Оптимальное управление сосредоточенной системой на классе кусочно-постоянных функций при неточно заданной информации о параметрах и начальных условиях
Досліджуються задачі оптимального керування об’єктами, що описуються системами звичайних диференціальних рівнянь, на класі кусочно-постійних керуючих функцій при неточній вихідній інформації про значення початкових умов і параметрів об’єкта. В задачі оптимізованими є кусочно-постійні значення керува...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84111 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оптимальное управление сосредоточенной системой на классе кусочно-постоянных функций при неточно заданной информации о параметрах и начальных условиях / К.Р. Айда-заде, А.Б. Рагимов // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 3. — С. 91-100. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859841948988211200 |
|---|---|
| author | Айда-заде, К.Р. Рагимов, А.Б. |
| author_facet | Айда-заде, К.Р. Рагимов, А.Б. |
| citation_txt | Оптимальное управление сосредоточенной системой на классе кусочно-постоянных функций при неточно заданной информации о параметрах и начальных условиях / К.Р. Айда-заде, А.Б. Рагимов // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 3. — С. 91-100. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Досліджуються задачі оптимального керування об’єктами, що описуються системами звичайних диференціальних рівнянь, на класі кусочно-постійних керуючих функцій при неточній вихідній інформації про значення початкових умов і параметрів об’єкта. В задачі оптимізованими є кусочно-постійні значення керувань і, найважливіше, оптимізуються межі інтервалів сталості керувань. При заданому числі інтервалів сталості керувань отримано необхідні умови оптимальності і формули для градієнта функціонала, які дозволяють для чисельного вирішення завдань використовувати ефективні методи оптимізації першого порядку. Для випадку, коли число інтервалів сталості не задано, запропоновано алгоритм його оптимізації.
The authors analyze optimal control problems for objects described by systems of ordinary differential equations on the class of piecewise constant control functions with uncertain initial information about the parameters of the initial conditions and about object parameters. Piecewise constant values of the controls and, what is most important, the boundaries of the intervals of constancy of the controls are optimized in the problem. Given the number of the constancy intervals, the necessary optimality conditions and formulas for the gradient of the objective functional are obtained. These formulas allow using efficient first-order optimization methods. For the case where the number of constancy intervals is not specified, an algorithm of its optimization is proposed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:36:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
Ê
È
Ñ
À
ÓÄÊ 517.977.58
Ê.Ð. ÀÉÄÀ-ÇÀÄÅ, À.Á. ÐÀÃÈÌÎÂ
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÅ ÓÏÐÀÂËÅÍÈÅ ÑÎÑÐÅÄÎÒÎ×ÅÍÍÎÉ ÑÈÑÒÅÌÎÉ
ÍÀ ÊËÀÑÑÅ ÊÓÑÎ×ÍÎ-ÏÎÑÒÎßÍÍÛÕ ÔÓÍÊÖÈÉ
ÏÐÈ ÍÅÒÎ×ÍÎ ÇÀÄÀÍÍÎÉ ÈÍÔÎÐÌÀÖÈÈ
Î ÏÀÐÀÌÅÒÐÀÕ È ÍÀ×ÀËÜÍÛÕ ÓÑËÎÂÈßÕ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: íåòî÷íàÿ èíôîðìàöèÿ, íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, ïàðàìåòð
îáúåêòà, êóñî÷íî-ïîñòîÿííîå óïðàâëåíèå, èíòåðâàë ïîñòîÿíñòâà.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Èçâåñòíî, ÷òî ïðè óïðàâëåíèè ðåàëüíûìè ïðîöåññàìè èñõîäíàÿ èíôîðìàöèÿ î
íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè è ïàðàìåòðàõ, îò êîòîðûõ çàâèñèò ïîâåäåíèå óïðàâëÿåìîé
ñèñòåìû, ìîæåò áûòü íåòî÷íîé. Äëÿ øèðîêîãî êëàññà çàäà÷ àïðèîðíàÿ íåîïðå-
äåëåííîñòü ìîæåò áûòü ñâåäåíà ê ïàðàìåòðè÷åñêîé, êîãäà âåðîÿòíîñòíûå çàêî-
íû ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ èññëåäóåìûõ ñèòóàöèé, âåëè÷èí è íàáëþäàåìûõ ïðîöåñ-
ñîâ èçâåñòíû ñ òî÷íîñòüþ äî êîíå÷íîãî ÷èñëà ïàðàìåòðîâ.  ðàáîòàõ [1–9]
â óñëîâèÿõ, êîãäà èçâåñòíû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ðåàëèçàöèè íåèçâåñòíûõ ïà-
ðàìåòðîâ è íà÷àëüíûõ óñëîâèé, çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ îáúåêòàìè
ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè è ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè ðàññìàòðèâàåòñÿ îòíîñè-
òåëüíî óñðåäíåííîãî çíà÷åíèÿ êðèòåðèÿ êà÷åñòâà.  íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàññìàò-
ðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íàÿ çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ïðîöåññàìè, îïèñûâàå-
ìûìè ñèñòåìàìè îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïðè íåòî÷íîé
èñõîäíîé èíôîðìàöèè î íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ è ïàðàìåòðàõ, íî íà êëàññå êóñî÷-
íî-ïîñòîÿííûõ óïðàâëÿþùèõ ôóíêöèé. Ñëåäóåò îòìåòèòü òàêæå, ÷òî ãðàíèöû
èíòåðâàëîâ ïîñòîÿíñòâà óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé íåèçâåñòíû è îïòèìèçèðóþò-
ñÿ.  ñòàòüå ïîëó÷åíû íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè è ôîðìóëû äëÿ
ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà â ïðîñòðàíñòâå îïòèìèçèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ, ïîçâîëÿþ-
ùèå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ èñïîëüçîâàòü ÷èñëåííûå ìå-
òîäû êîíå÷íîìåðíîé îïòèìèçàöèè ïåðâîãî ïîðÿäêà. Èññëåäîâàí òàêæå ñëó÷àé,
êîãäà ÷èñëî èíòåðâàëîâ ïîñòîÿíñòâà óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé íå çàäàíî,
à îïòèìèçèðóåòñÿ. Ðàññìîòðåí àëãîðèòì ïî îïðåäåëåíèþ îïòèìàëüíîãî ÷èñëà
ïåðåêëþ÷åíèé. Ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî m-âåêòîð y èç êîìïàêòíîãî ìíîæåñòâà Y E m� èìååò ðàñ-
ïðåäåëåíèå íà íåì, çàäàííîå ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ �Y y( ) . Ïðè êàæäîì
çíà÷åíèè âåêòîðà y , y Y� , óïðàâëÿåìûé îáúåêò îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé îáûê-
íîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
�( ) ( , , )x t f x u y� , t T�( , ]0 , x x X E n( )0 0 0� � � , y Y� . (1)
Çäåñü íà÷àëüíûé âåêòîð x0 ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ èç çàäàííîãî êîìïàêòíîãî
ìíîæåñòâà X 0 è èìååò ðàñïðåäåëåíèå íà ìíîæåñòâå X 0 , çàäàííîå ôóíêöèåé
ðàñïðåäåëåíèÿ �X x
0 0( ) ; x x t E n� �( ) , t T�[ , ]0 , — ôàçîâûé âåêòîð;
u u t E r� �( ) , t T�[ , ]0 , — óïðàâëåíèå. Êàæäîìó äîïóñòèìîìó óïðàâëåíèþ u t( ) ,
çíà÷åíèÿì âåêòîðà ïàðàìåòðîâ y è íà÷àëüíîãî âåêòîðà x0 â ñèëó (1) ñîîòâåò-
ñòâóåò òðàåêòîðèÿ x t x t u y x( ) ( ; , , )� 0 , t T�[ , ]0 .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 91
© Ê.Ð. Àéäà-çàäå, À.Á. Ðàãèìîâ, 2012
Ê
È
Ñ
À
Óïðàâëåíèå ñèñòåìîé (1) ðàññìàòðèâàåòñÿ íà êëàññå êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ
ôóíêöèé [10], ïðèíèìàþùèõ ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ íà êàæäîì ïîëóèíòåðâàëå
[ , )� �j j�1 , j L�1, ..., , ïîëó÷åííîì ðàçáèåíèåì îòðåçêà [ , ]0 T ( )L �1 îïòèìèçèðóå-
ìûìè òî÷êàìè � j , j L� �1 1, ..., , ò.å.
u t v j( ) � � const , t j j� �[ , )� �1 , v Ej
r� ,
� �j j� �1 , j L�1, ..., , �0 0� , �L T� , (2)
à çíà÷åíèÿ óïðàâëåíèÿ v Ej
r� , j L�1, ..., , äîëæíû ïðèíàäëåæàòü íåêîòîðîìó
çàäàííîìó äîïóñòèìîìó ìíîæåñòâó U , â ÷àñòíîñòè ïàðàëëåëåïèïåäó
U v v v vL� � � �{ : ( )1 � , � �j j jv� � , v j , � �j j
rE, � , j L�1, ..., } . (3)
Çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â íàõîæäåíèè êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ çíà÷åíèé óïðàâëåíèÿ
u t( ) , ò.å. çíà÷åíèé êîíå÷íîìåðíûõ âåêòîðîâ v Ej
r� , j L�1, ..., , è ãðàíèö èí-
òåðâàëîâ ïîñòîÿíñòâà ýòèõ çíà÷åíèé, îïðåäåëÿåìûõ âåêòîðîì � � �� � � �( )1 1� L ,
ïðè êîòîðûõ çàäàííûé ôóíêöèîíàë
J u I v( ) ( , )� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
� f x t u x y u t dt x T u x y
T
0
0 0
0
( ( ; , , ), ( )) ( ( ; , , ))�
�
� ��� d x d yX
X
Y
Y
0
0
0( ) ( ) (4)
ïðè óñëîâèÿõ (1)–(3) ïðèíèìàåò ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå, ( , ) ( )v E L r� � �1 1 .
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî çàäàííûå ôóíêöèè f 0 , � è âåêòîð-ôóíêöèÿ f âìåñòå ñ
÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè íåïðåðûâíû ïî ñâîèì àðãóìåíòàì.
Ýòó çàäà÷ó îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ìîæíî îòíåñòè ê ñïåöèàëüíîìó êëàññó
çàäà÷ êîíå÷íîìåðíîé îïòèìèçàöèè, â êîòîðîé äëÿ âû÷èñëåíèÿ öåëåâîé ôóíêöèè
J u I v( ) ( , )� � òðåáóåòñÿ ðåøèòü çàäà÷ó Êîøè (1) è âû÷èñëèòü èíòåãðàë èç (4).
ÍÅÎÁÕÎÄÈÌÛÅ ÓÑËÎÂÈß ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÑÒÈ
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (1)–(4), ò.å äëÿ îïðåäåëåíèÿ îïòèìàëüíûõ çíà÷åíèé âåêòîðîâ
v E Lr� è � � �E L 1 , ïðåäëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàòü êîíå÷íîìåðíûå ìåòîäû îïòèìèçà-
öèè ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ñ ýòîé öåëüþ áóäóò ïîëó÷åíû àíàëèòè÷åñêèå ôîðìóëû
ãðàäèåíòà öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà grad J u I v( ) ( , )�� �� ( ( , ), ( , ))� �vI v I v� �� .
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà–Ïîíòðÿãèíà è ñîîòâåòñòâóþ-
ùóþ ñîïðÿæåííóþ ñèñòåìó [1, 2]:
H x u x y f x u t u x y f x u y( , , , , ) ( , ) ( ; , , ) ( , , )� �0
0
0� � � ; (5)
� ( ; , , )
( , , , , ) ( , ) ( , ,
�
�
t u x y
H x u x y
x
f x u
x
f x u
0
0
0
� �
�
�
�
�
�
�
� � y
x
t u x y
)
( ; , , )
�
� 0 ,
�( ; , , )
( ( ; , , ))
T u x y
x T u x y
x
0
0� �
�
�
�
,
(6)
ãäå � �( ) ( ; , , )t t u x y E n� �0 — ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (6), ñîîòâåòñòâóþùåå
äîïóñòèìîìó óïðàâëåíèþ u u t U� �( ) , íà÷àëüíîìó óñëîâèþ x X0 0� è çíà÷å-
íèþ ïàðàìåòðà y Y� . Ââåäåì ñëåäóþùåå îáîçíà÷åíèå:
J u x y f x t u x y u t dt x T u x y
T
0 0
0
0 0
0
( , , ) ( ( ; , , ), ( )) ( ( ; , , ))� �� .
92 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
Ê
È
Ñ
À
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî çíà÷åíèÿ óïðàâëåíèÿ u t( ) , íà÷àëüíûå óñëîâèÿ x X0 0� è çíà÷å-
íèÿ âåêòîðà ïàðàìåòðîâ y Y� âçàèìíî íåçàâèñèìû, èìååì
� � � � ���I v J u J u x y d x d yX
X
Y
Y
( , ) ( ) ( ; , ) ( ) ( )� grad grad 0 0 00
0
.
Ïóñòü ïðè êàêèõ-ëèáî çàäàííûõ çíà÷åíèÿõ âåêòîðà ïàðàìåòðîâ y Y� è íà÷àëü-
íîãî âåêòîðà x X0 0� äîïóñòèìîå óïðàâëåíèå u t( ) ïîëó÷èëî ïðèðàùåíèå
� �u u t� ( ) , ïðè÷åì u t u t U( ) ( ) �� . Òîãäà ñîîòâåòñòâóþùåå ïðèðàùåíèå ôóíê-
öèîíàëà (4) ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì [1]:
� � �I v J u J u u J u( , ) ( ) ( ) ( )� � � � �
� � � � ��� ( ( ; , ) ( ; , )) ( ) ( )J u u x y J u x y d x d yX
X
Y
Y
0 0 0 0 00
0
� (7)
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
H x u x y
u
u t dt o u
T
( , , , , )
( ) ( || ( ) || )
� 0
0
� �
��
� ��� d x d yX
X
Y
Y
0
0
0( ) ( ),
ãäå
|| ( ) || || ( ) || || ( ) || )[ , ]� � �u t u t u t dtL T
E
T
r
� �
�
�
�
�
�
�2 0
2
0 �
�
�
1 2/
,
lim
( || || )
|| |||| ||�
�
�u
o u
u�
�
0
0 .
Ñ öåëüþ ïîëó÷åíèÿ ôîðìóë äëÿ êîìïîíåíòîâ ãðàäèåíòà �v I v( , )� , ó÷èòûâàÿ
êóñî÷íî-ïîñòîÿíñòâî óïðàâëåíèÿ, ïðèðàùåíèå �u t( ) âûáåðåì èç ïðåäïîëîæåíèÿ,
÷òî ïðîèçâîëüíî âûáðàííûé i-é êîìïîíåíò óïðàâëåíèÿ, i r�1, ..., , íà êà-
êîì-ëèáî j-ì èíòåðâàëå ïîñòîÿíñòâà, j L�1, ..., , ïîëó÷èëà ïðèðàùåíèå �vij , ò.å.
�
�
u t
t t T
v t
j j
j j j j
( )
, , ,
,
�
� � � �
� � �
�
�
�
0 0 1
1
� �
� �const,
(8)
ãäå � �i j ijv v� ( , ..., , , , ..., )0 0 0 0 . Ïðåîáðàçóåì ñîîòâåòñòâóþùåå ïðèðàùåíèþ
óïðàâëåíèÿ (8) âûðàæåíèå ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèîíàëà (7):
� �vI v J u( , ) ( )� � �
� �
�
�
�
�
�
� ��
�
�
H x u x y
u
udt
H x u x y
u
j
j
( , , , , ) ( , , , , )� �
�
�
0
0
0
1
�
10
� j
udt
XY
��� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
H x u x y
u
udt o u d x
j
T
X
( , , , , )
( || ( ) || ) (
�
�
0
0
� � 0 ) ( )d yY� �
� �
�
�
�
�
�
�
��
�
�
H x u x y
u
v dt o uj
j
j
( , , , , )
( || ( ) || )
�
�
�
0
1
� � �
�
��
� � ��� d x d yX
X
Y
Y
0
0
0( ) ( )
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
H x u x y
u
v dt d x
i
ij X
j
j
( , , , , )
(
�
�
�
0
0
1
0
� ) ( )
X
Y
Y
d y
0
�� � (9)
� � ��� o u d x d yX
X
Y
Y
( || ( )|| ) ( ) ( )�
0
0
0 .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 93
Ê
È
Ñ
À
Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè (9) íà �vij è ïåðåéäÿ ê ïðåäåëó ïðè �vij � 0 ñ ó÷åòîì
òîãî, ÷òî â ñèëó (8) è êîìïàêòíîñòè ìíîæåñòâ Y , X 0 ñïðàâåäëèâî
lim
( || ( ) || )
( ) ( )
�
�
�v ij
X
X
Y
Yij
o u
v
d x d y
�
�
� � ���
0
00
0
0 ,
èìååì
dI v
dv
H x u x y
u
dt
ij i
j
j
( , ) ( , , , , )� �
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
� 0
1
d x d yX
X
Y
Y
� � ��� 0
0
0( ) ( )
�
�
�
�
�
�
!
"
"
#
$
%
%
�
�
f x u t
u
f x u y
u
t u x y
i i
j
0
0
( , , ) ( , , )
( ; , , )�
� 1
0
0
0
� j
dt d x d yX
X
Y
Y
���
�
�
�
�
�
�
��
� �( ) ( ), (10)
j L�1, ..., , i r�1, ..., .
Äàëåå ïîëó÷èì ôîðìóëó äëÿ � � �I v( , ) . Ïóñòü çíà÷åíèå � j ïîëó÷èëî ïðèðà-
ùåíèå �� j , ïðè÷åì �� j & 0 è � � �j j j � � 1 . Òàêîå èçìåíåíèå çíà÷åíèÿ � j ñîîò-
âåòñòâóåò ñëó÷àþ, êîãäà óïðàâëåíèå ïîëó÷èò ïðèðàùåíèå, êîòîðîå ìîæíî
çàïèñàòü â âèäå
�
�
�
u t
t t T
v v t
j j j
j j j j j
( )
, , ,
, .
�
� � � �
� � �
�
0 0
1
� � �
� � �
(11)
Äëÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèîíàëà (7), ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðèðàùåíèþ óïðàâëå-
íèÿ (11), èìååì
� �
�
�
�
�
� �
I v J u
H x u x y
u
udt
H x
j
( , ) ( )
( , , , , ) ( ,
� �
� �
�
�
�
�� �
� 0
0
, , , )
( , , , , )
u x y
u
udt
H x u x y
j
j j
XY
0
0
0
�
�
�
�
�
�
�
�
���
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
��
� � �
� u
udt o u d x d y
j j
T
X Y
� ��
� �( || ( )|| ) ( ) ( )
0 0
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
H x u x y
u
udt o u
j
j j
( , , , , )
( || ( )|| )
�
�
� �
0
�
� �
�
�
�
��
� � ��� d x d yX
X
Y
Y
0
0
0( ) ( ) (12)
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�( )
( , , , , )
v v
H x u x y
u
dtj j
j
j j
1
0T �
�
� ��
d x d yX
X
Y
Y
� � �� 0
0
0( ) ( )
� � ��� o u d x d yX
X
Y
Y
( || ( ) || ) ( ) ( )�
0
0
0 .
Ðàçäåëèì îáå ÷àñòè (12) íà �� j è ïåðåéäåì ê ïðåäåëó �� j � 0. Èñïîëüçóÿ òå-
îðåìó î ñðåäíåì çíà÷åíèè ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî â ñèëó (11) è êîìïàêòíîñòè
ìíîæåñòâ Y , X 0 èìååò ìåñòî
lim
( || ( ) || )
( ) ( )
�
�
�� �j
o u
d x d y
j
X
X
Y
Y
�
�
� � ���
0
00
0
0 ,
94 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
Ê
È
Ñ
À
ïîëó÷èì
dI v
d
v v
j
j j
( , )
( )
�
�
� � ' 1
'
�
�
�
�
�
!
"
"
#
$
%
%
�
�
f x u t
u
f x u t
u
t u x y
t j
0
0
( , , ) ( , , )
( ; , , )�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��� d x d yX
X
Y
Y
0
0
0( ) ( ), (13)
j L� �1 1, ..., .
Îòðèöàòåëüíîå ïðèðàùåíèå �� j � 0 äëÿ � j , êîãäà � � �j j j� & �| |� 1 , ñîîòâåò-
ñòâóåò òîìó, ÷òî óïðàâëåíèå u t( ) ïîëó÷àåò ïðèðàùåíèå
�
�
�
u t
t t T
v v t
j j j
j j j j j
( )
, | | , ,
, | | .
�
� � � � �
� � � �
0 0
1
� � �
� � �
�
Ïîâòîðèâ àíàëîãè÷íûå ôîðìóëå (12) âûêëàäêè, ñíîâà ïîëó÷èì ôîðìóëó (13).
Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 1. Ãðàäèåíò ôóíêöèîíàëà çàäà÷è (1)–(4) â ïðîñòðàíñòâå óïðàâëÿþ-
ùèõ ïàðàìåòðîâ ( , ) ( )v E L r� � �1 1 ïðè âûïîëíåíèè íàëàãàåìûõ âûøå óñëîâèé íà
ôóíêöèè, ó÷àñòâóþùèå â çàäà÷å, îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëàìè (6), (10), (13).
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ×ÈÑËÀ ÈÍÒÅÐÂÀËΠÏÎÑÒÎßÍÑÒÂÀ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß
Âûøå ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî óïðàâëÿþùèå âîçäåéñòâèÿ â çàäà÷å (1)–(4) èùóòñÿ
íà êëàññå êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ ôóíêöèé ñ çàðàíåå çàäàííûì ÷èñëîì L ïåðå-
êëþ÷åíèé óïðàâëåíèÿ îò îäíîãî çíà÷åíèÿ ê äðóãîìó.  ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëî-
æåíèÿõ ÷èñëî ïåðåêëþ÷åíèé, êàê ïðàâèëî, çàðàíåå íå áûâàåò îïðåäåëåííûì è
òðåáóåòñÿ âûáîð îïòèìàëüíîãî èõ ÷èñëà.
 ñâÿçè ñ ýòèì ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ïîäõîä «ðàöèîíàëüíîãî» âûáîðà
÷èñëà ïåðåêëþ÷åíèé, îñíîâàííûé íà ðåçóëüòàòàõ ðàáîòû [10]. Ïðè ýòîì î÷åâèä-
íî, ÷òî ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî ïåðåêëþ÷åíèé óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé â êàêîé-òî
ñòåïåíè äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ âîçìîæíîé ìèíèìàëüíîñòè èõ ÷èñëà.
Îáîçíà÷èì J J v LL
L L* * ( , , )� � ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà çàäà÷è
(1)–(4) ïðè çàäàííîì ÷èñëå L èíòåðâàëîâ ïîñòîÿíñòâà óïðàâëåíèÿ, v L L, � — ñîîò-
âåòñòâåííî îïòèìàëüíûå êóñî÷íî-ïîñòîÿííîå óïðàâëåíèå è ãðàíèöû èíòåðâàëîâ
ïîñòîÿíñòâà. Î÷åâèäíî, ÷òî J J v LL
L L* * ( , , )� � êàê ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ òðåòüåãî
àðãóìåíòà L ÿâëÿåòñÿ íåâîçðàñòàþùåé, ò.å. â îáùåì ñëó÷àå èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
J u J v L J v L
L L L L* * * *( ) ( , , ) ( , , )� �1 1 2 2
1 2� � ïðè L L1 2& , (14)
ãäå J J u* * *( )� — îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà èñõîäíîé çàäà÷è
óïðàâëåíèÿ (1)–(4) íà êëàññå êó-
ñî÷íî-íåïðåðûâíûõ óïðàâëÿþùèõ
ôóíêöèé. Òàêèì îáðàçîì, èç (14)
ñëåäóåò, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà
èíòåðâàëîâ ïîñòîÿíñòâà îïòèìàëü-
íûå çíà÷åíèÿ öåëåâîãî ôóíêöèîíà-
ëà ìîãóò ëèøü óìåíüøàòüñÿ è
ïðèáëèæàòüñÿ ñêîëü óãîäíî áëèçêî
ê J * (ðèñ. 1):
lim ( , , )* *
L
L LJ v L J
�(
�� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 95
Ðèñ. 1. Çàâèñèìîñòü îïòèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ ôóíê-
öèîíàëà îò ÷èñëà èíòåðâàëîâ ïîñòîÿíñòâà óïðàâëåíèÿ
Ê
È
Ñ
À
 ñëó÷àå, åñëè ðåøåíèå çàäà÷è
îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ (1)–(4)
íà êëàññå êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ
ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ïîñòî-
ÿííûì (ðåëåéíûì, íåñêîëüçÿùèì)
óïðàâëåíèåì, òî ñóùåñòâóåò îïðå-
äåëåííîå çíà÷åíèå L* , äëÿ êîòîðîãî
èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî (ðèñ. 2)
J v L J uL L* * *( , , ) ( )� � ïðè L L& * .
 êà÷åñòâå ðàöèîíàëüíîãî
(«îïòèìàëüíîãî») ÷èñëà èíòåðâà-
ëîâ ïîñòîÿíñòâà óïðàâëåíèÿ ïðåäëàãàåòñÿ ïðèíÿòü òàêîå ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå
L , ïðè êîòîðîì âïåðâûå âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç ñëåäóþùèõ íåðàâåíñòâ:
� �� �J v L J v L L J v LL L L L L L L L* * *( , , ) | ( , , ) ( , , )|� � � �� � � ,
�J v L J v LL L L L* *( , , ) / ( , , )� � �� ,
� �J v L LL L* ( , , ) /� �� ,
ãäå �L & 0 — çàäàííîå öåëîå ÷èñëî, îïðåäåëÿþùåå ïðèðàùåíèå ÷èñëà èíòåðâà-
ëîâ ïîñòîÿíñòâà óïðàâëåíèé, � — çàäàííîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, îïðåäåëÿå-
ìîå ñ òðåáóåìîé òî÷íîñòüþ ðåøåíèÿ çàäà÷è îïòèìèçàöèè ÷èñëà èíòåðâàëîâ
ïîñòîÿíñòâà óïðàâëåíèÿ.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ èñêîìîãî ðàöèîíàëüíîãî ÷èñëà L èíòåðâàëîâ ïîñòîÿíñòâà
ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàêîé-ëèáî èç àëãîðèòìîâ îäíîìåðíîãî ïîèñêà, íàïðèìåð
ìåòîä äåëåíèÿ ïîïîëàì, ìåòîä çîëîòîãî ñå÷åíèÿ.
Ïî ðåçóëüòàòàì ðåøåíèÿ çàäà÷è óïðàâëåíèÿ íà êëàññå êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ
óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé ñ çàðàíåå çàäàííûì ÷èñëîì L èíòåðâàëîâ ïîñòîÿíñòâà
ìîæíî ðàññìîòðåòü âîïðîñ óìåíüøåíèÿ ÷èñëà L , åñëè äëÿ îïòèìàëüíûõ �L è v L
íà êàêèõ-ëèáî äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ j-ì è ( )j 1 -ì âðåìåííûõ èíòåðâàëàõ,
j L� �0 1, ..., , âûïîëíèëîñü îäíî èç óñëîâèé
| |� � �j
L
j
L� � 1 1 , (15)
| |v vij
L
ij
L� � 1 2� , i r�1, ..., , (16)
äëÿ çàäàííûõ äîñòàòî÷íî ìàëûõ çíà÷åíèé � �1 2 0, & .  ñëó÷àå âûïîëíå-
íèÿ (15) j-é èíòåðâàë ïîñòîÿíñòâà óïðàâëåíèÿ ìîæíî èñêëþ÷èòü â ñèëó åãî
ìàëîñòè, à â ñëó÷àå (16) j-é è ( )j 1 -é èíòåðâàëû ìîæíî îáúåäèíèòü â ñèëó
ñîâïàäåíèÿ íà íèõ çíà÷åíèé óïðàâëåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, â îáîèõ ñëó÷àÿõ ÷èñ-
ëî èíòåðâàëîâ L ïîñòîÿíñòâà óïðàâëåíèÿ óìåíüøèòñÿ íà åäèíèöó.
ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ ×ÈÑËÅÍÍÛÕ ÝÊÑÏÅÐÈÌÅÍÒÎÂ
Ñ ïîìîùüþ ôîðìóë ãðàäèåíòà (6), (10), (13) ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé èòåðàöè-
îííûé àëãîðèòì äëÿ îïðåäåëåíèÿ îïòèìàëüíûõ çíà÷åíèé êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ
óïðàâëåíèé, îñíîâàííûé íà ìåòîäàõ îïòèìèçàöèè ïåðâîãî ïîðÿäêà.
96 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü ñàìîãî îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ
îò çàäàííîãî ÷èñëà L
Ê
È
Ñ
À
Øàã 1. Ìíîæåñòâà X 0 , Y ïîêðûâàþòñÿ óçëàìè ñåòî÷íîé îáëàñòè ( , )x yi j0 , ãäå
i j, — íîìåðà óçëîâ ñåòêè, èñïîëüçóåìûõ â êâàäðàòóðíûõ ôîðìóëàõ äëÿ àïïðîêñè-
ìàöèè èíòåãðàëîâ â (4) ïî ìíîæåñòâàì X 0 è Y , îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ ïðîâîäÿòñÿ
ïîñëåäóþùèå âû÷èñëåíèÿ ïî îïðåäåëåíèþ çíà÷åíèé êîìïîíåíòîâ ãðàäèåíòà.
Øàã 2. Ïðè òåêóùåì çíà÷åíèè âåêòîðà ( , ) ( )v Ek k L r� � �1 1 è äëÿ x Xi0 0� ,
y Yj � êàêèì-ëèáî ÷èñëåííûì ìåòîäîì ðåøàåòñÿ ïðÿìàÿ çàäà÷à Êîøè (1) è îïðå-
äåëÿåòñÿ x t v x yk k k
i j( ; , , , )� 0 .
Øàã 3. Äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ðåøåíèÿ x t v x yk k k
i j( ; , , , )� 0 ÷èñëåííûì ìå-
òîäîì íàõîäèòñÿ ðåøåíèå ñîïðÿæåííîé çàäà÷è Êîøè (6) � �k k k
i jt v x y( ; , , , )0 .
Øàã 4. Ñ ïîìîùüþ (10), (13) ñ èñïîëüçîâàíèåì êàêîé-ëèáî êâàäðàòóðíûé
ôîðìóëû âû÷èñëÿþòñÿ ñëàãàåìûå èíòåãðàëüíîé ñóììû äëÿ êîìïîíåíòîâ âåêòîðà
ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà.
Øàã 5. Ïðèìåíÿÿ ÷èñëåííûå ìåòîäû êîíå÷íîìåðíîé îïòèìèçàöèè ïåðâîãî
ïîðÿäêà, íàïðèìåð èòåðàöèîííûé ìåòîä ïðîåêöèè ãðàäèåíòà íà îãðàíè÷åíèÿ
(2), (3), âû÷èñëÿåòñÿ íîâîå ïðèáëèæåíèå
( , ) [( , ) ( , )]( ),( )v P v I vk k k k k k � � �1 1
2 3� � � � , k � 0 1, , ... ,
ãäå P v( ),( ) ( , )2 3 � — îïåðàòîð ïðîåêòèðîâàíèÿ âåêòîðà ( , )v � íà äîïóñòèìóþ îá-
ëàñòü ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿåìóþ îãðàíè÷åíèÿìè (2), (3); ( , )v 0 0� — íåêîòîðîå
çàäàííîå íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå; � — øàã îäíîìåðíîé ìèíèìèçàöèè.  ñëó-
÷àå íåâûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè èëè îñòàíîâà èòåðàöèîííîãî ïðî-
öåññà (íàïðèìåð, | |� �� èëè | ( , ) ( , ) |I v I vk k k k � �1 1� � � , � — çàäàííàÿ òî÷-
íîñòü îïòèìèçàöèè) ïîâòîðÿþòñÿ øàãè 2–5.
Ïðèâåäåì ÷èñëåííûå ðåçóëüòàòû ïðèìåíåíèÿ ïîëó÷åííûõ ôîðìóë â ñëåäó-
þùèõ òåñòîâûõ çàäà÷àõ.
Çàäà÷à 1. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (10), (13), ïðèìåíèì ïðåäëîæåííûé ïîäõîä ê
òåñòîâîé çàäà÷å, â îñíîâå êîòîðîé ëåæèò ìîäåëüíàÿ çàäà÷à ñ òî÷íî çàäàííûìè
çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðà y �1 è íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè x0 5 0� ( ; ) ïðè èçâåñòíîì
îïòèìàëüíîì óïðàâëåíèè v v v v* * * *( , , ) ( ; ; )� � �1 2 3 1 1 1 , � � �* * *( , ) ( . ; . )� �1 2 0 95 4 55 :
� ,
� sin ,
x x
x yu x
1 2
2 1
�
� �
�
x1 0 4 8 5 2( ) [ . ; . ]� , x2 0 0( ) � , (17)
y�[ . ; . ]0 9 11 , | ( )|u t � 1 , t �[ ; ],0 5
J u x x y x x y d xX( ) [ ( ; , ) ( ; , )] (
.
.
.
.
� ���
4 8
5 2
1
2
0 2
2
0
0 9
11
5 5
0 0 ) ( ) mind yY
u
� � . (18)
Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ �X x
0 0( ) è �Y y( ) âûáåðåì ðàâíîìåðíûìè:
� � �X x x
0 0 0
1
0 4
48( )
.
( . ) , � � �Y y y( )
.
( . )
1
02
09 ,
òîãäà ôóíêöèîíàë (18) ïðèìåò âèä
J u x x y x x y d( )
.
[ ( ; , ) ( ; , )]
.
.
.
.
� ��
1
008
5 5
4 8
5 2
1
2
0 2
2
0
0 9
11
x dy
u
0 � min . (19)
Çäåñü áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ÷èñëî èíòåðâàëîâ ïîñòîÿíñòâà êóñî÷íî-ïîñòîÿííîãî
óïðàâëåíèÿ u t( ) åñòü L � 3 , ò.å. îïòèìèçèðóåòñÿ âåêòîð ( , ) ( , , , , )� � �v v v v� 1 2 1 2 3 .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 97
 ïðîèçâîëüíî âçÿòîé òî÷êå ( , ) ( . ; . ; . ; . ; . )� v � �0 78 3 46 0 70 0 60 0 50 âåêòîð ãðà-
äèåíòà, ðàññ÷èòàííûé ïî ôîðìóëàì (10), (13), îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì
grad 10.8616; 12.7888; 8.5500; 10.3567; 10.9I v( , ) (� � � � � 001) .
Äëÿ ñðàâíåíèÿ èñïîëüçîâàëèñü òàêæå öåíòðàëüíàÿ, ïðàâàÿ è ëåâàÿ ñõåìû
ðàçíîñòíûõ àïïðîêñèìàöèé ïðîèçâîäíûõ â ýòîé òî÷êå:
� � � � I x I x h I x h h o h( ) ( ( ) ( )) / ( ) ( )2 2 , (20)
� � � I x I x h I x h o h( ) ( ( ) ( )) / ( ) , (21)
� � � � I x I x I x h h o h( ) ( ( ) ( )) / ( ) . (22)
Çíà÷åíèÿ êîìïîíåíòîâ âåêòîðà �I v( , )� , êàê âèäíî èç òàáë. 1, ñóùåñòâåííî
çàâèñÿò îò h . Íàèëó÷øåå çíà÷åíèå ïîëó÷åíî ñ ïðèìåíåíèåì öåíòðàëüíîé ñõå-
ìû ïðè h � 0005. è h � 0001. , ò.å. îíî áëèçêî ê çíà÷åíèþ, ðàññ÷èòàííîìó ïî
ôîðìóëàì (10), (13). Ýêñïåðèìåíòû ïîêàçàëè, ÷òî ýòî ñïðàâåäëèâî è äëÿ äðó-
ãèõ çíà÷åíèé îïòèìèçèðóþùèõ ïàðàìåòðîâ.
 òàáë. 2 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ ïî ðåøåíèþ çà-
äà÷è (17), (19) ñ òî÷íîñòüþ îïòèìèçàöèè � � 0001. ïðè ðàçëè÷íûõ íà÷àëüíûõ çíà-
÷åíèÿõ ( , )�0 0v óïðàâëÿþùåãî âåêòîðà ( , )� v .
98 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
Ò à á ë è ö à 2
Íîìåð
òî÷êè
×èñëî
èòåðàöèé
×èñëåííûå ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ çàäà÷è (17), (19) ïðè L � 3
( , )� 0 0
v I v( , )� 0 0 ( , )* *� v I v( , )* *�
1 34
(0.78; 3.46; 0.70;
– 0.60; 0.50)
33.0325
(0.9651; 4.5500;
1.0000; –1.0000; 1.0000)
13.0587
2 28
(0.78; 3.46; 2.00;
– 2.00; 0.50)
7.9791
(0.9709; 4.5500;
1.0000; –1.0000; 1.0000)
13.0591
3 68
(0.52; 2.73; 0.80;
– 0.80; 0.40)
44.2627
(0.9659; 4.5485;
1.0000; –1.0000; 1.0000)
13.0595
4 35
(0.28; 3.26; 0.26;
– 0.40; 0.32)
43.1466
(0.9690; 4.5500;
1.0000; –1.0000; 1.0000)
13.0589
5 27
(0.64; 2.82; 0.85;
– 0.30; 0.40)
43.1901
(0.9668;4.5500;
1.0000; –1.0000; 1.0000)
13.0588
Ò à á ë è ö à 1
h
Çíà÷åíèÿ �I v( , )� , âû÷èñëåííûå ïî ðàçíîñòíûì ñõåìàì
Öåíòðàëüíàÿ (20) Ëåâàÿ (22) Ïðàâàÿ (21)
0.1
(–10.7143; –12.7849;
–8.5426; 10.6442; 10.8991)
(–12.0919; –12.9078;
–8.7913; 9.3894; 10.7204)
(–9.3368; –12.6620;
–8.2938; 11.8989; 11.0777)
0.05
(–10.7849; –12.8012;
–8.5481; 10.4282; 10.8998)
(–11.4715; –12.8623;
–8.6723; 9.8072; 10.8105)
(–10.0983; –12.7402;
–8.4240; 11.0492; 10.9891)
0.01
(–10.8610; –12.7888;
–8.5499; 10.3596; 10.9001)
(–10.9460; –12.7952;
–8.5747; 10.2358; 10.8822)
(–10.7760; –12.7824;
–8.5251; 10.4834; 10.9179)
0.005
(–10.8615; –12.7888;
–8.5500; 10.3574; 10.9001)
(–10.9040; –12.7920;
–8.5624; 10.2955; 10.8911)
(–10.8190; –12.7856;
–8.5376; 10.4193; 10.9090)
0.001
(–10.8616; –12.7888;
–8.5500; 10.3567; 10.9001)
(–10.8701; –12.7894;
–8.5525; 10.3444; 10.8983)
(–10.8531; –12.7881;
–8.5475; 10.3691; 10.9018)
Ê
È
Ñ
À
 òàáë. 3 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû îïòèìèçàöèè êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ óïðàâëå-
íèé â çàäà÷å (17), (19) ñ ïÿòüþ (L � 5) èíòåðâàëàìè ïîñòîÿíñòâà óïðàâëåíèÿ äëÿ
äâóõ ðàçëè÷íûõ íà÷àëüíûõ òî÷åê èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà. Èñïîëüçóÿ óñëî-
âèÿ (15), (16), èç ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ îïòèìèçàöèè âûòåêàåò ñëåäóþùåå.
Îïòèìàëüíîå ðåøåíèå, ïîëó÷åííîå èç ïåðâîé íà÷àëüíîé òî÷êè, èìååò êîìïîíåí-
òû �1
* , �2
* âåêòîðà �* , êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ (15), à êîìïîíåíòû v3
* , v4
*
âåêòîðà v * óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ (16). Äëÿ îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ, ïîëó÷åííî-
ãî èç âòîðîé íà÷àëüíîé òî÷êè, çíà÷åíèÿ êîìïîíåíòîâ �1
* , �2
* , �3
* âåêòîðà �* óäîâ-
ëåòâîðÿþò óñëîâèþ (15). Ñëåäîâàòåëüíî, îáúåäèíÿÿ êîìïîíåíòû ñ áëèçêèìè çíà-
÷åíèÿìè, ïîëó÷èì àíàëîãè÷íûå òàáë. 2 ðåçóëüòàòû, à òàêæå L* � 3 .
Çàäà÷à 2. Ïðèìåíèì ðàññìîòðåííûé ïîäõîä ê ñëåäóþùåé òåñòîâîé çàäà÷å,
â îñíîâå êîòîðîé ëåæèò ìîäåëüíàÿ çàäà÷à ñ òî÷íî çàäàííûìè çíà÷åíèÿìè ïàðà-
ìåòðà y �1 è íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè x0 1 0� ( ; ) ïðè èçâåñòíîì îïòèìàëüíîì
óïðàâëåíèè v v v* * *( , ) ( ; )� �1 2 4 1 , � � �
* *� �1 :
� ,
( ) ,
.
x x
x yu t x
1 2
2 1
�
� �
�
x1 0 0 7 12( ) [ . ; . ]� , x2 0 0( ) ,�
(23)
y�[ . ; . ]09 11 , 1 4� �u t( ) , t �
!"
#
$%
0
3
4
;
�
;
J u x x y d x d yX Y( ) ; , ( ) ( )
.
.
.
.
� �
�
�
�
�
� � � ���
0 7
1 2
1 0
0 9
11
0
3
4 0
�
min
u
. (24)
Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ �X x
0 0( ) è �Y y( ) âûáåðåì ñëåäóþùèì îáðàçîì:
� � �X x x
0 0 0
1
05
0 7( )
.
( . ), � � �Y y y( )
.
( . )
1
02
09 .
Òîãäà ôóíêöèîíàë (24) ïðèìåò âèä
J u x x y dx dy
u
( )
.
, , min
.
.
.
.
� �
�
�
�
�
� ���
1
01
3
4
0 7
1 2
1 0
0 9
11
0
�
. (25)
Çäåñü áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ÷èñëî èíòåðâàëîâ ïîñòîÿíñòâà êóñî÷íî-ïîñòîÿííîãî
óïðàâëåíèÿ u t( ) åñòü L � 2 , ò.å. îïòèìèçèðóåòñÿ âåêòîð ( , ) ( , , )� �v v v� 1 1 2 .
 òàáë. 4 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (23), (25) äëÿ
ðàçëè÷íûõ íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé ( , )�0 0v óïðàâëÿþùåãî âåêòîðà ( , )� v .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 99
Ò à á ë è ö à 3
Íîìåð
òî÷êè
×èñëî
èòåðàöèé
×èñëåííûå ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ çàäà÷è (17), (19) ïðè L � 5
( , )� 0 0
v I v( , )� 0 0 ( , )* *� v I v( , )* *�
1 16
(0.62; 0.78; 2.26;
3.76; 0.4; 0.5;
– 0.6; – 0.8; 0.8)
31.1464
(0.950; 0.971; 1.875;
4.552; 1.00; 0.613;
– 1.00; – 1.00; 1.00)
13.0589
2 5
(1.11; 0.76; 0.81;
4.76; 0.45; 0.85;
– 0.7; – 0.8; 0.8)
19.1692
(0.983; 0.983; 0.983;
4.550; 1.00; 0.845;
– 0.646; – 1.00; 1.00)
13.0774
Ê
È
Ñ
À
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ïîëó÷åíû ôîðìóëû äëÿ ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà â çàäà÷å
îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ îáúåêòàìè, îïèñûâàåìûìè ñèñòåìàìè îáûêíîâåííûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé íà êëàññå êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ ôóíêöèé ïðè íå-
òî÷íîé èíôîðìàöèè î íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ è ïàðàìåòðàõ. Ýòè ôîðìóëû äëÿ ãðà-
äèåíòà öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà çàäà÷è ïîçâîëÿþò ïðèìåíèòü ìåòîäû îïòèìèçàöèè
ïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ.
Ñ ó÷åòîì òåõíè÷åñêè ëåãêîé è âîçìîæíîñòè äîñòàòî÷íî òî÷íîé ðåàëèçàöèè
êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé ïðåäëàãàåìûé ïîäõîä ê ðåøå-
íèþ ðàññìîòðåííîé çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ìîæåò íàéòè øèðîêîå ïðè-
ìåíåíèå â ñèñòåìàõ àâòîìàòèçèðîâàííîãî è àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ ïðè
íåòî÷íî çàäàííîé èíôîðìàöèè î íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ è ïàðàìåòðàõ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ã à á à ñ î â Ð . , Ê è ð è ë ë î â à Ô . Ì . Ïðèíöèï ìàêñèìóìà â òåîðèè îïòèìàëüíîãî
óïðàâëåíèÿ. — Ì.: Íàóêà è òåõíèêà, 1974. — 272 ñ.
2. Ã à á à ñ î â Ð . , Ê è ð è ë ë î â à Ô . Ì . , Ê î ñ ò þ ê î â à Î . È . Ñèíòåç îïòèìàëüíûõ óïðàâëåíèé
äëÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ïðè íåïîëíîé è íåòî÷íîé èíôîðìàöèè îá èõ ñîñòîÿíèÿõ // Òð.
ÌÈÀÍ. — 1995. — Ò. 211. — Ñ. 140–152.
3. Ò ð å ò ü ÿ ê î â Â . Å . , Ö å ë è ù å â à È . Â . , Ø è ø ê è í Ã . È . Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå
ñèñòåìàìè ñ íåïîëíîé è íåòî÷íîé èíôîðìàöèåé // Òð. ÈÌÌ. — 1992. — Ò. 2. — Ñ. 176–187.
4. K r a s o v s k i i N . N . , T a r a s o v a S . I . , T r e t y a k o v V . E . , S h i s h k i n G . I . Control with in-
formation deficit // Probl. of Control and Inform. Theory. — 1986. — 15, N 3. — P. 203–218.
5. C h e n S . B . The robust optimal control of uncertain systems-state space method // Automatic Con-
trol, IEEE Transactions on Automatic Control. — 1993. — 38, N 6. — P. 951–957.
6. K a - V e n g Y u e n a n d J a m e s L . B e c k . Reliability-based robust control for uncertain dynami-
cal systems using feedback of incomplete noisy response measurements // Earthquake Engineering
and Structural Dynamics. — 2003. — 32. — P. 751–770.
7. Q u i n c a m p o i x M . , V e l i o v V . M . Optimal control of uncertain systems with incomplete infor-
mation for the disturbances // SIAM J. on Control and Optimization. — 2004. — 43, N 4. —
P. 1373–1399.
8. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , Ê î ç å ð à ö ê à ÿ Ë . Í . , Ë å á å ä å â à Ò . Ò . Èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè è
ïàðàìåòðè÷åñêèé àíàëèç äèñêðåòíûõ îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1995. — 170 ñ.
9. S e r g i e n k o I . V . , D e i n e k a V . S . Optimal control of distributed systems with conjugation con-
ditions. — New York: Kluwer, 2005. — 400 p.
10. À é ä à - ç à ä å Ê . Ð . , Ð à ã è ì î â À . Á . Î ðåøåíèè çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ íà êëàññå
êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ ôóíêöèé // Àâòîìàòèêà è âû÷èñë. òåõíèêà. — 2007. — ¹ 1. — Ñ. 27–36.
Ïîñòóïèëà 28.12.2010
100 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
Ò à á ë è ö à 4
×èñëî
èòåðàöèé
×èñëåííûå ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ çàäà÷è (23), (25) ïðè L � 2
( , )� 0 0
v I v( , )� 0 0 ( , )* *� v I v( , )* *�
6 (1.231; 3.200; 1.500) –1.2582 (0.82466; 4.0000; 1.0000) –1.8908
6 (0.522; 2.850; 1.200) –1.2410 (0.82467; 4.0000; 1.0000) –1.8908
5 (0.953; 3.150; 2.430) –0.8868 (0.82467; 4.0000; 1.0000) –1.8908
5 (1.847; 3.540; 1.820) –0.5380 (0.82467; 4.0000; 1.0000) –1.8908
4 (1.368; 2.180; 1.470) –1.1169 (0.82467; 4.0000; 1.0000) –1.8908
5 (2.092; 1.890; 0.750) –0.9739 (0.82467; 4.0000; 1.0000) –1.8908
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84111 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:36:40Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Айда-заде, К.Р. Рагимов, А.Б. 2015-07-03T08:14:49Z 2015-07-03T08:14:49Z 2012 Оптимальное управление сосредоточенной системой на классе кусочно-постоянных функций при неточно заданной информации о параметрах и начальных условиях / К.Р. Айда-заде, А.Б. Рагимов // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 3. — С. 91-100. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84111 517.977.58 Досліджуються задачі оптимального керування об’єктами, що описуються системами звичайних диференціальних рівнянь, на класі кусочно-постійних керуючих функцій при неточній вихідній інформації про значення початкових умов і параметрів об’єкта. В задачі оптимізованими є кусочно-постійні значення керувань і, найважливіше, оптимізуються межі інтервалів сталості керувань. При заданому числі інтервалів сталості керувань отримано необхідні умови оптимальності і формули для градієнта функціонала, які дозволяють для чисельного вирішення завдань використовувати ефективні методи оптимізації першого порядку. Для випадку, коли число інтервалів сталості не задано, запропоновано алгоритм його оптимізації. The authors analyze optimal control problems for objects described by systems of ordinary differential equations on the class of piecewise constant control functions with uncertain initial information about the parameters of the initial conditions and about object parameters. Piecewise constant values of the controls and, what is most important, the boundaries of the intervals of constancy of the controls are optimized in the problem. Given the number of the constancy intervals, the necessary optimality conditions and formulas for the gradient of the objective functional are obtained. These formulas allow using efficient first-order optimization methods. For the case where the number of constancy intervals is not specified, an algorithm of its optimization is proposed. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Оптимальное управление сосредоточенной системой на классе кусочно-постоянных функций при неточно заданной информации о параметрах и начальных условиях Оптимальне керування зосередженою системою на класі кусочно-постійних функцій за неточно заданою інформацією про параметри і початкові умови Optimal control of a concentrated system on the class of piecewise constant functions under uncertainty in the parameters and initial conditions Article published earlier |
| spellingShingle | Оптимальное управление сосредоточенной системой на классе кусочно-постоянных функций при неточно заданной информации о параметрах и начальных условиях Айда-заде, К.Р. Рагимов, А.Б. Системный анализ |
| title | Оптимальное управление сосредоточенной системой на классе кусочно-постоянных функций при неточно заданной информации о параметрах и начальных условиях |
| title_alt | Оптимальне керування зосередженою системою на класі кусочно-постійних функцій за неточно заданою інформацією про параметри і початкові умови Optimal control of a concentrated system on the class of piecewise constant functions under uncertainty in the parameters and initial conditions |
| title_full | Оптимальное управление сосредоточенной системой на классе кусочно-постоянных функций при неточно заданной информации о параметрах и начальных условиях |
| title_fullStr | Оптимальное управление сосредоточенной системой на классе кусочно-постоянных функций при неточно заданной информации о параметрах и начальных условиях |
| title_full_unstemmed | Оптимальное управление сосредоточенной системой на классе кусочно-постоянных функций при неточно заданной информации о параметрах и начальных условиях |
| title_short | Оптимальное управление сосредоточенной системой на классе кусочно-постоянных функций при неточно заданной информации о параметрах и начальных условиях |
| title_sort | оптимальное управление сосредоточенной системой на классе кусочно-постоянных функций при неточно заданной информации о параметрах и начальных условиях |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84111 |
| work_keys_str_mv | AT aidazadekr optimalʹnoeupravleniesosredotočennoisistemoinaklassekusočnopostoânnyhfunkciiprinetočnozadannoiinformaciioparametrahinačalʹnyhusloviâh AT ragimovab optimalʹnoeupravleniesosredotočennoisistemoinaklassekusočnopostoânnyhfunkciiprinetočnozadannoiinformaciioparametrahinačalʹnyhusloviâh AT aidazadekr optimalʹnekeruvannâzoseredženoûsistemoûnaklasíkusočnopostíinihfunkcíizanetočnozadanoûínformacíêûproparametriípočatkovíumovi AT ragimovab optimalʹnekeruvannâzoseredženoûsistemoûnaklasíkusočnopostíinihfunkcíizanetočnozadanoûínformacíêûproparametriípočatkovíumovi AT aidazadekr optimalcontrolofaconcentratedsystemontheclassofpiecewiseconstantfunctionsunderuncertaintyintheparametersandinitialconditions AT ragimovab optimalcontrolofaconcentratedsystemontheclassofpiecewiseconstantfunctionsunderuncertaintyintheparametersandinitialconditions |