ⊥= Тогда в силу теоремы
Стокса
( )d ( )d ( )d
S S L
D jg s D j g s gj l⊥ ⊥ ⊥= = ⋅ τ =∫ ∫ ∫
( ) d ( )d ,
L L
g n j l g j l= × τ = ν ⋅∫ ∫
где τ – орт, касательный к граничному конту-
ру L, а nν = τ× – единичный вектор, ортого-
нальный контуру L и лежащий в касательной
к S плоскости.
В окрестности граничного контура L имеем:
.j j jν τ= ν + τ Учитывая, что 0,ν ⋅ τ ≡ а 0Ljν ≡
в силу условия Майкснера, ( ) 0,
L
jν ⋅ ≡ а сле-
довательно, ( )d 0,
L
g j lν ⋅ =∫ и значит рассмат-
риваемый интеграл равен нулю, что и требо-
валось доказать.
Умножая слева векторно (1.1) на 0n и ис-
пользуя (1.3), получим:
0 20
0 0 0 0 0 0 1 2
0
( ) ( ) ,ik n E x n E x k I Iε ⎡ ⎤× − × = −⎣ ⎦μ
(1.4)
где 1 0( )d ,
S
I g n j s= ×∫ 2 0 0( ) ( )d .
S
I n D g D j s= × ⋅∫
Тогда, после ряда преобразований выраже-
ния для 2I (см. п. 2.1), устремив точку на по-
верхность экрана, получим из (1.4) сингулярное
ИДУ, которое, с учетом условия идеальной
проводимости экрана S ( )0 0( ) | 0 ,Sn E x× = при-
мет следующий вид:
( )0 20
0 0 0 0 1 2
0
( ) .ik n E x k I Iε × = ⋅ −
μ
(1.5)
ИДУ (1.5) содержит производные искомой
плотности тока j лишь в тангенциальных
к S направлениях, что позволяет применить
для его решения прямые методы, основанные
на представлении j в виде линейной комби-
нации известных функций аргументов θ, ϕ
с подлежащими нахождению коэффициентами.
2. Метод решения ИДУ
Решение ИДУ (1.5) конкретизируем для
случая поверхности, представляющей собой
параболоид вращения:
О. И. Сухаревский, С. В. Нечитайло, И. О. Сухаревский
70 Радиофизика и радиоастрономия, 2008, т. 13, №1
2 21: ( ),
2 2
pS z x y
p
+ = + 2 2 2 ,x y a+ ≤ (2.1)
где p – удвоенное фокусное расстояние, a –
радиус апертуры. Центр системы координат
расположен в фокусе параболоида, а ось z на-
правлена вдоль его оси вращения. Геометрия
модели изображена на рис. 1. Облучение про-
водится плоской электромагнитной волной, рас-
пространяющейся под углом 0α к оси экрана.
Расчеты проводились для двух поляризаций зон-
дирующей волны: поляризации, перпендикуляр-
ной плоскости, проходящей через направление
распространения 0
0 0(0, sin , cos )R = − α − α и
ось экрана (вектор 0E имеет направление орта
0
пер ),p и поляризации, лежащей в этой плоскос-
ти и определяемой ортом 1
пер.p
Учитывая, что 0 ( , ) ,
1 cos
pr θ ϕ =
+ θ
1(0 , 0 2 ),< θ≤ θ < ϕ≤ π 1 arctg ,
2
a
p d
θ =
−
компо-
ненты радиус-вектора точки на поверхности S
0
sin cos ,
1 cos
x p θ= ϕ
+ θ 0
sin sin ,
1 cos
y p θ= ϕ
+ θ
0
cos .
1 cos
z p θ= −
+ θ
При этом элемент площади поверхности
имеет вид:
2
2
sin
2d ( )d d 2 d d ,
(1 cos )
s p
θ
= χ θ θ ϕ = θ ϕ
+ θ
а орт нормали в точке наблюдения равен
0 0 0
0 0 0
0 0
sin sincos cos , sin ,1 .
2 1 cos 1 cos
n
⎛ ⎞θ θ θ= − ϕ − ϕ⎜ ⎟+ θ + θ⎝ ⎠
Таким образом, необходимо разработать
метод и предложить алгоритм решения ИДУ
(1.5) с учетом конкретных выражений для
входящих в него операторов, записанных в
сферической системе координат, для поверх-
ности S, представляющей собой конечный
(вдоль оси вращения) параболоид резонанс-
ных размеров 0( 1).k a ∼
Известно [18], что составляющие плотно-
сти поверхностного тока, перпендикулярные
кромке, ведут себя при приближении к ней,
как 1 2,ρ а составляющие, параллельные кром-
ке, как 1 2,ρ (в силу условий Майкснера). Здесь
ρ – расстояние до кромки. Поэтому будем
искать составляющие плотности поверхност-
ного тока (1.2) в виде:
1 2
1
ˆ( ) ( , ),j jθ θ= θ − θ ⋅ θ ϕ (2.2)
1 2
1
ˆ( ) ( , ),j j−
ϕ ϕ= θ −θ ⋅ θ ϕ (2.3)
где 1θ – угол, соответствующий граничному
контуру (рис. 1).
Функции ˆ ( , ),jθ θ ϕ ˆ ( , )jϕ θ ϕ будем искать в
виде отрезков двойных рядов Фурье:
( )(1) (2)
0 0
ˆ ( , ) cos( ) sin( )
L M
lm lm
l m
j A m A mθ
= =
θ ϕ = ϕ + ϕ ×∑∑
cos( ),l× ς θ 1(0 , 0 2 ),< θ ≤ θ < ϕ ≤ π (2.4)
Рис. 1. Геометрия задачи: 0
перp , 1
перp – орты поля-
ризаций передатчика; 0
прp , 1
прp – орты поляриза-
ций приемника
Численное решение задачи рассеяния электромагнитных волн незамкнутыми поверхностями вращения
71Радиофизика и радиоастрономия, 2008, т. 13, №1
( )(1) (2)
0 0
ˆ ( , ) cos( ) sin( )
L M
lm lm
l m
j B m B mϕ
= =
θ ϕ = ϕ + ϕ ×∑∑
cos( ),l× ς θ 1(0 , 0 2 ),< θ ≤ θ < ϕ ≤ π (2.5)
где 1 ,l lς = π θ а ( ) ( ), ( 1, 2)i i
lm lmA B i = подлежат
нахождению. Количество гармоник L, M
выбирается из условия установления значений
рассеянного поля, вычисленного с использова-
нием полученных значений плотности поверх-
ностного тока (2.4), (2.5).
Воспользовавшись представлениями для
компонент плотности поверхностного тока и
его производных, интеграл 1I в (1.5) можно
записать в виде
{0
(1) (2)
1 11,1 0 0 11,2 0 0
,
( , ) ( , )lm lm
lm lm
l m
I e A P A Pϕ= θ ϕ + θ ϕ +∑
}(1) (2)
11,1 0 0 11,2 0 0( , ) ( , )lm lm
lm lmB Q B Q+ θ ϕ + θ ϕ −
{0
(1) (2)
12,1 0 0 12,2 0 0
,
( , ) ( , )lm lm
lm lm
l m
e A P A Pθ− θ ϕ + θ ϕ +∑
}(1) (2)
12,1 0 0 12,2 0 0( , ) ( , ) ,lm lm
lm lmB Q B Q+ θ ϕ + θ ϕ (2.6)
где
1 ,
1 , 0 0 0 0( , ) ( ) ( , ; , ) ( )d d ,lm j i
j i lm
S
P g rθ ϕ = Γ θ ϕ θ ϕ χ θ θ ϕ∫
( 1, 2; 1, 2),i j= =
2 ,
1 , 0 0 0 0( , ) ( ) ( , ; , ) ( )d d ,lm j i
j i lm
S
Q g rθ ϕ = Γ θ ϕ θ ϕ χ θ θ ϕ∫
( 1, 2; 1, 2),i j= =
0
0
1 ,
0 0
( ), 1
( , ; , )
( ), 2
j i
lm
e e j
e e j
θ θ
ϕ θ
⋅ =⎧ ⎫⎪ ⎪Γ θ ϕ θ ϕ = ×⎨ ⎬⋅ =⎪ ⎪⎩ ⎭
1 2
1
cos( ), 1
( ) cos( ) ,
sin( ), 2l
m i
m i
ϕ =⎧ ⎫
× θ −θ ν θ ⎨ ⎬ϕ =⎩ ⎭
0
0
2 ,
0 0
( ), 1
( , ; , )
( ), 2
j i
lm
e e j
e e j
θ ϕ
ϕ ϕ
⋅ =⎧ ⎫⎪ ⎪Γ θ ϕ θ ϕ = ×⎨ ⎬⋅ =⎪ ⎪⎩ ⎭
1 2
1
cos( ), 1
( ) cos( ) .
sin( ), 2l
m i
m i
− ϕ =⎧ ⎫
× θ −θ ν θ ⎨ ⎬ϕ =⎩ ⎭
Второе слагаемое, входящее в (1.5), с уче-
том выражений (2.2), (2.3) может быть запи-
сано следующим образом:
( )0 0
0
2 0 21 22ctg sin ,
2
I e I e Iϕ θ
θ= ⋅ θ ⋅ − ⋅ (2.7)
где
21 1
0
( ) sin ( )d d ,
S
jjI g r ϕθ ∂⎛ ⎞∂∂= θ⋅ + γ θ θ ϕ⎜ ⎟∂θ ∂θ ∂ϕ⎝ ⎠
∫
22 1
0
( ) sin ( )d d ,
S
jjI g r ϕθ ∂⎛ ⎞∂∂= θ⋅ + γ θ θ ϕ⎜ ⎟∂ϕ ∂θ ∂ϕ⎝ ⎠
∫
1
3
sin( ) .
2cos
2
θγ θ = θ
Для 2I (2.7) может быть получено выраже-
ние, аналогичное (2.6), линейно зависящее от ко-
эффициентов Фурье компонент плотности тока.
2.1. Вычисление интегралов, входящих
в 1I и 2I , и их производных по параметру
Расчет интегралов, входящих в 1I и 2 ,I
сводится к вычислению интегралов вида
0 0
cos( ), 1
( , ) ( ) ( ) d d
sin( ), 2
i
S
m i
U g r f
m i
ϕ =⎧ ⎫
θ ϕ = θ θ ϕ⎨ ⎬ϕ =⎩ ⎭
∫ и
их частных производных по параметрам
1 0 0 2 0 0 0 0
0 0
( , ) и ( , ) , ( , ) ,
i i
i iU UU U S∂ ∂θ ϕ = θ ϕ = θ ϕ ∉
∂θ ∂ϕ
0
( ) ,
4
ik reg r
r
=
π
( )f θ – интегрируемая функция
(возможно, имеющая особенность вида
1 2
1( ) ),−θ − θ а r – расстояние от точки наблю-
дения 0 0( , )θ ϕ до точки интегрирования. На-
пример, в случае, когда S – параболоид вра-
щения (2.1):
О. И. Сухаревский, С. В. Нечитайло, И. О. Сухаревский
72 Радиофизика и радиоастрономия, 2008, т. 13, №1
1 2
2 20 0
0 0( , ) sin ( , )sin ,
2 2
r θ − θ ϕ−ϕ⎛ ⎞= γ θ θ +μ θ θ⎜ ⎟⎝ ⎠
где 0( , ),γ θ θ 0( , )μ θ θ – некоторые непрерыв-
но-дифференцируемые функции.
Интегралы могут быть преобразованы сле-
дующим образом:
12
0 0
0 0
cos( ), 1
( , ) ( ) ( ) d d
sin( ), 2
i m i
U g r f
m i
θπ ϕ =⎧ ⎫
θ ϕ = θ θ ϕ =⎨ ⎬ϕ =⎩ ⎭∫ ∫
0
0
0
cos( ), 1
( ),
sin( ), 2 c
m i
U
m i
ϕ =⎧ ⎫
= θ⎨ ⎬ϕ =⎩ ⎭
где
12
0
0 0
( ) cos( )d ( ) ( )d .cU m g r f
θπ
θ = ψ ψ θ θ∫ ∫ (2.8)
Таким образом, нахождение рассматри-
ваемых интегралов и их частных производ-
ных по параметру 0ϕ сводится к вычислению
интеграла 0( ),cU θ заданного формулой (2.8),
а частных производных по параметру 0θ –
к вычислению 0
0
( ) .cU∂ θ
∂θ
Пользуясь тем, что 0 0( , ) ,Sθ ϕ ∉ внесем в
0
0
( )cU∂ θ
∂θ
оператор дифференцирования
0
∂
∂θ
под знак интеграла. Тогда внутренний интег-
рал после проведения несложных преобразо-
ваний будет иметь следующий вид:
1
0
0
00
( , ; )( ; ) ( )dg f
θ ∂ θ ψ θΦ ψ θ = θ θ =
∂θ∫
1 0
0
2
2 0
0 03 2
2 2
02
( )sin
2( ) ( , ; )d ,
( )sin
2
t
R t t
t
θ −θ
θ−
ψ− +β θ
= δ θ ψ θ
ψ⎛ ⎞+α θ⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
(2.9)
где 0( ),α θ 0( ),β θ 0( )δ θ – некоторые непрерыв-
но-дифференцируемые функции, а 0( , ; )R t ψ θ –
функция, имеющая особенность по t не выше
корневой на верхнем пределе. Далее, устре-
мив точку наблюдения на экран, 0 0( , ) ,Sθ ϕ →
будем понимать интеграл (2.9) в точках
: sin 0
2
ψ⎧ ⎫ψ =⎨ ⎬
⎩ ⎭
в смысле главного значения
по Коши.
Преобразуем интеграл (2.9):
1 0
0
2 2
2 0
0 0 3 2
2 2
02
( )sin
2( ; ) ( )
( )sin
2
t t
t
θ −θ
θ−
ψ− +β θ
Φ ψ θ = δ θ ×
ψ⎛ ⎞+α θ⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
1 0 0( , ; )d ( ; ),R t t S× ψ θ + ψ θ (2.10)
где 0 0
1 0
( , ; ) (0, ; )( , ; ) ,R t RR t
t
ψ θ − ψ θψ θ =
1 0 0(0, ; ) (0, ; ),R Rθ′ψ θ = ψ θ
0 0 0( ; ) ( ) (0, ; )S Rψ θ = δ θ ψ θ ×
1 0
0
2
2 0
3 2
2 2
02
( )sin
2 d
( )sin
2
t
t
t
θ −θ
θ−
ψ− +β θ
× =
ψ⎛ ⎞+α θ⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
1 0 0
0 0, ; , ; ,
2 2
s sθ −θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ψ θ − − ψ θ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0 0 0( , ; ) ( ) (0, ; )s t Rψ θ = δ θ ψ θ ×
2
0
3 2
2 2
0
( )sin
2 d
( )sin
2
t
t
t
ψ− +β θ
× =
ψ⎛ ⎞+α θ⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
0
0
0 0
2 2
0
( ) 1
( )( ) (0, ; ) .
( )sin
2
t
R
t
β θ +
α θ= δ θ ψ θ
ψ+α θ
Таким образом, вычисленную функцию
0( ; )S ψ θ следует понимать как главное значе-
ние соответствующего интеграла.
Численное решение задачи рассеяния электромагнитных волн незамкнутыми поверхностями вращения
73Радиофизика и радиоастрономия, 2008, т. 13, №1
Первое слагаемое в (2.10) будем вычис-
лять с помощью квадратурной формулы с
сингулярным весом
2 2
0
3 2
2 2
0
( )sin
2 ,
( )sin
2
tt
t
ψ− +β θ
ψ⎛ ⎞+α θ⎜ ⎟⎝ ⎠
полученной путем кусочно-постоянной ап-
проксимации функции 1 0( , ; ) :R t ψ θ
(0 0 1 0 0
1
( ; ) ( ) ( ; ) ( , ; )
N
i i
i
R T t
=
Φ ψ θ ≈ δ θ ψ θ ψ θ −∑
)1 0 0( , ; ) ( ; ),iT t S−− ψ θ + ψ θ 1 ,i it t t− < < (2.11)
где 1
1 0 1 0( ; ) , ; ,
2
i i
i
t tR R − +⎛ ⎞ψ θ = ψ θ⎜ ⎟⎝ ⎠
1 ;i N≤ ≤
0 ,it t ih= + 0
0 ,
2
t θ= − 1 ;
2
h
N
θ=
2 2
0
0 3 2
2 2
0
( )sin
2( , ; ) d
( )sin
2
tt
T t t
t
ψ− +β θ
ψ θ = =
ψ⎛ ⎞+α θ⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
2 2
0
2 2
0
ln ( )sin
2
( )sin
2
t t t
t
⎛ ⎞ψ= − + +α θ −⎜ ⎟⎜ ⎟ψ ⎝ ⎠+α θ
2
0
2 2
0
( )sin
2 .
( )sin
2
t
ψβ θ
−
ψ+α θ
(2.12)
Заметим, что первое и третье слагаемые в
(2.12) ограничены, а второе имеет лишь лога-
рифмическую особенность. Поэтому внешнее
интегрирование может проводиться, например,
с помощью составной пятиточечной формулы
Гаусса.
Внутренний интеграл в (2.8), ( )Η ψ =
1
0
( ) ( )d ,g r f
θ
θ θ∫ имеет особенность более сла-
бую, чем интеграл в (2.9), и может быть
вычислен с использованием формулы, подоб-
ной (2.11).
2.2. Дискретизация уравнения (1.5)
Принимая во внимание, что
( )0 0
0 0
0 0 0( ) ( ),e n E x e E xϕ θ× = ⋅
( )0 0
0 0
0 0 0( ) ( ),e n E x e E xθ ϕ× = − ⋅
получим из (1.5) систему, состоящую из
двух ИУ:
( )
( )
0 0 0
0 0 0
0 20
0 0 1 2
0 20
0 0 1 2
( ) ( ) ( ),
120
( ) ( ) ( ).
120
ik e E x k e I e I
ik e E x k e I e I
θ ϕ ϕ
ϕ θ θ
⎧ ⋅ = ⋅ − ⋅⎪⎪ π
⎨
⎪− ⋅ = ⋅ − ⋅⎪ π⎩
(2.13)
Учитывая, что 1I и 2I могут быть линейно
выражены через ( ) ,i
lmA ( )i
lmB ( 1, 2),i = система
(2.13) может быть рассмотрена как система
двух линейных уравнений с коэффициентами,
зависящими от координат точки наблюдения
0 0( , ).θ ϕ Выбирая число точек коллокации
0 0( , )i jθ ϕ большим 4( 1)( 1)L M+ + – числа
неизвестных, получим переопределенную
СЛАУ, которую будем решать методом наи-
меньших квадратов.
Аналогичным образом может быть полу-
чен расчетный алгоритм для случая сфери-
ческого экрана; в этом случае формулы будут
иметь более простой вид.
2.3 Результаты численного
моделирования
Для проверки адекватности предложенно-
го метода был проведен ряд расчетов для
поверхностей, представляющих собой незам-
кнутые экраны сферической и параболичес-
кой формы, а также диск как предельный слу-
чай экрана параболической формы. На рис. 2
изображены диаграммы обратного вторич-
ного излучения (ДОВИ) (корня из ЭПР
2расс
пр2
0
пер
( )
lim 4
( )
i
ir
p E
r
p E→∞
⋅
σ = π
⋅
на основных поля-
ризациях) сферического незамкнутого экрана
с радиусом апертуры a = λ (длина волны
О. И. Сухаревский, С. В. Нечитайло, И. О. Сухаревский
74 Радиофизика и радиоастрономия, 2008, т. 13, №1
3λ = см) и высотой 0.5d = λ 0(0 180 ),° ≤ α ≤ °
полученные при количестве гармоник 3,L =
5M = в (2.4), (2.5). Рис. 2, а иллюстрирует
зависимость от угла 0α для орта поляризации
0
перp (см. рис. 1), а рис. 2, б – для орта 1
пер.p
На рисунке для сравнения приведены резуль-
таты моделирования, полученные с помощью
метода физической оптики (тонкая линия).
Хорошее совпадение кривых на рис. 2, б объяс-
няется незначительным вкладом кромочных
участков рассеяния в суммарное рассеянное
поле при поляризации 1
пер.p В случае поляри-
зации 0
перp (рис. 2, а) вклад кромочных учас-
тков рассеяния значителен, что выражается
в повышении среднего уровня диаграммы
и появлении дополнительных всплесков при
углах 0 55; 75; 105; 125 .α ≈ ° Провал в ДОВИ
при осевом зондировании обусловлен проти-
вофазным сложением отраженных сигналов
от зон Френеля на поверхности экрана.
Рис. 3 иллюстрирует внутреннюю сходи-
мость метода (по числу гармоник) на осно-
вании диаграмм рассеяния (ДР) для диска
радиуса 2 ,a = λ полученного в результате
“сплющивания” параболического экрана
( 0.002 ),d ≈ λ вычисленных при разных M.
Облучение проводилось для угла 0 15 .α = °
Прием осуществлялся при поляризации 0
прp
(рис. 3, а) и 1
прp (рис. 3, б). Сплошной жирной
линией на рис. 3 изображена зависимость, по-
лученная методом физической оптики. Заме-
тим, что, как и в случае обратного рассеяния,
имеют место всплески, порожденные кромоч-
ными участками рассеяния. В ситуации, изоб-
раженной на рис. 3, а, ДР носят более выра-
женный осциллирующий характер, что вызвано
интерференцией полей, рассеянных кромочны-
ми участками рассеяния. Так как ,d λ ока-
зывается достаточным положить 1.L = Коли-
чество гармоник М, необходимых для установ-
ления рассчитываемых зависимостей в слу-
Рис. 2. ДОВИ сферического экрана: а) – поляриза-
ция 0
перp ; б) – поляризация 1
перp
Рис. 3. ДР диска: а) – поляризации 0
перp , 0
прp ;
б) – поляризации 1
перp , 1
прp
Численное решение задачи рассеяния электромагнитных волн незамкнутыми поверхностями вращения
75Радиофизика и радиоастрономия, 2008, т. 13, №1
чае, представленном на рис. 3, б, заметно мень-
ше, чем для случая, приведеного на рис. 3, а.
Это также обусловлено вкладами кромочных
участков рассеяния диска.
Метод, изложенный в статье, позволяет
получить аналитические выражения для со-
ставляющих плотности поверхностного тока
(2.2), (2.3). В качестве примера расчета по
этим формулам на рис. 4 приведены зависи-
мости ,j jθ ϕ от поверхностных координат
θ, ϕ для случая параболоида с параметрами
,a = λ 0.5d = λ при облучении под углом
0 30α = ° и поляризации 1 1
пер пр .p p= Как это и
следует из формул, jθ обращается в ноль на
кромке, а jϕ стремится к бесконечности при
приближении к ней.
На рис. 5 изображены ДР рассмотренно-
го параболического экрана при разных углах
падения 0α зондирующей волны, передаю-
щей поляризации 0
перp и приемной поляриза-
ции 0
прp (рис. 5, а); передающей поляризации
1
перp и приемной поляризации 1
прp (рис. 5, б).
Зависимости на обоих рисунках носят ярко
выраженный резонансный характер. Так же
как и в случае диска, графики на рис. 5, а
осциллируют сильнее. Увеличение угла 0α
приводит к сглаживанию лепестковой кар-
тины ДР.
Рис. 4. Амплитуды компонент плотностей повер-
хностного тока для параболического экрана
( L 3,= M 5) := а) – j ;θ б) – jϕ
Рис. 5. ДР параболического экрана: а) – поляриза-
ции 0
перp , 0
прp ; б) – поляризации 1
перp , 1
прp
О. И. Сухаревский, С. В. Нечитайло, И. О. Сухаревский
76 Радиофизика и радиоастрономия, 2008, т. 13, №1
Заключение
Разработанный метод численного реше-
ния задачи рассеяния произвольной элект-
ромагнитной волны конечными незамкнуты-
ми поверхностями вращения позволяет эф-
фективно рассчитывать плотность поверх-
ностного тока и рассеянные поля. Метод
основан на сведении ИДУ относительно
плотности поверхностного тока и его тан-
генциальных производных к СЛАУ относи-
тельно коэффициентов разложения состав-
ляющих тока в двойные ряды Фурье. При
этом используются полученные в работе
специальные квадратурные формулы для
сингулярных интегралов.
Приводятся результаты расчетов ДР и
ДОРИ некоторых типов незамкнутых экранов.
Анализ полученных результатов позволяет
сделать вывод о сходимости метода и эффек-
тивности его применения для объектов малых
и резонансных размеров.
Литература
1. Гандель Ю. В., Еременко С. В., Полянская Т. С.
Математические вопросы метода дискретных то-
ков. Обоснование численного метода дискретных
особенностей решения двумерных задач дифрак-
ции электромагнитных волн. – Харьков: ХГУ,
1992. – 145 с.
2. Панасюк В. В., Саврук М. П., Назарчук З. Т. Ме-
тод сингулярных интегральных уравнений в дву-
мерных задачах дифракции. – К.: Наук. думка, 1984. –
344 с.
3. Сухаревский О. И. Электродинамический расчет
модели двухзеркальной антенны со строгим уче-
том взаимодействия между зеркалами // Радиотех-
ника. – 1982. – Вып. 60. – С. 41-47.
4. Sukharevsky O. I., Kukobko S. V., and Sazonov A. Z.
Volume Integral Equation Analysis of a Two-Di-
mensional Radome With a Sharp Nose // IEEE
Trans. Antennas Propag. – 2005. – Vol. AP-53. –
P. 1500-1506.
5. Повзнер А. Я., Сухаревский И. В. Интегральные
уравнения второго рода для задач дифракции на
бесконечно тонком экране // ДАН СССР. – 1959. –
Т. 127, №2. – С. 291-294.
6. Фельд Я. Н., Сухаревский И. В. Об интегральных
уравнениях задач дифракции на незамкнутых экра-
нах // Радиотехника и электроника. – 1967. – Т. 7,
№10. – С. 1713-1720.
7. Фельд Я. Н., Сухаревский И. В. О сведении задач
дифракции на незамкнутых поверхностях к ин-
тегральным уравнениям второго рода //Радио-
техника и электроника. – 1966. – Т. 11, №7. –
С. 1159-1168.
8. Фельд Я. Н., Сухаревский И. В. Применение нере-
зонансных функций Грина к построению интег-
ральных уравнений задач дифракции на незамк-
нутых экранах // Радиотехника и электроника. –
1969. – Т. 14, №8. – С. 1362-1368.
9. Виноградов С. С., Тучкин Ю. А., Шестопалов В. П.
К теории рассеяния волн на незамкнутых экранах
сферической формы // ДАН СССР. – 1981. – Т. 256,
№6. – С. 712-716.
10. Давыдов А. Г., Захаров Е. В., Пименов Ю. В.
Метод численного решения задач дифракции элек-
тромагнитных волн на произвольных незамкнутых
поверхностях // ДАН СССР. – 1984. – Т. 276, №1. –
С. 96-100.
11. Дмитриев В. И., Захаров Е. В. Интегральные урав-
нения в краевых задачах электродинамики. – М:
МГУ, 1987. – 167 с.
12. Rao S. M., Wilton D. R., and Glisson A.W. Electro-
magnetic scattering by surfaces of arbitrary shape //
IEEE Trans. Antennas Propag. – 1982. – Vol. AP-30,
No. 5. – P. 409-418.
13. James R. M. On the use of F.S./F.F.T.’s as Global
Basis Functions in the Solution of Boundary
Integral Equations for EM Scattering // IEEE
Trans. Antennas Propag. – 1994. – Vol. AP-42,
No. 9. – P. 213-219.
14. Trowbridge B. Integral Equations in Electromagne-
tics // Int. J. Numer. Model.: – 1996. – Vol. 9, No. 3. –
P. 978-984.
15. Bergman J. R. and Moreira F. J. S. An Omnidirec-
tional ADE Reflector Antenna // Microw. Opt. Tech.
Lett. – 2004. – Vol. 40, No. 2. – P. 345-349.
16. Pino A. G., Marcos A., Acuna A., and Lopez O.R. An
Omnidirectional Dual-Shaped Reflector Antenna //
Microw. Opt. Tech. Lett. – 2000. – Vol. 27, No. 12. –
P. 1703-1711.
17. Стрэттон Дж. Теория электромагнетизма. – М.:
ГИТТЛ, 1948. – 539 с.
18. Хенл Х., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифрак-
ции. – М.: Мир, 1964. – 428 с.
19. Silver S. Microwave Antenna Theory and Design //
MIT Radiation Laboratory Series; No. 12. – New York:
McGraw-Hill, 1949. – 391 p.
Численное решение задачи рассеяния электромагнитных волн незамкнутыми поверхностями вращения
77Радиофизика и радиоастрономия, 2008, т. 13, №1
Чисельний розв’язок задачі розсіяння
електромагнітних хвиль
незамкненими поверхнями обертання
О. І. Сухаревський, C. В. Нечитайло,
І. О. Сухаревський
Пропонується чисельний метод розв’язку
інтегро-диференціального рівняння задачі розс-
іяння електромагнітних хвиль незамкненими
поверхнями обертання. Метод ілюстровано
низкою даних, що характеризують розсіяння на
диску, сферичному та параболічному екранах.
A Numerical Method for Solution
of Electromagnetic Wave Scattering
by Open Surfaces of Rotation
O. I. Sukharevsky, S. V. Nechitaylo,
and I. O. Sukharevsky
A Numerical method for solution of integro-
differential equation of electromagnetic wave
scattering by open surfaces of revolution is sug-
gested. The method is illustrated by the data char-
acterising the scattering by flat, spherical and
parabolic screens.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8383 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-9636 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:58:22Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Радіоастрономічний інститут НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сухаревский, О.И. Нечитайло, С.В. Сухаревский, И.О. 2010-05-25T10:35:18Z 2010-05-25T10:35:18Z 2008 Численное решение задачи рассеяния электромагнитных волн незамкнутыми поверхностями вращения / О.И. Сухаревский, С.В. Нечитайло, И.О. Сухаревский // Радиофизика и радиоастрономия. — 2008. — Т. 13, № 1. — С. 67-77. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 1027-9636 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8383 621.396.96 Предложен численный метод решения интегро-дифференциального уравнения задачи рассеяния электромагнитных волн незамкнутыми поверхностями вращения. В качестве иллюстрации метода приведен ряд данных, характеризующих рассеяние на диске, сферическом и параболическом экранах. Запропонований чисельний метод розв’язку інтегро-диференціального рівняння задачі розсіяння електромагнітних хвиль незамкненими поверхнями обертання. Метод ілюстровано низкою даних, що характеризують розсіяння на диску, сферичному та параболічному екранах. A Numerical method for solution of integrodifferential equation of electromagnetic wave scattering by open surfaces of revolution is suggested. The method is illustrated by the data characterising the scattering by flat, spherical and parabolic screens. ru Радіоастрономічний інститут НАН України Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн Численное решение задачи рассеяния электромагнитных волн незамкнутыми поверхностями вращения Чисельний розв’язок задачі розсіяння електромагнітних хвиль незамкненими поверхнями обертання A Numerical Method for Solution of Electromagnetic Wave Scattering by Open Surfaces of Rotation Article published earlier |
| spellingShingle | Численное решение задачи рассеяния электромагнитных волн незамкнутыми поверхностями вращения Сухаревский, О.И. Нечитайло, С.В. Сухаревский, И.О. Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн |
| title | Численное решение задачи рассеяния электромагнитных волн незамкнутыми поверхностями вращения |
| title_alt | Чисельний розв’язок задачі розсіяння електромагнітних хвиль незамкненими поверхнями обертання A Numerical Method for Solution of Electromagnetic Wave Scattering by Open Surfaces of Rotation |
| title_full | Численное решение задачи рассеяния электромагнитных волн незамкнутыми поверхностями вращения |
| title_fullStr | Численное решение задачи рассеяния электромагнитных волн незамкнутыми поверхностями вращения |
| title_full_unstemmed | Численное решение задачи рассеяния электромагнитных волн незамкнутыми поверхностями вращения |
| title_short | Численное решение задачи рассеяния электромагнитных волн незамкнутыми поверхностями вращения |
| title_sort | численное решение задачи рассеяния электромагнитных волн незамкнутыми поверхностями вращения |
| topic | Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн |
| topic_facet | Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8383 |
| work_keys_str_mv | AT suharevskiioi čislennoerešeniezadačirasseâniâélektromagnitnyhvolnnezamknutymipoverhnostâmivraŝeniâ AT nečitailosv čislennoerešeniezadačirasseâniâélektromagnitnyhvolnnezamknutymipoverhnostâmivraŝeniâ AT suharevskiiio čislennoerešeniezadačirasseâniâélektromagnitnyhvolnnezamknutymipoverhnostâmivraŝeniâ AT suharevskiioi čiselʹniirozvâzokzadačírozsíânnâelektromagnítnihhvilʹnezamknenimipoverhnâmiobertannâ AT nečitailosv čiselʹniirozvâzokzadačírozsíânnâelektromagnítnihhvilʹnezamknenimipoverhnâmiobertannâ AT suharevskiiio čiselʹniirozvâzokzadačírozsíânnâelektromagnítnihhvilʹnezamknenimipoverhnâmiobertannâ AT suharevskiioi anumericalmethodforsolutionofelectromagneticwavescatteringbyopensurfacesofrotation AT nečitailosv anumericalmethodforsolutionofelectromagneticwavescatteringbyopensurfacesofrotation AT suharevskiiio anumericalmethodforsolutionofelectromagneticwavescatteringbyopensurfacesofrotation |