Системные статистические свойства экспериментального метода исследования
Показано, что основной формой описания сложных систем, процессов, объектов являются многофакторные статистические математические модели, получаемые по результатам экспериментального исследования. Сформулированы и исследованы системные статистические свойства экспериментального метода исследования. П...
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автор: | |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
2006
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84061 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Системные статистические свойства экспериментального метода исследования / С.Г. Радченко // Мат. машини і системи. — 2006. — № 4. — С. 83-89. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84061 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Радченко, С.Г. 2015-07-02T18:14:15Z 2015-07-02T18:14:15Z 2006 Системные статистические свойства экспериментального метода исследования / С.Г. Радченко // Мат. машини і системи. — 2006. — № 4. — С. 83-89. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84061 621.9:001.8 Показано, что основной формой описания сложных систем, процессов, объектов являются многофакторные статистические математические модели, получаемые по результатам экспериментального исследования. Сформулированы и исследованы системные статистические свойства экспериментального метода исследования. Показано, к каким теоретическим схемам обоснования результатов приводят указанные системные статистические свойства. Показано, що основною формою опису складних систем, процесів, об'єктів є багатофакторні статистичні математичні моделі, які одержують за результатами експериментального дослідження. Сформульовано та досліджено системні статистичні властивості експериментального методу дослідження. Показано, до яких теоретичних схем обґрунтування результатів приводять вказані системні статистичні властивості. It is shown that multifactor statistical mathematical models obtained by results of experimental investigation are the main form of description of complex systems, processes, objects. System statistical properties of the experimental method of investigation have been formulated and studied. The author shows theoretical schemes of results substantiation to which the mentioned system statistical properties lead. ru Обчислювальні системи Системные статистические свойства экспериментального метода исследования Системні статистичні властивості експериментального методу дослідження System Statistical Properties of Experimental Method of Investigation published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Системные статистические свойства экспериментального метода исследования |
| spellingShingle |
Системные статистические свойства экспериментального метода исследования Радченко, С.Г. Обчислювальні системи |
| title_short |
Системные статистические свойства экспериментального метода исследования |
| title_full |
Системные статистические свойства экспериментального метода исследования |
| title_fullStr |
Системные статистические свойства экспериментального метода исследования |
| title_full_unstemmed |
Системные статистические свойства экспериментального метода исследования |
| title_sort |
системные статистические свойства экспериментального метода исследования |
| author |
Радченко, С.Г. |
| author_facet |
Радченко, С.Г. |
| topic |
Обчислювальні системи |
| topic_facet |
Обчислювальні системи |
| publishDate |
2006 |
| language |
Russian |
| title_alt |
Системні статистичні властивості експериментального методу дослідження System Statistical Properties of Experimental Method of Investigation |
| description |
Показано, что основной формой описания сложных систем, процессов, объектов являются многофакторные статистические математические модели, получаемые по результатам экспериментального исследования. Сформулированы и исследованы системные статистические свойства экспериментального метода исследования. Показано, к каким теоретическим схемам обоснования результатов приводят указанные системные статистические свойства.
Показано, що основною формою опису складних систем, процесів, об'єктів є багатофакторні статистичні математичні моделі, які одержують за результатами експериментального дослідження. Сформульовано та досліджено системні статистичні властивості експериментального методу дослідження. Показано, до яких теоретичних схем обґрунтування результатів приводять вказані системні статистичні властивості.
It is shown that multifactor statistical mathematical models obtained by results of experimental investigation are the main form of description of complex systems, processes, objects. System statistical properties of the experimental method of investigation have been formulated and studied. The author shows theoretical schemes of results substantiation to which the mentioned system statistical properties lead.
|
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84061 |
| citation_txt |
Системные статистические свойства экспериментального метода исследования / С.Г. Радченко // Мат. машини і системи. — 2006. — № 4. — С. 83-89. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT radčenkosg sistemnyestatističeskiesvoistvaéksperimentalʹnogometodaissledovaniâ AT radčenkosg sistemnístatističnívlastivostíeksperimentalʹnogometodudoslídžennâ AT radčenkosg systemstatisticalpropertiesofexperimentalmethodofinvestigation |
| first_indexed |
2025-11-27T06:46:43Z |
| last_indexed |
2025-11-27T06:46:43Z |
| _version_ |
1850802263731208192 |
| fulltext |
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2006, № 4
83
УДК 621.9:001.8
С.Г. РАДЧЕНКО
СИСТЕМНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО
МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
Abstract: It is shown that multifactor statistical mathematical models obtained by results of experimental investigation
are the main form of description of complex systems, processes, objects. System statistical properties of the experi-
mental method of investigation have been formulated and studied. The author shows theoretical schemes of results
substantiation to which the mentioned system statistical properties lead.
Key words: experimental method of investigation, statistical properties, systems analysis.
Анотація: Показано, що основною формою опису складних систем, процесів, об’єктів є багатофакторні
статистичні математичні моделі, які одержують за результатами експериментального дослідження.
Сформульовано та досліджено системні статистичні властивості експериментального методу дослі-
дження. Показано, до яких теоретичних схем обґрунтування результатів приводять вказані системні
статистичні властивості.
Ключові слова: експериментальний метод дослідження, статистичні властивості, системний аналіз.
Аннотация: Показано, что основной формой описания сложных систем, процессов, объектов являются
многофакторные статистические математические модели, получаемые по результатам эксперимен-
тального исследования. Сформулированы и исследованы системные статистические свойства экспери-
ментального метода исследования. Показано, к каким теоретическим схемам обоснования результатов
приводят указанные системные статистические свойства.
Ключевые слова: экспериментальный метод исследования, статистические свойства, системный ана-
лиз.
1. Введение
Многофакторные статистические математические модели получили значительное распространение
при исследовании сложных систем, процессов, объектов. Статистические модели позволяют про-
гнозировать поведение системы, управлять ею, оптимизировать, проводить коррекцию цели и по-
верхности отклика. Использование моделей позволяет свести к возможному минимуму потребле-
ние физических ресурсов: вещественных, энергетических, пространственных, временных. Модели
позволяют создать системные ресурсы – функциональные, целевые, эмергентные, оптимизацион-
ные, которые существенно изменяют критерии качества системы и делают ее более эффективной.
Статистические модели особенно необходимы в тех случаях, когда традиционные конструкторские,
технологические и эксплуатационные решения, основанные только на физических принципах, ис-
черпаны или приводят к невыполнимо большим затратам.
Экспериментальный метод распространен в физических, технических, технологических, аг-
робиологических исследованиях, когда использование теоретического подхода затруднено ввиду
сложности, малой изученности объекта исследования, комплексности происходящих разнородных
явлений, их многофакторности, многокритериальности. Моделью сложного объекта является мо-
дель черного ящика, в которой исследователю доступны входы – управляемые факторы
kXXX ....,,, 21 – и выходы – критерии качества системы – myyy ....,,, 21 . Если оператор f , связы-
вающий входы и выходы ŷ = )....,,,( 21 kXXXf , предполагается существующим, то он считается
неизвестным и его необходимо определить. Информацию о сложной системе исследователь полу-
чает путем проведения с нею экспериментов и фиксирования результатов по выбранным критери-
ям качества.
При проведении эксперимента в лабораторных условиях, на стенде и в других условиях, ко-
гда им можно управлять, необходимо использовать методы теории планирования эксперимента.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2006, № 4 84
2. Постановка проблемы
Перечислим системные статистические свойства экспериментального метода исследования.
1. Результаты эксперимента являются следствием суммарного влияния групп управляемых,
неуправляемых и неконтролируемых факторов [1, с. 20–21]. Число управляемых факторов может
достигать 12…20. Число неуправляемых и неконтролируемых факторов сравнительно большое и
исследователю не известно. Физические свойства изучаемой системы, процесса, объекта не могут
быть определены полностью, т. е. исчерпывающе, и содержат неопределенности.
2. Результаты экспериментов сопровождаются погрешностями – систематическими, слу-
чайными, грубыми (выбросами). Случайные погрешности есть следствие влияния неуправляемых,
неконтролируемых факторов и ошибок уровней управляемых факторов. Результаты измерений
также являются случайными величинами. Обработка результатов экспериментов сопровождается
вычислительными погрешностями.
3. Результаты экспериментов являются численными величинами без указания каких-либо
теоретических свойств, а также вида (структуры) связи между условиями эксперимента и его ре-
зультатами.
4. При проведении экспериментов реализуется индуктивный метод познания – от частного
полученного результата к его обобщению на все гипотетические аналогичные результаты.
5. Предполагается, что комплекс условий проведения эксперимента является типичным для
класса изучаемых систем (процессов, объектов), и поэтому полученный результат может быть рас-
пространен на другие представители изучаемого класса систем.
3. Концепция решения
Рассмотрим, к каким теоретическим схемам обоснования результатов приводят системные свойст-
ва экспериментального метода исследования. Будем придерживаться приведенной последова-
тельности свойств 1…5.
1. Исследование влияния группы управляемых факторов kXXX ....,,, 21 проводится при из-
менчивости неуправляемых и неконтролируемых факторов. При многофакторной схеме экспери-
мента необходимо использовать такой план эксперимента, который позволяет представить в ма-
тематической модели эффекты – главные и взаимодействия – ортогонально друг другу или близко
к ортогональным [1, с. 66–78, 146–169]. Эксперимент, в общем случае, проводится в неоднородных
условиях. Поэтому необходима рандомизация последовательности опытов, т.е. проведение их в
случайном порядке, разбиение плана эксперимента на ортогональные блоки.
Если указанные условия проведения многофакторного эксперимента не выполняются, то
решаемая экспериментальная задача будет некорректно поставленной.
Формирование результатов опытов как суммарное влияние групп управляемых, неуправ-
ляемых и неконтролируемых факторов привело к решению класса так называемых обратных задач.
Н. Винер, А. Розенблют, М. Планк и другие ученые рассматривали постановку эксперимента
как задание определенного вопроса. «Любой эксперимент – всегда некий вопрос. Если вопрос не-
точен, получить точный ответ на него трудно. Глупые ответы, т. е. противоречивые, расходящиеся
друг с другом или не относящиеся к делу иррелевантные (неуместные – Р.С.) результаты экспери-
ментов, обычно указывают на то, что сам вопрос был поставлен глупо» [2, с. 171].
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2006, № 4
85
Использование методологии теории планирования эксперимента [3; 1, с. 117–119] необхо-
димо при решении многофакторных экспериментальных задач. «Глупая» постановка «вопроса»
означает, что экспериментальная задача является некорректно поставленной; это может выра-
жаться в значительной коррелированности эффектов математической модели между собой. По-
следнее может быть обусловлено нестандартной областью факторного пространства, малым чис-
лом проведенных опытов по сравнению с числом определяемых эффектов и другими причинами.
Выбор устойчивого (робастного) последовательного плана проведения многофакторного
эксперимента необходим для решения корректно поставленной задачи.
2. Результаты экспериментов рассматриваются как случайные величины. Систематические
ошибки должны быть исключены. Если в результатах присутствуют грубые ошибки (выбросы), то
их, по возможности, необходимо исключить или использовать для обработки устойчивые (робаст-
ные) методы оценивания.
Случайный характер результатов обуславливает использование статистических методов
оценивания математической и прикладной статистики: дисперсионного, корреляционного, регрес-
сионного анализов; теории планирования экспериментов и др.
Важнейшим требованием при обработке случайных исходных данных является использо-
вание методов устойчивого оценивания [1, с. 14–16]:
– робастный последовательный план эксперимента;
– формализованный выбор устойчивых структур многофакторных статистических моделей,
заранее не известных исследователю;
– устойчивое оценивание коэффициентов статистических моделей, в том числе и в услови-
ях исходной мультиколлинеарности факторов.
Подробное рассмотрение решения указанных проблем приведено в [1].
3. При формализации результатов экспериментов в виде математических моделей и выво-
дов используются системы предпосылок относительно некоторых свойств рассматриваемых слож-
ных систем, теоретический аппарат логического вывода и его реализация, формулировка получен-
ных следствий (результатов).
Комплекс условий, реализуемый в эксперименте, не является формально заданным, а сле-
довательно, может уточняться и изменяться.
Реализация выбора предпосылок и начальных условий, осуществляемая в чисто матема-
тическом подходе и для решения прикладных задач, может принципиально различаться по постав-
ленным целям и фактически достигнутым результатам [1, с. 56–57]. На важность соответствия при-
нятых предпосылок фактическим условиям обращали внимание французский физик Л. Бриллюэн
[4, с. 96, 187], д.ф.-м.н. Е.С. Вентцель (Грекова И.) [5, с. 111], д.э.н. В.В. Швырков [6, с. 7].
При решении прикладных задач необходимо не только сформулировать систему необходи-
мых предпосылок, но и методики их проверок; устойчивость предпосылок и метода получения ре-
зультатов к сравнимо малым нарушениям принятых условий; систему действий исследователя, ес-
ли принятые предпосылки не выполняются фактически. Рассмотрение указанных задач приведено
в [1, с. 57–65].
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2006, № 4 86
При получении многофакторной математической модели необходимо выбрать вид связи
(структуру) между условиями эксперимента – факторами kXXX ....,,, 21 – и его результатами – кри-
териями качества mw yyyy ....,,....,,, 21 моделируемой системы.
wŷ = )....,,,( 21 kw XXXf ,
где wŷ – модель w -го критерия качества системы (процесса, объекта); wf – структура математиче-
ской модели; k – общее число факторов.
В большинстве решаемых прикладных задач вид структуры статистической модели иссле-
дователю заранее не известен.
В [1, с. 106–108] предложена и обоснована формализованная структура многофакторной
полиномиальной математической модели, линейной относительно параметров, в виде множества
эффектов схемы полного факторного эксперимента:
(1+ 1X +
2
1X +...+ 1
1
1 −sX )×…×(1+ kX +
2
kX +...+ 1−ks
kX ) → ПN , (1)
где 1 – значение фиктивной независимой переменной 0 1x ≡ ; kXX ....,,1 – факторы искомой ма-
тематической модели в натуральных значениях; kss ....,,1 – число уровней факторов kXX ....,,1 со-
ответственно; ПN – число опытов полного факторного эксперимента, равное числу структурных
элементов его схемы СТРПN .
Выражение (1) используется для создания системы базисных функций. Оно представляет
собой совокупность всех многочленов факторов ki XXXX ....,,....,,, 21 , каждый степени от 1 до наи-
высшей 1−is , и различных взаимодействий этих факторов (точнее степеней этих факторов) по
два, три и т. д. до максимально возможных взаимодействий из k различных элементов. Совокуп-
ность всех указанных элементов образует вещественное евклидово пространство.
В выражении (1) приведены все возможные эффекты в полиномиальном виде, необходи-
мые и достаточные для адекватной аппроксимации исходных данных схем полных и дробных фак-
торных экспериментов.
При переходе от натуральных значений факторов kXX ....,,1 к системе ортогональных по-
линомов Чебышева (системе ортогональных контрастов) структура математической модели имеет
вид
)...1( )1(
1
)2(
1
)1(
1
1 −++++ sxxx ×…× ...1( )2()1( +++ kk xx ))1( −+ ks
kx → ПN ,
где )1(
1x , …, )1(
1
1 −sx ; …; )1(
kx , …, )1( −ks
kx – ортогональные контрасты факторов kXX ....,,1 ; описание
других обозначений приведено выше.
Число структурных элементов СТРПN схемы полного факторного эксперимента равно чис-
лу опытов полного факторного эксперимента ПN : СТРПN = ПN . Все эффекты для схемы полного
факторного эксперимента ортогональны друг к другу. Следовательно, любой полный факторный
эксперимент описывается устойчивой математической моделью.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2006, № 4
87
В случае дробного факторного эксперимента число опытов ДN меньше числа структурных
элементов СТРПN и, следовательно, из СТРПN возможных базисных функций необходимо вы-
брать 'k ( 'k < ДN ) для получения искомой математической модели. В случае дробного факторного
эксперимента некоторые эффекты – взаимодействия – будут коррелированы с другими эффекта-
ми, и задача становится, в общем случае, некорректно поставленной.
4. Описание сложных систем с использованием теоретико-аналитического подхода затруд-
нено и для многих прикладных задач невозможно ввиду значительной сложности происходящих в
системе комплексных (разнородных) явлений.
Академик А.А. Самарский считает, что «аналитические методы здесь уже, как правило, не
работают. Решенные аналитически до конца серьезные нелинейные проблемы насчитываются
единицами... Вычислительный эксперимент становится сейчас практически единственным средст-
вом проведения теоретических исследований в прикладных задачах» [7, с. 39].
Академик Я.З. Цыпкин также отмечает пригодность аналитических методов для решения
относительно простых задач, полученных благодаря далеко идущей идеализации, в результате
которой решается не поставленная, а совсем иная задача [8, с. 23].
Академик В.С. Пугачев считает, что «для построения моделей сложных систем приходится
прибегать к экспериментальному исследованию самих систем или входящих в них подсистем и
строить соответствующие модели путем статистической обработки полученных данных» [9, c. 351].
В различных сложных системах многокритериальная компромиссная оптимизация прово-
дится с использованием поисковых (экспериментальных) методов оптимизации. Получение мате-
матических моделей осуществляется путем проведения многофакторных экспериментов и аппрок-
симации их результатов с использованием метода наименьших квадратов. Предполагается, что
полученная математическая модель будет соответствовать и другим системам данного класса. Для
этого необходимо, чтобы выбранная для эксперимента система по своим физическим, размерно-
геометрическим и другим характеристикам была однородна, репрезентативна и случайно выбрана
относительно своего класса систем.
5. Использование экспериментального подхода в описании сложных систем приводит к ин-
дуктивному методу познания. В отличие от теоретико-аналитического подхода, где используются
абстрагирование, идеализация описываемой системы и она становится «унифицированной» отно-
сительно своего класса систем, выбранным для проведения эксперимента образцу системы и ком-
плексу условий экспериментирования свойственны только эти условия. Описание в эксперимен-
тальном подходе проводится в условиях «индивидуального», «единичного», «конкретного», не от-
рывая объект изучения от определенных рамок времени и места. Такое изучение получило назва-
ние «идиографическое» и рассматривалось как методология статистического описания в начале
прошлого века чл.-кор. РАН, заведующим кафедрой статистики Петербургского политехнического
института проф. А.А. Чупровым [10, с. 39-51]. В противоположность идиографическому описанию
номографическое описание объясняет основные, наиболее общие законы, упрощая действитель-
ность, обобщая, отвлекаясь от деталей и индивидуальных подробностей.
Номографический подход, порождая «вечные законы», не объясняет конкретные явления
реальной действительности в технических, технологических, метрологических и др. сложных сис-
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2006, № 4 88
темах (процессах, объектах). Их конструирование, изготовление, эксплуатация требуют информа-
ции для принятия решения не только на физическом или химическом уровне, но, главное, на инже-
нерном [1, с. 356–369].
Выбранный для эксперимента экземпляр системы и комплекс условий его проведения
должны быть эквивалентны системам и условиям эксплуатации класса систем, к которому относит-
ся выбранный экземпляр системы. Условия эквивалентности могут быть сформулированы в терми-
нах бинарных отношений порядка отношения на множестве: рефлексивности, симметричности,
транзитивности [11, с. 83–84].
Бинарное отношение – совокупность упорядоченных пар элементов данного множества; об
элементах a и b , входящих в одну из заданных пар, говорят, что они «находятся в отношении R
между собой» и обозначают это формулой aRb . Под a подразумевается система, с которой про-
водится экспериментальное исследование, под b – любая система класса, к которому относится
исследуемая система. Рефлексивное отношение – такое бинарное отношение R в множестве A ,
что для всех Aa ∈ верно aRa . Под множеством A понимаются системы определенного класса,
номинально одинаковые между собой. Симметричное отношение – такое бинарное отношение R в
множестве A , что для любых Aba ∈, справедливо bRaaRb ⇒ .Транзитивное отношение – такое
бинарное отношение R в множестве A , что для любых Acba ∈,, справедливо aRcbRcaRb ⇒∧ .
Бинарное отношение, которое рефлексивно, симметрично и транзитивно, будет отношени-
ем эквивалентности. В технических и технологических экспериментальных исследованиях все сис-
темы определенного класса в номинальном смысле эквивалентны. Фактически они различаются в
пределах, допускаемых техническими условиями на параметры системы. Практика проведения
технических, технологических и метрологических исследований с системами, которые находятся в
эксплуатации, показывает, что воспроизводимость результатов экспериментов может нарушаться.
Полученные в исследованиях результаты могут существенно отличаться от результатов, получен-
ных в номинально одинаковых условиях с другими экземплярами этих же систем.
В рассматриваемом случае необходимо уменьшить неоднородность характеристик исполь-
зуемой в экспериментах системы, а также неоднородности условий проведения экспериментов и
применять методы устойчивого оценивания математических моделей [1, с. 14–17]. Примеры реше-
ния многофакторных и многокритериальных экспериментальных задач приведены в [12, 13].
4. Выводы
1. Определение эффектов управляемых факторов по экспериментальным данным, представляю-
щих собой результаты суммарного влияния управляемых, неуправляемых и неконтролируемых
факторов, в общем случае является решением некорректно поставленной задачи. Многофактор-
ный эксперимент необходимо планировать для исключения неопределенностей в исходной поста-
новке задачи и, следовательно, для решения корректно поставленной задачи.
2. Случайный характер получаемых результатов в экспериментальных исследованиях требует ис-
пользования методов устойчивого оценивания: устойчивый план эксперимента, структура модели,
оценивание коэффициентов модели.
3. Используемая система предпосылок и начальных условий должна быть устойчива к сравнитель-
но малым нарушениям принятых условий. Если принятые предпосылки фактически не выполняют-
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2006, № 4
89
ся, то исследователь должен изменить метод обработки или модернизировать его с тем, чтобы по-
лучаемое решение было устойчивым. Предложенная формализованная структура многофакторной
полиномиальной статистической модели, линейной относительно параметров в виде множества
эффектов схемы полного факторного эксперимента, необходима и достаточна для адекватной ап-
проксимации результатов экспериментов при получении многофакторных уравнений регрессии.
При этом предполагается, что используется устойчивый (робастный) план эксперимента.
4. Используемый в экспериментальных исследованиях индуктивный метод относится к эмпириче-
ским обобщениям, или к эмпирическим законам. Обобщение проводится на основании результатов
проведенных экспериментов, которые всегда ограничены по используемым условиям и числу опы-
тов. Такие обобщения относятся к неполной индукции, и она не является логически обоснованным
рассуждением. Полученные экспериментальные результаты следует рассматривать как вероятные
гипотезы, которые могут проверяться и подтверждаться или опровергаться.
5. Комплекс условий – параметров проведения эксперимента для экспериментальной установки,
используемых экспериментальных образцов, применяемых инструментов, средств измерений и
других компонентов определяется группами управляемых, неуправляемых и неконтролируемых
факторов. Необходимо проводить эксперимент только в относительно контролируемых и регули-
руемых условиях. Фактические значения параметров могут изменяться в пределах, установленных
техническими условиями на проведение исследований. Обобщенной характеристикой постоянства
комплекса условий проведения эксперимента является дисперсия воспроизводимости результатов
эксперимента или его среднеквадратическая ошибка.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Радченко С.Г. Устойчивые методы оценивания статистических моделей: Монография. – К.:
ПП «Санспарель», 2005. – 504 с.
2. Неуймин Я.Г. Модели в науке и технике. История, теория, практика / Под ред. Н.С. Соломенко. – Л.: Наука,
Ленинград. отд., 1984. – 190 с.
3. Налимов В.В. Теория эксперимента. – М.: Наука, 1971. – 208 с.
4. Бриллюэн Л. Научная неопределенность и информация / Пер. с англ. Т.А. Кузнецовой / Под ред. и с по-
слесл. И.В. Кузнецова. – М.: Мир, 1966. – 272 с.
5. Грекова И. Методологические особенности прикладной математики на современном этапе ее развития //
Вопросы философии. – 1976. – № 6. – C. 104–114.
6. Швырков В.В. Тайна традиционной статистики Запада. – М.: Финансы и статистика, 1998. – 144 с.
7. Попов Ю.П., Самарский А.А. Вычислительный эксперимент // Компьютеры, модели, вычислительный экспе-
римент: Введение в информатику с позиций математического моделирования / Авт. пред. А.А. Самарского. –
М., 1988. – С. 16–78.
8. Цыпкин Я.З. Адаптация и обучение в автоматических системах. – М.: Наука, 1968. – 399 с.
9. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. – 2-е изд., испр. и доп. – М.:
Физматлит, 2002. – 496 с.
10. Чупров А.А. Очерки по теории статистики. – М.: Госстатиздат, 1959. – 320 с.
11. Микиша А.М., Орлов В.Б. Толковый математический словарь: Основные термины: около 2500 терминов. – М.:
Рус. яз., 1989. – 244 с.
12. Радченко С.Г. Багатофакторне математичне моделювання та компромісна оптимізація технологічного про-
цесу електроерозійного прошиття отворів // Математичні машини і системи. – 2003. – № 3, 4. – С. 186–200.
13. Радченко С.Г. Анализ экспериментальных данных на основе использования многофакторных статистиче-
ских математических моделей // Математичні машини і системи. – 2005. – № 3. – С. 102–115.
|