Метод підвищення достовірності передачі інформації в розподілених програмованих безпровідних системах з турбокодами
У статті запропоновано новий метод підвищення достовірності передачі інформації в розподілених програмованих безпровідних системах, сутність якого полягає в застосуванні для підвищення надійності прийняття рішень про декодований біт додаткової інформації, отриманої шляхом кодування жорстких рішень з...
Saved in:
| Published in: | Математичні машини і системи |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84083 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Метод підвищення достовірності передачі інформації в розподілених програмованих безпровідних системах з турбокодами / С.В. Зайцев // Мат. машини і системи. — 2013. — № 3. — С. 142-155. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84083 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Зайцев, С.В. 2015-07-02T20:31:35Z 2015-07-02T20:31:35Z 2013 Метод підвищення достовірності передачі інформації в розподілених програмованих безпровідних системах з турбокодами / С.В. Зайцев // Мат. машини і системи. — 2013. — № 3. — С. 142-155. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84083 621.391 У статті запропоновано новий метод підвищення достовірності передачі інформації в розподілених програмованих безпровідних системах, сутність якого полягає в застосуванні для підвищення надійності прийняття рішень про декодований біт додаткової інформації, отриманої шляхом кодування жорстких рішень з виходу кожного компонентного декодера турбокоду. В статье предложен новый метод повышения достоверности передачи информации в распределенных программируемых беспроводных системах, сущность которого заключается в применении для повышения надежности принятия решений про декодированный бит дополнительной информации, полученной путем кодирования жестких решений с выхода каждого компонентного декодера турбокода. This paper proposes a new method for increasing the reliability of data transmission for distributed programmable wireless systems, the essence of which is to apply to increase the reliability of decision-making about the decoded bits of additional information obtained by encoding the tough decisions from the output of each component of turbo code decoder. uk Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Математичні машини і системи Моделювання і управління Метод підвищення достовірності передачі інформації в розподілених програмованих безпровідних системах з турбокодами Метод повышения достоверности передачи информации в распределенных программируемых беспроводных системах с турбокодами A method for increasing the reliability of data transmission in distributed programmable wireless systems with turbo codes Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Метод підвищення достовірності передачі інформації в розподілених програмованих безпровідних системах з турбокодами |
| spellingShingle |
Метод підвищення достовірності передачі інформації в розподілених програмованих безпровідних системах з турбокодами Зайцев, С.В. Моделювання і управління |
| title_short |
Метод підвищення достовірності передачі інформації в розподілених програмованих безпровідних системах з турбокодами |
| title_full |
Метод підвищення достовірності передачі інформації в розподілених програмованих безпровідних системах з турбокодами |
| title_fullStr |
Метод підвищення достовірності передачі інформації в розподілених програмованих безпровідних системах з турбокодами |
| title_full_unstemmed |
Метод підвищення достовірності передачі інформації в розподілених програмованих безпровідних системах з турбокодами |
| title_sort |
метод підвищення достовірності передачі інформації в розподілених програмованих безпровідних системах з турбокодами |
| author |
Зайцев, С.В. |
| author_facet |
Зайцев, С.В. |
| topic |
Моделювання і управління |
| topic_facet |
Моделювання і управління |
| publishDate |
2013 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Математичні машини і системи |
| publisher |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Метод повышения достоверности передачи информации в распределенных программируемых беспроводных системах с турбокодами A method for increasing the reliability of data transmission in distributed programmable wireless systems with turbo codes |
| description |
У статті запропоновано новий метод підвищення достовірності передачі інформації в розподілених програмованих безпровідних системах, сутність якого полягає в застосуванні для підвищення надійності прийняття рішень про декодований біт додаткової інформації, отриманої шляхом кодування жорстких рішень з виходу кожного компонентного декодера турбокоду.
В статье предложен новый метод повышения достоверности передачи информации в распределенных программируемых беспроводных системах, сущность которого заключается в применении для повышения надежности принятия решений про декодированный бит дополнительной информации, полученной путем кодирования жестких решений с выхода каждого компонентного декодера турбокода.
This paper proposes a new method for increasing the reliability of data transmission for distributed programmable wireless systems, the essence of which is to apply to increase the reliability of decision-making about the decoded bits of additional information obtained by encoding the tough decisions from the output of each component of turbo code decoder.
|
| issn |
1028-9763 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84083 |
| citation_txt |
Метод підвищення достовірності передачі інформації в розподілених програмованих безпровідних системах з турбокодами / С.В. Зайцев // Мат. машини і системи. — 2013. — № 3. — С. 142-155. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT zaicevsv metodpídviŝennâdostovírnostíperedačíínformacíívrozpodílenihprogramovanihbezprovídnihsistemahzturbokodami AT zaicevsv metodpovyšeniâdostovernostiperedačiinformaciivraspredelennyhprogrammiruemyhbesprovodnyhsistemahsturbokodami AT zaicevsv amethodforincreasingthereliabilityofdatatransmissionindistributedprogrammablewirelesssystemswithturbocodes |
| first_indexed |
2025-11-26T14:05:56Z |
| last_indexed |
2025-11-26T14:05:56Z |
| _version_ |
1850624325371035648 |
| fulltext |
142 © Зайцев С.В., 2013
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 3
УДК 621.391
С.В. ЗАЙЦЕВ*
МЕТОД ПІДВИЩЕННЯ ДОСТОВІРНОСТІ ПЕРЕДАЧІ ІНФОРМАЦІЇ В РОЗПОДІ-
ЛЕНИХ ПРОГРАМОВАНИХ БЕЗПРОВІДНИХ СИСТЕМАХ З ТУРБОКОДАМИ
*
Чернігівський державний технологічний університет, Чернігів, Україна
Анотація. У статті запропоновано новий метод підвищення достовірності передачі інформації в
розподілених програмованих безпровідних системах, сутність якого полягає в застосуванні для
підвищення надійності прийняття рішень про декодований біт додаткової інформації, отриманої
шляхом кодування жорстких рішень з виходу кожного компонентного декодера турбокоду.
Ключові слова: разподілені програмовані безпровідні системи, турбокоди.
Аннотация. В статье предложен новый метод повышения достоверности передачи информации
в распределенных программируемых беспроводных системах, сущность которого заключается в
применении для повышения надежности принятия решений про декодированный бит дополни-
тельной информации, полученной путем кодирования жестких решений с выхода каждого компо-
нентного декодера турбокода.
Ключевые слова: распределенные программируемые беспроводные системы, турбокоды.
Abstract. This paper proposes a new method for increasing the reliability of data transmission for distri-
buted programmable wireless systems, the essence of which is to apply to increase the reliability of deci-
sion-making about the decoded bits of additional information obtained by encoding the tough decisions
from the output of each component of turbo code decoder.
Keywords: distributed programmable wireless systems, turbo codes.
1. Вступ
Значне розширення за останнє десятиліття частотної смуги мереж передачі даних привело
до появи нового класу безпровідних систем – розподілених програмованих безпровідних
систем, які базуються на принципах SDR (software defined radio). Розподілені програмовані
безпровідні системи містять декілька обчислювальних вузлів, об’єднаних високошвидкіс-
ним інтерфейсом передачі даних [1]. Зазначені системи використовують апаратні засоби
для виконання функцій під керуванням програмного забезпечення. Розроблювачі цих засо-
бів покладають великі надії на відкриту архітектуру SDR-мереж наступного покоління, де
обладнання безпровідних мереж можуть випускати одні виробники, а функції й режими
роботи буде визначати програмне забезпечення інших розроблювачів.
Розподілені програмовані безпровідні системи дозволять підвищити якість обслуго-
вування за допомогою високої адаптивності, спрощують розробку програмної частини об-
ладнання й створюють нові можливості при реалізації нових стандартів [2].
Одним із режимів роботи розподілених програмованих безпровідних систем є ре-
жим роботи в умовах впливу організованих завад, які за певних умов здатні істотно погір-
шувати характеристики достовірності передачі інформації [3]. Одним із перспективних на-
прямів протидії організованим завадам є ефективні сигнально-кодові конструкції на основі
завадостійких турбокодів (ТК) з характеристиками завадостійкості, близькими до межі
К. Шеннона [4, 5].
Виникає завдання підвищення достовірності передачі інформації в розподілених
програмованих безпровідних системах з турбокодами.
Метою роботи є розробка методу підвищення достовірності передачі інформації в
розподілених програмованих безпровідних системах з турбокодами.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 3 143
2. Виклад основного матеріалу
Розглянемо структурні схеми кодера (передавальна частина) та декодера (приймальна час-
тина) турбокоду.
На рис. 1, 2 показані структурні схеми двокомпонентного кодера та ітеративного
декодера ТК відповідно при паралельному з'єднанні двох рекурсивних систематичних зго-
рточних кодів (РСЗК).
Схема кодера турбокоду використовує РСЗК зі швидкістю n/1 виду
)/,,/,1( 0101 gggg n−… , де 0g − поліноміальний генератор зворотного зв'язку, а 11 ,, −ngg … −
поліноміальні генератори прямих зв'язків. Кожен РСЗК виконує кодування інформаційної
послідовності за своєю діаграмою, структура якої залежить від поліноміальних генераторів
РСЗК [6, 7].
Послідовність на виході кодера ТК має вигляд: ),(
ПС
XXX = , де UX =
C
– система-
тичний вихід кодера, а ),(
П2П1П
XXX = – перевірочний вихід кодера ТК. При цьому
),,(
П1П11П1 v
XXX …= – перевірочний вихід РСЗК 1, ),,(
П212П2П v
XXX …= – перевірочний
вихід РСЗК 2, v – загальна кількість перевірочних символів кожного РСЗК кодера ТК.
Демодульована послідовність символів подається на декодери 1 і 2 (рис. 2):
),(
П1С11
YLYLY cc= – для декодера 1, де ),,(
П1П11П1 v
YYY …= , cL − параметр канальної “на-
дійності”. Відповідно ),(
2П2С2
YLYLY cc= – для декодера 2, де ),,(
2П12П2П v
YYY …= .
C2CC1
, YYY = – послідовності систематичних символів з урахуванням відповідної операції
перемеження (П).
Розглядається такт роботи в момент часу t .
Дійсне представлення “м'якого” рішення або логарифмічне відношення функцій
правдоподібності (ЛВФП) поза декодером визначається виразом [5, 6]
)|()(
)1(
)1(
ln
)1|(
)1|(
ln)|( ttta
t
t
tt
tt
tt xyLxL
xP
xP
xyP
xyP
yxL +=
−=
+=
+
−=
+=
= , (1)
де )|( tt xyL – ЛВФП ty , яке одержується шляхом виміру ty на виході каналу при чергу-
ванні умов, що може бути переданий 1+=tx або 1−=tx , а )( ta xL – апріорне ЛВФП біта
даних tx . Для спрощення позначень рівняння (1) може бути переписане таким чином [5,
6]:
)()()( tatct xLyLxL +=′ . (2)
М
у
л
ь
ти
п
л
ек
со
р
Формувач
блоків
xП11
С
X =U
xП21
xП1v
xП2v
П
X
Рис. 1. Структурна схема двокомпонентного кодера ТК
П
РСЗК 1
РСЗК 2
U
144 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 3
Тут )( tc yL означає, що член ЛВФП виходить у результаті канальних вимірів, зроб-
лених у приймачі. Для систематичних кодів ЛВФП на виході декодера дорівнює [5, 6]
)()()( tett xLxLxL +′= . (3)
У цьому виразі )( txL′ – ЛВФП поза демодулятором (на вході декодера), а )( te xL –
“зовнішнє” ЛВФП, що представляє зовнішню інформацію, яка випливає з процесу декоду-
вання. Вихідне ЛВФП декодера прийме вид
)()()()( tetatct xLxLyLxL ++= . (4)
Знак )( txL є твердим рішенням про символ tx , а модуль |)(| txL – ступенем надій-
ності (правдоподібності) цього рішення.
21П
YLc
v
c YL
2Пv
c YL
1П
11П
YLc
)( С1,1
txL
)( С,2
t
n xL)( С,1
t
n
a xL
)( С,1
t
n
e xL
)( С,1
t
n xL
)( С1,2
txL )( С1,1
ta xL
v
c YL
2П
21П
YLc
1П1
YLc
v
c YL
1П
Рис. 2. Структурна схема двокомпонентного декодера ТК
С1
YLc
)( С1,1
te xL
–
+
Декодер
1
П
–
–
+
Декодер
2
)( С1,2
te xL
С
tx
П
Д
…
…
…
…
С1
YLc
–
–
+
Декодер
1
П
Декодер
2
)( С,1
t
n
a xL
С
tx
П
Д
Д
…
…
…
…
Ітерація 1
Ітерація n
С2
YLc
…
…
…
С2
YLc
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 3 145
Декодер i у відповідності зі своїм алгоритмом виробляє “м'які” рішення про деко-
довані символи (вихідне ЛВФП), які складаються з трьох частин [5, 6]:
)()()( CCC1C
t
i
et
i
atct
i xLxLyLxL ++⋅= , (5)
де C
tx – систематичний символ кодера ТК.
При цьому “зовнішня” інформація декодера i про символ C
tx , що є апріорною для
декодера 1+i (з урахуванням операції перемежіння), прийме вид [5, 6]
C1CCC1C )()()()( tct
i
at
i
t
i
at
i
e yLxLxLxLxL ⋅−−== + . (6)
Декодер 1+i , одержавши апріорні відомості про інформаційні символи, робить ана-
логічні обчислення, визначаючи свою “зовнішню” інформацію про символ C
tx [6]:
C2C1C1CC1 )()()()( tct
i
at
i
t
i
at
i
e yLxLxLxLxL ⋅−−== +++
, (7)
яка надходить на вхід декодера 2+i наступної ітерації декодування.
Після виконання необхідної кількості ітерацій або у випадку примусової зупинки
ітеративної процедури декодування виносяться рішення про декодовані символи:
<
≥
=
0)(якщо,0
0)(якщо,1
C
C
C
t
i
t
i
t
xL
xL
x . (8)
Як відомо, декодування символів ТК відбувається за діаграмою відповідного РСЗК.
При цьому обчислюються перехідна рекурсія, пряма рекурсія, зворотна рекурсія, ЛВФП на
виході декодера та параметр “зовнішньої” інформації [6].
Рішення про декодований переданий біт приймається за інформацією про стан ка-
налу, прийняті інформаційні та перевірочні біти, а також за апріорною інформацією, яка
отримується за результатами декодування попереднім декодером. Надійність прийняття
рішення про декодований біт інформації можна підвищити за рахунок використання дода-
ткової інформації при розрахунку ЛВФП про переданий біт.
Для підвищення надійності прийняття рішення про декодований біт пропонується
використовувати при розрахунку ЛВФП наступної ітерації декодування інформацію,
отриману шляхом повторного кодування жорстких рішень з виходу кожного компонентно-
го декодера ТК. Структурна схема, яка реалізує цей алгоритм, показана на рис. 3.
Отримаємо математичну модель ітеративного декодування ТК з урахуванням дода-
ткової інформації при розрахунку ЛВФП про переданий біт.
Введемо такі позначення:
N – розмір кадру переданих символів;
k – поточний індекс часу, { }Nk ,1∈ ;
},, ,{ 21 q
kkkk cccc …= – кодовий символ, вироблений РСЗК, )(1, ),1,1( qmcm
k ∈−∈ ;
{ } ),( ,,,, ),,...,,( ,,3,2,1,,3,2,1
AAxxxxxxxxx
pq
k
p
k
p
k
s
k
pq
k
p
k
p
k
s
kk −∈= ⋯ модульований символ. A
– канальний коефіцієнт, для каналу з адитивним білим гаусівським шумом (АБГШ) 1=A ;
),...,,( ,,3,2,1 pq
k
p
k
p
k
s
kk yyyyy = – прийнятий символ;
),,( 211 N
N yyyy …= – один кадр прийнятого символу.
Для двох подій A і B їх спільна ймовірність позначається як ( )BAP , і дорівнює:
( ) ( ) ( )ABPAPBAP /, = , (9)
( ) ( ) ( )CABPCAPCBAP ,///, = , (10)
146 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 3
( ) ( )∑=
B
BAPAP , , (11)
( ) ( )APBAP =/ , (12)
( ) ( ) ( )BPAPABP = . (13)
У 1974 році був запропонований алгоритм BCJR (Bahl-Cocke-Jelinek-Raviv) або ал-
горитм декодування по максимуму апостеріорної ймовірності MAP (maximum a posteriori
probabilities), який здійснює розрахунок апостеріорної ймовірності кожного декодованого
символу [4, 7].
Логарифмічне відношення функцій правдоподібності (ЛВФП) ( )kuL для випадкової
двійкової змінної ku визначається таким чином:
)
)/0(
)/1(
log( )(
1
1
N
k
N
k
k yuP
yuP
uL
=
=
∆ . (14)
Рішення може бути прийняте по знаку ( )kuL , тобто
[ ])(sign~
kk uLu = . (15)
З урахуванням (9) і (11), вираз (14) перепишеться таким чином:
]
)(/),0,'(
)(/),1,'(
log[)
)(/),0(
)(/),1(
log(
1
'
11
1
'
11
11
11
N
s
N
kk
N
s
N
kk
NN
k
NN
k
k
yPyussP
yPyussP
yPyuP
yPyuP
)u(L
∑
∑
==
==
=
=
=
=
−
−
. (16)
v
c YL
1П11П
YLc
)( С,1
t
i
e xL
)( С,1
t
i xL
Рис. 3. Структурна схема модифікованого двокомпонентного декодера ТК
С1
YLc
–
–
+
Декодер
1
П
)( С,1
t
i
a xL
…
Ітерація i
Д
РСЗК 1 …
11П∗
X
v
X
1П∗
cL×
11П∗
XLc
v
c XL
1П∗
)( С,2
t
i xL)( С,2
t
i
a xL
21П
YLc
–
–
+
Декодер
2
)( С,2
t
i
e xL
П
Д
…
Д
С2
YLc
v
c YL
2П
РСЗК 2 …
11П∗∗
X
v
X
1П∗∗
)( С1,1
t
i
a xL +
C
С Xxt ∈
u′
C
С Xxt ∈
u′
П
д
о
іт
ер
ац
ія
i+
1
з
іт
ер
ац
ії
i-
1
д
о
іт
ер
ац
ія
i+
1
з
іт
ер
ац
ії
i-
1
cL×
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 3 147
Використовуючи пару ( )kk us ,1− , ks , перехід по решітчастій діаграмі буде однозна-
чно визначений. Тобто сума по 's для спільної ймовірності в чисельнику рівносильна під-
сумовуванню по u+ для переходів з попереднього стану sS t ′=−1 в поточний sSt = , ви-
кликаних інформаційним символом 1=tu і, подібно в знаменнику, підсумовування по u-
для переходів з попереднього стану в поточний, викликаних інформаційним символом
0=tu .
Прийнятий символ може бути розбитий на три частини. Перша частина містить
спостереження перед моментом часу k , друга частина – поточне спостереження, третя ча-
стина – спостереження після моменту k :
{ }N
kk
kN yyyy 1
1
11 ,, +
−= . (17)
Підставивши (17) в (16), отримаємо
]
)(/),,,0,'(
)(/),,,1,'(
log[)(
11
1
11
11
1
11
N
u
N
kk
k
kk
N
u
N
kk
k
kk
k yPyyyussP
yPyyyussP
uL
∑
∑
−
+
+
−
−
+
−
−
==
==
= , (18)
де ∑
+u
) ( – сума по усіх можливих переходах ( )kk ss ,1− у момент k , викликаних інформа-
ційним символом 1=tu , і ∑
−u
) ( – сума по всіх можливих переходах ( )kk ss ,1− у момент k ,
викликаних інформаційним символом 0=tu .
При використанні формули (9) спільна ймовірність в (18) перетвориться в умовну
ймовірність.
=
===
===
=
∑
∑
−
−
−+
−
−
+
−
−+
−
−
]
)(/),'/,,0(),'(
)(/),'/,,1(),'(
log[ )(
1
1
111
1
11
1
1
111
1
11
N
u
k
k
N
kkk
k
k
N
u
k
k
N
kkk
k
k
k yPyssyyuPyssP
yPyssyyuPyssP
uL
]
)(/)'/,,0(),'(
)(/)'/,,1(),'(
log[
111
1
11
111
1
11
N
u
k
N
kkk
k
k
N
u
k
N
kkk
k
k
yPssyyuPyssP
yPssyyuPyssP
∑
∑
−
−+
−
−
+
−+
−
−
===
===
= . (19)
Використовуючи формулу (10), отримаємо
======== −−+−+ )'/,(),,'/()'/,,( 11111 ssyuuPyuussyPssyyuuP kkkkkk
N
kk
N
kkk
)'/,()/( 11 ssyuuPssyР kkkk
N
k ==== −+ . (20)
Нехай ),( )( 1
k
kk yssPs =∆α , )'/( )'( 11 ssyPs k
N
kk =∆β −− , і
)'/,( ),'( 1 ssyuuPss kkkk ==∆γ − . Підставивши (20) в (19), маємо
]
)(/),'()()'(
)(/),'()()'(
log[)(
11
11
N
u
kkk
N
k
u
kk
k
yPssss
yPssss
uL
∑
∑
−
−
+
−
γβα
γβα
= . (21)
Обчислення )(skα , )'(1 sk −β , ),'( sskγ .
148 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 3
( )ssk ,'γ – це умовна ймовірність того, що існує перехід із стану 1−ks у стан ks , ви-
кликаний символом ku . Використавши формулу (10), ( )ssk ,'γ можна переписати таким чи-
ном:
)'/(),'/()'/,( ),'( 111 ssuuPuussyPssyuuPss kkkkkkkkk =======∆γ −−−
)()/( uuPccyP kkk === . (22)
( )skα – спільна ймовірність у стані s для моменту часу k . Використовуючи фор-
мулу (11) і (9), вираз для ( )skα запишеться таким чином:
1
1 1 1
'/
( ) ( , ) ( ', , , )
k
k k
k k k k k
s s s
s P s s y P s s u u y y−
−
=
α ∆ = = = = =∑
1 1
1 1 1 1
'/
( ', ) ( , / ', )
k
k k
k k k k
s s s
P s s y P u u y s s y− −
− −
=
= = = = =∑
1
1 1 1
'/
( ', ) ( , / ')
k
k
k k k k
s s s
P s s y P u u y s s−
− −
=
= = = = =∑
),'()'(),'()'(
'
1
/'
1 ssssss k
s
kk
sss
k
k
γα=γα= ∑∑ −
=
− , (23)
де ∑
= sss k/'
) ( – сума по усіх можливих станах 1−ks , які закінчуються у стані ssk = . Початкова
умова:
1 якщо,0
1 якщо, 1
)(0
≠
=
=α
s
s
s .
( )'1 sk−β – умовна ймовірність у стані 's для моменту часу 1−k . Вона може бути за-
писана рекурсивно:
1
1 1 1 1
/ '
( ') ( / ') ( , , / ')
k
N N
k k k k k k k
s s s
s P y s s P u u y y s s
−
− − + −
=
β ∆ = = = = =∑
1
1 1 1
/ '
( / ', , ) ( , / ')
k
N
k k k k k k k
s s s
P y s s u u y P u u y s s
−
+ − −
=
= = = = = =∑
1
1 1
/ '
( / ) ( , / ')
k
N
k k k k k
s s s
P y s s P u u y s s
−
+ −
=
= = = = =∑
∑
=−
γβ=
'/ 1
),'()(
sss
kk
k
sss , (24)
де ∑
=− '/ 1
) (
sss k
– сума по усіх можливих станах s, які починаються зі стану '1 ssk =− . Початкова
умова:
≠
=
=β
1 якщо,0
1 якщо, 1
s
s
N .
З метою захисту від надмірності даних при апаратній реалізації )(skα і )'(1 sk−β ма-
ють бути нормалізовані відносно Ny1 , тобто )(skα і )'(1 sk−β мають бути розділені на
)( 1
NyP , де
)/()()( 1
1
1
11
−−= kN
k
kN yyPyPyP . (25)
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 3 149
З урахуванням нормалізації, вираз (21) запишеться у такому вигляді:
1 1
1 1
( ') ( ', ) ( ) / ( )
( ) log[ ]
( ') ( ', ) ( ) / ( )
N
k k k
u
k N
k k k
u
s s s s P y
L u
s s s s P y
−
+
−
−
α γ β
= =
α γ β
∑
∑
1
1
1 1 1 1
1 1 1 1
11
1 1
1 11 1
1 1
( ') ( ', ) ( )
( ') ( )
( ', )
( ) ( / ) ( ) ( / )
log[ log[ ]
( ') ( )( ') ( ', ) ( ) ( ', )
( ) ( / )
( ) ( / )
k k k
u k k
kk N k k N k
uk k
k kk k k
kk N ku
u kk N k
k
s s s s
s s
s s
P y P y y P y P y y
s ss s s s s s
P y P y y
P y P y y
−
+ −
− − − −
+
−−
− −−
−− −
α γ β
α βγ
= = α βα γ β γ
∑
∑
∑ ∑
. (26)
Розділивши
)/(
)(
)(
~
,
)(
)'(
)'(~
1
1
1
1
1
1 −−
−
−
β
∆β
α
∆α
kN
k
k
kk
k
k
yyP
s
s
yP
s
s , отримаємо
]
)(
~
),'()'(~
)(
~
),'()'(~
log[)(
1
1
∑
∑
−
−
+
−
βγα
βγα
=
u
kkk
u
kkk
k
ssss
ssss
uL . (27)
Так як
∑∑ α===
s
k
s
k
k
k syssPyP )(),()( 11 , (28)
розділимо )(skα на )( 1
kyP . В результаті маємо
1
1 1
( ) ( , ) ( )
( )
( ) ( , ) ( )
k
k k k
k k k
k k
s s
s P s s y s
s
P y P s s y s
α = αα ∆ = = =
= α∑ ∑
ɶ
∑∑
∑
∑∑
∑
γα
γα
=
γα
γα
=
−
−
−
−
s s
kk
s
kk
s s
kk
s
kk
sss
sss
sss
sss
'
1
'
1
'
1
'
1
),'()'(~
),'()'(~
),'()'(
),'()'(
. (29)
)( 1
NyP можна представити як декомпозицію
)()/()/()(),()( 2
1
2
11
1
1
1
1
1
11
−−
−
−−− === kkN
k
kN
k
kN
k
kN yPyyPyyPyPyyPyP . (30)
З урахуванням (23), (28) і (30), отримаємо
1 1
2 1 1 1
1 1 1 2 12 2
'1 1
( / ) ( / )
( / ) ( ) ( ') ( ', )
( ) ( )
N k N k
N k k k k
k k kk k
s s
P y y P y y
P y y P y s s s
P y P y
− −
− −
− − −− −= = α γ =∑∑
)/(),'()'(~ 1
1
'
12
−
−−∑∑ γα= kN
k
s s
kk yyPsss .
(31)
Розділивши )'(1 sk−β на (31) і використовуючи рівняння (24), маємо
1 1
1 2 1
1 1 2 1 1
'
( ') ( ')
( ')
( / ) ( ') ( ', ) ( / )
k k
k N k N k
k k k k
s s
s s
s
P y y s s s P y y
− −
− − −
− − −
β ββ = = =
α γ∑∑
ɶ
ɶ
150 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 3
∑∑
∑
∑∑ −−−−
−
γα
γβ
=
γα
β
=
s s
kk
s
kk
s s
kk
k
sss
sss
sss
s
'
12
'
12
1
),'()'(~
),'()(
~
),'()'(~
)'(
~
. (32)
З рівняння (22) видно, що ( )ssk ,'γ складається з двох частин.
Нехай +− ===−= PcPPcP kk )1( и )1( 11 . Використовуючи 1)1()1( 11 ==+−= kk cPcP і
)()( 1
kk cPuP = , визначимо
1 1
1 1
( 1) ( 1) ( 1)
( ) log log log
( 0) ( 1) 1 ( 1)
e k k k
k
k k k
P u P c P c
L u
P u P c P c
= = =∆ = = =
= = − − =
+
+
−
+
−
===
P
P
P
P
cL ka 1
loglog)( 1
,
(33)
1
__
1
11
)1(
kc
k P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
PcP
+
=
+
===
−
+
+
+
−
−
+
+
+
−
+ ,
(34)
1
_
_1
_
_
1
11
)1(
kc
k P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
PcP
+
=
+
==−=
−
+
+
+
−
−
+
+
+
− . (35)
Об'єднуючи (34) і (35) разом, отримаємо
1
1
1
1
1
1
2
)(
2
)(
)(
2
)(
1
1
)(
k
ka
k
ka
ka
ka
c
cL
k
c
cL
cL
cL
k eAe
e
e
cP =
+
=
−
−
, (36)
де kA – функція від )( ka cL і
)(
2
)(
1
1
1 ka
ka
cL
cL
k
e
e
A
−
−
+
= .
Розглядаючи РСЗК з кодовою швидкістю q/1 (для кожного вхідного біта РСЗК ви-
робляє q біт), ймовірність отримання символу ky за умови, що був переданий символ kc ,
)/( kk cyYP = , може бути апроксимована таким чином:
0
( / ) ( / ) lim ( / )k k k k k k kP Y y c P Y y u P y Y y U u
∆→
= = = ≈ ≤ ≤ + ∆ = =
∆=∆=
→∆→∆
)/(lim)/(lim
00
kkkk xypuyp , (37)
де ( )kk xyp / – функція щільності розподілу ймовірності символу ky за умови передачі си-
мволу kx , ∆ – довільне мале позитивне число, яким можна знехтувати при обчисленні.
Так як ( )kk uyР / пропорційна ( )kk xyp / , можна записати таке:
1, 2, 3, 1 2 3 1, 2, 3, 1, 2, 3,( / ) ( , , , / , , , ) ( , , , / , , , )s p p s p p s p p
k k k k k k k k k k k k k kP y u P y y y c c c P y y y x x x∗ ∗ ∗ ∗= = =⋯ ⋯ ⋯ ⋯
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 3 151
∏
=
∗∗∗ ==
q
i
pi
k
pi
k
s
k
s
k
p
k
p
k
p
k
p
k
s
k
s
k xyPxyPxyPxyPxyP
2
,,,1,1,3,3,2,2,1,1 )/()/()/()/()/( ⋯ .
Так як використовується канал без пам'яті,
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2, , , ,1, 1, , ,1, 2 1, 2 1, 1,
2 2 2 2 2 2
2 2 2
( ) ( )
2 2 2 2( / )
i p i p i p p is s q q q i p i ps s s s
k k k k k kk k k k k k
n n n n n ni i i
y x y x y xy x y x y x
k kP y u e e e
∗ ∗ ∗
= = =
− − ++
− − − − +
σ σ σ σ σ σ∑ ∑ ∑
∞ = ⋅ =
∑
= =
∗
σ
+
+
σ
q
i n
pi
k
pi
k
pi
k
n
s
k
s
k
xxyxy
keB 2
2
,,,
2
,1,1
,
(38)
де
( )
∑
= =
∗
σ
+
−
σ
+
−
q
i n
ip
k
pi
k
n
s
k
s
k
xyxy
k eB 2
2
2,
2,
2
2,12,1
2
2
)()(
,
pi
k
pi
k
pi
k xyy
,,, ∗∗
+= .
Об'єднуючи (36) і (38), вираз для ( )ssk ,'γ запишеться як
1
1
2
2
,,,
2
,1,1
2
)(
)()/(),'(
k
ka
q
i n
pi
k
pi
k
pi
k
n
s
k
s
k
c
cL
k
xxyxy
kkkkk eAeBuuPccyPss
⋅σ
+
+
σ ∑
====γ =
∗
.
(39)
kA і kB можуть бути опущені при обчисленні. Для каналу з АБГШ
00
2
0 NR
E
N
E
h cb
⋅
== , (40)
де 2
0h – відношення енергії біта до спектральної щільності потужності шуму, cE – енергія
кодового символу, bE – енергія некодованого біта, bc REE = ,
R
p
h
p
hR
EN c
n
1
,
222 2
0
2
0
02 ∆
⋅
=
⋅⋅
==σ , припустимо, що 1=cE .
Замінюючи вираз для 2
nσ в виразі (39), отримаємо
( ) ( ), , , , , ,1, 1, 1, 1,
1 1
1 1
2 2 2 2
2 2
( ) ( )
2 2( ', )
i p i p i p i p i p i pq qs s s s
k k k k k kk k k k
a k a k
k k
n n n ni i
y x x y x xy x y xL c L c
c c
k k k k ks s B e A e A B e e
∗ ∗
= =
+ ⋅ + ⋅⋅ ⋅
+ +⋅ ⋅σ σ σ σ∑ ∑
γ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
( ), ,2 1, 1
1 10
2
4 1
exp ( )
2 2 2
i p i p is q
k k kk k
k k a k k
i
y x A ch y A c
A B L c c
p
∗
=
+ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ =
∑
( )
2 2
1 1 1, 1 , ,0 0
2
1 4 1 4 1
exp ( ) exp
2 2 2
q
s i p i p i
k k a k k k k k k k
i
A h A h
A B L c c y c y x c
p p
∗
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =
∑
( )
⋅+⋅⋅
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅= ∑
=
∗
q
i
i
k
pi
k
pi
kk
s
kkkakk cxyLccyLcccLBA
2
,,1,111
2
1
exp
2
1
)(
2
1
exp , (41)
де
152 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 3
( )
⋅+⋅⋅∆γ⋅⋅∆ ∑
=
∗
q
i
i
k
pi
k
pi
k cxyLcss
p
hA
Lc
2
,,e
2
0
2
1
exp ),'( ,
4
. (42)
Остаточно,
]
)(
~
),'()'(~
)(
~
),'()'(~
log[)(
1
1
∑
∑
−
−
+
−
βγα
βγα
=
u
kkk
u
kkk
k
ssss
ssss
uL ,
∑∑
∑
γα
γα
=α
−
−
s s
kk
s
kk
k sss
sss
s
'
1
'
1
),'()'(~
),'()'(~
)(~ ,
1 якщо,0
1 якщо,1
)(~
0
≠
=
=α
s
s
s ,
∑∑
∑
−−
− γα
γβ
=β
s s
kk
s
kk
k sss
sss
s
'
12
1 ),'()'(~
),'()(
~
)'(
~
,
1 якщо,0
1 якщо,1
)(
~
≠
=
=β
s
s
sN ,
( )
⋅+⋅⋅
⋅⋅⋅+⋅⋅∝γ ∑
=
∗
q
i
i
k
pi
k
pi
kk
s
kkka cxyLccyLcccLss
2
,,1,111
2
1
exp
2
1
)(
2
1
exp),'( .
Використовуючи правило Байєса, ЛВФП для MAP декодера може бути записано як
=
=
+
=
=
=
=
=
=
)0(
)1(
log
)0/(
)1/(
log
)/0(
)/1(
log)(
1
1
1
1
k
k
k
N
k
N
N
k
N
k
k uP
uP
uyP
uyP
yuP
yuP
uL , (43)
ku – випадкова змінна, яка з рівною ймовірністю набуває значень «1» чи «0», тобто
( ) ( )01 === kk uPuP у випадку ФМ-2. У турбодекодері декодер 1 приймає послідовність
виду ),,(
,,2,1 pq
k
p
k
s
kk yyyy ∗∗= … , а декодер 2 – послідовність )',','( ,,2,1 pq
k
p
k
s
kk yyyy ∗∗= … . Де-
кодер 1 приймає інформацію з декодера 2, яка є для нього апріорною. З (27) і (41) маємо
1
1
( ') ( ', ) ( )
( ) log
( ') ( ', ) ( )
k k k
u
k
k k k
u
s s s s
L u
s s s s
+
−
−
−
α γ β
= = α γ β
∑
∑
ɶɶ
ɶɶ
( )
( )
.
2
1
exp
2
1
)(
2
1
exp)(
~
)'(~
2
1
exp
2
1
)(
2
1
exp)(
~
)'(~
log
2
,,1,111
1
2
,,1,111
1
⋅+⋅⋅⋅
⋅⋅+⋅⋅β⋅α
⋅+⋅⋅⋅
⋅⋅+⋅⋅β⋅α
=
∑∑
∑∑
=
∗
−
=
∗
−
−
+
q
i
i
k
pi
k
pi
kk
s
kkkak
u
k
q
i
i
k
pi
k
pi
kk
s
kkkak
u
k
cxyLccyLcccLss
cxyLccyLcccLss
(44)
Так як s
kka yLccL ,11 и )( ⋅ не залежать від ku і стану решітчастої діаграми РСЗК, вони
можуть бути виключені з виразу (44). З урахуванням цього виразу, (44) перепишеться та-
ким чином:
[ ]
),'()(
~
)'(~
),'()(
~
)'(~
log)()(
1
1
,11
ssss
ssss
yLccLuL
e
kk
u
k
e
kk
u
k
s
kk
e
k γβα
γβα
⋅⋅
⋅⋅
+⋅+=
∑
∑
−
+
−
−
, (45)
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 3 153
)2,0(1+γ t
s = 0
)0,0(1+γ t
s = 0
)0,1(tγ
s = 0
)0,0(tγ
s = 0 s = 0
s = 1
s = 2
t - 1 t t + 1
s = 3
)0(~
1−α t
s = 0
)1(~
1−α t
)0(
~
1+βt
)2(
~
1+βt
)0(~
tα
)0(
~
tβ
Рис. 4. Діаграма РСЗК виду (1, 7/5)
де ( )
⋅+⋅⋅∆γ ∑
=
∗
q
i
i
k
pi
k
pi
k cxyLcss
2
,,e
2
1
exp ),'( , )( 1
k
e cL – апріорна інформація про біт uk,
розрахована попереднім декодером, s
kyLc ,1⋅ – канальна інформація про прийнятий сим-
вол, третя частина цього виразу представляє зовнішню інформацію, яка може бути переда-
на на наступний декодер як апріорна.
Розглянемо особливості обчислення вихідного ЛВФП для декодера i , використо-
вуючи алгоритм декодування Map.
Позначимо попередній стан діаграми sS t ′=−1 , а поточний – sS t = . На рис. 4 пока-
заний приклад діаграми для РСЗК виду (1, 7/5). Для кожного переходу діаграми обчислю-
ється перехідна рекурсія ),( sst ′γ зі стану s′ в стан s за формулою
( ) ( )
⋅+⋅+⋅+⋅⋅′γ ∑
=
∗
q
i
pi
t
pi
t
pi
tctct
i
att xxyLyLxLxss
2
,,,CСC )(
2
1
exp~),( , (46)
де ),2(,, ,C qixx pi
tt ∈ − відповідно систематичний символ кодера ТК і перевірочні символи
РСЗК до проходження каналу з шумами; ),2(,, ,C qiyy pi
tt ∈ − систематичний символ кодера
ТК і перевірочні символи РСЗК після проходження каналу з шумами; )( С
t
i
a xL − апріорна
інформація i -го декодера; cL − параметр канальної “надійності”; q – кількість перевіроч-
них символів РСЗК, ),2(,
,
qix
pi
t ∈∗ −
перевірочні символи РСЗК, які вико-
ристовуються як додаткова інформа-
ція при розрахунку ЛВФП про пере-
даний біт.
Для кожного стану діаграми
визначається пряма рекурсія )(stα
(починаючи з початку блока – при
прямому обчисленні) за формулою:
∑
′
− ′γ⋅′α=α
s
ttt ssss ),()(~)( 1 , де )(~
1 st ′α −
– нормована пряма рекурсія 1−t так-
ту. Підсумовування виконується по
всіх попередніх станах s′ , для яких
існує перехід у поточний стан s .
Одержавши прямі рекурсії для всіх станів даного такту, обчислюється параметр но-
рмалізації, що визначається сумою даних рекурсій:
∑∑∑
′
− ′γ⋅′α=α
s s
tt
s
t ssss ),()(~)( 1 . (47)
З урахуванням параметра нормалізації, вираз прямої рекурсії прийме вид
∑∑
∑
′
−
′
−
′γ⋅′α
′γ⋅′α
=α
s s
tt
s
tt
t sss
sss
s
),()(~
),()(~
)(~
1
1
. (48)
Для кожного стану діаграми визначається зворотна рекурсія )(
~
1 st ′β − , починаючи з
кінця блока при зворотному обчисленні, за формулою:
154 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 3
2
jh , дБ
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
1 .10
5
1 .10
4
1 .10
3
0.01
0.1
1BP
З використанням
методу
Без використання
методу
122
0 =h дБ
Рис. 5. Результати моделювання характерис-
тик достовірності передачі
інформації
∑ ′γ⋅β=′β −
s
ttt ssss ),()(
~
)(1 , (49)
де )(
~
stβ – нормована зворотна рекурсія такту t . Підсумовування відбувається по всіх по-
точних станах s , в які існує перехід з попереднього стану s′ .
З урахуванням параметра нормалізації, отриманого при обчисленні прямої рекурсії,
вираз зворотної рекурсії прийме вид
∑∑
∑
′
−
− ′γ⋅′α
′γ⋅β
=′β
s s
tt
s
tt
t sss
sss
s
),()(~
),()(
~
)(
~
1
1 . (50)
ЛВФП на виході декодера i записується таким виразом:
=
γ⋅β⋅α
γ⋅β⋅α
=
∑
∑
−=
+=
−
−
),'()(
~
)'(~
),'()(
~
)'(~
log)(
1
1
),'(
1
),'(
1
C
ssss
ssss
xL
tt
ss
t
tt
ss
t
t
i
tu
tu
( ) ( )
( ) ( )
⋅+⋅⋅⋅
⋅+⋅⋅⋅β⋅α
⋅+⋅⋅⋅
⋅+⋅⋅⋅β⋅α
=
∑∑
∑∑
=
∗
−
=
∗
−
−=
+=
q
i
pi
t
pi
t
pi
tctct
i
att
ss
t
q
i
pi
t
pi
t
pi
tctct
i
att
ss
t
xxyLyLxLxss
xxyLyLxLxss
tu
tu
2
,,,CСC
),'(
1
2
,,,CСC
),'(
1
2
1
exp)(
2
1
exp)(
~
)'(~
2
1
exp)(
2
1
exp)(
~
)'(~
log
1
1 . (51)
Таким чином, перевірочні символи ),2(,
,
qix
pi
t ∈∗ , ),1( Nt ∈ , які вироблені кодером
ітерації декодування 1−i , передаються до відповідного декодера ітерації i і використову-
ються для підвищення надійності прийняття рішень при розрахунку ЛВФП про переданий
біт.
Для підтвердження ефективності запропонованого методу підвищення
достовірності передачі інформації проведено імітаційне моделювання характеристик
достовірності передачі інформації в каналі з
адитивним білим гаусівським шумом та
організованими завадами.
Використовуючи програмний продукт
Borland C++ Builder 6.0, моделювались такі
елементи системи передачі інформації: джере-
ло псевдовипадкової послідовності,
двокомпонентний кодер ТК, модулятор ФМ-2,
канал з адитивним білим гаусівським шумом
та організованими завадами, демодулятор ФМ-
2, модифікований згідно з запропонованим
методом двокомпонентний декодер ТК з алго-
ритмом декодування Map, модуль розрахунку
середньої ймовірності бітової помилки
декодування.
На рис. 5 показано результати моделю-
вання характеристик достовірності передачі
інформації при впливі в каналі адитивного
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 3 155
білого гаусівського шуму (відношення сигнал/шум 12/ 0
2
0 == NEh b дБ) та організованої
широкополосної шумової завади (з різними значеннями відношення сигнал-завада
jbj NEh /2 = ) без використання та з використанням розробленого методу. При моделюванні
використовувався ТК з поліноміальними генераторами 70 =g , 51 =g , псевдовипадковим
перемежувачем, швидкістю кодування 3/1=R , кількістю біт у блоці 1000=N , 8 ітерація-
ми декодування, алгоритмом декодування Map.
Результати моделювання свідчать, що додаткове використання перевірочних сим-
волів ),2(,
,
qix
pi
t ∈∗ , ),1( Nt ∈ , які виробляються кодерами на кожній ітерації декодування
та передаються на декодери наступної ітерації при розрахунку ЛВФП про передані біти,
сприяють підвищенню достовірності передачі інформації за рахунок підвищення надійнос-
ті прийняття рішень. Так, при відношенні сигнал-завада в каналі 5,02 =jh дБ використання
запропонованого методу зменшує середню ймовірність бітової помилки декодування з
3106 −⋅=BP до 310−=BP , тобто кількість помилок зменшується в 6 разів. При зміні відно-
шення сигнал-завада в каналі від 02 =jh дБ до 22 =jh дБ кількість помилок зменшується в
4…6 разів.
3. Висновки
У статті запропоновано метод підвищення достовірності передачі інформації в розподіле-
них програмованих безпровідних системах, сутність якого полягає в застосуванні для під-
вищення надійності прийняття рішень про декодований біт додаткової інформації, отри-
маної шляхом кодування жорстких рішень з виходу кожного компонентного декодера тур-
бокоду.
Отримані нові аналітичні співвідношення в алгоритмі декодування турбокодів по
максимуму апостеріорної ймовірності, які враховують додаткову інформацію при розраху-
нку логарифмічних відношень функцій правдоподібності про передані біти.
Результати моделювання характеристик достовірності передачі інформації в розпо-
ділених програмованих безпровідних системах свідчать, що запропонований метод дозво-
ляє зменшити кількість помилок при декодуванні в 4...6 разів.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Сорохтин Е.М. Распределенные программно-определяемые радиосистемы / Е.М. Сорохтин,
С.А. Минеев // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. – 2010. – № 5 (2). –
С. 383 – 388.
2. Burns P. Software Defined Radio for 3G / Burns P. – Boston: Artech House, 2003. – 279 p.
3. Помехозащищенность систем радиосвязи с расширением спектра сигналов методом псевдослу-
чайной перестройки рабочей частоты / [В.И. Борисов, В.М. Зинчук, А.Е. Лимарев и др.]. – М.: Радио
и связь, 2000. – 384 c.
4. Berrou C. Near Shannon limit error-correcting coding and decoding: turbo-codes / C. Berrou, A. Gla-
vieux, P. Thitimajshima // Proc. Int. Conf. оn Commun., ICC-93. – Geneva, Switzerland, 1993. – May. –
P. 1064 – 1070.
5. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение / Скляр Б. – [2-е
изд.]. – М.: Вильямс, 2003. – 1104 с.
6. Woodard J. Comparative Study of Turbo Decoding Techniques: An Overview / J. Woodard, L. Hanzo //
IEEE Transactions on Vehicular Technology. – 2000. – Vol. 49, N 6. – P. 2208 – 2232.
7. Berrou C. Near optimum error correcting coding and decoding: turbo-codes / C. Berrou, A. Glavieux // IEEE
Trans. on Commun. – 1996. – Vol. 44, N 10. – P. 1261 – 1271.
Стаття надійшла до редакції 22.03.2013
|