Динамика решений класса автономных эволюционных включений второго порядка
Розгляуто автономні диференціально-операторні включення другого порядку з посилено ко-ерцитивним, узагальнено псевдомонотонним демпфуванням. Одержано нові апріорні оцінки розв’язків. Досліджено залежність розв’язків від початкових даних. Доведено існування глобального і траєкторного аттракторів. Дос...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84113 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Динамика решений класса автономных эволюционных включений второго порядка / Н.В. Задоянчук, П.О. Касьянов // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 3. — С. 111-126. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859732446475452416 |
|---|---|
| author | Задоянчук, Н.В. Касьянов, П.О. |
| author_facet | Задоянчук, Н.В. Касьянов, П.О. |
| citation_txt | Динамика решений класса автономных эволюционных включений второго порядка / Н.В. Задоянчук, П.О. Касьянов // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 3. — С. 111-126. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Розгляуто автономні диференціально-операторні включення другого порядку з посилено ко-ерцитивним, узагальнено псевдомонотонним демпфуванням. Одержано нові апріорні оцінки розв’язків. Досліджено залежність розв’язків від початкових даних. Доведено існування глобального і траєкторного аттракторів. Досліджено їх структурні властивості.
Second-order autonomous differential-operator inclusions with strongly coercive, generally pseudomonotone damping are considered. New a priori estimates of solutions are obtained. The dependence of the solutions on initial data is investigated. The existence of the global and trajectory attractors is proved and their structure properties are analyzed.
|
| first_indexed | 2025-12-01T14:12:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.9
Í.Â. ÇÀÄÎßÍ×ÓÊ, Ï.Î. ÊÀÑÜßÍÎÂ
ÄÈÍÀÌÈÊÀ ÐÅØÅÍÈÉ ÊËÀÑÑÀ ÀÂÒÎÍÎÌÍÛÕ
ÝÂÎËÞÖÈÎÍÍÛÕ ÂÊËÞ×ÅÍÈÉ ÂÒÎÐÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: âÿçêîóïðóãîñòü, ýâîëþöèîííîå âêëþ÷åíèå, ãëîáàëüíûé àò-
òðàêòîð, òðàåêòîðíûé àòòðàêòîð, ïñåâäîìîíîòîííîå îòîáðàæåíèå.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Äëÿ ýâîëþöèîííîé òðîéêè ( ; ; )*V H V , ìíîãîçíà÷íîãî (â îáùåì ñëó÷àå) îòî-
áðàæåíèÿ A V V0 : ,*�� îäíîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ B V V0 : *� è âíåøíåé
ñèëû f V0 � * ðàññìîòðåíà çàäà÷à èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè ïðè t � �� âñåõ
ñëàáûõ ðåøåíèé íåëèíåéíîãî àâòîíîìíîãî äèôôåðåíöèàëüíî-îïåðàòîðíîãî
âêëþ÷åíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà
y t A y t B y t f� � � � � �( ) ( ( )) ( ( )) ,0 0 0 (1)
çàäàííûõ ïðè t � 0. Çäåñü ïàðàìåòðû çàäà÷è óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì:
• ( )H1 V — ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî;
• ( )A1
c 0: � �u V , � �d A u0 ( ) | | | | ( | | | | );*d c u
V V� �1
• ( )A2
� �, :0 � �u V , � �d A u0 ( )
� � �d u uV V
, | | | | ;� �2
• ( )A3 A A A0 1 2� � , ãäå A V V1: *� — ëèíåéíûé, ñàìîñîïðÿæåííûé, ïîëî-
æèòåëüíûé îïåðàòîð, A V V2 : *�� èìååò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: ñóùåñòâóåò òàêîå
ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî Z, ÷òî âëîæåíèå V Z� — ïëîòíîå è êîìïàêòíîå,
à âëîæåíèå Z H� — ïëîòíîå è íåïðåðûâíîå; äëÿ ëþáîãî u Z� ìíîæåñòâî A u2 ( )
ÿâëÿåòñÿ íåïóñòûì, âûïóêëûì è ñëàáî êîìïàêòíûì â Z * ; A Z Z2 : *�� — îãðà-
íè÷åííîå îòîáðàæåíèå, ò.å. A2 ïåðåâîäèò îãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà èç Z â îãðà-
íè÷åííûå ìíîæåñòâà â ïðîñòðàíñòâå Z * , è äåìèçàìêíóòîå îòîáðàæåíèå, ò.å. åñëè
u un � â Z, d dn � ñëàáî â Z * , n � ��, è d A un n� 2 ( ) � �n 1 òî d A u� 2 ( );
• ( )B1 B V V0 : *� — ëèíåéíûé, ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð;
• ( )B2
� 0:
� �B u u uV V0
2, | | | | .�
Çäåñü
� � � � �, : *
V V V � — ñïàðèâàíèå â V V* ,� ñîâïàäàþùåå íà H V� ñî
ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ( , )� � â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H .
Çàìå÷àíèå 1. Èç îòîæäåñòâëåíèÿ H H� * è óñëîâèÿ (A3) èìååì öåïî÷êó
ïëîòíûõ è íåïðåðûâíûõ âëîæåíèé V Z H Z V� � � �* *.
Çàìå÷àíèå 2. Èç ( )A1 – ( )A3 , à òàêæå [1, 2] ñëåäóåò, ÷òî îòîáðàæåíèå A0
óäîâëåòâîðÿåò òàêîìó óñëîâèþ: ( )A3 � A V V0 : *�� — � 0-ïñåâäîìîíîòîííîå (îá-
îáùåííî � 0-ïñåâäîìîíîòîííîå), ò.å.
• äëÿ ëþáîãî u V� ìíîæåñòâî A u0 ( ) ÿâëÿåòñÿ íåïóñòûì, âûïóêëûì è ñëàáî
êîìïàêòíûì â V * ;
• åñëè u un � ñëàáî âV , n � ��, d A un n� 0 ( ) � �n 1è lim ,
n
n n Vd u u
��
� � � 0 ,
òî � �� V �d A u( ) ( ):� 0
lim , ( ), ;
n
n n V Vd u d u
���
� � �
� �� � �
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 111
© Í.Â. Çàäîÿí÷óê, Ï.Î. Êàñüÿíîâ, 2012
• îòîáðàæåíèå A0 ÿâëÿåòñÿ ïîëóíåïðåðûâíûì ñâåðõó êàê òàêîå, ÷òî äåé-
ñòâóåò èç ïðîèçâîëüíîãî êîíå÷íîìåðíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà èçV âV * , ñíàáæåííî-
ãî ñëàáîé òîïîëîãèåé.
Çàìå÷àíèå 3. Äàëåå áåç ïîòåðè îáùíîñòè íà ïðîñòðàíñòâå V ðàññìîòðèì ýê-
âèâàëåíòíóþ íîðìó | | | | , ,u B u uV V�
�0 u V� . Äàííàÿ íîðìà ïîðîæäàåòñÿ ñêàëÿð-
íûì ïðîèçâåäåíèåì ( , ) , ,u B uV V� ��
�0 u V, .� �
Îïðåäåëåíèå 1. Ïîä ñëàáûì ðåøåíèåì ýâîëþöèîííîãî âêëþ÷åíèÿ (1) íà
îòðåçêå [ , ]� T ïîíèìàåì ýëåìåíò u( )� ïðîñòðàíñòâà L T V2 ( , ; )� òàêîé, ÷òî
u L T V� � �( ) ( , ; )2 � è äëÿ íåêîòîðîãî d L T V( ) ( , ; )*� � 2 �
d t A u t( ) ( ( ))� �0 äëÿ ïî÷òè âñåõ t T�( , ),�
� � � �
� �� �( ( ), ( )) ( ), ( )
� �
T T
Vt u t dt d t t dt
�
� �
� � �� �
�
� �
�
T
V
T
VB u t t dt f t C T V0 0 0( ), ( ) , ( ) ([ , ]; ), (2)
ãäå u � — ïðîèçâîäíàÿ ýëåìåíòà u( )� â ñìûñëå ïðîñòðàíñòâà ðàñïðåäåëåíèé
�
* *([ , ]; ).� T V
Âîïðîñ îá àáñòðàêòíîì ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèé çàäà÷è òèïà (1) ïðè ïðèâå-
äåííûõ âûøå óñëîâèÿõ ðàññìîòðåí â [1–26]. Â íàñòîÿùåé ñòàòüå ïðè âûïîëíåíèè
ïîäîáíûõ óñëîâèé ñ ïîìîùüþ òåîðèè ãëîáàëüíûõ è òðàåêòîðíûõ àòòðàêòîðîâ
[1, 3, 5–9, 12, 14, 15] èññëåäîâàíà ìíîãîçíà÷íàÿ äèíàìèêà âñåõ ñëàáûõ ðåøåíèé
(ïðè t � ��) â ôàçîâûõ è ðàñøèðåííûõ ôàçîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ, â ÷àñòíîñòè,
èçó÷åíû ñòðóêòóðíûå ñâîéñòâà ãëîáàëüíûõ è òðàåêòîðíûõ àòòðàêòîðîâ.  êà÷å-
ñòâå îäíîãî èç âîçìîæíûõ ïðèëîæåíèé ðàññìîòðåíà çàäà÷à èç íåëèíåàðèçèðî-
âàííîé òåîðèè âÿçêîóïðóãîñòè ñ ìíîãîìåðíûìè ñóïåðïîòåíöèàëüíûìè çàêîíà-
ìè. Îòìåòèì, ÷òî ðÿä êîíñòðóêòèâíûõ ìåòîäîâ îáîñíîâàíèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ
ðåøåíèé, à òàêæå èõ ñâîéñòâ ïðè çíà÷èòåëüíî áîëåå ñëàáûõ óñëîâèÿõ íà
ïàðàìåòðû çàäà÷è áûë ðàññìîòðåí â [24, 25].
ÏÐÅÄÂÀÐÈÒÅËÜÍÛÅ ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ
Äëÿ ôèêñèðîâàííûõ �� T ðàññìîòðèì
X L T V X L T V W u X u XT T T T� � � � �� �, ,
* *
, ,( , ; ), ( , ; ), |� � � � ��2 2 { ,
* ,T }
A X X A y d X d t A y tT T T T T� � � � �, , ,
*
, ,
*: , ( ) ( ) ( ( ))|�� � � �{ 0
äëÿ ïî÷òè âñåõ t T�( , ) ,� }
B X X B y t B y tT T T T� � � �, , ,
*
,: , ( )( ) ( ( ))� � 0 äëÿ ïî÷òè âñåõ t T�( , ),�
f X f t fT T T� � �, ,
*
,, ( )� � 0 äëÿ ïî÷òè âñåõ t T�( , ).�
Îòìåòèì, ÷òî ïðîñòðàíñòâî W T� , ÿâëÿåòñÿ ãèëüáåðòîâûì ïðîñòðàíñòâîì
ñ íîðìîé ãðàôèêà ïðîèçâîäíîé [2, óòâåðæäåíèå 4.2.1]:
| | | | | | | | | | | | , .
, , ,
* ,u u u u W
W X X
T
T T T� � �
�
2 2 2� � � � (3)
Èç [1, Lemma 7] è óñëîâèé (A )1 , (A )2 , (A )3 � ñëåäóåò, ÷òî A X XT T T� � �, , ,
*: ��
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:
( )N1
C1 0 : | | | | ( | | | | )
,
*
,
d C y
X X
T T� �
� �1 1 � �y X T� , , � �d A yT�, ( ) ;
112 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
( )N 2
C C2 3 0, :
� � �d y C y CX XT T
, | | | |
, ,� �
2
2
3 � �y X T�, , � �d A yT�, ( );
( )N 3 A X XT T T� � �, , ,
*: �� — w�-ïñåâäîìîíîòîííûé (îáîáùåííî w�-ïñåâäî-
ìîíîòîííûé) íà W T� , , ò.å.
• äëÿ ëþáîãî y X T� � , ìíîæåñòâî A yT� , ( ) ÿâëÿåòñÿ íåïóñòûì, âûïóêëûì è
ñëàáî êîìïàêòíûì â X T� ,
* ;
• A T� , — ïîëóíåïðåðûâíîå ñâåðõó êàê òàêîå, ÷òî äåéñòâóåò èç ïðîèçâîëüíîãî
êîíå÷íîìåðíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà X T�, â X T�,
* , ñíàáæåííîãî ñëàáîé òîïîëîãèåé;
• åñëè y yn � ñëàáî â W T�, , d A yn T n� �, ( ) � �n 1 , d dn � ñëàáî â X T�,
* è
lim ,
,n
n n Xd y y
T�� �
� � �
�
0 , òî d A yT� �, ( ) è lim ,
,n
n n Xd y
T���
� �
�
�d y X T
,
,�
.
Çäåñü
� � � � �, :
, ,
*
,X T TT
X X
� � � � — ñïàðèâàíèå â X XT T� �,
*
,� , ñîâïàäàþ-
ùåå íà L T H X T2 ( , ; ) ,� �� ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì â L T H2 ( , ; )� , ò.å.
� � � �
� � �u L T H X u u t t dtT X
T
T2 ( , ; ), , ( ( ), ( )) ., ,
� � � ��
�
�
Çàìåòèì òàêæå [4, òåîðåìà IV.1.17], ÷òî âëîæåíèå W C T HT� �, ([ , ]; )� — íå-
ïðåðûâíî è ïëîòíî, áîëåå òîãî
� � � �
� ��u W u T T u u t tT
T
V, ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) [ ( ), ( ),� � � � � ��
�
�
� �� ( ), ( ) ] .t u t dtV (4)
Èç îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîäíîé â ñìûñëå �([ , ]; )*� T V è ðàâåíñòâà (2) íåïîñ-
ðåäñòâåííî ñëåäóåò òàêîå óòâåðæäåíèå.
Ëåììà 1. Êàæäîå ñëàáîå ðåøåíèå y ( )� çàäà÷è (1) íà îòðåçêå [ , ]� T ïðèíàäëå-
æèò ïðîñòðàíñòâó C T V([ , ]; ).� Áîëåå òîãî, y W T� � �( ) ,� è
y A y B y fT T T� �� � � �� � �, , ,( ) ( ) . (5)
Íàîáîðîò, åñëè y C T V( ) ([ , ]; ),� � � y W T�� � , , è y óäîâëåòâîðÿåò (5), òî y ÿâ-
ëÿåòñÿ ñëàáûì ðåøåíèåì (1) íà [ , ].� T
Ñëàáîå ðåøåíèå çàäà÷è (1) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè
y a y b( ) , ( )� �� � � (6)
íà îòðåçêå [ , ]� T ñóùåñòâóåò äëÿ ëþáûõ a V� , b H� . Ýòî ñëåäóåò èç [1,
Theorem 11]. Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ ëåììà.
Ëåììà 2. Äëÿ ëþáûõ �� T , a V� , b H� çàäà÷à Êîøè (1), (6) èìååò ñëàáîå ðå-
øåíèå y X T� �, , y X T�� �, . Áîëåå òîãî, êàæäîå ñëàáîå ðåøåíèå y çàäà÷è Êîøè (1),
(6) íà îòðåçêå [ , ]� T ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó C T V([ , ]; ),� åãî ïðîèçâîäíàÿ y� —
ïðîñòðàíñòâó W T� , è y óäîâëåòâîðÿåò (5).
Çàìå÷àíèå 4. Ïîñêîëüêó W C T HT� �, ([ , ]; ),� íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (6) èìåþò
ñìûñë.
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: E V H� � � � �
� ( , )a b ET ,
�� �
�
, ( )
( )
( )
— ( ) [ ,
T
y
y
y T
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
ñëàáîå ðåøåíèå íà1 ],
( ) , ( ) .y a y b� �� � �
�
�
�
!
"
.
Èç ëåììû 2 ñëåäóåò, ÷òî �� � �
� �, ,( ) ([ , ]; ) ([ , ]; ).T TC T V W C T E� � �
Ïðîâåðèì, ÿâëÿåòñÿ ëè òðàíñëÿöèÿ è êîíêàòåíàöèÿ ñëàáûõ ðåøåíèé òàêæå
ñëàáûì ðåøåíèåì.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 113
Ëåììà 3. Åñëè �� T ,
� �E,
� �( ) ( ),� �� T , òî �
( ) ( )� � � � �s
� � ��� �
s T s, ( ) � s . Åñëè �� �t T ,
� �E,
� �( ) ( ),� �� t è �
�( ) ( ( ),� ��t T t , òî
�
�
( )
( ), [ , ],
( ), [ , ]
s
s s t
s s t T
�
�
�
�
�
�
ïðèíàäëåæèò �� �
, ( )T .
Äîêàçàòåëüñòâî ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íîãî óòâåðæäåíèÿ èç [17].
ÄÎÏÎËÍÈÒÅËÜÍÛÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÐÀÇÐÅØÀÞÙÅÃÎ ÎÏÅÐÀÒÎÐÀ
Ëåììà 4. Ñóùåñòâóþò ïîñòîÿííûå c c c c1 2 3 4 0, , ,
òàêèå, ÷òî äëÿ ëþáîãî êî-
íå÷íîãî èíòåðâàëà [ , ]� T è äëÿ êàæäîãî ñëàáîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (1) íà [ , ]� T
ñïðàâåäëèâû îöåíêè: � �t s, t s T, [ , ]� �
| | ( )| | | | ( )| | | | ( )| |y t y t y d
H V V
s
t
� � � � ��
2 2 2� � �
� � � � � �| | ( )| | | | ( )| | ( ) (| | | | ),
*
y s y s c t s f
H V V
2 2
4
2 1 (7)
| | ( )| | | | ( )| | (| | ( )| | | | ( )| | )y t y t c y s y s e
H V H V
� � � � �2 2
1
2 2 � � � �c t s
V
c f2
3
21
( )
( | | | | ).
*
(8)
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåðàâåíñòâî (7) î÷åâèäíî ñëåäóåò èç ëåììû 1 è èç óñëîâèÿ (A2).
Äîêàæåì òåïåðü (8). Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûé êîíå÷íûé âðåìåííîé èí-
òåðâàë [ , ]� T è ïðîèçâîëüíîå ñëàáîå ðåøåíèå y çàäà÷è (1) íà [ , ].� T Çàìåòèì, ÷òî
y C T V� ([ , ]; ),� y W T�� �, . Äëÿ ëþáîãî t T�[ , ]� ïîëîæèì
Y t y t y t y t y t
H V
( ) | | ( )| | | | ( )| | ( ( ), ( )),� � � � �
1
2
1
2
2 2 �
ãäå �
� �
�
�
�
2
5 2
01
1
2c
, �1 0
, òàêîå, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
�1
2 2| | | | | | | | .u u u V
H V
� � � (9)
Ïðîâåðèì íåðàâåíñòâî
dY t
dt
Y t
( )
( )� � �� �1 2 äëÿ ïî÷òè âñåõ t T�( , ),� (10)
ãäå �
� �
� �
1
1
12 2
0�
�
( )
, � � �
�
�2
2 22
1
2
2 0� � � ��
�
�
�
�
�
c f
V
| | | | .
*
Èç óñëîâèé ( ),A1 ( ),A2 çàìå÷àíèÿ 3 è îïðåäåëåíèÿ ñëàáîãî ðåøåíèÿ çàäà-
÷è (1) íà [ , ]� T ïîëó÷èì
dY t
dt
y t y t B y t y t y t yV
( )
( ( ), ( )) ( ), ( ) ( ( ), (� � � � �
� � � � �0 � t)) �
� � � � � � �� � �| | ( )| | | | ( )| | | | ( )| |y t y t y t
H V V
2 2 2 � | | ( )| | | | | | | | ( )| |*y t f y t
H V V� � � �2
� � � � �� � �| | ( )| | ( | | | | ) | | ( )| | | | ( ) | | .*y t c f c y t y tV V V V (11)
Çàìåòèì, ÷òî
c y t y t
c
y t y tV V V V
| | ( )| | | | ( )| | | | ( )| | | | ( )| | ,� � � �
2
2 2
2
1
2
| | ( )| | ( | | | | )
| | ( )| |
( | | | | )
| | (
* *y t c f
y t
c f
y
V V
V
V
� � � � �
2
2
4
t
c fV
V
)| |
| | | | ,
*
2
2 2
4
2 2� �
| | | | | | ( )| |
| | ( )| | | | | |
.*
*
f y t
y t f
V V
V V� �
�
�
�
�
2 2
2 2
114 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
Ïðèìåíÿÿ ðàññìîòðåííûå íåðàâåíñòâà ê ïðàâîé ÷àñòè (11), ñ ïîìîùüþ (9) ïî-
ëó÷èì
dY t
dt
y t y t c f
H V V
( )
( | | ( )| | | | ( )| | ) | | | |
*
� � � � � � �
�
� �
4
22 2 2 2 1
2
2
�
���
�
�
�
�
�. (12)
Îòìåòèì, ÷òî
| ( ( ), ( ))| (| | ( )| | | | ( )| | ) .y t y t y t y t
H V
� � � �
1
2 1
2 2
�
(13)
Ñëåäîâàòåëüíî, èç íåðàâåíñòâ (12), (13) èìååì (10).
Èç (10) è ëåììû Ãðîíóîëëà–Áåëëìàíà ïîëó÷èì, ÷òî
� � � � � � �� ��
�
�
�
s t T Y t Y s e f
t s
V
( ) ( ) ( | | | | ).
( )
*
1 2
1
21
Òàêèì îáðàçîì, â ñèëó (13) èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
� � � � �t T y t y t
H V
[ , ] | | ( )| | | | ( )| |� 2 2
�
�
�
� � � �� �� �
� �
�
�
�1
1
2 2 2
1
1 1( | | ( )| | | | ( )| | ) (
( )
y s y s e
H V
t s
| | | | ) .
*
f
V
2�
�
��
�
�
��
Çàìåòèì, ÷òî � �1
â ñèëó òîãî, ÷òî � � c è 2 2 5 02� �� � � � �� �, â ÷àñòíî-
ñòè äëÿ � �� 1 c. Ïîëîæèâ c1
1
1
0�
�
�
� �
� �
, c2 1� � , c c3
2
1
1 0� �
�
�
, ïîëó÷èì
íåîáõîäèìîå íåðàâåíñòâî.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü �� T , { }un n�1 — ïðîèçâîëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëà-
áûõ ðåøåíèé (1) íà [ , ]� T òàêàÿ, ÷òî u un ( )� �� ñëàáî â V , � � �u un ( )� � ñëàáî â H .
Òîãäà ñóùåñòâóþò { } { }u un k n nk � ��1 1 è ( , ) (( , ) ),u u u uT
T
T� � ��� � � òàêèå, ÷òî
� � � � � � � � ��
� �
� �
� �
( , ) max | | ( ) ( )| | , ,
[ , ]
0 0T u t u t k
t T
n Hk
(14)
u t u tnk
( ) ( )� ñëàáî â V , ðàâíîìåðíî íà [ , ], .� T k � �� (15)
Åñëè äîïîëíèòåëüíî ( ( ), ( )) ( , )u u u un n
T T� � � �� � � â E, n � ��, òî
( ( ), ( )) ( ( ), ( ))u u u un n
T T
k k
� � � � � � � â C T E([ , ]; )� , k � ��.
Äîêàçàòåëüñòâî. Â óñëîâèÿõ òåîðåìû áëàãîäàðÿ ëåììå 1 äëÿ ëþáîãî n � 1
�n n n
Tu u C T E� � �( , ) ([ , ]; ). Áîëåå òîãî, èç ëåìì 2, 4 ïîëó÷èì, ÷òî
� � � �n d A un T n1 � , ( ):
�� � � �u t d t B u t fn n n( ) ( ) ( )0 äëÿ ïî÷òè âñåõ t T�( , );� (16)
� � � � �� �C n u un X n XT T
0 1: | | | | | | | |
, ,
*
� �
� � � � �| | | | | | | | | | | | .([ , ]; ) ([ , ]; )
,
*u d u Cn C T H n X n C T V
T
� �
�
(17)
Îòìåòèì, ÷òî � �n 1 , � �t T[ , ]� u t t un n n( ) ( ) ,,� �� � ãäå �
�
n n
t
t u s ds( ) ( ) ,� ��
( , ) ., , ,u un n
T
n� � �
� � Ïðè ýòîì
� � � � � � � �n t s T t s C t sn n V n1 0 0
1
2, , [ , ] | | ( ) ( )| | | | , ( ) .� � � � (18)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 115
Ñëåäîâàòåëüíî, èç (16) – (18), íåïðåðûâíîñòè âëîæåíèÿ W C T HT� �, ([ , ]; ),�
êîìïàêòíîñòè âëîæåíèÿ W L T HT� �, ( , ; ),� 2 ðåôëåêñèâíîñòè ïðîñòðàíñòâ W T�, ,
X T�, , X T�,
* ïîëó÷èì, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }u dn n kk k
, � �1
� �{ }u dn n n, 1 è äëÿ íåêîòîðûõ u C T V� ([ , ]; ),� u W T�� �, , d X T� � ,
* èìåþò ìåñòî
òàêèå ñõîäèìîñòè:
� �nk
� â C T V([ , ]; ),� u t u tnk
( ) ( )� ñëàáî â V t T� �[ , ],�
� � �u unk
cëàáî â X T� , , �� � � �u unk
ñëàáî â X T�,
* ,
d dnk
� ñëàáî â X T�,
* , � � �u unk
ñëàáî â C T H([ , ]; ),�
� � �u unk
â L T H2 ( , ; ),� � � �u t u tnk
( ) ( ) â H
äëÿ ïî÷òè âñåõ t T k� � ��( , ), ,� (19)
ãäå � �( ) ( ) .� � � �u u Çàâåðøèì äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû â íåñêîëüêî øàãîâ.
Øàã 1. Ïîêàæåì, ÷òî
u f d B uT T� � � � �� �, , ( ). (20)
Äåñòâèòåëüíî, � �k 1, � � � �C T V0 ([ , ]; )
�
� � � �
� �
� � �
� � ��, , ( ),
, , ,,u d Bn X n X T n Xk T k T k T
�
� �
��
�
� �
�
T
n V T XB u t dt f
k T0 , ,, ( ) , .
,
(21)
Äàëåå èç (21), ïåðåéäÿ ê ïðåäåëó ïðè k � ��, ïîëó÷èì
� � �
� � � �
� �� �
� �
C T V u dX XT T0 ([ , ]; ) , ,
, ,
�
� �
� �
��B B u t dt fT X
T
V T XT T�
�
� ��
� �, ,( ), , ( ) , .
, ,0
Òàêèì îáðàçîì, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà èíòåãðàëà Áîõíåðà, � � �
�C T0 ([ , ]),
� �h V
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � �� �u s s ds h h u s s ds
T
H
T
H
� �
( ) ( ) , ( , ( )) ( )
�
� � � � ��
�
��
T
Hf d s B s B u h s ds( ) ( ) , ( )0 0
� � �� [ ( ) ( ) ( )( )] ( ) , ., ,f s d s B u s s ds hT
T
T
V
�
�
�
Îêîí÷àòåëüíî ñîîòíîøåíèå (20) ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîäíîé ýëå-
ìåíòà u � â ñìûñëå �
* *([ , ]; ).� T V
Øàã 2. Èç (19) ñëåäóåò, ÷òî ��{ }� �j j T1 ( , ):
� � � � �j n j jj j u u
k
�0 1� � �� � � � � � � �, , ( ) ( ) â H k, .� �� (22)
Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå � �� �{ }j j 1 è ïîêàæåì, ÷òî
d t A u t( ) ( ( ))� �0 äëÿ ïî÷òè âñåõ t T� �( , ),� � (23)
èñïîëüçóÿ ïñåâäîìîíîòîííîñòü A T� �� , íà W T� �� , .
116 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
Ðàññìîòðèì îãðàíè÷åíèÿ äëÿ unk
( ),� dnk
( ),� u( ),� d( )� íà îòðåçîê [ , ].� �� T
Äëÿ ïðîñòîòû èçëîæåíèÿ îáîçíà÷èì îãðàíè÷åíèÿ òåìè æå ñèìâîëàìè. Èç (19)
ñëåäóåò, ÷òî
� � �u unk
ñëàáî â W d dT nk� �� �, , ñëàáî â X kT� �� � ��,
* , . (24)
Ïîêàæåì, ÷òî
lim , .
,k
n n Xd u u
k k T���
� � �� �
�� �
0 (25)
Äåéñòâèòåëüíî,
� �
� � � � �
�
�k d s u s u s ds
T
n n Vk k
1
� �
( ), ( ) ( )
�
� � � � �
�� � � �
� �
� �
� � � �
T
n V
T
nf u s u s ds u s u s
k k0 , ( ) ( ) ( ), ( ) u s dsn Vk
( )� �
�
� � � � �
�
� �
� �
� �
�
� �
�
T
n n V
T
nB u u s u s ds B u s
k k k0 0, , ( ) ( ) , ( ) � � � �u s dsn Vk
( ) :
: ., , , ,� � � �I I I Ik k k k1 2 3 4 (26)
Èç (24) ñëåäóåò, ÷òî
I kk1 0, , .� � �� (27)
Âñëåäñòâèå (4), (19) è (22) ïîëó÷èì, ÷òî
� � �
�� � � � �
�
�k I u s u s ds u Tk
T
n V n Hk k
1
1
2
2
2
, ( ), ( ) (| | ( )| |
� �
� � �| | ( )| | ),un Hk
� � 2
lim ( ), ( ) (| | ( )| |,
k
k
T
V H
I u s u s ds u T
�� �
�
�
�� � � � � ��2
21
2
� �
| | ( )| | ) .� � �u
H
� � 2 0 (28)
 ñèëó (18), (19) è ñâîéñòâ èíòåãðàëà Áîõíåðà áóäåì èìåòü, ÷òî � �k 1
I B u T T kk n n n Vk k k3 0 0, , , ( ) ( ) ( ) ( ) ,�
� � � � � � � � ��� � � � � � � � � ; (29)
| | ( ), ( ) ( ),I B s u s u s dsk
T
n Vk4 0�
� � � � �
�
�
� �
�
� � � � � � �| | | | | | | | ( ) ,
( ; ) ([ , ]; )*B C T k
V V n C T Vk0
1
22 0
�
� � � �� � ��. (30)
Òàêèì îáðàçîì, ïåðåõîäÿ â (26) ê âåðõíåìó ïðåäåëó ïðè k � ��, â ñèëó
(27)–(30) ïîëó÷èì (25).
Äàëåå áëàãîäàðÿ (16), (24), (25) è ïñåâäîìîíîòîííîñòè A T� �� , íà W T� �� , ïî-
ëó÷èì (23).
Øàã 3. Èç (22), ïðîèçâîëüíîñòè � �� �{ }j j 1, ñîîòíîøåíèÿ (23) è îïðåäåëå-
íèÿ A uT�, ( )� ïîëó÷èì, ÷òî ( , ) (( , ) ).,u u u uT
T
T� � ��� � �
Øàã 4. Èç (19) íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò (15).
Øàã 5. Ïðîâåðèì (14) îò ïðîòèâíîãî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
� 0,
L 0,
�� �{ } { }u uk j n kj k1 1, òîãäà
� � � � � � � � �j u t u t u t u t
T
k H k j jj j
1 max | | ( ) ( )| | | | ( ) ( )| |
[ , ]�
H L� .
Íå òåðÿÿ îáùíîñòè, ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî t t Tj � �0 [ , ],� j � ��. Ñëåäîâàòåëü-
íî, â ñèëó íåïðåðûâíîñòè u T H� �: [ , ]�
lim | | ( ) ( )| | .
j
k j Hu t u t L
j
�� �
� � � �0 (31)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 117
Îäíàêî ïîêàæåì, ÷òî
� � �u t u tk jj
( ) ( )0 â H j, .� �� (32)
Øàã 5.1. Ñíà÷àëà äîêàæåì, ÷òî
� � �u t u tk jj
( ) ( )0 ñëàáî â H j, .� �� (33)
Äëÿ ôèêñèðîâàíîãî h V� èç (19) ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåéñòâèòåëü-
íûõ ôóíêöèé ( ( ), ): [ , ]� � �u h Tnk
� � ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííà è ðàâíîñòåïåííî
íåïðåðûâíà. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (19) è ïëîòíîñòü âëîæåíèÿ V H� , ïîëó-
÷èì, ÷òî � � �u t u tnk
( ) ( ) ñëàáî â H è ðàâíîìåðíî íà [ , ],� T k � ��, îòêóäà ñëå-
äóåò (33).
Øàã 5.2. Äîêàæåì, ÷òî
lim | | ( ) | | | | ( )| | .
j
k j H Hu t u t
j�� �
� � � 0 (34)
Îòìåòèì, ÷òî áëàãîäàðÿ (16) è óñëîâèþ ( )A2 ïîëó÷èì, ÷òî
� �j 1 äëÿ ïî÷òè âñåõ t T�( , )�
d
dt
u t B u t tk H k k V k Vj j j j
(| | ( )| | , ( ) | | ( ) | | ),� �
� �2
0
22 � � � �
� � � � � �
d
dt
u t u t
f
k H k V
V
j j
(| | ( )| | | | ( )| | )
| | | |
: .
*2 2
2
4
�
�
�
Àíàëîãè÷íî äëÿ ïî÷òè âñåõ t T�( , )�
d
dt
u t B u t t
H V V
(| | ( )| | , ( ) | | ( )| | ) .� �
� � �2
0
22 � � � �
Òàêèì îáðàçîì, äåéñòâèòåëüíûå ôóíêöèè { }J T jj : [ , ] ,|� � �� 0
J t u t t B u tj k H k V k kj j j j
( ) | | ( )| | | | ( )| | , ( ),� � � �
�2 2
02� �� V t� � , (35)
J t u t t B u t t t
H V V0
2 2
02( ) | | ( )| | | | ( )| | , ( ) , [� � � �
� � �� � � �� , ],T (36)
ÿâëÿþòñÿ ìîíîòîííî íåâîçðàñòàþùèìè, íåïðåðûâíûìè è áëàãîäàðÿ (19) äëÿ
ïî÷òè âñåõ t T�( , )�
J t J t jj ( ) ( ), .� � ��0 (37)
Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå �1 0
. Èç (37) è íåïðåðûâíîñòè J0 ñëåäóåò, ÷òî
� � � ��t t J t J t jj( , ): ( ) ( ), ,� 0 0 è | ( ) ( ) | .J t J t0 0 0 1� � �
Òîãäà äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ j � 1
J t J t J t J t J t J t J t Jj j j j( ) ( ) ( ) ( ) | ( ) ( )| | ( )� � � � � � �0 0 0 0 0 0 0 ( )| .t � �1
Èç ïðîèçâîëüíîñòè �1 0
áóäåì èìåòü lim ( ) ( ).
j
j jJ t J t
���
� 0 0 Ñëåäîâàòåëüíî,
ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (19), ïîëó÷èì (34).
Øàã 5.3. Ñõîäèìîñòü (32) íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç (33), (34) è èç [4].
Øàã 5.4. Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà (14) îòìåòèì, ÷òî (32) âñòóïàåò â
ïðîòèâîðå÷èå ñ (31). Ñëåäîâàòåëüíî, èñòèííîñòü (14) ïðîâåðåíà.
Øàã 6. Äîïîëíèòåëüíî ïðåäïîëîæèì, ÷òî
( ( ), ( )) ( , )u u u un n
T T� � � �� � � â E k, .� �� (38)
118 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
Øàã 6.1. Èç (38) è (19) íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî
u unk
� â C T V k([ , ], ), .� � �� (39)
Øàã 6.2. Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà îñòàëîñü ïðîâåðèòü, ÷òî
� � �u unk
â C T H([ , ]; ).� (40)
Ïðîâåðèì (40) îò ïðîòèâíîãî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
L1 0, �� �{ } { }u uk j n kj k1 1
� � � � � � � � � �j u u u t u t Lk C T H k j j Hj j
1 1| | | | | | ( ) ( )| | .([ , ]; )� (41)
Ïîâòîðÿÿ ðàññìîòðåííûå âûøå ðàññóæäåíèÿ èç øàãà 5 äîêàçàòåëüñòâà, ïðèíè-
ìàÿ âî âíèìàíèå (14), íå òåðÿÿ îáùíîñòè, ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî
t u t uj k jj
� � � �� �, ( ) ( ) ñëàáî â H j u t u L
j
k j Hj
, ; lim | | ( ) ( ) | |� �� � � � �
�� �
� 1. (42)
Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìîíîòîííî íåâîçðàñòàþùèõ íåïðåðûâíûõ
ôóíêöèé { }J j j�0 , îïðåäåëåííûõ â (35), (36). Ïîñêîëüêó � �j 1 J tj j( ) �
� � �J J Jj0 0( ) ( ) ( ),� � � â ñèëó (19) ïîëó÷èì, ÷òî lim ( ) ( )
j
j jJ t J
���
� 0 � è, ñëåäîâà-
òåëüíî, lim | | ( )| | | | ( )| | ,
j
k j H Hu t u
j�� �
� � � � ÷òî âìåñòå ñ (42) âñòóïàåò â ïðîòèâîðå÷èå
ñ (41). Òåîðåìà äîêàçàíà.
ÑÓÙÅÑÒÂÎÂÀÍÈÅ ÃËÎÁÀËÜÍÎÃÎ ÀÒÒÐÀÊÒÎÐÀ
Ðàññìîòðèì êîíñòðóêöèè, ïðèâåäåííûå â [8]. Îáîçíà÷èì P E( ) (�( )E ) ñîâîêóï-
íîñòü âñåõ íåïóñòûõ (íåïóñòûõ îãðàíè÷åííûõ) ïîäìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà E.
Îòìåòèì, ÷òî ì-ïîëóïîòîêîì íàçûâàåòñÿ ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
G E P E: ( )�� � , äëÿ êîòîðîãî G I d( , )0 � � (òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå);
G t s x G t G s x( , ) ( , ( , ))� � � � � �x E t s, , � ; ì-ïîëóïîòîê ñòðîãèé, åñëè G t s x( , )� �
�G t G s x( , ( , )) � � � �x E t s, , � .
Èç ëåìì 2, 4 ñëåäóåò, ÷òî ëþáîå ñëàáîå ðåøåíèå ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíî äî
ãëîáàëüíîãî, îïðåäåëåííîãî íà [ , )0 �� . Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî �0 � �( , )a b ET
ïóñòü �( )�0 ñîñòîèò èç ïàð ôóíêöèé ( ( ), ( ))u u T� � � , îïðåäåëåííûõ íà [ , )0 �� , ãäå
u( )� — ëþáîå ñëàáîå ðåøåíèå (îïðåäåëåííîå íà [ , )0 �� ) çàäà÷è (1) ñ íà÷àëüíûìè
äàííûìè u a( )0 � , u b� �( )0 .
Îïðåäåëèì ì-ïîëóïîòîê G òàê: G t t( , ) ( ) ( ) ( ) .|� � � �0 0� � �{ }�
Ëåììà 5. Ì-ïîëóïîòîê G ÿâëÿåòñÿ ñòðîãèì ì-ïîëóïîòîêîì.
Äîêàçàòåëüñòâî ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íîãî óòâåðäæäåíèÿ èç [17].
Íàïîìíèì, ÷òî ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ ãëîáàëüíûì àòòðàêòîðîì G, åñëè
• A — îòðèöàòåëüíî ïîëóèíâàðèàíòíîå (ò.å. A A� G t( , ) � �t 0);
• A — ïðèòÿãèâàþùåå ìíîæåñòâî, ò.å.
dist A( ( , ), ) , ( ),G t B t B E� � �� � �0 � (43)
ãäå dist sup inf( , ) | | | |C D c d
c C d D
E� �
� �
— ïîëóìåòðèêà Õàóñäîðôà;
• äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà Y H� , óäîâëåòâîðÿþùåãî (43), ñëåäó-
åò, ÷òî A � Y (ìèíèìàëüíîñòü).
Ãëîáàëüíûé àòòðàêòîð íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòíûì, åñëè A A�G t( , ) � �t 0.
Äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå èíâàðèàíòíîãî êîìïàêòíîãî ãëîáàëüíîãî
àòòðàêòîðà.
Òåîðåìà 2. Ì-ïîëóïîòîê G îáëàäàåò èíâàðèàíòíûì êîìïàêòíûì â ôàçîâîì
ïðîñòðàíñòâå E ãëîáàëüíûì àòòðàêòîðîì A.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 119
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ëåììû 4 ñëåäóåò, ÷òî
R, , :� � 0
� � � � � � � � ��� � � � � � �
0 0
2
0
2
2
0E t t e
R
E E
t, ( ) ( ), | | ( )| | | | | |
~
�
2
. (44)
Òàêèì îáðàçîì, øàð B u E u RE0 � � �{ }| | | | | ÿâëÿåòñÿ àáñîðáèðóþùèì ìíî-
æåñòâîì, ò.å. � �B E�( )
T B( ) 0 : � �t T B( ) G t B B( , ) � 0 .  ÷àñòíîñòè, èç (44)
ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî � t
G t B
�0
( , ) — îãðàíè÷åíî â E � �B E�( ). Îòìåòèì òàê-
æå, ÷òî èç òåîðåìû 1 ñëåäóåò, ÷òî îòîáðàæåíèå G t E E( , ): ( )� � � ïðèíèìàåò
êîìïàêòíûå çíà÷åíèÿ.
Ïîëóíåïðåðûâíîñòü ñâåðõó îòîáðàæåíèÿ u G t u0 0� ( , ) â [10, Definition 1.4.1]
ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî äàííîå îòîáðàæåíèå ïðèíèìàåò êîìïàêòíûå çíà÷åíèÿ è èç [17,
òåîðåìa 1]. Ïðîâåðèì òåïåðü àññèìïòîòè÷åñêóþ ïîëóêîìïàêòîñòü ñâåðõó ì-ïîëóïî-
òîêà G [8, Definition 4]. Ïóñòü � �n n nG t� ( , ), � �n B E� � ( ), n � 1, tn � ��,
n � ��. Ïðîâåðèì ïðåäêîìïàêòíîñòü { }�n n�1 â E. Äëÿ ýòîãî áåç ïîòåðè îáùíîñòè
äîñòàòî÷íî âûäåëèòü èç { }�n n�1 ñõîäÿùóþñÿ â E ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
Èç ëåììû 4 è òåîðåìû 1 ïîëó÷èì, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå { }�n kk �1 è ��E,
÷òî
� �nk
� ñëàáî â E a kn E Ek
, | | | | | | | | , .� �� � � �� (45)
Ïîêàæåì, ÷òî
a E� | | | | .� (46)
Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå T0 1
� , ãäå �1 0
— ïîñòîÿííàÿ èç (9). Òîãäà
äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ k � 1 G t G T G t T G T Bn n n nk k k k
( , ) ( , ( , )) ( , )� �� � �0 0 0 0 .
Ñëåäîâàòåëüíî, � �n nk k
G T� ( , )
0
, ãäå � �n n nk k k
G t T� �( , )0 è | | | |� k Ej
R� � �j 1.
Èç ëåììû 4, òåîðåìû 1 è (45) äëÿ íåêîòîðûõ { } { }� � � �k k j n n kj j k k
, ,� ��1 1,
�T E
0
� , ïîëó÷èì � �j 1
� � � �� �G T T k Tj
( , ),0 0 0
ñëàáî â E j, .� �� (47)
Èç îïðåäåëåíèÿ G ïîëó÷èì, ÷òî � �j 1
� �k
j
j
k
j
j
j j
y T
y T
y
y
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
( )
( )
,
( )
( )
,
0
0
0
0
� ��
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
y T
y T
y
y
T
0 0
0 0
0
0
0
0
0
( )
( )
,
( )
( )
,
ãäå y C T Vj � ([ , ]; )0 0 : � �y Wj T0 0, ,
��� � � � � �y d B y d A y f jj j T j j T j T0 0 00 0 0
0 0, , ,, ( ) , . (48)
Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå � ��( , )0 1 . Èç (44) áóäåì èìåòü
� � � � � � � � �j t T y t y t R
j H j V
0 0 1 20
2 2 2, [ , ] | | ( )| | | | ( )| | ( / ) :� R 2 . (49)
Èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 1 ïîëó÷èì, ÷òî
� � �� � � � �C y y d C jj X j X j XT T T
0
0 0 0 0 0 0
: | | | | | | | | | | | |
, ,
*
,
* 0;
� � �y yj 0 â C T H([ , ]; );� 0
� � �y yj 0 ñëàáî â W T0 0, ;
� � �y yj 0 â L T H2 00( , ; );
d dj � 0 ñëàáî â X T0 0,
* ; � �j � 0 â C T V j([ , ]; ),0 0 � ��, (50)
ãäå � � � � � �j t T t y t yj j j0 0 00, [ , ] ( ) ( ) ( ).�
120 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå:
Y t y t y t y t y tj j V j H j j( ) [| | ( )| | | | ( )| | ] ( ( ), ( ))� � � � �
1
2
2 2 � , [ , ], .t T j� �0 00
Òîãäà � �j 0 è äëÿ ïî÷òè âñåõ t T�( , )0 0
dY t
dt
Y t y t d t y t
j
j j H j j V
( )
( ) | | ( )| | ( ), ( )� � � � �
� � �2 2 2� �
�
� � �� �d t y t y t y tj j V j j( ), ( ) ( ( ), ( ))2 2 .
Ñëåäîâàòåëüíî,
d
dt
Y t e y t e d t y t ej
t
j H
t
j j V[ ( ) ] | | ( )| | ( ), ( )2 2 22� ��� � �
� � 2�t �
�
� � �� ��� �d t y t e y t y t ej j V
t
j j
t( ), ( ) ( ( ), ( ))2 2 2 .
Òàêèì îáðàçîì, � �j 0
Y T Y e y t e dtj j
T
T
j H
T t
( ) ( ) | | ( )| |
( )
0
2
0
2 2
0 20
0
0� � � �� � �
�
� ��
�
� � �
� �
� �
0
2
0
0
0
0T
j j V
T t
T
j jd t y t e dt d t y t( ), ( ) ( ), ( )
( )� � � �� �
V
T t
e dt
2 0�( )
� ��
� �
2 2
0
2
0
0� �
T
j j
T t
y t y t e dt( ( ), ( )) .
( )
(51)
Èç (50) äëÿ âñåõ j � 1 è ïî÷òè âñåõ t T�( , )0 0 ïîëó÷èì
2 2
0
2 2
0
0
2
0
0
0
� ��
| | ( )| | | | ( )| |
( )
T
j H
T t
T
H
y t e dt y t e� �� � �� � � � � ��2 0�( )
, .
T t
dt j (52)
 ñèëó (48) � �j 0 è ïî÷òè âñåõ t T�( , )0 0
� � � � � � �d t y t
d
dt
y t y tj j V j V j H
( ), ( ) [| | ( )| | | | ( )| | ]
1
2
2 2
� � �
� � �
1
2
2 02
0
2d
dt
t B y t y tj V j j V j H
[ | | ( ) | | ( ), ( ) | | ( )| |� � ].
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (50), áóäåì èìåòü
lim ( ), ( ) ( ), ( )
j
T
j j V
T
Vd t y t dt d t y t dt
�� �
� � �
� �� �
� �
0 0
0 0 .
Äàëåå, ñëåäóÿ [18, c. 7–10], èç (50) ïîëó÷èì, ÷òî
lim | ( ), ( ) ( ) | ,
j
T
j j Vd t y t y t dt
�� � �
� � � � �
�
0
0 0
�
�
�
T T
d t y t e dt d t y tj j V
T t
0
0
0
2
0 0� �
� � �
� �� �
( ), ( ) ( ), ( )
( )
V
T t
e dt j
� � � ��2 0�( )
, . (53)
Èç óñëîâèÿ (A1) è (49) èìååì
� �
� � � ��
� � � �
j d t y t e dt c R Rej j V
T t T
0 1
0
2 20 0
�
� �
( ), ( ) ( )
( ) ( � �)
. (54)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 121
Èç óñëîâèÿ (A3) âûòåêàåò, ÷òî
� � � � � � � � �j z L T Z d A y zj j j j0 02 0 1( , ; ): ( ) ( ) ( ).*
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå óñëîâèå ( A3), (52) è [2], ïîëó÷èì, ÷òî y yj � 0
â L T Z2 00( , ; ), z zj � 0 ñëàáî â L T Z2 00( , ; )* , j � ��. Ñëåäîâàòåëüíî,
� �
�� �
� �
0
2
0
0 0
0
0
0T
j j Z
T t
T
Zz t y t e dt z t y t e( ), ( ) ( ), ( )
( )� � � � ��2 0�( )
, ,
T t
dt j
�
� � � �� �
� � � �
0
1
2 2
0
0
0 0
0T
j j V
T t T t
T
A y t y t e dt e( ), ( )
( ) ( )� � d
dt
A y t y t dtj j V
� �1 ( ), ( )
� �
� �
� ��
A y T y T A y y ej j V j j V
T
1 0 0 1
2
0 0 0( ), ( ) ( ), ( )
�
�
� ��
� �
2
0
1
2
1
0
0� �
T
j j V
T t
L V V
A y t y t e dt A( ), ( ) | | | | (
( )
( ; )* R e R
T2 2 20� ��
).
Òàêèì îáðàçîì,
lim ( ), ( )
( )
j
T
j j V
T t
d t y t e dt
�� �
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��� �
0
2
0
0
� �
� ��
� �� �
0
0 0
2
1
2
0
0
T
V
T t
L V V
d t y t e dt A R( ), ( ) | | | | (
( )
( ; )* e R
T� �2 20 2
� �) . (55)
 ñèëó (13), (49) èìååì 2
2
2
0
2
1
2
0
0�
�
�
�
T
j j
T t
y t y t e dt R� � �� �
( ( ), ( ))
( )
. Îêîí-
÷àòåëüíî èç (13), (51)–(55) ïîëó÷èì
lim ( )
j
j
T
Y T R e
���
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�0
2
1
2
1 0
�
�
�
� � � � �� �
Y T A R e R c R Re
L V V
T
0 0 1
2 2 2 20 2 2 1( ) | | | | ( ) ( )
( ; )
(
*
� �� T
R0
1
2� �� ��
�
�
)
.
Òàêèì îáðàçîì, � �� �( , )0 1 , �
T0 1�
1
2
1 1
1
2
12
1
2
1
2 20a R e
T
E
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
���
�
�
�
��
| | | | �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�1
� � � �� � �
| | | | ( ) ( )
( ; )
( )
*A R e R c R Re
L V V
T T
1
2 2 2 20 02 2 1
� � �� ��
�
�1
2�R .
Óñòðåìèâ â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå T0 � ��, ïîëó÷èì � �� �( , )0 1
a A
E L V V
2
1
2
1
11 1 4�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
| | | | | | | |
( ; * )
.R R2
1
22
��
�
�
� (56)
Ïåðåõîäÿ ê ãðàíèöå (ïðè � � �0 ) â íåðàâåíñòâå (56), ïîëó÷èì (46). Èç
(45), (46) ñëåäóåò, ÷òî � �nk
� â E, k � ��.
Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâîâàíèå ãëîáàëüíîãî àòòðàêòîðà ñ òðåáóåìûìè ñâîé-
ñòâàìè íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç [8, Theorem 3, Remark 8].
122 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
ÑÓÙÅÑÒÂÎÂÀÍÈÅ ÒÐÀÅÊÒÎÐÍÎÃÎ ÀÒÒÐÀÊÒÎÐÀ
Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî K� �
�� y E
y
0 0
�( ) âñåõ ñëàáûõ ðåøåíèé âêëþ÷å-
íèÿ (1), îïðåäåëåííûõ íà [ , )0 �� . Çàìåòèì, ÷òî K� ÿâëÿåòñÿ òðàíñëÿöèîííî
èíâàðèàíòíûì, ò.å. � � � �u( ) K , � �h 0 uh ( )� � �K , ãäå u s u h sh ( ) ( )� � , s � 0.
Íà K� çàäàäèì ïîëóãðóïïó òðàíñëÿöèé { }T h h( ) �0 , T h u uh( ) ( ) ( )� � � , h � 0,
u� �K .  ñèëó òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè K� çàêëþ÷àåì, ÷òî
T h( )K K� �� ïðè h � 0.
Ïîñòðîèì àòòðàêòîð òðàíñëÿöèîííîé ïîëóãðóïïû { }T h h( ) �0 , äåéñòâóþùåé
íà K� , íà êîòîðîì áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîïîëîãèþ, èíäóöèðîâàííóþ èç ïðî-
ñòðàíñòâà Ôðåøå C Eloc ( ; )�� . Îòìåòèì, ÷òî
f fn ( ) ( )� � � â C E Mloc ( ; )�� # �
0 ,
$ $M n Mf f( ) ( )� � � â C M E([ , ]; ),0
ãäå $ M — îïåðàòîð îãðàíè÷åíèÿ íà îòðåçîê [ , ]0 M [7]. Îáîçíà÷èì $� îïåðà-
òîð îãðàíè÷åíèÿ íà [ , )0 �� .
Îòìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâî % � &� � �C E L Eloc ( ; ) ( ; )� � íàçûâàåòñÿ ïðèòÿãè-
âàþùèì äëÿ ïðîñòðàíñòâà òðàåêòîðèé K� âêëþ÷åíèÿ (1) â òîïîëîãèè
C Eloc ( ; )�� , åñëè äëÿ ëþáîãî îãðàíè÷åííîãî â L E� �( ; )� ìíîæåñòâà � � �K è
ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà M � 0 âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå
distC M E M MT t t([ , ]; ) ( ( ) , ) , .0 0$ $ %� � � �� (57)
Ìíîæåñòâî � � �K íàçûâàåòñÿ òðàåêòîðíûì àòòðàêòîðîì â ïðîñòðàíñòâå
òðàåêòîðèé K� îòíîñèòåëüíî òîïîëîãèè C Eloc ( ; )�� [7, îïðåäåëåíèå 1.2], åñëè
� — êîìïàêòíîå â C Eloc ( ; )�� è îãðàíè÷åííîå â L E� �( ; )� ; � — ñòðîãî èíâà-
ðèàíòíî îòíîñèòåëüíî { }T h h( ) �0 , ò.å. T h( ) � �� � �h 0; � — ïðèòÿãèâàþùåå
ìíîæåñòâî äëÿ ïðîñòðàíñòâà òðàåêòîðèé K� â òîïîëîãèè C Eloc ( ; )�� .
Ðàññìîòðèì âêëþ÷åíèå (1) íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé. Ïî àíàëîãèè ñ ïðî-
ñòðàíñòâîì C Eloc ( ; )�� ïðîñòðàíñòâî C Eloc ( ; )� ñíàáæàåòñÿ òîïîëîãèåé ëîêàëü-
íîé ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè íà êàæäîì îòðåçêå [ , ]� �M M � [7]. Ôóíêöèÿ
u C E L Eloc� & �( ; ) ( ; )� � íàçûâàåòñÿ ïîëíîé òðàåêòîðèåé âêëþ÷åíèÿ (1), åñëè
� �h � $� �� �uh ( ) K [7]. Ïóñòü K — ñîâîêóïíîñòü âñåõ ïîëíûõ òðàåêòîðèé
âêëþ÷åíèÿ (1). Îòìåòèì, ÷òî
� � � � � � �h u uh�, ( ) ( ) .K K (58)
Ñóùåñòâîâàíèå òðàåêòîðíîãî àòòðàêòîðà è åãî ñòðóêòóðíûå ñâîéñòâà ñëåäó-
þò èç òåîðåìû.
Òåîðåìà 3. Ïóñòü A — ãëîáàëüíûé àòòðàêòîð èç òåîðåìû 2. Òîãäà â ïðî-
ñòðàíñòâå K� ñóùåñòâóåò òðàåêòîðíûé àòòðàêòîð % � �K . Ïðè ýòîì èìååò ìåñòî
ôîðìóëà
% $ $� � � � � �� �K { K A }.y y t t| ( ) � (59)
Äîêàçàòåëüñòâî ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî ñîîòâåòñòâóþùåãî óòâåðæäåíèÿ
[17] è îïèðàåòñÿ íà ðåçóëüòàòû òåîðåì 1, 2.
ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ
Ðàññìîòðèì õåìèâàðèàöèîííîå íåðàâåíñòâî ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ìíîãîçíà÷-
íûì çàêîíîì òèïà «ðåàêöèè-ñêîðîñòè» [1]. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî íàøè ðåçóëüòàòû îò-
íîñèòåëüíî ìíîãîçíà÷íîé äèíàìèêè ïåðåìåùåíèé è ñêîðîñòåé ïðèìåíèìû ê õåìè-
âàðèàöèîííûì íåðàâåíñòâàì ñ ìíîãîìåðíûìè ñóïåðïîòåíöèàëüíûìè çàêîíàìè [1].
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 123
Ðàññìîòðèì ëèíåéíîå âÿçêîóïðóãîå òåëî, çàíèìàþùåå â íåäåôîðìèðîâàí-
íîì ñîñòîÿíèè îãðàíè÷åííóþ îáëàñòü ' â �
N (N � 2 3, ), íàõîäÿùååñÿ ïîä âëèÿ-
íèåì îáúåìíûõ è ïîâåðõíîñòíûõ ñèë, ñîïðèêàñàþùååñÿ ñ îñíîâîé íà ÷àñòè (C
ãðàíèöû )'. Ãðàíèöà )' ìíîæåñòâà ' ïðåäïîëàãàåòñÿ ðåãóëÿðíîé, à êîîðäèíàòû
òî÷åê x �' áåðóòñÿ â íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òåëî îáëàäàåò êðàòêîâðåìåííîé ïàìÿòüþ [19], ò.å. ñîñòîÿíèå
íàïðÿæåíèé â ìîìåíò âðåìåíè t çàâèñèò òîëüêî îò äåôîðìàöèé â ìîìåíò âðåìå-
íè t è áëèæàéøèå ïðåäûäóùèå ìîìåíòû âðåìåíè.  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ñî-
ñòîÿíèÿ èìååò âèä
� � �ij ijhk kh ijhk khu b u a
t
u i j N( ) ( ) ( ), , , , ,� �
)
)
�1 � (60)
ãäå u N: ( , )'� �� �0 � — ïîëå ïåðåìåùåíèé, � �� ( )u — òåíçîð íàïðÿæåíèé,
� �� ( )u — òåíçîð äåôîðìàöèè, �hk k h h ku u u( ) ( )., ,� �
1
2
Êîýôèöèåíòû âÿçêîñòè
aijhk è êîýôèöèåíòû óïðóãîñòè bijhk óäîâëåòâîðÿþò èçâåñòíûì óñëîâèÿì ñèì-
ìåòðè÷íîñòè è ýëëèïòè÷íîñòè. Äèíàìè÷åñêîå ïîâåäåíèå òåëà îïèñûâàåòñÿ
ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ
� ij j i iu f
t
u, ( ) � �
)
)
2
2
â '� ��( , ),0 (61)
ãäå f f Li i
N N� ��{ }
1 2 ( ; )' � — ïëîòíîñòü îáúåìíîé ñèëû.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãðàíèöà )' ðàçáèòà íà òðè ÷àñòè (D , (N è (C . Òî÷íåå,
ïóñòü (D , (N è (C ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ è ) � * *' ( ( (D N C . Áóäåì ñ÷è-
òàòü, ÷òî ( 'C � ) — îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî ïîëîæèòåëüíîé ïîâåðõíîñòíîé
ìåðû [20]. Ïóñòü íà (D çàäàíû ïåðåìåùåíèÿ
ui � 0 íà (D � ��( , ),0 (62)
à íà (N — ïîâåðõíîñòíûå ñèëû
S n F F F xi ij j i i i� � �� ( ( )) íà (N � ��( , ),0 (63)
ãäå F F Li i
N
N
N� ��{ }
1 2 ( ; )( � — âåêòîð ïîâåðõíîñòíîé ñèëû, S S i i
N� �{ }
1
îáî-
çíà÷àåò âåêòîð íàïðÿæåíèé íà (N , à n ni i
N� �{ }
1
— åäèíè÷íûé âåêòîð âíåø-
íåé íîðìàëè ê )'.
Íà (C çàäàäèì íåìîíîòîííûå ìíîãîçíà÷íûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ òèïà «ðåàê-
öèè–ñêîðîñòè» [21–23, 1 è ññûëêè ê íèì]
� �)
)
)
�
�
�
�
�
�S j x
u
t
, íà (C � ��( , ),0 (64)
ãäå j C
N:( � �� � óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:
• j( , )� � — èçìåðèìà äëÿ âñåõ ���
N è j L C( , ) ( )� �0 1 ( ;
• j x( , )� — ëîêàëüíî ëèïøèöåâà äëÿ âñåõ x C�( ;
•
c 0: | | | | ( | | | | )� �
� �
N Nc� �1 � �x C( , � �� �
N , � �)� �j x( , ), ãäå äëÿ
x C�( ) � � � � �j x j xN N
N( , ) ( , ) ( , ; )|� � � � � � �{ }� �
�
0 — îáîáùåííûé ãðàäè-
åíò ôóíêöèîíàëà j x( , )� â òî÷êå ��N , j x
j x t j x
tt
0
0
( , ; ) lim
( , ) ( , )
,
� �
�
�
�
� �
� �
—
îáîáùåííàÿ âåðõíÿÿ ïðîèçâîäíàÿ j x( , )� â òî÷êå ���
N ïî íàïðàâëåíèþ � ��
N .
Îòìåòèì, ÷òî âñå íåâûïóêëûå ñóïåðïîòåíöèàëüíûå ãðàôèêè èç [23, Chapter 4.6],
124 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
â ÷àñòíîñòè ôóíêöèîíàëû j, îïðåäåëåííûå êàê ìèíèìóìû èëè ìàêñèìóìû êâàä-
ðàòè÷íûõ âûïóêëûõ ôóíêöèîíàëîâ, óäîâëåòâîðÿþò ðàññìîòðåííûì âûøå óñëî-
âèÿì íà (C .
Äëÿ âàðèàöèîííîé ïîñòàíîâêè çàäà÷è (60)–(64) âûáåðåì [1]: H L N� 2 ( ; )' � ,
Z H N� � ( ; )' ,V H N
i� � �{� �1 0( ; ):' � íà (D }, ãäå ���
�
�
�
�
�
1
2
1; . Ïóñòü � �u V, �
� � �� �f f dx F d xV i i i i
N
0 , ( ) ;� � � �
' (
a u a u dx b u b uijhk ij ij ijhk ij( , ) ( ) ( ) , ( , ) ( )� � � � � � �� �� �
' '
ij dx( ) ;�
�: ( ; )Z L N� )2 ' � — îïåðàòîð ñëåäà; � * *: ( ; )L ZN
2 ) �' � — ñîïðÿæåííûé
îïåðàòîð;
� � �* ( ) ( ) ( ) ( ), , ( ; ).u z u x z x d x z Z u L N� � � )
)
�
'
'2 �
Ðàññìîòðèì ëîêàëüíî ëèïøèöåâûé ôóíêöèîíàë J L C
n: ( ; )2 ( � �� ,
J z j x z x d x z L
C
C
n( ) ( , ( )) ( ), ( ; )� ��
(
(� 2 � .
Òîãäà ôóíêöèè âçàèìîäåéñòâèÿ A1, A2 è B0 îïðåäåëÿþòñÿ èç ñîîòíîøåíèé
� �
� �
� �u V A u a u B u b uV V, , ( , ), , ( , ),� � � � �1 0
� � � )z Z A z J z2 ( ) ( ( )).*� �
Èç [1] ñëåäóåò, ÷òî óñëîâèÿ (H1), (A1) – (A3), (B1), (B2) áóäóò èìåòü ìåñòî,
åñëè äîïîëíèòåëüíî
� � � � � �) �x j xC
n( , , ( , ) ( , ) .� � � � �� 0
Ïîä îáîáùåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è (60)–(64) ïîíèìàåì ñëàáîå ðåøåíèå
(â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1) ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è (1). Ýòî îïðåäåëåíèå ñîãëàñó-
åòñÿ ñ îïðåäåëåíèåì 3 èç [1].
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âñåõ îáîáùåííûõ ðåøåíèé çàäà÷è (60)–(64) âûïîëíÿþò-
ñÿ âñå îïèñàííûå âûøå óòâåðæäåíèÿ.  ÷àñòíîñòè, âñå ïåðåìåùåíèÿ è ñêîðîñòè
«ïðèòÿãèâàþòñÿ» ïðè t � �� êî âñåì ïîëíûì (îïðåäåëåííûì íà âñåé ÷èñëîâîé
ïðÿìîé) ãëîáàëüíî îãðàíè÷åííûì òðàåêòîðèÿì ñîîòâåñòâóþùåé «îáîáùåííîé»
çàäà÷è (1), êîòîðûå ïðèíàäëåæàò êîìïàêòíûì ìíîæåñòâàì â ñîîòâåòñòâóþùèõ
ôàçîâûõ è ðàñøèðåííûõ ôàçîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. M i g � r s k i S . Boundary hemivariational inequalities of hyperbolic type and applications // J. of
Global Optimization. — 2005. — 31, N 3. — P. 505–533.
2. Ç ã ó ð î â ñ ê è é Ì . Ç . , Ê à ñ ü ÿ í î â Ï . Î . , Ì å ë ü í è ê Â . Ñ . Äèôôåðåíöèàëüíî-îïåðà-
òîðíûå âêëþ÷åíèÿ è âàðèàöèîííûå íåðàâåíñòâà â áåñêîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ. — Ê.:
Íàóê. äóìêà, 2008. — 464 ñ.
3. B a l l J . M . Continuity properties and global attractors of generalized semiflows and the
Navier–Stokes equations // J. of Nonlinear Sciences. — 1997. — 7, N 5. — P. 475–502.
4. Ã à å â ñ ê è é Õ . , Ã ð å ã å ð Ê . , Ç à õ à ð è à ñ Ê . Íåëèíåéíûå îïåðàòîðíûå óðàâíåíèÿ è îïå-
ðàòîðíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. — Ì.: Ìèð, 1978. — 337 ñ.
5. Ë è î í ñ Æ . - Ë . Íåêîòîðûå ìåòîäû ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ êðàåâûõ çàäà÷. — Ì.: Ìèð, 1972. — 587 ñ.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 125
6. Ë à ä û æ å í ñ ê à ÿ Î . À . Ìàòåìàòè÷åñêèå âîïðîñû äèíàìèêè âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñ-
òè. — Ì.: Ôèçìàòãèç, 1961. — 288 ñ.
7. Â è ø è ê Ì . È . , × å ï û æ î â Â . Â . Òðàåêòîðíûé è ãëîáàëüíûé àòòðàêòîðû 3D ñèñòåìû
Íàâüå–Ñòîêñà // Ìàòåìàòè÷åñêèå çàìåòêè. — 2002. — 71, ¹ 2. — C. 194–213.
8. M e l n i k V . S . , V a l e r o J . On attractors of multivalued semi-flows and differential inclusions //
Set-Valued Analysis. — 1998. — 6, N 1. — P. 83–111.
9. V a l e r o J . , K a p u s t y a n A . V . On the connectedness and asymptotic behaviour of solutions of
reaction-diffusion systems // J. of Mathematical Analysis and Applications. — 2006. — 323, N 1. —
P. 614–633.
10. A u b i n J . P . , F r a n k o w s k a H . Set-valued analysis. — Boston: Birkh��auser, 1990. — 461 p.
11. A u b i n J . P . , S e l l i n a A . Set-valued analysis and viability theory. — Berlin: Springer, 1984.
— 348 p.
12. S e l l G . R . , Y o u Y u . Dynamics of evolutionary equations. — New York: Springer, 2002. —
672 p.
13. Ä ó á è í ñ ê è é Þ . À . Íåëèíåéíûå ïàðàáîëè÷åñêèå óðàâíåíèÿ âûñîêîãî ïîðÿäêà // Èòîãè íà-
óêè è òåõíèêè. Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû ìàòåìàòèêè. Íîâ. äîñòèæ. — 1990. — 37. —
C. 89–166.
14. C h e p y z h o v V . V . , V i s h i k M . I . Trajectory attractor for reaction-diffusion system with
diffusion coefficient vanishing in time // Discrete and Continuous Dynamical Systems. — 2010. —
27, N 4. — P. 1498–1509.
15. × ó å ø î â È . Ä . Ãëîáàëüíûå àòòðàêòîðû â íåëèíåéíûõ çàäà÷àõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè //
ÓÌÍ. — 1993. — 48, ¹ 3(291). — Ñ. 135–62.
16. K a s y a n o v P . O . , M e l ’ n i k V . S . , T o s c a n o S . Solutions of Cauchy and periodic
problems for evolution inclusions with multi-valued w�0
-pseudomonotone maps // J. of Differential
Equations. — 2010. — 249, N 6. — P. 1258–1287.
17. Ê à ñ ü ÿ í î â Ï . Î . Ìíîãîçíà÷íàÿ äèíàìèêà ðåøåíèé àâòîíîìíîãî äèôôåðåíöèàëüíî-îïåðà-
òîðíîãî âêëþ÷åíèÿ ñ ïñåâäîìîíîòîííîé íåëèíåéíîñòüþ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç.
— 2011. — ¹ 5. — Ñ. 150–162.
18. K u t t l e r K . Non-degenerate implicit evolution inclusions // EJDE. 2000. — 2000, N 4. —
P. 1–20.
19. D u v a u t G . , L i o n s J . L . Les Inequations en Mecanique et en Physique. — Paris: Dunod,
1972. — 338 p.
20. P a n a g i o t o p o u l o s P . D . Inequality problems in mechanics and applications. Convex and
nonconvex energy functions. — Basel: Birkhauser, 1985. — P. 412.
21. G o e l e v e n D . , M i e t t i n e n M . , P a n a g i o t o p o u l o s P . D . Dynamic hemivariational
inequalities and their applications // J. Optimiz. Theory and Appl. — 1999. — 103, ¹ 3. — P. 567–601.
22. P a n a g i o t o p o u l o s P . D . Hemivariational inequalities and Fan-variational inequalities. New
applications and results // Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena. — 1995. — XLIII. — P. 159–191.
23. N a n i e w i c z Z . , P a n a g i o t o p o u l o s P . D . Mathematical Theory of Hemivariational
Inequalities and Applications. — New York: Marcel Dekker, Inc., 1995. — 267 p.
24. Ç à ä î ÿ í ÷ ó ê Í .  . , Ê à ñ ü ÿ í î â Ï . Î . Ìåòîä Ôàåäî–Ãàëüîðê³íà äëÿ åâîëþö³éíèõ âêëþ-
÷åíü ²² ïîðÿäêó ç W�-ïñåâäîìîíîòîííèìè â³äîáðàæåííÿìè // Óêð. ìàò. æóðí. — 2009. — 61,
¹ 2. — Ñ. 195–213.
25. Ç à ä î ÿ í ÷ ó ê Í .  . , Ê à ñ ü ÿ í î â Ï . Î . Àíàëèç è óïðàâëåíèå äèôôåðåíöèàëüíûì âêëþ÷å-
íèåì âòîðîãî ïîðÿäêà ç +-êîýðöèòèâíûì äåìïôèðîâàíèåì // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíà-
ëèç. — 2010. — ¹ 2. — Ñ. 152–160.
26. C h i k r i i A . A . Conflict-controlled processes. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1997.
— 424 ð.
Ïîñòóïèëà 12.08.10
126 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84113 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T14:12:18Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Задоянчук, Н.В. Касьянов, П.О. 2015-07-03T08:17:54Z 2015-07-03T08:17:54Z 2012 Динамика решений класса автономных эволюционных включений второго порядка / Н.В. Задоянчук, П.О. Касьянов // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 3. — С. 111-126. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84113 517.9 Розгляуто автономні диференціально-операторні включення другого порядку з посилено ко-ерцитивним, узагальнено псевдомонотонним демпфуванням. Одержано нові апріорні оцінки розв’язків. Досліджено залежність розв’язків від початкових даних. Доведено існування глобального і траєкторного аттракторів. Досліджено їх структурні властивості. Second-order autonomous differential-operator inclusions with strongly coercive, generally pseudomonotone damping are considered. New a priori estimates of solutions are obtained. The dependence of the solutions on initial data is investigated. The existence of the global and trajectory attractors is proved and their structure properties are analyzed. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Динамика решений класса автономных эволюционных включений второго порядка Динаміка розв’язків класу автономних еволюційних включень другого порядку Dynamics of solutions of a class of second-order autonomous evolution inclusions Article published earlier |
| spellingShingle | Динамика решений класса автономных эволюционных включений второго порядка Задоянчук, Н.В. Касьянов, П.О. Системный анализ |
| title | Динамика решений класса автономных эволюционных включений второго порядка |
| title_alt | Динаміка розв’язків класу автономних еволюційних включень другого порядку Dynamics of solutions of a class of second-order autonomous evolution inclusions |
| title_full | Динамика решений класса автономных эволюционных включений второго порядка |
| title_fullStr | Динамика решений класса автономных эволюционных включений второго порядка |
| title_full_unstemmed | Динамика решений класса автономных эволюционных включений второго порядка |
| title_short | Динамика решений класса автономных эволюционных включений второго порядка |
| title_sort | динамика решений класса автономных эволюционных включений второго порядка |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84113 |
| work_keys_str_mv | AT zadoânčuknv dinamikarešeniiklassaavtonomnyhévolûcionnyhvklûčeniivtorogoporâdka AT kasʹânovpo dinamikarešeniiklassaavtonomnyhévolûcionnyhvklûčeniivtorogoporâdka AT zadoânčuknv dinamíkarozvâzkívklasuavtonomnihevolûcíinihvklûčenʹdrugogoporâdku AT kasʹânovpo dinamíkarozvâzkívklasuavtonomnihevolûcíinihvklûčenʹdrugogoporâdku AT zadoânčuknv dynamicsofsolutionsofaclassofsecondorderautonomousevolutioninclusions AT kasʹânovpo dynamicsofsolutionsofaclassofsecondorderautonomousevolutioninclusions |