Необходимое условие типа принципа максимума Понтрягина в задаче идентификации для нестационарного уравнения квазиоптики
Досліджено задачу визначення оцінок комплекснозначного коефіцієнта в нестаціонарному рівнянні квазіоптики методом найменших квадратів. Показано, що для таких оцінок має місце аналог принципу максимуму Понтрягіна. The identification of estimates of the complex-valued coefficient in a nonstationary eq...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Datum: | 2012 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84115 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Необходимое условие типа принципа максимума Понтрягина в задаче идентификации для нестационарного уравнения квазиоптики / Н.С. Ибрагимов // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 3. — С. 142-154. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860017830678757376 |
|---|---|
| author | Ибрагимов, Н.С. |
| author_facet | Ибрагимов, Н.С. |
| citation_txt | Необходимое условие типа принципа максимума Понтрягина в задаче идентификации для нестационарного уравнения квазиоптики / Н.С. Ибрагимов // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 3. — С. 142-154. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Досліджено задачу визначення оцінок комплекснозначного коефіцієнта в нестаціонарному рівнянні квазіоптики методом найменших квадратів. Показано, що для таких оцінок має місце аналог принципу максимуму Понтрягіна.
The identification of estimates of the complex-valued coefficient in a nonstationary equation of quasioptics by the least squares method is investigated. It is shown that an analog of the Pontryagin maximum principle is true for such estimates.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:46:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.97
Í.Ñ. ÈÁÐÀÃÈÌÎÂ
ÍÅÎÁÕÎÄÈÌÎÅ ÓÑËÎÂÈÅ ÒÈÏÀ ÏÐÈÍÖÈÏÀ ÌÀÊÑÈÌÓÌÀ
ÏÎÍÒÐßÃÈÍÀ  ÇÀÄÀ×Å ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈÈ
ÄËß ÍÅÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÎÃÎ ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÊÂÀÇÈÎÏÒÈÊÈ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: óðàâíåíèÿ êâàçèîïòèêè, çàäà÷à èäåíòèôèêàöèè, ïðèíöèï
ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà.
Çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè äëÿ íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ êâàçèîïòèêè ÷àñòî âîç-
íèêàþò â íåëèíåéíîé îïòèêå ïðè èçó÷åíèè ïðîöåññîâ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòî-
âîãî ïó÷êà â íåîäíîðîäíîé ñðåäå, â êîòîðûõ íåèçâåñòíûìè ôóíêöèÿìè îáû÷-
íî ÿâëÿþòñÿ ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ è ïîãëîùåíèÿ ñðåäû, à òàêæå íà÷àëüíàÿ
ôàçà èçëó÷åííîé âîëíû [1]. Îòìåòèì, ÷òî ðàíåå çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè îïðå-
äåëåíèÿ ôàçû èçëó÷åííîé âîëíû äëÿ ñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ êâàçèîïòèêè
áûëè èçó÷åíû, íàïðèìåð â [1, 2], à çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè îïðåäåëåíèÿ âå-
ùåñòâåííîçíà÷íîãî êîýôôèöèåíòà, ò.å. êîýôôèöèåíòà ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû
â ñòàöèîíàðíîì óðàâíåíèè êâàçèîïòèêè (â íåñòàöèîíàðíîì óðàâíåíèè Øðå-
äèíãåðà) ðàíåå èññëåäîâàíû, íàïðèìåð â [3–7] è äð.
 äàííîé ðàáîòå ðàññìîòðåíî íåîáõîäèìîå óñëîâèå òèïà ïðèíöèïà ìàêñè-
ìóìà Ïîíòðÿãèíà â çàäà÷å èäåíòèôèêàöèè îïðåäåëåíèÿ êîìïëåêñíîçíà÷íîãî êî-
ýôôèöèåíòà íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ êâàçèîïòèêè, ãäå âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü
êîýôôèöèåíòà ÿâëÿåòñÿ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ, à ìíèìàÿ ÷àñòü — ïîêàçàòå-
ëåì ïîãëîùåíèÿ. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî îòíîñèòåëüíî çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè äëÿ
íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ êâàçèîïòèêè ïîäîáíûé âîïðîñ âïåðâûå áûë èçó÷åí â
[8]. Îäíàêî ïðèâåäåííàÿ íèæå çàäà÷à ïî ïîñòàíîâêå è ïî êëàññó ðåøåíèé
îòëè÷àåòñÿ îò ïðåäûäóùåé.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ïóñòü D — îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü n-ìåðíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà E n ; � —
ãðàíèöà îáëàñòè D, êîòîðàÿ ïðåäïîëàãàåòñÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêîé, íàïðèìåð
� � C 2 ; T � 0, L � 0 — çàäàííûå ÷èñëà, 0 � �t T , 0 � �z L; x x x xn� ( , , , )1 2 � —
ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà îáëàñòè D, � t D t� � ( , )0 , � z D z� � ( , )0 , � tz D t� � �( , )0
� ( , )0 z , � �� TL, S t ztz � � �� ( , ) ( , )0 0 ; S STL� ; C T Bk ([ , ], )0 — áàíàõîâî ïðî-
ñòðàíñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ îïðåäåëåííûõ è k 0 ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåí-
öèðóåìûõ ôóíêöèé íà îòðåçêå [ , ]0 T ñî çíà÷åíèÿìè â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå
B; L Dp ( ) — ëåáåãîâî ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé, ñóììèðóåìûõ â îáëàñòè D ñî
ñòåïåíüþ p 1; W Dp
k ( ), W Qp
k m, ( ), p 1, k 0, m 0, — ñîáîëåâû ïðîñòðàíñòâà,
êîòîðûå îïðåäåëåíû â [9]; W
2
0 1 1, ,
( )� — ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, ñîñòîÿùåå
èç âñåõ ýëåìåíòîâ u u x t z� ( , , ) èç L2 ( )� , èìåþùèõ îáîáùåííûå ïðîèçâîäíûå
u
t
u
z
, èç ïðîñòðàíñòâà L2 ( )� , â êîòîðîì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è íîðìà
îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè
142 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
� Í.Ñ. Èáðàãèìîâ, 2012
( , ) , , ( )
u u u u
u
t
u
t
u
z
u
zW1 2 1 2
1 2 1 2
2
0 1 1 � � �
�
�
�
�
�
�
�
� dxdtdz,
| | | | ( , ), , , ,( ) ( )
u u u
W W
2
0 1 1
2
0 1 1� �� � ��;
W
2
2 0 0, , ( )� — ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ ýëåìåíòîâ
u u x t z� ( , , ) ïðîñòðàíñòâà L2 ( )� , èìåþùèõ îáîáùåííûå ïðîèçâîäíûå
u
x j
,
j n�1, ,
2u
x xj p
, j p n, ,�1 , èç ïðîñòðàíñòâà L2 ( )� . Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è
íîðìà â íåì îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè
( , ) , , ( )
u u u u
u
x
u
x
u
x xW
j jj
n
j
1 2 1 2
1 2
1
2
1
2
2 0 0 � � �
�
�
�
p j pj p
n u
x x
dxdtdz
�
�
�
�
�
�
�
�
��
2
2
1,�
,
| | | | ( , ), , , , ,( ) ( )
u u u
W W
2
2 0 0
2
2 0 0� �� ;
W W W
2
2 1 1
2
2 0 0
2
0 1 1, , , , , ,( ) ( ) ( )� � �� � ; W
0
2
2 1 1, ,
( )� — ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà
W
2
2 1 1, , ( )� , ýëåìåíòû êîòîðîãî îáðàùàþòñÿ â íóëü íà S T L� � �� ( , ) ( , )0 0 ; ñèì-
âîë �
0
îçíà÷àåò, ÷òî äàííîå ñâîéñòâî èìååò ìåñòî äëÿ ïî÷òè âñåõ çíà÷åíèé ïå-
ðåìåííîé âåëè÷èíû. Íèæå âñþäó ïîñòîÿííûå, íå çàâèñÿùèå îò îöåíèâàåìûõ
âåëè÷èí, îáîçíà÷èì c jj , , , , ...� 0 1 2
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó èäåíòèôèêàöèè, êîòîðàÿ ôîðìóëèðóåòñÿ êàê ïðîáëåìà
ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà
J v T y L y
L LL
� � � � �( ) | | ( , , ) | | | | ( , , ) | |
( )
� � � � � � � �0 0
2
1 1
2 2� ( )
| | | |
�T
v
H
2 2� �� � (1)
íà ìíîæåñòâå V v v v v L D v x b x D mm m m� � � � � � �{ }( , ), ( ), | ( )| , , ,0 1 2
0
0 1 ïðè
óñëîâèÿõ:
i
t
ia
z x
a x
xj
jp
pj p
n
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� � �
0
1
( )
,
� � � � �a x v x iv x f x t z x t z( ) ( ) ( ) ( , , ), ( , , )� � �0 1 �, (2)
� �( , , ) ( , ), ( , )x z x z x z L0 0� �� , (3)
� �( , , ) ( , ), ( , )x t x t x t T0 1� �� , (4)
� |S � 0 , (5)
ãäå i � �1 — ìíèìàÿ åäèíèöà; � �� ( , , )x t z — âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ èëè êîì-
ïëåêñíàÿ àìïëèòóäà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñâåòîâîé âîëíû (ñâåòîâîãî ïó÷êà),
ðàñïðîñòðàíÿþùàÿñÿ âäîëü îñè z; a b0 00 0� �, , b1 0� , � 0, � 0 0 , �1 0 —
çàäàííûå ÷èñëà, òàêèå, ÷òî � �0 1 0� � ; a xjp ( ), j p n, ,�1 , a x( ) — çàäàííûå âå-
ùåñòâåííîçíà÷íûå ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì:
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 143
a x a x j p n a xjp pj j
j
n
jp j p( ) ( ), , , , , , | | ( )� � � �
�
�1 2 0
2
1
� � � � �
j p
n
, �
�
1
� � �
�
�� � �1
2
1
| |j j
j
n
Ñ , j n x D� � � � �1 2 0
0
0 1, , , , , ,� � � const ; (6)
�
�
�
�
�
�� � � � � �
a x
x
x D j p l n
jp
l
( )
, , , , ,� �2
0
21 0const ; (7)
0 03
0
3� � � � � �a x x D( ) ,� � const ;
(8)
�0 ( , )x z , �1 ( , )x t , f x t z( , , ), y x z0 ( , ), y x t1 ( , ) — çàäàííûå êîìïëåêñíîçíà÷íûå
ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì:
�0
0
2
2 1
�W L
,
( )� , �
1
0
2
2 1
�W T
,
( )� , f W�
2
0 1 1, , ( )� , y L L0 2� ( )� , y L T1 2� ( );� (9)
� � �� �( , )0 1 H — çàäàííûé ýëåìåíò, H L D L D� �2 2( ) ( ).
Ïðè êàæäîì v V� çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè � � �� �( , , ) ( , , ; )x t z x t z v èç
óñëîâèé (2 )–( 5) áóäåì íàçûâàòü ïðÿìîé çàäà÷åé äëÿ íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ
êâàçèîïòèêè (2). Ïîä ðåøåíèåì ïðÿìîé çàäà÷è áóäåì ïîíèìàòü ôóíêöèþ
� ( , , )x t z èç ïðîñòðàíñòâà W
0
2
2 1 1, ,
( )� , óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì (2)–(5) äëÿ
ïî÷òè âñåõ ( , , )x t z ��, ò.å. óðàâíåíèþ (2) äëÿ � �
0
( , , )x t z �, óñëîâèÿì (3) è (4)
äëÿ � � � �
0 0
( , ) , ( , )x z x tL T� � ñîîòâåòñòâåííî è êðàåâîìó óñëîâèþ (5) äëÿ
� �
0
( , , )� t z S .
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðÿìàÿ çàäà÷à òèïà (2)–(4) ðàíåå áûëà ïðåäìåòîì èñ-
ñëåäîâàíèÿ â [8], ãäå áûëî äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ñëàáîãî
îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ èç ïðîñòðàíñòâà C T L C L LL T
0
2
0
20 0([ , ], ( )) ([ , ], ( ))� ��
ïðè áîëåå ñëàáûõ óñëîâèÿõ äëÿ äàííûõ çàäà÷.  íàñòîÿùåì ñëó÷àå êëàññ ðåøå-
íèé ïðÿìîé çàäà÷è (2)–(4) ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì W
0
2
2 1 1, ,
( )� è äàííûå çàäà÷è ÿâ-
ëÿþòñÿ áîëåå ãëàäêèìè ôóíêöèÿìè. Ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ òåîðèþ âîëüòåððîâûõ
îïåðàòîðîâ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå [10, 11] è ìåòîä Ãàëåðêèíà, ìîæåì
óñòàíîâèòü ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü ôóíêöèè a xjp ( ), j p n, ,�1 , a x( ), �0 ( , )x z , �1 ( , )x t , f x t z( , , )
óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì (6)–(9) ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà ïðÿìàÿ çàäà÷à (2)–(5) ïðè
êàæäîì v V� èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå èç ïðîñòðàíñòâà W
0
2
2 1 1, ,
( )� è äëÿ ýòîãî
ðåøåíèÿ ñïðàâåäëèâà îöåíêà
| | | | | | | | | | | |
, , , ,
( ) ( )
� � �
W W W
c
L
0
2
2 1 1 0
2
2 1 0
2
2 1
2
0 0
2
1
� �
� �
( )
( )
| | | |
, ,
�
�
T
f
W
2 2
2
0 1 1
�
�
�
��
�
�
�
��
. (10)
Íàðÿäó ñ òåîðåìîé 1 ìîæíî äîêàçàòü ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 1. Êðîìå òîãî, ôóíêöèè
y x t0 ( , ), y x t1 ( , ) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì (9), à ��H — çàäàííûé ýëåìåíò. Òîãäà
çàäà÷à èäåíòèôèêàöèè (1)–(5) èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå.
Îñíîâíîé öåëüþ äàííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ óñòàíîâëåíèå íåîáõîäèìîãî óñëî-
âèÿ òèïà ïðèíöèïà ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà.
144 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
ÍÅÎÁÕÎÄÈÌÎÅ ÓÑËÎÂÈÅ ÒÈÏÀ ÏÐÈÍÖÈÏÀ ÌÀÊÑÈÌÓÌÀ ÏÎÍÒÐßÃÈÍÀ
Èçó÷èì âîïðîñ î íåîáõîäèìîì óñëîâèè äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè
(1)–(5). Ïóñòü � �� ( , , )x t z ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé ñîïðÿæåííîé çàäà÷è:
i
t
ia
z x
a x
xp
jp
jp j
n
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� � �
0
1
( )
,
� � � � �a x v x iv x x t z( ) ( ) ( ) , ( , , )� � �0 1 0 �, (11)
� � �( , , ) ( ( , , ) ( , )), ( , )x T z i x T z y x z x z L� � � �2 0 0 � , (12)
�
�
�( , , ) ( ( , , ) ( , )), ( , )x t L
i
a
x t L y x t x t T� � � �
2 1
0
1 � ,
(13)
� |S � 0, (14)
ãäå � � �� �( , , ) ( , , ; )x t z x t z v — ðåøåíèå ïðÿìîé çàäà÷è ïðè v V� .
Ïîä ðåøåíèåì ñîïðÿæåííîé çàäà÷è áóäåì ïîíèìàòü ôóíêöèþ � �� ( , , )x t z
èç ïðîñòðàíñòâà B C T L C L LL T0
0
2
0
20 0� �([ , ], ( )) ([ , ], ( ))� � , óäîâëåòâîðÿþ-
ùóþ ñëåäóþùåìó èíòåãðàëüíîìó òîæäåñòâó:
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
i
t
ia
z x
a x
xj
jp
pj p
1
0
1 1
1
( )
,
n
�
�
�
�
� � �
�
�
�� �a x v x iv x dxdtdz( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1
� � � ��2 0 0 1� � ( ( , , ) ( , )) ( , , )x T z y x z x T z dxdz
L�
� � ��2 1 1 1� � ( ( , , ) ( , )) ( , , )x t L y x t x t L dxdt
T�
� �� �i x z x z dxdz ia x t x t
L T
� � ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )0 0 0 01 0 1
� �
dxdt (15)
äëÿ ëþáîé ôóíêöèè 1 1� ( , , )x t z èç ïðîñòðàíñòâà W
0
2
2 1 1, ,
( )� .
Ñ ïîìîùüþ çàìåíû
� �T t, � � �L z ñîïðÿæåííóþ çàäà÷ó (11)–(14) ìîæíî
ñâåñòè ê íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷å òèïà êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîé ïðÿìîé çàäà÷è
(2)–(4). Ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ ìåòîäèêó ñãëàæèâàíèÿ äàííûõ [9] è òåîðåìó 1, ìî-
æåì óñòàíîâèòü ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ î òîì, ÷òî ñîïðÿæåííàÿ çàäà÷à
(11)–(14) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå èç ïðîñòðàíñòâà B0 è ñïðàâåäëèâà îöåíêà
| | (., , . )| | | | (., ., )| |
( ) ( )
� �t z
L LL T2 2
2 2
� �
� �
� � � �c T y L y
L LL T
1 0
2
1
2
2 2
(| | (., , . ) | | | | (., ., ) | | )
( ) ( )
� �
� �
(16)
äëÿ � � � �t T z L[ , ], [ , ]0 0 .
Ââåäåì ôóíêöèþ
H Re( , ( , ., . ), ( ), ( ), ( , ., . )) ( ( , , ) (x x v x v x x x t z
Q
� � � �0 1 � � x t z dtdzv x, , )) ( )0 �
� � � �� Im
Q
x t z x t z dtdzv x v x x( ( , , ) ( , , )) ( ) [( ( ) ( ))� � � �1 0 0
2 ( ( ) ( )) ],v x x1 1
2�� (17)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 145
êîòîðóþ áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèåé Ãàìèëüòîíà–Ïîíòðÿãèíà äëÿ çàäà÷è èäåí-
òèôèêàöèè (1)–(5). Çäåñü Q T L� �( , ) ( , )0 0 .
Ðàññìîòðèì ïðèðàùåíèå ôóíêöèîíàëà (1) íà ëþáîì ýëåìåíòå v V� . Èñïîëü-
çóÿ (1), ïðèðàùåíèå ôóíêöèîíàëà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
� � �
�
J v J v v J v x T z y x z
L
0 0 0 0 02( ) ( ) ( ) [( ( , , ) ( , ))� � � � ��� �Re � ( , , )]x T z dxdz �
� � ��2 21 1 0� � � �Re
�
�
T
x t L y x t x t L dxdt v x[( ( , , ) ( , )) ( , , )] ( ( ) ( )) ( )� �� � 0 0x v x dx
D
�
� � � � � ��2 1 1 1 0
2
2
� � � �( ( ) ( )) ( ) | | ( , , )| |
( )
v x x v x dx T
D
L L
� �
�
� � � �� � �1
2 2
2
| | ( , , )| | | | | |
( )
� �
�
L v
L HT
� �v V , (18)
ãäå � v B� — ïðèðàùåíèå ëþáîãî ýëåìåíòà v V� òàêîå, ÷òî v v V� �� ,
B L D L D� �� �( ) ( ); � � �� � � �� � � �( , , ) ( , , ; ) ( , , ; )x t z x t z v v x t z v , � ( , , )x t z �
� � ( , , ; )x t z v — ðåøåíèå ïðÿìîé çàäà÷è (2)–(5) ïðè v V� . ßñíî, ÷òî ôóíêöèÿ
� �� �� ( , , )x t z ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è:
i
t
ia
z x
a x
x
a x
j
jp
pj
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� � �
�
� � �
�0 ( ) ( )
,p
n
�
�
1
� � � � �( ( ) ( )) ( ( ) ( ))v x v x i v x v x0 0 1 1� � � �� �
� � � �� � �v x i v x x t z0 1( ) ( ) , ( , , )� � , (19)
� �� ( , , ) , ( , )x z x z L0 0� � , � ��( , , ) , ( , )x t x t T0 0� � , � � ��|S 0. (20)
Îöåíèì ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è. Ñ ýòîé öåëüþ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ (19) óìíî-
æèì íà ôóíêöèþ � �� �� ( , , )x t z è ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî ïðîèíòåãðèðóåì ïî îá-
ëàñòè � tz .  ðåçóëüòàòå, èç ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà, âû÷èòàÿ åãî êîìïëåêñíîå
ñîïðÿæåíèå, èìååì
�
� � ��� t
dxd d
z
dxd d v v
tztz t
| | | | ( )� � �
�� �
�
� �
�2 2
1 12
z
dxd d� �| |��
�2
� � � �� �2 2 00 1Im Re( ) ( ) [ ,� � � �
� �
v dxd d v dxd d t
tz tz
� �
� � �
� T z L], [ , ]� � 0 .
Ñ ïîìîùüþ îöåíêè (10) è ïðèíÿòûõ óñëîâèé èç ýòîãî ðàâåíñòâà ìîæåì óñòà-
íîâèòü ñïðàâåäëèâîñòü îöåíêè
| | ( , , )| | | | ( , , )| | (| |
( ) ( )
� � �
� �
� �� � � � � �t z c v
L LL T2 2
2 2
2 0 | | | | | | )
( ) ( )L D L D
v
� �
�2
1
2� (21)
� � � �t T z L[ , ], [ , ]0 0 .
Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèîíàëà â äàëüíåéøåì íàì ïîíàäî-
áèòñÿ ñëåäóþùåå âñïîìîãàòåëüíîå óòâåðæäåíèå.
Ëåììà 1. Ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
2 0 0� � �Re [( ( , , ) ( , )) ( , , )]x T z y x z x T z dxdz
L
� �� �
�
� � ��2 1 1� � �Re [( ( , , ) ( , )) ( , , )]x t L y x z x t L dxdt
T
�
�
146 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
� �� Re [( ( , , ) ( , , )) ( )]� �x t z x t z v x dxdtdz�
�
0
� �� Im [( ( , , ) ( , , )) ( )]� �x t z x t z v x dxdtdz�
�
1
� �� Re [( ( , , ) ( , , )) ( )]� �
�
� �x t z x t z v x dxdtdz0
�� Im [( ( , , ) ( , , )) ( )]� �
�
� �x t z x t z v x dxdtdz1 . (22)
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé ëåììû ïðîâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ ñîïðÿæåííîé çàäà÷è
(11)–(14) è íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (19), (20).
Òåïåðü óñòàíîâèì íåîáõîäèìîå óñëîâèå â âèäå ïðèöèïà ìàêñèìóìà
Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèíà [12] äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè (1)–(5). Ïðè ïîëó÷åíèè
íåîáõîäèìîãî óñëîâèÿ áóäåì èñïîëüçîâàòü ìåòîäèêó Â.È. Ïëîòíèêîâà [13, 14].
Òåîðåìà 3. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 2. Äëÿ òîãî ÷òîáû v V* �
áûëà ðåøåíèåì çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè (1)–(5), íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå óñëîâèÿ
H( , ( , ., . ), ( ), ( ), ( , ., . ))* * * *x x v x v x x� �0 1 �
�
� � �
sup H
v b b mm m m
x x v x v x
[ , ], ,
* * *( , ( , ., . ), ( ), ( ),
0 1
0 1� � * ( , ., . ))x (23)
äëÿ ïî÷òè âñåõ x D� , ãäå � �* *( , , ) ( , , ; )x t z x t z v� , � �* *( , , ) ( , , ; )x t z x t z v� ñî-
îòâåòñòâåííî ðåøåíèÿ ïðÿìîé è ñîïðÿæåííîé çàäà÷ ïðè v V*� .
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàôèêñèðóåì âíóòðè îáëàñòè D òî÷êó Ëåáåãà (ïðàâèëüíóþ
òî÷êó, ñì. [12, ñòð. 86]) � � � �� ( , , ... )1 2 n âñåõ ôóíêöèé, èìåþùèõñÿ â çàäà÷àõ
(1)–(5) è (11)–(14). Ïóñòü
� 0 — äîñòàòî÷íî ìàëîå ÷èñëî, äëÿ êîòîðîãî èìååò
ìåñòî ñîîòíîøåíèå
�
�
� � � � � � �!
"
#
$
%
&
�x x x x x j n Dn j j j( , , , ): , , , ,1 2
2 2
1 2� � . (24)
Ïîñòðîèì èìïóëüñíóþ âàðèàöèþ ðåøåíèÿ v x v x v x* * *( ) ( ( ), ( ))� 0 1 èç ìíîæåñ-
òâà V çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè (1)–(5) â âèäå
v x
w x
v x x
m
m
m
( )
, ,
( ), ,*
�
�
'
!
"
#
m � 0 1, ,
(25)
ãäå w mm , ,� 0 1, — ïðîèçâîëüíûå ÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì
| |w bm m� , m � 0 1, . Òîãäà ÿñíî, ÷òî èìïóëüñíàÿ âàðèàöèÿ, îïðåäåëåííàÿ ôîð-
ìóëîé (25), ò.å. v v x v x v x
� �( ) ( ( ), ( ))
0 1
ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó V . Ïîýòî-
ìó, èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå òî÷êè Ëåáåãà, íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî äëÿ âàðüèðî-
âàííûõ ôóíêöèé âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ
v vm m
( * â L Dp ( ) ïðè
( 0, 1� � ��p , m � 0 1, . (26)
Ïóñòü � � �
� �( , , ) ( , , ; )x t z x t z v — ðåøåíèå ïðÿìîé çàäà÷è (2)–(5) ïðè
v V
� . Òîãäà ôóíêöèÿ � �� � � � �
� � � � �( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ; )*x t z x t z x t z x t z v
��( , , ; )*x t z v áóäåò ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (19), (20), êîãäà âìåñòî
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 147
ôóíêöèé v xm ( ), v x v xm m( ) ( )� � , m � 0 1, , ïîäñòàâëåíû ôóíêöèè v xm
* ( ), v xm
( ),
m � 0 1, , ãäå � �* *( , , ) ( , , ; )x t z x t z v� — ðåøåíèå ïðÿìîé çàäà÷è (2)–(5) ïðè
v V*� .  ýòîì ñëó÷àå äëÿ ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (19), (20) ìîæíî
óñòàíîâèòü ñïðàâåäëèâîñòü îöåíêè
| | ( , , )| | | | ( , , )| | (| |
( ) ( )
� � �
� �
� �
� � � � � �t z c
L LL T2 2
2 2
3 v i v
L0 1
2
2
� �* *
( )
| | )� �
�
(27)
äëÿ � �t T[ , ]0 , � �z L[ , ]0 , �v x v x v xm m m
( ) ( ) ( )*� � , m � 0 1, . Ïðèìåíÿÿ îïðåäå-
ëåíèå òî÷êè Ëåáåãà â ïðàâîé ÷àñòè ýòîé îöåíêè, ïîëó÷èì ñëåäóþùåå íåðàâå-
íñòâî:
| | ( , , )| | | | ( , , )| | ( )
( ) ( )
� �
� �
� �
�� � � � � �t z O
L L
n
L T2 2
2 2
� �t T[ , ]0 , � �z L[ , ]0 . (28)
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ êâàçèñîïðÿæåííóþ ñèñòåìó [13, 14]:
i
t
ia
z x
a x
x
a x
p
jp
jp j
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
0 ( ) ( )
, �
� � � �
1
0 1
0
n
v x iv x
� �( ) ( ) ,
( , , )x t z ��, (29)
� � � �
( , , ) ( , , ) ( , ) ( , , )*x T z i x T z y x z x T z� � � �
�
�
�
�
2
1
2
0 0 � � , ( , )x z L�� , (30)
�
�
� �
( , , ) ( , , ) ( , ) ( , , )*x t L
i
a
x t L y x t x t L� � � �
�
�
2 1
2
1
0
0 � �
�
� , ( , )x z L�� , (31)
�
|S � 0, (32)
ãäå � �* *( , , ) ( , , ; )x t z x t z v� — ðåøåíèå ïðÿìîé çàäà÷è ïðè v V*� , à
�� � �
( , , ) ( , , ) ( , , )*x t z x t z x t z� � . Ñ ïîìîùüþ çàìå÷àíèé, ñäåëàííûõ îòíîñè-
òåëüíî ðåøåíèÿ ñîïðÿæåííîé çàäà÷è, ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî êâàçèñîïðÿæåí-
íàÿ ñèñòåìà òàêæå èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå èç ïðîñòðàíñòâà B0 è ñïðà-
âåäëèâà îöåíêà
| | (., , . )| | | | (., ., )| |
( ) ( )
� �
t z
L LL T2 2
2 2
� �
� �
� � � �c T y T
L L
4 0
21 2
2
(| | (., , . ) ( / ) (., , . )| |*
( )
� �
�
�
� � �| | (., ., ) ( / ) (., ., )| | )*
( )
� �
L y L
L T
1
21 2
2
�
�
� �t T[ , ]0 , � �z L[ , ]0 . (33)
Òåïåðü äîêàæåì îöåíêó
| | (., , . ) (., , . )| | | | (., ., ) (., .,*
( )
*� � � �
t t z
L L
� � �
2
2
�
z O
L
n
T
)| | ( )
( )2
2
�
� �
� �t T[ , ]0 , � �z L[ , ]0 . (34)
Ïóñòü � �* *( , , ) ( , , ; )x t z x t z v� — ðåøåíèå ñîïðÿæåííîé çàäà÷è ïðè v V* � ,
à ôóíêöèÿ � �
� ( , , )x t z åñòü ðåøåíèå êâàçèñîïðÿæåííîé ñèñòåìû. Òîãäà ôóíê-
öèÿ F x t z x t z x t z
� �( , , ) ( , , ) ( , , )*� � áóäåò ðåøåíèåì ñëåäóþùåé çàäà÷è:
i
F
t
ia
F
z x
a x
F
x
a x F
p
jp
jp j
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0 ( ) ( )
, �
� � � �
1
0 1
n
v x F iv x F
( ) ( )
148 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
� � �� �v x x t z i v x x t z0 1
� �( ) ( , , ) ( ) ( , , )* * , ( , , )x t z ��, (35)
F x T z i x T z
� �( , , ) ( , , )� � 0� , ( , )x z L�� , (36)
F x t L
i
a
x t L
�
�( , , ) ( , , )� � 1
0
� , ( , )x t T�� ,
(37)
F S
| � 0. (38)
Ñ ïîìîùüþ çàìåíû
� T t– , � � �L z ýòó çàäà÷ó ìîæíî ñâåñòè ê íà÷àëü-
íî-êðàåâîé çàäà÷å, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ çàäà÷åé òèïà êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîé ïðÿ-
ìîé çàäà÷è (2)–(4). Ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ ìåòîäèêó ñãëàæèâàíèÿ äàííûõ [9] è òåî-
ðåìó 1, ìîæåì óñòàíîâèòü ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ î òîì, ÷òî çàäà÷à
(35)–(38) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå èç ïðîñòðàíñòâà B0 è äëÿ ýòîãî ðåøåíèÿ
ñïðàâåäëèâà îöåíêà
| | (., , . )| | | | (., ., )| |
( ) ( )
F t F z
L LL T
2 2
2 2
� �
� �
� � �c T L
L LL T
5
2 2
2 2
(| | (., , . )| | | | (., ., )| | | |
( ) ( )
� �
� �
� �
� �
�
v i v
L0 1
2
2
� �* *
( )
| | )� (39)
äëÿ � �t T[ , ]0 , � �z L[ , ]0 . Îòñþäà ñ ïîìîùüþ (28) è ñ ïðèìåíåíèåì îïðåäåëå-
íèÿ òî÷êè Ëåáåãà â òðåòüåì ñëàãàåìîì ïðàâîé ÷àñòè ïîëó÷èì îöåíêó (34).
Ðàññìîòðèì ïðèðàùåíèå ôóíêöèîíàëà J v� ( ) íà ýëåìåíòå v V*� :
�J v J v J v� �
�
( , ) ( ) ( )* *� � �
� � �)
*
2
1
2
0 0� � � �
Re ( ( , , ) ( , ) ( , , )) ( , , )* x T z y x z x T z x T z� �+
,
-.
��
�L
dxdz
� � �)
*
2
1
2
1 1� � � �
Re ( ( , , ) ( , ) ( , , )) ( , , )* x t L y x t x t L x t L� �+
,
-.
��
�T
dxdt
� � � ��2 0 0 0 1 1 1� � �
[( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( )]* *v x x v x v x x v x
D
� � dx v
H
��
| | | |� 2 , (40)
ãäå � � �v v v
� ( , )0 1 . Èñïîëüçóÿ êâàçèñîïðÿæåííóþ ñèñòåìó âìåñòî ñîïðÿ-
æåííîé çàäà÷è è äîêàçûâàÿ àíàëîã ëåììû 1, ïðèðàùåíèå ôóíêöèîíàëà ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå
� J v J v J v� �
�
( , ) ( ) ( )* *� � �
� � �� Re [( ( , , ) ( , , ))( ( ) ( ))]* *� �
x t z x t z v x v x dxdtdz
0 0
�
� � �� Im [( ( , , ) ( , , ))( ( ) ( ))]* *� �
x t z x t z v x v x dxdtdz
1 1
�
� � � ��2 0 0 0 1 1 1� � �
[( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( )]* *v x x v x v x x v x
D
� � dx v
H
��
| | | | .� 2
(41)
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåîáõîäèìîãî óñëîâèÿ ñíà÷àëà äîêàæåì ñîîòíîøåíèå
lim
�
�
�
k
J v
J vk
k
n(�
�
0
� ( , )
( )
*
* � �
0
� D, (42)
ãäå
k � 0, k �1 2, ,� , — ñïåöèàëüíûì îáðàçîì âûáðàííàÿ ïîäïîñëåäîâàòåëü-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 149
íîñòü, à � �J v( )* îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
� � � � � ��J v t z t z dtdz w v
Q
( ) ( ( , , ) ( , , )) ( ( ))* * * *� � �� Re 0 0
� � �� Im ( ( , , ) ( , , )) ( ( )) ( ( )* * * *� � � � � � �t z t z dtdz w v v
Q
1 1 02 � � �� � �0 0 0( ))( ( ))*w v
� � � � � � �2 1 1 1 1 0 0
2
1 1� � � � � � �( ( ) ( ))( ( )) [( ( )) (* * *v w v w v w v * ( )) ]� 2 . (43)
Äëÿ òîãî ÷òîáû äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü ïðåäåëüíîãî ñîîòíîøåíèÿ (42),
äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü, ÷òî
�J v
J v
n
L D
�
�
�
( , )
( )
*
*
( )
� (
1
0 ïðè
( �0 .
(44)
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (41) è (43), èìååì:
� J v
J v
n
L D
�
�
�
( , )
( )
*
*
( )
� �
1
� �
)
*
+
+
,
-
� Re ( ( , , ) ( , , )) ( ( ) ( ))* *� �
x t z x t z dtdz v x v x
Q
0 0 .
.
�
!
"
/
#/
�� dx
D
� �
)
*
+
+
,
-
� Im ( ( , , ) ( , , )) ( ( ) ( ))* *� �
x t z x t z dtdz v x v x
Q
1 1 .
.
��
dx
� � � � �
�
�� ( ( ) ( ))( ( ) ( )) ( ( )* *v x x v x v x dx v x vm m
m
m m m�
0
1
m
m
nx dx* ( ))2
0
1
�
���
$
%
/
&/
�
� � �� Re ( ( , , ) ( , , )) ( ( )) ( ( )* * * *� � � � � � �t z t z dtdz w v v
Q
0 0 02 � � �� � �0 0 0( ))( ( ))*w v
� � �� Im ( ( , , ) ( , , )) ( ( )) ( ( )* * * *� � � � � � �t z t z dtdz w v v
Q
1 1 12 � � �� � �1 1 1( ))( ( ))*w v
� � � ��� � � � �( ( )) ( ( ))* *w v w v d0 0
2
1 1
2 . (45)
Ãðóïïèðóÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ñëàãàåìûå â ýòîì ðàâåíñòâå, îöåíèì èõ çíà÷å-
íèÿ â ïðîñòðàíñòâå L D1 ( ). Òîãäà ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî:
� J v
J v I I I
n
L D
�
�
�
( , )
( )
*
*
( )
� � � �
1
1 2 3 , (46)
ãäå
I x t z x t z dtdz v x
Q
1 0� �
)
*
+
+
�
�
�� �� Re ( ( , , ) ( , , )) ( )*� �
�
D
�
�
,
-
.
.
��
�Im ( ( , , ) ( , , )) ( )*� �
x t z x t z dtdz v x dx
Q
n� 1
150 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
� � �
�
�
� � Re ( ( , , ) ( , , )) ( ( ))* * *� � � � �t z t z dtdz w v
Q
0 0
� �
�
�
�
�� Im ( ( , , ) ( , , )) ( ( ))* * *� � � � � �t z t z dtdz w v d
Q
1 1 , (47)
I v x x v x dxm m
m
m
n
D
2
0
1
2� � �
�
�
��
�
���� � �
( ( ) ( )) ( )*
�
� � �
�
�2
0
1
� � � � � �( ( ) ( ))( ( ))* *v w v dm m
m
m m , (48)
I v x dx w v dm
m
n
m
mD
3
2
0
1
1
0
1
� � �
�
�
�
�� �� �
� � �
( ( )) ( ( ))*�
. (49)
 ñèëó ôîðìóëû (47) ñëàãàåìîå I1 ìîæåì îöåíèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
I v x x t z x t z t z dtdn
D
1 0� ��
�
� � � �
| ( ) ( , , )| | ( , , ) ( , , )|* * *� z dxd
Q
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��
�
� � �
n
D Q
v x x t z x t z x t z dtdz| ( ) ( , , )| | ( , , ) ( , , )|* *� 0��
�
�
�
�
�
�
�
�
�dxd
� � ��
�
� � � � � �
n
D
v x x t z w v t z| ( ) ( , , ) ( ( )) ( , , )| | (* * * *� 0 0 0 , , )|t z dtdz dxd
Q
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��
�
� � � �
n
D Q
v x x t z x t z t z dtdz| ( ) ( , , )| | ( , , ) ( , , )|* * *� 1��
�
�
�
�
�
�
�
�
�dxd
� ��
�
� � �
n
D Q
v x x t z x t z x t z dtdz| ( ) ( , , )| | ( , , ) ( , , )|* *� 1��
�
�
�
�
�
�
�
�
�dxd
� � ��
�
� � � � � �
n
D
v x x t z w v t z| ( ) ( , , ) ( ( )) ( , , )| | (* * * *� 1 1 1 , , )|t z dtdz dxd
Q
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � � �I I I I I I
11
0
12
0
13
0
11
1
12
1
13
1 . (50)
Ñíà÷àëà îöåíèì ñëàãàåìîå I
11
0 , êîòîðîå èìååò âèä
I v x x t z x t z t z dn
D
11
0
0� ��
�
� � � �
| ( ) ( , , )| | ( , , ) ( , , )|* * *� tdz dxd
Q
��
�
�
�
�
�
�
�
�. (51)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 151
 ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ x � �� � è îáîçíà-
÷èì
~
ñäâèíóòûé ïàðàëëåëåïèïåä. Òîãäà, ìåíÿÿ ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ
è ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî Êîøè–Áóíÿêîâñêîãî, èìååì
I v t z d dtdzn
11
0
0
2� � �
�
�
�
�
�
�
�
!
"
/�
�
� � � � � �
| ( ) ( , , )|*�
�#/
��
~
/
1 2
� � �
�
�
�
�
�
�
�
$
%
/
&/
� | ( , , ) ( , , )|* *
/
� � � � � �t z t z d2
1 2
�
. (52)
 ñèëó òîãî, ÷òî �v L D0
� � ( ), � * ( )� L2 � è äëÿ ôóíêöèè � �* * ( , , )� �x t z
� � ( , , ; )*x t z v ñïðàâåäëèâà îöåíêà ïðè v v V� �* , ìîæåì óñòàíîâèòü ñïðàâåäëè-
âîñòü íåðàâåíñòâà
| ( ) ( , , )|*
/
�
�
v t z d dtdz c0
2
1 2
6
� � � � � �� �
�
�
�
�
�
�
�
�� .
(53)
Ïî ñâîéñòâó èíòåãðàëüíîé íåïðåðûâíîñòè ñóììèðóåìîé ôóíêöèè (êàêèì áû
íè áûëî �� 0) íàéäåòñÿ ~
� 0, ÷òî ïðè | | | | ~�
R n � � èìååò ìåñòî
| ( , , ) ( , , )|* *
/
� � � � � � �� �
�
�
�
�
�
�
�
�� t z t z d dtdz2
1 2
�
. (54)
Òîãäà äëÿ òàêèõ
èç (52)–(54) ïîëó÷èì ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà
I
c
n11
0 6�
�
mes
~
. (55)
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó
I v x x t z x t z t z dn
D
11
1
1� ��
�
� � � �
| ( ) ( , , ) | | ( , , ) ( , , )|* * *� tdz dxd
Q
��
�
�
�
�
�
�
�
�, (56)
ñëàãàåìîå I
11
1 àíàëîãè÷íî I
11
0 ìîæåì îöåíèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
I
c
n11
1 7�
�
mes
~
, (57)
ãäå c7 0� âûáðàíà èç íåðàâåíñòâà
| ( ) ( , , )|*
/
�
�
v t z d dtdz c1
2
1 2
7
� � � � � �� �
�
�
�
�
�
�
�
�� . (58)
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îöåíèâàþòñÿ ñëàãàåìûå I
13
0 è I
13
1 :
I
c
n13
0 8�
�
mes
~
, I
c
n13
1 9�
�
mes
~
. (59)
Òåïåðü îöåíèì ñëàãàåìûå I
12
0 è I
12
1 :
I v x x t z x t z x t z dn
D
12
0
0� ��
�
� � �
| ( ) ( , , )| | ( , , ) ( , , )|* *� tdz dxd
Q
��
�
�
�
�
�
�
�
�. (60)
152 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
Ïðîèçâîäÿ çàìåíó ïåðåìåííûõ x � �� � è ìåíÿÿ ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ, à
òàêæå ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî Êîøè–Áóíÿêîâñêîãî â ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî ðàâå-
íñòâà, ïîëó÷èì ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî:
I v t z d dtdzn
12
0
0
2� � �
�
�
�
�
�
�
�
!
"
/�
�
� � � � � �
| ( ) ( , , )|*�
�#/
��
~
/
1 2
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
$
%
/
&
� | ( , , ) ( , , )|*
/
� � � � � � �
t z t z d dtdz2
1 2
� /
d�. (61)
 ñèëó îöåíêè (34) ïðè
( �0 âûðàæåíèå
| ( , , ) ( , , )|*
/
� � � � � � �
� � �
�
�
�
�
�
�
�� t z t z d dtdz2
1 2
�
(62)
ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Ïîýòîìó ïðè
� ~ îíî ìîæåò áûòü ìåíüøå ÷åì �� 0. Òîãäà
èç (61) â ñèëó íåðàâåíñòâà (53) èìååì
I
c
n12
0 6�
�
mes
~
.
(63)
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷åíèþ ýòîãî íåðàâåíñòâà èç ôîðìóëû
I v x x t z x t z x t z dn
D
12
1
1� ��
�
� � �
| ( ) ( , , )| | ( , , ) ( , , )|* *� tdz dxd
Q
��
�
�
�
�
�
�
�
� (64)
â ñèëó íåðàâåíñòâà (58) ïîëó÷èì ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà
I
c
n12
1 7�
�
mes
~
.
(65)
Òàêèì îáðàçîì, èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâà (55), (57), (59), (63) è (65), èç íåðàâå-
íñòâà (50) ïîëó÷àåì, ÷òî
I1 0( ïðè
( �0. (66)
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷åíèþ ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ñëàãàåìûõ I 2 è I 3 ñ ïî-
ìîùüþ ôîðìóë (48), (49) çàêëþ÷àåì, ÷òî
I 2 0( , I 3 0( ïðè
( �0 . (67)
Ñ ó÷åòîì ïðåäåëüíûõ ñîîòíîøåíèé (66), (67) èç (46) ïîëó÷èì ñïðàâåäëè-
âîñòü ïðåäåëüíîãî ñîîòíîøåíèÿ (44).
Òåïåðü â ïðåäåëüíîì ñîîòíîøåíèè (44) âìåñòî
âîçüìåì òàêóþ ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü { }
k , ÷òî
k � 0, k �1 2, ,� ,
k ( 0 ïðè k (�. Òîãäà èç (44) ïîëó÷àåì,
÷òî ïðè k (� ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
�J v k
k
n
�
( , )*!
"
/
#/
$
%
/
&/
ñõîäèòñÿ ê � �J v( )* â íîðìå
ïðîñòðàíñòâà L D1 ( ). Òîãäà â ñèëó èçâåñòíîé òåîðåìû (ñì. [15, ñ. 361]) ñóùåñòâó-
åò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }
kl
â { }
k (êîòîðóþ ñíîâà îáîçíà÷èì { }
k ) òàêàÿ, ÷òî
èìååò ìåñòî ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå (42).
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 153
Ïî ïðåäïîëîæåíèþ v v x* * ( )� èç V ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è èäåíòèôèêà-
öèè (1)–(5). Ïîýòîìó �J v�
( , )* 0. Ñëåäîâàòåëüíî,
� ��J v D( )* � �0
0
. (68)
Ó÷èòûâàÿ âûðàæåíèå ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà–Ïîíòðÿãèíà (17) è ôîðìóëó (43)
äëÿ � �J v( )* , ïîëó÷èì
0 0 1� � �� � � � � � � ��J v v v( ) ( , ( , ., . ), ( ), ( ), ( , ., . ))* * * * *H
�H( , ( , ., . ), , , ( , ., . ))* *� � � � �w w1 (69)
äëÿ ïî÷òè âñåõ ��D.  ñèëó òîãî, ÷òî v V* � ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è èäåí-
òèôèêàöèè (1)–(5) è ��D — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà Ëåáåãà, à w w0 1, — ïðîèç-
âîëüíûå ÷èñëà èç [ , ]�b b0 0 , [ , ]�b b1 1 ñîîòâåòñòâåííî, èç íåðàâåíñòâà (69) ïîëó-
÷èì ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû. Òåîðåìà 3 äîêàçàíà.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Â î ð î í ö î â Ì . À . , Ø ì à ë ü ã à ó ç å í È . È . Ïðèíöèïû àäàïòèâíîé îïòèêè. — Ì.: Íàóêà,
1985. — 335 ñ.
2. Ø à ì å å â à Ò . Þ . Îá îïòèìèçàöèè â çàäà÷å î ðàñïðîñòðàíåíèè ñâåòîâîãî ïó÷êà â íåîäíî-
ðîäíîé ñðåäå // Âåñòí. Ìîñê. óí-òà. Ñåð. âû÷èñë. ìàòåìàòèêà è êèáåðíåòèêà. — 1985. — ¹ 1.
— Ñ. 12–19.
3. È ñ ê å í ä å ð î â À . Ä . , ß ã ó á î â à . ß . Âàðèàöèîííûé ìåòîä ðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷è îá
îïðåäåëåíèè êâàíòîâîìåõàíè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà // ÄÀÍ ÑÑÑÐ. — 1988. — 303, ¹ 5. —
Ñ. 1044–1048.
4. È ñ ê å í ä å ð î â À . Ä . , ß ã ó á î â Ã . ß . Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå íåëèíåéíûìè êâàíòîâî-
ìåõàíè÷åñêèìè ñèñòåìàìè // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 1989. — ¹ 12. — Ñ. 27–38.
5. ß ã ó á î â Ã . ß . , Ì ó ñ à å â à Ì . À . Î âàðèàöèîííîì ìåòîäå ðåøåíèÿ ìíîãîìåðíîé
îáðàòíîé çàäà÷è äëÿ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà // Èçâ. ÀÍ Àçåðá. Ñåð. ôèç.–òåõí. è
ìàò. íàóê. — 1994. — 15, ¹ 5–6. — Ñ. 58–61.
6. ß ã ó á î â à . ß . , Ì ó ñ à å â à Ì . À . Îá îäíîé çàäà÷å èäåíòèôèêàöèè äëÿ íåëèíåéíîãî
óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà // Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. — 1997. — 33, ¹ 12. — Ñ. 1691–1698.
7. È ñ ê å í ä å ð î â À . Ä . , ß ã ó á î â à . ß . Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå êâàíòîâîìåõàíè÷åñêèì
ïîòåíöèàëîì // Òð. ÈÌÌ ÀÍÀ. — 1998. — 18. — Ñ. 75–80.
8. ß ã ó á î â à . ß . , È á ð à ã è ì î â Í . Ñ . Çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äëÿ íåñòàöèîíàð-
íîãî óðàâíåíèÿ êâàçèîïòèêè // Ïðîáëåìû ìàò. ìîäåëèðîâàíèÿ è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ. —
Áàêó, 2001. — Ñ. 49–57.
9. Ë à ä û æ å í ñ ê à ÿ Î . À . Êðàåâûå çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. — Ì.: Íàóêà, 1973. — 408 ñ.
10. Ã î õ á å ð ã È . Í . , Ê ð å é í Ì . Ã . Òåîðèÿ âîëüòåððîâûõ îïåðàòîðîâ â ãèëüáåðòîâîì
ïðîñòðàíñòâå è åå ïðèëîæåíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1967. — 508 c.
11. Í è æ í è ê Ë . Ï . Îáðàòíàÿ íåñòàöèîíàðíàÿ çàäà÷à ðàññåÿíèÿ. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1973. —
182 ñ.
12. Ï î í ò ð ÿ ã è í Ë . Ñ . , Á î ë ò ÿ í ñ ê è é Â . Ã . , Ã à ì ê ð å ë è ä ç å Ð . Â . , Ì è ù å í ê î Å . Ô .
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ îïòèìàëüíûõ ïðîöåññîâ. — Ì.: Íàóêà, 1969. — 384 ñ.
13. Ï ë î ò í è ê î â  . È . Î ïåðâîé âàðèàöèè è ñîïðÿæåííîé çàäà÷å â òåîðèè îïòèìàëüíîãî
óïðàâëåíèÿ // Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç è åãî ïðèëîæåíèÿ. — 1976. — Âûï. 10, ¹ 4. —
Ñ. 95–96.
14. Ï ë î ò í è ê î â Â . È . , Ñ è ê î ð ñ ê à ÿ Å . Ð . Îïòèìèçàöèÿ óïðàâëÿåìîãî îáúåêòà,
îïèñûâàåìîãî íåëèíåéíîé ñèñòåìîé ãèïåðáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé // Èçâ. ÂÓÇîâ. Ñåð.
Ðàäèîôèçèêà. — 1972. — 15, ¹ 3. — Ñ. 345–357.
15. Í è ê î ë ü ñ ê è é Ñ . Ì . Êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ò.2. — Ì.: Íàóêà, 1973.— 392 ñ.
Ïîñòóïèëà 10.02.2011
154 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84115 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:46:10Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ибрагимов, Н.С. 2015-07-03T08:22:12Z 2015-07-03T08:22:12Z 2012 Необходимое условие типа принципа максимума Понтрягина в задаче идентификации для нестационарного уравнения квазиоптики / Н.С. Ибрагимов // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 3. — С. 142-154. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84115 517.97 Досліджено задачу визначення оцінок комплекснозначного коефіцієнта в нестаціонарному рівнянні квазіоптики методом найменших квадратів. Показано, що для таких оцінок має місце аналог принципу максимуму Понтрягіна. The identification of estimates of the complex-valued coefficient in a nonstationary equation of quasioptics by the least squares method is investigated. It is shown that an analog of the Pontryagin maximum principle is true for such estimates. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Необходимое условие типа принципа максимума Понтрягина в задаче идентификации для нестационарного уравнения квазиоптики Необхідна умова типу принципу максимуму Понтрягіна в задачі ідентифікації для нестаціонарного рівняння квазіоптики Pontryagin maximum principle type necessary condition in the identification problem for a nonstationary equation of quasioptics Article published earlier |
| spellingShingle | Необходимое условие типа принципа максимума Понтрягина в задаче идентификации для нестационарного уравнения квазиоптики Ибрагимов, Н.С. Системный анализ |
| title | Необходимое условие типа принципа максимума Понтрягина в задаче идентификации для нестационарного уравнения квазиоптики |
| title_alt | Необхідна умова типу принципу максимуму Понтрягіна в задачі ідентифікації для нестаціонарного рівняння квазіоптики Pontryagin maximum principle type necessary condition in the identification problem for a nonstationary equation of quasioptics |
| title_full | Необходимое условие типа принципа максимума Понтрягина в задаче идентификации для нестационарного уравнения квазиоптики |
| title_fullStr | Необходимое условие типа принципа максимума Понтрягина в задаче идентификации для нестационарного уравнения квазиоптики |
| title_full_unstemmed | Необходимое условие типа принципа максимума Понтрягина в задаче идентификации для нестационарного уравнения квазиоптики |
| title_short | Необходимое условие типа принципа максимума Понтрягина в задаче идентификации для нестационарного уравнения квазиоптики |
| title_sort | необходимое условие типа принципа максимума понтрягина в задаче идентификации для нестационарного уравнения квазиоптики |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84115 |
| work_keys_str_mv | AT ibragimovns neobhodimoeuslovietipaprincipamaksimumapontrâginavzadačeidentifikaciidlânestacionarnogouravneniâkvazioptiki AT ibragimovns neobhídnaumovatipuprincipumaksimumupontrâgínavzadačíídentifíkacíídlânestacíonarnogorívnânnâkvazíoptiki AT ibragimovns pontryaginmaximumprincipletypenecessaryconditionintheidentificationproblemforanonstationaryequationofquasioptics |