Системы обслуживания типа Лакатоша, их обобщение и применение
Розглянуто системи обслуговування з циклічним часом очікування. Наведено результати угорського математика Л. Лакатоша, зроблено їх узагальнення і вказано можливі сфери застосування. Queuing systems with cyclic waiting time are considered. The results of the Hungarian mathematician L. Lakatos and the...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84110 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Системы обслуживания типа Лакатоша, их обобщение и применение / Е.В. Коба, С.В. Пустовая // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 3. — С. 78-90. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860068510631198720 |
|---|---|
| author | Коба, Е.В. Пустовая, С.В. |
| author_facet | Коба, Е.В. Пустовая, С.В. |
| citation_txt | Системы обслуживания типа Лакатоша, их обобщение и применение / Е.В. Коба, С.В. Пустовая // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 3. — С. 78-90. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Розглянуто системи обслуговування з циклічним часом очікування. Наведено результати угорського математика Л. Лакатоша, зроблено їх узагальнення і вказано можливі сфери застосування.
Queuing systems with cyclic waiting time are considered. The results of the Hungarian mathematician L. Lakatos and their generalization and possible application domains are given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:08:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.872
Å.Â. ÊÎÁÀ, Ñ.Â. ÏÓÑÒÎÂÀß
ÑÈÑÒÅÌÛ ÎÁÑËÓÆÈÂÀÍÈß ÒÈÏÀ ËÀÊÀÒÎØÀ,
ÈÕ ÎÁÎÁÙÅÍÈÅ È ÏÐÈÌÅÍÅÍÈÅ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ÑÌÎ, ñèñòåìû î÷åðåäåé ñ âîçâðàùåíèåì, îðáèòà, ñèñòåìû
òèïà Ëàêàòîøà, ñèñòåìû î÷åðåäåé ñ öèêëè÷åñêèì âðåìåíåì âîçâðàùåíèÿ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Âåíãåðñêèé ìàòåìàòèê, ïðîôåññîð Áóäàïåøòñêîãî óíèâåðñèòåòà èì. É. Ëîðàí-
äà, Ë. Ëàêàòîø âïåðâûå ðàññìîòðåë îñîáûé òèï ñèñòåì ìàññîâîãî îáñëóæèâà-
íèÿ (ÑÌÎ) ñ âîçâðàùåíèåì çàÿâîê [1], òàê íàçûâàåìûå ÑÌÎ ñ öèêëè÷åñêèì
âðåìåíåì âîçâðàùåíèÿ (cyclic waiting time).
Ìîäåëü Ëàêàòîøà [1] ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîêàíàëüíóþ ÑÌÎ ñ ïîñòîÿí-
íûì âðåìåíåì T öèêëà îðáèòû, áåç ïîòåðü, áåç ìåñò îæèäàíèÿ (áåç êëàññè÷åñêîé
î÷åðåäè), ñ íåîãðàíè÷åííîé îðáèòîé è äèñöèïëèíîé îáñëóæèâàíèÿ â ïîðÿäêå
î÷åðåäè FCFS (First Come, First Served). Àâòîð ðàññìàòðèâàë òàêóþ ñèñòåìó êàê
ìîäåëü, êîòîðàÿ âîçíèêëà ïðè èññëåäîâàíèè ïðîöåññà ïîñàäêè âîçäóøíûõ ñóäîâ
(ÂÑ) â ñâÿçè ñ òåñòèðîâàíèåì èìèòàöèîííîé ìîäåëè. Äèñöèïëèíà FCFS äëÿ ñèñ-
òåì ñ öèêëè÷åñêèì îæèäàíèåì ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: åñëè êàíàë ñâîáîäåí è íà
îðáèòå îòñóòñòâóþò çàÿâêè, ïîñòóïèâøàÿ çàÿâêà îáñëóæèâàåòñÿ íåìåäëåííî,
â ïðîòèâíîì ñëó÷àå (êàíàë çàíÿò è/èëè íà îðáèòå íàõîäÿòñÿ çàÿâêè) îíà
îòïðàâèòñÿ íà îðáèòó è áóäåò îáñëóæåíà ÷åðåç âðåìÿ, êðàòíîå öèêëó îðáèòû.
 [2] êëàññèôèöèðîâàíû ñèñòåìû ñ ïîâòîðåíèåì çàÿâîê, è ïîäîáíîãî âèäà
ÑÌÎ íàçâàíû ÑÌÎ òèïà L èëè ñèñòåìû òèïà Ëàêàòîøà.
Ïîñêîëüêó èñòî÷íèêîì ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé àâòîðîâ íàñòîÿùåé ñòàòüè
áûëè ðàáîòû Ëàêàòîøà, íèæå ïðèâåäåí äåòàëüíûé îáçîð ýòèõ ðàáîò.
ÎÁÇÎÐ ÐÀÁÎÒ ËÀÊÀÒÎØÀ
Ñèñòåìà Ëàêàòîøà M M/ / 1. Â [1] ðàññìîòðåíà ÑÌÎ, â êîòîðîé âõîäÿùèé
ïîòîê — ïóàññîíîâñêèé ñ ïàðàìåòðîì �; âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ ðàñïðåäåëåíî
ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó ñ ïàðàìåòðîì �; îáñëóæèâàíèå çàÿâêè íà÷èíàåò-
ñÿ ñðàçó â ìîìåíò åå ïîÿâëåíèÿ â ñèñòåìå èëè â ìîìåíòû, îòëè÷àþùèåñÿ íà
âðåìÿ, êðàòíîå íåêîòîðîìó T , â ñîîòâåòñòâèè ñ äèñöèïëèíîé FCFS. Èçó÷åíî
ïîâåäåíèå òàêîé ÑÌÎ ìåòîäîì âëîæåííûõ öåïåé Ìàðêîâà, ñîñòîÿíèÿ êîòîðîé
ñîîòâåòñòâîâàëè êîëè÷åñòâó çàÿâîê â ñèñòåìå â ìîìåíòû tk �0, ãäå tk — ìî-
ìåíò íà÷àëà îáñëóæèâàíèÿ k-é çàÿâêè. Áûëè íàéäåíû (êàê â ðàññìàòðèâàåìîé
ñèñòåìå, òàê è âî âñåõ èññëåäóåìûõ) ìàòðèöà ïåðåõîäíûõ âåðîÿòíîñòåé ñî-
ñòîÿíèé öåïè, ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè åå ýëåìåíòîâ è ýðãîäè÷åñêîãî ðàñïðåäå-
ëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé, à òàêæå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ýðãîäè÷åñêîãî ðàñïðåäå-
ëåíèÿ, êîòîðîå èìååò âèä
�
�
� �
�
�
�
�
� �
�
e e
e
T T
T
( )1
1
.
Ñèñòåìà Ëàêàòîøà Geom Geom/ / 1 . Â [3, 4] Ëàêàòîø ìîäèôèöèðóåò ñèñòå-
ìó èç [1] è äîêàçûâàåò ñîîòâåòñòâóþùóþ òåîðåìó ýðãîäè÷íîñòè, à òàêæå ðàñ-
ñìàòðèâàåò ñèñòåìû ñ T-âîçâðàùåíèåì, â êîòîðûõ çàÿâêè ïîñòóïàþò â èíòåðâà-
ëàõ, êðàòíûõ T n/ , ãäå n — öåëîå ÷èñëî.  êàæäîì èç ýòèõ èíòåðâàëîâ ìîæåò ïîÿ-
78 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
© Å.Â. Êîáà, Ñ.Â. Ïóñòîâàÿ, 2012
âèòüñÿ íîâàÿ çàÿâêà ñ âåðîÿòíîñòüþ r èëè íå ïîÿâèòüñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ1� r. Åñëè
çàÿâêó íà÷àëè îáñëóæèâàòü, òî â ïðîèçâîëüíîì T n/ -ì èíòåðâàëå îáñëóæèâàíèå
ìîæåò çàêîí÷èòüñÿ ñ âåðîÿòíîòüþ q è íå çàêîí÷èòüñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ 1� q.
Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè � — èíòåðâàë ìåæäó ïîñòóïëåíèÿìè çàÿâîê è Y — âðå-
ìÿ îáñëóæèâàíèÿ, òî
P k
T
n
q q kk� �
�
�
�
�
� � ��( ) ,1 11 ; P Y k
T
n
r r kk�
�
�
�
�
� � ��( ) ,1 11 .
Ëàêàòîø íàçûâàåò ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû � è Y ãåîìåòðè÷íî ðàñïðåäåëåííû-
ìè, îäíàêî, ñòðîãî ãîâîðÿ, ãåîìåòðè÷íî ðàñïðåäåëåííûìè ÿâëÿþòñÿ âåëè÷èíû
� /
T
n
è Y
T
n
/ .
Òàêèì îáðàçîì, ðàññìîòðåíà äèñêðåòíàÿ ÑÌÎ ñ öèêëè÷åñêèì âðåìåíåì
îæèäàíèÿ, â êîòîðîé êàê âõîäÿùèé ïîòîê, òàê è âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ ðàñïðåäåëå-
íû ïî ãåîìåòðè÷åñêîìó çàêîíó ñ ïàðàìåòðàìè r è q ñîîòâåòñòâåííî. Âëîæåííàÿ
öåïü Ìàðêîâà ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî ñèñòåìå M M/ /1 .
Óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ ýðãîäè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
rq
q
q r
q r
r
n
n n
n
1
1 1
1 1
1
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
� �
( )
( )
( ) .
Ñèñòåìà Ëàêàòîøà M Unif/ / 1. Ýòà ìîäåëü [5, 6] âîçíèêëà â ñâÿçè ñ âåðèôè-
êàöèåé ðåçóëüòàòîâ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññà ïîñàäêè ÂÑ. Ïî ìíåíèþ Ëàêàòîøà,
àíàëèòè÷åñêàÿ ìîäåëü M M/ /1 ñ öèêëè÷åñêèì âðåìåíåì îæèäàíèÿ íå îïèñûâàåò
âñåõ äåòàëåé ðåàëüíîé ñèñòåìû, îäíàêî äàåò òî÷íûå àíàëèòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû.
Îáîáùèâ çàäà÷ó, Ëàêàòîø îïèñàë ìîäåëü ðåàëüíîé ñèñòåìû ñëåäóþùèì îá-
ðàçîì: ÑÌÎ èìååò âõîäÿùèé ïîòîê Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì �; âðåìÿ îáñëóæèâà-
íèÿ çàÿâêè — ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííàÿ âåëè÷èíà íà îòðåçêå [ , ]c d ; çíà÷åíèÿ c
è d êðàòíû âðåìåíè öèêëà îðáèòû T ; îáñëóæèâàíèå çàÿâêè íà÷èíàåòñÿ ñðàçó
â ìîìåíò t ïîñòóïëåíèÿ â ñèñòåìó èëè â ìîìåíòû, êðàòíûå âåëè÷èíå T ,
â ñîîòâåòñòâèè ñ äèñöèïëèíîé FCFS.
 [5, 6] äàííàÿ ÑÌÎ èññëåäîâàíà ìåòîäîì âëîæåííûõ öåïåé Ìàðêîâà, íàé-
äåíû ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè ýëåìåíòîâ ìàòðèöû ïåðåõîäíûõ âåðîÿòíîñòåé è
óñòàíîâëåíî óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ýðãîäè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðîå
èìååò âèä
�( )c d T� �
�
2
1 .
Ïðåäåëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ñèñòåì Ëàêàòîøà M M/ / 1 è
M Unif/ / 1.  [7] Ëàêàòîø çàìåòèë, ÷òî â ïðîöåññå öèêëè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ìî-
æåò ñîçäàòüñÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà êàíàë îáñëóæèâàíèÿ óæå ñâîáîäåí, à çàÿâêà åùå
íå ãîòîâà ïîâòîðíî îáñëóæèâàòüñÿ. Òàêèì îáðàçîì, ïðîöåññ îáñëóæèâàíèÿ ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòè çàÿâîê íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì, âîçíèêàþò ïåðèîäû ïðîñòîÿ
êàíàëà, êîòîðûå íå ïðåâûøàþò âåëè÷èíû T (öèêëà î÷åðåäè). Ïîíÿòíî, ÷òî âëèÿ-
íèå ïðîñòîÿ êàíàëà íà ôóíêöèîíèðîâàíèå ñèñòåìû ñòàíîâèòñÿ ìåíüøèì ïðè
T � 0 è â ïðåäåëüíîì ñëó÷àå ïðîöåññ îáñëóæèâàíèÿ ñòàíîâèòñÿ íåïðåðûâíûì.
 [7] áûëè âûâåäåíû àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ ïðåäåëüíûõ ðàñïðåäåëå-
íèé. Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ïðåäåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ñèñòåìû ñ öèêëè-
÷åñêèì îæèäàíèåì â ñëó÷àå ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè
îáñëóæèâàíèÿ ïðè T � 0 èìååò âèä
P z
z
* ( ) ,�
�
�
1
1
�
�
�
�
�
� ,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 79
80 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
åñëè �� 1 , à â ñëó÷àå ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ ïðè
T � 0 èìååò âèä
P z
c d z e e
e
z c z d
z
*
( ) ( )
(
( ) (
( )
)
( )[ ]
� �
� � �� � � �
� �
1
2
1 1 1
1
� � �
� ) ( ) ( )( )c z de z d c z� � � �� �� �1 1
.
Îáîáùåííàÿ ñèñòåìà Ëàêàòîøà M M/ / 1 — ñèñòåìà ñ îòêàçàìè. Äëÿ ìî-
äåëè ñ ïîâòîðåíèåì M M/ /1 èç [1] áûëè ñäåëàíû îáîáùåíèÿ, à èìåííî: ñèñòåìà
ñ ïîâòîðåíèåì òðàêòóåòñÿ êàê ñèñòåìà, ïðèíèìàþùàÿ íà îáñëóæèâàíèå çàÿâêè
äâóõ òèïîâ. Íà âõîä òàêîé ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ [8] ïîñòóïàþò äâà ïîòîêà Ïó-
àññîíà ñ ïàðàìåòðàìè �1 è � 2 , âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ îáîèõ òèïîâ çàÿâîê ðàñïðå-
äåëåíî ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó ñ ïàðàìåòðàìè �1 è �2 ñîîòâåòñòâåííî. Íà
çàÿâêè âòîðîãî òèïà îãðàíè÷åíèé íåò, çàÿâêè ïåðâîãî òèïà ìîãóò ïîñòóïàòü íà
îáñëóæèâàíèå òîëüêî â ñâîáîäíóþ ñèñòåìó, åñëè æå â íåé íàõîäèòñÿ îäíà çàÿâêà
ïåðâîãî òèïà, òî âñåì äðóãèì çàÿâêàì ýòîãî òèïà áóäåò îòêàçàíî â îáñëóæèâàíèè
è îíè ïîêèíóò ñèñòåìó.
Óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ýðãîäè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñâîäèòñÿ ê íåðàâåíñòâó
�
�
� �
�
2
2
2 2
2
1
1
�
�
�
� �
�
e e
e
T T
T
( )
.
ÎÁÎÁÙÅÍÍÀß ÌÎÄÅËÜ ËÀÊÀÒÎØÀ, ÑÈÑÒÅÌÀ GI G/ / 1 Ñ Ò -ÂÎÇÂÐÀÙÅÍÈÅÌ
Ðàññìîòðèì îäíîêàíàëüíóþ ÑÌÎ ñ ðåêóððåíòíûì âõîäÿùèì ïîòîêîì è íå-
ïðåðûâíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ A x( ) âðåìåíè ìåæäó ïîñòóïëåíèåì çàÿ-
âîê, îáùåé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ B x( ) âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ, ïîñòîÿííûì
âðåìåíåì T ïðåáûâàíèÿ çàÿâêè íà îðáèòå è äèñöèïëèíîé FCFS. Òàêèì îáðàçîì,
ìîäåëü Ëàêàòîøà M M/ /1 èç [1] ìîæíî îáîáùèòü ïî âõîäÿùåìó ïîòîêó è âðå-
ìåíè îáñëóæèâàíèÿ [9].
Ïóñòü tn — ìîìåíò ïîñòóïëåíèÿ n-é çàÿâêè, t Tkn n� — ìîìåíò íà÷àëà åå îá-
ñëóæèâàíèÿ. Îòìåòèì, ÷òî kn — âñåãäà öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå
ðàâíî ÷èñëó öèêëîâ n-é çàÿâêè íà îðáèòå. Ïóñòü òàêæå �n n nt t� ��1 , Yn — âðåìÿ
îáñëóæèâàíèÿ n-é çàÿâêè.
Íàéäåì ñîîòíîøåíèå ìåæäó kn è kn�1. Ïóñòü k in � . Åñëè ( )k T� �1
� � � �Ti Y kTn n� , ãäå k � 1 — öåëîå ÷èñëî, òî k kn� �1 ; åñëè Ti Yn n� � �� 0, òî
kn� �1 0. Òàêèì îáðàçîì, kn ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé öåïüþ Ìàðêîâà ñ âåðîÿòíîñòÿ-
ìè ïåðåõîäà pik , ãäå
p P k i T Y k i Tik n n� � � � � � �{ }( ) ( )1 �
ïðè k � 1;
p P Y Tii n n0 � � � �{ }� .
Îáîçíà÷èì f P j T Y jTj n n� � � � �{ }( ) .1 � Èìååì
f B x jT B x j T dA xj � � � � �
�
� [ ( ) ( ( ) )] ( ).1
0
(1)
Òîãäà âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà ìîæíî âûðàçèòü
p fik k i� � , åñëè k � 1; (2)
p fi j
j
i
0 �
���
�
� . (3)
Òåîðåìà 1. Åñëè ðÿä j f j
j���
�
� àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ, ïðè÷åì j f j
j
�
���
�
� 0 , òî
öåïü Ìàðêîâà ( )kn ýðãîäè÷íà.
Ìàæîðèðîâàíèå îáùåãî ïðîöåññà îáñëóæèâàíèÿ. Ñèñòåìà òèïà Ëàêàòîøà
ìîæåò ïðèìåíÿòüñÿ äëÿ îöåíêè áîëåå ñëîæíûõ ñèñòåì, â êîòîðûõ íå îáÿçàòåëüíî
îáñëóæèâàíèå â ïîðÿäêå î÷åðåäè. Âî ìíîãèõ ñèòóàöèÿõ ìîäåëè ñ äèñöèïëèíîé îá-
ñëóæèâàíèÿ FCFS íå àäåêâàòíû ðåàëüíûì ñèñòåìàì.  ÷àñòíîñòè, ýòî ìîæåò èìåòü
ìåñòî â ñèñòåìå ïîñàäêè ÂÑ, êîãäà âî âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ â âîçäóõå ñàìîëåòà, îò-
ïðàâëåííîãî íà êðóã, îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîñàäêà äðóãîãî ñàìîëåòà. Åñëè, îäíàêî, ðàñ-
ñìîòðåòü âðåìÿ Wn îò ìîìåíòà tn äî íà÷àëà ïîñàäêè ïîñëåäíåãî èç ïðèáûâøèõ ñà-
ìîëåòîâ, òî âñåãäà áóäåò W Tkn n� , à ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèå òåîðåìû 1 ãàðàíòèðó-
åò ýðãîäè÷íîñòü Wn -ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áîëåå ñëîæíîé ñòðóêòóðû.
Óðàâíåíèÿ äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïðèìåì � k
n
nP k k� �
��
lim ,{ }
ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî âûïîëíåíî óñëîâèå òåîðåìû 1. Èìååì ñèñòåìó óðàâíåíèé
� �k i ik
i
p�
�
�
�
0
, j � 0;
� k
k
�
�
�
� 1
0
. (4)
Èç ðàâåíñòâ (2), (3) ñëåäóåò
� �k i k i
i
f� �
�
�
� ,
0
k � 1;
� �0
0
�
���
�
�
�
�� i j
j
i
i
f . (5)
Äàííóþ ñèñòåìó ìîæíî ðåøèòü ðåêóððåíòíûì ñïîñîáîì. Ïðèìåì óñëîâèå,
÷òî âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ çàÿâêè âñåãäà ìåíüøå èëè ðàâíî T , ò.å. B T( ) .�1 Ïðåäïî-
ëîæèì òàêæå, ÷òî f � �1 0.  ýòîì ñëó÷àå èç ôîðìóëû (1) âûòåêàåò, ÷òî f j � 0 ïðè
âñåõ j � 2. Èìååì
� �k i k i
j
k
f� �
�
�
� ,
0
1
k � 1.
 îïèñàííîé âûøå ñèñòåìå óðàâíåíèé âñå íåèçâåñòíûå � �2 3, , ... ìîæíî îáî-
çíà÷èòü � 0 è �1, íàïðèìåð � � �2
1
1 0 0 1
1
1� � �
�f
f f( ( ) ). Òàêèì îáðàçîì, èìååì
� � �k k ka b� �0 1, k � 0, (6)
ãäå ak , bk — èçâåñòíûå êîíñòàíòû (a0 1� , b0 0� , a1 0� , b1 1� ). Ïîäñòàâèâ (6)
â (5), ïîëó÷èì ëèíåéíîå ñîîòíîøåíèå ìåæäó � 0 è �1, ÷òî ïîçâîëèò âñå � k
îáîçíà÷àòü � 0 . Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîñëåäíåãî äîñòàòî÷íî èñïîëüçîâàòü óñëîâèå
íîðìèðîâêè (4).
ÎÁÎÁÙÅÍÍÀß ÌÎÄÅËÜ ËÀÊÀÒÎØÀ GI G/ / 1 Ñ ÏÐÎÈÇÂÎËÜÍÎÉ ÎÐÁÈÒÎÉ
Ðàññìîòðèì îäíîêàíàëüíóþ ÑÌÎ. Îáîçíà÷èì tn n-é ìîìåíò ïîÿâëåíèÿ çàÿâêè,
n � 0; �n n nt t� � �1, n � 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî �n — íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî
ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ
A x P xn( ) � �{ }� .
Îáîçíà÷èì Yn âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ n-é çàÿâêè è ïðèìåì U Yn n n� ��1 � ,
n � 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî U n — íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àé-
íûå âåëè÷èíû ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ C x P U xn( ) � �{ }, �� � � �x .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 81
Åñëè n-ÿ çàÿâêà ïîñòóïàåò â ñâîáîäíóþ ñèñòåìó (ò.å. çàÿâêè îòñóòñòâóþò êàê
â êàíàëå îáñëóæèâàíèÿ, òàê è íà îðáèòå), òî îíà íàïðàâëÿåòñÿ ê êàíàëó îáñëóæè-
âàíèÿ íåìåäëåííî; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå n-ÿ çàÿâêà íàïðàâëÿåòñÿ íà îðáèòó è âîç-
âðàùàåòñÿ, ïûòàÿñü îáñëóæèòüñÿ. Åñëè êàíàë çàíÿò, òî çàÿâêà èäåò íà îðáèòó. Òà-
êèì îáðàçîì, çàÿâêè ìîãóò ïîñòóïàòü íà îáñëóæèâàíèå â ìîìåíòû tn n� � 1,
tn n n� �� �1 2 , ..., ãäå � nk — íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå
âåëè÷èíû ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ D x P xnk( ) � �{ }� . Ïðè ýòîì n-ÿ çàÿâêà ïî-
ñòóïàåò â êàíàë îáñëóæèâàíèÿ ñðàçó æå ïî âîçâðàùåíèè ñ îðáèòû, îäíàêî íå
ðàíüøå ÷åì ( )n �1 -ÿ çàÿâêà îáñëóæèòñÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñëó÷àéíûå
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ( ), ( ), ( )� �n n nkU ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìûå.
Èòàê, îáîáùåíèå ìîäåëè Ëàêàòîøà GI G/ /1 îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî âõîäÿùåìó
ïîòîêó, âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ è âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ íà îðáèòå [10].
Äëÿ èññëåäîâàíèÿ îïèñàííîé ÑÌÎ ðàññìîòðèì öåïü Ìàðêîâà ( , )W nn � 0 ,
ãäå Wn — âðåìÿ îæèäàíèÿ n-é çàÿâêè ê íà÷àëó îáñëóæèâàíèÿ.  îáùåì ñëó÷àå
âåëè÷èíà Wn ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáîå íåîòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå. Åñëè � nk ïðåä-
ñòàâëÿþò ñîáîé äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, òî è Wn ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíîé.
Åñëè ñèñòåìà íà÷èíàåò ôóíêöèîíèðîâàòü â ìîìåíò âðåìåíè t0 , òî W0 0� .
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îñíîâíîãî ñòîõàñòè÷åñêîãî ñîîòíîøåíèÿ ââåäåì ñëó÷àéíóþ
âåëè÷èíó
Z y
y y
y
n
n nk( )
min , ,
, .
�
� � � �
�
�
�
�
{ }� �1 0
0 0
�
Òàêèì îáðàçîì, Z yn ( ) ÿâëÿåòñÿ ïåðâûì çíà÷åíèåì ñëó÷àéíîãî áëóæäàíèÿ, êî-
òîðîå äîñòèãàåò èëè ïðåâûøàåò óðîâåíü y (ðèñ. 1).
 ñëó÷àå, êîãäà çàâèñèìîñòü îò n íå
ñóùåñòâåííà, âìåñòî Z yn nk( ), � áóäåì èñ-
ïîëüçîâàòü Z y k( ), � .
Òàêèì îáðàçîì, îñíîâíîå ñòîõàñòè-
÷åñêîå ñîîòíîøåíèå áóäåò èìåòü âèä
W Z W U nn n n n� � ��( ), .1 1 (7)
Äåéñòâèòåëüíî, ( )n �1 -ÿ çàÿâêà ïîñòó-
ïèò â êàíàë îáñëóæèâàíèÿ â ìîìåíò
t Wn n� ��1 1; åå îáñëóæèâàíèå ïðîäëèòñÿ äî
ìîìåíòà âðåìåíè t W Yn n n� � �� �1 1 1. Åñëè
t W Y tn n n n� � �� � �1 1 1 , òî èìååì Wn � 0 èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî, W Un n� � �1 0, ïî-
ñêîëüêó U Y t tn n n n� � �� �1 1( ). Åñëè W U yn n� � � �1 0, òî ( )n �1 -ÿ çàÿâêà áóäåò îá-
ñëóæåíà â ìîìåíò âðåìåíè t yn � , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî âðåìÿ îæèäàíèÿ n-é çàÿâêè
ðàâíî Z yn ( ), ÷òî ÿâëÿåòñÿ ïåðâîé ñóììîé öèêëîâ îðáèòû, êîòîðàÿ íå ìåíüøå y.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî öåïü Ìàðêîâà ( )Wn èìååò ñòàöèîíàðíóþ ôóíêöèþ ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ F w( ). Ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå (7), ìîæåì çàïèñàòü äëÿ ýòîé ôóíêöèè
óðàâíåíèÿ
F w
C x dF x w
w x u dF x dC u
x u w
( )
( ) ( ), ,
( , ) ( ) ( ),
�
� �
�
�
� � �
�
�
0
0
0
�� �
�
�
�
�
�
�
�
w 0,
ãäå � ( , ) ( )w y P Z y w� �{ }. Óðàâíåíèå íîðìèðîâêè â ýòîì ñëó÷àå òàêæå âûïîë-
íÿåòñÿ è èìååò âèä F ( ) .� �1
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ öåïè Ìàðêîâà ( )Wn ìîæíî ïîëó÷èòü óñëîâèå óñòîé÷è-
âîñòè. Çäåñü, êàê îáû÷íî â òåîðèè ÑÌÎ, óñòîé÷èâîñòü ïîíèìàåòñÿ êàê ñòàòèñòè-
÷åñêàÿ îãðàíè÷åííîñòü lim inf ( )
n
nF w �1 ïðè w � �.
82 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
( )nZ y
n
y
Ðèñ. 1. Ïîñòðîåíèå âåëè÷èíû Z yn ( ) ïî
çàâèñèìîñòè �nk îò n
�nk
Óñëîâèå ýðãîäè÷íîñòè ïðè ðåøåò÷àòîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìå-
íè íà îðáèòå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû � nk ÿâëÿþòñÿ ðåøåò÷àòû-
ìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè ñ ìàêñèìàëüíûì øàãîì � � 0, ò.å. � nk / � — öåëûå
÷èñëà è âìåñòå ñ òåì ïðè ëþáîì � � � âåëè÷èíû � �nk / íå ÿâëÿþòñÿ öåëûìè
ñ ïîëîæèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ.
Ïðèìåì d j P j jnk( ) , ,� � �{ }� � 0 ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî d( ) ,0 0� ò.å. âðåìÿ íà
îðáèòå — ïîëîæèòåëüíàÿ âåëè÷èíà, à òàêæå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
d jd jnk
j
1
0
� �
�
�
�E{ }� � ( ), d j d j
nk
j
2
2 2 2
0
� �
�
�
�E{ }� � ( )
ïðè óñëîâèè, ÷òî d2 ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé âåëè÷èíîé.
Òåîðåìà 2. Åñëè âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
� � �
�
jP j U j
d d
d
n
j
{ ( ) } ,� � � �
�
�
���
�
� 1
2
02 1
1
(8)
òî öåïü Ìàðêîâà ( )Wn ñòîõàñòè÷åñêè îãðàíè÷åíà.
Óñëîâèå ýðãîäè÷íîñòè ïðè íåðåøåò÷àòîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè íà
îðáèòå. Ïóñòü D x( ) — íåðåøåò÷àòàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ; D P nk( ) ;0 0 0� � �{ }�
d1 è d2 � � — ïåðâûé è âòîðîé ìîìåíòû ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
Òåîðåìà 3. Åñëè âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
xdC x
d
d
( ) ,� �
��
�
�
2
12
0 (9)
òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( )Wn ñòîõàñòè÷åñêè îãðàíè÷åíà.
Äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì 2 è 3 ïðèâåäåíû â [10].
Ðàññìîòðèì ÷àñòíûå ñëó÷àè è çàìå÷àíèÿ.
Ñëó÷àé 1. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó òèïà Ëàêàòîøà [1], â êîòîðîé âðåìÿ íà îðáè-
òå T � 0.  ýòîì ñëó÷àå
d d
d
T2 1
12
�
�
�
.
Ñëó÷àé 2. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 3 ñòðîèòñÿ öåïü Ìàðêîâà ( )Vn , ÷ëå-
íû êîòîðîé êðàòíû íåêîòîðîìó � � 0 è óäîâëåòâîðÿþò ñâîéñòâó W V nn n� �, 0.
Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè äîêàçàíà ñòîõàñòè÷åñêàÿ îãðàíè÷åííîñòü ( )Vn , òî ýòî æå
ìîæíî ñêàçàòü è î ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ( )Wn .
Ïîñòðîèì öåïü Ìàðêîâà ( )Vn . Âûáåðåì � � 0 è ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
( ) min , , , ...x n x n� � �{ { }}� 1 2 . Èìååì x x x� � � ( ) �.
Ïîëîæèì V W0 0� ( ) è îïðåäåëèì ðåêóðñèâíî Vn êàê
V Z V U nn n n n� � �� ( ( )), .1 1
Î÷åâèäíî, îáå ôóíêöèè ( )x è Zn — íåóáûâàþùèå, îòêóäà è ñëåäóåò, ÷òî
{ } { }V W V Wn n n n� �� � �1 1 .
Ïóñòü D x e xx( ) ,� � ��1 0
;
d
d
2
12
1
�
. Åñëè
� �, òî óñëîâèå W V nn n� �, 0 ,
ïðåîáðàçóåòñÿ â èçâåñòíîå óñëîâèå ñòàöèîíàðíîñòè xdC x( )�
��
�
� 0 äëÿ ñèñòåìû
ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ GI G/ /1.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 83
Çàìå÷àíèå 1. Óñëîâèÿ ñòàöèîíàðíîñòè (8) è (9) íåëüçÿ ñóùåñòâåííî óëó÷-
øèòü: åñëè çíàê < â êàæäîì èç ýòèõ óñëîâèé çàìåíèòü íà >, òî ñèñòåìà íå áóäåò
ñòàòèñòè÷åñêè îãðàíè÷åííîé.
Çàìå÷àíèå 2. Êàê óñëîâèå (8), òàê è óñëîâèå (9) ñàìè ïî ñåáå íå ÿâëÿþòñÿ
äîñòàòî÷íûìè äëÿ ýðãîäè÷íîñòè öåïè Ìàðêîâà ( )Wn . Îäíàêî ýòà ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü ýðãîäè÷íà, åñëè âûïîëíÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå C x( ) � 0 äëÿ âñåõ
îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé x.
ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÅ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊÈ ÑÈÑÒÅÌÛ ËÀÊÀÒÎØÀ GI G/ / 1
Ñ T -ÂÎÇÂÐÀÙÅÍÈÅÌ
Ðàññìîòðèì îäíîêàíàëüíóþ ÑÌÎ Ëàêàòîøà ñ îáùèì ðàñïðåäåëåíèåì âðåìåíè
ìåæäó ìîìåíòàìè ïîñòóïëåíèÿ çàÿâîê âõîäÿùåãî ïîòîêà, ñ îáùèì ðàñïðåäå-
ëåíèåì âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ çàÿâêè è ïîñòîÿííûì âðåìåíåì îäíîãî öèêëà
ïðåáûâàíèÿ çàÿâêè íà îðáèòå [11].
Ïóñòü A t( ) — ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè ìåæäó ìîìåíòàìè ïîñòóïëå-
íèÿ çàÿâîê, B t( ) — ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ Yn n-é çàÿâêè,
tn — ìîìåíò ïîñòóïëåíèÿ n-é çàÿâêè, t Vn n� — ìîìåíò îêîí÷àíèÿ åå îáñëóæèâà-
íèÿ, Ò — âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ çàÿâêè íà îäíîì öèêëå îðáèòû.
Öåïü Ìàðêîâà. Ó÷èòûâàÿ ïîðÿäîê ôîðìèðîâàíèÿ î÷åðåäè è äèñöèïëèíó
îáñëóæèâàíèÿ â ñèñòåìå, èìååì: åñëè t t Vn n n� �� �1 1, òî n-ÿ çàÿâêà ïîñòóïàåò íà
îáñëóæèâàíèå â ìîìåíò tn è òîãäà V Yn n� ; åñëè äëÿ íåêîòîðîãî öåëîãî k � 1 âû-
ïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî ( )k T t t V kTn n n� � � � �� �1 1 1 , òî n-ÿ çàÿâêà ïîñòóïàåò íà
îáñëóæèâàíèå â ìîìåíò t kTn � , ò.å. V kT Yn n� � .
Òàêèì îáðàçîì, îáñëóæèâàíèå n-é çàÿâêè íà÷èíàåòñÿ â ìîìåíò t k Tn n� , ãäå
kn — ìèíèìàëüíîå öåëîå ÷èñëî, ïðè êîòîðîì â äàííûé ìîìåíò ñèñòåìà ñâîáîäíà
îò âñåõ ïðåäûäóùèõ çàÿâîê (k Tn — âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ çàÿâêè íà îðáèòå).
Ñëó÷àéíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( )kn ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîðîäíóþ öåïü
Ìàðêîâà.  îáùåì ñëó÷àå ðàçíîñòü k kn n� �1 ìîæåò áûòü ñêîëü óãîäíî áîëüøîé.
Îäíàêî â èçâåñòíûõ àâòîðàì äàííîé ñòàòüè çàäà÷àõ (íàïðèìåð, â íåêîòîðûõ ñèñ-
òåìàõ àýðîäðîìíîãî îáñëóæèâàíèÿ) åñòåñòâåííî ïðèíÿòü óñëîâèå, ïðè êîòîðîì
âñåãäà âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ Y Tn � , èëè
B T( ) �1. (10)
Óñëîâèå (10) îáåñïå÷èâàåò íåðàâåíñòâî k kn n� � �1 1. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè
k kn� �1 , òî n-ÿ çàÿâêà áóäåò ïðèíÿòà íà îáñëóæèâàíèå íå ïîçäíåå ÷åì
t k Tn� � �1 1( ) , ò.å. k kn � �1.
Ïðèìåì
f P k T Y t t kTk n n n� � � � � � �� �{ }( ) ( )1 1 1
� � � � �� ( ( ( ) ) ( )) ( ).A y k T A y kT dB y
T
1
0
Òîãäà ïðè óñëîâèè (10) f k
k
�
���
� 1
1
.
Ïóñòü pij — âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà öåïè Ìàðêîâà ( )kn , òîãäà
p fij j i� � ïðè 1 1� � �j i ; (11)
p fi k
k
i
0 �
���
�
� . (12)
Öåïü Ìàðêîâà ( )kn ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äèñêðåòíîå ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå
ñ îãðàíè÷åííûì ñïðàâà ñêà÷êîì. Óñëîâèå åå ýðãîäè÷íîñòè èçâåñòíî â òåîðèè
84 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ [12]. Áëàãîäàðÿ óñëîâèþ (10) îíî ïåðåïèøåòñÿ òàê:
k f k
k
�
���
� 0
1
. (13)
Ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå öåïè Ìàðêîâà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óñëîâèå (13)
âûïîëíÿåòñÿ, è îáîçíà÷èì � �� ( )j ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå öåïè Ìàðêîâà ( )kn .
Èç óðàâíåíèé (11), (12) èìååì ñèñòåìó óðàâíåíèé
� �j i j i
i j
f� �
� �
�
�
1
ïðè j � 1;
(14)
� �0
0
�
���
�
�
�
�� i k
k
i
i
f . (15)
Ê óðàâíåíèÿì (14), (15) äîáàâëÿåòñÿ óñëîâèå íîðìèðîâêè
� j
j
�
�
�
� 1
0
.
Èñïîëüçóÿ ïðÿìóþ ïîäñòàíîâêó, ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè óñëîâèè (13)
ñèñòåìà (14), (15) èìååò âåðîÿòíîñòíîå ðåøåíèå
� j
jz z� �( )1 , j � 1,
ãäå z — êîðåíü óðàâíåíèÿ
f zk
k
k
�
���
�� 1
1
, (16)
êîòîðûé ëåæèò â èíòåðâàëå (0, 1).
Ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (16) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âûïóêëóþ â ïîëóèíòåðâàëå
(0, 1] ôóíêöèþ, êîòîðàÿ ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè ïðè z � 0, ïîñêîëüêó f1 0� ,
è ðàâíà åäèíèöå ïðè z �1 . Êðîìå òîãî, ëåâàÿ ïðîèçâîäíàÿ ýòîé ôóíêöèè â òî÷êå
z �1 ïîëîæèòåëüíà áëàãîäàðÿ óñëîâèþ (13).
Òàêèì îáðàçîì, â èíòåðâàëå ( )0 1, ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé êîðåíü óðàâíå-
íèÿ (16). Ýòî òàêæå ñëåäóåò èç òåîðèè íåïðåðûâíûõ ñïðàâà ñëó÷àéíûõ áëóæäàíèé [12].
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ Yn � �, t tn n� �1 ðàñ-
ïðåäåëåíî ýêñïîíåíöèàëüíî ñ ïàðàìåòðîì �. Òîãäà f e1 1� � � �� ;
f e ek
kT T� �� � ��� � �( )1 ïðè k � 0. Óñëîâèå ýðãîäè÷íîñòè (13) ïðèîáðåòàåò âèä
z� 1 , ãäå z e eT� � �� ��( )1 .
Ïóñòü ïîòîê çàÿâîê, êîòîðûå ïîñòóïàþò â ñèñòåìó, ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîâûì ïó-
àññîíîâñêèì, ïðè÷åì ÷èñëî
çàÿâîê â îäíîé ãðóïïå — ãåîìåòðè÷åñêè ðàñïðåäå-
ëåííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà P k k{ } ( )
� �� � � �1 1, k � 1, à èíòåðâàëû ìåæäó ãðóï-
ïàìè — ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ ïàðàìåòðîì �.
Òîãäà èìååì f fk k k
� � ��� �1 11
0
{ ] ( ) , ãäå f
k
0 — çíà÷åíèå f k ïðè îðäèíàðíîì (íå-
ãðóïïîâîì) ïîòîêå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì �; 1 1{ ]k� — âåëè÷èíà, ðàâíàÿ åäèíèöå
ïðè k �1 è íóëþ — â ïðîòèâíîì ñëó÷àå; f e e
k
kT T0 1� �� � �� � �( ) ( ) ïðè k � 0;
f e1
0 1� � � �� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 85
Äëÿ ïàðàìåòðà z ñóùåñòâóåò óðàâíåíèå
�
�
z
a
z
a b
bz
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �( )
( )
1
1 1
1
1
èëè
� �� � � �
�
�
�
�
�
�
� �( )1 1
1
1
a az
b
bz
z,
ãäå äëÿ óïðîùåíèÿ ïðèìåì a e� � �� ; b e T� � � . Ðåøèâ äàííîå óðàâíåíèå, ïîëó-
÷èì ôîðìóëó äëÿ z ïðè óñëîâèè, ÷òî z� 1:
z
a a
b
e e
e T
�
� �
�
� �� �
�
1 1� ��� ��
�
.
Åñëè � � 0, òî z
a
b
�
�1
, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ ïóàññîíîâñêîãî ïîòîêà
çàÿâîê.
Ñðåäíåå ÷èñëî çàÿâîê íà îðáèòå. Ïóñòü N t( ) — ÷èñëî çàÿâîê íà îðáèòå â
ìîìåíò t. Òîãäà èíòåãðàë N t dt
T
( )
0
� — ñóììàðíîå âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ íà îðáèòå
çàÿâîê, ïîñòóïèâøèõ â ñèñòåìó â èíòåðâàëå ( , )0 T , çà èñêëþ÷åíèåì îñòàòî÷íîãî
âðåìåíè îæèäàíèÿ çàÿâîê, êîòîðûå íå áûëè ïðèíÿòû íà îáñëóæèâàíèå â ìîìåíò T .
Èç ýðãîäè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ s
E[ ( )]N t dt
s
0
� ~ �s KTE[ ], � �
�
�
1
0
xdA x( )
,
ãäå K — ñòàöèîíàðíàÿ âåðñèÿ kn .
Îòñþäà ýðãîäè÷åñêîå ñðåäíåå ÷èñëî çàÿâîê íà îðáèòå
lim .
s
k
k
s
s
N t T k z z
Tz
z�� �
�
� � �
�
��
1
1
100
E[ ( )] ( )�
�
Ñòàöèîíàðíîå ñðåäíåå ÷èñëî K öèêëîâ ïðåáûâàíèÿ çàÿâêè íà îðáèòå îïðåäå-
ëÿåòñÿ ôîðìóëîé K
z
z
�
�1
.
ÓÑËÎÂÈÅ ÝÐÃÎÄÈ×ÍÎÑÒÈ ÑÈÑÒÅÌÛ ËÀÊÀÒÎØÀ SM SM/ / 1
 [13] îáîáùåíû óñëîâèÿ ýðãîäè÷íîñòè, êîãäà âåëè÷èíû � �n n nkY, , ìîãóò
áûòü çàâèñèìûìè è èìåþò òàêîé æå ñìûñë, ÷òî è ðàíåå, à Wn áóäåò îáîçíà-
÷àòü îñòàòî÷íîå âðåìÿ äî âûõîäà èç ñèñòåìû (n �1)-é çàÿâêè â ìîìåíò ïîñòóï-
ëåíèÿ n-é çàÿâêè.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàâèñèìîñòü óêàçàííûõ âûøå âåëè÷èí ìîäåëèðóåòñÿ
ñ ïîìîùüþ ýðãîäè÷íîé öåïè Ìàðêîâà ( , )� n n � 0 ñ ñîñòîÿíèÿìè 1 2, , ,� r ìàòðè-
öåé ïåðåõîäîâ G gij� ( ) è ýðãîäè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì � � �� ( , , )1 � r .
Ïðèìåì ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ:
• åñëè èçâåñòíû çíà÷åíèÿ � �0 , ,� n , òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû � �1 1, ,� n� ;
Y Yn0 , ,� ; 0 � �j n è k � 0 â ñîâîêóïíîñòè íåçàâèñèìû;
86 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
• âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ
P x i A xn n i{ }� �� � � �1 | ( ),
P Y x i B xn n i{ }� � �| ( )� ,
P x i D xnk n i{ } ( )|� �� � �
íåçàâèñèìî îò çíà÷åíèé � s, s n� .
Äàëåå ïðèìåì
a xdA xi i�
�
� ( ),
0
b xdB xi i�
�
� ( )
0
, d x dD xis
s
i�
�
� ( )
0
; a ai i
i
r
�
�
� �
1
, b bi i
i
r
�
�
� �
1
(èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî çíà÷åíèÿ s �1 2, ).
Òåîðåìà 4. Åñëè A xi ( )� 1 � �x 0, D xi ( ) — íåðåøåò÷àòûå ôóíêöèè ðàñïðåäå-
ëåíèÿ è âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
b a
d
d
i i
ii
r
� � �
�
�
1
2
02
11
�
,
òî öåïü Ìàðêîâà ( , )� n nW ýðãîäè÷íà.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4 ïðèâåäåíî â [13].
Çàìå÷àíèå 3. Ïîëó÷åíèå ïðèâåäåííûõ ðåçóëüòàòîâ òðåáóåò îñîáîé òåõíèêè
âåðîÿòíîñòíûõ îöåíîê â êîíêðåòíûõ ñëó÷àÿõ; òåì íå ìåíåå âñå äîêàçàòåëüñòâà
îñíîâàíû íà íåêîòîðûõ îáùèõ èäåÿõ. Âî âñåõ ñëó÷àÿõ ðàññìàòðèâàåòñÿ öåïü Ìàð-
êîâà ( , )X Zn n , ãäå X n � 0, Zn — âåêòîð äîïîëíèòåëüíûõ ïåðåìåííûõ. Òåì èëè
èíûì ñïîñîáîì óñòàíàâëèâàþòñÿ íåðàâåíñòâà E X X X x Z zn{ }� � � � �0 0 0| , ,�
x x� 0 , ïðè íåêîòîðûõ n è � � 0 è E X X x Z z c x x{ }1 0 0 0| , ,� � � � . Íàêîíåö, èñ-
ïîëüçóåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå ìîìåíòîâ î÷èñòêè è îáíîâëåíèÿ [14].
ÏÐÈÌÅÍÅÍÈÅ ÑÈÑÒÅÌ ËÀÊÀÒÎØÀ
Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ìîäåëè Ëàêàòîøà ëåãëè â îñíîâó ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäå-
ëåé ïðîöåññà ïîñàäêè ÂÑ, â êîòîðûõ âõîäÿùèé ïîòîê — ïîòîê ÂÑ, ïðèáûâà-
þùèõ â àýðîïîðò, öèêë îðáèòû — ïîâòîðíûé êðóã èëè ïðÿìîóãîëüíûé ìàð-
øðóò ÂÑ â çîíå îæèäàíèÿ, êàíàë îáñëóæèâàíèÿ — âçëåòíî-ïîñàäî÷íàÿ ïîëîñà
(ÂÏÏ). Îòìåòèì, ÷òî çîíà îæèäàíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåñêîëüêî êðóãîâ,
ðàñïîëîæåííûõ îäèí íàä äðóãèì; îðãàíèçàöèÿ çîíû îæèäàíèÿ è äâèæåíèå â
íåé îñóùåñòâëÿþòñÿ ïðè ñîáëþäåíèè âñåõ íîðì ýøåëîíèðîâàíèÿ. Ïðè÷èíàìè
îòïðàâëåíèÿ ÂÑ íà âòîðîé êðóã (â çîíó îæèäàíèÿ) ìîãóò áûòü ìåòåîóñëîâèÿ,
íåãîòîâíîñòü ÂÏÏ, íåêîððåêòíàÿ ïîçèöèÿ ÂÑ ïðè çàõîäå íà ïîñàäêó, íàðóøå-
íèå íîðì ýøåëîíèðîâàíèÿ è äð. Ïðè ýòîì èñïîëüçîâàíèå äèñöèïëèíû FCFS
îïðàâäàíî òåì, ÷òî ìàíåâð îáãîíà êàê íà êðóãå, òàê è â çîíå îæèäàíèÿ íå äî-
ïóñêàåòñÿ.  îáùåì ñëó÷àå ïðåæäå ÷åì ñåñòü, ÂÑ ìîæåò ïîâòîðèòü êðóã
íåñêîëüêî ðàç. Òàêèì îáðàçîì, ÂÑ ïî ïðèáûòèè â çîíó àýðîäðîìà ìîæåò áûòü îá-
ñëóæåííûì (ïîñàæåííûì) ñðàçó èëè ÷åðåç âðåìÿ, êðàòíîå íåêîòîðîé âåëè÷èíå T .
Íåëüçÿ ñêàçàòü, ÷òî ìîäåëü Ëàêàòîøà ïîëíîñòüþ àäåêâàòíà ðåàëüíîé ñèñòå-
ìå ïîñàäêè. Ïðè ãîòîâíîñòè ïîëîñû äèñïåò÷åð ìîæåò ïîñàäèòü âíîâü ïðèáûâ-
øèé ñàìîëåò, êîãäà íà êðóãå èëè â çîíå îæèäàíèÿ íàõîäÿòñÿ äðóãèå ÂÑ. Ðåøåíèå
îá î÷åðåäíîñòè ïîñàäêè ïðèíèìàåòñÿ äèñïåò÷åðîì â êàæäîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå
îòäåëüíî: çäåñü ó÷èòûâàþòñÿ è ñîñòîÿíèå ïîëîñû, è çàïàñ òîïëèâà, è ìåñòîíàõîæ-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 87
äåíèå ÂÑ íà êðóãå, è ìíîãèå äðóãèå ôàêòîðû. Ïðè ýòîì ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî íå
âñåãäà ïåðåñòðîéêà î÷åðåäè äàåò áîëåå îïòèìàëüíîå îáñëóæèâàíèå [15], ÷òî íà
êàæäîì àýðîäðîìå ñâîè ðàçìåðû çîíû îæèäàíèÿ è êðóãà (ïðÿìîóãîëüíîãî ìàðøðóòà),
à òàêæå ñâîè ñõåìû ìàðøðóòîâ ïîäõîäà. Ïîýòîìó íåëüçÿ äåëàòü îáùèõ âûâîäîâ îòíî-
ñèòåëüíî î÷åðåäíîñòè îáñëóæèâàíèÿ ñ çàïîëíåííûìè çîíàìè îæèäàíèÿ.
Îäíàêî ìîäåëü Ëàêàòîøà ïîêà åäèíñòâåííàÿ, êîòîðàÿ àíàëèòè÷åñêè îïèñû-
âàåò ñèñòåìó ïîñàäêè ïðè çàïîëíåííîé çîíå îæèäàíèÿ è ïðè ýòîì äàåò òî÷íûå
àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ, ïîçâîëÿþùèå îöåíèòü ïðîïóñêíóþ ñïîñîáíîñòü
àýðîäðîìà (â äàííîì ñëó÷àå ñ îäíîé ÂÏÏ).
Îòìåòèì òàêæå, ÷òî â íåêîòîðûõ àýðîïîðòàõ èìåþòñÿ íåñêîëüêî çîí îæèäà-
íèÿ (íàïðèìåð, â Õèòðîó) è íåñêîëüêî ÂÏÏ (íàïðèìåð, â Áîðèñïîëå), ÷òî îáó-
ñëîâëèâàåò ðàññìîòðåíèå íîâûõ ìîäåëåé òèïà Ëàêàòîøà, à èìåííî ìíîãîîðáèò-
íûõ è ìíîãîêàíàëüíûõ.
Ñèñòåìû Ëàêàòîøà ñ ïîâòîðåíèÿìè ìîæíî òàêæå èñïîëüçîâàòü ïðè ìîäåëè-
ðîâàíèè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ òàêèõ òåëåêîììóíèêàöèîííûõ ñèñòåì, êàê ïðîñòûå
call-öåíòðû [16–20] òèïà ñëóæá òåëåôîííîé ñïðàâêè.
Ðàññìîòðèì ïðîöåññ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ïðîñòîãî call-öåíòðà, ïðåäîñòàâëÿ-
þùåãî óñëóãè ïî êîíñóëüòèðîâàíèþ êëèåíòîâ. Íà âõîä call-öåíòðà ñ íåêîòîðîé
èíòåíñèâíîñòüþ ïîñòóïàþò âûçîâû îò àáîíåíòîâ òåëåôîííîé ñåòè. Åñëè â ìî-
ìåíò âûçîâà â call-öåíòðå åñòü ñâîáîäíûé îïåðàòîð, àáîíåíò îáñëóæèâàåòñÿ è çà-
âåðøàåò ðàçãîâîð. Åñëè æå â ìîìåíò ïîñòóïëåíèÿ ïåðâè÷íîãî âûçîâà âñå êàíàëû
çàíÿòû, àáîíåíò áóäåò ïîìåùåí â âèðòóàëüíóþ î÷åðåäü, åìó ñîîáùàò åãî ïîðÿä-
êîâûé íîìåð, à òàêæå áóäåò âêëþ÷åíî ìóçûêàëüíîå ñîïðîâîæäåíèå. Àáîíåíòû
ïîìåùàþòñÿ â âèðòóàëüíóþ î÷åðåäü è îáñëóæèâàþòñÿ èç íåå ïî äèñöèïëèíå
FCFS.  êà÷åñòâå ìîäåëè òàêîé ñèñòåìû ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ìíîãîêàíàëüíóþ
ñèñòåìó î÷åðåäè ñ ïîâòîðåíèÿìè âûçîâîâ òèïà Ëàêàòîøà: ìíîãîêàíàëüíàÿ ñèñòå-
ìà îáñëóæèâàíèÿ, íà îðáèòå êîòîðîé íàõîäÿòñÿ çâîíêè, ïðåáûâàþùèå â âèðòó-
àëüíîé î÷åðåäè call-öåíòðà.
Ñèñòåìû Ëàêàòîøà ñ ïîâòîðåíèÿìè âûçîâîâ ñ îðáèòîé òàêæå ïðèìåíèìû
â êîìïüþòåðíûõ ñèñòåìàõ è ñåòÿõ [21].  ÷àñòíîñòè, â îïòè÷åñêèõ áóôåðàõ
ñ êîëüöåâûìè ðåçîíàòîðàìè (IBM, 2006) [22], èñïîëüçóåìûõ â ìåæêðèñòàëüíûõ
ñîåäèíåíèÿõ, ïðèìåíÿåòñÿ ïðèíöèï çàäåðæêè ñâåòîâîãî ñèãíàëà ñëåäóþùèì îá-
ðàçîì. Êîãäà ñâåòîâîä èìååò ôîðìó êîëüöà, ñâåò âûíóæäåí ìíîãîêðàòíî äâè-
ãàòüñÿ ïî êðóãó íà ðåçîíàíñíûõ ÷àñòîòàõ, òàêèì îáðàçîì óâåëè÷èâàÿ çàäåðæêó
ïðîõîæäåíèÿ ñèãíàëà. Îïòè÷åñêèé áóôåð ñ êîëüöåâûì ðåçîíàòîðîì ñîñòîèò èç
ìíîæåñòâà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ñâåòîâîäíûõ êîëåö, ïî êîòîðûì ïðîõîäÿò ñâåòî-
âûå ñèãíàëû. Ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñèñòåìó Ëàêàòîøà ñ ïîâòîðåíèÿìè âûçîâîâ
êàê ìîäåëü äàííîãî óñòðîéñòâà, ïîñêîëüêó ñâåòîâûå ñèãíàëû íå ìîãóò «îáãî-
íÿòü» äðóã äðóãà è âñåãäà ñëåäóþò îäèí çà äðóãèì.  êà÷åñòâå îáñëóæèâàþùåãî
ïðèáîðà, ê êîòîðîìó íóæíî ïðîéòè ñèãíàëó, â äàííîì ñëó÷àå âûñòóïàåò îïåðà-
òèâíàÿ ïàìÿòü êàêîãî-ëèáî óñòðîéñòâà (ïðîöåññîðà, RAM è ò.ï.).
Äðóãîé òèï îïòè÷åñêèõ áóôåðîâ èñïîëüçóåòñÿ â îïòè÷åñêèõ êîìïüþòåðíûõ
ñåòÿõ, ïðåäíàçíà÷åííûõ äëÿ çàäåðæêè ñâåòîâûõ èìïóëüñîâ ïðè ïðåîáðàçîâàíèè
îïòè÷åñêîãî ñèãíàëà â ýëåêòðè÷åñêèé. Ñîâðåìåííûå îïòè÷åñêèå ñåòè ôóíêöèî-
íèðóþò ïî òåõíîëîãèè ïëîòíîãî âîëíîâîãî ìóëüòèïëåêñèðîâàíèÿ DWDM (Dense
Wavelength Division Multiplexing) — ïåðåäà÷à è óïëîòíåíèå â îäíîì îïòîâîëîê-
íå íåñêîëüêèõ îïòè÷åñêèõ ñèãíàëîâ ñ ðàçëè÷íûìè äëèíàìè âîëí, êîòîðàÿ ïîçâî-
ëÿåò ïåðåäàâàòü äàííûå ñî ñêîðîñòüþ áîëåå 10 Táèò/ñ. Ïàêåòíàÿ êîììóòàöèÿ ïî
ýòèì îïòè÷åñêèì ëèíèÿì òåì íå ìåíåå òðåáóåò ïðåîáðàçîâàíèÿ ñêîðîñòåé ïî ëè-
íèÿì, ÷òîáû îíè ñîîòâåòñòâîâàëè ýêâèâàëåíòíûì êîììóòàöèîííûì ñâîéñòâàì
óçëîâ ñåòè. Ïîñêîëüêó ïàêåòíûå êîììóòàòîðû âûïîëíÿþò îáðàáîòêó áîëåå ìåä-
88 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
ëåííûõ ýëåêòðîííûõ ñèãíàëîâ, êîììóòàöèÿ ñòàíîâèòñÿ ïðîáëåìàòè÷íîé â òåðìè-
íàõ ñåòåâûõ ñêîðîñòåé. Èñïîëüçîâàíèå íîâûõ ïàêåòíî-îðèåíòèðîâàííûõ òåõíî-
ëîãèé òàêèõ, êàê îïòè÷åñêàÿ ïàêåòíàÿ êîììóòàöèÿ OPS (Optical Packet Switching)
è OBS (Optical Burst Switching) ïîìîæåò ðåøèòü ýòó ïðîáëåìó, âûïîëíÿÿ êîììó-
òàöèþ îïòè÷åñêèõ ñèãíàëîâ. Îïòè÷åñêèå áóôåðû îáåñïå÷èâàþò ðåøåíèå äëÿ
âíåøíåãî áëîêèðîâàíèÿ ñèãíàëà, êîòîðîå âîçíèêàåò êàæäûé ðàç, êîãäà äâà èëè
áîëåå ïàêåòîâ äàííûõ ïîñòóïàþò ïî îäíîìó è òîìó æå àäðåñó â îäíî è òî æå
âðåìÿ. Ïîñêîëüêó ñâåò íåëüçÿ õðàíèòü «íà ìåñòå», äàííûå áóôåðèçóþòñÿ ïóòåì
èõ ïåðåñûëêè ïî îïòè÷åñêîé ëèíèè çàäåðæêè FDL (Fiber Delay Line)
ñîîòâåòñòâóþùåé äëèíû, êîòîðàÿ âûáèðàåòñÿ èç íàáîðà FDL-ëèíèé ñ ïîìîùüþ
ïåðåêëþ÷àþùåé ìàòðèöû.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Äàí îáçîð ðàáîò ïðîôåññîðà Ëàêàòîøà, ïîñâÿùåííûõ ÑÌÎ ñ öèêëè÷åñêèì îæè-
äàíèåì. Ïðåäñòàâëåíû àíàëèòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû äëÿ ðàçíûõ ìîäèôèêàöèé òà-
êèõ ÑÌÎ. Ëàêàòîøåì áûëè âûâåäåíû óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ýðãîäè÷åñêîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ñèñòåì M M/ /1, Geom Geom/ /1 è M Unif/ /1; äëÿ ÑÌÎ
M M/ /1 è M Unif/ /1 íàéäåíû ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè ïðåäåëüíûõ ðàñïðåäåëå-
íèé; äëÿ ñèñòåì ñ îòêàçàìè M M/ /1 ïîëó÷åíî óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ýðãîäè÷åñ-
êîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé.
Îáîáùàÿ ìîäåëè Ëàêàòîøà, èçó÷åíà ÑÌÎ GI G/ /1 ñ ïîñòîÿííîé îðáèòîé è
äèñöèïëèíîé îáñëóæèâàíèÿ FCFS. Äëÿ òàêîé ñèñòåìû íàéäåíî óñëîâèå ñóùåñ-
òâîâàíèÿ ýðãîäè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è ýðãîäè÷åñêîå ñðåäíåå êîëè÷åñòâî çàÿ-
âîê íà îðáèòå. Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ íå ïðåâûøàåò ïîñòîÿííîãî
âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ Ò íà îðáèòå, íàéäåíî ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå
ñîîòâåòñòâóþùåé öåïè Ìàðêîâà.
Äëÿ ÑÌÎ ñ âîçâðàùåíèåì GI G/ /1, ñ îáùåé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ïðå-
áûâàíèÿ çàÿâêè íà îðáèòå è äèñöèïëèíîé îáñëóæèâàíèÿ FCFS âûâåäåíî óñëîâèå
ñóùåñòâîâàíèÿ ýðãîäè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé öåïè Ìàðêîâà
äëÿ äâóõ ñëó÷àåâ, à èìåííî: êîãäà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ
íà îðáèòå ðåøåò÷àòàÿ è êîãäà îíà íåïðåðûâíàÿ.
Èññëåäîâàíî óñëîâèå ýðãîäè÷íîñòè âëîæåííîé öåïè Ìàðêîâà äëÿ ÑÌÎ Ëà-
êàòîøà SM SM/ /1 ïðè îáùåì íåðåøåò÷àòîì ðàñïðåäåëåíèè âðåìåíè âîçâðàùå-
íèÿ çàÿâîê ñ îðáèòû.
Òàêèì îáðàçîì, ìîäåëü Ëàêàòîøà çíà÷èòåëüíî îáîáùåíà, à èìåííî: âñå òðè
ðàñïðåäåëåíèÿ A x B x D x( ), ( ), ( ) ìîãóò áûòü ïðîèçâîëüíûìè; ðàññìîòðåíà òàêæå
ñèñòåìà SM SM/ /1 . Íàéäåíû óñëîâèÿ ýðãîäè÷íîñòè âëîæåííîé öåïè Ìàðêîâà è
íåêîòîðûå ñòàöèîíàðíûå õàðàêòåðèñòèêè îáîáùåííûõ ñèñòåì.
Óêàçàíû ñôåðû ïðèìåíåíèÿ ìîäåëè Ëàêàòîøà, ïîñòàâëåíû íîâûå çàäà÷è.
Àâòîðû âûðàæàþò ïðîôåññîðó Ëàêàòîøó áëàãîäàðíîñòü çà ïîääåðæêó è îá-
ñóæäåíèå íîâûõ ïîñòàíîâîê çàäà÷.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. L a k a t o s L . On a simple continuous cyclic-waiting problem // Annales Univ. Sci. — 1994. —
N 14. — P. 105–113.
2. Ê î á à Å .  . , Ê î â à ë å í ê î È . Í . Îá óñëîâèè ýðãîäè÷íîñòè ñèñòåìû ñ äèñïåò÷åðèçàöèåé è
îáñëóæèâàíèåì îáúåêòîâ ñëîæíîé ñòðóêòóðû // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2007. —
¹ 5. — Ñ. 8–12.
3. L a k a t o s L . A discrete cycle-waiting queueing problem // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèìåíå-
íèå. — 1997. — 42, ¹ 2. — Ñ. 405–406.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 89
4. L a k a t o s L . On a simple discrete cycling-waiting queueing problem // J. Math. Sci. — 1999. —
92, N 4. — P. 4031–4034.
5. L a k a t o s L . On a cyclic-waiting queueing system // Theory of Stochastic processes. — 1996. —
18, N 2. — P. 177–181.
6. L a k a t o s L . A probability model connected with landing of airplanes // Safety and Reliability. —
Rotterdam: Brookfielld, 1999. — P. 151–154.
7. L a k a t o s L . Limit distribution for some cyclic-waiting systems // Proc. Ukrainian Math.
Congress, 2001. — Kiev, 2002. — P. 102–106.
8. L a k a t o s L . A special cycling-waiting queueing system with refusals // J. Math. Sci. — 2002. —
111, N 3. — P. 3541–3544.
9. Ê î á à Å . Â . Î ñèñòåìå îáñëóæèâàíèÿ GI/G/1 ñ ïîâòîðåíèåì çàÿâîê ïðè îáñëóæèâàíèè â ïî-
ðÿäêå î÷åðåäè // Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2000. — ¹ 6. — Ñ. 101–103.
10. K o b a E . V . On a GI/G/1 retrial queueing system with a FIFO queueing discipline // Theory of
stochastic processes. — 2002. — 24, N 8. — Ð. 201–207.
11. Ê î á à Î .  . Ñòàö³îíàðí³ õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìè ìàñîâîãî îáñëóãîâóâàííÿ GI/G/1 ³ç T-ïî-
âåðíåííÿì ïðè îáñëóãîâóâàíí³ â ïîðÿäêó ÷åðãè // ³ñíèê ÍÀÓ. — 2003. — ¹ 1. —
Ñ. 122–125.
12. Ê î ð î ë þ ê  . Ñ . , Á î ð î â ñ ê è õ Þ . Â. Àíàëèòè÷åñêèå àñèìïòîòèêè âåðîÿòíîñòíûõ ðàñ-
ïðåäåëåíèé. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1981. — 248 ñ.
13. Ê î á à Å .  . Óñëîâèå ýðãîäè÷íîñòè îáîáùåííîé ìîäåëè îáñëóæèâàíèÿ òèïà Ë. Ëàêàòîøà //
Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2004. — ¹ 11. — Ñ. 70–74.
14. Á î ð î â ê î â À . À . Âåðîÿòíîñòíûå ïðîöåññû â òåîðèè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ — Ì.: Íàó-
êà, 1972. — 381 ñ.
15. Ê î á à Î .  . , Ì è õ à ë å â è ÷ Ê .  . Ïîð³âíÿííÿ ñèñòåì òèïó Ì/Ì/1 ç øâèäêèì ïîâåðíåííÿì
çàÿâîê ïðè ð³çíèõ äèñöèïë³íàõ îáñëóãîâóâàííÿ // Ñèñòåìí³ äîñë³äæåííÿ òà ³íôîðì. òåõíîëî㳿.
— 2003, ¹ 2. — C. 59–68.
16. Ï ó ñ ò î â à ÿ Ñ . Â . Èññëåäîâàíèå call-öåíòðîâ êàê ñèñòåì ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ ïîâòîð-
íûìè âûçîâàìè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2010. — ¹ 3. — Ñ. 162–168.
17. Ï ó ñ ò î â à ÿ Ñ . Â . Çàâèñèìîñòü ïîêàçàòåëåé ôóíêöèîíèðîâàíèÿ call-öåíòðà îò ðàñïðåäåëå-
íèÿ âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ âûçîâîâ íà îðáèòå // Òàì æå. — 2009. — ¹ 2. — Ñ. 170–183.
18. P u s t o v a S . Modeling call center operation with taking into account repeated attempts of
subscribers // ³ñíèê ÍÀÓ. — 2006. — ¹ 3. — Ñ. 21–24.
19. Ê î á à Î .  . , Ï ó ñ ò î â à Ñ .  . Àíàë³òè÷íà ìîäåëü ôóíêö³îíóâàííÿ call-öåíòðó // Äîï. ÍÀÍ
Óêðà¿íè — 2007. — ¹ 2. — Ñ. 17–25.
20. Ê î á à Å . Â . , Ï ó ñ ò î â à ÿ Ñ . Â . Öåíòð îáðàáîòêè âûçîâîâ êàê ñèñòåìà ìàññîâîãî îáñëóæè-
âàíèÿ ñ âîçâðàùåíèÿìè // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2007. — ¹ 3. —
Ñ. 103–112.
21. A n a l y s i s of a Lakatos-type queueing system with general service times / W. Rogiest, K. Laevens,
D. Fiems, H. Bruneel // Abstracts of the Twentieth Conf. on Quantitative Methods for Decision
Making, ORBEL 20. — Ghent, 2006. — P. 95–97.
22. C o m p a c t optical buffer with ring resonators, IBM, 2006. — http://domino.research.ibm.com/
comm/research_projects.nsf/pages/photonics.ringbuffer.html.
Ïîñòóïèëà 07.11.2011
90 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84110 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:08:49Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Коба, Е.В. Пустовая, С.В. 2015-07-03T08:13:03Z 2015-07-03T08:13:03Z 2012 Системы обслуживания типа Лакатоша, их обобщение и применение / Е.В. Коба, С.В. Пустовая // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 3. — С. 78-90. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84110 519.872 Розглянуто системи обслуговування з циклічним часом очікування. Наведено результати угорського математика Л. Лакатоша, зроблено їх узагальнення і вказано можливі сфери застосування. Queuing systems with cyclic waiting time are considered. The results of the Hungarian mathematician L. Lakatos and their generalization and possible application domains are given. Авторы выражают профессору Лакатошу благодарность за поддержку и обсуждение новых постановок задач. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Системы обслуживания типа Лакатоша, их обобщение и применение Системи обслуговування типу Лакатоша, їх узагальнення та застосування Lakatos-type queuing systems, their generalization and application Article published earlier |
| spellingShingle | Системы обслуживания типа Лакатоша, их обобщение и применение Коба, Е.В. Пустовая, С.В. Системный анализ |
| title | Системы обслуживания типа Лакатоша, их обобщение и применение |
| title_alt | Системи обслуговування типу Лакатоша, їх узагальнення та застосування Lakatos-type queuing systems, their generalization and application |
| title_full | Системы обслуживания типа Лакатоша, их обобщение и применение |
| title_fullStr | Системы обслуживания типа Лакатоша, их обобщение и применение |
| title_full_unstemmed | Системы обслуживания типа Лакатоша, их обобщение и применение |
| title_short | Системы обслуживания типа Лакатоша, их обобщение и применение |
| title_sort | системы обслуживания типа лакатоша, их обобщение и применение |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84110 |
| work_keys_str_mv | AT kobaev sistemyobsluživaniâtipalakatošaihobobŝenieiprimenenie AT pustovaâsv sistemyobsluživaniâtipalakatošaihobobŝenieiprimenenie AT kobaev sistemiobslugovuvannâtipulakatošaíhuzagalʹnennâtazastosuvannâ AT pustovaâsv sistemiobslugovuvannâtipulakatošaíhuzagalʹnennâtazastosuvannâ AT kobaev lakatostypequeuingsystemstheirgeneralizationandapplication AT pustovaâsv lakatostypequeuingsystemstheirgeneralizationandapplication |