Оптимальная линейная фильтрация для систем стохастических дифференциальных уравнений с пуассоновскими возмущениями
Для стохастичних динамічних систем з пуассонівськими збуреннями побудовано фільтр Калмана– Бьюсі, який можна змоделювати засобами статистичного моделювання на комп’ютері. Показано, що стаціонарний фільтр співпадає з фільтром Вінера для оптимальної середньоквадратичної фільтрації стаціонарних послідо...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84015 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Оптимальная линейная фильтрация для систем стохастических дифференциальных уравнений с пуассоновскими возмущениями / В.К. Ясинский, А.Я. Довгунь, Е.В. Ясинский // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 1. — С. 40-48. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859744844156502016 |
|---|---|
| author | Ясинский, В.К. Довгунь, А.Я. Ясинский, Е.В. |
| author_facet | Ясинский, В.К. Довгунь, А.Я. Ясинский, Е.В. |
| citation_txt | Оптимальная линейная фильтрация для систем стохастических дифференциальных уравнений с пуассоновскими возмущениями / В.К. Ясинский, А.Я. Довгунь, Е.В. Ясинский // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 1. — С. 40-48. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Для стохастичних динамічних систем з пуассонівськими збуреннями побудовано фільтр Калмана– Бьюсі, який можна змоделювати засобами статистичного моделювання на комп’ютері. Показано, що стаціонарний фільтр співпадає з фільтром Вінера для оптимальної середньоквадратичної фільтрації стаціонарних послідовностей, якщо пуассонівські збурення відсутні
The Kalman–Busy filter that can be modeled by computer statistical design is constructed for stochastic dynamic systems with Poisson perturbations. It is proved that a stationary filter coincides with the Wiener filter for the optimal average quadratic filtration of stationary sequences in the absence of Poisson perturbations.
|
| first_indexed | 2025-12-01T21:27:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.718: 519.217
Â.Ê. ßÑÈÍÑÊÈÉ, À.ß. ÄÎÂÃÓÍÜ, Å.Â. ßÑÈÍÑÊÈÉ
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÀß ËÈÍÅÉÍÀß ÔÈËÜÒÐÀÖÈß
ÄËß ÑÈÑÒÅÌ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ
ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÏÓÀÑÑÎÍÎÂÑÊÈÌÈ ÂÎÇÌÓÙÅÍÈßÌÈ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ôèëüòð Êàëìàíà–Áüþñè, óðàâíåíèå Ðèêàòòè, îïòèìàëüíûé
ôèëüòð, ïóàññîíîâñêèå âîçìóùåíèÿ, ñòîõàñòè÷åñêèå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÏÐÎÁËÅÌÛ
Íà âåðîÿòíîñòíîì áàçèñå ( , , { , }, )� � �F t t Pt� � 0 [1, 2] ðàññìîòðèì ñèñòåìó
ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (ÑÄÓ) ñ ïóàññîíîâñêèìè âîçìó-
ùåíèÿìè
dx t A t x t dt B t dw t Q t u v du dt
U
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ~ ( , )� � � � , (1)
dy t C t x t dt D t dw t G t u v du dt
U
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ~ ( , )� � � � (2)
ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè
x t x y t( ) ( ); ( )0 0 0 0� �� , (3)
ãäå { ( ) ( , )}x t x t n� �� R è { ( ) ( , )}y t y t n� �� R — n-ìåðíûå ñëó÷àéíûå ïðî-
öåññû [3].
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
1) êîýôôèöèåíòû-ìàòðèöû A t( ) , B t( ) , C t( ) , D t( ) , Q t u( , ) , G t( ) ðàçìåðà n n
â (1), (2) ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè ïî t íà îòðåçêå [ , ]*t t0 ;
2) äëÿ ïðîèçâîëüíîãî t t t
[ , ]*
0 è äëÿ íåêîòîðîãî �� 0 âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
Z t D t D t G t u G t u du dt IT T
U
( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( )� � � � ��
� ; (4)
3) { ( ) ( , )}w t w t� � — n-ìåðíûé ñòàíäàðòíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ [2];
4) ~ ( , ) ( , ) ( )v du dt v du dt du dt� �
— n-ìåðíàÿ öåíòðèðîâàííàÿ ìåðà Ïóàññîíà
ñ ïàðàìåòðîì
( ) { ( , )}du dt E v du dt� [3];
5) { ( )}w t , {~ ( , )}v du dt , { ( )}x x n
0 0� �� R — ïîïàðíî íåçàâèñèìû.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÑÄÓ (1), (2) ïðè êàæäîì t t� 0 îïèñûâàåò äåòåðìèíèðî-
âàííóþ ëèíåéíóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó, êîòîðàÿ âîçáóæäåíà «áåëûì øóìîì»
è ïóàññîíîâñêèìè âîçìóùåíèÿìè.
Çàäà÷à ôèëüòðàöèè ñîñòîèò â îöåíêå ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà { ( )}x t n� R ïî íà-
áëþäåíèÿì { ( )}y s n� R , t s t0 � � , è ôóíêöèÿõ-ìàòðèöàõ A, B, Q, C, P, G, ñ÷è-
òàÿ, ÷òî ïåðâûé è âòîðîé ìîìåíòû E x{ }0 � � , E x xT{ }0 0
� èçâåñòíû [4, 5].
Óñëîâèÿ 1–5 ãàðàíòèðóþò ñóùåñòâîâàíèå åäèíñòâåííîãî ñèëüíîãî ðåøåíèÿ
ÑÄÓ (1)–(3) ñ òî÷íîñòüþ äî ñòîõàñòè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè [3].
Îáîçíà÷èì Y y s t s tt � � ��{ ( ): }0 �-àëãåáðó, êîòîðàÿ ïîñòðîåíà ïî íàáëþäå-
íèþ { ( ) ( , )}y s y s� � .
40 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 1
© Â.Ê. ßñèíñêèé, À.ß. Äîâãóíü, Å.Â. ßñèíñêèé, 2012
Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ � ( ) � ( , ): [ , )x t x t t n� � �� 0 � R ìîæíî ðàññìàòðèâàòü
êàê íîâûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, êîòîðûé îïðåäåëåí óñëîâíûì ìàòåìàòè÷åñêèì
îæèäàíèåì
� ( ) { ( )| }x t E x t Yt� . (5)
Îáîçíà÷èì P t( ) óñëîâíóþ êîâàðèàöèîííóþ ìàòðèöó
P t ov x t Y E x t x t x t x t Yt
T
t( ) { ( )| } {( ( ) � ( ))( ( ) � ( )) | }� � � �c , (6)
à äëÿ t s� ââåäåì óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü
P t s ov x t Ys( | ) { ( )| }� c . (7)
Íàéäåì ñâÿçü ìåæäó P t( ) è P t s( | ) .
Ïóñòü �( , )t s — ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà äëÿ äåòåðìèíèðîâàííîé ÷àñòè
óðàâíåíèÿ (1). Òîãäà äëÿ t s t t0 � � � * ðåøåíèå x t R n( )
ÑÄÓ (1) ïðåäñòàâèìî
èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèåì [2]
x t t s x s t B dw t G
s
t
Us
t
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ,� � �� ��� � �� � � � � u v du d) ~ ( , )� , (8)
ïðè ýòîì äëÿ s t� óñëîâíàÿ êîâàðèàöèîííàÿ ìàòðèöà ïðèìåò âèä
P t s t s P s t s t B B tT
s
t
T T( | ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , )� � �� � � �� � � � d� �
� �� � �
Us
t
T Tt G u G u t du d( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )� � � � � . (9)
Ëåììà 1 [6]. Ïóñòü
~
Yt — �-àëãåáðà, ïîðîæäåííàÿ ìíîæåñòâîì ñëó÷àéíûõ
ïåðåìåííûõ y sk( ) , t s tk0 � � , äëÿ
~
Y Yt t� . Òîãäà èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ðàâ-
íîìåðíûå îöåíêè:
cov { ( )|
~
} , *x t Y t t tt � � �const 0 ,
E E x t Y E E E x t Y Y E x tt t t{| { ( )|
~
}| } { {| { ( )|
~
}| }| } {| ( )|2 2� � 2 } � const , t t t0 � � * .
Ëåììà 2 [6]. Ïóñòü:
1) { ( ): }*y t t t t n
0 � � � R — ñòîõàñòè÷åñêè íåïðåðûâíèé ïðîöåññ;
2) S S n� { } — êîíå÷íîå âñþäó ïëîòíîå â [ , ]*t t0 ìíîæåñòâî;
3) � { ( ): [ , ] }Y y s s t t St �
�� 0 .
Òîãäà äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû f f� ( )� , äëÿ êîòîðîé E f{| |}� � , ñóùåñò-
âóþò ñîîòâåòñòâóþùèå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ, êîòîðûå ñ âåðîÿòíîñòüþ åäè-
íèöa ñîâïàäàþò:
E f Y E f Y Pt t{ | } { | � } ( )� mod .
Ëåììà 3 [6]. Ïóñòü:
1) { : , , , }( )t j Nj
m
m� 0 1 � , m � 1 , — âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçáè-
åíèé îòðåçêà [ , ]*t t0 òàêèõ, ÷òî
t t t t tm m
N
m
m
0 0 1
� � � � �( ) ( ) ( ) *
� ;
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 1 41
2) lim max ( )( ) ( )
m j N
j
m
j
m
m
t t
�� � � �� �
1 1
0 ;
3) { ( ): }*y t t t t0 � � , Yt è f îïðåäåëåíû â ëåììå 2;
4) Y y t j N t tt
m
j
m
m j
m( ) ( ) ( ){ ( ) : , }� � � �� 0 .
Òîãäà
lim { | } { | } ( )( )
m
t
m
tE f Y E f Y P
��
� mod .
Çàìåòèì, ÷òî äëÿ � ( ) { ( )| }( )x t E x t Ym t
m� , P t x t Ym t
m( ) { ( )| }( )� cov â ñîîòâåòñò-
âèè ñ ëåììîé 1 ïåðåìåííûå E x tm{| � ( )| }2 è | ( )|P tm ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíû ïî m
íà [ , ]*t t0 . Ïðè÷åì ñîãëàñíî ëåììå 3 íå òîëüêî èìååì ñ âåðîÿòíîñòüþ 1
ñõîäèìîñòü
lim � ( ) � ( ) ( )
m
mx t x t P
��
� mod ,
lim ( ) ( ) ( )
m
mÐ t Ð t P
��
� mod ,
íî è ðàâíîìåðíûå ñõîäèìîñòè â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì [3].
ÎÁÎÁÙÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÐÈÊÊÀÒÈ
Îïðåäåëèì çàäà÷ó ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíîãî ôèëüòðà Êàëìàíà-Áüþñè [1, 6], à
èìåííî ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíîé îöåíêè {� ( ) � ( , )}x t x t n� �� R âåêòîðà
{ ( ) ( , )}x t x t n� �� R ñ çàäàííûìè çíà÷åíèÿìè y s y s( ) ( , )� � , t s t0 � � .
Ïîëàãàåì, ÷òî:
³) èñêîìàÿ îöåíêà � ( )x t ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé äëÿ x t( ) , ò.å
E x t x t{� ( )} ( )� �
t t t[ , ]*
0 ;
� ( ) ( )x t ay t b� � (a b, — const) ;
³³) ïî êðèòåðèþ îïòèìàëüíîñòè ñóùåñòâóåò ìèíèìóì êâàäðàòè÷åñêîé
îöåíêè
E x t x t M x t x tT{( ( ) � ( )) ( ( ) � ( ))}� � � min ( )M � 0 .
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:
m E x t m E y tx y� �{ ( )}; { ( )} ; (10)
P E x m x mxx x x
T� � �{( )( ) } ; (11)
Q E x m y mxy x y
T� � �{( )( ) } ; (12)
R E y m y myy y y
T� � �{( )( ) } . (13)
Èçâåñòíî [7], ÷òî
� ( ) [ ( ) ]x t m Q R y t mx xy yy y� � � ��1 . (14)
Òàêèì îáðàçîì, êîâàðèàöèîííàÿ ïîãðåøíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
E x t x t x t x t P Q R QT
xx xy õy xy{( ( ) � ( ))( ( ) � ( )) }� � � � � �1 1 , (15)
ãäå Rxy � 0 , Qxy � 0 . Åñëè detRxy � 0 , detQxy � 0 , òîãäà Rxy
�1 , Qxy
�1 ñëåäóåò ïî-
ëîæèòü ðàâíûìè ïñåâäîîáðàòíûìè ìàòðèöàìè [8, 9].
Îòìåòèì, ÷òî åñëè x t( ) , y t( ) — ãàóññîâû âåêòîðû, òî îöåíêà (14) ÿâëÿåòñÿ
óñëîâíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì âåêòîðà x t( ) äëÿ äàííîãî y s( ) :
� ( ) { ( )| ( )}x t E x t y s� , t s t0 � � .
42 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 1
 ýòîì ñëó÷àå îöåíêà (14) ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíîé, ïîñêîëüêó óñëîâèÿ (³) è (³³)
âûïîëíÿþòñÿ. Ìîæíî äîêàçàòü [4, 5], ÷òî ôîðìóëà (15) áóäåò óñëîâíîé êîâàðèà-
öèåé âåêòîðà x t( ):
E x t x t x t x t y s P Q R QT
xx xy xy xy{( ( ) � ( ))( ( ) � ( )) | ( )}� � � � � �1 1 . (16)
Âíà÷àëå îïðåäåëèì ïðèáëèæåíèå äëÿ óñëîâíîé êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöû
Ð t( ) (ñì. (6)) è çàòåì íàéäåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ P t( ) , êîòîðîå íà-
çîâåì îáîáùåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì Ðèêêàòè [1, 6].
Òåîðåìà 1. Ïóñòü:
1) �( , )t � — ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà äëÿ äåòåðìèíèðîâàííîãî óðàâíåíèÿ
ÑÄÓ (1)
dx t A t x t dt( ) ( ) ( )� (1à)
ñ ñîîòâåòñòâóþùåé äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé ìàòðèöåé A t( ) ;
2) âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ëåìì 1–3;
3) äëÿ íåêîòîðîãî t t t
[ , ]*
0 ñóùåñòâóþò èíòåãðàëû
� �
t
t
T Tt B B t d
0
� � �( , ) ( ) ( ) ( , )� � � � � ;
� �
Ut
t
Tt G u G u t du d�� � �
0
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )� � � � � .
Òîãäà óñëîâíàÿ êîâàðèàöèîííàÿ ìàòðèöà P t( ) , ïîñòðîåííàÿ íà ðåøåíèÿõ ÑÄÓ
(1)–(3), óäîâëåòâîðÿåò îáîáùåííîå ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå Ðèêêàòè
dP t
dt
A t P t P t A t B t B t Q t u Q tT T T
U
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ,� � � � � u du) ( )
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�P t C t B t D t Q t u G t u duT T T
U
( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�D t D t G t u G t u duT T
U
( ) ( ) ( , ) ( , ) ( )
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�P t C t B t D t Q t u G t u duT T T
U
T
( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( )
, (17)
P t ov x( ) ( )0 0� c .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì äèñêðåòíîå ïðèáëèæåíèå äëÿ P t s ov x t Ys( | ) ( ( )| )� c .
Çàôèêñèðîâàâ m
N, îáîçíà÷èì
� �m j
m
m
t t
m
t t j j m�
�
� � � � �
*
( ); ;0
0 1 .
Ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 1 òåîðåìû 1. Òîãäà ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà
�( , )t � â òî÷êàõ t j�1 , t j ïðåäñòàâèìà â âèäå
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 1 43
�( , ) ( ) ( )t t I A t oj j m j m� � � �1
2� � ,
ãäå
lim
m
m
��
�� 0 .
ßñíî, ÷òî äëÿ ìàòðèöû � âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî, êàê ðàçëîæå-
íèå ïî ôîðìóëå Òåéëîðà ñ ñîîòâåòñòâóþùèì îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì:
� �
� �
( , ) ( , ) ( )
( , ) ( )
!
( ,
t s s s t s
t s
t
t s t s
t s
� � �
�
�
�
�
� �
� �
�
2 2
2
)
, [ , ]
*
*
�
�
�
�
�t
s s t
t s
2
.
Ïîñêîëüêó ìàòðèöà � ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöåé äëÿ (1à), òî ñîîò-
âåòñòâåííî ñ îïðåäåëåíèåì èìååì �( , )s s I� . Çàìåòèì, ÷òî
�
�
�
�( , )
( )
s s
s
A s .
Òîãäà
�
�
� � � � �
�( , )
( ) ( ) (( ) )
t s
t
I t s A s o t s 2 .
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ P P P t P tj j j j� �� � �1 1( ) ( ) ðàññìîòðèì ñðåäíèå âåëè÷èíû
x x tj j� ��1 1( ) è y y tj j� ( ) , j j� �1 .
Îáîçíà÷èì
� ( | ) { ( )| }x t t E x t Yj j� , P j ov x t Yj j j� ��1 1( ) { ( )| }c .
Ëåãêî óâèäåòü, ÷òî
� ( | ) ( , ) � ( ); ( ) ( , ) (x t t t t x t P t t t P tj j j j j j j j
T
j� �� � �� � �1 1 1, )t j �
� �
�
� � �� �
t
t
j
T T
j
j
j
t t B t B t t t dt
1
1 1( , ) ( ) ( ) ( , )
� ��
�
� �� �
Ut
t
j
T T
j
j
j
t t G t u G t u t t du dt
1
1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) .
Çàìåòèì, ÷òî ìàòðèöà P tj j�1 ( ) âûñòóïàåò â ðîëè ìàòðèöû Pxx â (11).
Ïðè âû÷èñëåíèè ñîîòâåòñòâåííî ìàòðèö Qxy è Pyy èç (12), (13) ñëåäóåò ó÷è-
òûâàòü, ÷òî ÑÄÓ (2) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñòîõàñòè÷åñêîå äèôôåðåíöèàëü-
íîå óðàâíåíèå âèäà [10]
y t y t C t x t dt D t dw t Gj j
t
t
t
t
j
j
j
j
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � �
� �
� �1
1 1
( , )~ ( , )t u v du dt
Ut
t
j
j
��
� 1
.
Èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
E y t Y j y C t x t t dt y C tj t
t
t
j tj
j
j
j
{ ( )| ( )} ( )� ( | ) ( )� � � � �
�
�1
1
t
t
j t
j
j
j
t t x dt
�
� �
1
�( , ) �
� �
�
�
!
"
#
#
#
� �
�
�y t C t dt x tj
t
t
j m j
j
j
( ) ( ) � ( )
1
2� � ,
ãäå E oj{| | } ( )� 2 1� ïðè �m � 0 ðàâíîìåðíî ïî j .
44 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 1
Äëÿ îöåíêè Rxx ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
$ �j j j jt t t x t x t( ) ( , )( ( ) � ( ))� � ; � j
t
t
t t s B s dw s
j
j
( ) ( ) ( , ) ( ) ( )1
1
�
�
� � ;
j
t
t
D t dw t
j
j
( ) ( ) ( )1
1
�
�
� ; � j
Ut
t
t t s Q t u v du dt
j
j
( ) ( ) ( , ) ( , )~ ( , )2
1
� ��
�
� ;
Q ov x t y t Y E x t t txy j j j j j j� � �� � � �c { ( ), ( )| } {| ( ) ( , ) �
1 1 1 1� x t j( )|} ,
ãäå $ j t( ) , � j
i( ) — ñëó÷àéíûå ïðîöåññû, �m � 0 è ( )i — ñëó÷àéíûå ïåðåìåí-
íûå, j �1 2, .
Òîãäà x t( ) ñ ó÷åòîì íîâûõ îáîçíà÷åíèé ïðèíèìàåò âèä
x t t t x t t tj j j j( ) ( , ) ( ) ( ) ( )( ) ( )� � �� � �1 2 ,
y t y t C t t t x tj j
t
t
j j j j
j
j
( ) ( ) ( ) [ ( , ) ( )( ) ( )
� � � � �
�
�1
1 2
1
� � � ( )] ( ) ( )t dt j j� � 1 2 .
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èì
R ov y Y ov C t t t txx j j j j j� � � ��c c{ | } [ ( )[ ( ) ( ) ( )]( ) ( )
1
1 2$ � � dt Yj j
t
t
j
j
j
� �
%
&
'
('
)
*
'
+'
�
� ( ) ( ) ] |1 2
1
.
Çàìåòèì, ÷òî ñëó÷àéíûå ïðîöåññû � j
i t( ) ( ) �
�t t tj j[ , ]1 è ñëó÷àéíûå âåëè-
÷èíû j
i( ) , i �1 2, , íå çàâèñÿò îò Y j , ïîýòîìó
R C t t Y dtxx
t
t
j j
j
j
�
%
&
'
('
)
*
'
+'
�
�
�cov ( ) ( )|
1
$
� � � �
� �
� �cov C t t dt C tj j
t
t
j
t
t
j
j
j
j
� �( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1
1 1
j jt dt Y( ) ( ) |2
%
&
'
('
)
*
'
+'
èëè
R D t D t dt G t u G t u duxx
T
t
t
T
Ut
t
j
j
j
j
� �
� �
� ��( ) ( ) ( , ) ( , ) ( )
1 1
dt o m� ( )�2 .
Èç ýòîãî ðàâåíñòâà è óñëîâèÿ (4) âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå îãðàíè÷åííîãî ïðî-
èçâåäåíèÿ �m xxR� �1 òàêîãî, ÷òî lim
m
m
��
�� 0 . Äåéñòâèòåëüíî,
� �m xx m
T
t
t
T
Ut
t
R D t D t dt G t u G t
j
j
j
j
� � ��
� �
� ��
1
1 1
( ) ( ) ( , ) ( , u du dt o m) ( ) ( )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�1
� ,
ãäå lim
m
m
��
�� 0 .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 1 45
Àíàëîãè÷íî ìîæíî óñòàíîâèòü, ÷òî
Q P C t B t D t G t u G t u duxy i
T T T
U
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( )
t
t
m
j
j
dt o
�
� �
1
3 2( )/� , lim .
m
m
��
�� 0
Òåïåðü ìîæíî íàéòè óñëîâíóþ êîâàðèàöèþ âåêòîðà x t( ) , à èìåííî
P P j Q R Qj j xy yy xy
T
� �
�� �1 1
1( ) .
Ëåãêî óâèäåòü âûïîëíåíèå èíòåãðàëüíîãî ðàâåíñòâà
P P A t P P A t B t B t Q t u Q t uj j j j
T T T
U
� � � � � � �1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) (
du
t
t
j
j
) �
�
�
�
�
�
�
1
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�P C t B t D t Q t u G t u duj
T T T
U
( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
D t D t G t u G t u duT T
U
( ) ( ) ( , ) ( , ) ( )
1
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�P C t B t D t Q t u G t u duj
T T T
U
T
( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( )
�
�
�
�dt o m( )/�3 2 , (18)
ãäå o( )� ðàâíîìåðíî ïî èíäåêñó j .
Íàéäåì çàâèñèìîñòü Pj îò m0 . Äëÿ t t tj j� � �1 ìàòðèöà Pm îïðåäåëÿåòñÿ
èç ðàâåíñòâà (9), åñëè îáîçíà÷èòü P s( ) ÷åðåç Pj . Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî â ïîñëåä-
íåì ðàâåíñòâå (18) âìåñòî Pj ìîæíî âçÿòü P tm ( ) ñ ïîãðåøíîñòüþ, êîòîðàÿ íå
ïðåâûøàåò o m( )� ïðè �m � 0 .
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì
P t P t P t P tm m j m j
j
m
( ) ( ) [ ( ) ( )]* � � � ��
�
,0 1
1
� � � � �A t P t P t A t B t B t Q t u Q t u dm m
T T T
U
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) (
u
t
t
)
*
�
�
�
�
�
�
0
� � �
�
�
!
"
#
#�P t C t B t D t Q t u G t u dum
T T T
U
( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( )
�
�
�
!
"
#
#
�
�
D t D t G t u G t u duT T
U
( ) ( ) ( , ) ( , ) ( )
1
� �
�
�
!
"
#
#�P t C t B t D t Q t u G t u dum
T T T
U
( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( )
T
dt
�
�
�
�
�
�
� � � � � � � � � � �const constm m o J P m m om m m m m� � � �2 2 2 3 2( ) ( ) ( )/ , (19)
46 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 1
ãäå J Pm( ) — èíòåãðàë ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (18). Åñëè �m
t t
m
�
�*
0 , òî
� �lim ( ) ( ) ( )*
m
m mP t P t J P
��
� � �0 0 .
Òî÷êè t j ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè ðàçðûâà ôóíêöèè Pm ( )� , è ýòè ôóíêöèè íåïðå-
ðûâíû ñïðàâà. Íî lim ( ) ( )
m
mP t P t
��
� è ôóíêöèè Pm ( )� ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíû.
Åñëè m � � , òî
P t P t J P( ) ( ) ( )* � 0 .
Çàìåòèì, ÷òî âñå ôîðìóëû âåðíû äëÿ èíòåðâàëà t t t t0 � - � � * . Òîãäà ëåãêî
ïîëó÷èòü äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (17) äëÿ óñëîâíîé êîâàðèàöèîííîé
ìàòðèöû
P t E x t x t x t x t YT
t( ) {( ( ) � ( ))( ( ) � ( )) | }� � � .
Òåîðåìà 1 äîêàçàíà.
Çàìå÷àíèå 1. Íà ïðàêòèêå óðàâíåíèå Ðèêàòòè (17) ðåøàåòñÿ çàìåíîé åãî ñî-
îòâåòñòâóþùèì äèñêðåòíûì óðàâíåíèåì. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ äèñêðåòíîãî ïðèáëèæå-
íèÿ óðàâíåíèÿ Ðèêêàòè (17) ìîæíî ïðèìåíèòü ðàâåíñòâà (14) è (15) ê äèôôåðåí-
öèàëüíîìó óðàâíåíèþ äëÿ ìîäåëè ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì [11].
Çàìå÷àíèå 2. Åñëè Q t u( , ) � 0, G t u( , ) � 0, òî âîïðîñ ñóùåñòâîâàíèÿ è ïðèáëè-
æåííîãî ïîâåäåíèÿ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Ðèêàòòè (17) ðàññìîòðåíî Kalman R.E. [6]
è Wonham W.M. [3, 5, 12].
Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ óðàâíåíèÿ Ðèêàòòè (17) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøå-
íèå íà íåêîòîðîì îòðåçêå [ , *]t t0 [12]. Åñëè âñå ïàðàìåòðû â (17) — ïîñòîÿííûå
âåëè÷èíû, òî ïðè íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ [11] ñóùåñòâóåò ïðåäåë P P t
t
�
��
� lim ( ) è
ìàòðèöà N ÿâëÿåòñÿ óñòâîé÷èâîé:
N A� �
� � �
�
�
!
"
#
#
� �� �P C BD Q t u G t u du DD G t u GT T T
U
T( , ) ( , ) ( ) ( , )
T
U
t u du C�
�
�
!
"
#
#
�
�
( , ) ( ) .
1
Áîëeå òîãî, ñòàöèîíàðíûé ôèëüòð ñîâïàäàåò ñ ôèëüòðîì Âèíåðà äëÿ îïòèìàëü-
íîé ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîé ôèëüòðàöèè ñòàöèîíàðíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé [1].
Òåîðåìà 2. Ïóñòü { ( ), ( ): }*x t y t t t t0 � � — ñëó÷àéíûå ïðîöåññû, êîòîðûå
îïðåäåëåíû ñòîõàñòè÷åñêèì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì (1), (2). Òîãäà îöåí-
êà � ( )x t , t t t0 � � *, ñ òî÷íîñòüþ äî ñòîõàñòè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè îïðåäåëÿåò-
ñÿ êàê ðåøåíèå ÑÄÓ
dz t A t z t dt K t dy t C t z t dt t t t( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ], *� � � � �0 , (20)
ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè
� ( ) { }x t E x0 0� . (21)
Çäåñü
K t P t C t B t D t Q t u G t u duT T
U
T( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( )� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
D t D t G t u G t u duT T
U
( ) ( ) ( , ) ( , ) ( )
1
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 1 47
è îòîáðàæåíèå P t( ) óäîâëåòâîðÿåò îáîáùåííîå ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå Ðèê-
êàòè (17). Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû z t l i m z tn( ) . . . ( )� è { ( )}z tn
n� R óäîâëåòâîðÿþò
ÑÄÓ (20).
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû áàçèðóåòñÿ íà ìåòîäèêå ðàáîòû [3].
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Óðàâíåíèÿ (17) è (20) áûëè ôîðìàëüíî ïîëó÷åíû R.E. Kalman è R.S. Busy [6].
Ýòè óðàâíåíèÿ îïèñûâàþò äèíàìè÷åñêóþ ñòðóêòóðó ôèëüòðà, äîïóñêàþùåãî
îöåíêó x t n( )
R â èíòåðâàëå âðåìåíè ñ íàáëþäåíèÿìè, êîòîðûå ó÷èòûâàþò
øóìû (Âèíåðà è Ïóàññîíà), à èõ ìîäåëüþ ÿâëÿþòñÿ ÑÄÓ (8).
Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ îïòèìàëüíîãî ôèëüòðà ñëåäóåò ðåøàòü îáîáùåííîå
óðàâíåíèå Ðèêàòòè (17) è ó÷èòûâàòü ôóíêöèþ P t( ) , t t t0 � � * . Ôèëüòð Êàëìà-
íà–Áüþñè îïèñûâàåòñÿ ÑÄÓ (20) è (21), êîòîðûå ìîæíî ñìîäåëèðîâàòü ìåòîäàìè
êîìïüþòåðíîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. B r a m m e r K . , Z i f l i n g G . The Kalman–Busy filter: determent observation and stochastic filtra-
tion. — M.: Nauka, 1982. — 420 p.
2. Ñ â å ð ä à í Ì . Ë . , Ö à ð ê î â ª . Ô . , ß ñ è í ñ ü ê è é  . Ê . Ñòîõàñòè÷í³ äèíàì³÷í³ ñèñòåìè ç³
ñê³í÷åííîþ ïåðåä³ñòîð³ºþ. — Ñíÿòèí: Íàä Ïðóòîì, 2000. — 398 ñ.
3. à è õ ì à í È . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ è èõ
ïðèìåíåíèÿ. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1982. — 612 ñ.
4. W o n h a m W . M . On matrix Riccati equation of stochastic control // In SIAM J. Control. —
1968. — N 6. — Ð. 681–691.
5. ß ñ è í ñ ü ê è é  . Ê . , ß ñ è í ñ ü ê è é ª .  . Çàäà÷³ ñò³éêîñò³ òà ñòàá³ë³çàö³¿ ñòîõàñòè÷íèõ
äèíàì³÷íèõ ñèñòåì ç³ ñê³í÷åííîþ ï³ñëÿ䳺þ. — Êè¿â: Ò³ÌÑ, 2005. — 580 ñ.
6. K a l m a n R . E . , B u s y R . S . New results in linear filtering and production theory // J. Basic
Eng. — 1961. — 8. — Ð. 95–108.
7. È â ÷ å í ê î à . È . , Ì å ä â å ä å â Þ . Í . Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. — Ì.: Âûñø. øêîëà,
1984. — 344 ñ.
8. Ê è ð è ÷ å í ê î Í . Ô . , Ë å ï å õ à Í . Ï . Ïñåâäîîáðàùåíèÿ â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ è íàáëþäåíèÿ
// Àâòîìàòèêà. — 1993. — ¹ 5. — Ñ. 69–81.
9. L e o n d e s s K . T . Filtration and stochastic control in dynamic systems. — M.: Mir, 1980. — 216 p.
10. K u r z h a n s k y A . The control and observation in conditions of indeterminacy. — M.: Nauka,
1977. — 322 p.
11. K a l l i a n p u r G . Stochastic theory of filtration. — M.: Nauka, 1987. — 170 p.
12. È ê ð à ì î â Õ . Ä . ×èñåëüííîå ðåøåíèå ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé. — Ì.: Íàóêà, 1984. — 192 ñ.
13. Þ ð ÷ å í ê î ² .  . , ß ñ è í ñ ü ê à Ë . ² . , ß ñ è í ñ ü ê è é  . Ê . Ìåòîäè ñòîõàñòè÷íîãî ìîäåëþ-
âàííÿ ñèñòåì. — ×åðí³âö³: Ïðóò, 2002. — 416 ñ.
Ïîñòóïèëà 11.05.2010
48 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84015 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T21:27:55Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ясинский, В.К. Довгунь, А.Я. Ясинский, Е.В. 2015-07-02T08:03:20Z 2015-07-02T08:03:20Z 2012 Оптимальная линейная фильтрация для систем стохастических дифференциальных уравнений с пуассоновскими возмущениями / В.К. Ясинский, А.Я. Довгунь, Е.В. Ясинский // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 1. — С. 40-48. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84015 519.718: 519.217 Для стохастичних динамічних систем з пуассонівськими збуреннями побудовано фільтр Калмана– Бьюсі, який можна змоделювати засобами статистичного моделювання на комп’ютері. Показано, що стаціонарний фільтр співпадає з фільтром Вінера для оптимальної середньоквадратичної фільтрації стаціонарних послідовностей, якщо пуассонівські збурення відсутні The Kalman–Busy filter that can be modeled by computer statistical design is constructed for stochastic dynamic systems with Poisson perturbations. It is proved that a stationary filter coincides with the Wiener filter for the optimal average quadratic filtration of stationary sequences in the absence of Poisson perturbations. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Оптимальная линейная фильтрация для систем стохастических дифференциальных уравнений с пуассоновскими возмущениями Оптимальна лінійна фільтрація для систем стохастичних диференціальних рівнянь з пуассонівськими збуреннями Optimal linear filtration for systems of stochastic differential equations with Poisson perturbations Article published earlier |
| spellingShingle | Оптимальная линейная фильтрация для систем стохастических дифференциальных уравнений с пуассоновскими возмущениями Ясинский, В.К. Довгунь, А.Я. Ясинский, Е.В. Системный анализ |
| title | Оптимальная линейная фильтрация для систем стохастических дифференциальных уравнений с пуассоновскими возмущениями |
| title_alt | Оптимальна лінійна фільтрація для систем стохастичних диференціальних рівнянь з пуассонівськими збуреннями Optimal linear filtration for systems of stochastic differential equations with Poisson perturbations |
| title_full | Оптимальная линейная фильтрация для систем стохастических дифференциальных уравнений с пуассоновскими возмущениями |
| title_fullStr | Оптимальная линейная фильтрация для систем стохастических дифференциальных уравнений с пуассоновскими возмущениями |
| title_full_unstemmed | Оптимальная линейная фильтрация для систем стохастических дифференциальных уравнений с пуассоновскими возмущениями |
| title_short | Оптимальная линейная фильтрация для систем стохастических дифференциальных уравнений с пуассоновскими возмущениями |
| title_sort | оптимальная линейная фильтрация для систем стохастических дифференциальных уравнений с пуассоновскими возмущениями |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84015 |
| work_keys_str_mv | AT âsinskiivk optimalʹnaâlineinaâfilʹtraciâdlâsistemstohastičeskihdifferencialʹnyhuravneniispuassonovskimivozmuŝeniâmi AT dovgunʹaâ optimalʹnaâlineinaâfilʹtraciâdlâsistemstohastičeskihdifferencialʹnyhuravneniispuassonovskimivozmuŝeniâmi AT âsinskiiev optimalʹnaâlineinaâfilʹtraciâdlâsistemstohastičeskihdifferencialʹnyhuravneniispuassonovskimivozmuŝeniâmi AT âsinskiivk optimalʹnalíníinafílʹtracíâdlâsistemstohastičnihdiferencíalʹnihrívnânʹzpuassonívsʹkimizburennâmi AT dovgunʹaâ optimalʹnalíníinafílʹtracíâdlâsistemstohastičnihdiferencíalʹnihrívnânʹzpuassonívsʹkimizburennâmi AT âsinskiiev optimalʹnalíníinafílʹtracíâdlâsistemstohastičnihdiferencíalʹnihrívnânʹzpuassonívsʹkimizburennâmi AT âsinskiivk optimallinearfiltrationforsystemsofstochasticdifferentialequationswithpoissonperturbations AT dovgunʹaâ optimallinearfiltrationforsystemsofstochasticdifferentialequationswithpoissonperturbations AT âsinskiiev optimallinearfiltrationforsystemsofstochasticdifferentialequationswithpoissonperturbations |