Об эквивалентности вероятностных мер, порожденных решениями нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, возмущенных гауссовскими процессами. II
Продовжено дослідження еквівалентності мір, породжених розв’язками нелінійних еволюційних диференціальних рівнянь з необмеженими лінійними операторами, збурених випадковими гаусівськими процесами в гільбертовому просторі, зокрема Н. В просторі Н розглянуто два різних нелінійних еволюційних диференці...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84016 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об эквивалентности вероятностных мер, порожденных решениями нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, возмущенных гауссовскими процессами. II / А.А. Фомин-Шаташвили, Т.А. Фомина, А.Д. Шаташвили // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 1. — С. 49-61. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859668381552082944 |
|---|---|
| author | Фомин-Шаташвили, А.А. Фомина, Т.А. Шаташвили, А.Д. |
| author_facet | Фомин-Шаташвили, А.А. Фомина, Т.А. Шаташвили, А.Д. |
| citation_txt | Об эквивалентности вероятностных мер, порожденных решениями нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, возмущенных гауссовскими процессами. II / А.А. Фомин-Шаташвили, Т.А. Фомина, А.Д. Шаташвили // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 1. — С. 49-61. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Продовжено дослідження еквівалентності мір, породжених розв’язками нелінійних еволюційних диференціальних рівнянь з необмеженими лінійними операторами, збурених випадковими гаусівськими процесами в гільбертовому просторі, зокрема Н. В просторі Н розглянуто два різних нелінійних еволюційних диференціальних рівняння, але збурених в правій частині одним і тим же випадковим процесом Гауса. Встановлюються достатні умови для існування і єдиності розв’язку цих рівнянь, еквівалентність заходів, породжених розв’язками цих рівнянь, а також в явному вигляді записуються формули щільності Радона–Никодима відповідних мір, обчислених в термінах коефіцієнтів даних рівнянь
The paper continues the studies started by the authors in the equivalence of the measures generated by the solutions of nonlinear evolution differential equations with unbounded linear operators perturbed by random Gaussian processes in a Hilbert space, in particular Н. Two different nonlinear evolution differential equations perturbed by the same random Gaussian process in the right-hand side are considered in the space Н. The sufficient existence and uniqueness conditions are established for the solutions of these equations, the equivalence of the measures generated by the solutions is proved, and explicit formulas of the Radon–Nikodym density of the respective measures calculated in terms of the coefficients of the considered equations are written.
|
| first_indexed | 2025-11-30T12:38:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
À.À. ÔÎÌÈÍ-ØÀÒÀØÂÈËÈ, Ò.À. ÔÎÌÈÍÀ, À.Ä. ØÀÒÀØÂÈËÈ
ÎÁ ÝÊÂÈÂÀËÅÍÒÍÎÑÒÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÍÛÕ ÌÅÐ,
ÏÎÐÎÆÄÅÍÍÛÕ ÐÅØÅÍÈßÌÈ ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ
ÝÂÎËÞÖÈÎÍÍÛÕ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ
 ÃÈËÜÁÅÐÒÎÂÎÌ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅ, ÂÎÇÌÓÙÅÍÍÛÕ
ÃÀÓÑÑÎÂÑÊÈÌÈ ÏÐÎÖÅÑÑÀÌÈ. II
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ýâîëþöèîííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, ýâîëþöèîí-
íîå ñåìåéñòâî îãðàíè÷åííûõ îïåðàòîðîâ, ïëîòíîñòü Ðàäîíà–Íèêîäèìà, ýê-
âèâàëåíòíîñòü âåðîÿòíîñòíûõ ìåð, ïðîèçâîäÿùèé îïåðàòîð, îïåðàòîð
Ãèëüáåðòà–Øìèäòà.
Íàñòîÿùàÿ ñòàòüÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì ðàáîòû [1]. Çäåñü â ãèëüáåðòîâîì
ïðîñòðàíñòâå ðàññìàòðèâàþòñÿ äâà íåëèíåéíûõ ýâîëþöèîííûõ äèôôåðåíöè-
àëüíûõ óðàâíåíèÿ, âîçìóùåííûõ îäíèì è òåì æå ãàóññîâñêèì ïðîöåññîì, íî
ðàçíûìè íåëèíåéíûìè ñëàãàåìûìè è â îïðåäåëåííîì ñìûñëå ðàçíûìè ëèíåé-
íûìè íåîãðàíè÷åííûìè ýâîëþöèîííûìè îïåðàòîðàìè. Âûâîäÿòñÿ äîñòàòî÷íûå
óñëîâèÿ íà êîýôôèöèåíòû ðàññìàòðèâàåìûõ óðàâíåíèé, îáåñïå÷èâàþùèå ñó-
ùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèé ýòèõ óðàâíåíèé, ýêâèâàëåíòíîñòü ìåð,
ïîðîæäåííûõ ðåøåíèÿìè ýòèõ óðàâíåíèé, à òàêæå â ÿâíîì âèäå âû÷èñëÿþòñÿ
ñîîòâåòñòâóþùèå ïëîòíîñòè Ðàäîíà–Íèêîäèìà â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ
ðàññìàòðèâàåìûõ óðàâíåíèé.
Îáîçíà÷èì { , , }� � P ôèêñèðîâàííîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî, H— ñåïà-
ðàáåëüíîå âåùåñòâåííîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì
( , )x y è íîðìîé || ||x , x y H, � . Äàëåå L2� L a H2 0{[ , ], } áóäåì îáîçíà÷àòü
ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà îòðåçêå [ , ]0 a ñî çíà÷åíèÿìè èç H è èí-
òåãðèðóåìûõ ñî ñâîèì êâàäðàòîì ïî íîðìå H . Ïðîñòðàíñòâî L2 ÿâëÿåòñÿ ãèëü-
áåðòîâûì. Îáîçíà÷èì â ïðîñòðàíñòâå L2 ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ( , )f g L è íîð-
ìó || ||f L, f g, �L2 , è ââåäåì èõ òàêèì îáðàçîì:
( , )f g L� � ( ( ), ( ))f t g t dt
a
0
, || ||f L� � | ( )|f t dt
a
2
0
, (1)
ãäå f t g t H( ), ( ) � .
Ïóñòü, äàëåå, B t s( , ) îáîçíà÷àåò îïåðàòîðíóþ ôóíêöèþ, äåéñòâóþùóþ ïðè
êàæäîì t s a, [ , ]� 0 â ïðîñòðàíñòâå H . Îáîçíà÷èì | ( , ) |B t s íîðìó îïåðàòîðíîé
ôóíêöèè â ïðîñòðàíñòâå H . Èçâåñòíî, ÷òî îïåðàòîðíàÿ ôóíêöèÿ B t s( , ) êàê ÿäðî
ïîðîæäàåò â ïðîñòðàíñòâå L2 èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð B ïî ñëåäóþùåìó
ïðèíöèïó:
( )B� t � B t s s ds
a
( , ) ( )�
0
� , � �L2 . (2)
Îáîçíà÷èì â L2 íîðìó îïåðàòîðà B ÷åðåç | |B L ïî ñëåäóþùåìó ïðèíöèïó:
| |B
L
2 � | ( , )|B t s dtds
aa
2
00
�� � � . (3)
Íîðìà îïåðàòîðà, îïðåäåëåííàÿ ïî ôîðìóëå (3), íàçûâàåòñÿ ãèëüáåð-
òî-øìèäòîâñêîé íîðìîé, à îïåðàòîð B, îáëàäàþùèé òàêîé íîðìîé, íàçûâàåòñÿ
îïåðàòîðîì Ãèëüáåðòà–Øìèäòà.
 ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H ðàññìîòðèì äâà íåëèíåéíûõ ýâîëþöèîííûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ:
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 1 49
© À.À. Ôîìèí-Øàòàøâèëè, Ò.À. Ôîìèíà, À.Ä. Øàòàøâèëè, 2012
dy t
dt
A t y t A t y t f t y t t1
1 1 1 1 1
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( )) ( )
� � , (4)
0 � �t a , y1 0 0 0( ) ( )� �� ( )mod P ;
dy t
dt
A t y t A t y t f t y t t2
2 2 2 2 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( )) ( )
� � , (5)
0 � �t a , y2 0 0 0( ) ( )� �� ( )mod P ,
äëÿ êîòîðûõ ïðåäïîëàãàåòñÿ ñëåäóþùåå.
Óñëîâèå 1: à) îïåðàòîðû A t( ) ÿâëÿþòñÿ ñåìåéñòâîì ëèíåéíûõ, íåîãðàíè÷åí-
íûõ îïåðàòîðîâ ñ ïëîòíîé, íåçàâèñèìîé îò t îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D A H( ) � ;
á) îïåðàòîðû A t( ) ÿâëÿþòñÿ ïðîèçâîäÿùèìè îïåðàòîðàìè ýâîëþöèîííîãî
ñåìåéñòâà U t s( , ) îãðàíè÷åííûõ îïåðàòîðîâ ïðè 0 � �t s a, , äåéñòâóþùèõ â H ,
ñèëüíî íåïðåðûâíî çàâèñÿùèõ îò t è s è óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ
| ( , )|U t s dtds
aa
2
00
�� � �; (6)
îòñþäà âèäíî, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ (2) è (3) èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð U â ïðîñòðàí-
ñòâå L2 , ïîðîæäåííûé ÿäðîì U t s( , ) , ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì Ãèëüáåðòà-Øìèäòà;
â) ëèíåéíûå îïåðàòîðû A ti ( ) , i �1 2, , ÿâëÿþòñÿ íåîãðàíè÷åííûìè îïåðàòî-
ðàìè ñ îäèíàêîâîé ïëîòíîé, íåçàâèñèìîé îò t îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D A H( ) � ,
íî òàêèìè, ÷òî îïåðàòîðû
U t si ( , ) �U t s A si( , ) ( ) , i �1 2, , (7)
ïðè êàæäîì 0 � �t s a, ÿâëÿþòñÿ îãðàíè÷åííûìè, à èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð U i ,
i �1 2, , ïîðîæäåííûé ÿäðîì U t si ( , ) , i �1 2, , ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì Ãèëüáåð-
òà–Øìèäòà, ò.å.
| ( , )|U t s dtdsi
aa
2
00
�� � �, i �1 2, ; (8)
ã) ÷èñëî 1 íå ïðèíàäëåæèò ñïåêòðó îïåðàòîðîâ U t si ( , ) , i �1 2, .
Óñëîâèå 2. �( )t — ãàóññîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, îïðåäåëåííûé íà îòðåç-
êå [ , ]0 a ñî çíà÷åíèÿìè èç H ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì M t�( ) � 0, à
åãî êîððåëÿöèîííàÿ îïåðàòîðíàÿ ôóíêöèÿ R t s
�
2 ( , ) , 0 � �t s a, , óäîâëåòâîðÿåò
óñëîâèþ
| ( , )|R t t dt
a
�
2
0
� �� . (9)
Èíûìè ñëîâàìè, îïåðàòîðíàÿ ôóíêöèÿ R t s
�
2 ( , ) , äåéñòâóþùàÿ â H êàê ÿäðî â
ïðîñòðàíñòâå L2 , ïîðîæäàåò ÿäåðíûé êîððåëÿöèîííûé îïåðàòîð R
�
2 ãàóññîâ-
ñêîãî ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà � �L2 .
Ïóñòü êîððåëÿöèîííàÿ îïåðàòîðíàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâèìà â âèäå
R t s
�
2 ( , ) � � R t u R u s du
a
� �( , ) ( , )*
0
, (10)
ãäå îïåðàòîðíàÿ ôóíêöèÿ R t s� ( , ) è ñîïðÿæåííàÿ ê íåé R t s�
* ( , ) ïðè êàæäîì
0 � �t s a, êàê ÿäðà ïîðîæäàþò â ïðîñòðàíñòâå L2 èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû
Ãèëüáåðòà–Øìèäòà ñîîòâåòñòâåííî R
�
è R�
* .
Óñëîâèå 3. Íåëèíåéíûå ôóíêöèè f t y ti i( , ( )) , i �1 2, , îïðåäåëåííûå íà
[ , ]0 a H
, ïðèíèìàþò ñâîè çíà÷åíèÿ èç H , ÿâëÿþòñÿ èíòåãðèðóåìûìè ôóíêöèÿìè
50 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 1
ñî ñâîèì êâàäðàòîì ïî íîðìå H äëÿ âñåõ y t Hi ( ) � , i �1 2, , è äèôôåðåíöèðóåìû-
ìè ïî yi , i �1 2, . Ïðè ýòîì ïðîèçâîäíûå �f t y ty ii
( , ( )) äëÿ âñåõ t a�[ ; ]0 ÿâëÿþòñÿ
îïåðàòîðàìè Ãèëüáåðòà–Øìèäòà, äåéñòâóþùèìè â H .
Êàê èçâåñòíî [2, 3], ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé 1–3 óðàâíåíèÿ (4) è (5) èìåþò
åäèíñòâåííûå ðåøåíèÿ ( )mod P .
Åñëè â ïðîñòðàíñòâå L2 ôîðìàëüíî ñâÿçàòü êîððåëÿöèîííûå îïåðàòîðû Rx
2 è
R
�
2 ãàóññîâñêèõ ýëåìåíòîâ x è � ñîîòâåòñòâåííî ñîîòíîøåíèåì
Rx
2� CR C
�
2 * , (11)
òî åãî ìîæíî ðàñïèñàòü áîëåå ïîäðîáíî:
Rx
2� �R R CR R Cx x
* * *
� � , (12)
îòñþäà èìååì
R CRx �
�
, R R Cx
* * *� � . (13)
Îäíîâðåìåííî ñ íåëèíåéíûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè (4) è (5)
ðàññìîòðèì ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ
dx t
dt
A t x t A t x t t1
1 1 1
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
� � , (14)
0 � �t a , x1 0 0 0( ) ( )� �� ( )mod P ;
dx t
dt
A t x t A t x t t2
2 2 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
� � , (15)
0 � �t a , x2 0 0 0( ) ( )� �� ( )mod P ,
ãäå ñåìåéñòâî îïåðàòîðîâ A t( ) è A ti ( ) , i �1 2, , à òàêæå ãàóññîâñêèé ñëó÷àé-
íûé ïðîöåññ �( )t óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì 1 è 2 íàñòîÿùåé ñòàòüè.
Êàê èçâåñòíî èç òåîðèè ýâîëþöèîííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé [4],
óðàâíåíèÿ (14) è (15) ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â ñëåäóþùåì âèäå:
x t1 ( )
�U t s A s x s ds
a
( , ) ( ) ( )1 1
0
� U t s s ds
a
( , ) ( )�
0
� (16)
è
x t2 ( )
�U t s A s x s ds
a
( , ) ( ) ( )2 2
0
� U t s s ds
a
( , ) ( )�
0
� . (17)
 ïðîñòðàíñòâå L2 óðàâíåíèÿ (16) è (17) çàïèñûâàþòñÿ êàê ëèíåéíûå ïðåîá-
ðàçîâàíèÿ:
x1
U1 y � U� , (18)
x2
U 2x � U� . (19)
Îòñþäà ñëåäóåò äëÿ (18)
x1 � ( )I U
1
1
U� (20)
è àíàëîãè÷íî äëÿ (19)
x2 � ( )I U
2
1
U� . (21)
Òàêèì îáðàçîì, âûðàæåíèÿ (20) è (21) â ÿâíîì âèäå îïðåäåëÿþò ðåøåíèÿ
óðàâíåíèé (18) è (19) ïðè óñëîâèè, ÷òî îïåðàòîðû ( ) ,I U
i
1 i �1 2, , ñóùåñòâó-
þò, îãðàíè÷åíû è îïðåäåëåíû íà âñåì ïðîñòðàíñòâå L2 . Èç òåîðèè ôóíêöèîíàëü-
íîãî àíàëèçà [5] óñëîâèÿ 1 îáåñïå÷èâàþò îáðàòèìîñòü îïåðàòîðîâ ( )I U
i ,
i �1 2, , à òàêæå îãðàíè÷åííîñòü è íåïðåðûâíîñòü èõ îáðàòíûõ îïåðàòîðîâ. Ñëå-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 1 51
äîâàòåëüíî, âûðàæåíèÿ (20) è (21) èìåþò ñìûñë. Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêó óðàâíå-
íèÿ (14) è (15), à òàêæå (18) è (19) ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè, à ñëó÷àéíûé ïðîöåññ �( )t
è ñëó÷àéíûé ýëåìåíò � — ãàóññîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ è ãàóññîâñêèé ñëó÷àé-
íûé ýëåìåíò ñî çíà÷åíèÿìè ñîîòâåòñòâåííî â ïðîñòðàíñòâàõ H è L2 , ñëó÷àéíûå
ïðîöåññû x t1 ( ) è x t2 ( ) ÿâëÿþòñÿ ãàóññîâñêèìè ñëó÷àéíûìè ïðîöåññàìè â H , à ñëó-
÷àéíûå ýëåìåíòû x1 è x2 — ñîîòâåòñòâåííî ãàóññîâñêèìè ñëó÷àéíûìè ýëåìåíòà-
ìè â L2
. Îáîçíà÷èì �x1
è �x2
ìåðû, ïîðîæäåííûå ñëó÷àéíûìè ïðîöåññàìè x t1 ( ) è
x t2 ( ) â ïðîñòðàíñòâå H (ò.å. ñëó÷àéíûìè ýëåìåíòàìè x1 è x2 â ïðîñòðàíñòâå L2).
Åñëè áóäóò íàéäåíû óñëîâèÿ, îáåñïå÷èâàþùèå ýêâèâàëåíòíîñòü ìåð �x1
è �x2
,
âû÷èñëåíà ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïëîòíîñòü Ðàäîíà–Íèêîäèìà
d
d
z
x
x
�
�
1
2
( ), òî, èñïîëüçóÿ
òåîðåìó 1 èëè òåîðåìó 2 èç ðàáîòû [1], ìîæíî íàéòè óñëîâèÿ, îáåñïå÷èâàþùèå
ýêâèâàëåíòíîñòü ìåð � y1
è � y2
, ïîðîæäåííûõ ñëó÷àéíûìè ïðîöåññàìè y t1 ( ) è
y t2 ( ) è âû÷èñëèòü ñîîòâåòñòâóþùóþ ïëîòíîñòü Ðàäîíà–Íèêîäèìà
d
d
z
y
y
�
�
1
2
( ) ïî
ôîðìóëå
�( )z �
d
d
z
y
y
�
�
1
2
( ) �
d
d
z
y
x
�
�
1
1
( )
d
d
z
x
x
�
�
1
2
( )
d
d
z
x
y
�
�
2
2
( ) (22)
èëè, åñëè
�1 ( )z �
d
d
z
y
x
�
�
1
1
( ) , � 2 ( )z �
d
d
z
y
x
�
�
2
2
( ) , � 3 ( )z �
d
d
z
x
x
�
�
1
2
( ) , (23)
âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå
�( )z � �1 ( )z �
2
1 ( )z � 3 ( )z � �1 ( )z
~
( )�2 z � 3 ( )z , (24)
ãäå ïîëîæåíî
~
( )�2 z � � �
2
1 ( )z
d
d
z
x
y
�
�
2
2
( ) . (25)
Ñ ýòîé öåëüþ ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ ðåçóëüòàòàìè ðàáîòû [6]. Â ñâÿçè ñ
ýòèì ïðîâåäåì íåêîòîðûå âû÷èñëåíèÿ äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýêâèâàëåíòíîñòè ìåð
�x1
è �x2
, èñïîëüçóÿ ïëîòíîñòü
d
d
x
x
�
�
1
2
, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ñîìíîæèòåëåì ôîðìó-
ëû (22). Âîñïîëüçîâàâøèñü îáîçíà÷åíèÿìè ðàáîòû [6], ïîëó÷àåì
x1 � B U
1
1 � , (26)
x2 �
B U
2
1 � , (27)
ãäå B I U1 1�
è B I U2 2�
ñîîòâåòñòâåííî.
Ñëåäóÿ òîé æå ìåòîäèêå, îïðåäåëèì êîððåëÿöèîííûå îïåðàòîðû R
x1
2 è R
x2
2
ãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ýëåìåíòîâ x1 è x2 :
R
x1
2 �
B UR U B
1
1 2
1
1
�
* *( ) , (28)
R
x2
2 �
B UR U B
2
1 2
2
1
�
* *( ) . (29)
Êîððåëÿöèîííûå îïåðàòîðû R
x1
2 è R
x2
2 êàê èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû â
ïðîñòðàíñòâå H ïîðîæäàþò ÿäðà R
x1
2 ( , )t s è R
x2
2 ( , )t s , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ êîððå-
52 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 1
ëÿöèîííûìè îïåðàòîðíûìè ôóíêöèÿìè ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ x t1 ( ) è x t2 ( )
ñîîòâåòñòâåííî.
Äàëåå íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü ðàçíîñòü R
x1
2 R
x2
2 , à òàêæå ïðîèçâåäåíèå
R
x1
2 ( )R
x2
2 1 . Åñëè ââåñòè ôàêòîðèçîâàííûå ïðåäñòàâëåíèÿ êîððåëÿöèîííûõ îïå-
ðàòîðîâ R
x1
2 è R
x2
2 :
R
x1
2 � R R
x x1 1
( )* , (30)
R
x2
2 � R R
x x2 2
( )* , (31)
òî, èñïîëüçóÿ (28) è (29), ïîëó÷èì
R
x1
2 R
x2
2 � R C R
x x2 2
( )* , (32)
ãäå
C �
R B B R R B B R I
x x x x2 2 2 2
1
1
1
2 2 1
1 1( ) ( ) ( )* * * * . (33)
Î÷åâèäíî, ÷òî óñëîâèÿ 1 è 2 íàñòîÿùåé ñòàòüè îáåñïå÷èâàþò óñëîâèÿ òåîðå-
ìû 1 èç ðàáîòû [6]. Ïîýòîìó îïåðàòîð C â ôîðìóëå (33) ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì
Ãèëüáåðòà–Øìèäòà. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîñ÷èòàòü ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ
R R L
x x1 2
1� � :
L � Rx1
�R
x2
1 �
B
1
1
UR U
�
2 *( )*
B
1
1 ( ( ) )* *
B UR U B
2
1 2
2
1 1 �
�
�
B
1
1
Y ( )*
B
1
1
B
2
Y
1
B2
* , (34)
ãäå
Y� UR U
�
2 * . (35)
Òàêèì îáðàçîì, èìååì
L �
B
1
1
Y ( )*
B
1
1
B
2
Y
1
B2
* . (36)
Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H çàäàíû äâà ëèíåéíûõ ýâî-
ëþöèîííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ (14) è (15) ñ çàäàííûìè íà÷àëüíûìè
óñëîâèÿìè, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ 1 è 2 íàñòîÿùåé ñòàòüè. Òîãäà
â âûðàæåíèè (32) îïåðàòîð C, îïðåäåëåííûé â (33), íà îñíîâàíèè òåîðåìû 1 èç
ðàáîòû [6] ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì Ãèëüáåðòà–Øìèäòà. Ïîýòîìó óñëîâèå (32) â ñèëó
òåîðåìû Äàëåöêîãî (ñì. [10]) îáåñïå÷èâàåò ýêâèâàëåíòíîñòü ìåð �x1
è �x2
, à èõ
ïëîòíîñòü Ðàäîíà–Íèêîäèìà
d
d
z
x
x
�
�
1
2
( ) âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (ñì. òåîðåìó 1
èç [6])
� 2 ( )z �
d
d
z
x
x
�
�
1
2
( ) � det~ L exp ( ) , �
�
�
�
�
�
1
2
L I z z , z �L2 , (37)
èëè
� 2 ( )z �
d
d
z
x
x
�
�
1
2
( ) � det~ L exp [ ( , ) ( ) ( ), ( )]
�
�
�
��
�
�
�
��
�
1
2
0
L t s z s z s dz y
a
, (38)
ãäå L t s( , ) — ÿäðî, ïîðîæäåííîå èíòåãðàëüíûì îïåðàòîðîì L , îïðåäåëåííûì
ïî ôîðìóëå (36), ñèìâîë � �, îáîçíà÷àåò ðàñøèðåííûé ñòîõàñòè÷åñêèé èíòåã-
ðàë â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå L L a H2 2 0� {[ ; ], } .
Ðàññìîòðèì òåïåðü ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (4) è (14) ñ çà-
äàííûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (5), (15). Íåîáõîäèìî íàéòè óñëîâèÿ, îáåñïå÷è-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 1 53
âàþùèå ýêâèâàëåíòíîñòü ìåð � y1
, �x1
è � y2
, �x2
, à òàêæå âû÷èñëèòü ñîîòâåò-
ñòâóþùèå ïëîòíîñòè
d
d
z
y
x
�
�
1
1
( ) è
d
d
z
y
x
�
�
2
2
( ) ñ ó÷åòîì âûïîëíåíèÿ óñëîâèé 1–3.
Óêàçàííûå ñèñòåìû ìîæíî çàïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå:
dy t
dt
A t y t A t y t f t y t ti
i i i i i
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( )) ( )
� � , i �1 2, , (39)
0 � �t a , yi ( ) ( )0 0 0� �� ( )mod P ; (40)
dx t
dt
A t x t A t x t ti
i i i
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
� � , i �1 2, , (41)
0 � �t a , xi ( ) ( )0 0 0� �� ( )mod P , (42)
ãäå îïåðàòîðû A t( ) , A ti ( ) , i �1 2, , íåëèíåéíûå ôóíêöèè f t y ti i( , ( )) , i �1 2, , è
ãàóññîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ �( )t óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì 1–3. Ïðèìåíèâ
ê óðàâíåíèÿì (39) è (41) èçâåñòíûå ìåòîäû èç òåîðèè ýâîëþöèîííûõ äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé [4], çàïèøåì èõ â âèäå
y ti ( )
�U t s A s y s dsi
a
( , ) ( ) ( )
0
�U t s f s y s dsi i
a
( , ) ( , ( ))
0
� U t s s ds
a
( , ) ( )�
0
� , i �1 2, , (43)
è
x ti ( )
�U t s A s x s dsi
a
( , ) ( ) ( )
0
� U t s s ds
a
( , ) ( )�
0
� , i �1 2, . (44)
 ïðîñòðàíñòâå L2 óðàâíåíèÿ (43) è (44) ìîæíî çàïèñàòü òàê:
yi
U i yi
U i f yi i( , )� � U� , i �1 2, , (45)
è
xi
U i xi� U�, i �1 2, . (46)
Ïðîâîäÿ àíàëîãè÷íûå, êàê è â ðàáîòå [1], ðàññóæäåíèÿ, îêîí÷àòåëüíî âìåñòî
äâóõ óðàâíåíèé (45) è (46) ïîëó÷èì îäíî íåëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå
yi
( )I U i
1
U f yi i( , )� � xi , i �1 2, . (47)
Ïðè ýòîì åñëè ÷èñëî 1 íå ïðèíàäëåæèò ñïåêòðàì îïåðàòîðîâ U i , i �1 2, , òî
îïåðàòîðû ( )I U
i , i �1 2, , îáðàòèìû è èõ îáðàòíûå îïåðàòîðû ( )I U
i
1,
i �1 2, , íåïðåðûâíû, îãðàíè÷åíû è îïðåäåëåíû íà âñåì ãèëüáåðòîâîì
ïðîñòðàíñòâå L2 . Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ 1á è ôîðìóëå (6) îïåðà-
òîð U ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì Ãèëüáåðòà–Øìèäòà, òî è îïåðàòîðû
Bi � ( )I U
i
1
U , i �1 2, , (48)
ÿâëÿþòñÿ îïåðàòîðàìè Ãèëüáåðòà-Øìèäòà (ñì. [5]).
Èç ïðåîáðàçîâàíèÿ (46) ñëåäóåò, ÷òî ýëåìåíòû xi�L2 , i �1 2, , ÿâëÿþòñÿ ãàóñ-
ñîâñêèìè ñëó÷àéíûìè ýëåìåíòàìè. Äåéñòâèòåëüíî, èìååì
xi � ( )I U
i
1
U� � Bi � , i �1 2, . (49)
Òàê êàê � — ãàóññîâñêèé ýëåìåíò â L2 , à Bi — ëèíåéíûå îïåðàòîðû, äåé-
ñòâóþùèå â L2 , òî î÷åâèäíî, ÷òî xi , i �1 2, , — ãàóññîâñêèå ýëåìåíòû â L2 . Èõ
54 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 1
êîððåëÿöèîííûå îïåðàòîðû îïðåäåëÿþòñÿ, êàê è âûøå, ïî ôîðìóëå
R R R B R R B
x x x i i
i i i
2 � �* * *
� � , i �1 2, . (50)
Îòñþäà èìååì
R B R
x i
i
� � è R R Bx ii
* * *� � , i �1 2, . (51)
Èç ôîðìóë (47) è (48) ñëåäóåò
yi
Bi f yi i( , )� � xi , i �1 2, , (52)
èëè
S yi i : yi
R
xi
G yi i( , )� � xi , i �1 2, , (53)
ãäå ïîëîæåíî
Bi f yi i( , )� � R
xi
G yi i( , )� , i �1 2, . (54)
Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ 3 ôóíêöèè G yi i( , )� , i �1 2, , äèôôå-
ðåíöèðóåìû ïî yi , à îïåðàòîðû �G yi
( , )� yi , i �1 2, , ÿâëÿþòñÿ îïåðàòîðàìè Ãèëü-
áåðòà–Øìèäòà. Åñëè ïðè ýòîì èçâåñòíî, ÷òî ôóíêöèè G yi i( , )� ïðèíèìàþò ñâîè
çíà÷åíèÿ èç ïðîñòðàíñòâà R L
xi
2 , i �1 2, , ñîîòâåòñòâåííî, òî óðàâíåíèÿ (54) îäíî-
çíà÷íî ðàçðåøèìû îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè G yi i( , )� , ò.å.
G yi i( , )� �
R
xi
1
Bi f yi i( , )� , i �1 2, . (55)
Åñëè èñïîëüçîâàòü äðóãîé ìåòîä, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â ïåðâîé ÷àñòè äàí-
íîé ñòàòüè (ñì. [1]), òî ìîæíî èçáåæàòü ýòîãî îãðàíè÷åíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå
ñëåäóåò íàëîæèòü íà ôóíêöèè f yi i( , )� äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ. Ïî õîäó áóäåò
äîêàçàíà îáðàòèìîñòü ïðåîáðàçîâàíèé S i , i �1 2, , è ñóùåñòâîâàíèå ïðåîáðàçîâà-
íèé T Si i� 1, ãäå Ti áóäóò íåëèíåéíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ãàóññîâñêèõ ñëó÷àé-
íûõ ýëåìåíòîâ xi , i �1 2, , è îïðåäåëÿòñÿ â âèäå
T xi i : x G y yi x i i ii
� �R ( , ) , i �1 2, , (56)
ãäå ôóíêöèè G yi i( , )� ñëåäóþò èç ñîîòíîøåíèÿ
G xi i( , )� � �G Txi i( , ) , i �1 2, . (57)
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé íà ôóíêöèè f yi i( , )� , i �1 2, , êàê è
â [1] îáðàòèìñÿ ê ðåçóëüòàòàì ðàáîòû [7] è ïî òîé æå ìåòîäèêå â ïðîñòðàíñòâå H
ïîëó÷àåì ïðåîáðàçîâàíèÿ (53) è (56). Ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ è ôîðìóëà (54) ìîãóò
áûòü çàïèñàíû â âèäå
( ) :S yi i t y ti ( )
� R t s
x
a
i
( , )
0
G s y s dsi i( , ( )) � x ti ( ), i �1 2, , (58)
( ) :T xi i t x ti ( )
� R t s
x
a
i
( , )
0
G s x s dsi i( , ( )) � y ti ( ) , i �1 2, , (59)
B t s f s y s dsi
a
i( , ) ( , ( ))
0
� � � R t s
x
a
i
( , )
0
G s y s dsi i( , ( )) , i �1 2, , (60)
G t x ti ( , ( )) � G t Tx ti ( , ( )) , i �1 2, , (61)
ãäå ôóíêöèè B t si ( , ) , G t x ti i( , ( )) , G t Tx ti i( , ( )) , i �1 2, , ÿâëÿþòñÿ ÿäðàìè ñîîò-
âåòñòâåííî èíòåãðàëüíûõ îïåðàòîðîâ Bi , G i ( , )� xi è G i ( , )� Txi . Èç âûðàæå-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 1 55
íèÿ (61) ñëåäóåò, ÷òî èç ñóùåñòâîâàíèÿ ôóíêöèé G t x ti i( , ( )) àâòîìàòè÷åñêè
èìååì è ñóùåñòâîâàíèå ôóíêöèé G t Tx ti i( , ( )) è íàîáîðîò. Íèæå, èñïîëüçóÿ
ìåòîä, ïðèâåäåííûé â ïåðâîé ÷àñòè äàííîé ðàáîòû (ñì. [1]), ïîëó÷àåì óñëî-
âèÿ, îáåñïå÷èâàþùèå ñóùåñòâîâàíèå ôóíêöèé G t y ti i( , ( )) è èõ ïðîèçâîäíûõ
�G t y tyi
( , ( )) , i �1 2, , à òàêæå èõ êîíñòðóêòèâíûé âèä. Äåéñòâèòåëüíî, îáîçíà-
÷èì { ( )}( )�
k
i t è { }( )�
k
i , i �1 2, , ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå ÷èñëà êîð-
ðåëÿöèîííûõ îïåðàòîðíûõ ôóíêöèé R t s
xi
2 ( , ) , êîòîðûå äîïóñêàþò ðàçëîæåíèå
R t s
xi
2 ( , ) � �
�
�
� � � �
k
i
k
i
k
k
it s( )( ( ), )
1
, i �1 2, , (62)
à «êîðíåì êâàäðàòíûì» îò ýòèõ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ
R t s
xi
( , ) � �
�
�
� � � �
k
i
k
i
k
k
it s( )( ( ), )
1
, i �1 2, . (63)
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:
�
k
i t( ) �
1
�
�
k
i
k
i t( ) , i �1 2, . (64)
Ïîâòîðÿÿ àíàëîãè÷íûå âûêëàäêè, ïðîâåäåííûå â [1], ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âû-
ðàæåíèå äëÿ ôóíêöèé G t yi i( , ( ))� â âèäå ðÿäà Ôóðüå:
G t yi i( , ( ))� �
�
�
�G y t
k
i
i k
i
k
( ) ( )�
1
, i �1 2, , (65)
êîýôôèöèåíòû Ôóðüå G y
k
i ( ) îïðåäåëÿþòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ
G y
k
i ( ) � �� ( ( , ( )), ( ))b t y t dti i k
a
�
0
, i �1 2, , (66)
ãäå
b t y B t s f t y s dsi i i i i
a
( , ( )) ( , ) ( , ( ))� � �
0
, i �1 2, . (67)
×òîáû ôóíêöèè G t yi i( , ( ))� ñóùåñòâîâàëè, íåîáõîäèìà ñõîäèìîñòü ðÿ-
äîâ (65), à äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñõîäèëèñü ðÿäû
( ( )) ( ( , ( )), ( ))G y b t y t dt
k
i
k
i i k
i
a
k
2
1 0
2
�
�
� �� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
, i �1 2, , (68)
èëè, îêîí÷àòåëüíî, ñõîäèëèñü ðÿäû
( ( , ( )), ( ))b t y t dti i k
i
a
k
�
�
�
�
�
�
�
�
���
�
�
�
0
2
1
� � , i �1 2, . (69)
Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî îòíîñèòåëüíî ñóùåñòâîâàíèÿ è îãðàíè÷åííîñòè èí-
òåãðàëüíûõ îïåðàòîðîâ �G yi
( , )� yi â L2 , ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå:
( ( , ) )� �G y i ti
y z � �� K t s y z s dsi i
a
( , , ( ) ( )
0
, i �1 2, , (70)
ãäå K t s yi i( , , ( ))� , i �1 2, , — ÿäðà îïåðàòîðîâ �G yi
( , )� yi .
Ôîðìàëüíî èç ñîîòíîøåíèé (65) è (66), ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ âûðàæå-
íèå (65), ìîæíî çàïèñàòü
( ( , ) )� �G y i ti
y z � � ���
�
�
( ( , ( )) ( ), ( )) ( )b s y z s s ds ty i k
i
a
k
k
i
i
� �
01
, i �1 2, . (71)
56 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 1
Ñ ó÷åòîì (70) èìååì
K t s y z s dsi i
a
( , , ( ) ( )��
0
� � ���
�
�
( ( , ( )) ( ), ( )) ( )*b s y s z s ds ty i k
a
k
ki
� �
01
, i �1 2, . (72)
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ îïåðàòîðîâ �G yi
( , )� yi , èõ îãðàíè÷åííîñòè,
ñïðàâåäëèâîñòè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ðÿäà â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (65) äîñòà-
òî÷íî, ÷òîáû ñõîäèëèñü ðÿäû
| ( , ( )) ( )|� � � ���
�
�
b s y s dsy i k
i
a
k
i
� 2
01
, i �1 2, . (73)
Äàëåå, â ïðîñòðàíñòâå L2 ââîäèì èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû
Fi ( , )� yi � �G yi
( , )� yi R
xi
2 �G yi
*( , )� yi , i �1 2, , (74)
C i ( , )� yi � R
xi
�G y i, ( , )� yi
�G y i,
* ( , )� yi R
xi
R
xi
�G y i, ( , )� yi �G yi
*( , )� yi R
xi
, i �1 2, , (75)
êîòîðûå â ïðîñòðàíñòâå H ïîðîæäàþò ñîîòâåòñòâåííî ÿäðà F t s yi i( , , ) è
C t s yi i( , , ) , i �1 2, . Ñ ó÷åòîì (74) è (75) ôóíêöèè F t s yi i( , , ) è C t s yi i( , , )
îïðåäåëÿþòñÿ èç ñîîòíîøåíèé
F t s yi i( , , ) � �� K t u y R u v K v s y dudvi i x i i
aa
i
( , , ) ( , ) ( , , )*2
00
, i �1 2, , (76)
è
C t s yi i( , , ) � � R t u K u s y du
x i i
a
i
( , ) ( , , )
0
� K t u y R u s dui i x
a
i
* ( , , ) ( , )
0
�� R t u K u v y K v z y R z s dudv
x i i i i x
aaa
i i
( , ) ( , , ) ( , , ) ( , )*
000
� dz , i �1 2, . (77)
 ñèëó òîãî, ÷òî R
xi
ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì Ãèëüáåðòà–Øìèäòà, à ïî óñëî-
âèþ (73) îïåðàòîðû F t s yi i( , , ) è C t s yi i
2 ( , , ), i �1 2, , ÿâëÿþòñÿ îïåðàòîðàìè Ãèëü-
áåðòà–Øìèäòà è îãðàíè÷åíû, òî îíè èìåþò îãðàíè÷åííûé ñëåä, ò.å.
SpF t s y dtdsi i
aa
( , , )
00
�� � �, i �1 2, , (78)
è
SpC t s y dtdsi i
aa
2
00
( , , )�� � � , i �1 2, . (79)
Äàëåå, êàê è ðàíåå, íåîáõîäèìî äîêàçàòü îáðàòèìîñòü îòîáðàæåíèé �S i ,
îïðåäåëåííûõ ïî ôîðìóëå
( ) :�S zi t y t B t s f s y s dsi i i i
a
( ) ( , ) ( , ( ))
� ��
0
x ti ( ) , (80)
ò.å. äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå è îãðàíè÷åííîñòü ïðåîáðàçîâàíèé
� � � T Si i
1, i �1 2, , | ( )|� � S zi
1 | ( )|� � �T zi , z L� 2 . (81)
Äëÿ ýòîãî ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ
A t s yi i( , , ( ))� � B t s f s y si i i( , ) ( , ( )) , i �1 2, , (82)
îòêóäà
� �A t s yy i i, ( , , ( )) � �B t s f s y si y i( , ) ( , ( )) , i �1 2, , (83)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 1 57
è ïîëîæèì, ÷òî
| ( , , ( ))|,
� � � � �A t s y cy i i i
, i �1 2, . (84)
Òîãäà, èñïîëüçóÿ ìåòîäèêó, èçëîæåííóþ âûøå ïðè äîêàçàòåëüñòâå àíàëîãè÷íî-
ãî óòâåðæäåíèÿ â [1], ïîëó÷àåì
| ( )|� � S zi
1 | ( )|� � � �T z ei
aci , z L� 2 , i �1 2, , (85)
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ T x( ) ââåäåì â L2 èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû F t s xi i( , , ) è
C t s xi i( , , ) , i �1 2, , êîòîðûå, ó÷èòûâàÿ ôîðìóëó (57), îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî
(76) è (77):
F t s xi i( , , ( ))� � � ��� K t u x R u v K v s x dudvi i x i i
aa
i
( , , ( )) ( , ) ( , , ( ))*2
00
, i �1 2, , (86)
è
C t s xi i( , , ( ))� � � R t u K u s x du
x i i
a
i
( , ) ( , , )
0
� K t u x R u s dui i x
a
i
* ( , , ) ( , )
0
�� R t u K u v x K v z x R u s dudv
x i i i i x
aaa
i i
( , ) ( , , ) ( , , ) ( , )*
000
� dz , i �1 2, , (87)
ãäå ôóíêöèè K t u xi i( , , ) è K t u xi i
* ( , , ) — ÿäðà èíòåãðàëüíûõ îïåðàòîðîâ
� �G x i ix, ( , ) è � �G x i ix,
* ( , ) ñîîòâåòñòâåííî. Ó÷èòûâàÿ òåïåðü ñîîòíîøåíèÿ (57), (69)
è (73), ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî îïåðàòîðíûå ôóíêöèè F t s xi i( , , ) è C t s xi i( , , ) ,
i �1 2, , ñóùåñòâóþò, îãðàíè÷åíû è èìåþò îãðàíè÷åííûé ñëåä
SpF t s x dtdsi i
aa
( , , )
00
�� � �, i �1 2, , (88)
è
SpC t s x dtdsi i
aa
2
00
( , , )�� � � , i �1 2, . (89)
Îáîçíà÷èì { ( )}e x
k
i
i
è {~ ( )}e x
k
i
i
, i �1 2, , ìíîæåñòâî ñîáñòâåííûõ ÷èñåë îïå-
ðàòîðîâ C t s xi i( , , ) è C t s xi i( , , ) ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà (ñì. [7]) ñóùåñòâóþò âû-
ðàæåíèÿ
D x e x ei i k
i
i
k
c xk
i
i( ) ( ( ))
( )�
�
�
!
"
#
�
�
$ 1
1
exp ( , , )
1
2
2
00
SpC t s x dtdsi i
aa
��
�
�
�
��
�
�
�
��
, i �1 2, , (90)
~
( ) ( ~ ( )) exp
~ ( )
D x e x ei i k
i
i
k
c xk
i
i�
�
�
!
"
#
�
�
$ 1
1
SpC t s x dtdsi i
aa
2
00
( , , )��
�
�
�
��
�
�
�
��
, i �1 2, . (91)
Äàëåå äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäèêè èç ðàáîòû [7] íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü
îáîáùåííóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, òàê íàçûâàåìûé «áåëûé øóì», â L2 è ñ
åãî ïîìîùüþ ïîñòðîèòü ðàñøèðåííûå ñòîõàñòè÷åñêèå èíòåãðàëû.
 ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H ñ ïîìîùüþ ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ x ti ( ) ,
i �1 2, , è èõ êîððåëÿöèîííûõ îïåðàòîðíûõ ôóíêöèé R t s
xi
2 ( , ) , i �1 2, , ïîñòðîèì
âèíåðîâñêèå ïðîöåññû w ti ( ) , îïðåäåëåííûå íà èíòåðâàëå [ , ]0 a ñî çíà÷åíèÿìè èç
H , ñëåäóþùèì îáðàçîì (àíàëîãè÷íî, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â ïåðâîé ÷àñòè äàí-
íîé ðàáîòû):
x t R t s dw si x i
a
i
( ) ( , ) ( )� �
0
, i �1 2, . (92)
58 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 1
Ñ èõ ïîìîùüþ ñòðîèì ðàñøèðåííûå ñòîõàñòè÷åñêèå èíòåãðàëû
G t x dw t G t xi i i
a
kk
i i
aa
( , ( )), ( ) ( ( , ( )),� � �� � ��
�
�
0 1 00
1
�
�
k
i
i k
it x s s dtds( )) ( ( ), ( ))�
�����
�
�
( ( , , ( )) ( , ) ( ), ( )K s t x R t v v si i x
aaa
k
i
k
k
i
i
0001
� � )dsdtdv , i �1 2, , (93)
è
G t x dw ti i i
a
( , ( )), ( )��
0
�
1
001 �
� �
k
i i
aa
k
i
k
i k
iG t x t x s s dt( ( , ( )), ( ))( ( ), ( ))����
�
�
ds
�����
�
�
( ( , , ( )) ( , ) ( ), ( )K s t x R t v v si i x
aaa
k
i
k
k
i
i
0001
� � )dsdtdv , i �1 2, , (94)
ãäå ðÿäû â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóë (93) è (94) ñõîäÿòñÿ ïî ìåðàì �xi
, i �1 2, , ñî-
îòâåòñòâåííî íà îñíîâàíèè óñëîâèé (69) è (73), ïðîâîäÿ íåîáõîäèìûå îöåíêè.
Òàêèì îáðàçîì, èç ïðîâåäåííûõ âûøå èññëåäîâàíèé è ïîëó÷åííûõ óñëîâèé
â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 1 èç ðàáîòû [7] íàìè äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H çàäàíû äâå ñèñòåìû íåëè-
íåéíûõ è ëèíåéíûõ ýâîëþöèîííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (39) è (41)
ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (40) è (42), äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ 1–3 íàñòî-
ÿùåé ñòàòüè è, êðîìå òîãî, óñëîâèÿ (69), (73) è (84), ãäå B t si ( , ) , i �1 2, , — ÿäðà
èíòåãðàëüíûõ îïåðàòîðîâ, îïðåäåëåííûõ ïî ôîðìóëå (48), à ôóíêöèè b t y ti i( , ( ))
è A t s yi i( , , ( ))� îïðåäåëÿþòñÿ èç ôîðìóë (67) è (82) ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà èìåþò
ìåñòî ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
Óòâåðæäåíèå 2: à) ïðåîáðàçîâàíèÿ S i
(58) è Ti
(59) âçàèìíî îäíîçíà÷íû,
îáðàòèìû è èìåþò åäèíñòâåííûå ðåøåíèÿ y ti ( ) è x ti ( ) , i �1 2, , êîòîðûå òàêæå
ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (4), (5) è (14), (15) ñîîòâåò-
ñòâåííî;
á) ïðåîáðàçîâàíèÿ �S xi ( ) , i �1 2, , (81) âñåãäà îáðàòèìû è ñóùåñòâóþò èõ îá-
ðàòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ( ) ( )� � S xi
1 �T xi ( ) ;
â) âåðîÿòíîñòíûå ìåðû � yi
è �xi
, ïîðîæäåííûå ðåøåíèÿìè y ti ( ) è x ti ( ) ,
i �1 2, , äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (4), (5) è (14), (15) ñîîòâåòñòâåííî, ýêâèâà-
ëåíòíû è èõ ïëîòíîñòè Ðàäîíà–Íèêîäèìà âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì
�
�
�i
y
x
z
d
d
zi
i
( ) ( )� � | ( )|D zi
� �
�
� ��exp ( , ( )), ( ) || ( , ( )) ||G s z dw s G s z dsi i i
aa
1
2
2
00
�
��
�
�
�
��
, z L� 2 , i �1 2, , (95)
~
( ) ( )�
�
�i
x
y
z
d
d
zi
i
� � |
~
( )|D zi
� �
�
� ��exp ( , ( )), ( ) || ( , ( )) ||G s z dw s G s z dsi i i
aa
1
2
2
00
�
��
�
�
�
��
, z L� 2 , i �1 2, . (96)
Åñëè, êðîìå òîãî, èçâåñòíî, ÷òî èìåþò ìåñòî óòâåðæäåíèÿ
Sp z� � � �� b t z dti
a
, ( , ( ))
0
, i �1 2, , (97)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 1 59
òî, èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ðàáîò [8, 9], ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùóþ
òåîðåìó.
Òåîðåìà 3. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû 2, à òàêæå óñëîâèå (97).
Òîãäà èìåþò ìåñòî âñå óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû 2, à ïëîòíîñòè Ðàäîíà–Íèêîäèìà
âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì
�
�
�i
y
x
z
d
d
zi
i
( ) ( )� � exp ( , ( )), �
�
�
�
��
�
1
2
0
Sp zb t z t dti
a
� � G s z dw si i
a
( , ( )), ( )
0
��� SpK t s z R s t dtdsi x
aa
i
( , , ( )) ( , )
00
�
�
�
�
��
�
1
2
2
0
|| ( , ( )) ||G s z dsi
a
, z L� 2 , i �1 2, , (98)
~
( ) ( )�
�
�
i
x
y
z
d
d
zi
i
� � exp ( , ( )), �
�
�
�
��
�
1
2
0
Sp zb t z t dti
a
� � G s z dw si i
a
( , ( )), ( )
0
��� SpK t s z R s t dtdsi x
aa
i
( , , ( )) ( , )
00
�
�
�
�
��
�
1
2
2
0
|| ( , ( )) ||G s z dsi
a
, z L� 2 , i �1 2, , (99)
ãäå îïåðàòîðíûå ôóíêöèè K t s zi ( , , ( ))� , K t s zi ( , , ( ))� , i �1 2, , ÿâëÿþòñÿ ÿäðàìè
èíòåãðàëüíûõ îïåðàòîðîâ �G z i, ( , ( ))� �z , �G z i, ( , ( ))� �z , i �1 2, , ñîîòâåòñòâåííî.
Òåïåðü óæå ìîæíî âåðíóòüñÿ ê ãëàâíîìó âîïðîñó íàñòîÿùåãî ðàçäåëà – çàäà-
÷å îá ýêâèâàëåíòíîñòè âåðîÿòíîñòíûõ ìåð � y1
è � y2
, ïîðîæäåííûõ ñîîòâåò-
ñòâåííî ðåøåíèÿìè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (4) è (5).
Ïîñëå ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ïðè èññëåäîâàíèè ñèñòåì äèôôåðåíöèàëü-
íûõ óðàâíåíèé (39), (40) è (41), (42), à òàêæå ñèñòåìû äâóõ ëèíåéíûõ äèôôåðåí-
öèàëüíûõ óðàâíåíèé (14) è (15), ó÷èòûâàÿ ôîðìóëû (22), (23), (24) è (25), ïðèõî-
äèì ê âûâîäó, ÷òî äëÿ ýêâèâàëåíòíîñòè ìåð � y1
è � y2
äîñòàòî÷íî, ÷òîáû áûëè ýê-
âèâàëåíòíû ìåðû � yi
è �xi
, i �1 2, , à òàêæå ýêâèâàëåíòíû ìåðû �x1
è �x2
. Òàêèì
îáðàçîì, ïîëó÷åííûå óñëîâèÿ äîëæíû îäíîâðåìåííî îáåñïå÷èâàòü ýêâèâàëåíò-
íîñòü ðàññìîòðåííûõ âûøå ìåð. Íî óñëîâèÿ, ñôîðìóëèðîâàííûå â òåîðåìàõ 1–3
äàííîé ðàáîòû, ïîëíîñòüþ îáåñïå÷èâàþò ýêâèâàëåíòíîñòü ðàññìîòðåííûõ âûøå
ìåð, ÷òî ïîçâîëÿåò îêîí÷àòåëüíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó.
Òåîðåìà 4. Ïóñòü â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H çàäàíû äâà íåëèíåéíûõ
ýâîëþöèîííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ: (4) è (5) è äâà ëèíåéíûõ ýâîëþ-
öèîííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ: (14) è (15) ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè íà÷àëü-
íûìè óñëîâèÿìè. Ñãðóïïèðóåì ðàññìàòðèâàåìûå óðàâíåíèÿ â âèäå ñèñòåì (39),
(40) è (41), (42), à òàêæå â âèäå ñèñòåìû (14) è (15). Åñëè âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ
òåîðåìû 1 è òåîðåìû 2, òî:
1) âåðîÿòíîñòíûå ìåðû � yi
è �xi
, i �1 2, , ýêâèâàëåíòíû (ïî òåîðåìå 2);
2) âåðîÿòíîñòíûå ìåðû �x1
è �x2
ýêâèâàëåíòíû (ïî òåîðåìå 1);
3) âåðîÿòíîñòíûå ìåðû � y1
è � y2
ýêâèâàëåíòíû (ïî ôîðìóëå (22));
4) ïëîòíîñòè Ðàäîíà–Íèêîäèìà äëÿ ìåð � yi
è �xi
, i �1 2, , âû÷èñëÿþòñÿ ïî
ôîðìóëå (95) èëè (96), à äëÿ ìåð �x1
è �x2
— ïî ôîðìóëå (37) èëè (38);
5) ïëîòíîñòè Ðàäîíà–Íèêîäèìà äëÿ ìåð � y1
è � y2
ñóùåñòâóþò è âû÷èñëÿ-
þòñÿ â ÿâíîì âèäå ïî ôîðìóëå (24) èëè (25):
�( )z � �1 ( )z �
2
1 ( )z � 3 ( )z , (100)
�( )z � �1 ( )z
~
( )�2 z � 3 ( )z . (101)
Íàïðèìåð, ñ ó÷åòîì ôîðìóë (38) è (95) èìååì
�( )z � �
d
d
z
y
y
�
�
1
2
( )
| ( )|
| ( )|
D z
D z
1
2
det~ L
� �
�
�
�
��
�exp { ( , ( )), ( ) ( , ( )), ( ) }G s z dw s G s z dw s
a
1 1 2 2
0
60 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 1
� � ��
1
2
1
2
1
2
2
2
0
{|| ( , ( ))|| || ( , ( )) || } [ (G s z G s z ds L t,
a
s z s z s dz s
a
) ( ) ( )], ( ) , %
�
�
�
��
�
0
(102)
ãäå îïðåäåëèòåëè D zi ( ) , i �1 2, , âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå (90), à èíòåãðàëü-
íûé îïåðàòîð L è åãî ÿäðî L t s( , ) — ïî ôîðìóëå (36).
Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (97) ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 5. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû 1, òåîðåìû 2 è óñëî-
âèÿ (97). Òîãäà âñå óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû 3 è òåîðåìû 4 îñòàþòñÿ â ñèëå, à ïëîò-
íîñòü Ðàäîíà–Íèêîäèìà �( )z �
d
d
z
y
y
�
�
1
2
( ) âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
�( )z � det~ L exp [ ( , ( )) ( , ( ))], , � �
�
�
�
��
�
1
2
1 2
0
Sp Spzb t z t b t z t dtz
a
� � � [ ( , ( )), ( ) ( , ( )), ( ) ]G s z dw s G s z dw s
a
1 1 2 2
0
� �[ ( , , ( )) ( , ) ( , , ( )) ( , )]Sp SpK t s z R s t K t s z R s t dtx x1 21 2
ds
aa
00
��
� � �
1
2
1
2
2
2
0
( || ( , ( )) || || ( , ( )) || )G s z G s z ds
a
1
2
0
� %
�
�
�
��
� [ ( , ) ( ) ( )], ( )L t s z s z s dz s
a
, (103)
ãäå îïåðàòîð L è b t zi ( , ( ))� , i �1 2, , îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì (36) è (67) ñî-
îòâåòñòâåííî, à îïåðàòîðíûå ôóíêöèè K t s zi ( , , ( ))� è R t sxi
( , ) , i �1 2, , íàõîäÿò-
ñÿ ïî ôîðìóëàì (70) è (28), (29) ñîîòâåòñòâåííî.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ô î ì è í - Ø à ò à ø â è ë è À . À . , Ô î ì è í à Ò . À . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îá ýêâèâàëåíòíîñòè
âåðîÿòíîñòíûõ ìåð, ïîðîæäåííûõ ðåøåíèÿìè íåëèíåéíûõ ýâîëþöèîííûõ äèôôåðåíöèàëü-
íûõ óðàâíåíèé â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå, âîçìóùåííûõ ãàóññîâñêèìè ïðîöåññàìè. I //
Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2010. — ¹ 6. — Ñ. 89–101.
2. D i n g X . On global random solutions for random integral and differential equations in Banach
spaces // Zbornik Radova Universiteta. — 1984. — N 2 (14). — P. 101–109.
3. K r o v a r i t i s . Nonlinear random equations with nonconvergive operators in Banach spaces //
J. Math. Analysis and Applications. — 1986. — N 120. — P. 572–583.
4. Ê ð å é í C . Ã . Ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå. — Ì.:
Íàóêà, 1967. — 464 c.
5. Ê î ë ì î ã î ð î â À . Í . , Ô î ì è í Ñ . Â . Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî
àíàëèçà. — Ì.: Ôèçìàòãèç, 1968. — 544 c.
6. Ô î ì è í à Ò . À . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Íåêîòîðûå íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ,
îáåñïå÷èâàþùèå ýêâèâàëåíòíîñòü äâóõ ãàóññîâñêèõ ìåð, èíäóöèðóåìûõ ðåøåíèÿìè äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â åâêëèäîâîì è ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâàõ // Ïðèêëàäíà ñòàòè-
ñòèêà. Àêòóàðíà òà ôiíàíñîâà ìàòåìàòèêà. — 2002. — ¹ 1. — C. 61–80.
7. Ñ ê î ð î õ î ä À . Â . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îá àáñîëþòíîé íåïðåðûâíîñòè ãàóññîâñêèõ ìåð
ïðè íåëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàò. ñòàòèñòèêà. — 1976. —
Âûï. 15. — C. 139–151.
8. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Î ïðåîáðàçîâàíèè ìåð â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñ ïîìîùüþ
ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé // Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — 1973. —
Bûï. 2. — Ñ. 113–120.
9. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Î ïðåîáðàçîâàíèÿõ ãàóññîâñêîé ìåðû â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå,
ïîðîæäåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè // Òàì æå. — 1973. — Âûï. 2. — Ñ. 120–128.
10. Ä à ë å ö ê è é Þ . Ë . , Ô î ì è í Ñ .  . Ìåðû è äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â áåñêîíå÷íî-
ìåðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ. — Ì.: Íàóêà, 1983. — 384 ñ.
Ïîñòóïèëà 10.03.2010
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 1 61
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84016 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T12:38:08Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Фомин-Шаташвили, А.А. Фомина, Т.А. Шаташвили, А.Д. 2015-07-02T08:05:40Z 2015-07-02T08:05:40Z 2012 Об эквивалентности вероятностных мер, порожденных решениями нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, возмущенных гауссовскими процессами. II / А.А. Фомин-Шаташвили, Т.А. Фомина, А.Д. Шаташвили // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 1. — С. 49-61. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84016 519.21 Продовжено дослідження еквівалентності мір, породжених розв’язками нелінійних еволюційних диференціальних рівнянь з необмеженими лінійними операторами, збурених випадковими гаусівськими процесами в гільбертовому просторі, зокрема Н. В просторі Н розглянуто два різних нелінійних еволюційних диференціальних рівняння, але збурених в правій частині одним і тим же випадковим процесом Гауса. Встановлюються достатні умови для існування і єдиності розв’язку цих рівнянь, еквівалентність заходів, породжених розв’язками цих рівнянь, а також в явному вигляді записуються формули щільності Радона–Никодима відповідних мір, обчислених в термінах коефіцієнтів даних рівнянь The paper continues the studies started by the authors in the equivalence of the measures generated by the solutions of nonlinear evolution differential equations with unbounded linear operators perturbed by random Gaussian processes in a Hilbert space, in particular Н. Two different nonlinear evolution differential equations perturbed by the same random Gaussian process in the right-hand side are considered in the space Н. The sufficient existence and uniqueness conditions are established for the solutions of these equations, the equivalence of the measures generated by the solutions is proved, and explicit formulas of the Radon–Nikodym density of the respective measures calculated in terms of the coefficients of the considered equations are written. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Об эквивалентности вероятностных мер, порожденных решениями нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, возмущенных гауссовскими процессами. II Про еквівалентність ймовірнісних мір, породжених розв’язками нелінійних еволюційних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі, збурених гаусівськими процесами. II Equivalence of the probability measures generated by the solutions of nonlinear evolution differential equalizations in a Hilbert space, disturbed by Gaussian processes. II Article published earlier |
| spellingShingle | Об эквивалентности вероятностных мер, порожденных решениями нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, возмущенных гауссовскими процессами. II Фомин-Шаташвили, А.А. Фомина, Т.А. Шаташвили, А.Д. Системный анализ |
| title | Об эквивалентности вероятностных мер, порожденных решениями нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, возмущенных гауссовскими процессами. II |
| title_alt | Про еквівалентність ймовірнісних мір, породжених розв’язками нелінійних еволюційних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі, збурених гаусівськими процесами. II Equivalence of the probability measures generated by the solutions of nonlinear evolution differential equalizations in a Hilbert space, disturbed by Gaussian processes. II |
| title_full | Об эквивалентности вероятностных мер, порожденных решениями нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, возмущенных гауссовскими процессами. II |
| title_fullStr | Об эквивалентности вероятностных мер, порожденных решениями нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, возмущенных гауссовскими процессами. II |
| title_full_unstemmed | Об эквивалентности вероятностных мер, порожденных решениями нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, возмущенных гауссовскими процессами. II |
| title_short | Об эквивалентности вероятностных мер, порожденных решениями нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, возмущенных гауссовскими процессами. II |
| title_sort | об эквивалентности вероятностных мер, порожденных решениями нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, возмущенных гауссовскими процессами. ii |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84016 |
| work_keys_str_mv | AT fominšatašviliaa obékvivalentnostiveroâtnostnyhmerporoždennyhrešeniâminelineinyhévolûcionnyhdifferencialʹnyhuravneniivgilʹbertovomprostranstvevozmuŝennyhgaussovskimiprocessamiii AT fominata obékvivalentnostiveroâtnostnyhmerporoždennyhrešeniâminelineinyhévolûcionnyhdifferencialʹnyhuravneniivgilʹbertovomprostranstvevozmuŝennyhgaussovskimiprocessamiii AT šatašviliad obékvivalentnostiveroâtnostnyhmerporoždennyhrešeniâminelineinyhévolûcionnyhdifferencialʹnyhuravneniivgilʹbertovomprostranstvevozmuŝennyhgaussovskimiprocessamiii AT fominšatašviliaa proekvívalentnístʹimovírnísnihmírporodženihrozvâzkaminelíníinihevolûcíinihdiferencíalʹnihrívnânʹugílʹbertovomuprostorízburenihgausívsʹkimiprocesamiii AT fominata proekvívalentnístʹimovírnísnihmírporodženihrozvâzkaminelíníinihevolûcíinihdiferencíalʹnihrívnânʹugílʹbertovomuprostorízburenihgausívsʹkimiprocesamiii AT šatašviliad proekvívalentnístʹimovírnísnihmírporodženihrozvâzkaminelíníinihevolûcíinihdiferencíalʹnihrívnânʹugílʹbertovomuprostorízburenihgausívsʹkimiprocesamiii AT fominšatašviliaa equivalenceoftheprobabilitymeasuresgeneratedbythesolutionsofnonlinearevolutiondifferentialequalizationsinahilbertspacedisturbedbygaussianprocessesii AT fominata equivalenceoftheprobabilitymeasuresgeneratedbythesolutionsofnonlinearevolutiondifferentialequalizationsinahilbertspacedisturbedbygaussianprocessesii AT šatašviliad equivalenceoftheprobabilitymeasuresgeneratedbythesolutionsofnonlinearevolutiondifferentialequalizationsinahilbertspacedisturbedbygaussianprocessesii |